Kvant 1988, số 4 · Trang

Quaim
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

vũ trụ -
động cơ nhiệt?

1988

1

Trong phòng:

2 I. D. Novikov. Vũ trụ như một động cơ nhiệt
9 Yu. M. Lvov, L. A. Feyzin. Phim Langmuir - con đường dẫn đến điện tử phân tử?
14 M. Người làm vườn. Lý thuyết đồ thị Ramsey
21 Phỏng vấn nhà toán học Mỹ Ronald Graham

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M1096—M1100, F1108—F1112
Problems M1096—M1100, P1108—P1112
Lời giải bài toán M1071, M1076—M1080, F1088—F1092
Trường học yêu thích bài toán

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
A. P. Savin. Mười chữ số

Kính vạn hoa «Kvant»
Máy cơ đơn giản

Phòng thí nghiệm «Kvant»
V. F. Ykovlev. “Vật lý cho người khác”

vòng tròn toán học
D. K. Faddeev, M. S. Nikulin, I. F. Sokolovsky. Nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân. Phần II: Tính chất của đạo hàm

Xưởng của người nộp đơn
V. A. Petrov. Bất đẳng thức và đồ thị
A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Sức căng bề mặt và hiện tượng mao dẫn

Các lựa chọn thi tuyển sinh

Thông tin
Trường Vật lý Tương ứng tại Đại học quốc gia Moscow
Viện giáo dục quốc gia Omsk tròn 20 tuổi

Đáp số, gợi ý, lời giải
«Kvant» nụ cười (61)
Pha trộn (72)

bìa của chúng tôi
1 Đọc bài viết trong số này trên trang. 2!
2 hình Leonardo da Vinci này, được làm cách đây 500 năm, là bản xem trước miễn phí của “Kính vạn hoa «Kvant» từ số này.
3 trang cờ vua.
4 Câu đố của Ramsey.

© Nhà xuất bản Nuka,
Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1988

2

VŨ TRỤ
NHƯ MỘT ĐỘNG CƠ NHIỆT

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
I. D. NOVIKOV

Chúng ta đang sống trong một vũ trụ đang giãn nở. Thực tế này đã được nhà toán học Liên Xô A. A. Friedman dự đoán về mặt lý thuyết và được nhà vật lý thiên văn người Mỹ E. Hubble xác nhận vào cuối những năm 20.

Bản chất không cố định của thế giới xung quanh chúng ta có một ý nghĩa nhất định đối với các quá trình vật lý trong Vũ trụ. Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về một số mô hình chung của các quá trình thông báo trong thế giới vĩ mô. Việc áp dụng các định luật nhiệt động lực học được phát hiện trong quá khứ cho toàn bộ Vũ trụ đã dẫn đến những kết luận, đôi khi là những nghịch lý. Và chúng ta sẽ xem xét một số trong số chúng ở đây. Nhưng trước khi chuyển sang những vấn đề này, chúng ta hãy nhớ lại ngắn gọn bản chất của dự đoán lý thuyết của Friedman.

Ý tưởng chính trong công việc của Friedman về cơ bản là đơn giản và bao gồm những điều sau đây. Ở quy mô rất lớn (như ngày nay đã biết, ở quy mô hơn nhiều triệu năm ánh sáng), vật chất ở dạng thiên hà, sự tích tụ của chúng, được phân bố đồng đều trong không gian. Sự chấp nhận lẫn nhau của những khối lượng khổng lồ chắc chắn sẽ dẫn đến sự chuyển động và trộn lẫn lẫn nhau của chúng. Việc chuyển động này dẫn đến sự phân bố hay cuộn lại của hệ thống phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu, ví dụ như liệu một số lực có truyền vận tốc ban đầu cho vật liệu trải rộng, từ đó các thiên hà được hình thành hay không (tức là cách phát âm).
Bài viết này xuất hiện trong quá trình tác giả viết cuốn sách “Vũ trụ bùng nổ như thế nào”. Sách sẽ được nhà xuất bản Nauka xuất bản trong bộ Viblotecheka «Kvant» trong năm nay. Chúng tôi thực sự khuyên bạn nên mua cuốn sách này. Từ đó bạn sẽ tìm hiểu về các khái niệm hiện đại về vũ trụ học, về những vấn đề mà các nhà khoa học trong lĩnh vực này phải đối mặt.

liệu có một vụ nổ nào đó của Vũ trụ trong quá khứ), hay nói, trạng thái ban đầu của vật chất rất hiếm và lực hấp dẫn lẫn nhau kéo nó lại với nhau, buộc nó sụp đổ với tốc độ ngày càng tăng.

A. A. Friedman đã sử dụng trong các công trình của mình lý thuyết tương đối tính về lực hấp dẫn của A. Einstein, lý thuyết này đã khái quát hóa định luật vạn vật hấp dẫn của I. Newton cho trường hợp trường siêu mạnh. Tuy nhiên, những khuôn mẫu quan trọng trong các kết luận của ông có thể được hiểu trong khuôn khổ lý thuyết Newton mà không cần dùng đến lý thuyết phức tạp của Einstein.

Chúng ta sẽ cần định luật cơ bản về chuyển động khối lượng của Vũ trụ. Định luật này có thể được suy ra từ các thông điệp sau. Chúng ta hãy xem xét trong Vũ trụ một thể tích hình cầu lớn có bán kính $R$ nhiều năm ánh sáng (để sự phân bố ma trận có thể được coi là đồng nhất). Hãy biểu thị khối lượng của nó $M$. Từ những gì quan sát được, người ta biết rằng các thiên hà đang di chuyển ra xa nhau, tức là khối lượng của chúng ta đang giãn nở, ranh giới của nó đang di chuyển ra xa trung tâm. Tốc độ $v$ của bản mở rộng này sẽ thay đổi như thế nào theo thời gian?

Theo định luật Newton, đối với một thiên hà có khối lượng $m$ ($m \ll M$), nằm trên ranh giới thể tích của chúng ta, xét về mặt không gian hóa không giới hạn của các khối lượng bên ngoài, thì không cần phải tính đến, vì chúng hướng theo các hướng khác nhau và khi cộng chính xác phương trình
2

3

đổi mới lẫn nhau (chúng tôi sẽ không chứng minh điều này ở đây). Bây giờ thật dễ dàng để viết định luật chuyển động của thiên hà trên ranh giới của quả bóng, và do đó định luật chuyển động của chính ranh giới của quả bóng. Để làm điều này, chúng ta hãy viết ra tổng năng lượng $E$ của thiên hà. Nó cộng động năng $E_\kappa = \frac{mv^2}{2}$ và thế năng hấp dẫn $E_\pi = -\frac{GMm}{R}$ (lưu ý rằng năng lượng hấp dẫn là âm):

$$E = E_\kappa + E_\pi = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{R}.$$

Chúng tôi nhấn mạnh rằng, do định luật bảo toàn năng lượng nên tổng năng lượng $E$ không thay đổi - $E = \text{const}$.

Từ công thức (1) rõ ràng rằng nếu $E > 0$ thì bán kính của quả bóng có thể tăng vô hạn - $v$, tuy giảm nhưng không biến mất. Ở $R \to \infty$ năng lượng $E$ hoàn toàn được xác định bởi động năng của chuyển động. Nếu $E < 0$, thì trọng lực làm quả bóng ngừng giãn nở, $v$ trở thành 0 tại một giá trị tối đa nhất định của bán kính $R_{\text{max}}$ -

$$R_{\text{max}} = \frac{GMm}{|E|},$$

và sau đó quả bóng bắt đầu bay đi.

Vì quả bóng của chúng ta được chọn tùy ý và sự phân bố vật chất trong Vũ trụ là đồng đều nên chuyển động của ranh giới của quả bóng về cơ bản mô tả chuyển động của bất kỳ khối lượng lớn nào trong Vũ trụ. Chúng ta hãy sắp xếp lại phương trình (1), chia nó cho $m$, dưới dạng

$$\frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R} = \text{const}',$$

ở đâu $\text{const}' = E/m$. Phương trình này mô tả theo thời gian khoảng cách $R$ giữa các thiên hà xa xôi hoặc các hạt vật chất trong Vũ trụ (trong quá khứ, khi không có thiên hà). Như vậy, phương trình (3) là phương trình động học của Vũ trụ.

Hãy thêm những điều sau đây vào những gì đã được nói. Theo lý thuyết của Einstein, lực hấp dẫn làm thay đổi tính chất hình học của không gian, “làm cong” nó. Nếu const’ < 0 ($E < 0$), thì hình học trở nên giống với hình học trên hình cầu, các đường song song cắt nhau và bản thân không gian trở nên đóng lại, có thể tích hữu hạn. Độ cong của không gian được cho bởi “cầu vồng độ cong của thế giới” $l$, và tổng thể tích của Vũ trụ khép kín theo thứ tự độ lớn là $V \sim l^3$. Sự thay đổi của $l$ theo thời gian được mô tả, giống như sự thay đổi của các khoảng cách khác trong Vũ trụ, theo định luật (3).

Theo dõi sự thay đổi của $R$ hoặc $l$ trong quá khứ, chúng ta đi đến kết luận rằng sự giãn nở bắt đầu bằng sự hình thành các chiều chính xác và mật độ vật chất vô hạn $\varrho$ - như người ta nói, từ một trạng thái đơn lẻ. Chúng tôi đã sử dụng từ “chính thức” để chứng minh rằng kết luận này chỉ là sự lý tưởng hóa toán học hoặc ở mật độ rất cao (như ước tính cho thấy, ở $\varrho \approx 10^{94}$ g/cm$^3$) các mẫu vật lý mới sẽ xuất hiện. Đặc biệt, những điều kiện này sẽ xuất hiện và quyết định sự xuất hiện của lực đẩy gây ra vụ nổ ban đầu của Vũ trụ. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: chuyện gì đã xảy ra trước đó? Tuy nhiên, đáp số này vẫn chưa có sẵn và các chuyên gia đang xem xét nhiều khả năng khác nhau ở đây.

Tất cả những điều trên cho phép chúng ta hình dung quá trình tiến hóa của Vũ trụ trong quá khứ như sau. Trước trạng thái kỳ dị, Vũ trụ cuộn lại, mật độ vật chất tăng lên và cuối cùng là trạng thái kỳ dị siêu đậm đặc. Ở trạng thái này, chúng ta vẫn hiểu rất kém về các quy luật tự nhiên, hay nói đúng hơn là chúng ta chỉ đồng ý về một số quy luật trong số đó. Ở trạng thái này, người ta tin rằng lực đẩy hấp dẫn khổng lồ sẽ xuất hiện, lực này làm dừng sự chuyển động của Vũ trụ và khiến nó bắt đầu giãn nở. Chính trong Vũ trụ đang mở rộng này mà chúng ta đang sống ngày nay.

Liệu một “kịch bản” như vậy về sự tiến hóa của Vũ trụ có khả thi không?

4

Về nguyên tắc, điều đó là có thể. Cho đến gần đây, một số chuyên gia đã đối xử rất ưu ái với anh ấy. Thái độ này có lẽ chủ yếu xuất phát từ những lý do thuần túy chủ quan. Quả thực, trong tình huống như vậy thì thời gian còn dài

4

6

đồng ý với các ý tưởng thông thường và “trực quan” của chúng tôi). Đúng, phiên bản đơn giản nhất có một khiếm khuyết đáng chú ý. Cụ thể: chúng tôi tin rằng trong tương lai trong lược đồ selny từ trạng thái ban đầu thưa thớt vô hạn. Trạng thái ban đầu của thịt xông khói mật độ thấp này trông rất thô sơ và “ngây thơ”.

Tôi đang cố gắng loại bỏ “khuyết điểm” này như sau. Chúng ta sẽ giả sử rằng hằng số const’ trong phương trình (3) nhỏ hơn 0. thì việc mở rộng làng phải được thay thế bằng một con dốc. Nếu bây giờ chúng ta giả định rằng sau khi chuyển sang trạng thái đơn lẻ, một phân phối mới bắt đầu (dù điều này có đúng như vậy hay không, chúng tôi vẫn chưa biết), thì điều này có nghĩa là sự lặp lại của chu kỳ: một phân phối mới trong làng, sau đó là một đợt nén mới, v.v. Như vậy, chúng ta đã có được một mô hình dao động trong làng. Thoạt nhìn, mô hình này trông rất hấp dẫn. Dường như không có nguồn gốc của “dòng sông thời gian” trong đó. Ngôi làng tồn tại mãi mãi. Ngoài ra, không có trạng thái kỳ lạ nào có mật độ thấp vô hạn trong tương lai mà thay vào đó, hình ảnh được trình bày ở mức trung bình của một V vĩnh cửu không thay đổi với vô số chu kỳ xung.

Nhưng hóa ra sự việc không hề đơn giản như vậy, và một kịch bản tiến hóa như vậy ở nông thôn lại có thể trở thành hiện thực. Những khó khăn nảy sinh trong lý thuyết như vậy có từ giữa thế kỷ trước.

Năm 1850, nhà vật lý người Đức P. Clausius và vào năm 1851, độc lập với ông, nhà vật lý người Anh W. Thomson đã phát hiện ra định luật được gọi là định luật thứ hai của nhiệt động lực học. Trong công thức của Thomson, định luật này có nội dung như sau: về bản chất, một quá trình là không thể thực hiện được, kết quả duy nhất của quá trình đó là công cơ học được thực hiện bằng cách làm mát bình chứa nhiệt. Theo đó, việc chuyển đổi hoàn toàn nhiệt thành năng lượng cơ học là không thể. Điều này có nghĩa là nếu bạn cô lập bất kỳ hệ thống nào, thì cuối cùng tất cả các loại năng lượng trong hệ thống này sẽ biến thành nhiệt và nhiệt sẽ được phân bổ đều trong toàn bộ hệ thống - như người ta nói, trạng thái cân bằng nhiệt động sẽ xảy ra.

Trong thực tế, chúng ta biết rất rõ biểu hiện của quy luật này. Trong các hệ thống cơ học, việc chuyển đổi năng lượng cơ học thành nhiệt là chuyện nhỏ. Tuy nhiên, trong động cơ nhiệt, chúng ta có thể chuyển năng lượng ấm thành công cơ học. Nhưng để làm được điều này, cần duy trì sự chênh lệch nhiệt độ của máy sưởi và tủ lạnh, nếu không máy sẽ không hoạt động và phải tiêu hao năng lượng cho việc này, đồng thời một phần năng lượng tiêu hao cũng chuyển thành nhiệt. Đây là cách xảy ra sự tích tụ nhiệt liên tục, sự chuyển đổi của tất cả các loại năng lượng thành nhiệt. Clausius sau đó đã đưa ra một biểu thức toán học cho định luật thứ hai của nhiệt động lực học.

Thomson và Clausius hiểu được ý nghĩa quan trọng của định luật nhiệt động lực học mà họ đã khám phá ra đối với sự tiến hóa của mọi nền văn hóa. Thật vậy, mọi thứ trong làng phải được coi là một hệ thống biệt lập, và đối với nó, việc trao đổi năng lượng với “các hệ thống khác” là không thể. Điều này có nghĩa là trong làng mọi loại năng lượng cuối cùng đều phải chuyển thành nhiệt, nhiệt lượng sẽ được phân bố đều khắp làng. Định luật bảo toàn năng lượng tuy không bị vi phạm, năng lượng không biến mất đi đâu và tồn tại ở dạng nhiệt năng, nhưng hóa ra nó “bất lực”, mất đi khả năng chuyển thành công cơ khí, và mọi chuyển động vĩ mô trong làng sẽ dừng lại. Tình trạng ảm đạm này đã dẫn tới “cái chết vì nóng” trong làng. Người đọc có lẽ sẽ đồng ý rằng cái tên này mô tả rất rõ bản thân trạng thái chủ quan. Nhưng ngôi làng nơi chúng tôi đang sống rõ ràng không hề rơi vào tình trạng “chết nóng”! Từ đây, những kết luận thần học được rút ra: hoặc ngôi làng về cơ bản chỉ tồn tại trong thời gian ngắn và chưa đạt đến trạng thái “chết nhiệt”, hoặc “ai đó” đã tham gia vào quá trình diễn biến của ngôi làng, ngăn cản nó phát triển đến trạng thái “cái chết nhiệt”.

7

Hãy xem khoa học đã xác định những dự đoán này như thế nào nhé. Các ý tưởng nhiệt động lực học của Clausius và Thomson được phát triển bởi nhà vật lý đầu tiên L. Boltzmann. Ông đã chỉ ra ý nghĩa của định luật nhiệt động thứ hai là gì. Nhiệt thực chất là sự chuyển động hỗn loạn của các nguyên tử hoặc phân tử tạo nên vật chất. Do đó, sự chuyển đổi năng lượng của chuyển động cơ học của các bộ phận riêng lẻ của hệ thống thành nhiệt được biểu thị bằng sự chuyển đổi của chuyển động có tổ chức thành hỗn loạn, gia tăng rối loạn trong hệ thống. Điều tương tự cũng có thể nói về các loại chuyển động khác của vật chất. Sự gia tăng mất trật tự như vậy là không thể tránh khỏi do quy luật thống kê, trừ khi hệ thống chịu tác động từ bên ngoài và không góp phần duy trì trật tự.

Boltzmann đã chỉ ra rằng phương pháp gây mất trật tự trong một hệ thống là một đại lượng được Clausius đưa ra - entropy. Sự hỗn loạn càng lớn thì entropy càng lớn. Sự chuyển đổi một số loại chuyển động nhất định của vật chất thành nhiệt được đánh dấu bằng sự tăng entropy. Nếu tất cả các loại năng lượng đã biến thành nhiệt và đồng hồ đo nhiệt đã được phân phối khắp hệ thống thì trạng thái hỗn loạn cực đại này không còn thay đổi theo thời gian và tương ứng với entropy cực đại.

Nhưng cách giải thích như vậy có nghĩa là định luật thứ hai của nhiệt động lực học không phải lúc nào cũng được đáp ứng một cách tuyệt đối chính xác và có thể xảy ra sai lệch so với nó. Thật vậy, ý nghĩa của định luật này là một hệ cô lập chuyển sang trạng thái chuyển động hỗn loạn ngày càng có thể xảy ra của các hạt tạo nên nó. Nhưng trong quá trình chuyển đổi, những sai lệch và biến động là có thể xảy ra. Vì vậy, ví dụ, trong một số thể tích khí nhỏ, các nguyên tử, khi va chạm với chất bên trong, có thể vô tình thu được các xung có hướng bằng nhau, tức là chúng có thể vô tình bắt đầu chuyển động theo một hướng. Đây sẽ không còn là chuyển động nhiệt (hỗn loạn) nữa mà là hướng chuyển động của một số thể tích khí nói chung. Chuyển động nhiệt của các hạt vô tình thay đổi thành hướng chuyển động cơ học.

Nhưng tất nhiên, những trường hợp như vậy rất hiếm và khó xảy ra. Và thể tích khí chúng ta lấy càng lớn thì khả năng những sự cố như vậy xảy ra với nó càng ít. Nói chung, ngoại trừ những dao động rất hiếm và nhỏ, entropy của một hệ cô lập luôn tăng và hệ đạt đến trạng thái entropy cực đại có thể xảy ra nhất, trong đó nó phải vượt quá một khoảng thời gian vô hạn. Tuy nhiên, mặc dù hiếm khi, đôi khi ở nơi này trong hệ thống, đôi khi ở nơi khác, theo quy luật, có khả năng xảy ra những sai lệch so với trạng thái này, thường là rất nhỏ.

Chính trên con đường này, Boltzmann đã tìm cách thoát khỏi kết luận đen tối về “cái chết nhiệt” của Vũ trụ.

Ông nói, Vũ trụ không ngủ sẽ vĩnh viễn tồn tại ở trạng thái cân bằng nhiệt động có thể xảy ra nhất với entropy cực đại. Nhưng ở bất kỳ khối lượng nào, những sai lệch hiếm hoi khỏi trạng thái này – những biến động – đều có thể xảy ra. Đúng, với khối lượng lớn, biến động đáng chú ý là rất hiếm. Nhưng nếu chúng ta có thời gian vô hạn thì chúng ta có thể chứng minh được sự dao động ngẫu nhiên lớn đến mức nào với khối lượng khổng lồ. Theo Boltzmann, đây là loại biến động to lớn mà chúng ta đang sống.

Giả thuyết dao động của Boltzmann là nỗ lực duy nhất (theo quan điểm vật lý thời đó) bác bỏ kết luận về “cái chết nhiệt” cho đến khi có những khám phá của Friedmann và Hubble.

Những khám phá này đã thay đổi hoàn toàn sự hiểu biết của chúng ta về trạng thái mà sự tiến hóa của các quá trình trong Vũ trụ hướng tới. Trước hết, chúng ta phát hiện ra rằng lực hấp dẫn đóng một vai trò nhất định trong quá trình tiến hóa của Vũ trụ. Trong cuộc thảo luận về “cái chết nhiệt”, lực hấp dẫn thường bị bỏ qua. Trong khi đó, điều này không thể được thực hiện bằng bất kỳ cách nào.

Trong các cuộc thảo luận chung về sự chuyển đổi của tất cả các loại năng lượng thành nhiệt và kết quả là sự suy giảm của tất cả các quá trình trong một hệ cô lập, người ta cho rằng tổng lượng năng lượng của hệ thống không thay đổi. Tất nhiên là anh ấy sẽ nói

8

Bạn đọc, giả định này đúng - xét cho cùng, hệ thống bị cô lập. Năng lượng bổ sung có thể lấy từ đâu để duy trì chuyển động trong hệ thống?

Tất nhiên, định luật bảo toàn năng lượng toàn phần là độc lập. Nhưng chúng tôi đã không đưa năng lượng của trọng lực vào lý luận của mình. Và năng lượng này là duy nhất - nó âm (xem công thức (1)). Điều này ảnh hưởng như thế nào đến các quá trình xảy ra trong Vũ trụ? Chúng ta hãy cố gắng hiểu điều này bằng ví dụ sau: hãy xem xét một quả cầu khí, giữa các hạt tác dụng lực hấp dẫn. Giả sử lúc đầu chất của quả cầu lạnh và bị phân tán trong không gian, lực hấp dẫn lẫn nhau giữa các hạt là cực kỳ nhỏ và năng lượng hấp dẫn của chất đó thực tế bằng 0. Hãy để vật chất dần dần, dưới tác dụng của lực hấp dẫn dù yếu, tập hợp lại thành một quả bóng, và quả bóng này ngày càng bị trọng lực đẩy đi xa hơn. Rõ ràng là vật chất của quả bóng ngày càng tăng tốc độ và do đó, động năng chuyển động ngày càng lớn hơn. Năng lượng tích cực này sẽ tăng lên do trọng lực. Nhưng do định luật bảo toàn năng lượng nên tổng năng lượng của hệ phải được bảo toàn. Điều này có nghĩa là sự gia tăng năng lượng dương của chuyển động đi kèm với sự giảm thế năng của trọng lực, tức là tăng giá trị tuyệt đối của nó (xét cho cùng, $E_\pi < 0$). Bây giờ rõ ràng là khi hệ thống quét, phần năng lượng dương của nó có thể tăng lên do trọng lực. Đây là tình trạng trước đây, khi trọng lực không được quan tâm đúng mức và không được tính đến. Vì phần năng lượng dương của một hệ cô lập có thể tăng lên, nên sự tăng năng lượng (điều nhất thiết phải xảy ra) không nhất thiết dẫn đến sự suy giảm của các quá trình.

Do đó, kết luận về “cái chết nhiệt” được đưa ra vào giữa thế kỷ trước, khi thực tế về bản chất không tồn tại của Vũ trụ không được tính đến, là không chính xác.

Bây giờ chúng ta hãy xem chính xác lực hấp dẫn “hoạt động” như thế nào trong mô hình Vũ trụ đang dao động, quyết định lựa chọn đóng băng mọi chuyển động vĩ mô trên thế giới.

Trong một Vũ trụ đang dao động, trong mỗi chu kỳ đều có sự gia tăng năng lượng, tích tụ nhiệt (theo định luật thứ hai của nhiệt động lực học, tất nhiên là không bị vi phạm). Sự tích tụ năng lượng nhiệt xảy ra trên quy mô lớn, chẳng hạn như trong quá trình phát sáng của các ngôi sao xử lý nguồn dự trữ năng lượng hạt nhân để nghiên cứu. Chúng ta sẽ giả sử rằng ở trạng thái tín hiệu, năng lượng không thể giảm mạnh.

Entropy tăng từ chu kỳ này sang chu kỳ khác. Thoạt nhìn, điều này sẽ dẫn đến sự mờ dần của các xung và giảm biên độ của chúng. Có vẻ như bức tranh này tương tự như sự tắt dần dao động của một con lắc, khi lực căng trong hệ thống treo của nó truyền dần năng lượng dao động vào cơ thể. Trên thực tế, hình ảnh xung trong mô hình Vũ trụ như vậy trông hoàn toàn khác - biên độ xung của Vũ trụ tăng lên!

Hãy thể hiện nó.

Đầu tiên chúng ta chuyển sang công thức (3). Trong mỗi chu kỳ, tại thời điểm Vũ trụ giãn nở tối đa (xem công thức (2)), khi sự giãn nở được thay thế bằng sự giãn nở bị nén, tốc độ $v$ chuyển động của vật chất của quả bóng trong giây lát sẽ bằng không. Đánh đồng $v=0$ trong biểu thức (3), chúng ta thu được các điều kiện cho thời điểm này: $\frac{GM}{R_{\max}} = -\text{const}'$. (Hãy nhớ lại rằng trong mô hình của chúng ta const’<0.) Bây giờ, hãy thay $M = \frac{4}{3} \pi R_{\max}^3 \varrho_*$ vào biểu thức này, trong đó $\varrho_*$ là mật độ của vật chất tại thời điểm giãn nở tối đa. Sau đó, chúng tôi nhận được: $\varrho_* R_{\max}^2 = \text{const}''$. Cuối cùng, hãy nhớ rằng bán kính cong của thế giới $l$ thay đổi theo thời gian giống hệt như bán kính của quả bóng $R$. Do đó, đối với bán kính cong $l_{\max}$ - khi Vũ trụ giãn nở tối đa - chúng ta

(Cuối cùng xem trang 20)

10

vì mỗi người có dấu vân tay đặc trưng của riêng mình) và nó có thể khác biệt đáng kể so với tuyến tính (tương ứng với định luật Ohm). Trong sự phát triển tương lai của các nguyên tố điện phân tử, việc tính đến những hiệu ứng như vậy có thể là cần thiết.

Nhưng làm thế nào để bạn lắp ráp các mạch điện từ những “viên gạch” nhỏ như vậy? Ngày nay, các phương pháp kỹ thuật đã được phát triển giúp có thể “lắp ráp” các thiết bị có kích thước từ 10 đến hàng trăm nanomet. Ví dụ, đây là phương pháp epitasy phân tử*, khi các phân tử được đặt từng lớp thành màng mỏng. Chúng tôi muốn nói về một phương pháp khác đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Đây được gọi là phương pháp Langmuir, cho phép thu được các màng mỏng có tổ chức phân tử chứa chính xác 1, 2, 3, …, 25, v.v. các lớp phân tử trong mẫu.

Lịch sử của những bộ phim này bắt đầu từ thế kỷ 18 với các thí nghiệm của nhà khoa học người Mỹ W. Franklin. Franklin đổ một lượng nhỏ dầu ô liu lên mặt ao đầy cá nhỏ, chẳng bao lâu cá chết dần và mặt nước trở nên nhẵn bóng. Từ đó Franklin kết luận rằng không có gì mới khi chạm vào dầu sẽ bao phủ toàn bộ bề mặt. Phong tục này được mô tả vào năm 1790 trên tạp chí Philosophical Notes, do Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn (Viện Hàn lâm Khoa học Anh) xuất bản. Sau những năm này, nhà vật lý người Anh W. Rayleigh đưa ra đề xuất rằng trong những thí nghiệm như vậy, một lớp màng có độ dày chỉ bằng một lớp phân tử sẽ được hình thành trên bề mặt nước. Biết thể tích dầu ban đầu, bạn có thể chia nó cho diện tích của màng để tính độ dày của nó (và do đó là kích thước của phân tử dầu). Hóa ra nó cực kỳ nhỏ - chỉ khoảng 10 nm. Sau đó, các thí nghiệm được thực hiện trong phòng thí nghiệm,

*) Epitaxy (từ các từ tiếng Hy Lạp đã ăn… - trên, trên, trên, sau và tadis - vị trí) - sự phát triển theo định hướng của một tinh thể đơn lẻ trên bề mặt của một tinh thể khác (chất nền) (Từ điển sử thi Liên Xô. M.: Sử thi Liên Xô, 1980).

Hình 2.

giúp ước tính chính xác hơn kích thước của các phân tử dầu.

Một trải nghiệm tương tự có thể được thực hiện tại nhà trong bồn tắm. Để làm điều này, hãy thả một ít dầu vào bồn tắm đã đầy (tốt nhất là dầu ô liu, vì nó lan rộng trên bề mặt nước tốt hơn dầu hướng dương). Sau vài phút, màng sẽ lan ra toàn bộ bồn tắm. Lưu ý rằng khá khó để xác định ranh giới dầu (tốt hơn là nên nhìn bằng cách chiếu đèn pin lên bề mặt). Ngoài ra, màng sẽ có độ dày không đồng đều; nó sẽ chứa các cửa sổ, nơi có lớp dầu rất mỏng và các vách ngăn dày hơn. Tuy nhiên, chúng ta sẽ có thể ước tính độ dày của màng. Tuy nhiên, theo kinh nghiệm của chúng tôi, có một nhược điểm lớn - chúng tôi không biết có bao nhiêu phân tử có độ dày tạo thành màng và chúng tôi không thể đạt được độ dày đồng đều của màng.

Ở cấp độ vật lý thứ hai, các thí nghiệm cũng được thực hiện bởi người Mỹ

Hình 3. Lắp đặt Langmuir: 1 - bồn nước, 2 - máy cạo râu có thể di chuyển, 3 - chất nền, 4 - động cơ điều khiển việc hạ thấp chất nền, 5 - thiết bị thay đổi sức căng bề mặt, 6 - mạch điện tử tạo ra sisal để vận hành động cơ 7 di chuyển máy cạo râu.

11

nhà vật lý I. Langmuir, người đã nhận giải Nobel cho những công trình này vào năm 1932. Theo cách gần giống như Langmuir đã làm vào thời của ông, ngày nay người ta đã thu được màng phân tử (chúng được gọi là phim Langmuir). Vì vậy, chúng tôi sẽ mô tả phương pháp này chi tiết hơn.

Đầu tiên, hãy tìm hiểu xem các phân tử nằm trên bề mặt nước như thế nào. Các màng sử dụng phương pháp Langmuir có thể thu được từ cái gọi là các phân tử hữu cơ amphyllic, tức là các phân tử chứa các phần ưa nước (“ái nước”) và phần ưa nước (“không ưa nước”). Đây chính xác là các phân tử của axit béo (dầu). hình 2 cho thấy vị trí của phân tử axit stearic trên bề mặt nước. “Đầu” ưa nước của phân tử được ngâm trong nước, còn “đuôi” ưa nước nằm trong không khí và ngăn không cho các phân tử ULE đi vào nước.

Để thu được một lớp đơn các phân tử như vậy trên bề mặt nước, hãy tiến hành như sau. Dầu được hòa tan trong dung môi hữu cơ dễ bay hơi, chẳng hạn như axeton, do đó nồng độ tương đối của các phân tử dầu thấp (khoảng 0,01%). Một giọt dung dịch như vậy được đặt trên mặt nước trong một hệ thống lắp đặt đặc biệt gọi là bồn tắm Langmuir (hình 3). Giọt nước nhanh chóng “phân tán” trên mặt nước, axeton bay hơi và các phân tử dầu amphyllic đơn lẻ vẫn nằm rải rác trên mặt nước.

Những phân tử này phải được thu thập thành một lớp dầu duy nhất. Để làm điều này, một thanh barer được di chuyển dọc theo bề mặt nước trong bồn tắm Langmuir (xem hình 3), với sự trợ giúp của tất cả các phân tử di chuyển đến một cạnh của bồn tắm và được ép để hình thành một lớp màng trên bề mặt nước, các phân tử trong đó nằm trong một lớp (màng đơn phân tử). Bây giờ màng này phải được chuyển sang chất nền được xử lý đặc biệt (tấm silicon hoặc thủy tinh). Họ làm điều đó như thế này. Chất nền nằm trong bồn tắm (hình 3), bắt đầu được nâng lên rất chậm, với tốc độ ~1 cm/h. Chất nền được làm ướt tốt bởi nước, và các “đầu” phân tử ưa nước, không muốn tách ra khỏi nước, “kéo dài” ra phía sau nó (hình 4, a) và cuối cùng “dính” vào chất nền. Vì vậy, chính xác một lớp phân tử phát triển trên chất nền, được định hướng theo một cách nhất định - “đầu” trên chất nền, “đuôi” hướng ra ngoài. Hãy bắt đầu hạ chất nền trở lại bồn tắm. Bây giờ chất nền không được làm ướt bằng nước (hình 4, b), đằng sau nó là màng dầu biến mất xuống dưới - một lớp đơn phân tử thứ hai được hình thành, “liên kết” với “đuôi” đầu tiên. Các “đầu” phân tử ưa nước nhô ra khỏi bồn tắm và nếu chúng ta cố gắng nâng chất nền lên một lần nữa, nước, làm ướt nó một lần nữa, sẽ “vươn tới” và “các đầu” của các phân tử sẽ đi theo nước. Vì vậy, chất nền được nâng lên lại sẽ được “mặc” thành ba lớp đơn phân tử được định hướng theo một cách nhất định (hình 4, c). Chúng ta có thể có bao nhiêu từ này tùy thích và chúng ta sẽ luôn biết chính xác có bao nhiêu lớp phân tử nằm trên chất nền.

12

Sinh viên của I. Langmore, K. Blodgett, đã có đóng góp lớn vào việc phát triển các phương pháp chuyển những màng như vậy sang chất nền ở trạng thái rắn, đó là lý do tại sao màng trên chất nền còn được gọi là màng Langmore-Blodgett hoặc màng L-B.

Tất nhiên, do quá trình cài đặt Langmore đang hoạt động, mọi thứ không đơn giản như vậy. Đầu tiên, cần kiểm soát chặt chẽ quá trình thu thập các phân tử đơn lẻ “rải rác” trên bề mặt nước (trạng thái này gọi là “khí hai chiều” của các phân tử). Khi màng hình thành, “mật độ đóng gói” của các phân tử thay đổi: đầu tiên chúng được đóng gói ít chặt chẽ hơn (“chất lỏng hai chiều”), sau đó dày đặc hơn (“chất rắn hai chiều”); sức căng bề mặt trong lớp thay đổi tương ứng. Ở giai đoạn này, không dùng máy ấn quá mạnh, nếu không các phân tử sẽ bắt đầu chồng lên nhau thành từng lớp. Phim được áp dụng ở chế độ “thân rắn”.

Thứ hai, khi các phân tử được chuyển đến chất nền, các lỗ sẽ hình thành trong lớp phân tử trên bề mặt nước. Để tránh điều này, hãy sử dụng dụng cụ cạo để chặn màng, liên tục giảm diện tích của nó; quá trình này được giám sát bởi một hệ thống điện tử. Chuyển động của chất nền được tự động hóa, nhiệt độ, mức độ axit của môi trường, v.v. được kiểm soát.

Đương nhiên, khi tạo ra các “khối xây dựng” của electron, trước tiên bạn cần phải có màng L-B của chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất điện môi. Gần đây, các bộ phim cũng đã bị loại bỏ. Sơ đồ công việc chung như sau: phân tử mong muốn được chọn, chẳng hạn như thuốc nhuộm, sau đó đuôi kỵ nước được “khâu” về mặt hóa học - và bây giờ bạn có thể dán màng lên chất nền bằng phương pháp được mô tả.

Sử dụng kỹ thuật Langmore, người ta có thể hiện thực hóa một ý tưởng rất hấp dẫn theo quan điểm điện tử—ý tưởng về kiến ​​trúc phân tử. Thật vậy, trước tiên chúng ta có thể chuyển lên bề mặt một lớp phân tử chất A, sau đó là lớp phân tử chất B, rồi chất B, v.v. Tuy nhiên, điều này đòi hỏi phải có nhiều bể Langmore chứa đầy các chất khác nhau hoặc một bể nhiều phần. Các cài đặt như vậy đã được tạo. Vì vậy, giờ đây chúng tôi có thể gửi nhiều phân tử khác nhau vào nhau, kiểm soát chặt chẽ quá trình và không mắc lỗi trong một lớp nào. Điều này có nghĩa là bạn có thể tạo ra các nguyên tố electron phân tử có kích thước khoảng 10 nm, được điền vào biểu đồ của chúng tôi (xem hình 1) cho năm 2000. Làm thế nào để tạo ra? Không có nhiều về vấn đề này. Chà, ít nhất là thế này: chúng ta hãy thử tạo ra một nguyên tố bằng cách tương tự với ống điện tử nổi tiếng - triode. Hoạt động của triode quen thuộc với bạn: các electron từ cực âm, được điện trường mang đi, bay đến cực dương và dòng chảy của chúng được điều chỉnh bởi sự thay đổi điện thế trên lưới nằm ở giữa. Chất tương tự “phim” của đèn ba cực sẽ trông như thế nào? Hãy làm điều này: chuẩn bị một điện cực - nó sẽ tương tự như cực âm; sau đó chúng tôi phủ một lớp phân tử điện môi lên trên đó; đối với chất điện môi - một lớp phân tử dẫn điện - đây là chất tương tự của lưới điện; sau đó lại là một lớp phân tử điện môi; và cuối cùng, trên cùng có một điện cực khác - cực dương. Vai trò của chân không, đảm bảo dòng electron từ cực âm đến cực dương trong triode, trong “thiết bị” của chúng ta được thực hiện bởi các lớp điện môi mỏng mà qua đó các electron có thể đi qua bằng cơ chế đường hầm (hiệu ứng lượng tử của sự “rò rỉ” electron qua lớp điện môi dày 1-10 nm). Vậy là triode có kích thước chỉ 10-20 nm đã sẵn sàng. Cho đến nay, triode này chỉ là tưởng tượng, nhưng cả một loạt các phần tử MDM (kim loại-điện môi-kim loại) và MIS (kim loại-điện môi-bán dẫn) tương tự sử dụng màng Langmore đã được tạo ra.

Màng Langmore được dùng làm điện trở siêu mỏng và rất đồng đều. Sử dụng chùm tia điện tử, một vi mạch được vẽ trên phim. Ở những nơi mà chùm tia điện tử “đi qua”, các phân tử của màng polymer

13

hình thành và trở nên không hòa tan trong dung môi hữu cơ, trong khi màng bị cuốn trôi khỏi các khu vực khác của tinh thể nền.

Một ứng dụng khác của màng Langmuir là bôi trơn theo trật tự phân tử. Khi chúng ta nhỏ dầu vào ổ trục, khoảng trống giữa các bộ phận hầm được lấp đầy bởi hàng trăm, hàng nghìn lớp phân tử dầu làm giảm trene - trene khô được thay thế bằng chất lỏng. Tuy nhiên, chất bôi trơn như vậy không phù hợp với các thiết bị hiện đại có độ chính xác cao. Ví dụ: khi đọc thông tin từ đĩa ghi từ tính được sử dụng trong máy tính hiện đại, sơ đồ sau được sử dụng: đầu đọc di chuyển phía trên một đĩa quay nhanh. Khoảng cách giữa đầu và bề mặt đĩa không được vượt quá 20-30 nm. Làm thế nào chúng ta có thể giảm trene ở đây? Các chuyên gia của công ty Nhật Bản Sony đã phủ một lớp phim Langmuir một lớp lên đĩa từ và cho thấy rằng loại “chất bôi trơn” như vậy có thể tăng khả năng chống mài mòn của đầu lên gần 100 lần và bảo quản lâu dài các bản ghi trên đĩa.

Tuy nhiên, điều chính khiến các nhà nghiên cứu phấn khích là việc tạo ra các bộ phận điện tử mới về cơ bản dựa trên công nghệ Langmuir. Ở đây rất hứa hẹn sẽ đưa các phân tử hữu cơ lớn vào màng Langmuir, vốn đã “có thể” thực hiện bất kỳ hoạt động phức tạp nào. Chính thiên nhiên đã phát triển và tạo ra hàng nghìn “cửa sổ” nhỏ như vậy cho nss - đây là những phân tử protein. Ví dụ, khi một phân tử protein rhodopsin hấp thụ một lượng tử ánh sáng, nó sẽ thay đổi trạng thái của nó – chuyển động của proton, điều này có thể được phát hiện. Nếu kết hợp các phân tử rhodopsin vào màng bằng công nghệ Langmuir, bạn sẽ có được một cảm biến ánh sáng rất nhạy. Các cảm biến phân tử đã được tạo ra cho phép ghi lại sự thay đổi nồng độ của các loại khí; việc tạo ra một “mũi nhân tạo”, là một “mozanka” gồm các phân tử nhạy cảm với các loại khí khác nhau, luôn được thảo luận.

Việc tạo ra các phần tử điện tử phân tử đòi hỏi lời giải toàn bộ chuỗi bài toán. Ví dụ, làm thế nào để nâng cao hệ thống dây điện đến một phần tử như vậy (thiết bị đầu vào-đầu ra)? Làm thế nào chúng ta có thể quan sát những gì chúng ta đã đạt được nhờ cấu trúc phân tử? Thật vậy, bước sóng của ánh sáng khả kiến ​​là ~0,5 µm và kích thước của các nguyên tố khoảng 10 nm, tức là nhỏ hơn 50 lần. Điều này có nghĩa là không thể nhìn thấy một phần tử nào ngay cả với kính hiển vi quang học tốt nhất.

Để kiểm soát các mẫu thử nghiệm được thực hiện bằng công nghệ Langmuir, các phương pháp quan sát phức tạp hơn được sử dụng - ví dụ: phân tích cấu trúc RENT. Nghiên cứu RENTen với bước sóng $\lambda=0,154$ nm thường được sử dụng. Bức xạ bị phân tán bởi các phần tử phân tử, tạo ra mô hình nhiễu xạ chứa cực đại và cực tiểu xen kẽ, trong đó hình ảnh được bảo vệ. Từ vị trí cực đại trong góc tán xạ (2θ), ở giai đoạn đầu tiên xử lý kết quả bằng công thức Wulff-Bragg (2d sin $\theta=n\lambda$), độ dày của màng phân tử (d) và khoảng cách giữa các phân tử lân cận được tính toán, sau đó, bằng cách sử dụng tính toán máy tính, có thể làm rõ vị trí của các chi tiết nhỏ hơn trong các phần tử phân tử - các nhóm nguyên tử và thậm chí cả các nguyên tử riêng lẻ.

Vì vậy, về nguyên tắc, kỹ thuật của Langmore cho phép sử dụng các phân tử làm vật liệu xây dựng các mạch điện tử. Người ta có thể hy vọng rằng các phần tử điện tử phân tử được tạo ra bằng phương pháp này sẽ được đưa vào sử dụng thực tế trong vòng 5–10 năm tới.

15

LÝ THUYẾT RAMSEAN
ĐẾM

M. NGƯỜI LÀM VƯỜN

Lý thuyết đồ thị nghiên cứu một tập hợp các điểm hoặc đỉnh được nối với nhau bằng các đường thẳng. Mặc dù một số bài báo về lý thuyết đồ thị Gramsean đã được xuất bản vào những năm 1930 bởi nhà toán học Hungary Paul Erdsch và những người khác, nhưng công trình nghiên cứu nghiêm túc về cái mà ngày nay được gọi là số Ramsey chỉ bắt đầu vào cuối những năm 1950. Một trong những kích thích nghiên cứu đã được đưa ra trên trang. 14 câu đố có vẻ ngoài ngây thơ.

Câu đố này có thể dễ dàng được chuyển đổi thành bài toán về đồ thị. Sáu đỉnh tương ứng với sáu đạo trình. Hãy nối một cặp đỉnh tương ứng với hai đạo trình quen thuộc bằng một đường màu đỏ và một cặp đỉnh tương ứng với hai đạo trình không quen thuộc bằng một đường màu xanh lam. Bây giờ bài toán là để chứng minh rằng, dù chúng ta chọn màu của dây dẫn như thế nào thì chắc chắn chúng ta sẽ nhận được một hình tam giác màu đỏ (tương ứng với ba cặp quen thuộc) hoặc một tam giác màu xanh (tương ứng với ba cặp không quen thuộc).

Lý thuyết Ramsey giải quyết những vấn đề như vậy được đặt theo tên của Frank Plumpton Ramsey. Ramsay mới 26 tuổi khi qua đời năm 1930 sau một cuộc phẫu thuật lớn.

Cha của ông là chủ tịch của bộ sưu tập Magdalene ở Cambridge, và anh trai ông là người quản lý quần đảo Canterbury. Các nhà kinh tế biết đến Ramsey vì những đóng góp đáng kể của ông cho lý thuyết kinh tế. Các nhà logic học biết đến Ramsey vì đã đơn giản hóa lý thuyết loại mở rộng của Bertrand Russell và vì phát minh của ông về việc phân chia các nghịch lý logic thành logic và ngữ nghĩa.

Năm 1928, Ramsay có bài nói chuyện với Hiệp hội Toán học Luân Đôn về bài báo kinh điển hiện nay “Về một vấn đề trong Logic hình thức”. Trong tác phẩm này, Ramsey đã thu được một kết quả sâu sắc về tập hợp mà ngày nay được gọi là định lý Ramsey. Hóa ra định lý này, giống như nhiều định lý tập hợp, có rất nhiều ứng dụng bất ngờ cho các bài toán tổ hợp. Định lý này xét về tổng quát thì quá phức tạp để giải thích ở đây. Đối với mục đích của chúng ta, chỉ cần xem xét cách áp dụng nó vào lý thuyết tô màu đồ thị là đủ.

Nếu mỗi đỉnh $n$ được nối với mọi đỉnh khác bằng một đường thẳng thì đồ thị được gọi là đồ thị đầy đủ có $n$ đỉnh và được ký hiệu bằng ký hiệu $K_n$. Trong trường hợp này, đối với chúng tôi, việc các đỉnh được đặt chính xác như thế nào và các thước kẻ được vẽ như thế nào không quan trọng đối với chúng tôi. hình 1 trình bày các cách chung để mô tả đồ thị hoàn chỉnh có từ hai đến sáu đỉnh.

Hình 1.

16

Giả sử chúng ta tô màu ngẫu nhiên các đường của biểu đồ $K_n$ đỏ hoặc xanh lam. Chúng ta có thể tô màu tất cả các đường màu đỏ, tô màu tất cả các đường màu xanh hoặc sử dụng cả hai màu. Cách tô màu này được gọi là cách tô màu 2 đồ thị. Tất nhiên, tô màu 2 là một cách đơn giản để phân chia tất cả các cặp đỉnh $n$ của chúng ta thành hai lớp riêng biệt. Tương tự, phân vùng tô màu 3 dòng sẽ chia các cặp này thành ba lớp riêng biệt và nói chung, phân vùng tô màu $r$ chia các cặp đỉnh thành $r$ các lớp rời rạc theo cặp.

Phần phụ của một đồ thị hoàn chỉnh là bất kỳ đồ thị nào có trong đồ thị hoàn chỉnh theo nghĩa là tất cả các đỉnh và đường thẳng của nó đều thuộc về đồ thị hoàn chỉnh này. Dễ dàng thấy rằng mọi đồ thị đầy đủ đều là đồ thị con của mọi đồ thị đầy đủ có số đỉnh lớn. Nhiều đồ thị đơn giản có tên. hình 2 hiển thị bốn nhóm đồ thị: dây chuyền, chu trình, ngôi sao và bánh xe. Lưu ý rằng một bánh xe có bốn đỉnh chỉ đơn giản là một hình ảnh khác của đồ thị $K_4$.

Bây giờ hãy xem xét bài toán, bao gồm sáu cây bút chì có màu khác nhau. Chúng ta sẽ gán từng màu cho bất kỳ loại biểu đồ nào mà chúng ta thích. Ví dụ:

1. màu đỏ: hình ngũ giác (chu kỳ năm điểm),
2. màu cam: tứ diện,

Hình 2.

3. màu vàng: ngôi sao bảy cánh,
4. màu xanh lá cây: chuỗi 13 đỉnh,
5. màu xanh: bánh xe tám đỉnh,
6. màu tím: nơ (hai hình tam giác có một điểm chung).

Bây giờ chúng ta hãy hỏi một câu hỏi thú vị. Có đồ thị hoàn chỉnh nào mà bất kỳ 6 màu nào trong số đó nhất thiết sẽ dẫn đến đồ thị con thuộc một trong các loại được liệt kê ở trên không? Nói cách khác, cho dù chúng ta tô màu một đồ thị hoàn chỉnh như vậy bằng sáu cây bút chì như thế nào, chắc chắn chúng ta sẽ nhận được một hình ngũ giác màu đỏ, hoặc một khối tứ diện màu cam, hoặc một ngôi sao bảy đỉnh màu vàng, v.v. Định lý Ramsey phát biểu rằng tất cả các đồ thị hoàn chỉnh, bắt đầu từ một kích thước hữu hạn nhất định, đều có những đặc tính này. Đồ thị nhỏ nhất trong họ vô hạn này được gọi là đồ thị Ramsey cho một tập hợp các đồ thị con cho trước. Số đỉnh của nó được gọi là số Ramsey cho tập hợp đồ thị con này.

Mỗi đồ thị Ramsey có cả một trò chơi và một câu đố gắn liền với nó. Trò chơi trong ví dụ của chúng tôi như sau. Hai người chơi lần lượt lấy một trong sáu cây bút chì và tô màu một đường trong biểu đồ Ramsey. Người đầu tiên tô màu xong một trong các đồ thị con cho trước được coi là người thua cuộc. Vì đồ thị là đồ thị Ramsey nên trò chơi không thể kết thúc với tỷ số hòa. Hơn nữa, đồ thị Ramsey là đồ thị hoàn chỉnh nhỏ nhất trong đó không có gì được trả về.

Câu đố liên quan đến một đồ thị hoàn chỉnh có ít đỉnh hơn đồ thị Ramsey. Rõ ràng, đây là biểu đồ hoàn chỉnh lớn nhất mà trò chơi có thể kết thúc với tỷ số hòa. Đồ thị như vậy được gọi là đồ thị Ramsey tới hạn của một tập hợp các đồ thị con cho trước. Câu đố bao gồm việc tìm cách tô màu đồ thị tới hạn sao cho không xuất hiện đồ thị con nào trong số các đồ thị con đã cho. Màu này được gọi là màu quan trọng.

Tôi không biết số Ramsey của sáu người được đề cập là bao nhiêu

17

đồ thị con. Biểu đồ hoàn chỉnh tương ứng sẽ lớn đến mức (chứa hàng trăm đỉnh) đến mức không thể chơi trên đó và câu đố liên quan cũng sẽ khó đến mức vượt quá khả năng tìm kiếm của máy. Tuy nhiên, các trò chơi và câu đố Ramsay với đồ thị đầy đủ nhỏ hơn và chỉ có hai màu bút chì có thể khá thú vị.

Trò chơi Ramsey nổi tiếng của Nibaulier có tên là Sim*). Nó được chơi trên một biểu đồ sáu đỉnh hoàn chỉnh ($K_6$), mô phỏng bài toán về một nhóm gồm sáu người. Không khó để chứng minh 6 là số Ramsey của hai đồ thị con sau:

1. màu đỏ: tam giác ($K_3$),
2. màu xanh lam: hình tam giác ($K_3$).

Trong lý thuyết Ramsey cổ điển, đồ thị hoàn chỉnh thường được biểu thị đơn giản bằng số. Vì vậy chúng ta có thể biểu thị kết quả trên dưới dạng công thức rút gọn: $R(3, 3)=6$. Điều này có nghĩa là số đỉnh của đồ thị hoàn chỉnh nhỏ nhất, mà đối với bất kỳ màu 2 màu nào nhất thiết phải chứa một hình tam giác có một giá trị (đỏ hoặc xanh), là 6.

Do đó, nếu hai người chơi lần lượt tô màu biểu đồ $K_6$ đỏ hoặc xanh lam, thì một trong số họ chắc chắn sẽ thua khi đã hoàn thành việc xây dựng một hình tam giác có một giá trị. Câu đố tương ứng khá đơn giản; nó bao gồm 2 lần tô màu đồ thị quan trọng $K_5$ để không có hình tam giác có một giá trị.

Hóa ra nếu đồ thị $K_6$ có 2 màu thì bắt buộc phải tìm ít nhất hai hình tam giác có một giá trị. (Nếu có chính xác hai trong số chúng và chúng có màu sắc khác nhau, chúng sẽ tạo thành những chiếc nơ.) Điều này đặt ra một câu hỏi thú vị. Có thể thu được số lượng tam giác có giá trị đơn nhỏ nhất bằng cách tô màu 2 một đồ thị hoàn chỉnh có $n$ đỉnh là bao nhiêu? A.V. Goodman là người đầu tiên trả lời câu hỏi này.

*) M. Gardner. Tiểu thuyết toán học. - M.: Mir, 1974, ch. 33. Ghi chú sau đây của S. V. Bely.

Công thức của Goodman được chia thành ba phần một cách thuận tiện:

nếu $n=2k$ thì số lượng tam giác có giá trị đơn nhỏ nhất là $1/3 \cdot k(k-1)(k-2)$;

nếu $n=4k+1$ thì số lượng tam giác có giá trị đơn nhỏ nhất là $1/3 \cdot 2k(k-1)(k+1)$;

nếu $n=4k+3$ thì số lượng tam giác có giá trị đơn nhỏ nhất là $1/3 \cdot 2k(k+1)(4k-1)$.

Như vậy, đối với các đồ thị hoàn chỉnh có từ 6 đến 12 đỉnh thì số lượng tam giác có giá trị đơn nhỏ nhất tương ứng là 2, 4, 8, 12, 20, 28 và 40.

Theo quy luật, 2 màu sau đây sẽ tạo ra các hình tam giác có giá trị đơn lớn. Nếu một màu của đồ thị Ramsey chứa chính xác số lượng tam giác có một giá trị nhỏ nhất thì nó được gọi là cực trị. Có phải luôn luôn có một màu cực trị trong đó tất cả các hình tam giác có một giá trị đều có cùng màu không? Năm 1961, Leopold Sauvé đã chỉ ra rằng đáp số đúng cho câu hỏi này.*) Điều này làm nảy sinh một loại câu đố mới. Ví dụ: trên hình có một biểu đồ hoàn chỉnh có 7 đỉnh. Bạn có thể tô màu 2 biểu đồ này để không có hình tam giác màu xanh và không có quá bốn hình tam giác màu đỏ không? (Đáp số xem trang 73.)

Người ta biết rất ít về số Ramsey “cổ điển”. Số Ramsey cổ điển là số Ramsey tương ứng với trường hợp tất cả các đồ thị từ một tập hợp nhất định đều đầy đủ. Một phương pháp cho phép tô màu tất cả các đồ thị hoàn chỉnh có thể, leo lên bậc thang này cho đến khi tìm thấy đồ thị Ramsey. độ khó của bài toán này tăng lên vô cùng và hơn nữa, với tốc độ đến mức nó nhanh chóng trở nên không thể tiếp cận được với bất kỳ ai.
*) Trên thực tế, đáp số chỉ được chấp thuận cho bốn $n$ và $n=7$.

18

terry. Điều ít được biết đến hơn là ai thắng - người chơi thứ nhất hay người thứ hai - miễn là cả hai đều chơi đúng. Trong trường hợp trò chơi Sim bài toán lời giải (người chơi thứ hai thắng), nhưng hầu như không biết gì về trò chơi Ramsey liên quan đến đồ thị hoàn chỉnh lớn hơn.

Cho đến nay chúng ta mới chỉ xem xét một biến thể của trò chơi Ramsey mà Frank Harari, nhà lý thuyết đồ thị nổi tiếng, gọi là trò chơi trốn tránh. Như ông đã lưu ý, có lẽ có ít nhất ba kiểu chơi khác. Ví dụ: trong cerra có sẵn (được chơi trên cùng biểu đồ với trò chơi Sim), người chơi đầu tiên hoàn thành việc xây dựng hình tam giác một bên sẽ chiến thắng. Hai trò chơi còn lại tiếp tục cho đến khi tất cả các đường được tô màu và người chiến thắng là người chơi hoàn thành số lượng hình tam giác một cánh tay nhiều nhất hoặc ít nhất. Hai trò chơi cuối cùng này khó phân tích nhất, trong khi trò chơi dễ tiếp cận là dễ nhất. Dưới đây, qua cerra của Ramsey, chúng ta hiểu được cerra của sự trốn tránh.

Ngoài số $R(3,3)$, giá trị của nó làm nền tảng cho trò chơi Sim, chỉ có năm số Ramsey cổ điển không hề tầm thường cho 2 màu được biết đến:

1. $R(3,4)$ bằng 9. Đối với bất kỳ 2 màu nào của đồ thị $K_9$, chúng ta nhất thiết sẽ thu được một hình tam giác màu đỏ ($K_3$) hoặc một hình tứ diện màu xanh lam ($K_4$). Không ai biết ai thắng nếu trò chơi trùng với trò chơi của Ramsey.

2. $R(3,5)$ bằng 14.

3. $R(4,4)$ bằng 18. Do đó, đối với bất kỳ 2 màu nào của đồ thị $K_{18}$, người ta nhất thiết sẽ thu được một tứ diện có một giá trị ($K_4$). (Đây là một trò chơi Ramsey chưa hoàn chỉnh, nhưng không dễ chơi do khó nhận biết các khối tứ diện.) Tính chất được biểu thị của 2 màu của đồ thị $K_{18}$ tương ứng với thực tế là trong bất kỳ đội 18 người nào cũng có bốn người quen theo cặp hoặc bốn người lạ theo cặp.

4. $R(3,6)$ bằng 18. Trong cùng một đội (gồm 18 người) có

có ba người quen đi theo cặp, có sáu người lạ đi theo cặp. Hai tập hợp này liên hệ như thế nào với hai tập hợp tứ diện trong ví dụ trước là một câu hỏi thú vị mà dường như chưa ai khám phá được.

5. $R(3,7)$ bằng 23.*)

Lưu ý rằng danh sách trước không chứa $R(5,5)$. Thực tế là cho đến nay vẫn chưa ai biết số đỉnh của một đồ thị hoàn chỉnh là bao nhiêu, với bất kỳ 2 màu nào trong đó sẽ xuất hiện đồ thị có một giá trị $K_5$. Stefan Barr thuộc Bộ phận Tầm xa của Công ty Điện thoại và Điện thoại Hoa Kỳ, một chuyên gia hàng đầu về lý thuyết đồ thị của Nga, tin rằng có thể sẽ không bao giờ tìm thấy số $R(5,5)$, đó là bước nhảy vọt về độ phức tạp. Tiếp theo bài toán là số $R(4,5)$, anh tin rằng, khó đến mức có thể không bao giờ giải được. Tuy nhiên, trong cả hai trường hợp, các ước tính đều đã biết: số $R(5,5)$ nằm trong khoảng từ 38 đến 67 và số $R(4,5)$ nằm trong khoảng từ 25 đến 29**).

Một số Ramsey cổ điển khác cũng được biết đến, nhưng chỉ có 3 màu. Đây là số $R(3,3,3)$ và nó bằng 17. Do đó, bất kỳ cách tô 3 màu nào của đồ thị $K_{17}$ nhất thiết sẽ tạo ra một tam giác có một giá trị. Trên thực tế, bạn sẽ nhận được một số hình tam giác có một cánh tay, nhưng số lượng chính xác của chúng vẫn chưa được xác định***.

Đẳng thức $R(3,3,3)=17$ lần đầu tiên được chứng minh vào năm 1955. Trong trò chơi của Ramsey, ba màu bút chì được sử dụng cho biểu đồ này. Người chơi lần lượt tô màu các đường của biểu đồ bằng bất kỳ màu nào họ muốn cho đến khi một người chơi thua, hoàn thành việc xây dựng hình tam giác một chân. Ai thắng nếu cả hai đều chơi hết mình? Không ai biết. Câu đố Ramsey tương ứng là:

*) Gần đây, với sự trợ giúp của máy tính, một số Ramsey cổ điển khác đã được tìm ra: $R(3,9)=36$.
**) Bây giờ các ước tính này có dạng: $42\leq R(5,5)\leq 55$ và $25\leq R(4,5)\leq 28$.
***) Gần đây người ta đã chứng minh rằng bạn sẽ nhận được ít nhất 4 hoặc 5 hình tam giác một cánh tay.

19

cấu trúc 3 màu của đồ thị tới hạn $K_{16}$, trong đó không có hình tam giác nhãn đơn. Trang bìa thứ tư hiển thị một trong hai lời giải khác biệt đáng kể.

Chúng ta có thể nói gì về $R$ (3, 3, 3) - số đỉnh của đồ thị đầy đủ tối thiểu sao cho bất kỳ 4 màu nào trong đó tạo ra một tam giác một nhãn? Con số này vẫn chưa được biết, mặc dù ước tính cao nhất - 64 - được tìm ra bởi Jon Folkman, một nhà tổ hợp tài giỏi qua đời năm 1964 ở tuổi 31. Ước tính thấp nhất tốt nhất, 51, đến từ một luận án của Fan Chung, một phụ nữ trẻ Trung Quốc tại Bell Labs.

Có rất nhiều sự khái quát hóa hấp dẫn về lý thuyết cổ điển của Ramsey. Chúng tôi đã xem xét điều rõ ràng nhất; việc tìm cái được gọi là số Ramsey tổng quát cho cách tô màu $r$ của các đồ thị hoàn chỉnh sao cho các đồ thị con đã cho khác biệt với x đầy đủ nhất thiết phải xuất hiện. Những người tiên phong trong lãnh thổ này là Vaclav Chvatal và Harari; Trong 5 năm qua, Barr đã khai quật nó. Ví dụ: hãy xem xét bài toán tìm số đỉnh của đồ thị hoàn chỉnh tối thiểu trong đó xuất hiện một ngôi sao cùng tên với các đỉnh $n$. Đối với 2 màu, bài toán này lần đầu tiên được Harari giải. Năm 1973, Barr và Robert đã giải được một số màu tùy ý.

Một bài toán Ramsey tổng quát khác bao gồm việc tìm số Ramsey cho 2 cách tô màu của đồ thị hoàn chỉnh, tại đó xuất hiện một số hình tam giác nhãn đơn “bị hỏng” nhất định. (Các tam giác được gọi là rời rạc nếu chúng không có đỉnh chung.) Năm 1975, Barr, Erdős và Spencer đã chứng minh rằng nếu giao điểm của một tam giác là $d>2$ thì số Ramsey tương ứng là 5d. Đối với các chất tạo màu có nhiều hơn hai màu, bài toán vẫn chưa được giải.

Đối với bánh xe bài toán không được giải quyết trong trường hợp chung ngay cả đối với hai màu. số đỉnh của một bánh xe có bốn đỉnh, tức là đối với một khối tứ diện, như chúng ta đã thấy, là 18. Bánh xe

Hình 3.

có năm đỉnh (tức là “trục và bánh xe bốn nan”) có số Ramsey là 15. Đối với bánh xe có sáu đỉnh, bài toán không được giải, mặc dù trong trường hợp này, số Ramsey được biết là nằm trong khoảng từ 17 đến 20. Giá trị giả định của nó là 20.*) Nếu nó thực sự bằng 20 thì đồ thị hoàn chỉnh với các đỉnh thứ 17, 18 và 19 sẽ có 2 màu không có bánh xe lục giác (với “nan hoa” thứ năm). Sẽ rất thú vị nếu có được màu như vậy ít nhất với giá $K_{17}$.

Năm 1968, Ronald Graham, một trong những nhà tổ hợp hàng đầu của Mỹ**, đã tìm ra một lời giải tài tình của bài toán kiểu Ramey do Erdős và Hajnal đặt ra. Đồ thị nhỏ nhất không chứa $K_6$ sao cho bất kỳ 2 màu nào trong đó tạo ra một tam giác một nhãn? Graham đã tìm thấy một lời giải duy nhất là biểu đồ được xây dựng lại được hiển thị trong hình 3. Người đọc có thể cố gắng chứng minh rằng biểu đồ này có thuộc tính mong muốn.

Điều gì xảy ra nếu ở bài toán cuối cùng, biểu đồ $K_6$ được thay thế bằng một biểu đồ hoàn chỉnh khác? Câu hỏi vô nghĩa đối với $K_3$ vì $K_3$ cũng là một hình tam giác. Trong trường hợp đồ thị $K_5$ bài toán không giải được. lời giải được biết đến nhiều nhất là đồ thị 18 đỉnh được xây dựng bởi Robert Irving trong

*) Foudry gần đây đã chứng minh con số này không quá 19.
**) Trong số này (trang 21), chúng tôi đăng bài phỏng vấn Ronald Graham. (Ghi chú của biên tập viên)

20

1973*). Trường hợp đồ thị $K_1$ thậm chí còn khác xa với lời giải. Folkman, trong một tác phẩm được xuất bản sau khi ông qua đời, đã chứng minh rằng đồ thị Ramsey như vậy tồn tại. Tuy nhiên, số đỉnh của đồ thị mà cách xây dựng cột của Folkman đưa ra là rất lớn đến mức không thể viết nó ra nếu không dùng đến các thủ thuật đặc biệt. Erdel

*) Các nhà toán học Volgar N. G. Khadzhivanov và N. D. Nenov đã xây dựng một ví dụ về đồ thị 15 đỉnh; họ cũng chứng minh được rằng đồ thị cần tìm không thể chứa ít hơn 12 đỉnh.

Vũ trụ như một động cơ nhiệt

(Để bắt đầu, xem trang 2)

phải viết ra

$$\varrho_* l_{\max}^2 = \text{const}'''.$$ (4)

Chúng ta đã nói rằng thể tích của một thế giới đóng là $V \approx l^3$. Theo thứ tự độ lớn, thể tích này khi giãn nở tối đa bằng $l_{\max}^3$ và tổng khối lượng của vật chất M trong Vũ trụ là

$$\varrho_* l_{\max}^3 = M.$$ (5)

Chia (5) cho (4), ta được:

$$l_{\max} = \frac{M}{\text{const}'''}$$.

Vì vậy, $l_{\max}$ tỷ lệ thuận với tổng khối lượng vật chất trong Vũ trụ M. Nhưng khối lượng M bao gồm tổng khối lượng của các hạt, năng lượng chuyển động của chúng và năng lượng của photon. Nhiệt năng luôn tăng (theo định luật nhiệt động thứ hai). Điều này có nghĩa là M cũng sẽ tăng, và do đó giá trị tỷ lệ $l_{\max}$, đặc trưng cho biên độ các xung của Vũ trụ. Vì vậy, không phải sự giảm xung diễn ra mà là sự tích tụ của chúng! Kết luận này đã đạt được

$$\text{Создание выводу американского физика P. Толмена, так меняется во времени радиусных Вселенной.}$$

vào năm 1934 bởi nhà vật lý người Mỹ P. Tolman. Năng lượng để bơm đến từ đâu? Rõ ràng sự tích tụ xảy ra do năng lượng âm của trường hấp dẫn (do đó tổng năng lượng dương và âm không thay đổi, định luật bảo toàn năng lượng được thực hiện).

Có khả năng Vũ trụ thực sự của chúng ta mô tả mô hình được xem xét không? Điều này khó có thể xảy ra. Thực tế là mặc dù không còn tồn tại hình ảnh cũ về “cái chết nhiệt”, nhưng trong các xung, nhiệt và entropy tích tụ ngày càng nhiều. Nếu có vô số xung thì entropy sẽ tích lũy vô hạn. Nhưng điều này không có ở đó. Điều này có nghĩa là không có vô số xung. Nhưng sau đó, đặc điểm hấp dẫn chính của mô hình biến mất - sự tồn tại vô tận của nó trong quá khứ. Và chúng ta lại quay trở lại vấn đề ban đầu. Người đọc có thể tìm hiểu cách giải quyết vấn đề này của khoa học hiện đại từ cuốn sách đã được đề cập “Vũ trụ bùng nổ như thế nào?”

Sau khi xua tan một huyền thoại - huyền thoại về “cái chết nhiệt của Vũ trụ” - khoa học đã đi đến một vấn đề mới, không kém phần bí ẩn - vấn đề về sự khởi đầu của sự giãn nở của Vũ trụ. Chính lời giải vấn đề này hiện đang thu hút sự chú ý của các nhà vũ trụ học chuyên nghiệp. Đây là con đường tri thức vĩnh cửu, một cuộc phiêu lưu vào những bí mật của tự nhiên, khi một điều gì đó đã học được sẽ làm nảy sinh những câu hỏi thậm chí còn sâu sắc hơn.

21

PHỎNG VẤN VỚI GIÁO SƯ RONALD GRAHAM

— Giáo sư Graham, lần đầu tiên ông quan tâm đến toán học là khi nào và như thế nào? Điều gì ảnh hưởng đến sự lựa chọn của bạn: gia đình, giáo viên, sách, hiện đại?

— Lần đầu tiên tôi cảm thấy rất yêu thích toán học ở trường tiểu học, vào lớp ba hoặc lớp bốn. Tôi đặc biệt nhớ làm thế nào, khi đã làm quen với thuật toán trích căn bậc hai - bạn biết thuật toán giao thoa cũ đó - tôi bắt đầu quan tâm đến việc liệu có thể làm điều tương tự đối với căn bậc ba và lũy thừa cao hơn hay không. Và tôi đã tìm ra cách tương tự lời giải. Tôi được hỗ trợ bởi một giáo viên tốt bụng với sở thích của tôi.

Sau này, khi tôi học cấp hai, có hai giáo viên khác đã giúp đỡ tôi. Thấy tôi có thể giải được bất kỳ bài toán nào trong đại số, có lần giáo viên nói với tôi: “Đây là bài toán mà em không thể giải được.”
Trong bài toán, tôi đã quyết định tốc độ tăng trưởng của quần thể chuột tùy thuộc vào kích thước của chúng, tức là tôi sẽ phải giải một phương trình vi phân. Chà, hóa ra giáo viên đã đúng - tôi không thể giải được bài toán. Sau đó anh ấy đưa cho tôi một cuốn sách giáo khoa phân tích và nói: “Nếu bạn muốn biết lời giải, hãy đọc cuốn sách này.” Tôi đã làm điều đó. Sau đó toán học đã thu hút tôi.

Trước đó, tôi bị mê hoặc bởi các vì sao và dự định trở thành nhà thiên văn học. Mãi sau này tôi mới biết rằng ngắm sao không phải là toàn bộ lĩnh vực thiên văn học. Nhưng khoa học này vẫn khiến tôi quan tâm. Ngoài bằng tốt nghiệp toán học, tôi còn có một bằng khác - vật lý.

Họ chẳng thể làm gì nhiều để giúp tôi ở nhà. Sự thật là trong gia đình chúng tôi, tôi là người đầu tiên tốt nghiệp đại học.

— Làm thế nào bạn trở thành một nhà toán học nghiên cứu?

“Theo những gì tôi nhớ, ở trường trung học và trong năm cuối đại học, tôi không đặt ra mục tiêu như vậy cho bản thân - tôi chỉ thích làm toán.” Sau đó, vào năm 1950, tôi bắt đầu được đào tạo theo một chương trình đặc biệt cho phép tôi vào đại học ngay cả trước khi tốt nghiệp trung học. Để tham gia chương trình này, bạn phải vượt qua một số bài kiểm tra nhất định. Về môn toán, tôi giỏi nhất nước Mỹ. Năm 15 tuổi, tôi vào Đại học Chicago, nơi giáo sư nổi tiếng R. M. Hutchins đã giới thiệu

23

nhà toán học nổi tiếng người Hungary P. Erdes, người đặt lời giải bài toán lên trên mọi thứ khác và đã phát triển tương đối ít lý thuyết có hệ thống. Tôi sẽ nói điều này: đầu tiên bạn thường giải quyết một bài toán cụ thể, sau đó bạn nhận thấy một số loại khuôn mẫu. Nhưng ngay khi một kỹ thuật xuất hiện, áp dụng cho lời giải tất cả bài toán của một loại nhất định, nó có thể được phát triển và biến thành một lý thuyết.

Lĩnh vực toán học mà tôi làm việc là tổ hợp. Trong một thời gian dài nó được coi là một cấu trúc liên kết thực vật yên tĩnh. Khoảng mười hai năm trước, nhà toán học người Pháp J. Dieudonné đã gọi tổ hợp là “toán học cho bữa sáng”. Tôi nghĩ ý của ông ấy là đây chỉ là ngưỡng của giai đoạn phát triển chính của nó. Còn có một thái cực khác: đôi khi, khi nói về tổ hợp, người ta gọi nó là “lý thuyết tổ hợp”. Về mặt lý thuyết, nó vẫn chưa thể so sánh được với cấu trúc liên kết đại số hoặc hình học vi phân, mặc dù nhiều kết quả quan trọng của chúng có tính chất tổ hợp.

bài toán cụ thể có thể được coi là các giai đoạn trong quá trình tạo ra một phương pháp luận hoặc lý thuyết: nếu phương pháp đó phù hợp với lời giải của một bài toán cụ thể nhất định, thì nghiên cứu đang đi đúng hướng. Ở đây một câu hỏi sâu sắc hơn được đặt ra: toán học được tạo ra một cách nhân tạo hay về cơ bản nó là vĩnh cửu? Hầu hết các nhà toán học mà tôi biết đều tin rằng toán học theo một nghĩa nào đó có tác động đáng kể đến con người. Nhưng ở đây chúng ta có thể hỏi: vậy thì phải làm gì với âm nhạc, với Beethoven?

Anh ấy đã mở bản sonata piano dành riêng cho Waldstein*) hay tạo ra nó? Đáp số có lẽ có thể được trình bày như sau: các nguyên tắc hình thành nên nền tảng của bản sonata đã tồn tại, nhưng việc áp dụng trực tiếp chúng, bản thân các nốt nhạc - mọi thứ đã được nhà soạn nhạc tính toán sẵn. Điều tương tự cũng áp dụng cho toán học: bạn có thể

*) Sonata số 21 C.maxor “Aurora”. (Chú ý dịch)

24

nhưng đưa ra một bằng chứng cụ thể chứ không phải các nguyên tắc cơ bản của nó. Lý thuyết số, định lý về sự phân rã thành thừa số nguyên tố của các trạng thái không đổi và ở một hành tinh khác. Trong các lĩnh vực khác, chẳng hạn như cơ học lượng tử, các vật thể quan sát được có thể thay đổi hoặc tạo ra các vật thể quan sát được, mặc dù điều này có vẻ hơi trêu ngươi.

Quay lại câu hỏi của bạn, tôi muốn nói thêm rằng việc giải quyết bài toán cụ thể luôn thú vị, nhưng nó vẫn không mang lại sự hài lòng hoàn toàn. Chúng ta cần phải đi xa hơn: việc khám phá ra một phương pháp quan trọng hơn nhiều so với việc đạt được một kết quả riêng biệt.

— Một trong những độc giả của chúng tôi đã gửi cho chúng tôi bài toán sau đây liên quan đến phỏng đoán Erdsch: $n$ cấp số cộng vô hạn bao gồm $2^n$ số tự nhiên đầu tiên; chứng minh rằng chúng bao trùm toàn bộ chuỗi tự nhiên. Bạn có thể nói gì về điều này bài toán?

— Tuyên bố này, hoặc biến thể của nó với việc thay thế $2^{2n}$ bằng $2n!$, tương đối dễ chứng minh bằng quy nạp. Nhưng thực tế là chính giả thuyết Erdsch (trong đó $2^n$ xuất hiện thay vì $2^{2n}$ - và ước tính này đã chính xác!) đã được chứng minh bởi Crittenden và Van den Eijden (1969). Bằng chứng là khó khăn; nó không thể được thảo luận ngắn gọn.

Với lời giải tương tự như bài toán, giai đoạn đầu tiên rất quan trọng - để đảm bảo giả thuyết có hợp lệ hay không: bạn đang cố gắng xây dựng các biện pháp đối phó hoặc chứng minh một số trường hợp đặc biệt, phát biểu yếu hơn hoặc hậu quả của giả thuyết; Điều này sẽ xảy ra cho đến khi cuối cùng bạn có được niềm tin vào tính xác thực của điều bạn đang chứng minh.

— Các nhiệm vụ về cấp số cộng gắn liền với tên tuổi của Van der Waerden. Có bất kỳ vấn đề tốt về chủ đề này?

— Đây là một bài toán thú vị liên quan đến định lý Van der Waerden: Chúng ta hãy biểu thị, trong số đó, bằng $W(k)$ số tự nhiên nhỏ nhất sao cho bất kỳ phân chia các số từ 1 đến $W(k)$ thành hai lớp, mặc dù một trong số chúng có cấp số cộng $k$ số học. (Van der Waerden đã chứng minh rằng $W(k)$ tồn tại với mọi $k$.) Dễ dàng thấy rằng $W(2)=3$, $W(3)=9$; Người ta cũng biết rằng $W(4)=35$, $W(5)=178$, nhưng $W(6)$ vẫn chưa được tìm thấy ngay cả khi có sự trợ giúp của máy tính. Tôi đề xuất giả thuyết rằng $W(k)$ phát triển không nhanh hơn “tháp” của $k$ hai $2^{2n}$. Nhưng có lý do để nghi ngờ ngay cả ước tính này: có một số tổ hợp tương tự bài toán được liên kết với tên Ramsey, nơi các hàm được tìm thấy thậm chí còn phát triển nhanh hơn. Bạn biết đấy, có Sách kỷ lục Guinness được biết đến rộng rãi ở phương Tây. Vì vậy, có “số lớn nhất thực sự được sử dụng trong chứng minh toán học”. Nó được tôi phát minh ra liên quan đến một vấn đề trong lý thuyết của Ramsey.

— Một bài toán thuộc loại “Ramsevian” này, cũng được Erdsch nghiên cứu, đã được thảo luận gần đây trong «Kvant»: từ số nhỏ nhất của $S(k)$ điểm trong mặt phẳng mà chúng ta có thể cố ý chọn $k$ điểm nằm ở các đỉnh của một $k$-gon lồi? Có một phỏng đoán Sekersch rằng $S(k)=2^{k-2}+1$. Có vẻ như hy vọng chứng minh nó trong trường hợp tổng quát vẫn chưa tăng lên?

• Đúng vậy, việc tìm ra giá trị $S(k)$ hoặc thậm chí đưa ra ước tính chính xác về nó rõ ràng là rất khó bài toán. Bài toán có ​​thể được biểu diễn: chứng minh rằng với một số lượng lớn các điểm $N$ trong số tất cả các $k$-giác có đỉnh tại các điểm $N$ này thì phải có ít nhất $C_k$ lồi, trong đó $C_k>0$ chỉ phụ thuộc vào $k$ và cố gắng ước tính $C_k$. Và đây là một biến thể khác của bài toán này: tìm từ số lượng $n=f(k)$ điểm mà bạn luôn có thể chọn một lồi “trống” $k$-gon (tức là một điểm trong đó không còn bất kỳ điểm $n$ nào bên trong nữa). Hóa ra $f(k)$ như vậy tồn tại đối với $k=3$, 4 và 5, nhưng đối với $k\geq 7$ thì đơn giản là nó không tồn tại. Vì $k=6$ - anh ấy không biết gì cả.

Nói chung, bài toán Erdsham này gọi là “vấn đề với một cục u hạnh phúc”: thực tế là anh ấy và Sekersh đã say mê Esther Klein của anh ấy, và mọi chuyện kết thúc bằng việc… người đó đã trở thành vợ của Sekersh.

— Ông có thể nói đôi điều về nguồn gốc của lý thuyết Ramsey, cho ví dụ về lý thuyết Ramsey, cho một ví dụ về lý thuyết Ramsey như phát biểu:

— Với tư cách là một truyện tranh nhưng là ví dụ điển hình cho lý thuyết của Ramsey, tôi sẽ đưa ra nhận định sau:

25

trong 6 người bất kỳ luôn có 3 người quen theo cặp hoặc 3 người lạ theo cặp.*) Định lý như vậy đã nảy sinh trước Ramsey. Ví dụ, có một định lý nổi tiếng như vậy của I. Schur, bằng chứng của nó có lẽ sẽ bị thu hút bởi người đọc chuẩn bị kỹ càng nhất «Kvant»; đối với bất kỳ cách tô màu nào của các số trong chuỗi tự nhiên thành hai xu, tồn tại một phương trình đơn sắc lời giải (x, y, z) Diffantian x+y=z (tức là, lời giải, bao gồm các số x, y, z dài một centimet). Khi nghiên cứu lịch sử kỹ lưỡng hơn, tôi đi đến kết luận rằng định lý kiểu Ramey lần đầu tiên xuất hiện trong các tác phẩm của D. Hilbert vào năm 1892.

— Nếu chúng ta nói về thời tiền sử của lý thuyết Ramsey, bạn có nghĩ rằng chúng ta không nên dẫn dắt từ kết quả của Schur mà từ “nguyên nhân của những chiếc hộp” của Dirichlet không?

• Thôi, chuyện này xa quá rồi, đây là thời của Adam và Eva!

— Có bài toán bất ngờ trở nên nổi tiếng. Ví dụ: tất nhiên, bạn đã nghe nói về điều này: bắt đầu với một số tự nhiên x₀, hãy đặt x₀+1=x₀/2 nếu x₀ là số chẵn và x₀+1=(3x₀+1)/2 nếu x₀ là số lẻ; Có phải luôn có số 1 trong chuỗi này không (sau đó nó đi vào vòng lặp)? Gần đây, các học sinh đã mang đến cho chúng tôi một tờ thí nghiệm máy móc khổng lồ cho thấy hành vi của trình tự này khó dự đoán đến mức nào. Mọi người có thích bài toán thú vị với bạn không?

• Về bài toán như vậy - được xây dựng đơn giản, nhưng đôi khi rất phức tạp - thật khó để nói trước liệu chúng có ý tưởng toán học nào trong đó hay không, chúng có phức tạp hay không, liệu có đáng để chi nhiều số hơn cho chúng hay không. Nhưng trong số bài toán về “tương tác” có những điều thực sự đáng kinh ngạc. Ví dụ: bạn biết các chuỗi được xác định bằng các công thức đơn giản như x₀+1=x₀(a−x₀) thường hoạt động như thế nào. Hãy sử dụng công thức phức tạp hơn này: x₀+2=(1+x₀+1)/x₀. Hóa ra (nếu nó không chứa 0 hoặc -1), nó luôn có chu kỳ là 5. Và x₀+3=(1+x₀+1)+x₀²)/x₀ - với chu kỳ là 8. Có ví dụ tương tự nào khác không? (Dường như đối với các biểu thức tuyến tính bằng số

*) Xem bài viết của M. Gardner trong số này. (Ghi chú của biên tập viên)

phần thân và mẫu số không còn ở đó nữa, nhưng chúng có thể được xây dựng từ các đa thức ở bậc cao hơn.)

Một ví dụ khác: hãy đặt

xₙ+1=[√2xₙ(xₙ+1)], x₁=1,

trong đó […] là “toàn bộ phần”; thì các số hạng đầu tiên sẽ là 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13. Rõ ràng, xₙ tăng xấp xỉ bằng √2n, do đó xₙ+2 có kích thước xấp xỉ gấp đôi xₙ. Hóa ra dₙ=x₂n+1−2x₂n+1 sẽ là 0 hoặc 1, và nếu chúng ta viết chúng theo thứ tự, chúng ta sẽ nhận được 1,011010100 … - chính xác là ký hiệu kép √2! Ví dụ, với √3, tôi không còn biết điều gì như thế này nữa.

Ví dụ cuối cùng: đặt ψ₁=2, ψₙ+1=ψₙ−1/ψₙ. Liệu ψₙ có bị giới hạn không? Đáp số gần như chắc chắn là dương, nhưng không ai biết cách chứng minh điều đó.

— Bạn có nghĩ rằng khoa học tính toán, khoa học thông tin sẽ hấp thụ được toán học không?

• Đây là một câu hỏi khá khó. Hầu hết các nhà khoa học tài năng nhất ở Hoa Kỳ đều sử dụng máy tính ngay từ khi mới bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình. Nếu họ quan tâm đến đồ thị hoặc số, thì rất nhiều thí nghiệm có thể được thực hiện trên máy tính. Khi chơi trò chơi trên máy tính, học sinh ở Hoa Kỳ bắt đầu sử dụng máy tính ở độ tuổi 6-7 tuổi. Sau đó, phạm vi nghiên cứu toán học có thể được mở rộng bằng cách sử dụng cùng một máy tính.

Tình hình trên thị trường lao động là nhu cầu về các chuyên gia về phương pháp tính toán là rất lớn. Vì vậy, nhiều bạn trẻ tài năng coi máy tính là nghề nghiệp tương lai của mình.

Cả các nhà toán học trẻ và đã thành danh đều đi đến kết luận rằng thí nghiệm tính toán là nguồn gốc của bài toán quan trọng và thú vị. Ví dụ, tại Cuộc thi Quốc tế Berkeley, kết quả của ba trong số mười sáu bài báo toàn thể đều dựa trên việc sử dụng máy tính. Công việc của các nhà toán học có khối lượng lớn liên quan đến “máy siêu khối”. Chúng bao gồm khoảng 64.000 quy trình, được kết nối

27

Bài toán

M1096 — M1100, F1108 — F1112

M1096. Đường kính $d$ của hình tròn được chia thành $k$ phần bằng nhau và qua mỗi điểm phân chia, một dây cung được vẽ ra, phân phối lại đường kính. Chứng minh rằng tổng độ dài của tất cả các dây cung ít nhất là 0,5 $kd$ và nhỏ hơn 0,8 $kd$.

P. Kharitonov, A. Chazirov (học sinh lớp 10)

M1097. Tọa độ các đỉnh của một tam giác đều là số nguyên. Chứng minh rằng bình phương đáy là số chẵn.

B. V. Prozovolov

M1098. Trên đường tròn có $n$ điểm, các số 1, 2, …, $n$ đo thẳng hàng. Hai người chơi trò tiếp theo. Mọi người lần lượt vẽ dây nối hai điểm bằng các số của một phần tư. Bất kỳ hợp âm nào cũng không được có điểm chung (các đầu xa hơn) với những điểm được rút ra trước đó. Người thực hiện bước đi cuối cùng sẽ thắng. Đối với mỗi $n=4, 5, 6, ...$, hãy tìm hiểu xem người chơi nào có chiến lược chiến thắng: người bắt đầu hoặc đồng đội của anh ta.

V. G. Chevaov

M1099*. Có 6.783 phi hành gia trong đội chuẩn bị cho chuyến bay tới Sao Hỏa, và được biết rằng trong số bốn người bất kỳ trong số họ, ba người có thể được chọn để tạo thành một nhiệm vụ phức tạp cho mô-đun hạ cánh. Chứng minh rằng có thể chọn được 5 phi hành gia, ba người bất kỳ tạo thành một thí nghiệm phức tạp.

N. N. Silkin, M. V. Volkov

M1100*. Trên bờ một con sông thẳng có khúc gỗ (các đoạn không giao nhau; hình 1). Mỗi dấu ngắt tạo một góc nhỏ hơn 45° so với dấu ngắt tuyến tính. Chứng minh rằng với mọi cách sắp xếp nhịp đều chắc chắn sẽ có một nhịp có thể lăn xuống sông mà không cần chỉ định những nhịp khác. (Không được phép xoay khúc gỗ trong khi lăn.)

V. G. Iltsche

F1108. Để chứng minh rõ ràng tác động của bức xạ laser lên một chất, người ta chế tạo một mục tiêu có dạng một quả bóng bạc nhỏ cố định trên đỉnh hình nón súng lục nhẹ (hình 2). Một mặt của quả bóng được đánh bóng và mặt kia bị đen. Mục tiêu được đặt với đáy hình nón trên một mặt phẳng nằm ngang gồ ghề và bức xạ từ xung laser mạnh sẽ tập trung vào bề mặt của quả bóng mục tiêu.

Hãy ước tính năng lượng tối thiểu của xung ánh sáng mà tại đó mục tiêu sẽ bị đổ. Bức xạ sẽ hướng tới phía nào của quả bóng (phản xạ hoặc hấp thụ)?

Giả sử khối lượng của quả bóng là $m=3$ g và lớn hơn nhiều so với khối lượng của giá đỡ cuối cùng; chiều cao hình nón $h=6$ cm, đường kính đáy $d=3$ mm; hệ số phản xạ của bề mặt được đánh bóng $r=0,99$, hệ số hấp thụ của bề mặt bị đen $a=0,99$; thời lượng xung laser $\tau=10$ ns.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

28

F1109. Hai chai được lăn xuống một mặt phẳng nghiêng: một chai rỗng, một chai chứa đầy nước. Cái nào sẽ lăn nhanh hơn? Chai nào trong số các chai này sẽ đạt độ cao lớn nhất nếu chúng được phóng lên một mặt phẳng nghiêng với cùng tốc độ ban đầu? Giả sử không có sự trượt.

A. I. Buzdin

F1110. Tại sao khi vẫn còn kem ở nhiệt độ khoảng 0°C, hơi nước từ miệng bắt đầu chảy ra nhanh hơn?

A. Yu. Alekseev

F1111. Một bán cầu tích điện đồng đều được cắt thành hai phần như trong hình 3 (dọc theo đường aa′) và các phần này được tách ra trên một khoảng cách lớn. Tại điểm nào hướng của điện trường lớn hơn - tại điểm A′ hay tại điểm A″ (xem hình)?

S. F. Kim, A. I. Latynin

F1112. Trong mạch ở hình hình 4, khi công tắc K mở, tụ điện được tích điện đến một điện áp nhất định U₀. Chìa khóa được đóng lại và sau một thời gian dòng điện trong mạch dừng lại. Giá trị của U₀ phải là bao nhiêu để hướng của tụ điện được đặt bằng Uᵧ=1 V với cực tính của các bản thay đổi, nếu emf của mỗi pin trong mạch là δ=1,5 V? Điốt được coi là lý tưởng.

A. I. Kirkinsky

Problems

M1096 — M1100, P1108 — P1112

M1096. The diameter d of a circle is divided into k equal parts and a chord perpendicular to the diameter is drawn through each dividing point. Prove that the total length of all the chords is not less than 0.5kd and less than 0.8kd.

R. Kharitonov, A. Chagirov (10th form students)

M1097. The coordinates of the vertices of an isoceles triangle are integers. Prove that the square of the base is an even number.

V. V. Proizvolov

M1098. n points on the circle are numbered in order 1, 2, …, n. Two play the following game. Each player in turn draws a chord joining points of the same parity. Each chord has no common points and no common end points with any other. The player who makes the last move wins. For each n=4, 5, 6,… determine which player (the one making the first move or his opponent) has a winning strategy.

V. G. Chvanov

M1099*. A group of 6783 astronauts prepares for a flight to Mars. It is known that among any four of them three can be chosen, forming a compatible crew for the landing module. Prove that it is possible to chose 5 astronauts, any three of whom constitute a compatible crew.

N. N. Silkin, M. V. Volkov

M1100*. Logs (non intersecting segments) lie near the rectilinear shore of a river, each forming an angle of less than 45° with the shoreline. Prove that one of the logs may be rolled into the river.

30

đặt dấu hoa thị (*) tiếp theo vào dấu cộng hoặc dấu nhân; tuy nhiên, không có con số nào xuất hiện hai lần. Vào cuối phiên, giá trị của biểu thức kết quả sẽ được tính toán. Nếu là số chẵn thì số đầu tiên thắng; nếu là số lẻ thì số thứ hai thắng. Ai chiến thắng với thái độ đúng đắn?

**M1076. Đường phân giác của góc A của tam giác nhọn ABC cắt cạnh BC tại điểm L, đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm N (khác A); K, M là đáy các đường vuông góc hạ từ L xuống AB và AC. Chứng minh tứ giác AKNM bằng tam giác ABC.

M1077. Gọi $p_n(k)$ là số hoán vị của một tập hợp gồm $n (n \ge 1)$ phần tử có chính xác $k$ điểm cố định. Chứng minh rằng:

$$\begin{array}{l} a) \sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = \\ = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \dots \\ \dots + n \cdot p_n(n) = n! \\ 6) \sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!. \end{array}$$

trường hợp khác). Vì người chơi thứ hai chỉ còn lại một số chẵn ở nước đi cuối cùng, bất kể lựa chọn thao tác nào, kết quả cuối cùng sẽ là số chẵn.

S. A. Genkin

Diện tích của tam giác ABC là $(AB \cdot AC \cdot \sin \alpha)/2$, trong đó $\alpha = \angle BAC$ và diện tích của tứ giác AKNM là $AN \cdot KM/2$ (vì hiển nhiên các đường chéo AN và KM của nó vuông góc). Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng $AB \cdot AC \cdot \sin \alpha = AN \cdot KM$ là đủ.

Các tam giác ACL và ANB bằng nhau ($\angle CAL = \angle NAB$, vì AL là phân giác và $\angle ACL = \angle ANB$, vì các góc này phụ cùng cung AB của đường tròn ABC). Do đó, $AB/AN = AL/AC$, tức là $AB \cdot AC = AL \cdot AN$. Cần lưu ý rằng $KM = AL \cdot \sin \alpha$ (KM là dây cung của đường tròn có đường kính AL trên đó chứa góc nội tiếp KAM có độ lớn $\alpha$).

I. A. Kushinr

a) Trước tiên chúng ta hãy lưu ý rằng

$$\sum_{k=0}^{n} p_n(k) = n!,$$

vì phía bên trái chứa tổng số hoán vị có 0, 1, …, $n$ điểm cố định, tức là đơn giản là số lượng tất cả các hoán vị. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh điều đó với $1 \leq k \leq n$

$$kp_n(k) = np_{n-1}(k-1),$$

giả sử rằng $p_0(0) = 1$. Để làm điều này, chúng tôi tính toán theo hai cách số $N$ của các cặp $(f, i)$, trong đó $f$ là hoán vị tùy ý của các phần tử $n$ với $k$ điểm cố định và $i$ là bất kỳ điểm nào trong số này $(f(i)=i)$. Với một

31

Ghi chú. Hoán vị của một tập hợp hữu hạn $S$ là ánh xạ một-một $f$ của tập hợp $S$ lên chính nó; số lượng tất cả các hoán vị của một tập hợp các phần tử $n$ là $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Phần tử $a$ của tập hợp $S$ được gọi là điểm cố định của hoán vị $f$ nếu $f(a) = a$.

Mặt khác, mỗi hoán vị $p_n(k)$ này được bao gồm trong các cặp $k$, vì vậy $N = kp_n(k)$. Mặt khác, nếu $f(i) = i$ thì trên tập hợp các phần tử $n-1$ không phải $i$, hoán vị $f$ có $k-1$ điểm cố định, do đó, mỗi phần tử $n$ $i$ được bao gồm trong các cặp $p_{n-1}(k-1)$, tức là $N = np_{n-1}(k-1)$.

Tổng các đẳng thức (2) trên $k=1, \dots, n$ và xét đến (1) (với việc thay thế $n$ bằng $n-1$), chúng ta thu được

$$\sum_{k=0}^{n} kp_n(k) = n \sum_{k=1}^{n} p_{n-1}(k-1) = n \cdot (n-1)! = n!.$$

6. Hãy để chúng tôi chứng minh ngay một điểm tổng quát hơn

$$s(n, m) = \sum_{k=m}^{n} \frac{k!}{(k-m)!} p_n(k) = n!$$

cho tất cả $n \geq m$, $m=0, 1, 2, \dots$ (theo định nghĩa, $0!=1$). Với $m=0$ nó trùng với (1), với $m=1$ nó trùng với câu a) và với $m=2$ nó tương đương với 6), vì

$$\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = \sum_{k=0}^{n} k(k-1)p_n(k) - \sum_{k=0}^{n} kp_n(k) + \sum_{k=0}^{n} p_n(k) = s(n, 2) - s(n, 1) + s(n, 0).$$

Từ điểm (2), suy ra cho $1 \leq m \leq k \leq n$

$$\frac{k!}{(k-m)!} p_n(k) = k(k-1) \dots (k-m+1)p_n(k) = n(k-1) \dots (k-m+1)p_{n-1}(k-1) = n(n-1)(k-2) \dots (k-m+1)p_{n-2}(k-2) = \dots = n(n-1) \dots (n-m+1)p_{n-m}(k-m) = \frac{n!}{(n-m)!} p_{n-m}(k-m).$$

Chúng ta tính tổng các đẳng thức này trên $k=1, 2, \dots n$:

$$s(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} s(n-m, 0) = n!.$$

Bạn có thể tìm thấy một bằng chứng khác về (3) từ bài đăng tương ứng rõ ràng $p_n(k) = C_n^k p_{n-k}(0)$, trong đó $C_n^k = n!/(k!(n-k)!)$ là số phần tử $k$ của một tập hợp con của tập hợp các phần tử $n$ (số lượng kết hợp).

Độc giả L.M. Koganov (Moscow) của chúng tôi đã đưa ra một cách khái quát hóa khác về bài toán này, thuộc về nhà toán học người Mỹ J. Goldman: nếu $S(q, i)$ là số phân vùng của tập hợp $\{1, 2, \dots, q\}$ thành $i$ các tập hợp rời rạc không trống, thì

$$\sum_{k=0}^{n} k^q p_n(k) = n! \sum_{i=1}^{m} S(q, i),$$

ở đâu $m=\min(n, q)$. Chứng minh sự tương ứng này, do L. M. Koganov đề xuất, được viết bằng cách dẫn xuất công thức (2) và trùng khớp với việc đếm theo hai cách số cặp $(f, \varphi)$, trong đó $f$ là một hoán vị tùy ý của tập hợp các phần tử $n$ và $\varphi$ là ánh xạ tùy ý của tập hợp $\{1, 2, \dots, q\}$ trong tập hợp các điểm cố định của hoán vị $f$.

V. N. Dubrovsky

32

M1078. Hàm $f$ được xác định trên tập $N_0$ của tất cả các số nguyên không âm và nhận một giá trị trong tập hợp này. Chứng minh rằng đẳng thức $f(f(n))=n+1987$ không thể đúng với mọi $n \in N_0$.

Giả sử rằng phát biểu bài toán là sai và hàm $f$ thỏa mãn $f(f(n))=n+1987$ cho $n \in N_0$ tồn tại. Sau đó
$$f(n+1987)=f(f(f(n)))=f(n)+1987,$$
và do đó
$$f(n+1987k)=f(n)+1987k$$
()
với tất cả $n, k \in N_0$. Bây giờ hãy xem xét một số nguyên tùy ý $r$, $0 \leq r \leq 1986$ và chia số $f(r)$ cho 1987 với số dư:
$$f(r)=1987p+q, 0 \leq q \leq 1986.$$
Theo điều kiện $f(f(r))=r+1987$ và theo () $f(f(r))=f(q)+1987p$. Vì $r \leq 1986$ nên chỉ có hai trường hợp có thể xảy ra:

1. $p=0$, tức là $f(r)=q$ và $f(q)=r+1987$;
2. $p=1$, tức là $f(r)=q+1987$ và $f(q)=f(f(r))-1987=r$.
   Trong cả hai trường hợp, rõ ràng là $f(r) \neq f(q)$, có nghĩa là $r \neq q$. Như vậy, bộ $0, 1, ..., 1986$ có ​​thể được chia thành các cặp $(a, b)$ sao cho trong mỗi cặp có $f(a)=b, f(b)=a+1987$. Nhưng tập hợp này có số phần tử lẻ. Kết quả mâu thuẫn cho thấy hàm có các thuộc tính cần thiết không tồn tại.

V. V. Vavilov

M1079. Cho $n$ là một số tự nhiên, $n \geq 3$. Có thể sắp xếp $n$ điểm trên mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai số vô tỷ biểu thị bất kỳ và diện tích của một tam giác có ba đỉnh bất kỳ là một số hữu tỷ (khác 0).

Graph

M1080. Cho $q$ là một số tự nhiên, $q \geq 2$. Chứng minh rằng nếu $k^2+k+1$

Đáp số: có thể; các điểm được tìm kiếm, ví dụ: các điểm $P_i(i; i^2)$, $i=1, 2, ..., n$, tức là các điểm trên parabol $y=x^2$ có hoành độ tự nhiên.

Trong thực tế,
$$P_iP_j=\sqrt{(j-i)^2+(j^2-i^2)^2}=|j-i|\sqrt{1+(j+i)^2}.$$
Không có số nào có dạng $1+m^2$ (chúng ta có $m=j+i$) không thể là bình phương của số hữu tỉ $r$, vì trong trường hợp này $r$ sẽ là tự nhiên và đẳng thức $r^2=1+m^2$ sẽ dẫn đến một bất đẳng thức mâu thuẫn:
$$1=r^2-m^2=(r-m)(r+m) \geq r+m>1.$$
Vì vậy, mọi khoảng cách $P_iP_j$ đều vô tỉ.

Đồng thời, diện tích của tam giác $P_iP_jP_k$ tại $i<j<k$, như có thể thấy từ hình, bằng
$$\frac{1}{2}((k-i)(k^2-i^2)-(k-j)(k^2-i^2)-(k-i)(j^2-i^2)),$$
tức là hợp lý.

Nói chung, diện tích của bất kỳ tam giác nào có các đỉnh có tọa độ nguyên là hữu tỉ. Điều này cho thấy các điều kiện bài toán của một mạng số nguyên, chỉ quan tâm rằng khoảng cách giữa chúng là vô tỷ.

V. V. Vavilov

Chứng minh rằng nếu trong các số từ 0 đến $q-2$ có một $k$ sao cho $f(k)=k^2+k+q$ là hợp số thì trong khoảng từ 0 đến $\sqrt{q/3}$ cũng có số đó.

33

+q là số nguyên tố đối với mọi số nguyên k, trong đó 0 ≤ k ≤ √q/3 thì k² + k + q là số nguyên tố đối với mọi số nguyên k, trong đó 0 ≤ k ≤ q - 2.

Đặt y là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho f(y) là hợp số. Gọi p là ước số nguyên tố nhỏ nhất của f(y), sau đó f(y) ≥ p². Dưới đây chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu y ≤ q - 2 thì p ≥ 2y + 1, do đó

$$y^2 + y + q \geq (2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1,$$

và do đó y² < q/3, tức là y < √q/3.

Vì vậy, cần phải chứng minh p ≥ 2y + 1 với y ≤ q - 2.

Giả sử điều ngược lại: p 2y và xét sự khác biệt

$$f(y) - f(x) = (y - x)(y + x + 1).$$

Khi x thay đổi từ 0 thành y - 1 thì biểu thức y - x lấy các giá trị y, y - 1, …, 1 và y + x + 1 lấy các giá trị y + 1, y + 2, …, 2y. Do đó, với một số x, 0 ≤ x ≤ y - 1 thì số f(y) - f(x) chia hết cho p. Nhưng do chọn y và p, f(y) chia hết cho p và f(x) là số nguyên tố nên f(x) phải bằng p. Đồng thời, y - x < y + x + 1 ≤ q + x - 1 < q + x + x² = f(x),

p = f(x) không thể chia (y - x)(y + x + 1). Sự mâu thuẫn.

Lưu ý rằng kết quả bài toán áp dụng cho giá trị của tam thức Euler f(x) = x² + x + 41: dễ dàng kiểm tra rằng f(x) là số nguyên tố đối với x = 0, 1, 2, 3 và từ đó (vì √41/3 < 4) suy ra rằng f(x) là số nguyên tố đối với tất cả 40 số nguyên x từ 0 đến 39.

V. F. Lev

F1088. Chiếc lá không trọng lượng được cố định trong một hệ thống treo không trọng lượng với tốc độ f = 10 vòng/phút để nó có thể dao động tự do so với bậc trên (hình 1). Một con khỉ có khối lượng m = 30 kg bắt đầu leo ​​xuống chiếc lá. Khoảng cách l từ hệ thống treo sẽ là bao nhiêu khi vị trí thẳng đứng của lá không còn ổn định?

Cho lá lệch khỏi phương thẳng đứng một góc nhỏ a. Lúc này, chuyển động của con khỉ sẽ được coi là chuyển động theo đường tròn có bán kính ~lα (hình 2). Gia tốc hướng tâm của khỉ -

$$a = (2\pi f)^2 l\alpha.$$

Gia tốc này có thể được truyền cho cô ấy bởi phản lực T từ phía của chiếc lá - đây là lực duy nhất có hình chiếu F trên mặt phẳng nằm ngang. Nếu F > ma thì con khỉ (với chiếc lá) sẽ trở về phương thẳng đứng - vị trí thẳng đứng của chiếc lá sẽ ổn định.

Từ 丝 (hình 2) đã xét, rõ ràng F = mga. Từ điều kiện

$$mg\alpha > m(2\pi f)^2 l\alpha$$

chúng tôi tìm thấy:

$$l < g/(2\pi f)^2 = 10 \text{ m}.$$

Khi l lớn hơn 10 m thì trạng thái cân bằng không ổn định.

A. V. Andrianov

34

F1089. Khi bay từ trạm Mir đến trạm Salyut-7 có cùng quỹ đạo, các phi hành gia của chúng ta đã giảm tốc độ tàu, di chuyển xuống quỹ đạo thấp hơn và tại thời điểm t=30 giờ trước, Salyut-7 đang bay trước Mir ở khoảng cách L=3000 km. Coi các quỹ đạo là phóng đại, hãy xác định xem quỹ đạo dự kiến ​​cách quỹ đạo chính bao nhiêu km. Độ cao của cả hai quỹ đạo đều nhỏ hơn nhiều so với bán kính Trái đất R₃=6400 km.

Chúng ta hãy viết ra sự khác biệt về vận tốc góc của tàu vũ trụ trên quỹ đạo trung gian và nhà ga:

$$\omega_1 R_1 t - \omega_2 R_2 t = (\omega_1 R_1 - \omega_2 R_2) t = R_3 t (\omega_1 - \omega_2) \approx L \Rightarrow (\omega_1 - \omega_2) = L/R_3 t$$

(chúng tôi đã dạy rằng độ cao của quỹ đạo được so sánh với bán kính của trái đất, tức là $R_1 \approx R_2 \approx R_3$). Đồng thời, xét đến $\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} = \sqrt{\frac{g R_3^2}{R^3}}$ (M là khối lượng của trái đất), ta có thể viết:

$$\omega_1 - \omega_2 = \sqrt{g R_3^2} \left( \sqrt{\frac{1}{R_1^3}} - \sqrt{\frac{1}{R_2^3}} \right) =$$

$$= \sqrt{g R_3^2} \left( \sqrt{\frac{1}{(R_2 - \Delta R)^3}} - \sqrt{\frac{1}{R_2^3}} \right) \approx$$

$$\approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \left( \sqrt{\frac{1}{(1 - \Delta R/R_3)^3}} - 1 \right) \approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \frac{1/(1 - \Delta R/R_3)^3 - 1}{\sqrt{1/(1 - \Delta R/R_3)^3} + 1} \approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \frac{3 \Delta R/R_3}{2}$$

(2)

Đánh đồng biểu thức (1) và (2), ta tìm được $\Delta R$:

$$\Delta R = \frac{2 L}{3 t} \sqrt{\frac{R_3}{g}} \approx 15 \text{ км.}$$

M. V. Semenov

F1090. Nhìn bầu trời trong đêm băng giá trong trẻo. Những ngôi sao nào lấp lánh hơn: những ngôi sao nằm ở vị trí cao phía trên đường chân trời hay ở vị trí thấp, và tại sao?

Sự lấp lánh của các ngôi sao là do các luồng không khí hỗn loạn trong bầu khí quyển của trái đất phát sinh do bầu khí quyển nguội đi không đồng đều. Về cơ bản, đây là những dòng điện đi lên phát sinh do sự chênh lệch nhiệt độ của bề mặt trái đất và các lớp không khí lân cận. Những dòng chảy này dẫn đến thực tế là mật độ của khí quyển ở một nơi nhất định liên tục thay đổi. Theo đó, chiết suất thay đổi, và do đó các tia sáng phát ra từ các ngôi sao bị khúc xạ theo hướng này hay hướng khác - các ngôi sao lấp lánh. Hiệu ứng này đặc biệt đáng chú ý ở những vùng đất gần; do đó, những ngôi sao “thấp”, những tia sáng của chúng, trên đường tới ngôi sao được quan sát, truyền đi một khoảng cách xa hơn đến trái đất gần đó so với tia sáng của những ngôi sao “cao”, nhấp nháy rõ ràng hơn.

A. S. Butov

F1091. Một quả bóng có khối lượng m và điện tích q treo trên một sợi dây không dãn có chiều dài l nằm ở tâm của vòng, dọc theo đó điện tích Q (hình 1) được phân bố đều. Bán kính vòng R; các điện tích q và Q có giá trị đơn. Định nghĩa

Để quả bóng di chuyển một khoảng nhỏ $\Delta x$ ($\Delta x \ll R$) tính từ tâm vòng (độ dịch chuyển theo chiều dọc tỷ lệ với $\Delta x^2$ và chúng ta sẽ bỏ qua nó, giả sử rằng chuyển động tỷ lệ thuận trong mặt phẳng của vòng). Chúng ta hãy xem lực $F_3$ nào tác dụng lên điện tích q của quả bóng từ phía của điện tích Q. Từ các thông điệp đối xứng (xem hình 2), rõ ràng là hướng của trường do điện tích Q tạo ra tại điểm A hướng dọc theo bán kính của vòng. Lực $F_3$ cũng có hướng.

35

Để tìm $F_3$, hãy tính lực $f_3$, hành động theo lời buộc tội $q$ từ phía của phần tử nhỏ của vòng, nằm ở khoảng cách $r$ từ phí $q$ (cm. hình 2). Điện tích của nguyên tố này là

$$\Delta Q = \frac{Q}{2\pi R} R \cdot \Delta \gamma = \frac{Q}{2\pi} \Delta \gamma \approx \frac{Q}{2\pi} \Delta \varphi$$

(φ≈γ, vì Δx≈R). Chúng ta hãy biểu thị $r$ theo $R$ và Δx (sử dụng định lý cosine):

$$r^2 = R + (\Delta x)^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \gamma \approx R^2 + (\Delta x)^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi \approx R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi.$$

Như vậy,

$$f_3 = -k \frac{\Delta Q \cdot q}{r^2} \approx -k \frac{Qq}{2\pi} \frac{1}{R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi} \Delta \varphi.$$

Tổng lực $F_3$ bằng $\int_0^{2\pi} f_3 \cos \varphi d\varphi$, tức là

$$F_3 = -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \int_0^{2\pi} \frac{\cos \varphi}{R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi} d\varphi \approx -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \left(1 - \frac{2\Delta x}{R} \cos \varphi\right)^{-1} \cos \varphi d\varphi \approx -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \left(1 + \frac{2\Delta x}{R} \cos \varphi\right) \cos \varphi d\varphi = -k \frac{2Qq \cdot \Delta x}{2\pi R^3} \cos^2 \varphi d\varphi = -k \frac{Qq \cdot \Delta x \cdot \pi}{2\pi R^3} = -k \frac{Qq}{R^3} \Delta x.$$

Bây giờ hãy viết phương trình chuyển động của quả bóng:

$$m(\Delta x)'' = -\left(m g \sin \alpha + k \frac{Qq \cdot \Delta x}{R^3}\right),$$

trong đó α là góc lệch của đáy con lắc so với phương thẳng đứng. Vì chúng ta quan tâm đến các dao động nhỏ, sin α≈Δx/l, và

$$m(\Delta x)'' = -\Delta x \left(m \frac{g}{l} + k \frac{Qq}{R^3}\right).$$

Đây là phương trình dao động điều hòa có tần số

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} + k \frac{Qq}{R^3 m}.$$

G. V. Gritsorye

36

F1092. Tìm vị trí ảnh của nguồn chính xác nằm cách mặt trước một tấm kính phẳng dày một khoảng L, ở giữa mặt sau (xem hình). Hình ảnh được xem theo chiều ngang với bề mặt của tấm. Độ dày tấm d, chiết suất n.

Tại hình hình ảnh được tạo trong tấm. Như có thể thấy từ hình, hình ảnh nằm phía sau tấm và cách mặt trước một khoảng $x = \frac{l}{\varphi} - L = L + \frac{2d}{n}$.

V. K. Peterson

Các bài tập của trường đã chọn

lớp tám

1. Giải hệ phương trình
   $x_1 + x_1x_2 = 1,$
   $x_2 + x_2x_3 = 1,$
   $x_{99} + x_{99}x_{100} = 1,$
   $x_{100} + x_{100}x_1 = 1$.

2. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên có số tận cùng là 1987.

3. Cho 3 số nguyên dương. Ước chung nhất của chúng là 1, tổng của hai ước bất kỳ với số thứ ba. Tìm những con số này.

4. Cho trước ba số dương $x, y, z$. Trong điều kiện nào tồn tại một tam giác có độ dài $x, y, z$?

5. Một cuốn sách mô tả một trường hợp như vậy. Một quả bóng cao su đập vào cửa một căn phòng, phản chiếu vào bức tường, sau đó phản chiếu vào một bức tường khác và không va vào một vật nào, nó đập vào cánh cửa đúng nơi nó bay vào. Điều này có thể xảy ra không?

lớp chín
6. Giải hệ phương trình
$\sin x + \sin y = \sqrt{2} \sin a,$
$\cos x + \cos y = \sqrt{2} \cos a$.

7. Phương trình bậc hai $x^2 + px - q = 0$ có lời giải. Các số $p$ và $q$ được thay đổi, mỗi số không quá 1% giá trị tuyệt đối của nó. Được biết, một phương trình tốt hơn sẽ là:

có lời giải. Có thể đảm bảo rằng giá trị lớn hơn của lời giải của phương trình mới khác với giá trị lớn hơn của lời giải của phương trình cũ không quá 10% giá trị tuyệt đối của phương trình sau không?

8. Bán kính lớn nhất có thể có của một hình tròn có thể chứa bốn hình tròn không chồng lên nhau có bán kính 1 là bao nhiêu?

9. Cho bốn đoạn có độ dài $a, b, c, d$. Trong điều kiện nào người ta có thể xây dựng từ chúng một đường gãy khép kín tự cắt nhau, trong đó ba đỉnh của chúng không nằm trên cùng một đường thẳng?

10. Vẽ đồ thị của hàm số
    $y = |1 - |1 - |1 - |1 - |x|$.

lớp mười
11. Giải phương trình $x^y = 48 261 724 457$ bằng số nguyên dương.

12. Tìm miền tổng quát của hàm
    $f_n(x) = \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots + \sqrt{x + 1}}}$.

13. Cho một khối đa diện, không có mặt phẳng nào có nhiều hơn 4 cạnh. Chứng minh rằng đây là một tứ giác.

14. Một hình trụ tròn nguyên thủy và một hình nón tròn thẳng có chung một đáy. Thể tích của mỗi phần bằng 1. Tìm thể tích phần chung của chúng.

15. Đối với $a$ và $b$ thì công thức $\sqrt{x} \approx ax + b$ đảm bảo độ chính xác cao nhất cho $4 \leq x \leq 9$. Nói cách khác, tại đó $a$ và $b$ là giá trị chính xác nhất của biểu thức $|\sqrt{x} - (ax + b)|$ tại $4 \leq x \leq 9$?

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi D. V. Fuks

38

MƯỜI CHỮ SỐ

Ứng viên
khoa học vật lý và toán học
A. P. SAVIN

Biết chữ bắt đầu bằng khả năng viết và đếm. Khi 3-4 tuổi, leo cầu thang, chúng ta tự tin đếm số bước: “Một, hai, ba, bốn, gót chân, ….” Và ở lớp một, chúng ta viết các số vào vở:

1234567890

Những con số này được gọi là tiếng Ả Rập, mặc dù người Ả Rập chỉ truyền hệ thống số thứ mười của Ấn Độ cùng các con số của nó sang châu Âu. Chúng ta đọc về điều này trong “Sách bàn tính” của nhà toán học minh họa Leonardo người Pisa (Fibonacci): “Chín dấu hiệu của đạo Hindu như sau: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Sử dụng các dấu hiệu này và dấu 0, được gọi là “sifr” trong tiếng Ả Rập, bạn có thể viết bất kỳ số nào bạn muốn.” Fibonacci, người xuất bản cuốn sách của mình vào năm 1202, đã học được rất nhiều điều từ việc làm quen với các công trình toán học của người Ả Rập. Điều gây tò mò là chính thứ tự của các số khi liệt kê chúng: 9, 8, 7, … phản ánh sự vay mượn của chúng từ người Ả Rập, vì người Ả Rập viết từ phải sang trái chứ không phải từ trái sang phải.

Có thể bạn đã nhận ra rằng từ “chữ số” xuất phát từ tên tiếng Ả Rập có nghĩa là số 0, và ở Nga từ rất lâu, từ “chữ số” đã quen thuộc với ký hiệu số 0. Hãy xem một đoạn văn bản trong cuốn “Số học” (1703) của Magnitsky.

Văn bản này được dịch sang tiếng Nga hiện đại như sau: “Đánh số là cách đếm hoặc cách biểu diễn tất cả các số hoàn hảo bằng mười dấu hiệu, được mô tả như sau: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Trong số này, 9 số là có ý nghĩa và số 0 cuối cùng (được gọi là số 0 hoặc không có gì) bản thân nó không có ý nghĩa gì khi đứng một mình.”

Xin lưu ý rằng các chữ cái trong văn bản cổ vẫn còn rất khác nhau

39

khác với những cái hiện đại và những con số giống như trong sách giáo khoa của bạn. Nhưng tất nhiên là họ không như vậy ngay lập tức. Vào năm 200 ở Ấn Độ, chúng trông giống như:

Theo thời gian, việc viết số được cải thiện và theo những cách khác nhau ở những nơi khác nhau ở Ấn Độ. Số 0 xuất hiện và hệ thống vị trí để viết số ra đời. Người Ả Rập đã chọn những số thuận tiện nhất từ ​​​​các loại số khác nhau này. Từ họ, những con số tiếp tục cuộc hành trình xuyên Trái đất. Đây là hình dáng của chúng theo nhà văn La Mã Boethius (600):

Vào năm 1350, trong các bài viết của tu sĩ Hy Lạp Maximus Planud, chúng ta thấy chúng như sau:

Vào năm 1480, trong cuốn sách “Gương vũ trụ” của người Anh Caxton, họ được miêu tả như thế này:

Và chỉ đến năm 1522, trong cuốn sách của Tunstall của Ý, chúng mới có được vẻ ngoài ít nhiều hiện đại:

Điều tò mò là ở Ấn Độ, các con số cũng thay đổi và đến đầu thế kỷ 20, chúng bắt đầu trông như thế này:

Mặc dù vào thế kỷ 16 đã có một ngành in ấn phát triển cao ở châu Âu, nhưng những con số trong sách thời đó, như chúng ta thấy, rất giống với những con số viết tay. Nhiều nghệ sĩ đã làm việc để tạo ra nhiều kiểu chữ khác nhau - về hình dạng của các chữ cái và con số - cố gắng tạo cho chúng vẻ ngoài dễ nhìn (mỗi ký tự phải khá khác biệt so với ký tự khác). Đây là một trong những phông chữ kỹ thuật số:

123456789

Nhưng lịch sử của những con số không dừng lại ở đó. Gần đây, một số trang đã sử dụng mục này:

123456789

Làm thế nào những con số này được tính toán tốt hơn? Và thực tế là các đuôi của 4 số đi lên và các đuôi của số lẻ đi xuống. Bây giờ, việc nhầm lẫn giữa số 2 và số 5 sẽ khó khăn hơn. Đúng là sự đổi mới này chưa được áp dụng rộng rãi, nhưng đây là mục đích của các con số và mỗi bạn đều quen thuộc:

0123456789

Chúng ta thấy những con số như vậy trên máy vi tính và đồng hồ điện tử cầm tay. Sử dụng một bộ bảy đoạn, có thể mô tả từng chữ số trong số mười chữ số một cách khá “dễ nhận biết”.

Chúng ta thấy một hình ảnh khác về những con số liên quan đến nhu cầu công nghệ ở mặt sau mỗi phong bì bưu điện:

0123456789

Ở đây, chín phân đoạn đã tham gia vào việc viết số. Những con số này dành cho máy phân loại thư điện tử. Những dòng in đậm phía trên chỉ mục trên phong bì là cần thiết để máy có thể căn chỉnh chính xác theo chỉ mục mà chúng ta đã viết:

Vì chúng ta đang nói về máy điện tử, chúng tôi lưu ý rằng mặc dù chúng nhận được các số từ chúng tôi ở dạng ký hiệu thập phân và cung cấp cho chúng tôi kết quả tính toán ở dạng tương tự, nhưng chúng không phù hợp với “nhu cầu nội bộ” (Cuối cùng, hãy xem trang 42)

40

40

Archimedes để máy Isseo đi
Putarch

Votrosy và bài toán

1. Dưới tác dụng của một lực nhỏ F, cuộn dây ở hình sẽ chuyển động theo hướng nào?

2. Những quả cầu thép được cân bằng trên một đòn bẩy không trọng lượng. Sự cân bằng có bị phá vỡ nếu quả bóng bị ngập nước không?

Votrosy và bài toán

4. Đòn bẩy được cân bằng, như thể hiện ở hình, bởi các lực F₁ và F₂. Liệu lực F₃ có làm mất cân bằng không?

5. Họ cố gắng di chuyển các thanh khỏi vị trí của mình bằng một đòn bẩy. Liệu mỗi thanh có chuyển động không nếu khối lượng của chúng bằng nhau?

Votrosy và bài toán

7. Cậu bé tự mình đứng dậy và sử dụng một khối cố định. Liệu anh ta có đạt được sức mạnh?

8. Góc ở đáy nêm phải là bao nhiêu để có thể dùng nó để lật vật nặng?

42

được gọi bằng hệ thống số kép. Trên băng đục lỗ dùng trong máy tính để lưu trữ và truyền thông tin, 9 chữ số đầu tiên trông như thế này:

Số 0 tương ứng với một khoảng trắng. Các điểm kiểm tra nhỏ ở giữa băng giấy đục lỗ dùng để di chuyển và cố định nó.

Đối với những người không quen thuộc với hệ thống số kép, chúng tôi xin thông báo với bạn rằng nó, giống như hệ thống thập phân, là một hệ thống vị trí: giá trị của giá trị của một số phụ thuộc vào các chữ số có trong số đó và vị trí của chúng trong cách viết số. Và nếu trong hệ thập phân 10 đơn vị của chữ số trước tạo thành một đơn vị của chữ số tiếp theo, thì trong hệ nhị phân, đơn vị của chữ số tiếp theo được tạo thành từ hai đơn vị của chữ số trước. Do đó, để viết số trong hệ kép, chỉ cần hai chữ số là đủ - 0 và 1:

$$1=1_2, 2=10_2, 3=11_2, 4=100_2,$$
$$5=101_2, 6=110_2, \dots$$

(số nhỏ 2 ở bên phải của số có nghĩa là mục nhập được thực hiện theo hệ thống số kép).

So sánh các bản ghi này với băng đục lỗ ở hình, bạn sẽ thấy rằng phần phân tích trên băng đục lỗ tương ứng với số 1 và sự vắng mặt của nó tương ứng với số 0.

Máy đọc các mục trên băng đục lỗ bằng cách sử dụng tế bào quang điện: chúng đánh dấu các phản hồi kiểm tra bằng cách sử dụng ánh sáng chiếu qua các phản hồi (ở các khu vực không thử nghiệm, băng sẽ chặn tế bào quang điện khỏi nguồn sáng).

Cái gọi là mã băng tần cũng dựa trên nguyên tắc tương tự.

Chắc hẳn nhiều bạn đã chú ý đến hình chữ nhật sọc trên nhãn của nhiều loại hàng hóa nhập khẩu (hình 1):

Hình 1.

Những sọc này có ý nghĩa gì? Hóa ra chúng được dùng để ghi lại vị trí cần chú ý - mã sản phẩm. Máy tính đặt trong máy tính tiền sẽ đọc mã bằng cách sử dụng tế bào quang điện (để thực hiện việc này, hãy giữ một tấm có mã ở một vị trí đặc biệt trên máy tính tiền hoặc sử dụng “đầu đọc bút chì” được kết nối với máy tính tiền để đọc mã). Bằng cách này, máy tính sẽ nhận được thông tin về sản phẩm đang được bán. Theo đó, anh ta tạo ra giá của sản phẩm từ trí nhớ của mình và anh ta nhớ rằng một bản sao của sản phẩm này đã được mua. Kết quả là, tại mọi thời điểm, người ta đều biết có bao nhiêu bản sao của sản phẩm nào được mua, với số lượng bao nhiêu và sản phẩm nào vẫn cần được chuyển đến sàn bán hàng.

Nhưng mã sọc hoạt động như thế nào?

Sử dụng sọc, bạn có thể viết một số theo cách tương tự như trên băng đục lỗ: sọc đen mỏng là 1 và sọc trắng mỏng là 0 (hình 2). Nhưng con số có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Bạn có thể viết nó theo hệ thống số kép một cách đơn giản (ví dụ: số 5 762 752 950 được viết theo hệ thống số kép như thế này: 101 010 111 011 111 001 010 000 110 110 110₂). Hoặc bạn có thể viết từng chữ số theo hệ thống kép - khi đó sẽ có bốn sọc trên mỗi chữ số, sau đó biểu thị số đó bằng một tập hợp các sọc thu được.

Hình 2.

Trong ví dụ ở hình 1, mỗi chữ số cũng được viết riêng biệt, nhưng không phải theo hệ kép mà theo một cách khác. Mỗi số tương ứng với bảy ký hiệu 0 và 1. Mã bao gồm hai phần - bên trái và bên phải, các số ở phần bên trái và bên phải được viết theo bảng (xem trang 43).

Đầu tiên chúng ta hãy nhìn vào phía bên trái của bảng. Có thể thấy việc ghi mỗi số đều bắt đầu bằng 0 và kết thúc bằng 1; những dấu hiệu này không đặc trưng cho con số mà dùng để phân biệt

43

một số từ một số khác. Bản thân số này có 5 ký tự và chúng được chọn sao cho hai số bất kỳ xuất hiện ở ít nhất hai vị trí. Dễ dàng nhận thấy mục nhập của các số ở phía bên phải của bảng “đối xứng” chính là mục nhập ở bên trái, cụ thể là thay vì số 0 thì số 1 lại ở vị trí tương ứng, và 1 cùng có giá trị bằng 0.

Trên hình 1, mỗi số tương ứng với sự kết hợp được mô tả của bảy sọc nằm phía trên nó. Mọi điều chúng tôi nói đều áp dụng cho sọc “ngắn”. Ba sọc “dài” đầu tiên, sọc giữa và sọc cuối cùng (bộ 101 tương ứng của chúng) là các chỉ báo về phần đầu, phần giữa và phần cuối của mật mã. Các sọc dài theo các khay trước tiên tương ứng với số nằm ở cạnh bên trái (số 0 trên hình1). Tương tự như vậy, các sọc dài phía trước sọc treyar cuối cùng tương ứng với số nằm ở bên phải (số 6 trên hình1).

Những con số “bên” này dùng để bảo vệ việc đọc khỏi lỗi. Giá trị của chúng tương tự nhau sao cho ba lần tổng các số ở vị trí chẵn cộng với tổng các số ở vị trí lẻ thì chia hết cho 10. Phép tính tổng được thực hiện từ trái sang phải; Người ta tin rằng con số ở phía bên trái bằng 0 (giá trị mà chúng ta nên có). Trong trường hợp của chúng tôi (xem hình 1)

$$3 \cdot (0 + 7 + 2 + 5 + 9 + 0) + (5 + 6 + 7 + 2 + 5 + 6) = 100.$$

Nếu máy tính đọc sai một trong các số, nó sẽ phát hiện ngay lỗi. Máy tính sẽ không thể phát hiện lỗi chỉ nếu nó đọc sai ít nhất hai chữ số và theo cách mà lỗi được “bù” và số tiền thu được lại được chia cho 10. Nhưng khả năng điều này xảy ra là cực kỳ thấp.

Khả năng chống lỗi này rất quan trọng, nếu không máy tính có thể tính giá người mua bằng một hộp sôcôla cho một ổ bánh mì.

Tính năng bảo vệ lỗi cũng được tích hợp vào dạng viết mã bưu chính tiêu chuẩn. Bạn có thể đọc về điều này trong bài viết của học sinh lớp 10 Y. Karpov “Mã hóa mã bưu chính tối ưu” («Kvant», số 11, 1987).

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng gần đây có rất nhiều người viết trường này như thế này: Ø. Đây là những lập trình viên chuyên nghiệp. Thực tế là trong một chương trình máy tính, các chữ cái và số có thể di chuyển khá tùy ý. Để phân biệt số 0 với chữ 0, ký hiệu Ø đã được đưa vào. Các hệ thống này có thể xảy ra lỗi khi sử dụng phông chữ Latinh. Và khi sử dụng phông chữ tiếng Nga, sẽ có thể nhầm lẫn chữ 3 với số 3, chữ CH với số 4. Phải chăng những con số này sẽ “thay đổi”?

44

“Vật lý chiến đấu”
V. F. YAKOVLEV

Việc học ở viện thật khó khăn đối với tôi. Có lẽ đó là lý do tại sao tôi đặc biệt phẫn nộ trước việc thường xuyên xuất hiện trong các khóa học vật lý và toán học những nhận xét như “như đã biết…”, “từ đây chúng ta dễ dàng nhận được…”, “dễ thấy…” Nó được biết đến ở đâu? Tại sao nó dễ dàng? Ngược lại, điều đó rất khó và đôi khi đơn giản là không thể! Việc sửa chữa như vậy không chỉ mang tính thông báo cho học sinh, sinh viên mà còn góp phần làm nảy sinh một bộ tự ti trong họ.

Hoặc có thể họ đang che đậy sự kém cỏi của các tác giả sách giáo khoa? Thật vậy, một học sinh có năng lực sẽ có thể hiểu được ngay cả một văn bản có nhiều lỗi. Tôi chắc chắn rằng nếu tôi được đề nghị viết, chẳng hạn như một khóa học về phân tích số vô hạn, đáp số từ tôi giảng về các cấu trúc và sách giáo khoa, thì tôi sẽ làm theo cách mà Euclid và Archimedes có thể hiểu mọi thứ một cách hoàn hảo. Theo đó, sách giáo khoa dành cho người thông minh rất dễ viết, bài toán này nói về vai và chiến đấu. Nhưng viết sách giáo khoa cho người có trình độ trung bình không phải là điều dễ dàng. Nhưng đây thật là cao quý bài toán!

Hãy tưởng tượng: “Cơ học lượng tử dành cho người chậm phát triển trí tuệ”, “Toán học cao hơn cho các trận đấu vòng tròn” - những cuốn sách này sẽ không đáng giá! Và người ta cũng phải lưu ý đến nội dung của những cuốn sách này: “từ đây thật khó để có được…”, “không dễ để nhìn thấy điều đó…”, v.v. Một giáo viên đã vượt qua được trí tuệ bất tử tương ứng sẽ chỉ đơn giản mọc thêm đôi cánh.

Sau những gì đã nói, có thể dễ dàng tưởng tượng niềm vui của tôi là gì khi đọc cuốn sách của nhà vật lý nổi tiếng G. A. Gamow “Vật chất, Trái đất, Bầu trời”

45

(xuất bản ở Mỹ năm 1959), tôi tìm thấy trong đó một tài liệu tham khảo đến một cuốn sách khác, xuất bản năm 1908 tại St. Petersburg và được Gamow đánh giá là “Vật lý cho những kẻ ngốc”. Cái tên này trong tiếng Nga nghe như thế này: “Vật lý chiến đấu”. Tôi gần như hét lên với toàn bộ phòng đọc của thư viện: “Eureka!” Nhưng niềm vui của tôi đến quá sớm vì Gamow không cho biết tên tác giả.

Sau khi tìm kiếm kỹ lưỡng trong nhiều danh mục và sách tham khảo thư mục khác nhau, tôi đã phát hiện ra cuốn sách quý giá. Trang tiêu đề của nó đọc:

Công bố của Hội
để khuyến khích sự ngu ngốc
*
Vật lý mới không cần thủ thuật
*
Mô tả đầy đủ về trải nghiệm của công chúng,
ít khả thi hơn với nhà và các phương tiện khác
*
Quyền truy cập tốt nhất cho chính phủ về vật lý và thiên văn học
*
Theo nhiều nguồn mới và nguồn mở, được tổng hợp
*
SERGY
OLYMPUS

Được lưu trữ trong Thư viện Công cộng Tiểu bang mang tên. Bản sao của M.E. Saltykov-Shchedrin có dòng chữ quà tặng: “Gửi đến Vasily Evgenievich Murashinsky vô cùng kính trọng để tưởng nhớ tác giả. CM.”

Mặc dù cuốn sách của Olympov không hoàn toàn giống với những gì tôi từng mơ ước trong những năm sinh viên nhưng việc biết đến nó không hề gây thất vọng. Về phong cách, nó gần giống với tuyển tập các bản dịch “Các nhà vật lý đang đùa” được xuất bản ở thời đại chúng ta (M., Mir, 1966). Trong ấn bản thứ hai (1968) của tuyển tập truyện cười và truyện cười này, ngoài những câu chuyện cười của các nhà vật lý nước ngoài còn được thêm vào những câu chuyện cười của đồng hương chúng ta. Đối với tôi, có vẻ như những đoạn trích từ cuốn sách

Sergei Olimpov có thể yêu thích loại ấn phẩm này.

Đôi lời về nhân cách tác giả cuốn sách. Những nỗ lực của tôi để thiết lập nó trong một thời gian dài đã không dẫn đến thành công: Tôi không tìm thấy cái tên như vậy trong các tạp chí vật lý của những năm đó, cũng như trong sổ địa chỉ “All Petersburg” hay “All Moscow”, hoặc trong từ điển đa ngôn ngữ của những người bi quan.

Nhưng một ngày nọ, khi tôi đọc lại dòng chữ trên món quà được tặng, tôi nhìn thấy chữ ký “S.M.” với đôi mắt tươi tắn. Tại sao lại là “M”? Và rồi tôi chợt nhận ra. Bạn thường chọn bài hát của mình như thế nào? Họ giữ nguyên tên của mình và biến sự vắng mặt của mình thành họ. Nếu đúng như vậy thì tác giả đã điền vào tên Sergey Olimpevich, và họ của ông, họ tin rằng, bắt đầu bằng chữ cái “M”. Đây là một manh mối khá tốt, và bây giờ bạn có thể thử bắt đầu tìm kiếm - ví dụ, trong danh sách các thành viên của Hiệp hội Vật lý-Imic Nga được công bố thường xuyên, biên bản cuộc họp đã được công bố trên tạp chí của hiệp hội này.

Sau khi lấy một số tập của tạp chí tạm thời không xa “dấu ấn” mà tôi biết - 1908, tôi nhanh chóng hỏi về vấn đề và tìm thấy Sergei Olimpevich Maksimovich. Sau đó, chúng tôi lại lật sang những cuốn sách tham khảo nêu trên, kỷ yếu “All Leningrad” và cuốn “Các nhà khoa học của Leningrad” do Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô xuất bản năm 1934, tôi dễ dàng phát hiện ra rằng Sergei Olimpevich sinh ngày 5 tháng 8 năm 1876 tại St. hiện tượng hình ảnh, cũng như sự thay đổi các đặc tính khác nhau của vật liệu ảnh (cũng có một lĩnh vực vật lý: đo độ nhạy hoặc đo lường vật lý). S. O. Maksimovich giảng dạy tại Trường Kỹ thuật Điện ảnh, cộng tác tại Viện Quang học Nhà nước và tại Leningrad

46

Viện Vật lý và Công nghệ (sau này, vào những năm 20, hiện tượng tán xạ và nhiễu xạ của tia RENTen đã được nghiên cứu chuyên sâu và một trong những báo cáo về công trình này chỉ ra rằng người thực hiện nó “liên tục sử dụng những lời khuyên và hướng dẫn quý giá của S. O. Maksimovich”).

Ngoài ra, Surrey Olympic còn là một người rất sắc sảo và là một họa sĩ xuất sắc. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách xem hình và chú thích được xuất bản ở đây.

Hình 1. Tiện ích mở rộng Tello.
Tất cả các vật thể đều kéo dài ra khỏi Tellote, đó là lý do tại sao, chẳng hạn, các đường ray luôn được làm ngắn hơn mức cần thiết. Bất cứ ai cũng có thể lặp lại điều này ở nhà.

Đặt người thân đã được bày biện và độc lập lên bếp nguội sao cho người đó tựa vào tường, tựa đầu vào chồng sách trên mép bếp. Hãy trồng một khu vườn, và bạn sẽ thấy khi nó lớn lên, họ hàng sẽ dài ra và gọi những cuốn sách ra cho đến khi chúng rơi xuống. Bất chấp sự rõ ràng của hiện tượng này, chúng tôi sẽ tiếp tục nó. Khi nhiệt độ tăng lên, hiện tượng này sẽ thay đổi: thân nhân sẽ bị biến dạng và cuối cùng nhảy dựng lên và bỏ chạy. Bằng cách này, mọi thứ sẽ được thuyết phục một cách suôn sẻ về quy luật, đó được gọi là sự biến đổi của Tellot thành chuyển động.

Nếu bạn đặt trực tiếp một người họ hàng lên bếp nóng, anh ta có thể rơi vào trạng thái hình cầu và thí nghiệm sẽ thất bại.

Hình 2. Máy điện đơn giản.
Làm việc với các máy điện lớn không hề rẻ và không an toàn. Trong khi đó, mọi người có thể tha thứ cho một chiếc đồng hồ vàng mạnh hơn? Sự tỏa sáng không bao giờ phai của kim loại, chuyển động của bàn tay, như thể chỉ thời gian - mọi thứ đều cho chúng ta biết về sự bất biến, về sự vĩnh cửu. Trên thực tế điều này không đúng. Lấy một chiếc đồng hồ vàng lớn có chuyển động neo và ngay lập tức hạ nó vào buổi tối vào hỗn hợp axit nitric và axit clohydric, đổ vào một bình sứ lớn. Ngày hôm sau, chiếc đồng hồ dường như sẽ biến mất: chỉ còn lại mặt kính và mặt số. Chúng phải được lấy ra và rửa sạch, sấy khô và bảo quản trong hộp hút ẩm. Đừng lo lắng về đồng hồ: không có gì bị mất trong tự nhiên! Đổ hộp màu xanh lá cây vào chai có nút mài và bảo quản ở nơi tối.

Trong ấn phẩm tiếp theo của chúng tôi - “Hóa học không có dụng cụ” (chưa bao giờ nhận ra - V. Ya.) - chúng tôi sẽ đưa ra hướng dẫn chính xác về cách lấy lại đồng hồ. Tất nhiên, người đọc

47

Tôi đoán rằng để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng dịch vụ của đầu đọc thẻ thế kỷ 20 - một đầu đọc điện tử. Chiếc máy được mô tả trong thí nghiệm 2 một lần nữa sẽ cung cấp cho chúng ta một dịch vụ quan trọng, chưa được biết đến.

“Trong Chiến tranh thế giới thứ hai, người đoạt giải Nobel Federacchi Jollus-Curie, muốn bảo vệ huy chương Nobel vàng của mình, đã phá hủy nó theo cách gần như được mô tả và giấu chiếc chai chứa dung dịch trong suốt những năm bị chiếm đóng. Sau khi nước Pháp giải phóng, Jollus-Curie, không phải không có sự trợ giúp của một chiếc karodeya thế kỷ 20, đã cô lập số vàng bị hủy hoại, vận chuyển nó đến Thụy Điển và nhận được một bản sao mới của huy chương Nobel. — V. Ya.”

Hình 4. Khúc xạ ánh sáng.

“Bạn đang làm gì vậy! - bà chủ nhà hét lên kinh hoàng khi thấy bạn giơ cây gậy nhanh chóng hướng về phía gương. “Bạn sẽ làm vỡ gương mất!”

Tôi chưa từng đến bất cứ điều gì. Từ các định luật quang học, bạn biết rằng góc tới có liên quan đến góc khúc xạ trong những điều kiện nhất định, và do đó chỉ cần dùng đầu que lấy gương là đủ để đáp ứng điều kiện này, và cây gậy sẽ vỡ, nhưng gương của cô gái sẽ không bị nứt - trước sự ngạc nhiên đáng kể của những người đến gần.

Tất nhiên, tấm kính được tuyên bố, chứ không phải tấm gương, trong điều kiện như vậy sẽ vỡ thành từng mảnh.

Hình 5. Truyền âm thanh.

Như bạn đã biết, âm thanh truyền dọc theo bề mặt của thân kim loại. Đây là cơ sở của thí nghiệm thú vị được mô tả ở đây. Một cái vạc cứng, có thành mỏng được đặt trên đầu người muốn bị bắn, và họ bắn thẳng vào người đó bằng súng lục, súng máy hoặc súng cối. Đối với người đứng dưới vạc, một cú giao bóng dường như không lớn hơn một cú nhấp chuột.

Hình 6. Người hành động. (Về sinh lý của loài chim).

Trải nghiệm này sẽ tạo ra một cảm giác tuyệt vời, đặc biệt là với bà chủ của ngôi nhà. “Ai trong số các bạn có thể ấp gà trong vòng mười lăm phút?”

Sau khi liếc nhìn đắc thắng về cuộc tụ tập im lặng, bạn rời đi và tìm thấy một con gà mái trong sân, chọn từ dưới nó mười quả trứng đã nở tốt. Đưa họ trở lại hành lang, đặt họ trên một chiếc ghế đẩu, nhưng trước tiên hãy đặt họ dưới đó, không để công chúng chú ý, thắp một ngọn đèn dầu hỏa và giấu dưới váy áo choàng. Câu chuyện ẩn giấu về dầu hỏa sẽ nhanh chóng phát triển những chú gà, chúng sẽ lấp đầy căn phòng với những vòng tròn vui vẻ. Bạn chỉ cần cẩn thận để không đè bẹp mọi người.

Hình 7. Giao diện và nhiễu xạ.

Dán một tờ giấy trắng lên bức tượng, bằng đá cẩm thạch nếu có thể và thắp nó bằng một ngọn nến. Tất nhiên, Teler sẽ chiếu sáng một cái khác khi xây dựng một khoảng cách chênh lệch nhất định. Người ta có thể mong đợi rằng sẽ có nhiều ánh sáng hơn, nhưng hóa ra tờ giấy sẽ tối đi. Đây là giao diện mà Newton vĩ đại gọi là chìa khóa vàng của Thượng đế.

48

Nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân

Phần II:
Thuộc tính tùy ý

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
D. K. FADDEYEV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
M. S. NIKULIN,
I. F. SOKOLOVSKY

Trong bài viết trước của chúng tôi (xem «Kvant» số 3), chúng tôi đã nói về nguyên tắc cơ bản của phép tính vi phân. (Tóm lại, đồ thị của một hàm tốt trong một khoảng đủ nhỏ hầu như không khác gì đồ thị của hàm tuyến tính.) Sau đó, chúng tôi nghiên cứu chi tiết các tính chất của hàm tuyến tính. Cụ thể, chúng tôi đã xác định tốc độ thay đổi tức thời của hàm tuyến tính là $k = \Delta y / \Delta x$, tức là chúng tôi coi nó bằng tốc độ trung bình trong bất kỳ khoảng thời gian nào.

Trong trường hợp tổng quát (tức là đối với một hàm tùy ý), định nghĩa như vậy là không phù hợp: tốc độ trung bình trong các khoảng thời gian khác nhau có thể không giống nhau. Nói chung, chúng ta phải đối mặt với một mâu thuẫn ở chỗ chúng ta đang cố gắng nói về “giá trị tức thời” của một đại lượng, mà theo ý nghĩa vật lý của nó, chỉ có thể được coi là một hàm của khoảng. Định nghĩa chính xác về khái niệm đưa ra tốc độ thay đổi tức thời của sự tồn tại sử dụng công cụ toán học hình thức để đi đến giới hạn.

Tuy nhiên, chúng ta hãy lưu ý rằng việc chứng minh các yếu tố phân tích trên cơ sở lý thuyết giới hạn chỉ được O. Cauchy thực hiện vào đầu thế kỷ 19, tức là hơn hai nghìn năm sau khi xuất hiện một số ý tưởng làm cơ sở cho phép tính vi phân và 200 năm sau khi Newton và Leibniz sáng tạo ra nó. Phân tích toán học bao gồm

49

Zinius, bao gồm phép tính vi phân và tích phân, là một nhánh toán học hàng đầu và phát triển cao vào thời điểm nó được chứng minh.

Việc áp dụng “nguyên lý cơ bản” và sự tham gia của hàm tuyến tính cho phép chúng ta đưa ra một định nghĩa rõ ràng, trực quan, trực quan về khái niệm “tốc độ tức thời” trong trường hợp tổng quát, một phút của lý thuyết giới hạn.

Ở đây chúng ta đi đến câu hỏi tại sao hàm tuyến tính lại chiếm một vị trí đặc biệt trong toán học.

Vấn đề trước hết là mọi thứ liên quan đến hàm tuyến tính, cả về vấn đề nghiên cứu hàm và về nguồn hình học và vật lý của kết quả, đều rất đơn giản và rõ ràng. Chính sự đơn giản và rõ ràng này đã mang lại cho hàm tuyến tính một vai trò đặc biệt trong toán học trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm thường gặp nhất trong các ứng dụng.

Tình huống thứ hai và quan trọng nhất đã được lưu ý trong phần đầu của bài viết: đối với tất cả các hàm cơ bản và hàm lớn mà chúng ta gặp phải khi nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lượng thực, chúng ta áp dụng “nguyên tắc cơ bản” của phép tính vi phân.

Nói cách khác, đối với lời giải của một đường tròn nhất định bài toán, mỗi hàm số này của điểm thỏa mãn có thể được thay thế bằng một hàm tuyến tính, đồ thị của hàm này tiếp xúc với đồ thị của hàm đang xét tại điểm đã chọn. Vì các thuộc tính quan trọng nhất của hàm tuyến tính được xác định bởi độ dốc của nó, sau đó là độ dốc của tiếp tuyến, tức là bởi giá trị của hàm tùy ý tại một điểm nhất định, người ta có thể đánh giá hành vi của chính hàm đó tại điểm được thực hiện.

Ở đây chúng ta sẽ không dừng lại ở những tính toán kỹ thuật mang tính tùy tiện (giả sử rằng người đọc có một số kiến ​​thức về nó). Chúng tôi chỉ lưu ý rằng (như được trình bày trong bài viết “Trên đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số”, xem «Kvant», 1986, Số 3) đối với một số hàm, các giá trị của hàm tùy ý có thể thu được dựa trên các thông điệp cơ bản về cơ bản.

Nguồn gốc hình học và vật lý của một $f'(x_0)$ tùy ý từ các hàm $f(x)$ tại một điểm nhất định $x_0$

Theo “nguyên tắc cơ bản”, chúng ta coi hàm $f(x)$ tại điểm $x_0$ là tuyến tính và một phần nhỏ của đồ thị trùng với đoạn tiếp tuyến tại điểm $x_0$. Sau đó, $f'(x_0)$ cho thấy phần nhỏ của đồ thị của hàm $f(x)$ chứa điểm $f(x_0)$ bị nghiêng như thế nào (và theo hướng nào). Ở trạng thái này, ý nghĩa hình học là tùy ý.

Ví dụ, theo bảng

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $f(x)$ | 0,5 | 2 | 3 | 1,5 |
| $f'(x)$ | 1 | 2 | 0 | -2 |

chúng ta có thể vẽ không chỉ các điểm trên biểu đồ mà còn có thể vẽ các phần nhỏ của biểu đồ chứa các điểm trong bảng (hình 1).

Chúng ta biết rằng trong trường hợp đường thẳng là đồ thị của mối quan hệ giữa hai đại lượng vật lý thì hệ số góc của đường thẳng có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Một hàm tùy ý (không phải tuyến tính) có cùng ý nghĩa vật lý nếu hàm này mô tả sự phụ thuộc giữa các đại lượng giống nhau. Nhưng chỉ có giá trị số $f'(x_0)$ của hàm tùy ý $f(x)$ tại điểm $x_0$ không còn có thể được quy cho tất cả các hàm nói chung mà chỉ cho một lân cận nhỏ của điểm $x_0$. Ví dụ: nếu hàm $T=f(t)$ mô tả mối quan hệ giữa nhiệt độ của một vật và thời gian nung nóng của nó (hình 2), thì $f'(t_0)$ là tốc độ thay đổi nhiệt độ (tốc độ gia nhiệt) trong một khoảng thời gian nhỏ chứa điểm $t_0$. Tuyên bố cuối cùng

50

Hình 2.

tích phân chứa điểm $t_0$ càng chính xác. Vì vậy, $f'(t_0)$ được gọi là tốc độ gia nhiệt tại thời điểm $t_0$. Ngoài nội dung vật lý cụ thể, chúng ta nói rằng $f'(x_0)$ là tốc độ thay đổi của hàm $f(x)$ tại điểm $x_0$.

Tính toán gần đúng

Định lý. Sai số tuyệt đối khi tính giá trị của hàm xấp xỉ bằng sai số tuyệt đối khi đo đối số nhân với giá trị mô hình của đạo hàm tại điểm tương ứng.

Bằng chứng. Thật vậy, $x_0$ trống - giá trị gần đúng của đối số và $x$ - giá trị chính xác chưa xác định của đối số; nó được đặt ở mức gần $x_0$. Chúng tôi lấy giá trị $\Lambda x=x-x_0$ của sai số tuyệt đối làm đối số nhỏ. Xem xét (theo “nguyên tắc cơ bản”) hàm $y(x)$ của độ lớn của điểm $x_0$ là tuyến tính với hệ số góc $y'(x_0)$, chúng ta thu được, do tính chất đặc trưng của hàm tuyến tính (đã được chứng minh ở phần đầu của bài viết), $\Lambda y=y'(x_0)\cdot \Delta x$, đó là điều chúng ta cần chứng minh.

Cần hiểu rằng tuyên bố đã nêu là hợp lệ với giả định rằng sai số tuyệt đối của đối số thực sự là khá nhỏ đối với một hàm nhất định.

Nếu giá trị của hàm $f(x)$ tại điểm $x_0$ được biết và cần tính giá trị $f(x)$ của độ lớn của điểm $x_0$, thì dựa trên “nguyên tắc cơ bản”, người ta có thể thay thế các phép tính tốn nhiều công sức của hàm bằng các phép tính gần đúng sử dụng phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$. Chính xác,

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$$

Xấp xỉ là số gia của hàm được tính toán “tiếp tuyến”, tức là

$$f'(x_0)(x-x_0),$$

được gọi là vi phân của hàm số và được ký hiệu là df. Gia số của đối số $x-x_0$ được gọi là vi phân của biến độc lập và được ký hiệu là dx. Như vậy,

$$df=f'(x_0)dx.$$

Về mặt vi phân, “nguyên tắc cơ bản” nên được hiểu theo cách mà mức tăng thực sự của một hàm “tốt” trên một khoảng nhỏ so với mức tăng được tính “tiếp tuyến” là một giá trị nhỏ không thể chuyển đổi được so với df. Ở đây cần lưu ý một đặc tính quan trọng của vi phân: chênh lệch $\Delta f$-df giữa mức tăng thực sự của hàm và vi phân của nó không chỉ nhỏ hơn nhiều so với df - khi dx giảm, chênh lệch này sẽ giết chết sự tồn tại nhanh hơn dx. Ý nghĩa chính xác của thuật ngữ “nhanh hơn đáng kể” và bằng chứng tương ứng chỉ có thể có được sau khi mô tả chính xác, chặt chẽ hơn về các khái niệm ban đầu của phân tích.

Chúng tôi sẽ giới hạn việc giải thích ý nghĩa của các thuật ngữ “nhanh như nhau” và “nhanh đáng kể” bằng các ví dụ cụ thể. Các đại lượng liên quan theo nguyên lý phụ thuộc tỷ lệ thay đổi nhanh chóng như nhau, tức là, sự thay đổi của đại lượng này $n$ lần sẽ dẫn đến sự thay đổi của đại lượng kia cũng $n$ lần. Ví dụ, các đại lượng liên quan đến mối quan hệ bậc hai, thay đổi với tốc độ khác nhau. Thật vậy, nếu $y=x^2$ thì khi $|x|$ giảm 10 lần, $y$ giảm 100 lần, khi $|x|$ giảm 100 lần, $y$ giảm 10.000 lần, v.v. Nói chung, nếu $y=x^a$, trong đó $a>1$, thì khi chăm sóc $|x|$ về 0 $y$ giết chết sự tồn tại nhanh hơn $|x|$. Điều này được xác nhận bởi thực tế là tỷ lệ $y/x=x^{a-1}$ tiến tới 0 khi $x$ có xu hướng tiến tới 0. Điều tương tự cũng có thể nói về sự khác biệt $\Lambda f-df$ - tỷ lệ $(\Lambda f-df)/dx$ có xu hướng bằng 0 và $dx$ có xu hướng bằng 0.

Hai tính chất của vi phân - 1) hàm vi phân tỷ lệ

51

Hình 3.

sự khác biệt giữa mức tăng thực sự của một hàm và vi phân của nó giảm nhanh hơn đáng kể so với đối số vi phân - mô tả đầy đủ hàm vi phân và xác định các ứng dụng cơ bản nhất nhưng quan trọng nhất của nó trong vật lý, công nghệ, v.v. Thực tế là vi phân (không giống như một hàm tùy ý) thường được nhìn thấy “bằng mắt” và có thể được tìm thấy dễ dàng hơn một hàm tùy ý. Sau đó, một giá trị tùy ý có thể được tính bằng tỷ lệ chênh lệch: $df = f'(x_0)dx$,

$$f'(x_0) = \frac{df}{dx}.$$

Ví dụ 1. Tính $f'(0) = f'(x)|_{x=0}$ nếu $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$.

Lời giải. Gần $x=0$ đối số vi phân bằng chính đối số $(dx=x)$ và mức tăng của hàm bằng giá trị của hàm. Phần tăng dần của hàm tỷ lệ với $dx$ là số hạng $4x$ và các số hạng còn lại chứa $x$ giảm độ lớn nhanh hơn nhiều so với $x$. Vì vậy, tại điểm $x=0$ chúng ta có $df=4dx$, có nghĩa là $f'(x)=4$.

Cả hai thuộc tính vi phân đều được minh họa bằng đồ họa hình 3). Ở hình này, giá trị $dx$ được chọn khá lớn, nhưng “bằng mắt” có thể thấy rõ khi $dx$ giảm thì chênh lệch $\Delta f - df$ giảm nhanh hơn đáng kể so với $\Delta x$.

Đạo hàm một hàm phức

Dựa trên “nguyên tắc cơ bản”, có thể dễ dàng thu được biểu thức cho hàm phức tùy ý và vi phân.

Hãy để $F(x) = f(g(x))$. Chúng tôi coi hàm $g(x)$ là tuyến tính “trong phạm vi nhỏ” của điểm $x$ và hàm $f(t)$ là tuyến tính với giá trị của điểm $t = g(x)$. Khi đó, dựa vào định lý về thành phần của hàm tuyến tính, đã được chứng minh trong phần đầu tiên của bài viết của chúng ta, $F(x)$ là một đại lượng tuyến tính $x$ và hệ số góc của nó bằng tích của các hệ số góc của hàm $g$ và $f$, tức là.

$$F'(x) = k_1 \cdot k_2, \quad \text{где } k_1 = f'(t)|_{t=g(x)} \quad \text{и } k_2 = g'(x).$$

Đối với vi phân của hàm phức, chúng ta thu được biểu thức

$$dF(x) = k_1 \cdot k_2 \cdot dx = \frac{f'(t)|_{t=g(x)}}{\cdot g'(x)}dx.$$

Vì $g'(x)dx = dg(x)$, chúng tôi nhận được

$$dF(x) = f'(t)|_{t=g(x)} \cdot dg(x).$$

Đẳng thức quan trọng này nói lên rằng hình thức viết vi phân không phụ thuộc vào cái nằm dưới dấu của hàm số - một biến độc lập hay hàm của một biến khác. Tính chất này của vi phân được gọi là tính bất biến. Thuộc tính bất biến vi phân giúp việc phân biệt các hàm phức tạp về mặt kỹ thuật trở nên dễ dàng hơn.

Ví dụ 2. Tìm một số tùy ý từ $F(x) = \sqrt{\sin(3x-1)}$, biết rằng $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x u (3x-1)' = 3$.

Lời giải:

$$dF(x) = (\sqrt{t})'|_{t=\sin(3x-1)} \cdot d\sin(3x-1) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x-1)}}(\sin t)'|_{t=3x-1}d(3x-1) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x-1)}} \cos(3x-1)3dx = \frac{3\cos(3x-1)}{2\sqrt{\sin(3x-1)}}dx.$$

Tiết lộ về độ không chắc chắn Loại 0/0

Thông thường cần phải nghiên cứu hành vi của một phân số độ lớn điểm trong đó tử số và mẫu số bằng 0. Các phép tính trực tiếp thậm chí sử dụng máy tính có độ chính xác cao cũng có thể gây ra lỗi nghiêm trọng trong những trường hợp này do phá hủy các giá trị quan trọng.

52

Hình 4.

$$f(x)/g(x)$$ đối với các giá trị $x$ tiến đến $x_0$, nếu tại thời điểm này, người khám phá và người thay thế biến mất. Chúng tôi coi $f(x)$ và $g(x)$ là các đại lượng tuyến tính của điểm $x_0$ và thay thế các phần nhỏ của đồ thị của chúng bằng các tiếp tuyến với đồ thị của các hàm này tại điểm $x_0$. Vì vậy, chúng tôi tin rằng
$$f(x)=f'(x_0)(x-x_0), \quad g(x)=g'(x_0)(x-x_0).$$
Khi đó, nếu $g'(x_0) \neq 0$ thì
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)(x-x_0)}{g'(x_0)(x-x_0)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}.$$
Chúng ta phải nhớ rằng trên thực tế, đẳng thức này là một giá trị gần đúng, nhưng nó càng chính xác thì càng gần với $x_0$. Chúng ta đã thu được một quy tắc được biết đến trong toán học là quy tắc L’Hopital để phát hiện tính không chắc chắn của loại 0/0.

Trong ngôn ngữ của giới hạn, quy tắc này có dạng như sau: giới hạn của tỷ lệ $\frac{f(x)}{g(x)}$ tại $x \rightarrow x_0$, nếu $f(x_0)=0$ và $g(x_0)=0$, bằng tỷ lệ tùy ý $f'(x_0)$ và $g'(x_0)$:
$$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} \quad (g'(x_0) \neq 0).$$

Ví dụ 3. Tạo bảng giá trị hàm
$$f(x)=\frac{2x^2-x-\sin x/2}{\sqrt{x}-\cos(1-x)}$$
điểm gần $x=1$.

Lời giải. Kết quả tính toán trên V3-34 MK được thể hiện ở bảng 1. Chúng ta hãy áp dụng quy tắc Lopitania
$$\left(2x^2-x-\sin \frac{\pi}{2}x\right)' \bigg|_{x=1}= = \left(4x-1-\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi}{2}x\right) \bigg|_{x=1}=4-1=3, (\sqrt{x}-\cos(1-x))' \bigg|_{x=1}=$$

Phương trình vi phân số lời giải

Trong nhiều trường hợp, có thể thu được mối quan hệ giữa các đại lượng chứa các giá trị tùy ý của chúng, tức là dưới dạng phương trình vi phân. Không phải lúc nào cũng có thể giải được một phương trình, tức là tìm được một hàm số là nghiệm của một vi phân cho trước

Bảng 1

| $0 x$ | 1,1 | 1,01 | 1,001 | 1,0001 | 1,00001 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $f(x)$ | 6,1762693 | 6,0196529 | 6,0039984 | 6,012024 | 6,1224489 | 7,5 |

52