Kvant 1988, số 6 · Trang

Kvasht
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nhân tạo
cầu vồng

1988

Trong phòng:

2 A. A. Abrikovov. Tính siêu dẫn: lịch sử, ý tưởng hiện đại, những tiến bộ gần đây
12 A. S. Yarsky. Số và hàm
19 S. V. Gryzlov. Áp lực nhẹ
22 V. A. Efremovich. tính liên tục là gì

Tin tức dạy
11 xung âm nhạc

Vấn đề “Quenta”
25 Bài toán M1106—M1110, F1118—F1122
26 Problems M1106—M1110, P1118—P1122
28 Lời giải bài toán M1086—M1090, F1097—F1102
34 Danh sách độc giả viết đúng lời giải

---

36 M. Người làm vườn. Giáo sư Nullside

40 Kính Vạn Hoa “Quenta”
“Số lượng” cho học sinh nhỏ tuổi
45 Bài toán

Phòng thí nghiệm “Quenta”
46 Vâng. E. Geguzin. Ai tạo ra cầu vồng?
48 V.V. Mayer, R.V. Mayer. cầu vồng nhân tạo

vòng tròn toán học
52 V. S. Shevelev. Ba công thức của Ramanujan

Nghệ thuật lập trình
56 A. G. Shezolev. Máy tính của trường sẽ vẽ một vòng tròn

Xưởng của người nộp đơn
59 I. G. Gabovich, P. I. Gornitin. Lời giải bất đẳng thức không nghiêm ngặt
61 A. A. Varlamov. Sự bay hơi. Tính chất hơi

Thông tin
67 Novosibirsk - Andover. Tiếp tục trao đổi

71 phương án thi tuyển sinh

77 Đáp số, gợi ý, lời giải
Nụ cười “Lượng” (70)
Pha trộn (51)

bìa của chúng tôi
1 Trên hình - cầu vồng thu được ở nhà. Đọc về các thí nghiệm với cầu vồng nhân tạo trong các bài viết trong phần “Phòng thí nghiệm Quaenta”.
Bức tranh “Người đi bộ của Euclid” của R. Magritte là một sự tẩy chay ý tưởng của dự án một cách tự do - một trường hợp đặc biệt của lập bản đồ không nguyên thủy, được thảo luận trong phần thống kê của V. A. Efremovich.
3 trang cờ vua.
4 câu đố “Meleda” và “Hoa quỷ”.

© Nhà xuất bản Nuka.
Tòa soạn chính tạp chí văn học vật lý và toán học, “Quant”, 1988

2

SIÊU DẪN:

lịch sử, ý tưởng hiện đại, những thành công gần đây

Viện sĩ A. A. ABRIKOSOV

Hiện tượng siêu dẫn được nhà vật lý người Hà Lan Kamerlingh Onnes phát hiện vào năm 1911. Kamerlingh Onnes là người đầu tiên thu được helium lỏng và ông đã sử dụng nó để tạo ra tinh thể - thiết bị có thể duy trì ở nhiệt độ rất thấp. Đặc biệt, ông quyết định kiểm tra tính đúng đắn của ý tưởng tồn tại vào thời điểm đó về hành vi của điện trở ở nhiệt độ thấp. Đo điện trở của thủy ngân, Kamerlingh Onnes phát hiện ra rằng nó đột ngột biến mất ở nhiệt độ khoảng 4 K. Hiện tượng này được gọi là siêu dẫn, và nhiệt độ chuyển sang trạng thái siêu dẫn được gọi là tới hạn. Hiện nay, nhiều chất siêu dẫn đã được biết đến với nhiều nhiệt độ tới hạn khác nhau, từ vài phần một độ đến xấp xỉ 100 K. Nhưng sau này sẽ nói nhiều hơn về nhiệt độ tới hạn.

Nghiên cứu sau đại học về chất siêu dẫn cho thấy nhiều đặc tính đáng chú ý. Vì vậy, hóa ra chất siêu dẫn bị phá hủy bởi từ trường. Trường tới hạn mà tại đó điều này xảy ra phụ thuộc vào nhiệt độ. Người ta còn phát hiện thêm rằng tính siêu dẫn biến mất ngay cả khi có dòng điện đủ lớn chạy qua mẫu. Cuối cùng, cái gọi là hiệu ứng Meissner đã được phát hiện, bản chất của nó như sau. Nếu bạn đặt một kim loại trong từ trường không mạnh lắm và nhiệt độ cao thì khi kim loại chuyển sang trạng thái siêu dẫn, các đường sức từ hợp lưu sẽ bị đẩy ra khỏi nó. Các nghiên cứu sau đó đã chỉ ra rằng trên thực tế, với quá trình chuyển đổi như vậy, một lớp nhỏ dày $10^{-5}—10^{-6}$ cm sẽ xuất hiện trên bề mặt chất siêu dẫn, trong đó dòng điện luân chuyển, che chắn hoàn toàn các vùng bên trong của mẫu khỏi từ trường bên ngoài. Độ dày của lớp này được gọi là độ sâu thâm nhập.

Tôi sẽ không liệt kê tất cả sự thật

3

nêu đặc tính của chất siêu dẫn. Rất nhiều trong số đó đã được phát hiện. Tuy nhiên, bản thân hiện tượng này vẫn còn bí ẩn. Bolshoi, có một số tình huống cơ bản dường như khiến cho hiện tượng siêu dẫn không thể xảy ra.

Năm 1937, P. L. Kapitsa phát hiện ra hiện tượng siêu chảy của gel lỏng - khả năng chảy qua các mao mạch hẹp mà không có bất kỳ ma sát nào. Bốn năm sau, L.D. Landdu đã có thể giải thích hiện tượng này. Trong lý thuyết của Landdu, cái gọi là tiêu chí siêu chảy đã được rút ra, theo đó nó phát sinh khi chuyển động với tốc độ vượt quá một tốc độ tới hạn nhất định. Tôi sẽ mô tả chất lượng này. Sự ức chế gel có nghĩa là sự thay đổi năng lượng và động lượng của nó. Tuy nhiên, gel lỏng là chất lỏng lượng tử và có thể thay đổi năng lượng và động lượng bằng cách hấp thụ và phát ra một số lượng tử nhất định gọi là giả hạt. Tuy nhiên, các giả hạt này hành xử trong thể tích của vật thể giống như các hạt thực, với mối liên hệ vô căn cứ giữa năng lượng và động lượng. Sự khác biệt giữa chúng và các hạt thông thường - electron, photon - là các giả hạt không thể tồn tại bên ngoài cơ thể. Trong helium lỏng, các hạt cũng chỉ có thể xuất hiện khi tốc độ dòng chảy của gel cao hơn một giá trị cuối cùng nhất định.

Có vẻ như từ đây có thể dễ dàng chuyển sang giải thích tính siêu dẫn là tính siêu chảy của chất lỏng điện tử tích điện trong kim loại. Tuy nhiên, tính chất của các giả hạt được tạo ra trong chất lỏng electron hóa ra lại khác với tính chất của các giả hạt trong helium lỏng. Vì vậy, đối với họ, tốc độ tới hạn bằng 0, và do đó, dòng điện không có điện trở hóa ra là không tồn tại. Sự khác biệt giữa hai chất lỏng này - helium lỏng và chất lỏng điện tử là gì? Trước hết, nó nằm ở chỗ mômen quay nội tại, gọi là spin, bằng 0 đối với các nguyên tử gel và $\hbar/2$ đối với electron, trong đó $\hbar$ là hằng số Planck. Vì vậy, ngay lập tức nảy sinh câu hỏi liệu các electron có thể kết hợp thành từng cặp hay không. Đối với các cặp như vậy, tổng spin bằng 0 (các spin của electron hướng ngược nhau) hoặc $\hbar$. Các cặp giả hạt tương tự trong chất lỏng điện tử có thể hướng tới các giả hạt của gel lỏng, và người ta có thể hi vọng gây ra hiện tượng siêu dẫn bằng cách tương tự với hiện tượng siêu chảy. Tuy nhiên, electron là các hạt tích điện đơn màng; do tương tác Coulomb, chúng bị bật ra và dường như không có lý do gì để ghép đôi.

Chỉ đến năm 1950, một thí nghiệm mới được thực hiện để thay đổi trường tới hạn $B_{\kappa p}$ và nhiệt độ $T_{\kappa p}$ của các mẫu thủy ngân ở các trạng thái đồng vị khác nhau, giúp làm sáng tỏ các nguyên nhân có thể hình thành cặp. Chúng tôi phát hiện ra rằng các giá trị của $T_{\kappa p}$ và $B_{\kappa p}$ phụ thuộc vào khối lượng của đồng vị theo định luật

$$T_{\kappa p}, B_{\kappa p} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}.$$

Nhưng khối lượng của các hạt nhân tạo thành mạng tới hạn chỉ biểu hiện ở chuyển động của chúng. Vì vậy, rõ ràng là chuyển động này là cần thiết cho tính siêu dẫn. Dựa trên thực tế này, nhà vật lý người Anh G. Freilix và, độc lập với ông, nhà vật lý người Mỹ J. Bardeen đã đề xuất một khái niệm giải thích bản chất của lực hút giữa các electron. Thực tế là các hạt nhân, hay đúng hơn là các ion tạo thành mạng quan trọng của kim loại, cũng là một hệ lượng tử, và trong hệ thống này cũng có các giả hạt tương ứng với các bình mạng. Chúng được gọi là phonon. Các electron có thể trao đổi phonon và liên kết này dẫn đến lực hút có thể thắng lực đẩy Coulomb trực tiếp.

Tuy nhiên, ngay cả sau khi ý tưởng này được trình bày, người ta vẫn chưa rõ làm thế nào lực hút như vậy có thể tạo ra các cặp electron. Theo cơ học lượng tử, để điều này xảy ra thì lực hấp dẫn phải đủ lớn và

4

hoạt động ở khoảng cách rất xa. Mặt khác, động năng của các electron làm chúng phát triển theo các hướng khác nhau. Một lối thoát khỏi tình huống này đã được tìm ra bởi nhà vật lý người Mỹ L. Cooper, người đã thu hút sự chú ý đến thực tế là chúng ta đang nói về sự hình thành các cặp không phải từ hai electron biệt lập mà với sự có mặt của toàn bộ tập hợp các electron khác. Chúng ta có thể nói khác đi: các cặp được hình thành không phải từ các electron mà từ các giả hạt của chất lỏng điện tử. Những cặp này bắt đầu được gọi là Cooper theo tên của người phát hiện ra chúng.

Một năm sau, vào năm 1957, Bardin, Cooper và R. Schrieffer, và độc lập với họ, Viện sĩ N.N. Bogolyubov, đã xây dựng một lý thuyết microsop về tính siêu dẫn, kết nối tất cả các dữ kiện thực nghiệm đã biết về tính chất của chất siêu dẫn với nhau.

Tôi sẽ không trình bày lý thuyết này ở đây do tính phức tạp của nó. Tôi sẽ chỉ lưu ý một vài trường hợp quan trọng. Trước hết, nếu hệ thống ở $T=0$, thì năng lượng chỉ có thể được truyền sang nó bằng cách phá vỡ cặp. Điều này đòi hỏi sự tiêu tốn năng lượng hữu hạn, được ký hiệu là $2\Delta$. Về vấn đề này, nhiệt điện tử ở nhiệt độ thấp hoạt động giống như $e^{-\Delta/T}$. Thứ hai: Tôi đã lưu ý rằng để kết nối các electron thành từng cặp, toàn bộ tập thể điện tử tồn tại. Nhưng trạng thái của hệ thống này phụ thuộc vào nhiệt độ. Do đó, năng lượng liên kết của cặp $2\Delta$ phụ thuộc vào nhiệt độ và ở $T=T_{\text{кр}} \Delta(T)$ nó trở thành 0—chất siêu dẫn trở thành kim loại bình thường.

Thuộc tính thứ ba là do các cặp có kích thước hữu hạn, vào cỡ $10^{-4}-10^{-5}$ cm. Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để chúng không can thiệp lẫn nhau? Xét cho cùng, khoảng cách trung bình giữa các electron trong kim loại là $10^{-8}$ cm. Nghịch lý này là biểu hiện của tính chất lượng tử của vật chất. Tuy nhiên, trong số các tác giả của lý thuyết siêu dẫn microsop, Schrieffer, để so sánh, đã ví các electron trong chất siêu dẫn giống như một điệu nhảy trong vũ trường hiện đại. Cả hai cùng khiêu vũ và mặc dù có nhiều vũ công khác ở giữa nhưng họ vẫn không mất liên lạc với nhau. Do đó, sẽ chính xác hơn không phải nói về các cặp mà nói về mối tương quan cặp của các electron trong chất siêu dẫn.

Tôi đã nói với bạn rằng khi so sánh từ trường bên ngoài với từ trường tới hạn, chất siêu dẫn sẽ chuyển sang trạng thái bình thường. Nói đúng ra, tuyên bố này chỉ có giá trị đối với một mẫu hình trụ trong trường dọc và hơn nữa, không đúng đối với tất cả các chất siêu dẫn. Thật vậy, tại sao một chất siêu dẫn khổng lồ không nên được chia nhỏ thành những con voi mỏng bằng kim loại bình thường và siêu dẫn và duy trì tính siêu dẫn cho đến khi thành phố của những cánh đồng rộng lớn? Xét cho cùng, trường tới hạn của một lớp mỏng cao hơn trường tới hạn của chất siêu dẫn lớn. Sự phân tách thành voi không xảy ra vì trong tất cả các chất siêu dẫn nguyên chất gồm một kim loại, có một năng lượng bề mặt đặc biệt phát sinh ở ranh giới giữa pha thường và pha siêu dẫn. Năng lượng này, giống như sức căng bề mặt, có xu hướng làm giảm diện tích bề mặt của các ranh giới. Lý thuyết lò vi sóng giải thích nguồn gốc của nó. Hóa ra nó có liên quan đến kích thước hữu hạn của các cặp Cooper. Nếu bạn giảm kích thước này, năng lượng bề mặt có thể đổi dấu và trở nên âm. Do đó, sự phân chia tự nhiên của các chất siêu dẫn sẽ phát sinh thành chất siêu dẫn loại thứ nhất - có năng lượng bề mặt dương và chất siêu dẫn loại thứ hai - có năng lượng bề mặt âm. Cần lưu ý rằng chất siêu dẫn loại II phổ biến hơn nhiều so với chất siêu dẫn loại I. Hơn nữa, bất kỳ chất siêu dẫn nào thuộc loại thứ nhất đều có thể được chuyển đổi thành loại thứ hai. Để làm được điều này, chỉ cần đưa một lượng nguyên tử nhất định vào đó, nếu không sẽ làm hỏng mạng tinh thể. Các electron bắt đầu phân tán trên những khuyết tật này. Bản chất chuyển động của electron thay đổi và kích thước của các cặp trở nên nhỏ hơn

5

cô ấy. Với nồng độ khuyết tật vừa đủ, chất siêu dẫn loại I nhất thiết phải chuyển thành chất siêu dẫn loại II.

Bây giờ tôi sẽ nói một chút về tính chất của chất siêu dẫn loại II. Vì năng lượng bề mặt trong chúng là âm nên không có gì được chuyển đến sự phân chia vô tận thể tích của chúng thành các vùng bình thường và siêu dẫn. Do đó, tính siêu dẫn trong chúng sẽ bị dịch chuyển dần khi từ trường ngoài tăng dần, bắt đầu từ một giá trị trường nhất định $B_{kp,1}$. Quá trình chuyển sang trạng thái bình thường xảy ra ở trường tới hạn trên $B_{kp,2}$. Ý nghĩa vật lý của $B_{kp,2}$ như sau. Trong từ trường, các electron, là các hạt tích điện, chuyển động dọc theo quỹ đạo xoắn ốc và bán kính xoắn ốc tỷ lệ nghịch với $B$. Nếu bán kính của hình xoắn ốc trở nên nhỏ hơn kích thước của cặp thì cặp đó không thể tồn tại được nữa và tan rã. Nếu từ trường bên ngoài thấp hơn $B_{kp,2}$ nhưng trên $B_{kp,1}$ thì nó sẽ xuyên qua một phần chất siêu dẫn. Điều này xảy ra do sự xuất hiện của dòng điện đầu ra trong chất siêu dẫn. Hóa ra những thứ này xuất hiện dưới dạng vật thể lượng tử. Mỗi người trong số họ mang một lượng tử từ thông. Nếu muốn, chúng ta có thể nói rằng số đường sức truyền qua mỗi dòng điện được xác định chặt chẽ. Lượng tử từ thông rất nhỏ và bằng $\Phi_0=\pi h/e=2\cdot 10^{-15}$ Wb.

Khi trường bên ngoài giảm, các đầu ra phân kỳ và trong trường $B_{kp,1}$ biến mất hoàn toàn khỏi chất siêu dẫn.

Một ống trụ kim loại được làm nguội đến nhiệt độ thấp ở trạng thái siêu dẫn. Khi bật từ trường, các điểm hình tròn được tạo ra trên bề mặt hình trụ, tạo ra một từ trường trong hình trụ có độ tự cảm $B_{tok}$, có độ lớn bằng nhau và ngược chiều với độ tự cảm $B_{беншен}$ của từ trường bên ngoài. Những chấm tròn này có tính siêu dẫn và không mờ dần theo thời gian. Do đó, tại điểm của chất siêu dẫn, tổng giá trị cảm ứng bằng 0: $B_{беншен} + B_{tok} = 0$. Các đường sức chỉ thị không xuyên qua chất siêu dẫn.

Độ tự cảm của trường bên ngoài càng lớn thì dòng điện phải chạy qua bề mặt càng nhiều để đảm bảo rằng phần bên trong chất siêu dẫn kim loại được bảo vệ khỏi trường bên ngoài. Ở một giá trị tới hạn nhất định của trường bên trong $B_{kp}$, trường xuyên qua liên kết bên trong, tính siêu dẫn bị phá hủy - kim loại chuyển sang trạng thái bình thường. Một từ trường bên ngoài là không cần thiết cho sự chuyển đổi như vậy. Dòng điện chạy dọc theo bề mặt chất siêu dẫn tự nó tạo ra một từ trường và khi $B_{tok}$ đạt đến giá trị tương ứng với $B_{kp}$ thì chất siêu dẫn bị phá hủy. Giá trị $B_{kp}$ tăng khi nhiệt độ giảm, nhưng thậm chí gần với $T=0$ giá trị $B_{kp}$ đối với kim loại siêu dẫn nguyên chất là không lớn - không quá mười phần bột.

Trong các hợp kim siêu dẫn, cũng như trong một số hợp chất siêu dẫn, ở những cảm ứng nhất định $B_{kp,1}$ trường bắt đầu xuyên qua liên kết bên trong. Trong trường hợp này, các cụm đường cảm ứng từ riêng biệt xuất hiện. Mỗi cục máu đông như vậy được bao quanh bởi các dòng điện hình vòng làm đầy các đầu ra thành chất lỏng hoặc khí. Những cụm này được gọi là đầu ra. Bên trong, chất siêu dẫn bị phá hủy, nhưng ở khoảng không giữa các lối ra, nó vẫn được bảo toàn. Với cảm ứng từ trường ngày càng tăng, số lượng đầu ra tăng lên.

Tại một số cảm ứng $B_{kp,2}$ đầu ra bắt đầu bị đứt, trường được “lấp đầy” mẫu và tính siêu dẫn bị phá hủy hoàn toàn. Chất siêu dẫn có những đặc tính như vậy được gọi là chất siêu dẫn loại II.

8

gốm dẫn điện. Từ năm 1973 cho đến giữa năm 1986, kỷ lục về nhiệt độ tới hạn tối đa thuộc về các màng làm từ Nb₃Ge, giữ được độ siêu dẫn lên tới 23 K. Tuy nhiên, vào mùa thu năm 1986, một thông điệp xuất hiện từ các nhà vật lý G. Bednorz và A. Mühler (Thụy Sĩ) về việc phát hiện ra tính siêu dẫn của hợp chất La - Ba - Cu - O với nhiệt độ tới hạn trong vùng 30 K. Các tác giả này đã làm như vậy. không ngay lập tức tiếp cận mục tiêu của họ. Thực tế là ngay cả trước chúng, người ta đã biết đến oxit siêu dẫn Ba - Pb - Bi - O với nhiệt độ tới hạn 14 K. Điều kỳ lạ ở hợp chất này là mật độ của các electron tự do mang dòng điện là 10²¹ cm⁻³, nhỏ hơn một bậc so với kim loại thông thường. Đồng thời, theo lý thuyết Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS), giá trị của nhiệt độ tới hạn tăng theo số lượng electron tự do. Rõ ràng là việc giảm số lượng electron sẽ dẫn đến giảm Tₖp. Và 14 K là nhiệt độ tới hạn tương đối cao.

Tiếp theo, sự chú ý của Bednorz và Mühler bị thu hút bởi các oxit chứa đồng ở trạng thái có hóa trị trung gian: một phần Cu⁺⁺ và một phần Cu⁺⁺⁺. Những oxit như vậy đã được các nhà vật lý người Pháp nghiên cứu. Họ đưa nguyên tố hiếm lanthanum vào làm thành phần cấu trúc. Nếu chúng ta lấy hợp chất La₂CuO₄, thì đồng trong đó chỉ là hóa trị hai và chất này hoạt động như một chất cách điện. Mühler và Bednorz bắt đầu thay thế lanthanum hóa trị ba bằng các nguyên tố hóa trị hai để lấy đi một số electron khỏi đồng và do đó chuyển một phần đồng sang trạng thái hóa trị ba. Kết quả là đã thu được chất siêu dẫn nhiệt độ cao đầu tiên La₂-xBaₓCuO₄, trong đó x=0,1-0,2. Lúc đầu, Bednorz và Mühler không tin bất cứ điều gì, và bài báo của họ đã được đăng trên tạp chí vật lý hàng đầu của Mỹ “Physical Review Letters”. Sau đó, họ gửi nó đến tạp chí Zeitschrift für Physik của Đức, nơi nó được xuất bản vào mùa thu năm 1986. Ban đầu bài báo không thu hút được sự quan tâm. Nhưng sau đó các chuyên gia Nhật Bản quyết định kiểm tra tin nhắn và tin rằng Mueller và Bednorz không nhầm. Sau đó, các nhà vật lý Mỹ đã tiến hành nghiên cứu và từ đầu năm 1987, một “sự bùng nổ siêu dẫn” thực sự đã nổ ra. Hiện nay có hàng nghìn bài viết về chủ đề này. Tôi không thể cho bạn biết tất cả các chi tiết của cuộc đua này, nhưng tôi sẽ lưu ý những điểm chính.

Điều tự nhiên là cố gắng tăng nhiệt độ tới hạn bằng cách thay thế các nguyên tố bằng các chất tương tự hóa học của chúng. Việc thay Ba bằng Sr dẫn đến kết quả là Tₖp=45 K. Một nhóm người Mỹ đến từ Houston do P. Chu dẫn đầu đã cho các mẫu này bị lăn và phát hiện ra rằng nhiệt độ tới hạn tăng nhanh trong quá trình lăn, mặc dù trong các chất siêu dẫn thông thường ở những điều kiện tương tự, Tₖp có xu hướng giảm nhẹ. Sau đó, họ quyết định thử tạo ra một loại scatium “hóa học” bằng cách thay thế các nguyên tử lanthanum bằng các nguyên tử intria nhỏ hơn. Kết quả là thu được một hợp chất có nhiệt độ tới hạn cực kỳ cao Tₖp~93 K.

Ý tưởng về “scathium hóa học” đã giúp thực hiện khám phá này, nhưng cuối cùng hóa ra nó lại sai lầm. Các chỉ số được nghiên cứu rất kỹ lưỡng cho thấy chất siêu dẫn nhiệt độ cao là pha “1 - 2 - 3”: Y Ba₂Cu₃O₇-x, trong đó x nhỏ hơn một. Những nỗ lực sau đó nhằm thay thế Y bằng các nguyên tố khác đã chứng tỏ rằng tính siêu dẫn với Tₖp~90 K được quan sát thấy trong các hợp chất có cấu trúc “1 - 2 - 3”, trong đó osmium và hầu hết các loại đất hiếm, kể cả lanthanum, có thể thay thế intrium.

Bây giờ tôi sẽ nói về một số đặc điểm của các hợp chất này và cố gắng giải thích về mặt lý thuyết Tₖp cao. Trước hết là về kết cấu. Trong các hợp chất điển hình chung La - Ba - Cu - O và Y - Ba - Cu - O, nó tương ứng với cái gọi là các hợp chất tuần hoàn Slonsky.

10

dây dẫn: sự hài lòng lớn hơn 100 lần so với đồng.

Về phần giải thích lý thuyết, có nhiều câu hỏi hơn đáp số. Ví dụ, theo lý thuyết Bardeen-Cooper-Schriefer, thu được sự tương ứng $2\Delta(0)/T_{\kappa p}=3,5$. Đối với các chất siêu dẫn mới, những thay đổi khác nhau mang lại giá trị này từ 3 đến 12. Hơn nữa, những chất này có một số tính năng đặc biệt, nhưng không rõ tính năng nào trong số chúng có tầm quan trọng cơ bản. Ví dụ, độ phức tạp của tinh thể đóng vai trò gì, sự tồn tại của các nguyên tử lanthanum hoặc indium có vai trò trong cơ chế siêu dẫn hay chúng đóng vai trò trong quá trình giàn cơ học giữ mạng tinh thể lại với nhau? Vai trò của oxy là gì? Được biết, trong hợp chất intrium có một con voi, gồm chuỗi Cu - O - Cu - O và có những mặt phẳng trong đó hai nguyên tử oxy đi vào mỗi nguyên tử đồng. Khi oxy bị loại bỏ, đầu tiên nó sẽ rời khỏi chuỗi và chất này mất đi tính siêu dẫn. Nhưng trong hợp chất lanthanum không có chuỗi như vậy.

Vì vậy, không rõ ràng là nên bám vào cái gì. Người ta đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng trong các chất siêu dẫn mới, các electron được kết hợp thành cặp Cooper. Nhưng cơ chế hấp dẫn là gì? Cơ chế chuyển phonan - lượng tử của mạng bình - được theo sau bởi hệ số đồng vị, tức là sự thay đổi $T_{\kappa p}$ khi chuyển sang đồng vị khác. Các thay đổi đã được thực hiện đối với các mẫu bằng cách thay thế đồng vị $O^{16}$ bằng $O^{18}$. Đối với hợp chất lanthanum, hệ số được quan sát thấy, mặc dù nó nhỏ hơn dự đoán của lý thuyết VKS. Nhưng trong chất siêu dẫn natri 90 độ, cũng như trong cùng chất với natri châu Âu, hệ số này thực tế không có. Do đó, người ta rút ra kết luận rằng, ngoài cơ chế phonon đã được biết đến từ lâu, còn có một cơ chế khác truyền tải tương tác giữa các electron. Về nguyên tắc, các giả hạt thuộc các loại khác có thể tồn tại trong một chất – ví dụ, những giả hạt liên quan đến sự kích thích của các electron ở xa các từ dẫn điện. Chúng được gọi là plasmen. Có những chất khác: chất này có thể gần chuyển sang trạng thái có trật tự từ tính. Trạng thái này có các giả hạt riêng - magnons. Nhưng ngay cả khi không có trật tự thực sự, nó vẫn có thể phát sinh dưới dạng thăng giáng và tạo ra sự tương tác giữa các điện tử. Các lý thuyết đã xuất hiện lợi dụng hoàn cảnh này.

Tôi không thể liệt kê tất cả các lý thuyết - có rất nhiều lý thuyết. Tôi sẽ chỉ lưu ý khái niệm rất thú vị về tâm hai điện tử. Người ta biết rằng oxy rất dễ thoát ra khỏi các chất siêu dẫn mới, trong khi ở các oxit thông thường, nó liên kết rất kém. Có một khái niệm theo đó hai electron có thể ngay lập tức rời khỏi nguyên tử oxy để đến đồng; điều này làm cho oxy trung hòa và do đó làm cho oxy thoát ra khỏi mạng dễ dàng hơn. Và trường hợp các electron ở trạng thái kim loại tập thể hoặc định vị thành từng cặp trên oxy sẽ dẫn đến lực hút của chúng.

Vì vậy, hiện nay là lúc để nghiên cứu, tìm kiếm cơ chế siêu dẫn nhiệt độ cao cũng như các phương pháp ứng dụng thực tế của vật liệu siêu dẫn mới. Nghiên cứu đang được thực hiện bởi nhiều nhóm người và có thể họ đang gia tăng thành công. Tuy nhiên, việc phát hiện ra chất siêu dẫn nhiệt độ cao đã đạt được một điều quan trọng: nó đã phá bỏ định kiến ​​lâu nay cho rằng tính siêu dẫn được giải thích bằng ba nhiệt độ. Điều này khuyến khích mọi người đảm nhận những vị trí xa hơn, và ngay cả khi không thể “thuần hóa” được loại gốm siêu dẫn đã được phát hiện, chắc chắn sẽ tìm ra các loại chất siêu dẫn khác có $T_{\kappa p}$ cao hơn và phù hợp hơn cho sử dụng thực tế.

13

SỐ VÀ CHỨC NĂNG

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học A. S. YARSKY

“Hàm đại số”, “phương trình đại số”, “đường cong đại số”… Trong số gần như vô tận các nhánh của toán học hiện đại, không có lĩnh vực nào mà mặt đại số của đối tượng toán học đang được xem xét lại không được nghiên cứu riêng biệt. Thậm chí người ta còn thường nói đến một loại “thí nghiệm đại số” trong toán học.

Tập hợp các số và tập hợp các hàm được ban cho một phân loại đại số duy nhất: “hợp lý”, “đại số”, “siêu việt”. Đối với các con số, sự phân loại này được phát triển từ thế kỷ 17 (mặc dù chỉ đến năm 1844, bằng chứng đầu tiên về tính siêu việt của một tập hợp số nhất định thuộc về J. Liouville mới xuất hiện) và dần dần được chuyển sang một tập hợp các đối tượng toán học ngày càng rộng hơn.

Tính tổng quát của cách phân loại này giúp chúng ta có thể đặc biệt xem xét một số tính chất của hàm số và số theo một quan điểm thống nhất, thấy rõ hơn những điểm tương đồng của chúng và từ đó hiểu sâu sắc hơn sự khác biệt của chúng.

§ 1. Số nguyên và hàm

Hãy xem xét hai tập hợp - tập $Z$ số và tập $R[x]$ đa thức một biến $x$ với các hệ số trong tập $R$ số thực. Thoạt nhìn, hai bộ này khác nhau lời giải về tổng cộng: phần tử $Z$ là số và phần tử $R[x]$ là hàm, tất cả các phần tử $Z$ có thể được sắp xếp dưới dạng một chuỗi $0,1,—1,2,—2,....$ và không thể thực hiện thao tác với các phần tử $R[x]$ - có “quá nhiều” trong số chúng cho việc này… Vì vậy, hãy xem sự khác biệt giữa $Z$ và $R[x]$ dễ dàng. Khó hơn là khám phá những đặc tính làm cho hai tập hợp này giống nhau, khám phá sự tương tự tạo cơ sở cho việc “gọi những thứ khác nhau bằng cùng một tên” (mà theo A. Poincaré, đó chính là nội dung của toán học).

1. Tổng, hiệu, tích các số nguyên (đa thức) là một số nguyên (đa thức).

2. Bất kỳ số nguyên (đa thức) nào cũng có thể được chia với số dư cho một số nguyên khác 0 (đa thức khác 0).

Hãy xem xét tính chất thứ hai - tính chia hết. Thuật toán chia đa thức có phần dư - chia cho “góc” - rất giống với phép chia cho “góc” của số nguyên. Ví dụ:

$$\frac{x^3+2x^2-x-1}{x^3+3x^2-x^2-x+2}$$

Từ đây

$$x^3+2x^2-x-1=(x^2-x+2)(x+3)-7.$$

Nói chung, nếu $P, Q \in R[x]$ và $Q$ là các đa thức khác 0 thì cũng tồn tại $P_1, R \in R[x]$ sao cho

$$P=P_1Q+R,$$

và bậc của số dư $R$ hoàn toàn nhỏ hơn bậc của số chia $Q$. Thương $P_1$ và số dư $R$ được xác định duy nhất bằng cách chọn số bị chia $P$ và số chia $Q$.

Chúng ta hãy nhớ lại một vài định nghĩa. Ước chung lớn nhất (GCD) của các đa thức $P$ và $Q$ là đa thức $D$ chia $P$ và $Q$ và chia hết cho bất kỳ ước chung nào khác.*) Chúng ta hãy biểu thị GCD $P$ và $Q$ bằng ký hiệu $(P, Q)$.

*) Trong thực tế, chúng ta chỉ định nghĩa GCD theo đa thức được xây dựng.

19

ÁP SUẤT ÁNH SÁNG
S. V. GRYZLOV

Các nhà khoa học thời Trung cổ quan sát chuyển động của sao chổi đã cố gắng tìm hiểu lý do tại sao, tùy thuộc vào vị trí của sao chổi so với Mặt trời, hình dạng đuôi của chúng lại thay đổi. Năm 1604, Johannes Kepler đề xuất rằng hình dạng đuôi sao chổi được xác định bởi tác động của áp suất ánh sáng. Kể từ đó, nhiều nhà nghiên cứu đã cố gắng tìm hiểu áp suất này (trong số đó có một trong những người sáng tạo ra lý thuyết sóng ánh sáng, O. Fresnel). Nhưng tất cả các thí nghiệm đều không thuyết phục. Và trong gần 300 năm, áp suất nhẹ vẫn chỉ là giả thuyết.

Grabora này là bìa của cuốn sách “Người đàn ông trên mặt trăng” của F. Godwin ấn bản năm 1648 tại Pháp. Có lẽ người nghệ sĩ tin rằng trên bầu trời Mặt trăng, một chiếc máy bay như vậy sẽ di chuyển nhờ áp lực của ánh sáng mặt trời?

19

20

Năm 1865, J.C. Maxwell phát minh ra lý thuyết điện từ về ánh sáng. Theo lý thuyết này, sóng ánh sáng có bản chất điện từ, tức là hiện tượng ánh sáng có thể coi là trường hợp đặc biệt của hiện tượng điện từ. Từ các phương trình cơ bản của lý thuyết Maxwell, sự tồn tại của áp suất ánh sáng được coi là một thực tế hoàn toàn chính xác. Maxwell đã tính toán áp suất này. Theo tính toán, hóa ra vào một buổi trưa nắng, trên bề mặt phản xạ đầy đủ các tia sáng, một áp suất chỉ bằng 4,7 × 10⁻⁶ N/m2 sẽ được tạo ra.

Trong một thời gian dài, học sinh tranh luận về tính đúng đắn của phương trình Maxwell. Những nỗ lực một lần nữa được thực hiện để phát hiện ảnh hưởng của áp suất ánh sáng. Và một lần nữa - hoàn hảo.

Khó khăn trong việc đo áp suất ánh sáng không những không lớn đến mức lực của áp suất ánh sáng rất nhỏ. Những rắc rối chính nảy sinh do người thí nghiệm đã can thiệp vào… chính ánh sáng. Hơn nữa, “hiệu quả” của sự giao thoa mà nó tạo ra còn lớn hơn nhiều lần so với áp suất của ánh sáng.

Năm 1899, nhà vật lý nổi tiếng người Nga Pyotr Nikolaevich Lebedev lần đầu tiên đo được áp suất của ánh sáng. Anh ấy đã có thể nhanh chóng vượt qua những khó khăn khiến người khác không thể khám phá.

Phần chính của thiết bị Lebedev là những đôi cánh phẳng, nhẹ được làm từ nhiều loại vật liệu kim loại (chủ yếu). Bề mặt của một cánh bị đen, trong khi những cánh khác được tráng gương. Ánh sáng gần như bị phản xạ hoàn toàn khỏi bề mặt gương và bề mặt bị đen sẽ hấp thụ ánh sáng. Kết quả là lực ép nhẹ lên các cánh gương lớn gần gấp đôi lực ép lên các cánh đen. Do đó, một mô-men xoắn xuất hiện, hệ thống cánh bắt đầu quay, xoắn sợi chỉ. Góc xoắn của sợi chỉ được sử dụng để ước tính áp suất ánh sáng.

Loại nhiễu nào xảy ra trong quá trình đo?

Đầu tiên là ánh sáng chiếu xuống cánh cũng làm nóng không khí xung quanh. Các dòng không khí đối lưu sinh ra, giống như gió, làm cho cánh chuyển động. Và khi nhà khoa học thực hiện các phép đo, người ta không biết tại sao các cánh lại bị trộn lẫn - do áp suất nhẹ hoặc do luồng không khí.

Đây không phải là trở ngại duy nhất. Dưới tác dụng của ánh sáng, một hiệu ứng khác xảy ra, gọi là phép đo phóng xạ. Bản chất của nó là các mặt khác nhau của cánh được làm nóng khác nhau (xét cho cùng, ánh sáng chỉ chiếu từ một phía) và cung cấp lượng năng lượng khác nhau cho các phân tử không khí tiếp xúc với chúng. Phía có năng lượng này lớn hơn (phía ấm hơn), các phân tử rời đi với tốc độ lớn hơn, tức là có động lượng lớn hơn. Và theo định luật bảo toàn động lượng, khi bay đi, chúng đẩy người chạy cánh với một lực lớn hơn các phân tử của phía “lạnh” đối diện. Hóa ra lực phóng xạ tác dụng cùng hướng với áp suất ánh sáng, và độ lớn của chúng, như đã đề cập, lớn hơn áp suất ánh sáng vài bậc độ lớn.

Để hạn chế tối đa những lực “có hại” này, trước hết cần phải tạo ra chân không. Càng ít phân tử còn lại trong bình thì độ giao thoa càng yếu.

Không phải vô cớ mà Lebedev chọn màng kim loại mỏng làm chất liệu cho cầu thủ chạy cánh. Thứ nhất, những tấm màng như vậy dẫn nhiệt tốt và chênh lệch nhiệt độ ở các phía khác nhau của cánh trở nên nhỏ hơn – hiệu ứng phóng xạ cũng giảm. Ngoài ra, khối lượng nhỏ của chúng xác định mômen quán tính nhỏ của toàn bộ hệ thống chuyển động, điều này trong điều kiện chân không cũng giúp tăng độ chính xác của thí nghiệm.

Nhiều thiết bị và dụng cụ khác nhau được phát minh bởi P. N. Lebedev. Ông đã xem xét nhiều lựa chọn về điều kiện thí nghiệm và trải qua nhiều thay đổi khác nhau cho đến khi công việc của ông thành công.

21

Kết quả của thí nghiệm của mình là ông đã thay đổi áp suất ánh sáng; giá trị mà ông thu được trùng với giá trị mà lý thuyết Maxwell dự đoán với độ chính xác là 20%. Lebedev chứng tỏ rằng luồng ánh sáng không chỉ có năng lượng mà còn có động lượng.

Trong một thời gian dài không thể sử dụng áp suất nhẹ do công suất thấp. Chỉ sự ra đời của tia laser - thiết bị có khả năng tập trung năng lượng ánh sáng thành một chùm tia rất hẹp và mạnh - mới có thể áp dụng những khám phá của Lebedev.

Ví dụ, bạn có thể giữ các hạt nhỏ trong không khí, cân bằng lực hấp dẫn với lực áp suất nhẹ và trộn chúng. Dưới tác dụng của áp suất ánh sáng, các hạt có khối lượng khác nhau sẽ có gia tốc khác nhau. Vì vậy, có thể phân loại các hạt rất nhỏ bằng các bẫy đặc biệt.

Áp suất ánh sáng có thể được sử dụng để tách hỗn hợp hai khí. Sự phân tách như vậy có thể được thực hiện nếu tần số của bức xạ laser (mà hỗn hợp được chiếu xạ) trùng với tần số chuyển đổi của các nguyên tử của một trong các khí từ trạng thái không bị kích thích trong không khí.

Bằng cách hấp thụ một photon, một nguyên tử của chất khí đó nhận được một xung lực theo hướng của chùm tia laser. Trong quá trình chuyển đổi ngược của nguyên tử từ trạng thái kích thích sang trạng thái không kích thích, vectơ động lượng của photon phát ra có hướng tùy ý. Trong quá trình hấp thụ và phát xạ tiếp theo, các xung “phát xạ” triệt tiêu lẫn nhau và các xung “hấp thụ” cộng lại, và cuối cùng nguyên tử cộng hưởng nhận được một xung chung hướng dọc theo cung laser. Do đó, chùm tia laze tuần tự đi qua các buồng trong đó có hỗn hợp khí sẽ mang theo các nguyên tử của một trong số chúng vào buồng thứ hai.

Áp suất nhẹ cũng có thể được sử dụng để tăng tốc một bộ phận trong chân không (có quá nhiều lực cản trong không khí). Điều này có thể được sử dụng, ví dụ, để mô hình hóa lẫn nhau

22

TIẾP TỤC LÀ GÌ

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. EFREMOVICH

Đây là một khái niệm cơ bản trong toán học. Nó thuộc về cái được gọi là hình học định tính, tức là một phần của hình học hoàn toàn không bị giao cắt bởi các khái niệm có tính chất đo lường (khoảng cách, độ dài, thể tích, …). Bất chấp điều này (hoặc có lẽ vì điều này?), toàn bộ tòa nhà phân tích toán học và gần như toàn bộ hình học đều đứng trên đó.

Những khái niệm này đã được các nhà toán học thời cổ đại sở hữu (ở mức độ trực quan), nhưng định nghĩa chính xác chỉ được đưa ra vào nửa đầu thế kỷ 19, được thay thế bởi nhà toán học người Pháp O. Cauchy (1787-1857). Để làm rõ định nghĩa này, chúng ta cần

Khái niệm chung về hàm

Khái niệm về chức năng đã trải qua một số khái quát hóa quan trọng. Lúc đầu, chỉ các hàm số của một đối số số mới được xem xét, ví dụ: $x^3$, Тg $x$, $e^x$, và hơn nữa, được chỉ định bởi một hoặc một biểu thức phân tích khác. Sau này hóa ra cái sau không tồn tại. Điều quan trọng duy nhất là mỗi giá trị của đối số $x$ tương ứng với giá trị số riêng của hàm. Hàm liên tục được biểu thị bằng một đường cong liên tục thu được bằng cách di chuyển bút chì mà không nhấc nó lên khỏi giấy (trên hình 1 - hàm liên tục, trên hình 2 - không liên tục).

Tiếp theo, chúng ta có thể xem xét các hàm số của đối số chính xác, ví dụ: nhiệt độ hoặc áp suất khí quyển tại các điểm khác nhau trong không gian. Một ví dụ khác. Mảnh đất bằng phẳng phủ đầy tuyết; thì chiều cao $h$ của lớp tuyết phủ tại mỗi điểm $p$ là giá trị của một số hàm: $h=f(p)$. Nếu tọa độ $x$, $y$ được đặt trên trang web, mỗi điểm sẽ nhận được “tên” riêng: $p=(x, y)$ và hàm $f$ được đề cập có thể được viết như sau: $f(p)=f(x, y)$. Đó là hàm một biến điểm $p$, hoặc là hàm hai biến số $x$, $y$. Đồ thị của hàm này là bề mặt tuyết.

Cuối cùng, người ta có thể xem xét (trường hợp tổng quát nhất) hàm chính xác của đối số chính xác, tức là ánh xạ $f: X \rightarrow Y$ của hàm số $X$ vào hàm $Y$. Đây là sự biểu diễn của một hàm không gian trên một bản vẽ phẳng, ví dụ, hình chiếu trực giao của một vật thể lên một mặt phẳng. Bức tranh hoặc bức ảnh của bất kỳ nghệ sĩ nào cũng có thể được xem dưới dạng một hàm (tức là một bản đồ), trong đó mỗi điểm $x$ được mô tả tương ứng với điểm $x'$ của hình ảnh. Trong trường hợp này, $x'=f(x)$ được gọi là ảnh của điểm $x$. Các nghệ sĩ chủ yếu quan tâm đến chức năng hiển thị như vậy. Đặc biệt có giá trị là sự đóng góp của Đại Leonardo da Vinci (1452-1519), một trong những nghệ sĩ đầu tiên sáng lập ra lý thuyết toán học về phối cảnh.

Tính liên tục

Khái niệm chung nhất về các hàm ánh xạ giúp có thể hình dung đầy đủ và đồng thời mang tính toán học chặt chẽ.

Hình 1.
Hình 2.

23

giải thích khái niệm liên tục. Để làm điều này, trước tiên hãy xem xét một ví dụ trong đó xảy ra sự gián đoạn, tức là vi phạm tính liên tục.

Giả sử $X$ là một sợi dây cao su để đóng gói thuốc, một mô hình thô của một hình tròn. Giả sử rằng trong quá trình biến dạng, nó đột ngột bị gãy ở một điểm nào đó $a$. Nó có nghĩa là gì? Một số phần của nó $B$, liền kề bằng $a$, tức là nằm cách $a$ bằng 0 (chúng ta viết $B\delta a$), sau dấu ngắt (chúng ta sẽ ký hiệu là $B'$) hóa ra không gần với $a'$ (vị trí mới của điểm $a$ - xem hình 3). Vì vậy, ngắt tại điểm $a$ là sự kiện trong đó một phần của $B$, gần với $a$ ($B\delta a$), trở nên không gần với vị trí mới $a'$ của điểm $a$: $B\delta a$, mà là $B'\delta a'$. Theler hiểu định nghĩa sau:

Ánh xạ $f$: $X \rightarrow Y$ được cho là liên tục tại điểm $a \in X$ nếu mọi phần $B \subset X$ gần với $a$ sau khi ánh xạ đi đến vị trí $B'$ gần với $a' = f(a)$, tức là.

$$B\delta a \Rightarrow B'\delta a'.$$

Ký hiệu $B\delta a$ có ý nghĩa chính xác: đối với mọi giá trị dương nhỏ tùy ý $\varepsilon$ trong hình $B$ có một điểm $x$ sao cho $xa < \varepsilon$ (ở đây $xa$ là khoảng cách từ $x$ đến $a$; từ nay trở đi, bằng $pq$ chúng ta biểu thị khoảng cách từ $p$ đến $q$). Tương tự, $A\delta B$ có nghĩa là trong các hình $A$, $B$ có các điểm $x \in A$, $y \in B$ sao cho $xy < \varepsilon$ cho mọi điểm dương $\varepsilon$. Lưu ý rằng hai đường thẳng e của một điểm không thể gần nhau theo nghĩa này: nếu $a \neq b$, thì $a\beta b$ (sau đây gọi là $ab = 10^{-100}$).*

Định nghĩa này tương đương với định nghĩa Cauchy cổ điển:

Ánh xạ $f$: $X \rightarrow Y$ liên tục tại điểm $a \in X$ nếu với mọi $\varepsilon > 0$ có một $a > 0$ sao cho $xa < \alpha$ ngụ ý $x'a' < \varepsilon$ (ở đây $a' = f(a)$, $x' = f(x))$.

Sự tương đương của hai định nghĩa được chứng minh ở phần cuối của ghi chú của chúng tôi.

Nếu một hàm số liên tục tại mọi điểm $x \in X$ thì nói rằng nó liên tục trên toàn bộ tập hợp $X$.

Định nghĩa này, cùng với định nghĩa của Cauchy, không dễ hiểu rõ ràng. Bản thân Cauchy đã thay đổi đã nhiều lần phạm sai lầm, vô tình thay thế yêu cầu về tính liên tục bằng một yêu cầu mạnh mẽ hơn - cái mà ngày nay gọi là tính liên tục đều. Lò xo này là một phần quan trọng của trường hợp liên tục, và chúng ta sẽ tập trung vào nó.

Tính liên tục thống nhất

Ánh xạ $f$: $X \rightarrow Y$ được gọi là liên tục đều trên $X$ nếu có hai phần gần nhau $A$, $B \subset X$ đi đến $f$ để đóng các phần $A'$, $B' \subset Y$, tức là $A\delta B \Rightarrow A'\delta B'$.

Bài tập. Hiển thị gì

$$tg: \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow R$$

không liên tục đều trên $(-\pi/2; \pi/2)$. (Ở đây khó tìm thấy $A$, $B$ cần thiết sao cho $A\delta B$, nhưng $A'\delta B'$: đây là hai chuỗi điểm, ví dụ: ảnh nghịch đảo của tập hợp $A' = \{1, 3, ...\}$, $B' = \{2, 4, ...\}$, $A'\delta B'$.)

Có một sự khác biệt cơ bản giữa các khái niệm về tính liên tục và tính liên tục thống nhất. Đầu tiên là dựa trên khoảng cách giữa một điểm và một tập hợp, thứ hai là khoảng cách giữa hai tập hợp đề cập đến cấu trúc liên kết và khoảng cách giữa một tập hợp đề cập đến sự gần gũi về mặt hình học, một khoa học “tinh tế” hơn cấu trúc liên kết. Để hiểu sự khác biệt này, chúng ta hãy chỉ đưa ra một ví dụ. Từ quan điểm tôpô, một nhánh của hyperbol và đường tiệm cận của nó không thể được phân biệt với một cặp đường thẳng song song (bất kỳ điểm nào của hyperbol đều không gần với đường tiệm cận của nó).

*) Định nghĩa về độ gần được đưa ra ở đây được tác giả bài viết này đề xuất lần đầu tiên vào năm 1936. Khái niệm độ gần có thể được định nghĩa theo phương pháp tiên đề, không cần sử dụng khoảng cách và toàn bộ cấu trúc liên kết có thể được xây dựng trên cơ sở của nó. (Hơn nữa, biên tập.)

24

Otte!), trong khi hai cặp đối tượng này không giống nhau về hình học tiệm cận (tiệm cận gần với hyperbola!).

Chứng minh sự tương đương của các định nghĩa về tính liên tục

Giả sử ánh xạ $f: X \rightarrow Y$ liên tục tại điểm $a$ theo Cauchy, trong đó $X, Y$ là các số xác định khoảng cách giữa các điểm, có tính chất chung. Sau đó, với mỗi $\varepsilon > 0$ có một số dương $\alpha = \alpha(\varepsilon)$, tùy thuộc vào $\varepsilon$, sao cho $ax < \alpha$ ngụ ý $a'x' < \varepsilon$. Đặt phần $B \subset X$ gần với $a$; điều này có nghĩa là với mọi $\alpha > 0$ trong $B$ đều có một điểm $x$ sao cho $ax < \alpha$. Nếu $\alpha = \alpha(\varepsilon)$ thì $a'x' < \varepsilon$ và vì $\varepsilon$ nhỏ tùy ý nên $B' = f(B)$ gần bằng $a' = f(a)$ ($B\delta a \Rightarrow b'\delta a'$).

Ngược lại, giả sử rằng $f$ thỏa mãn định nghĩa đầu tiên về tính liên tục.

Số và hàm
(Xem phần đầu ở trang 12)

Nó suy ra từ đẳng thức (9) và $PQ' : Q$. Nhưng vì $(P, Q) = 1$, nên $Q' : Q$. Vì vậy, bậc $Q$ không được cao hơn bậc $Q'$. Điều thứ hai chỉ có thể xảy ra nếu $Q$ là một hằng số. Từ (9) cũng suy ra rằng $P$ là một hằng số. Nhưng $r_0 = P/Q$ là một hằng số. Khi xây dựng $r_0$, đẳng thức (8) có dạng $nr_0 = 0$, $r_0 \neq 0$. Và vì $n \geq 1$, đẳng thức này mâu thuẫn. Định lý đã được chứng minh.

Bài tập 11. a) Chứng minh tính siêu việt của hàm số
$y = \sin x; y = \sqrt{e^x} + 1$.

6. Cho ví dụ về hàm số siêu việt $f$ và $g$ sao cho $f + g, fg, f(g(x))$ không siêu việt.

b) Chứng minh rằng nếu $f$ và $g$ là hàm siêu việt thì ít nhất một trong các hàm $f + g$ và $fg$ cũng siêu việt.

Ở cuối § 2, chúng tôi đã cố gắng tìm ra mối liên hệ nào đó giữa tính vô tỷ của một hàm và tính vô tỷ của các giá trị của nó - và đã thất bại hoàn toàn. Sau đó, có lẽ sẽ không còn ai tìm kiếm mối liên hệ giữa tính siêu việt của một hàm số và tính siêu việt của các giá trị của nó nữa. Cuối cùng, để loại bỏ mọi nghi ngờ, chỉ cần xem xét hàm có đồ thị được hiển thị trong hình 5. Tuy nhiên, hàm siêu việt này không chỉ lấy các giá trị đại số mà thậm chí cả các giá trị hữu tỉ cho tất cả các giá trị hữu tỉ $x$ (tự mình chứng minh các thuộc tính được liệt kê của hàm này).

25

Bài toán

M1106 — M1110, F1118 — F1122

M1106. Mỗi trong số ba đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của một hình lục giác lồi chia diện tích của nó làm đôi. Chứng minh rằng ba đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm.

V.V. tùy ý

M1107. Chứng minh rằng nếu $a, b$ và $c$ là độ dài cạnh của tam giác thì

$$2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3.$$

L. D. Kurlyandchik

M1108. Trong một $n$-giác lồi ($n > 4$), không có ba đường chéo nào đi qua cùng một điểm bên trong đa giác. Có thể kiểm tra số đường chéo tối đa là bao nhiêu để tất cả các phần mà chúng chia $n$-gon thành hình tam giác?

M. Khovanov, học sinh lớp 10, Mátxcơva

M1109. Trong một trong những bài tập hình học thứ hai, bài toán sau đây đã được đặt: tính độ dài cạnh của một tam giác vuông đặt trong parabol $y = x^2$. Trong gợi ý đến bài toán người ta nói rằng một trong các đỉnh của tam giác trùng với đỉnh của parabol. Điều này có đúng không gợi ý? độ dài cạnh của một tam giác vuông chèn vào parabol này có thể bằng a) 3; b) 1988?

V. S. Shevelev

M1110. Đối với một số tự nhiên nhất định $n > 1$, chúng ta viết ra các ước số chung nhất của tất cả các cặp số phân biệt có thể có từ 1 đến $n$. Chứng minh rằng a) trung bình số học của tất cả các số $n(n-1)/2$ được viết ra tăng không giới hạn với $n$, nhưng không vượt quá $\ln n + 1$; b) trung bình hình học của chúng không vượt quá 10 đối với bất kỳ $n$ nào.

V. F. Lev

F1118. Một ngư dân sống ở cửa sông chảy ra biển đã chuyển đến nơi ở mới cách thượng nguồn vài km. Trước sự ngạc nhiên của mình, ông phát hiện ra rằng thời gian từ khi bắt đầu thủy triều lên đến khi bắt đầu thủy triều xuống tăng lên và thời gian từ khi bắt đầu thủy triều xuống đến khi bắt đầu thủy triều lên lại giảm xuống. Làm thế nào để bắt buộc hoàn cảnh này?

A. S. Vugov

F1119. Một lượng bất đối xứng nhất định được áp dụng $O—O$ được đổ vào một cái lồng hẹp có các bức tường thẳng đứng song song. Ở một tốc độ quay nhất định, phần thứ $k$ của vùng đáy sẽ lộ ra. Lực ép lên đáy và trên các bức tường bên hẹp thay đổi như thế nào (so với trường hợp vịnh đứng yên)? Khi quay, chất lỏng không bắn ra ngoài. Bỏ qua sức căng bề mặt.

G. S. Lanuds

26

F1120. Để so sánh độ dẫn nhiệt của các vật liệu khác nhau, người ta đề xuất sử dụng các phương pháp sau. Hai hình trụ giống hệt nhau làm bằng vật liệu đang nghiên cứu được đặt trên một tấm nóng (hình 2). Một mảnh nước được đặt trên các xi lanh. Nơi sáp bắt đầu tan chảy nhanh nhất là nơi xi lanh có độ dẫn nhiệt tốt nhất. Phương pháp này có đúng không?

A. I. Vuzdin

F1121. Một quả cầu kim loại có bán kính $r$, được tách ra khỏi các vật thể khác, sau đó xuyên qua lực cản $R$. Một chùm electron có tốc độ ở xa quả bóng là $v$, chạm vào quả bóng. $n$ các electron chạm vào quả bóng mỗi giây. Độ dẫn nhiệt của quả bóng mỗi giây là bao nhiêu? Câu đố là gì?

I. F. Ginzburg

F1122. Đã có những trường hợp quan sát thế giới biển trong khoảng trống. Ảo ảnh như vậy xuất hiện ở khoảng cách nào từ người quan sát? Giả sử tốc độ ánh sáng ở lớp bề mặt trong không gian trống thay đổi theo định luật $c(z)=c_0(1-az)$, trong đó $c_0$ là tốc độ ánh sáng tại bề mặt trái đất, $z$ là độ cao so với bề mặt.

V. I. Klyachin

Problems

M1106 — M1110, P1118 — P1122

M1106. Each of the three lines joining the midpoints of the opposite sides of a convex hexagon divide its area in half. Prove that these lines intersect at one common point.

V. V. Proizvolov

M1107. Prove the inequality

$$2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3,$$

where $a, b, c$ are the sides of a triangle.

L. D. Kurlyandchik

M1108. No three diagonals of a convex $n$ vertex polygon have a single common point inside it ($n \geq 4$). What largest number of diagonals may be drawn so that all the parts into which they split the polygon are triangles?

M. Khovanov, 10th form student, Moscow

M1109. An old geometry problem book contains the following exercise: compute the length of the sides of an equilateral triangle inscribed in the parabola $y=x^2$. As a hint for finding the solution, the authors claim that one of the vertices must coincide with the parabola’s vertex. Is this correct? Can the side of the inscribed equilateral triangle equal a) 3; b) 1988?

V. S. Shevelev

M1110. For a given integer $n>1$ select all the greatest common divisors of pairs of distinct integers from 1 to $n$.

28

Lời giải bài toán
M1086 — M1090, F1097 — F1102

M1086. Khi cắt số, thực hiện hai thao tác: “tăng 2 lần” và “tăng 1”.
Hỏi số nhỏ nhất tính từ số 0 là bao nhiêu: a) số 100? b) số n?

a), 6) Bài toán thuận tiện để giải từ đầu, tức là tìm cách ngắn nhất để lấy số 0 từ một số tự nhiên n tùy ý bằng hai phép toán - trừ 1 (B) và giảm một nửa (D). Gọi r(n) là số phép toán B và D trong thuật toán ngắn nhất như vậy. Nếu n là số lẻ thì chỉ có thể áp dụng phép toán B cho nó, vì vậy

$$r(2k+1)=1+r(2k).$$

Chúng ta hãy chứng minh bằng chỉ số k rằng r(2k)=1+r(k), tức là một số chẵn trong thuật toán ngắn nhất phải được chia làm đôi. Với k=1 điều này là rõ ràng. Chứng minh điều này với mọi số nhỏ hơn k. Nếu trước tiên ta áp dụng phép toán B cho số 2k (trừ 1) thì số phép toán trước khi lấy 0 sẽ không nhỏ hơn

$$1+r(2k-1)=2+r(2k-2)=3+r(k-1)$$

(theo giả định chỉ định). Nếu trước tiên chúng ta chia 2k làm đôi và tiếp tục chia theo đường dẫn tối ưu thì số lượng thao tác sẽ là 1+r(k) 2+r(k-1). Vì vậy, cách thứ hai phụ thuộc.

Để tìm hiểu có bao nhiêu thao tác được yêu cầu trong thuật toán ngắn nhất cho một số n cho trước, chúng tôi biểu diễn n dưới dạng tổng lũy ​​thừa của hai: $n=2^{k_1}+2^{k_2}+...+2^{k_m}$, trong đó $k_1$ không âm và $k_2$, …, $k_m$ là các số nguyên dương ($k_1, k_1+k_2,...$ là số các chữ số ký hiệu kép của n trong đó có một đơn vị). Sau đó

$$r(n)=k_1+r(n/2^{k_1})=k_1+1+r(2^{k_2}+...+2^{k_m})=...$$

$$...=(k_1+1)+(k_2+1)+...+(k_m+1)=$$

$$=(k_1+k_2+...+k_m)+m=[\log_2 n]+m$$

([x] là phần nguyên của x), vì $k_1+k_2+...+k_m$ là số mũ của lũy thừa hai lớn nhất, không vượt quá n. Lưu ý rằng m bằng số phần tử của số n. Cụ thể, với n=100, chúng ta thu được đáp số đến bài toán a): $r(100)=9$.

Lề hiển thị sự chuyển đổi của số 100 thành 0 ở dạng ký hiệu thập phân và kép. Vì $100=2^6+2^5+2^2$, chúng ta nhận được $r(100)=6+3=9$.

M. V. Canir

M1087. Khoảng cách là tam giác ABC, điểm M trong mặt phẳng của tam giác này và các hình chiếu A1, B1, C1 của điểm M ở độ cao lần lượt được vẽ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng a) tồn tại một và chỉ một điểm M sao cho các đoạn AA1, BB1 và ​​CC1 bằng nhau;

a), 6) Vẽ qua mỗi đỉnh của tam giác ABC một đường thẳng song song với cạnh đối diện (và vuông góc với đường cao tương ứng). Các đường thẳng này sẽ giới hạn một tam giác A0B0C0 (xem hình), tương tự như tam giác này với hệ số 2. Rõ ràng các đoạn AA1, BB1, CC1 bằng khoảng cách từ điểm M đến các cạnh B0C0, C0A0, A0B0 của tam giác mới. Do đó, đẳng thức AA1=BB1=CC1 có thể xảy ra khi và chỉ khi điểm M cách đều cạnh của tam giác A0B0C0, tức là là tâm của đường tròn ngoại tiếp nó. Trong trường hợp này các đoạn AA1, BB1 và ​​CC1 có chiều dài bằng bán kính của đường tròn hoặc đường kính d này

29

6. với điểm M như vậy, độ dài các đoạn AA₁, BB₁, CC₁ bằng đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

M1088. Chứng minh rằng nếu các số p, q, r là số hữu tỉ và pq+qr+pr=1 thì (1+p²)(1+q²)(1+r²) là bình phương của một số hữu tỉ.

M1089. Trong tứ giác lồi ABCD có diện tích S, các đường chéo cắt nhau tại điểm O. Gọi K, L, M, N là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác AOB, BOC, COD và DOA. Chứng minh rằng tích chu vi của tứ giác ABCD và KLMN không nhỏ hơn 4S.

Đường tròn được viết của tam giác ABC (hãy nhớ sự giống nhau của các tam giác của chúng ta!).

Điểm M ở trên nằm trong tam giác ABC vì tất cả các đường cao của nó đều lớn hơn d. Một số độc giả cho rằng “hình chiếu lên độ cao” có nghĩa là một đường chứa chiều cao. Với cách hiểu này, có ba điểm chắc chắn hơn thỏa mãn các điều kiện - tâm của các đường tròn bên ngoài của tam giác A₀B₀C₀.

A. Kh. Jafarov

Theo điều kiện 1+p²=qr+pq+pr+p²=(q+p)(r+p). Viết tương tự như hai yếu tố còn lại được xem xét trong phần đánh dấu, chúng ta nhận được

(1+p²)(1+q²)(1+r²)=((q+p)(r+p)(q+r))².

I. Varga, V. N. Dubrovsky

Gọi k, l, m, n là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Khi đó chu vi KLMN không nhỏ hơn 2(k+l+m+n) (KL ≥k+l, LM ≥l+m, v.v.; hình 1). Nhưng k=2S_{AOB}/P_{AOB}, trong đó các chữ cái S và P biểu thị diện tích và chu vi và P_{AOB}<P_{ABCD}. Các đại lượng l, m, n được ước tính tương tự. Kể từ đây,

$$P_{KLMN} \geq 4 \frac{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}}{P_{ABCD}} = \frac{4S}{P_{ABCD}},$$

đó là những gì được yêu cầu.

Hình 1.

Hình 2.

Lưu ý rằng số 4 trong bất đẳng thức của chúng ta không thể tăng lên. Thật vậy, trong tứ giác ABCD, ta cố định đáy AB và giao điểm của đường chéo O và để chiều dài BC tiến về 0 (hình 2), khi đó

$$P_{KLMN} \rightarrow 2LN, P_{ABCD} \rightarrow P_{AOB}, S = S_{ABCD} \rightarrow S_{AOB}.$$

Pozotomu

$$\frac{P_{KLMN} \cdot P_{ABCD}}{S} \rightarrow 2LN \frac{P_{AOB}}{S_{AOB}} = 4 \frac{LN}{k}.$$

Nhưng tỷ số LN/k bằng cách tăng góc AOB có thể đạt được càng gần 1 càng tốt. Do đó,

30

M1090. Chứng minh rằng a) với mọi số dương a, b và c bất đẳng thức sau là đúng:
$$\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} \geq \sqrt{a^2 + ac + c^2};$$
b) bất đẳng thức từ n. a) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi $1/a+1/c=1/b$.

F1097. Để giảm tỷ lệ ánh sáng phản xạ khỏi bề mặt của ống khói, một màng mỏng được phủ lên nó, chiết suất của nó nhỏ hơn chiết suất của ống khói (lớp phủ quang học). Độ dày nhỏ nhất của một màng có chiết suất n=4/3 phải được đặt trên bề mặt của ống khói là bao nhiêu để khi chiếu ánh sáng chứa bức xạ có hai bước sóng $\lambda_1=700$ nm và $\lambda_2=420$ nm (bình thường lên bề mặt), ánh sáng phản xạ bị suy giảm tối đa đối với cả hai bước sóng?

Cho một sóng ánh sáng phẳng có bước sóng trong chân không $\lambda$ truyền tới một màng có độ dày $h$. Sau khi phản xạ một phần từ bề mặt trên và dưới của màng theo hướng ngược lại (xem hình), sóng 1 và 2 theo sau. Nếu sóng ánh sáng truyền tới bề mặt của màng thì độ chênh lệch đường đi của sóng phản xạ 1 và 2 bằng hai lần độ dày của màng. Để ánh sáng phản xạ càng yếu đi càng tốt, sóng 1 và 2 phải ngược pha. Để thỏa mãn điều kiện, hiệu giữa sóng 1 và sóng 2 phải bằng một số lẻ nửa bước sóng trong phim:

$$2h = (2k-1) \frac{\lambda}{2n} (k=1, 2, 3, ...),$$

trong đó $\lambda/n$ là bước sóng trong phim. Từ đây

$$h = \frac{(2k-1)\lambda}{4n}.$$

Như chúng ta có thể thấy, $h$ phụ thuộc vào bước sóng. Độ suy giảm ánh sáng tối đa ở bước sóng $\lambda_1$ và $\lambda_2$ sẽ ở các độ dày màng sau:

$$h_1 = \frac{\lambda_1}{4n}, \frac{3\lambda_1}{4n}, \frac{5\lambda_1}{4n}, ... = \frac{700}{4n}, \frac{2100}{4n}, \frac{3500}{4n}, ...$$

$$h_2 = \frac{\lambda_2}{4n}, \frac{3\lambda_2}{4n}, \frac{5\lambda_2}{4n}, ... = \frac{420}{4n}, \frac{1260}{4n}, \frac{2100}{4n}, ...$$

($h_1$ và $h_2$ - theo hướng). Từ việc so sánh hai bộ này, chúng tôi kết luận rằng các giá trị thỏa thuận nhỏ nhất của $h_1$ và $h_2$ là $\frac{2100}{4n}$ nm ≈ 394 nm.

31

F1098. Khẩu súng lục của một đứa trẻ, có thể coi như một lò xo có khối lượng hữu hạn gắn vào một bức tường cố định, bắn một quả bóng, tạo cho nó vận tốc v. Nếu bạn bắn một quả bóng có khối lượng gấp đôi nó, tốc độ của nó sẽ là $v\sqrt{2/3}$. Vận tốc của một quả bóng có khối lượng gấp ba lần nó là bao nhiêu?

Vì vậy, độ dày màng nhỏ nhất mà tại đó ánh sáng phản xạ bị suy giảm tối đa cho cả hai bước sóng là $h \approx 394$ nm.

V. I. Chivilev

Gia tốc của quả bóng bởi lò xo tiếp tục cho đến khi lò xo ở trạng thái cân bằng. Nếu tại thời điểm này quả bóng đang tăng tốc v thì tốc độ ở đầu tự do (không cố định vào tường) của lò xo là như nhau. Động năng của một lò xo, trong đó ở trạng thái cân bằng một đầu được tích lũy và đầu kia có tốc độ v, có thể biểu diễn dưới dạng $aMv^2/2$, trong đó M là khối lượng của lò xo, phân bố đều dọc theo chiều dài của nó, a là hệ số, không phụ thuộc vào tốc độ của đầu lò xo.

Ta viết định luật bảo toàn năng lượng cho cả ba trường hợp (đối với các quả bóng có khối lượng m, 2m, 3 m), coi trạng thái ban đầu của lò xo mỗi lần như nhau và bằng $x_0$:

$$\frac{kx_0^2}{2} = \frac{m}{2} v^2 + \frac{1}{2} aMv^2,$$

$$\frac{kx_0^2}{2} = \frac{2m}{2} \left(\frac{2}{3} v^2\right) + \frac{1}{2} aM \left(\frac{2}{3} v^2\right),$$

$$\frac{kx_0^2}{2} = \frac{3m}{2} u^2 + \frac{1}{2} aMu^2.$$

Giải các phương trình này cùng nhau, chúng ta tìm được vận tốc u mà một quả bóng có khối lượng 3 m đạt được khi bắn:

$$u = v \sqrt{\frac{1}{2}}.$$

P. I. Zubkov

F1099. Có hai piston trong một ống cố định nằm ngang với mặt cắt ngang S mở ở hai đầu (xem hình). Ở trạng thái ban đầu, piston bên trái được nối với tường đứng yên bằng một lò xo không biến dạng có độ cứng k. Áp suất khí p₀ giữa các piston bằng áp suất bên ngoài, khoảng cách H từ piston bên phải đến mép ống bằng khoảng cách giữa các piston. Piston bên phải được kéo từ từ ra mép ống. Lực nào phải tác dụng lên piston để giữ nó ở mép?

Khi piston bên phải được kéo ra, áp suất khí giữa các piston sẽ giảm, piston bên trái sẽ trộn lẫn vào nhau làm lò xo dãn ra.

Chúng ta hãy viết các điều kiện để cân bằng các pít-tông ở vị trí khi pít-tông bên phải được kéo dài đến mép ống và tác dụng một lực F lên nó (xem hình):

cho piston bên trái -

$$p_0S - pS - kx = 0;$$

cho piston bên phải -

$$F + pS - p_0S = 0$$

(*) (p - áp suất khí giữa các piston). Từ các phương trình này suy ra rằng

$$F = p_0S - pS = kx.$$

Vì nhiệt độ không đổi nên theo định luật Boyle-Mariotte đối với chất khí giữa các pít-tông ta có:

$$p_0HS = p(2H - x)S,$$

Ở đâu

32

quy định? Có rất ít đào tạo, nhiệt độ không đổi.

$$p = \frac{p_0H}{2H-x} = \frac{p_0H}{2H-F/k} = \frac{p_0kH}{2kH-F}.$$

Thay biểu thức này cho $p$ vào (*), chúng ta thu được phương trình bậc hai cho $F$:

$$F^2 - (p_0S + 2kH)F + p_0SkH = 0.$$

lời giải của anh ấy -

$$F_{1,2} = \frac{p_0S}{2} + kH \pm \sqrt{\frac{p_0^2S^2}{4} + k^2H^2}.$$

Vì rõ ràng rằng $F=0$ tại $k=0$ nên cuối cùng chúng ta thu được:

$$F = \frac{p_0S}{2} + kH - \sqrt{\frac{p_0^2S^2}{4} + k^2H^2}.$$

V. P. Vorodin

F1100. Một chiếc vốn khá dài, được ngâm trong một bình nước, được bịt kín ở phía trên. Trong trường hợp này, mức chất lỏng ở thủ đô giảm xuống $\Delta h=4$ cm. Độ ẩm tương đối của không khí trên bề mặt nước trong bình là bao nhiêu nếu nhiệt độ không khí xung quanh là 20°C?

Khi đầu trên của vốn bị đóng lại, hơi nước có ở đầu trên không có nước của vốn sẽ trở nên bão hòa và áp suất riêng phần của hơi nước tăng lên. Do đó, mực nước ở thủ đô giảm xuống (vì ở mực nước trong bình, áp suất không đổi).

Hãy viết các điều kiện cân bằng của nước trong vốn, nằm ở mức bề mặt tự do của nước trong bình, trước và sau khi đóng vốn:

$$p_{\pi} + p_{\beta} - \frac{\sigma}{2r} + \rho gh = p_{\pi} + p_{\beta},$$

sau khi đóng cửa -

$$p_{\pi} + p_{\beta} - \frac{\sigma}{2r} + \rho g (h - \Delta h) = p_{\pi} + p_{\beta}.$$

Ở đây $(p_{\pi} + p_{\beta})$ là áp suất tại bề mặt nước trong bình, bằng tổng áp suất riêng phần của hơi nước và không khí khô; $(p_{\pi} + p_{\beta} - \frac{\sigma}{2r})$ là áp suất trên mặt cong của nước ở thủ đô mở ($r$ là bán kính của thủ đô, $\sigma$ là sức căng bề mặt của nước); $p_{\pi}$ - áp suất hơi nước bão hòa ở nhiệt độ 20 °C; áp suất không khí khô $p_{\beta}$ ở thủ đô có thể được coi là không thay đổi, vì thủ đô khá dài.

Từ phương trình (1) và (2) chúng ta thu được:

$$p_{\pi} - p_{\beta} = \rho g \cdot \Delta h,$$

hoặc $$\frac{p_{\pi}}{p_{\beta}} = 1 - \frac{\rho g \cdot \Delta h}{p_{\beta}}.$$

Nhưng $\frac{p_{\pi}}{p_{\beta}}$ 100% là độ ẩm không khí mong muốn ở bề mặt nước trong tàu. Như vậy,

$$\varphi = \left(1 - \frac{\rho g \cdot \Delta h}{p_{\beta}}\right) 100\%.$$

Lấy các giá trị $p_{\pi} = 2,33 \cdot 10^3$ Pa từ bảng và thay thế $\rho = 10^3$ kg/m$^3$, $g = 9,8$ m/s$^2$, $\Delta h = 4 \cdot 10^{-2}$ m, chúng ta nhận được $\varphi \approx 83\%$.

L. G. Markovich

33

F1101. Một thanh ngang nhẹ dài 2a có thể được điều khiển tự do quanh một trục thẳng đứng đi qua điểm giữa của nó. Những quả bóng lớn giống hệt nhau được gắn trên một thanh và có thể di chuyển dọc theo thanh mà không có ma sát và phản xạ đàn hồi từ điểm dừng ở đầu thanh (hình 1). Đầu tiên, các quả bóng được cố định ở khoảng cách a/2 tính từ trục. Thanh được ép lên tới vận tốc góc $\omega_0$, sau đó các quả bóng được thả ra đồng thời. Những quả bóng sẽ di chuyển theo quỹ đạo nào? Sẽ mất bao lâu để thanh quay quay hết một vòng? Xây dựng đồ thị phụ thuộc $\omega(t)$. Kích thước của quả bóng nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của thanh.

Do tính đối xứng của vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu nên các quả bóng sẽ luôn ở những điểm đối xứng và có vận tốc đối xứng. Khi đó dễ dàng chứng minh được rằng các quả bóng sẽ chuyển động tự do, ngoại trừ những khoảnh khắc phản xạ từ các điểm dừng.

Thật vậy, giả sử rằng quả bóng $A$ chịu tác dụng của một lực $F$, vuông góc với thanh (không có lực dọc vì không có ma sát). Sau đó, vì lý do đối xứng, quả bóng $B$ phải chịu tác dụng của một lực $-F$ (hình 2). Nhưng điều này có nghĩa là từ phía các quả bóng, một cặp lực sẽ tác dụng lên thanh, làm nó quay tròn. Bỏ qua khối lượng của thanh so với khối lượng của các quả bóng, chúng ta kết luận rằng các lực này không đáng kể (trong giới hạn, không cần có lực nào để quay một thanh không trọng lượng). Vì vậy, chúng ta đi đến kết luận rằng giữa các va chạm có điểm dừng các quả bóng sẽ chuyển động đều và thẳng.

Bây giờ chúng ta hãy phân tích sự va chạm của các quả bóng có điểm dừng. Thứ nhất, trong khi va chạm, thành phần $X$ của động lượng (hình 3) được bảo toàn, vì nếu không thì các quả bóng tại thời điểm va chạm sẽ chịu tác dụng của các lực vuông góc với thanh, điều này là không thể xảy ra do lý luận trước đó. Thứ hai, do tính đàn hồi nên năng lượng được bảo toàn. Vì vậy, khi các quả bóng va chạm với các điểm dừng thì định luật về góc tới và phản xạ bằng nhau được thỏa mãn.

Từ lý luận trên và hình học của bài toán, rõ ràng quỹ đạo của mỗi quả bóng sẽ là một tam giác đều có cạnh $l=2a\cos 30^\circ=a\sqrt{3}$ (xem hình 3).

Thanh sẽ thực hiện một vòng quay hoàn toàn trong thời gian $T$ mà quả bóng cần để tạo thành một hình tam giác như vậy với tốc độ bằng tốc độ ban đầu $v_0=\omega_0 a/2$. Như vậy,

$$T=3l/v_0=6\sqrt{3}/\omega_0.$$

Hãy tìm sự phụ thuộc $\omega(t)$. Rõ ràng là $\omega=v_t/r$, trong đó $v_t$ là thành phần vận tốc của quả bóng vuông góc với bán kính, tức là $v_t=v\cos \alpha=va/2r$. Kể từ đây,

$$\omega=va/2r^2=\omega_0/(1+(2x/a)^2)$$

(xem hình 3). Nếu chúng ta bắt đầu từ thời điểm $\alpha=0$, thì $x=v_0t$,

$$\omega=\omega_0/(1+(\omega_0 t)^2)$$ tại $-\sqrt{3}/\omega_0 \leq t \leq \sqrt{3}/\omega_0$.

Tại thời điểm $t=\sqrt{3}/\omega_0$ sẽ có lực tác động vào điểm dừng và chu kỳ sẽ lặp lại (xem hình 4).

A. Yu. Alekseev

34

F1102. Một chùm tia laser rơi vào một tấm song song phẳng trong mờ, một bề mặt của tấm này được sơn để có thể tán xạ ánh sáng theo mọi hướng. Hình ảnh sau đây hiển thị trên tấm: một chấm sáng ở trung tâm, một vòng tròn tối với đường viền xen kẽ sắc nét và một quầng sáng xung quanh nó. Giải thích hiện tượng đó.

Chùm tia laze chạm tới điểm $O$ của bề mặt sơn (xem hình). Các tia sáng tán xạ phát ra từ điểm $O$ theo góc $\alpha$, thay đổi $\alpha_0$ - góc phản xạ toàn phần), thoát ra khỏi tấm và tạo ra hình ảnh của một điểm sáng $O$. Các tia phát ra từ điểm $O$ ở góc lớn hơn $\alpha_0$ lại chiếu vào bề mặt sơn và chiếu sáng nó, tạo ra quầng sáng. Trong trường hợp này, bán kính $R$ của vùng không được chiếu sáng bằng $2d$ tg $\alpha_0$, trong đó $d$ là độ dày của tấm.

A. M. Shalazin

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

Hầu hết độc giả đã gửi lời giải bài toán M1061—⟦M1075, F1073—F1087 quản lý bài toán M1071, M1072, M1075, F1073, F1076, F1078, F1084, F1086. Dưới đây chúng tôi công bố họ của những người đã gửi đúng lời giải trong số bài toán còn lại (các số sau họ là chữ số cuối cùng của các số đã giải bài toán).

Toán học

Ts. Adrian (Caracal, SRR) 62; A. Akimov (Evpatoria) 67-69; D. Alievsky (Sverdlovsk) 68, 70; I. Arzhantsev (Kyiv) 61, 62, 66, 67, 69, 70; R. Arustamyan (Yerevan) 61; S. Arshava (Usinsk) 62, 63, 65—67, 69, 70; A. Babkin (Kyiv) 62, 66-68; Z. Bandik (SFRY) 62, 63, 68; V. Baranovsky (Omsk) 73; V. Bodlescu (Timisoara, SRR) 63; Yu. Beznacheva (Krasnoyrk) 62, 65—70, 73; V. Bizkadze (Tbilisi) 73; T. Vozjonov (Alma-Ata) 68; Zh. Bopaev (Taldy-Kurran) 67; J. Brener (Vilnos) 64; Ts. Vasileev (Sofia, NRV) 64; Yu. Velikina (Diepropetrovsk) 63, 66, 68, 69, 73, 74; A. Vintsky (Kaluga) 62, 68, 73; A. Vintsky (Kyiv) 68, 70, 73; A. Vitleyev (Novosibirsk) 63; V. Volododsky (Omsk) 61, 63, 64; P. Wolfbein (Kyiv) 68, 69; V. Volkov (Shakhtersk) 61—70, 73, 74; D. Volper (Omsk) 61—64, 66—70, 73, 74; M. Vsemirnov (Leningrad) 62, 63, 66, 68, 69, 73; M. Vyborov (Kyiv) 68, 73; S. Gardanov (Kerch) 62; Yu. Gnatok (Kamenets-Podolsky) 66-70; M. Goldstein (Chelyabinsk) 63; A. Gorokhovsky (Kyiv) 62-64; R. Grinve (Lviv) 61-63; A. Davydov (làng Elfimovo, vùng Gorky) 66, 69; I. Zharkov (Sverdlovsk) 61, 62, 64; Yu. Zhuravel (Kyiv) 66, 68; V. Zavrazhny (Frunze) 69; I. Zverev (Moscow) 62; S. Zelik (Kramatorsk) 61-63, 66-70, 74; I. Zefirov (Khimki, vùng Moscow) 61-64, 68-70, 73, 74; T. Joneksu (Budapest, Hungary) 62; A. Kalinin (Saratov) 61—64, 67, 69, 70, 73; V. Kaloshin (Kharkov) 61-64, 66-70, 73, 74; A. Karavaev (Volgograd) 61; S. Kirillov (Odeska) 61, 69; O. Kirinasovsky (Vinnitsa) 62, 66, 67, 69, 70, 73, 74; S. Kovatsenko (Vinnitsa) 62, 67—70, 73; O Kovrizhkin (Maikop) 63, 66, 69, 70; A. Kozachko (Vinnitsa) 62, 67—70, 73; I. Kokorev (Leningrad) 62, 63, 66, 68-70, 73, 74; G. Kolesnichki (Tbilisi) 61; M. Kolodey (Omsk) 73, 74; A. Kondratyev (Otradnoye, vùng Leningrad) 69; A. Korshkov (Mozyr) 61-63, 68-70; D. Kosona (Belorets) 61-64, 66-69; V. Kreets (Novosibirsk) 62, 67, 68, 73; O. Kreets (Novosibirsk) 68; V. Krushikal (Novosibirsk) 62, 66, 68, 70, 74; V. Kuvatbekova (Frunze) 66, 73; A. Kulik (Kyiv) 61—64, 66—70, 73, 74; S. Lesik (Donetsk) 61, 66, 68—70, 74; A. Losev (Leningrad) 62, 66, 68—70, 73, 74; V. Lysenkov (Belorets) 61-64, 66-69, 74; S. Lyashenko (Kharkov) 69; I. Markov (Kyiv) 61, 64, 68, 69; T. Martirosova (Tashkent) 66, 67, 69, 73; M. Marchenko (Gayvoron) 73; V. Matveev (Moscow) 61—64, 68, 69, 73, 74; O. Melnik (Shevchenko) 66; A. Melnik (Krasnodar) 61, 66, 73; A. Meltser (Leningrad) 66, 69, 70, 73, 74; M. Meltzer (Vilnos) 63, 66, 69, 70; S. Morozov (Zavolye) 61; A. Morozova (Odeska) 67, 68; Y. Mustafayev (Baku) 62, 63, 65-70, 73, 74; A. Nazaryan (Tbilisi) 61-63; D. Niksic (Kyiv) 67, 69, 73; I. Opulsky (Kyiv) 61-63, 67-70, 73, 74; O. Pavlov (Novosibirsk) 63, 73, 74; VỚI. Pavlov (Novosibirsk) 61, 62, 68-70; V. Pavlinn (Frunze) 63, 64, 66, 69; A. Palamaruk (Kyiv) 73; A. Parshin (Omsk) 73, 74; A. Pikovsky (Kyiv) 62, 63; D. Pozrebinsky (Kyiv) 63; V. Politsuk (Kyiv) 61, 62, 66-70; D. Prokofiev (làng Sertilovo, vùng Leningrad) 62, 63, 66, 68-70, 73, 74; V. Radulin (Moscow) 61, 63, 74; V. Radulin (Moscow) 61, 63, 74; V. Radulin (Moscow) 61, 63, 74; L. Ryabova (Klin) 67; V. Savchik (khu định cư Akhmedly, AzSSR) 73; A. Savchik (Kyiv) 68; D. Tội lỗi-

37

KHÔNG CÓ MẶT
GIÁO SƯ

M. NGƯỜI LÀM VƯỜN

Dolores, ngôi sao tóc đen mảnh khảnh của câu lạc bộ đêm “Purple Shlyary” ở Chicago, đứng sững ngay giữa sàn nhảy và cùng với tiếng đệm có thể nghe được của một dàn nhạc đang chơi một loại giai điệu phương Đông nào đó, bắt đầu múa bụng, bài hát nổi tiếng “Cleopatra” của cô. Trong hội trường tối om, chỉ có chùm tia ngọc lục bảo của máy chiếu từ trên cao chiếu xuống cô, lấp lánh trên “trang phục Ai Cập” thoáng đãng của vũ công.

Điều đầu tiên rơi xuống là cách phát âm của tấm màn che, rơi xuống từ đầu và bao trùm Dolores trong sự giam cầm. Một khoảnh khắc khác, Dolores lẽ ra sẽ vén mạng che mặt bằng một cử chỉ tao nhã thì đột nhiên một âm thanh lớn, giống như tiếng súng, phát ra từ đâu đó phía trên, và một người đàn ông bị bỏng rơi thẳng từ trần nhà xuống.

Có một sự hỗn loạn đáng kinh ngạc.

Metrodel Jake Bowers ra lệnh bật đèn và cố gắng trấn an khán giả. Người quản lý câu lạc bộ đứng cạnh dàn nhạc và xem buổi biểu diễn đã ném một chiếc khăn trải bàn lên người đang nằm sấp và cuộn nó lên lưng anh ta.

Người lạ thở dốc và bất tỉnh. Ông ấy đã ngoài năm mươi rồi. Bộ râu và ria mép màu đỏ cắt tỉa ngắn, run rẩy rất nổi bật. Người lạ hoàn toàn khỏe mạnh và có vóc dáng của một đô vật chuyên nghiệp.

Rất khó khăn, những người phục vụ đã chuyển được anh ta đến văn phòng quản lý. Khán giả phấn khích, các quý cô đang đứng trước bờ vực của lịch sử. Nhìn chằm chằm vào sự kinh ngạc, đầu tiên là nhìn lên trần nhà, sau đó nhìn nhau, khán giả sôi nổi thảo luận về việc người lạ có thể đã ngã như thế nào. Giả thuyết duy nhất, không xa lạ với lẽ thường, là thi thể bị ném lên không trung từ một nơi nào đó bên cạnh sàn nhảy. Tuy nhiên, không ai trong số những kẻ tấn công vào hội trường nhìn thấy chuyện này xảy ra như thế nào.

Trong khi đó, trong phòng điều khiển, người lạ đã tỉnh lại. Theo ông, ông là Tiến sĩ Stanislav Slapenarski, giáo sư toán học tại Đại học Vienna, người đã được mời giảng dạy tại Đại học Chicago.

Trước khi tiếp tục câu chuyện thú vị này, tôi coi nhiệm vụ của mình là phải cảnh báo người đọc rằng tôi không thích tình tiết được mô tả cho lắm và hoàn toàn dựa vào các cuộc phỏng vấn với metrodel và những người phục vụ. Tuy nhiên, tôi đã may mắn được tham gia vào một chuỗi sự kiện đặc biệt dẫn đến sự xuất hiện đột ngột của vị giáo sư gây ra bao ồn ào.

Những cuộc tụ họp này bắt đầu vài giờ trước khi các thành viên của Hiệp hội Mobius tập trung dự bữa tiệc hàng năm của họ tại một trong những phòng ăn hẻo lánh trên tầng hai của câu lạc bộ Purple Shlyary. Hiệp hội Moebius là một tổ chức toán học nhỏ, ít được biết đến ở Chicago, hoạt động trong lĩnh vực cấu trúc liên kết, một trong những nhánh của toán học hiện đại.

Khá khó để giải thích cho một người không hiểu rõ về toán học cấu trúc liên kết là gì. Chúng ta có thể nói rằng cấu trúc liên kết nghiên cứu các tính chất của các hình được bảo toàn bất kể bong bóng đó bị biến dạng như thế nào; đặc tính không mô-men xoắn của nó vẫn không thay đổi. Ví dụ, luôn có một lỗ hổng trong đó. Trong topolo-

Chúng tôi in lại câu chuyện về nhà đại chúng nổi tiếng người Mỹ Martin Gardner từ tuyển tập “Khó bài toán” (M.: Mir, 1982). Bản dịch của Yu. A. Danilov.

38

Gini Bublik thường được gọi là hình xuyến. Ống hút mà bạn uống cocktail cũng là một hình xuyến, chỉ dài ra. Từ quan điểm tôpô, bánh mì tròn và ống hút không khác nhau.

Cấu trúc liên kết không quan tâm đến các tính chất của các hình liên quan đến chiều dài, diện tích, thể tích và các đặc tính định lượng tương tự. Cô nghiên cứu những đặc tính sâu sắc nhất của các hình và vật thể, những đặc tính này không thay đổi trong những điều kiện biến dạng nhất, nhưng không bị gãy hoặc biến dạng. Nếu các vật thể và hình dáng bị cắt, xé và dán lại với nhau, thì bất kỳ vật thể nào có cấu trúc phức tạp đều có thể biến thành bất kỳ vật thể nào khác có bất kỳ cấu trúc nào và tất cả các đặc tính ban đầu sẽ bị mất đi không thể thay đổi được. Sau một chút suy nghĩ, bạn sẽ hiểu rằng cấu trúc liên kết là nghiên cứu về những đặc tính đơn giản nhất, đồng thời sâu sắc nhất mà một vật thể có *).

Mặc dù ngay từ thế kỷ 18, phần lớn toán học đã được dạy bằng cách giải các bài toán tôpô riêng lẻ, sự khởi đầu của công trình có tính hệ thống trong lĩnh vực tôpô được thực hiện bởi August Ferdinand Möbius, một nhà thiên văn học người Đức từng giảng dạy tại Đại học Leipzig vào nửa đầu thế kỷ trước. Trước Mobius, mọi người đều cho rằng bề mặt nào cũng có hai mặt, giống như một tờ giấy. Chính Moebius là người đã có một khám phá đáng kinh ngạc: nếu bạn lấy một dải giấy, xoắn nó nửa vòng và dán các đầu lại với nhau, bạn sẽ có được một bề mặt một mặt, không phải hai mặt mà là một mặt!

Thật khó để tin rằng điều này thậm chí có thể tồn tại, nhưng bề mặt một mặt thực sự tồn tại - một thứ có thật, hữu hình mà bất cứ ai cũng có thể xây dựng ngay lập tức. Việc dải Möbius chỉ có một mặt là không tương thích và nó vẫn giữ được đặc tính này cho dù bạn có kéo giãn và biến dạng nó như thế nào.

Nhưng hãy quay lại câu chuyện của chúng ta. Tôi bắt đầu học Mathematica tại Đại học Chicago, hoàn thành bằng tiến sĩ về cấu trúc liên kết và có thể giới thiệu Mobius vào xã hội mà không gặp nhiều khó khăn. Không có nhiều người trong chúng tôi - chỉ có hai chuỗi hoa, chủ yếu là các nhà tôpô Chicago, nhưng không có một số nhóm xã hội nào đó đang làm việc tại các trường đại học ở các thành phố lân cận.

Chúng tôi tổ chức các cuộc họp hàng tháng mang tính chất học thuật thuần túy, nhưng mỗi năm một lần - vào ngày 17 tháng 11 (sinh nhật của Mobius) - chúng tôi tụ tập để dự một bữa tiệc và mời một nhà tôpô nổi tiếng nào đó đến giảng bài.

Năm nay, chúng tôi quyết định gửi lễ kỷ niệm người bảo trợ của hội chúng tôi đến “Mũ tím”, nơi có giá cả khá hợp lý và sau bài giảng, bạn có thể xuống hội trường và xem chương trình Varte. Chúng tôi thật may mắn với những vị khách của mình: lời mời của chúng tôi đã được chấp nhận bởi Giáo sư Slipenarsky nổi tiếng, nhà tôpô đầu tiên trên thế giới và là một trong những thiên tài toán học vĩ đại nhất của thế kỷ chúng ta.

Slipenarsky và tôi cùng nhau đến Mũ Tím trên một chiếc taxi, và trên đường đi tôi yêu cầu anh ấy phác thảo một cách khái quát những gì anh ấy sẽ nói trong bài giảng. Slipenarsky ở đáp số chỉ mỉm cười và khuyên hãy kiên nhẫn. Chủ đề của bài giảng “Các bề mặt không có mặt” cũng gây ra nhiều sự mong đợi trong số các thành viên của Hiệp hội Mobius, thậm chí Giáo sư Robert Simpson từ Đại học Wisconsin đã thông báo bằng văn bản cho ban giám đốc về ý định tham dự bữa tiệc. Giáo sư Simpson đã không cam lòng có mặt tại bất kỳ sự kiện nào trong năm nay!

*) Để hiểu bản chất của vấn đề, chúng tôi trình bày một cấu trúc liên kết điển hình bài toán. Hãy tưởng tượng bề mặt của một hình xuyến, làm bằng cao su mỏng, trên nửa ống trong của xe đạp. Giả sử có một lỗ nhỏ được khoét trên thành của hình xuyến. Có thể lộn hình xuyến từ trong ra ngoài qua lỗ này giống như lộn săm xe đạp từ trong ra ngoài không? Giải quyết bài toán này trong “tâm trí”, chỉ được hướng dẫn bởi trí tưởng tượng không gian của bạn, không phải là một nhiệm vụ dễ dàng.

39

(Phải nói rằng Giáo sư Simpson được coi là một chuyên gia được công nhận về cấu trúc liên kết ở Trung Tây và là tác giả của một số bài báo quan trọng về cấu trúc liên kết và lý thuyết trường, trong đó ông công kích các lý thuyết cơ bản của Sleipenaarski.)

Chúng tôi đến đúng giờ. Sau khi vị khách danh dự của chúng tôi được giới thiệu với Giáo sư Simpson và một thành viên khác trong hội, chúng tôi ngồi xuống bàn. Tôi đã thu hút sự chú ý của Slepenarski đến truyền thống chuẩn bị bữa tiệc của chúng tôi với những chi tiết nhỏ, theo “tinh thần tô pô”. Ví dụ, những chiếc kẹp khăn ăn ở giữa được làm theo hình dải Möbius. Bánh mì tròn nướng đặc biệt được dùng kèm với cà phê và bình cà phê được làm theo hình “chai Klein”.

Sau lời phát biểu khai mạc ngắn gọn của tôi, Slepenarski bước vào, mỉm cười cảm ơn những người có mặt vì những tràng pháo tay của họ và hắng giọng.

Khó có thể trình bày chi tiết bản báo cáo xuất sắc nhưng chỉ có thể hiểu được đối với các chuyên gia của Slepenarsky. Bản chất của nó sôi sục như sau. Khoảng mười năm trước, Sleipenarski tình cờ đọc được một tuyên bố trong một trong những tác phẩm ít được biết đến của Moebius và khiến trí tưởng tượng của ông rung động. Theo Möbius, về mặt lý thuyết không có lý do gì một bề mặt không thể mất đi cả hai mặt của nó: nói cách khác, trở thành “không có mặt”.

Tất nhiên, giáo sư đã xuất hiện, một bề mặt như vậy không thể hình dung được bằng mắt thường, giống như căn bậc hai của các đơn vị trừ hoặc một siêu khối trong không gian bốn chiều. Nhưng tính trừu tượng của một khái niệm không có nghĩa là nó vô nghĩa hoặc không thể tìm thấy ứng dụng trong toán học và vật lý hiện đại.

Giáo sư tiếp tục, chúng ta không nên quên rằng những người chưa bao giờ nhìn thấy dải Mobius cũng không thể tưởng tượng được ngay cả bề mặt một mặt. Nhiều người có trí tưởng tượng toán học phát triển tốt từ chối tin vào sự tồn tại của bề mặt một mặt, ngay cả khi họ có dải Mobius trong tay.

Tôi nhìn Giáo sư Simpson, và tôi thấy dường như trước những lời này ông ấy mỉm cười nhẹ.

Trong nhiều năm, Slepenarski tiếp tục, ông kiên trì tìm cách xây dựng một bề mặt không cạnh. Bằng cách tương tự với các loại bề mặt đã biết, ông có thể nghiên cứu nhiều tính chất của bề mặt không có cạnh. Cuối cùng, ngày tăng cường đã đến. Slepenarski dừng lại để xem lời nói của mình gây ấn tượng gì với người nghe, rồi nhìn quanh khán giả đang đông cứng. Những nỗ lực của anh ấy đã thành công và anh ấy đã tạo ra được một bề mặt không có cạnh nào.

Như một luồng điện, lời nói của anh khiến những người ngồi cùng bàn cảm thấy nhức nhối. Mỗi người gặp nhau, ngạc nhiên nhìn người hàng xóm của mình và ổn định theo cách tương tự. Giáo sư Simpson lắc đầu giận dữ. Khi Slepenarsky đi ra phía sau phòng ăn, nơi đã chuẩn bị sẵn bảng đen, Simpson quay sang người hàng xóm bên trái và thì thầm: “Thật vớ vẩn! Lubo Slaippi hoàn toàn mất trí, hoặc anh ta chỉ quyết định giở trò đồi bại với chúng ta.”

Đối với tôi, có vẻ như nhiều người có mặt đã nảy ra ý tưởng chơi khăm. Tôi thấy một số người trong số họ mỉm cười hoài nghi khi giáo sư vẽ những sơ đồ phức tạp lên bảng đen.

Sau một số lần xuất hiện (tôi hoàn toàn lược bỏ chúng vì sợ rằng hầu hết độc giả sẽ hoàn toàn không hiểu được), giáo sư tuyên bố rằng ông muốn kết thúc bài giảng bằng cách xây dựng một trong những bề mặt không có cạnh đơn giản nhất. Lúc này, tất cả mọi người có mặt, không trừ tôi, đều mỉm cười trao đổi ý kiến. Nụ cười trên mặt giáo sư Simpson có phần căng thẳng.

(Tiếp theo trang 42)

42

Slapenarsky lấy từ trong túi áo khoác ra một gói giấy màu xanh, một cái máy gặt và một ống keo. Anh ta cắt ra một bức tượng nhỏ từ giấy trông giống một con búp bê giấy một cách kỳ lạ: năm phần nhô ra dài hoặc phần phụ, giống như đầu, tay và chân. Sau đó, anh gấp hình lại và bắt đầu cẩn thận dán các đầu của chồi lại với nhau. Thủ tục này rất phức tạp và cần sự cẩn thận cao độ; các phần nhô ra được đan xen vào nhau rất khéo léo. Cuối cùng, chỉ còn lại hai đầu lỏng lẻo. Slapenarsky nhỏ keo lên một trong số chúng.

“Các quý ông,” anh ta nói, cầm cấu trúc giấy màu xanh phức tạp trước mặt và xoay nó để mọi người có thể nhìn thấy, “bây giờ các bạn sẽ thấy buổi trình diễn công khai đầu tiên về bề mặt của Slapenarski.”

Với những lời này, giáo sư ấn đầu này vào đầu kia.

Một tiếng nổ lớn vang lên, giống như đèn điện bị nổ, tượng giấy biến mất!

Chúng tôi sững người một lúc, rồi cùng nhau cười lớn và vỗ tay.

Tất nhiên, chúng tôi tin rằng mình đã trở thành nạn nhân của một trò lừa bịp tinh vi. Nhưng người ta không thể không thừa nhận rằng mọi thứ đã được thực hiện một cách xuất sắc. Giống như những người tham gia bữa tiệc khác, tôi tin rằng Slapenarsky đã chỉ cho chúng tôi một thủ thuật hóa học khéo léo, và tờ giấy đã được tẩm một thành phần đặc biệt để có thể đốt cháy bằng ma sát hoặc một số phương pháp khác, sau đó nó cháy ngay lập tức, không để lại tro.

Giáo sư Slapenarsky có vẻ bối rối trước tiếng cười của những người khác, và khuôn mặt của ông mang một màu sắc không thể phân biệt được với bộ râu của ông. Anh mỉm cười ngượng ngùng rồi ngồi xuống. Chủ nghĩa ứng dụng dần dần chết đi.

Tất cả chúng tôi đều vây quanh vị khách của mình và tranh giành nhau để nói đùa chúc mừng anh ấy đã có người thay thế. Quan chức cấp cao nhắc nhở chúng tôi rằng có bàn dành cho những ai muốn gọi đồ uống và xem chương trình nấu ăn.

Phòng ăn dần trở nên trống rỗng. Chỉ còn Slapenarsky, Simpson và người hầu khiêm nhường của ngài còn ở trong phòng. Hai topolgas đáng kể đứng ở bến tàu. Simpson mỉm cười rạng rỡ và chỉ vào một trong những bức vẽ:

“Sai sót trong chứng minh của ông được che giấu một cách thông minh khác thường, thưa giáo sư.” Tôi không biết có ai khác có mặt để ý đến cô ấy không.
Mặt Slapenarsky nghiêm trang.
“Không có sai sót nào trong chứng minh của tôi,” ông nhận xét, không khỏi khó chịu.
“Nào giáo sư,” Simpson phản đối, “sai lầm là ở đây.”
Anh chạm ngón tay vào bức vẽ:
— Giao điểm của các đường này không thể thuộc một tập. Chúng giao nhau ở đâu đó ngoài sự đa dạng.” Anh ta làm một cử chỉ mơ hồ về phía bên phải.
Mặt Slapenarsky lại đỏ bừng.
“Và tôi nói với bạn rằng không có sai lầm nào ở đây,” anh ấy lặp lại, ngẩng đầu lên và phát âm chậm rãi, cẩn thận, như thể bắn từ LOB, anh ấy lặp lại từng bước toàn bộ bằng chứng từ đầu đến cuối, gõ nhẹ các đốt ngón tay lên bảng một cách thuyết phục.
Simpson lắng nghe với vẻ mặt u ám và có lúc ngắt lời Slapenarsky, phản đối điều gì đó. Slapenarsky ngay lập tức gạt bỏ sự phản đối. Tiếp theo là một nhận xét khác, nhưng nó không thiếu đáp số. Tôi đã không tham gia vào cuộc tranh chấp của họ, vì nó đã vượt quá tầm hiểu biết của tôi từ lâu và đã đạt đến đỉnh cao của cấu trúc liên kết mà tôi không thể tiếp cận được.

Trong khi đó, niềm đam mê ở bến tàu dâng cao, đối thủ ngày càng nói to hơn. Tôi đã nói về sự tranh chấp lâu dài giữa Simpson và Slapenarsky về một số tiên đề tôpô. Đó là về họ mà chúng ta đang nói đến bây giờ.

• Và tôi nói với bạn rằng sự biến đổi trên không liên tục lẫn nhau và,

44

Ở phòng sau, tôi thấy các thành viên khác của Hiệp hội Moebius và ban quản lý Câu lạc bộ Mũ Tím đang tranh luận ồn ào và đầy trí tuệ. Slapenarsky, người quấn khăn trải bàn giống như một chiếc áo toga, ngồi trên ghế và ấn chiếc khăn tay có chứa đá viên vào hàm dưới.

“Simpson đã trở lại,” tôi nói. “Anh ấy ngất đi, nhưng tôi nghĩ anh ấy vẫn ổn.”

“Cảm ơn Chúa,” Slapenarsky lẩm bẩm.

Người quản lý và chủ sở hữu của Mũ Tím vẫn không biết chuyện gì đã xảy ra vào buổi tối hỗn loạn đó và nỗ lực giải thích của chúng tôi chỉ khiến tình hình trở nên tồi tệ hơn. Việc cảnh sát đánh đập càng làm dịu đi sự hoang mang và hoảng loạn.

Cuối cùng, chúng tôi đã mặc quần áo cho những đồng nghiệp bị thương, đặt họ đứng dậy và rời chiến trường, hứa sẽ quay trở lại cùng các luật sư của mình. Người quản lý dường như tin rằng câu lạc bộ của mình đã trở thành nạn nhân của một âm mưu của một số người nước ngoài và đe dọa chúng tôi sẽ phải bồi thường chính xác cho những thiệt hại đã gây ra, theo cách nói của ông, đối với “danh tiếng hoàn hảo của câu lạc bộ”. Hóa ra phiên tòa bí mật lan rộng khắp thành phố đã đóng vai trò như một quảng cáo tuyệt vời cho câu lạc bộ, và Mũ Tím đã từ bỏ vụ kiện.

Simpson thoát ra nhẹ nhàng nhưng Slapenarsky bị gãy xương hàm. Tôi đưa anh ấy đến Bệnh viện Willings, gần trường đại học.

Anh ấy ở lại bệnh viện vài tuần, cấm du khách đến thăm, và tôi chỉ gặp anh ấy vào ngày anh ấy xuất viện, khi tôi đi cùng anh ấy đến nhà ga. Slapenarsky đã đến New York và tôi đã không gặp anh ấy kể từ đó. Vài tháng sau ông qua đời vì một cơn đau tim. Giáo sư Simpson đã liên lạc qua thư từ với vợ góa của Giáo sư Slapenarsky với hy vọng tìm thấy ít nhất bản thảo công trình của người đồng nghiệp quá cố của ông về lý thuyết bề mặt không cạnh.

Liệu các nhà tôpô có thể hiểu được bản phác thảo của Slapenarsky hay không (tất nhiên, nếu họ thành công) thì tương lai sẽ hiển hiện. Chúng tôi đã sử dụng rất nhiều giấy nhưng cho đến nay chúng tôi chỉ có thể tạo ra các bề mặt hai mặt và một mặt nói chung. Mặc dù tôi đã giúp Slapenarsky “gấp” thành một bề mặt không cạnh nhưng sự phấn khích quá mức đã xóa sạch mọi chi tiết khỏi trí nhớ của tôi.

Nhưng tôi sẽ không bao giờ quên nhận xét mà nhà topo vĩ đại đã đưa ra vào buổi tối đáng nhớ trước khi tôi rời đi.

“Thật may mắn,” anh nói, “Tôi và Simpson đã giải phóng được bàn tay phải của mình trước khi quay trở lại.”

• Có thể phục vụ được gì? - Tôi bối rối hỏi.

Slapenarsky sống tốt.

“Chúng tôi lẽ ra phải từ trong ra ngoài,” anh nói.

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải
(Để bắt đầu, xem trang 34)

M. Stolar (Kyiv) 74, 80-82; D. Storozhuk (Kyiv) 74, 75; M. Subbotin (Stary Oskol) 83; A. Suprenenko (Kyiv) 74; Z. Tavarktiladze (Tbilisi) 77, 87; D. Teitelman (Minsk) 75; V. Tenavisirov (Ruse, NRV) 77; S. Titov (Stary Oskol) 81; I. Todotsenko (Perm) 74, 75, 77, 79—81, 87; D. Tolkachev (Noginsk) 85, 87; Yu. Uvarov (Leningrad) 74, 77, 87; A. Usinsky (làng Ptichya, vùng Rivne) 74, 75, 87; E. Ushakova (Stary Oskol) 83; V. Fedotov (Moscow) 77, 80, 81; G. Feitsing (Tula) 74, 75, 77, 82, 83,

87; D. Feldman (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 74, 77, 79, 82, 83, 87; S. Firado (Shklov) 74; I. Himoni (Dnepropetrovsk) 74, 75, 79, 82, 87; O. Khoroshilova (Stary Oskol) 83; O. Podikov (Artemovsk, vùng Donetsk) 87; I. Chaika (Kuznetsovsk) 74, 75, 77, 82; O. Chanov (Brest) 74, 75, 81, 82, 85, 87; O. Chernykh (Stary Oskol) 81-83; V. Chuev (Stary Oskol) 77; V. Shvartsman (Brest) 75; O. Shvedov (Moscow) 74, 75, 77, 81, 83, 85, 87; S. Shinkovich (Berezniki) 74, 75, 77, 79-83, 87; O. Shikhovtse (Verkhnyaya Salda) 80-82; S. Shtovba (Vinnitsa) 74; I. Yagolnitser (Chernivtsi) 75; V. Yankevich (Vitebsk) 77, 83; I. Yasnikov (Tolyatti) 75, 77, 81.

45

Nhiệm vụ

1. Đặt các số từ 1 đến 8 vào các vòng tròn của hình ở hình, sao cho tổng của ba số tại các đỉnh của mỗi tam giác màu xanh lá cây là 13 và tại các đỉnh của mỗi tam giác màu nâu là 14.

2. Giải câu đố số hiển thị ở hình. Các số giống nhau ứng với các chữ cái giống nhau, các số khác nhau ứng với các chữ cái khác nhau.

3. Trong giải đấu cờ vua, Zhenya và Sasha chơi cùng số ván, bị ốm và bỏ thi đấu. Những phần còn lại của du lịch phải được hoàn thiện. Tất cả 23 trận đã được chơi trong giải đấu. Zhenya và Sasha có chơi các giải đấu với nhau không?

4. Máy tính in ra hai số: $2^{1987}$ và $5^{1987}$. Cô ấy đã gõ bao nhiêu số?

5. Tất cả các cạnh và đáy hộp bìa cứng (không có nắp) đều là các hình vuông có diện tích 1. Cắt hộp thành ba mảnh sao cho có thể gấp lại thành hình vuông có diện tích 5.

Những nhiệm vụ này được cung cấp cho chúng tôi bởi: N.I. Abilov, học sinh lớp 6 trường Leningrad N. Ykovleva, học sinh lớp 10 trường Gaagrin V. Bliznekov, học sinh lớp 10 trường Kharkov V. Pushchiya, V.V. Proizvolov.

46

Ai tạo ra radioga?

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
Y. E. GEGUZIN

Radguu được tạo ra bởi những giọt nước: trên bầu trời - jinks, trên nhựa đường được tưới nước - những giọt nước, bắn tung tóe từ tia nước. Radguy cũng có thể sánh được với những giọt sương phủ trên bãi cỏ thấp trong một buổi sáng mùa thu.

Đầu tiên, hãy nói về “hình học” của hình bán nguyệt, tức là hình dạng và vị trí

Bài viết này là một chương trong cuốn sách “Giọt nước” của nhà phổ biến vật lý nổi tiếng Ya. E. Geguzin (M.: Nauka, 1973).

các vòng cung nhiều màu, và sau đó - về “vật lý” của radiga, về những định luật vật lý nào xác định hình dạng và màu sắc của nó.

“Hình học” của radiga trên bầu trời đã được mô tả từ lâu. Thông thường, có thể nhìn thấy hai vòng cung đồng tâm nhiều màu trên bầu trời - một vòng sáng sáng và vòng kia nhạt màu hơn. Mỗi cung là một phần của một vòng tròn, tâm của nó nằm trên một đường thẳng đi qua mặt trời và được quan sát bằng mắt. Đường thẳng này là một loại trục và có một đường cong quanh nó. Quan sát thấy mắt nằm ở đỉnh của hình nón, ở đáy có các vòng cung nhiều màu (hình 1). Các đường sinh của các hình nón này với trục lần lượt tạo thành các góc 42° và 51°. Mặt trời chiếu từ phía sau, càng xuống thấp về phía chân trời thì đỉnh của cây càng nhô lên cao. Vào thời điểm mặt trời chạm vào đường chân trời, bạn có thể thấy bán kính hình bán nguyệt - nó chưa bao giờ lớn hơn thế. Nếu mặt trời mọc phía trên đường chân trời hơn 42° thì đỉnh của bán kính sáng sẽ vượt ra ngoài đường chân trời.

47

Mọi thứ diễn ra như thể những cái uốn thẳng, giống như một cánh tay rocker, cố định tại điểm $O$, nơi đặt mắt quan sát, và ở hai đầu của cánh tay rocker là mặt trời và đỉnh chùm tia. Điều này có nghĩa là mỗi người quan sát đều có một trục quay “của riêng mình”, mô tả xung quanh trục “của riêng mình”, cùng một trục đi qua mắt anh ta… Và một điều nữa: không thể chạm tới trục quay cũng như tới đường chân trời. Và cũng không thể tiếp cận nó, bởi vì điều này có nghĩa là thay đổi toàn bộ hình học của bán kính, đặc biệt là góc ở đỉnh của hình nón. Và việc tuân thủ nó là yêu cầu đầu tiên của cả vật lý và hình học cơ bản.

Đối với thông tin hình học, cần lưu ý dữ liệu về thứ tự màu sắc theo bán kính. Như bạn đã biết, radiet chứa “tất cả các màu của radiga” - từ đỏ đến tím. Thứ tự các màu bị đảo ngược và chúng đối diện nhau bằng các sọc đỏ. Đó là tất cả hình dạng của radig, ít nhất là hình dạng tương ứng với những giọt nước trên bầu trời.

Bây giờ về vật lý của radiga. Lịch sử của nó bắt đầu từ năm 1637, khi triết gia và nhà khoa học tự nhiên người Pháp Renedecart lần đầu tiên hiểu được vai trò của giọt nước trong sự xuất hiện của tia phóng xạ. Ông đã xác nhận khám phá của mình bằng một phép tính đòi hỏi nhiều công sức: ông đã lần theo đường đi của mười nghìn tia sáng mặt trời song song trong một giọt hình cầu. Tia đầu tiên chạm vào bề mặt của giọt nước và tia thứ mười đi qua tâm của nó, tức là khoảng cách giữa các tia bên ngoài bằng bán kính của giọt nước.

Ý tưởng của Descartes rất đơn giản và tự nhiên. Ông tin rằng các tia mặt trời, chuyển động trong một giọt nước và phản xạ một lần từ bề mặt của nó, có thể đi vào mắt khi quan sát (hình 2). Sau khi lần theo một đường đi gồm mười nghìn tia như vậy, ông tin chắc rằng tất cả các tia, số lượng của chúng xấp xỉ từ 8500 đến 8600, sẽ phát ra từ giọt nước theo cùng một hướng, ở một góc $42^\circ$ so với trục hướng tâm. Do đó, trong số những hướng khác, hướng này được làm nổi bật bằng độ sáng chói và chùm tia khuếch đại gấp trăm lần sẽ được người quan sát cảm nhận được…

Tất cả những gì đã nói về mười nghìn tia đều liên quan đến radig chính, tia mà con số $42^\circ$ ám chỉ. Nếu chúng ta xem xét một đường đi phức tạp hơn của các tia trong một giọt nước - hai giả định có hai chứ không phải một phản xạ - thì chúng ta sẽ có lời giải thích về radig thứ hai, mà số $51^\circ$ ám chỉ.

…Sự xuất hiện của màu sắc là hệ quả tự nhiên của sự phụ thuộc của chiết suất vào bước sóng ánh sáng. Điều xảy ra trong một giọt nước cũng giống như trong lăng kính thủy tinh, lăng kính này phân tách ánh sáng trắng thành “tất cả các màu sắc của tia”. “Tính chất vật lý” của radiga vẫn không thay đổi dưới các “hình dạng” khác nhau - đối với radiga trên đường nhựa ướt và trên cỏ cắt phủ đầy sương.

Điều đáng nói là hiệu quả liên quan đến kích thước nhỏ của các giọt. Những giọt chủ yếu tạo ra bức xạ có đường kính 0,08-0,20 mm. Với kích thước như vậy phải tính đến việc ánh sáng có tính chất sóng. Tuy nhiên, những thay đổi liên quan đến sự thay đổi này trong lý thuyết cơ bản của Descartes, người coi tia chứ không phải sóng, hóa ra lại không đáng kể lắm.

Nếu những giọt tạo ra radiga vẫn ở trên bầu trời mà không thay đổi, thì radiga có thể được quan sát không quá 2 giờ 48 phút: đó là trong thời gian này mặt trời đi qua một đường vòng cung trên bầu trời ở $42^\circ$. Nhưng những giọt nước trên bầu trời không tồn tại lâu hơn - chúng bay hơi, đoàn kết và,

48

MẤT KÍCH THƯỚC, HỌ SỎI. Tất cả những điều này được phản ánh qua cầu vồng - ở độ sáng của màu sắc, độ rộng của các sọc sáng tương ứng và tuổi thọ của nó. Khi có vài giọt, cầu vồng tỏa sáng rồi biến mất.

cầu vồng nhân tạo

V. V. MAYER, R. V. MAYER

Lý thuyết về cầu vồng hoặc những quan sát ngẫu nhiên về hiện tượng tự nhiên này là một chuyện, còn nghiên cứu thực nghiệm về nó lại là một chuyện khác. Nhưng để làm được điều này, trước tiên bạn phải có được cầu vồng một cách nhân tạo.

Cầu vồng nhân tạo đã được biết đến từ lâu. Trong một thí nghiệm, một bình tròn chứa đầy nước được chiếu sáng qua một lỗ trên màn hình bằng một chùm ánh sáng song song và người ta quan sát thấy một camera màu xuất hiện trên màn hình. Hạn chế chính của thí nghiệm này là nó không phản ánh hoàn toàn trạng thái thực của sự vật: cầu vồng thực sự không đến từ một giọt mà từ một số lượng lớn giọt. Bạn có thể làm theo cách khác: sử dụng bình xịt hoặc đài phun nước nhỏ, tạo ra một đám mây giọt nước rơi trong không khí và quan sát cầu vồng trên chúng. Các điều kiện của một thử nghiệm như vậy tương ứng với các điều kiện tự nhiên, nhưng việc đạt được đám mây cần thiết không hề dễ dàng chút nào và việc thử nghiệm nó cũng không mấy dễ chịu.

Chúng tôi cung cấp cho bạn thêm một trải nghiệm và hy vọng rằng bạn chắc chắn sẽ hoàn thành nó.

Chuẩn bị một tấm dioral hoặc thiếc mới có kích thước khoảng 200x200 mm, một ngọn nến, nước hoặc glycerin, động cơ vi điện, pin 4,5 V, chì bút chì hoặc một đoạn dây dẫn nichrome có đường kính 0,2-0,3 mm và chiều dài 200-400 mm, một cục tẩy, dây thép có đường kính khoảng 0,3 mm và chiều dài 100 mm (dây như vậy có thể thu được bằng cách kéo căng một lò xo phù hợp), một nắp thiếc hoặc polystyrene cho lọ. Hóa ra, bằng cách sử dụng các mục được liệt kê, bạn có thể có được một tập hợp ví dụ ổn định về các giọt giống hệt nhau, sẵn sàng để quan sát và nghiên cứu cầu vồng.

Ý tưởng chính như sau: nếu một chất lỏng được phun lên một bề mặt không thấm nước, thì dưới tác dụng của sức căng bề mặt, các giọt sẽ biến thành những quả bóng lỏng. Và đây chính xác là những gì cần thiết để tạo ra cầu vồng. Và bây giờ chúng ta hãy bắt tay vào công việc.

Bạn có thể rửa tấm kim loại bằng xà phòng và lau khô. Khuấy đều trên ngọn lửa nến để tạo lớp bồ hóng đều trên bề mặt đĩa. Nước và glycerin không trộn lẫn bồ hóng, nhưng nếu độ ẩm không khí cao, bồ hóng có thể bong ra khỏi tấm và “bị ướt” như cũ. Để loại bỏ hiện tượng không mong muốn này, trước tiên tấm phải được phủ một lớp mỏng keo Moment, vecni nitro hoặc sơn nitro, sau khi lớp này khô sẽ phủ muội than lên.

Glycerin thích hợp hơn nước trong các thí nghiệm vì nó bay hơi chậm hơn nhiều. Hơn nữa, trong thời tiết nóng bức, bạn sẽ có thể quan sát được “bán kính glycerin” trong vài ngày, và sau một giờ sẽ không còn dấu vết của bán kính “nước”.

Để áp dụng các giọt chất lỏng lên bề mặt hun khói, bạn cần phun. Thật không may, một bình xịt thông thường không phù hợp cho việc này. Thực tế là nó tạo ra những giọt có kích thước dao động

49

trong một phạm vi khá rộng, và ở những giọt như vậy, cầu vồng bị nhòe, không có độ tương phản. Cầu vồng tốt tạo ra những giọt xấp xỉ bằng nhau với đường kính từ 0,3 đến 1 mm.

Một trong những thiết kế có thể có của máy tạo giọt nước được thể hiện ở hình 1. Bộ điều khiển vi điện tử 1 được cố định vào đế 3 bằng một nếp gấp cứng 2 và hai bu lông. Một miếng tẩy 4 được gắn trên trục động cơ, qua đó một sợi dây thép 5 được luồn qua. Các đầu của dây, khi trục quay, lần lượt được nhúng vào chất lỏng lót trong một bình nông (nắp) 6, và khi rời khỏi nó, các giọt nước bắn tung tóe. Rõ ràng là đường kính của các giọt được xác định bởi đường kính của dây, độ sâu ngâm trong chất lỏng và tốc độ quay của nó. Để có thể thay đổi tốc độ này, hãy kết nối bộ điều khiển vi điện tử với pin thông qua một bộ biến trở ngẫu hứng bao gồm bút cảm ứng hoặc một đoạn dây dẫn điện áp thấp. Các giọt rơi từ hai đầu của dây quay không chỉ bay theo hướng như hình hình mà còn bay theo các hướng khác, do đó, bộ tạo giọt phải được giới hạn từ các phía bằng màn bảo vệ hình chữ U làm bằng bìa cứng. Đặt một tờ giấy đen trước phần mở của màn hình, điều chỉnh tốc độ quay của dây bắn tung tóe (không quá vài vòng mỗi giây) và xác định vị trí giọt nước rơi xuống. Chèn một tấm kim loại hun khói vào đó và di chuyển nó, thêm đều nhất có thể

Hình 2.

Hình 3.

phủ lên tấm những giọt nước. Mật độ của lớp giọt phải lớn đến mức trong ánh sáng phản xạ tán xạ của bề mặt tấm, nó dường như chỉ bao gồm những giọt sáng bóng.

Để quan sát cầu vồng, chỉ cần đặt một tấm có giọt nước dưới các tia thẳng và chọn góc φ cần thiết giữa các tia này và hướng quan sát (hình 2; cầu vồng được thể hiện dưới dạng sơ đồ bằng một đường cong). Theo lý thuyết cầu vồng, góc này đối với nước phải bằng φ_b=42° và đối với glycerin - φ_r=27°.

Nếu mọi thứ được thực hiện đủ tốt, bạn sẽ thấy một cầu vồng sáng tuyệt đẹp và có lẽ bên cạnh nó là một cầu vồng thứ hai mờ nhạt hơn nhiều. Hiện tượng của hiện tại ấn tượng đến mức thực sự đáng để bạn bỏ công sức ra xem nó.

Trong tự nhiên, 雷达a thường được thể hiện như một phần của vòng tròn (ngoại trừ cầu vồng trong sương và cầu vồng có thể nhìn thấy từ máy bay với một góc nhìn đặc biệt). Bạn cần phải cẩn thận và quan sát đầy đủ 雷达у (vòng tròn đầy đủ). Để làm điều này, hãy gắn bóng đèn làm đèn pin ở khoảng cách 5-8 cm so với tấm có giọt nước. Khi nhìn từ trên cao, bạn sẽ nhận thấy một vòng tròn được chiếu sáng mờ với đường viền nhiều màu, đó là cầu vồng (hình 3; cầu vồng được thể hiện dưới dạng hình tròn theo sơ đồ). Bằng cách nhắm một mắt rồi nhắm mắt kia, bạn sẽ thấy rằng 雷达 hơi dịch chuyển từ -

50

tấm nolly. Chính vì vậy, khi quan sát bằng hai mắt, từng cầu vồng không nằm trên đĩa có giọt nước mà lơ lửng phía trên.

Thật không may, chúng tôi không thể thu được những bức ảnh màu về cầu vồng nhân tạo. hình 4 hiển thị các bức ảnh đen trắng, được tô màu bằng bút chì. Họ chỉ sử dụng kết quả quan sát trong các điều kiện khác nhau, nhưng không truyền tải được vẻ đẹp trọn vẹn của hiện tượng này. Ở phía trước của những chiếc đèn này, bạn có thể thấy một bóng đèn được gắn vào giá đỡ. Nếu bạn nhìn vào chiếc đĩa có những giọt nước gần như trong ánh sáng, thì sẽ quan sát thấy cầu vồng hoàn chỉnh dưới dạng hình elip (hình 4, a); khi di chuyển mắt xuống và sang một bên, cầu vồng sẽ trở nên giống với paraboly (hình 4, b) và hyperboly (hình 4, c).

Câu hỏi cho công việc độc lập

1. Cầu vồng bạn tạo ra có giống với cầu vồng đôi khi được nhìn thấy trong sương không? Chuỗi màu sắc trong radtura nhân tạo có tương ứng với chuỗi màu xảy ra trong tự nhiên không?

2. Lấy sơ đồ quan sát trình bày ở hình 3, đo các khoảng cách OA, OS, OB, tính các góc α và β và xác định góc φ mà tại đó quan sát được cầu vồng trên giọt nước và giọt glycerin. Các phép đo của bạn có hỗ trợ các tính toán lý thuyết không?

3. Giải thích tại sao trong thí nghiệm của bạn người ta thu được một vùng trắng được chiếu sáng bên trong cầu vồng (xem hình 4), nhưng trong tự nhiên vùng đó cũng không được quan sát thấy.

4. Khi bạn đặt phim Polaroid trước mắt, trên cầu vồng đầy đủ, bạn sẽ thấy hai sọc đen đối xứng theo đường kính sẽ xoay khi Polaroid quay. Lý do cho hiện tượng này là gì?

5. Chứng minh bằng thực nghiệm rằng đường kính của giọt càng nhỏ thì màu đỏ của cầu vồng càng yếu, màu ngữ văn càng đậm và nói chung cầu vồng trở nên trắng hơn.

Và cuối cùng, nên đọc:

1. I. K. Belkin. Cầu vồng là gì? - «Kvant», 1984, số 12, tr. 20.
2. Vâng. E. Geguzin. Làm rơi. - M.: Nauka, 1973.
3. M. Minnart. Ánh sáng và màu sắc trong tự nhiên. - M.: Nauka, 1969.
4. L. V. Tarasov, A. N. Tarasova. Cuộc trò chuyện về giả định của ánh sáng. — M.: Khoa học, bộ “Thư viện «Kvant»”, số 18, 1982.

Bạn đọc thân mến!
Tạp chí «Kvant» chỉ được phân phối theo hình thức đăng ký. Nếu bạn muốn trở thành người đăng ký của chúng tôi, bạn có thể đăng ký tại các đại lý, bưu điện hoặc bưu điện Soyuzpechat, bắt đầu từ bất kỳ số nào (nhưng không muộn hơn ngày đầu tiên của địa điểm được cung cấp).

Chỉ số tạp chí «Kvant» trong danh mục Soyuzpechat là 70465, giá một số là 40 kopecks.

51

CÓ BAO NHIÊU TIỀN TRONG MỘT CAT LKA?

1. Tôi sẽ không quên…
   Masha gửi đến Ayosha theo bước
   mua sắm, ăn uống
   kopecks with_genls.

2. Malbuchik, tôi sẽ đi…
   Vì lợi ích của trẻ em Ayosha
   lên để mua một chiếc mũ và pho mát.

3. ,
   bán vé
   Làn sóng anh đi trên một nguyên tử
   trong hiệu sách với những bậc thang,
   giá vé 5 kopecks.

4. SÁCH
   Tôi sử dụng Osmavnitsa ase cho trẻ em
   và anh ấy đã thêm 10 kopecks nữa
   cho một cuốn sách. Vì lợi ích của xe máy,
   còn ai cười nhạo bạn nữa, Ayosha
   đã mua một chiếc metray.

5. KHÔNG
   cu li cho tôi
   “hành tinh”
   Video từ shagism, Ayosha
   Tôi mua kem với giá 15 kopecks.

6. Dì,
   bán vé
   Kết quả là Ayoshi bị bệnh
   5 kopecks, Comorian he upchat
   vì đã đi du lịch nhiều năm ở Atomus.

CÓ BAO NHIÊU TIỀN TRONG CAT LKA?

51

52

Ba công thức của Ramanujan
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. S. SHEVELEV

Các công thức của Ramanujan luôn chứa đựng nhiều điều hơn những gì bạn tưởng tượng ngay từ cái nhìn đầu tiên…

Hardy

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về ba công thức đáng chú ý của Ramanujan *), mỗi công thức chứa ba căn bậc ba ở vế trái:

$$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1},$$

(1)

$$\sqrt[3]{\cos \frac{2\pi}{7}} + \sqrt[3]{\cos \frac{4\pi}{7}} + \sqrt[3]{\cos \frac{8\pi}{7}} =$$

$$= \sqrt[3]{\frac{5 - 3\sqrt[3]{7}}{2}},$$

(2)

Những công thức này rất khó nhầm lẫn với công thức của bất kỳ nhà toán học nào khác: chúng giống với trò tung hứng bí ẩn với các con số.

Công thức đầu tiên đơn giản hơn và chứng minh được các lập phương liên tiếp. Đối với chúng tôi, ngoài nhận thức tự nhiên, nó còn thú vị vì về cấu trúc các mối quan hệ, nó rất giống với hai mối quan hệ tiếp theo. Đối với công thức (2) và (3), ở đây không phải mọi thứ đều đơn giản như vậy. Dưới đây là một số trích dẫn thú vị về các công thức này từ tài liệu quảng cáo của V. I. Levin**):

“Những công thức này rất cơ bản nhưng rất sâu sắc. Chúng có tính đối xứng nội tại độc đáo, điều này cho thấy sự tồn tại của chúng.”

**) Bạn có thể đọc về cuộc đời và công việc của nhà toán học độc đáo này trong «Kvant» Số 10, 1987.

**) Levin V.I. Ramanujaan. - M.: Kiến thức, 1968.

53

Chỉ có nhà toán học cấp cao nhất mới có thể.” Và một lần nữa: “Tất nhiên, những đẳng thức chính xác này là những trường hợp đặc biệt của những quan hệ tổng quát hơn nhiều mà Ramanujan đã tuyên truyền, nhưng ông ấy chưa bao giờ báo cáo bất cứ điều gì về chúng…”

Mời độc giả theo dõi chứng minh công thức (2) và (3). Ở một số chỗ anh ấy sẽ cần bút chì và giấy. Như một phần thưởng, anh ta gần như có một cơ chế bên trong để điều khiển những công thức tuyệt đẹp này và dường như anh ta sẽ có thể tự mình chứng minh một số công thức giống như công thức của Ramanujan (do tác giả tìm ra - xem Bài tập 5), và có thể tự mình nghĩ ra công thức đó.

Kết nối với công thức của Vieta

Mối liên hệ giữa lượng giác và đại số có thể dễ dàng nhận thấy trong các công thức của Ramanujan. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các con số

$$\begin{cases} \cos \frac{2\pi}{7}, \cos \frac{4\pi}{7}, \cos \frac{8\pi}{7} \\ \cos \frac{2\pi}{9}, \cos \frac{4\pi}{9}, \cos \frac{8\pi}{9} \end{cases}.$$

Trước hết, điều đáng chú ý là các đối số của cosin tạo thành cấp số nhân có giá trị 2 ở cả hai bộ ba.

Lợi dụng sự chuyển đổi

$$\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha = \frac{\sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha}{2 \sin \alpha} = \frac{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}{4 \sin \alpha} = \frac{\sin 8\alpha}{8 \sin \alpha},$$

chúng ta có thể thiết lập các đẳng thức sau:

$$\cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{8\pi}{7} = \frac{1}{8},$$

$$\cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9} = -\frac{1}{8}.$$

Đây là thành công đầu tiên của chúng tôi cho thấy rằng các đối số cosine trong các công thức của Ramanujan được chọn tương đối không ngẫu nhiên.

Bây giờ chúng ta hãy thử tìm tổng của ba cosin. Chúng tôi có:

$$\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{8\pi}{7} =$$

$$= \frac{2 \sin \frac{\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} \right) =$$

$$= \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( \sin \frac{3\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} + \sin \frac{5\pi}{7} \right) - \sin \frac{3\pi}{7} + \sin \pi - \sin \frac{5\pi}{7} = -\frac{1}{2};$$

$$\cos \frac{2\pi}{9} + \cos \frac{4\pi}{9} + \cos \frac{8\pi}{9} =$$

$$= \cos \frac{2\pi}{9} + \cos \frac{4\pi}{9} - \cos \frac{\pi}{9} =$$

$$= 2 \cos \frac{3\pi}{9} \cos \frac{\pi}{9} - \cos \frac{\pi}{9} = 0.$$

Cuối cùng, chúng tôi gửi số tiền sau:

$$S_1 = \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{8\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{8\pi}{7},$$

$$S_2 = \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} + \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9} + \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9}.$$

Bài tập 1. Chứng minh rằng $S_1 = -\frac{1}{2}, S_2 = -\frac{3}{4}$.

Bây giờ chúng ta hãy viết công thức Vieta cho phương trình bậc ba. Nếu $x, y, z$ là nghiệm của phương trình

$$t^3 + pt^2 + qt + r = 0,$$

thì, như đã biết,

$$\begin{cases} x + y + z = -p, \\ xy + xz + yz = q, \\ xyz = -r. \end{cases}$$

Chúng ta hãy so sánh (4) với các đẳng thức mà chúng ta thu được ở trên đối với bộ ba cos Ramanujan, chúng ta kết luận rằng bộ ba đầu tiên bao gồm các nghiệm của phương trình

$$t^3 + \frac{1}{2} t^2 - \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} = 0,$$

và thứ hai là từ nghiệm của phương trình

$$t^3 - \frac{3}{4} t + \frac{1}{8} = 0.$$

Giai đoạn này là quan trọng nhất trong chứng minh của chúng tôi. Nó cho thấy làm thế nào

54

và bản chất của mối liên hệ giữa các biểu thức lượng giác và đại số trong các công thức (2) và (3).

Hãy xem xét tổng của ba gốc …

Bây giờ hãy đặt bài toán như thế này. Cho phương trình
$$t^3 + pt^2 + qt + r = 0,$$
có gốc là các số $x, y, z$. Chúng ta cần tìm tổng các căn bậc ba của chúng (chúng ta biểu thị lập phương của tổng này bằng $A$):
$$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{A}.$$
(7)

Hóa ra tổng (7) rất dễ tìm cùng với một tổng khác:
$$\sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{xz} + \sqrt[3]{yz} = \sqrt[3]{B}.$$
(8)

Lập phương cả hai phần (7), rồi đến (8) và xét đến công thức Vieta (4), ta được (tự kiểm tra):
$$A = -p + 3\sqrt[3]{AB} + 3\sqrt[3]{r},$$
$$B = q - 3\sqrt[3]{ABr} - 3\sqrt[3]{r^2},$$
(10)

Nhân (9) với $\sqrt[3]{r}$ và cộng với (10), chúng ta biểu thị $B$ đến $A$:
$$B = q - (A + p)\sqrt[3]{r}.$$
(11)

Thay thế phương trình này vào (9), chúng ta thu được phương trình chỉ cho $A$:
$$A + p - 3\sqrt[3]{r} = 3\sqrt[3]{A(q - (A + p)\sqrt[3]{r})}.$$
(12)

Cuối cùng, bằng cách lập phương cả hai vế của phương trình, chúng ta thu được phương trình bậc ba sau cho $A$:
$$A^3 + 3(p + 6\sqrt[3]{r})A^2 + 3(p^2 + 3p\sqrt[3]{r} + 9\sqrt[3]{r^2} - 9q)A + (p - 3\sqrt[3]{r})^3 = 0.$$ (11)

Đơn giản hóa phương trình bậc ba

Cho ta một phương trình bậc ba
$$x^3 + 3bx^2 + 3cx + d = 0.$$ (12)

Chúng tôi sẽ chỉ ra cách, trong một số trường hợp đặc biệt thành công, nó có thể được đơn giản hóa.

Thay $x = z - b$ vào (12), chúng ta thu được phương trình bậc ba cho $z$, không chứa $z^2$ (kiểm tra!). Hơn nữa, nếu $b$ và $c$ trong phương trình (12) có liên hệ với nhau bởi các quan hệ
$$b^2 = c,$$
thì số hạng với $z^1$ cũng sẽ biến mất khỏi phương trình của $z$. Kết quả là, phương trình
biểu thức (12) sẽ có dạng
$$z^3 = b^3 - d.$$
Quay trở lại $x$, chúng tôi nhận được
$$x = \sqrt[3]{b^3 - d} - b.$$ (13)

Chúng ta hãy kiểm tra xem trường hợp nào điều kiện $b^2 = c$ được thỏa mãn cho phương trình (11). So sánh với (12), ta có:
$$b = p + 6\sqrt[3]{r},$$
$$c = p^2 + 3p\sqrt[3]{r} + 9\sqrt[3]{r^2} - 9q,$$
và điều kiện $b^2 = c$ có dạng:
$$3\sqrt[3]{r^2} + p\sqrt[3]{r} + q = 0.$$ (14)

Bây giờ đến một thời điểm thú vị: xét cho cùng, các số $p, q$ và $r$ được biết đến nhờ phương trình có gốc là bộ ba cosin Ramanujan (xem công thức (5) và (6))!

Đối với ba phần đầu tiên: $p = 1/2$, $q = -1/2$, $r = -1/8$; đối với bộ ba thứ hai: $p = 0$, $q = -3/4$, $r = 1/8$. Thay các giá trị này vào (14), chúng ta thu được các đẳng thức về số! Nhưng trong trường hợp này, theo (13) (tại $x = A$, $b = p + 6\sqrt[3]{r}$, $d = (p - 3\sqrt[3]{r})^3$),
$$A = \sqrt[3]{b^3 - d} - b.$$
Trong trường hợp ba trường hợp đầu tiên, $b = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$, $d = \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right)^3 = 8$, vậy
$$A = \frac{-3\sqrt{189} + 5}{2} = \frac{5 - 3\sqrt{7}}{2}.$$
Trong trường hợp bộ ba thứ hai $b = 3$, $d = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8}$ và
$$A = \sqrt[3]{27 + \frac{27}{8}} - 3 = \frac{3\sqrt[3]{9} - 6}{2}.$$

Đây không phải là những biểu thức căn bản của vế phải của các công thức (2) và (3) của Ramanujan. Vì vậy, việc chứng minh đã hoàn tất.

Bài tập 2. Đặt $\sqrt[3]{x} = u$, $\sqrt[3]{y} = v$, $\sqrt[3]{z} = w$, chứng minh điều kiện (14) với $u, v, w$ không bằng 0 là tương đương với điều kiện
$$u^3 + v^3 + w^3 + \frac{(uv)^2}{w} + \frac{(uw)^2}{v} + \frac{(vw)^2}{u} + 3uvw = 0.$$ (15)

Từ chứng minh của chúng ta, điều kiện (15) được thỏa mãn bởi căn bậc ba của Ramanujan

55

cosin (bộ ba thứ nhất và thứ hai). Dễ dàng kiểm tra trực tiếp rằng nó cũng thỏa mãn bộ ba số

$$u = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}, v = -\sqrt[3]{\frac{2}{9}}, w = \sqrt[3]{\frac{4}{9}}.$$

Do đó, các đẳng thức (1), (2), (3) dựa trên điều kiện tổng quát (15).

Có lẽ Ramanujan biết các bộ ba số khác ($u, v, w$) thỏa mãn điều kiện (15).

Bài tập 3. Chứng minh rằng cùng với các số $u, v, w$, điều kiện (15) thỏa mãn bởi: a) các số $\frac{1}{u}, \frac{1}{v}, \frac{1}{w}$;
6) số $\sqrt[3]{u^3+uvw}, \sqrt[3]{v^3+uvw}, \sqrt[3]{w^3+uvw}$.

Bài tập 4. Chứng minh nếu điều kiện (15) thỏa mãn thì đẳng thức đúng

$$\left( \frac{u}{v} + \frac{v}{u} + \frac{u}{w} + \frac{w}{u} + \frac{w}{v} \right)^3 + 6 = \left( \frac{u}{v} \right)^3 + \left( \frac{v}{u} \right)^3 + \left( \frac{u}{w} \right)^3 + \left( \frac{w}{v} \right)^3.$$

Ví dụ: kiểm tra (16) bộ ba số $u = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}, v = -\sqrt[3]{\frac{2}{9}}, w = \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$. Ngược lại, có thể suy ra (15) từ (16) không?

Bài tập 5. Chứng minh đẳng thức:

$$1^\circ. \sqrt[3]{\sec \frac{2\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sec \frac{4\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sec \frac{8\pi}{7}} = \sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}};$$

$$2^\circ. \sqrt[3]{\sec \frac{2\pi}{9}} + \sqrt[3]{\sec \frac{4\pi}{9}} + \sqrt[3]{\sec \frac{8\pi}{9}} = \sqrt[3]{6(\sqrt[3]{9}-1)};$$

$$3^\circ. \sqrt[3]{\sec 2+\sec \frac{2\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sec 2+\sec \frac{4\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sec 2+\sec \frac{8\pi}{7}} = \sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-10};$$

$$4^\circ. \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\cos \frac{2\pi}{7}} +$$

56

Máy tính của trường vẽ một vòng tròn

A. G. SHEGOLEV

Trong số trước «Kvant» chúng ta đã nói một chút về khả năng đồ họa của máy tính trường học Yamaha (và ngôn ngữ MSX - BASIC), vẽ ra những bức tranh đẹp - hay nói đúng hơn là các thuật toán được biên soạn để thực hiện những hình này. Lần này chúng ta sẽ chứng minh khả năng đồ họa của máy móc với cấu trúc lời giải hình học bài toán. Chúng tôi sẽ giới hạn việc phân tích chỉ một bài toán, nhưng phân tích này sẽ rất chi tiết; nó dựa trên các nguyên tắc lập trình hệ thống (xem «Kvant», 1987, số 10, 11). Vì vậy, bài toán: Vẽ một đường tròn đi qua ba điểm với các thuộc tính tọa độ.

Về bản chất, bạn bài toán về việc dựng một đường tròn ngoại tiếp một hình tam giác. Việc xây dựng này có thể được thực hiện một cách duy nhất nếu ba điểm khác nhau và không nằm trên cùng một đường thẳng.

Chúng ta hãy tiến hành xây dựng một cách có hệ thống hoàn chỉnh thuật toán và chương trình.

Hãy dựng đường tròn đi qua ba điểm.
Tọa độ của điểm đầu tiên
Tọa độ của điểm thứ hai
Tọa độ của điểm thứ ba

Một vòng tròn không thể được vẽ qua những điểm này (và đây là cách duy nhất!)!

Hình 1.

57

Dàn dựng:
Cho: $(x_1, y_1)$ — tọa độ của các điểm $A, B, C$.
Bắt buộc: $\sigma$ - hình ảnh của một vòng tròn (hoặc một phần của vòng tròn nằm trong màn hình).
Khi: $A, B, C$ không nằm trên cùng một đường thẳng.
Liên hệ: $A \in \sigma, B \in \sigma, C \in \sigma$.

Kịch bản:
Trên hình 1, các vòng tròn màu xanh lam chứa các thành phần có thể thay đổi của cuộc đối thoại trong tương lai - những con số cụ thể được một người trong đáp số báo cáo theo yêu cầu của máy tính. Các hình trong ngoặc chứa hai phiên bản của máy tính: phiên bản đầu tiên sẽ được nhìn thấy nếu các điểm có tọa độ đã cho nằm trên cùng một đường thẳng, phiên bản thứ hai - nếu tọa độ của các điểm thỏa mãn công thức; trong trường hợp sau này, màn hình sẽ hiển thị điểm $A, B, C$ với tọa độ đã cho và một vòng tròn đi qua chúng.

Phương pháp:
Điều kiện ba điểm $A, B$ và $C$ thẳng hàng tương đương với sự thẳng hàng của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ (hình 2) và có dạng
$$(x_2 - x_1)(y_3 - y_2) = (y_2 - y_1)(x_3 - x_2).$$
Bài tập 1. Đảm bảo rằng điều kiện này cũng bao gồm các trường hợp hai (hoặc thậm chí cả ba) điểm bất kỳ trùng nhau.
Để vẽ một vòng tròn, chúng ta phải cho người thực hiện (máy tính của trường) biết tọa độ tâm và bán kính của nó.
Như đã biết, tâm $S$ của đường tròn ngoại tiếp có thể được coi là giao điểm của trung điểm của phân bố lại với hai cạnh của tam giác $(AB$ và $BC$ trên hình 3).
tọa độ vectơ:
$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1),$$
$$\overrightarrow{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2);$$
$M$ - chính giữa cạnh $AB$ - có tọa độ
$$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2});$$
tọa độ điểm $N$ - điểm giữa

hai bên $BC$
$$(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}).$$

Bất kỳ điểm nào nằm trên đường thẳng $MS$ đều có tọa độ $(M_x + \lambda m_x, M_y + \lambda m_y)$, trong đó $M_x$ và $M_y$ là các trục hoành và tọa độ tương ứng của điểm $M$; $m_x = y_2 - y_1$ và $m_y = x_2 - x_1$ là tọa độ của vectơ $m$; $\lambda$ là một số.
Bài tập 2. Chứng minh rằng $\vec{m} \perp \overrightarrow{AB}$.
tọa độ các điểm trên đường thẳng $NS$ được thể hiện tương tự thông qua tham số $\mu$, tọa độ điểm $N$ và vectơ vuông góc với $\overrightarrow{BC}$ (ví dụ: vectơ $n = (y_3 - y_2, x_2 - x_3)$). Để tìm giao điểm của đường $MS$ và $NS$, ta đánh đồng tọa độ tương ứng:
$$\begin{cases} M_x + \lambda m_x = N_x + \mu n_x, \\ M_y + \lambda m_y = N_y + \mu n_y. \end{cases}$$

Giải hệ phương trình tuyến tính này cho các ẩn số $\lambda$ và $\mu$, chẳng hạn, chúng ta thu được biểu thức cho $\lambda$:
$$\lambda = \frac{1}{2} \frac{(y_3 - y_2)(y_3 - y_1) - (x_2 - x_3)(x_3 - x_1)}{(y_2 - y_1)(x_3 - x_2) - (x_2 - x_1)(y_3 - y_2)}.$$
tọa độ tâm đường tròn
$$S_x = M_x + \lambda m_x = \frac{x_1 + x_2}{2} + \lambda (y_2 - y_1),$$
$$S_y = M_y + \lambda m_y = \frac{y_1 + y_2}{2} + \lambda (x_1 - x_2).$$
Bán kính obtuis được xác định theo định lý Pythagore là khoảng cách giữa tâm và bất kỳ điểm nào đã cho (ví dụ: