Kvant 1989, số 4 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P có nghĩa là gói

1989

DIALOGO
di
GALILEO GALILEI LINCEO
AL SER. mo FERD. II. GRAN. DVCA DI
TOSC ANA

1

Trong phòng:

2 S. S. Murzin, M. R. Trunin, D. V. Shovkun. Ngoài định luật Ohm
10 A. V. Sosinsky. Nút thắt, liên kết và đa thức của chúng
19 V. A. Chulaevsky. Chuyển đổi thợ làm bánh
24 Sách bài tập «Kvant»
25 Lời giải bài toán M1131 — M1135, F1143 — F1147
34 Danh sách độc giả gửi đúng lời giải
«Kvant» cho học sinh nhỏ
35 Bài toán
35 Trường học ở «Kvant»
Toán 8, 9, 10:
Đạo hàm của hàm phức và hàm nghịch đảo
Trường học yêu thích bài toán
40 Kính vạn hoa «Kvant»
R là tên lửa
44 V.V. Nikolaev. Một con thoi, hai con thoi…
49 Bình luận
50 “Liên minh” công bố cuộc thi
51 Thông tin và lập trình
51 A. L. Brudno. phương pháp lobachevsky
54 Phòng thí nghiệm «Kvant»
54 V.V. Uteshev. Làm thế nào để nhận thấy những điều vô hình
Xưởng của người nộp đơn
60 A. I. Chernoutsan. Định luật bảo toàn năng lượng và động lượng
Thông tin
9 “Viblotechka «Kvant» – 10 tuổi
65 Trường Vật lý Tương ứng tại Đại học quốc gia Moscow
67 phương án thi tuyển sinh
73 Đáp số, gợi ý, lời giải
«Kvant» mỉm cười (53, 64)
Gửi độc giả của chúng tôi (66)
bìa của chúng tôi
Các nhà thiết kế có một nguyên tắc: nếu một chiếc ô tô đẹp nghĩa là nó được thiết kế đúng. Điều này hoàn toàn áp dụng cho khu phức hợp Energia-Buran. Bạn có thể đọc về nó trong bài viết “Một con thoi, hai con thoi…”.
2 Cuốn sách “Đối thoại về hai hệ thống chính của thế giới” của Galille, xuất bản ở Florence năm 1632.
Ba nhân vật dẫn đầu cuộc tranh luận về vũ trụ học là Aristogel, Ptolemy và Copernicus. Một số vấn đề liên quan đến tính bền vững của hệ mặt trời của chúng ta sẽ được thảo luận hôm nay trong “Kính vạn hoa” Lượng tử “.
3 trang cờ vua.
4 Bốn câu đố, thống nhất bởi một nhiệm vụ - giống như một sợi dây dày xuyên qua khe hẹp.

© Nhà xuất bản Nuka.
Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1989

2

NGOÀI
LUẬT OMA

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. S. MURZIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
M. R. TRUNIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
D.V.SHOVKUN

“Coi chừng!” - một người thường xuyên sử dụng lời khuyên này của Kozma Prutkov khi nói đến các định luật vật lý. Đặc biệt, về các định luật vật lý. Ví dụ, chúng ta hãy nhớ lại định luật Ohm: dòng điện tỉ lệ với điện áp. Hóa ra đây không phải là trường hợp. Và tốt! Nếu định luật này luôn được tuân thủ, chúng ta sẽ không có nhiều thiết bị điện và vô tuyến. May mắn thay, định luật Ohm, giống như hầu hết các định luật vật lý, có phạm vi giới hạn. Nằm ngoài phạm vi của định luật này, các hiện tượng vật lý thú vị phát sinh đảm bảo hoạt động của các thiết bị này. Bản thân những hiện tượng này rất thú vị, nhưng hôm nay chúng ta sẽ thảo luận một câu hỏi khác: tại sao định luật Ohm lại vi phạm?

định luật Ohm

Hãy nối dây dẫn với mạch điện và thay đổi cường độ dòng điện I chạy qua dây dẫn ở các giá trị khác nhau của điện áp đặt vào U. Như vậy, ta thu được sự phụ thuộc I=I(U) - dòng điện-điện áp của dây dẫn điện. Theo định luật Ohm, cường độ dòng điện của một dây dẫn điện, tức là dòng điện có điện áp hiện tại, là một hàm tuyến tính

$$I(U) = U/R,$$

và điện trở R không phụ thuộc vào U. Nếu điều này không đúng (định luật Ohm không thỏa mãn), thì điện vôn-ampe phi tuyến tính.

Ví dụ đơn giản nhất về chất dẫn điện vi phạm định luật Ohm là hình xoắn ốc của đèn sợi đốt. Đối với đèn có công suất 40 V, đặc tính dòng điện-điện áp được thể hiện ở hình 1. Tiết diện tuyến tính chỉ ở U<5 V và ở giá trị U lớn, dòng điện I tăng chậm hơn so với trường hợp phụ thuộc tuyến tính I(U). Không khó để chứng minh tại sao điều này xảy ra. Khi điện áp tăng, cuộn dây nóng lên và điện trở của nó tăng lên. Ví dụ này minh họa quy tắc chung: định luật Ohm chỉ có hiệu lực ở I và U đủ nhỏ, còn ở dòng điện và điện áp cao thì nó bị vi phạm.

Hãy viết định luật Ohm dưới dạng khác. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu các giá trị mật độ hiện tại j=I/S, trong đó S là diện tích mặt cắt ngang của dây dẫn. Sau đó

$$j = \frac{I}{S} = \frac{U}{RS} = \frac{U}{(\rho L/S)S} = \frac{1}{\rho} \frac{U}{L} = \sigma E.$$

Ở đây $\rho$ là điện trở suất của dây dẫn, các giá trị $\sigma=1/\rho$ gọi là độ dẫn điện riêng, $L$ là chiều dài dây dẫn, $E=U/L$ là điện áp điện trường. Định luật Ohm giả định mối quan hệ tuyến tính giữa mật độ dòng điện j và điện áp điện trường E. Nếu vì lý do nào đó độ dẫn điện phụ thuộc vào độ lớn của điện trường thì sự phụ thuộc của j vào E trở nên phi tuyến và định luật Ohm bị vi phạm.

Để tìm ra nguyên nhân vi phạm định luật Ohm, hãy xem xét chuyển động của các electron trong dây dẫn khi không có và có điện trường.

4

$$\vec{u} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( \vec{v}_i - \frac{e\vec{E}}{m^*} t_i \right) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i - \frac{e\vec{E}}{m^*} \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} t_i \right).$$

Giá trị $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i$ là tốc độ trung bình của đầu máy điện ngay sau khi tản nhiệt. Vì tốc độ của đầu máy điện có thể tiêu tan ngay lập tức theo bất kỳ hướng nào, $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i = 0$. Giá trị $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} t_i = \tau$ có ​​ý nghĩa về thời gian rảnh trung bình vốn đã quen thuộc. Vì vậy, dưới tác dụng của điện trường, tất cả các electron đều thu được tốc độ bổ sung (gọi là độ trôi), giá trị trung bình của tốc độ này là $u = eE\tau/m^*$ và tốc độ này được hướng song song với trường $\vec{E}$.

Như vậy, khi có điện trường, chuyển động trôi của đầu máy điện chồng lên chuyển động xaotic, xuất hiện chiều chuyển động ưu tiên của đầu máy điện - xuất hiện dòng điện. Nếu nồng độ của đầu máy điện trong dây dẫn là $n$ thì mật độ của dòng điện này là

$$j = enu = \frac{ne^2\tau}{m^*} E.$$

Mặt khác, chúng tôi biết rằng $j = \sigma E$. Có nghĩa,

$$\sigma = \frac{ne^2\tau}{m^*}.$$

Công thức này được gọi là công thức Drude. Định luật Ohm có hiệu lực nếu không có đại lượng nào trong công thức Drude phụ thuộc vào $E$. Nếu nồng độ của đầu máy điện $n$ hoặc thời gian rảnh $t$, hoặc khối lượng hiệu dụng $m^*$ thay đổi dưới tác dụng của điện trường thì định luật Ohm bị vi phạm.

Khi nào định luật Ohm đúng?

Trước hết, chúng ta hãy xem xét trong những điều kiện nào thì giá trị $t$ không thay đổi dưới tác động của trường $E$.

Thời gian $t$ phụ thuộc vào tốc độ của đầu máy điện. Tốc độ trôi $u =$

$$eE\tau/m^*, \text{ появляющая при включении электрического поля, возрастает при увеличении } E. \text{ Пока электрическое поля мало, так что дрейфовая скорость } u \text{ гораздо меньше средней скоростиxaотического движения } v_0, \text{ величины } u \text{ можно пребречь и считать время } t \text{ не зависит от поля } E. \text{ Если } E \text{ велико настояло, что значение } u \text{ сравнито с } v_0, \text{ то дрейфовою скорость нужно учитывать. В этом случае скорости электровоз и, следовательно, время свободного пробета } t \text{ оказываются зависящими от электрического поля.}$$

Vì vậy, để thỏa mãn định luật Ôm thì cần phải thỏa mãn điều kiện

$$u \ll v_0,$$

nghĩa là hướng của điện trường trong dây dẫn phải nhỏ hơn $E = m^*v_0/e\tau$ rất nhiều.

Trong chất bán dẫn, như chúng ta đã nói, $v_0 \sim 10^5$ m/s. Để đạt được giá trị $u$ tương đương với $v_0$, phải áp dụng trường $E \sim 10^6$ V/m cho chất bán dẫn. Đây là một giá trị rất lớn, có thể so sánh với hướng của trường trong tia sét. Tuy nhiên, một trường như vậy có thể được tạo ra trong chất bán dẫn.

Có một giới hạn tốc độ khác mạnh hơn $u$. Nó phải nhỏ hơn tốc độ âm thanh trong dây dẫn (a $v_{38} \sim 10^3$ m/s):

$$u < v_{38}.$$

Ngay khi tốc độ $u$ đạt giá trị $v_{38}$, các dao động âm thanh sẽ được kích thích trong tinh thể. Trong trường hợp này, thời gian sạc miễn phí $t$ và độ dẫn điện $\sigma$, tỷ lệ thuận với $\tau$, có thể giảm. Tình huống này tương tự như lực cản khí động học tăng mạnh sau khi máy bay vượt qua rào cản âm thanh.

Vì vậy, trong trường $E_{38} \geq m^*v_{38}/e\tau$ độ dẫn điện bắt đầu phụ thuộc vào giá trị $E$ và định luật Ohm bị vi phạm.

Tác dụng của điện trường không chỉ trùng với sự xuất hiện của chuyển động trôi. Người ta biết rằng khi dòng điện chạy qua một dây dẫn, một tế bào Joule được giải phóng và nó nóng lên. Chúng ta hãy xem xét quá trình này chi tiết hơn.

5

Bất kỳ dây dẫn nào cũng có thể được coi là bao gồm hai hệ thống con: một mạng tinh thể được hình thành bởi các nguyên tử của chất đó và một loại khí chứa các electron dẫn lấp đầy mạng tinh thể. Các electron và mạng có thể được đặc trưng bởi nhiệt độ của chúng $T_e$ và $T_p$. Khi không có điện trường, khí electron cân bằng nhiệt với mạng tinh thể và môi trường: $T_e=T_p=T_c$. Trường $E$ tác dụng lên các electron dẫn và làm chúng nóng lên trước tiên. Chỉ khi đó nhiệt mới được truyền từ các electron vào mạng và sau đó ra môi trường. Do đó, khi có trường, trạng thái cân bằng nhiệt bị phá vỡ sao cho $T_e>T_p>T_c$.

Nếu sự truyền nhiệt từ dây dẫn ra môi trường hẹp hơn sự truyền nhiệt từ electron sang nguyên tử và do đó, $T_e-T_p\ll T_p-T_c$, thì mạng cùng với các electron sẽ nóng lên toàn bộ. (Tình huống này là điển hình cho dây tóc của đèn sợi đốt.) Cũng có thể xảy ra trường hợp ngược lại, khi nhiệt độ electron cao hơn nhiều so với nhiệt độ mạng và $T_e-T_p\gg T_p-T_c$.

Trong kim loại, như chúng ta đã nói, tốc độ trung bình của chuyển động nhiệt hỗn loạn của các electron thực tế không phụ thuộc vào nhiệt độ. Nhưng trong chất bán dẫn, sự gia tăng $T_e$ dưới tác dụng của điện trường có nghĩa là sự gia tăng tốc độ $v_0$ chuyển động nhiệt của các electron và do đó làm giảm thời gian chạy tự do. Nếu thay đổi $\Delta v_0$ về tốc độ $v_0$ là nhỏ, tức là $\Delta v_0\ll v_0$, thì $v_0$ phụ thuộc vào $E$, và do đó, $\tau$ trên $E$ có thể bị bỏ qua. Điều kiện $\Delta v_0\ll v_0$ tương đương với điều kiện quá nhiệt nhỏ $\Delta T_e$ của các electron so với trạng thái cân bằng:

$$\Delta T_e\ll T_e.$$

Do đó, các điều kiện để thời gian tích điện tự do độc lập với độ lớn của điện trường, cần thiết để đáp ứng định luật Ohm, đặt ra những hạn chế sau đây đối với phạm vi áp dụng định luật này:

$$u \ll v_0,$$

$$u < v_{3B},$$

$$\Delta T_e\ll T_e=T_c.$$

Vi phạm bất kỳ tính độc lập nào đều dẫn đến sai lệch khỏi định luật Ohm. Dưới đây chúng ta sẽ thấy rằng nếu tính độc lập của $u \ll v_0$ và $\Delta T_e\ll T_e$ bị vi phạm, thì điện trường $E$ cũng có thể ảnh hưởng đến các đại lượng khác có trong công thức Drude - khối lượng hiệu dụng $m^*$ và nồng độ electron $n$. Sự phụ thuộc của $m^*$ và $n$ vào $E$ có thể thay đổi đáng kể loại đặc tính dòng điện-điện áp của chất bán dẫn.

Chất bán dẫn trong điện trường mạnh

Trong một mẫu có dòng điện $I$ chạy qua, năng lượng được giải phóng

$$P=I^2R=\sigma E^2LS$$

(chúng tôi đã dạy rằng $I=jS=\sigma ES$, $R=\varrho L/S=L/\sigma S$). Công suất $Q=\sigma E^2$ được giải phóng trên mỗi đơn vị thể tích. Với cùng một giá trị $Q$, điện trường $E=$ $\sqrt{Q/\sigma}$ trong chất bán dẫn lớn hơn trong kim loại, vì nồng độ electron trong chất bán dẫn và do đó độ dẫn điện $\sigma$ thấp hơn nhiều. Do đó, việc vi phạm các điều kiện $u<v_{3B}$, $u\ll v_0$ trong đó sẽ dễ dàng hơn. Ngoài ra, đối với mỗi electron trong chất bán dẫn có nhiều năng lượng hơn trong kim loại. Khí điện tử nóng lên chậm hơn, và do đó tính độc lập $\Delta T_e\ll T_e$ cũng dễ bị vi phạm hơn.

Vi phạm điều kiện nào - (1), (2) hoặc (3) - khi điện trường tăng sẽ dẫn đến sai lệch đáng kể nhất so với định luật Ohm tùy thuộc vào loại chất bán dẫn. Ví dụ: trong CdS, điều kiện $u<v_{3B}$ bị vi phạm trước tiên. Đồng thời, trong hiện trường $E_{3B}=1,4\cdot 10^5$ V/m trên vôn-ampe

6

Trong đặc tính mới $j(E)$ một đường gấp khúc xuất hiện (hình 2). Nếu $E > E_{3B}$, chất bán dẫn này phát ra âm thanh cường độ cao và có thể được sử dụng làm máy tạo rung động âm thanh.

Trong các chất bán dẫn khác, chẳng hạn như Ge, Si, GaAs, InP, CdTe, âm thanh bị kích thích yếu hơn nhiều và không quan sát thấy hiện tượng xoắn nào đáng chú ý trong trường $E_{3B}$. Trong các chất bán dẫn này, những sai lệch so với định luật Ohm có liên quan đến việc vi phạm điều kiện $\Delta T_e \ll T_e$. Trong trường hợp này, thời gian beta miễn phí tỷ lệ nghịch với trường $E$, tức là $\tau(E) \sim 1/E$, và phụ thuộc vào mật độ hiện tại và chỉ liên quan đến những thay đổi trong $m^*$ và $n$. Trong Ge và Si ở $E > 10^6$ V/m trên đặc tính dòng điện-điện áp (hình 3) độ bão hòa $j(m^*, n)$ được quan sát thấy, không phụ thuộc vào $E$. Trong GaAs, InP, CdTe, khi năng lượng electron tăng khi tăng $E$, không chỉ thời gian của hạt tự do $\tau$ giảm mà khối lượng hiệu dụng $m^*$ cũng tăng. Sự tăng $m^*$ gây ra sự thay đổi trong tương tác của các electron với mạng tinh thể. Kết quả là, trong các chất bán dẫn này, bắt đầu từ một giá trị nhất định của điện trường $E_a$, mật độ dòng điện $j$ giảm khi tăng $E$ (phần $E_a < E < E_b$ đến hình 3). Trong GaAs, mức giảm $j$ bắt đầu ở $E_a = 3,2 \cdot 10^5$ V/m và tiếp tục đến $E_b \approx 10$ $E_a$. Trong trường $E_a$ tốc độ trôi của electron là $u = j/en = 1,5 \times 10^5$ m/s.

Trong trường mạnh hơn nữa $E \sim 10^7$ V/m chúng ta vi phạm điều kiện $\Delta T_e \ll T_e$ và điều kiện $u \ll v_0$ cũng bị vi phạm. Trong một trường như vậy, các electron nhận được năng lượng trong quá trình chạy tự do, đủ để hiểu được nguyên tử. Các electron nhanh, khi va chạm với các nguyên tử, đánh bật các electron bổ sung, do đó cũng được gia tốc bởi trường và tạo ra các hạt mang điện mới. Quá trình này được gọi là tác động vào. Tổng nồng độ của $n$ electron tăng lên và do đó độ dẫn điện tăng lên. Với mức tăng điện trường thậm chí còn lớn hơn $(E > 10^7$ V/m), nồng độ và độ dẫn điện tăng lên như một trận tuyết lở và xảy ra hiện tượng đánh thủng chất bán dẫn.

Như vậy, trong chất bán dẫn ở trường rất mạnh $E$ mật độ dòng điện $j = \sigma E$ tăng nhanh hơn theo định luật tuyến tính. Đặc biệt, trong Ge và Si, độ bão hòa dòng điện được thay thế bằng sự tăng trưởng không bị bẫy của nó, và trong GaAs, InP, CdTe, đặc tính dòng điện-điện áp có dạng hình $N$ (hình 3); tại $0 < E < E_a$ định luật Ohm được thỏa mãn, trong khoảng $E_a < E < E_b$ có phần rơi xuống do sự giảm $\tau$ và sự tăng $m^*$ trong điện trường mạnh, và cuối cùng, trong vùng $E > E_b$ có sự tăng nhanh của $j$ do sự tăng lên của $n$.

Hiệu ứng súng

Sự có mặt của phần rơi trong đặc tính dòng điện-điện áp dẫn đến một hiện tượng thú vị được phát hiện bởi kỹ sư người Mỹ John Gunn.

Chúng ta hãy áp dụng hướng $U_0$ cho mẫu GaAs có độ dài $L$ sao cho nó kết thúc ở phần rơi của sự phụ thuộc $j(E)$. Giả sử ban đầu điện trường trong mẫu đều và bằng $U_0/L$. Vì lý do nào đó, trong lớp mỏng $AB$ của mẫu, trường $E$ hóa ra lớn hơn một chút so với phần còn lại của thể tích mẫu (hình 4). Khi đó tốc độ trôi của các electron $u = j/en$ bên trong lớp $AB$ hóa ra nhỏ hơn bên ngoài. Do đó, nhiều electron sẽ chảy đến ranh giới $A$ hơn là bay ra khỏi ranh giới đó và tại ranh giới $B$ sẽ có một dòng electron dương. Do đó, một điện trường bổ sung sẽ xuất hiện trong lớp $AB$, hướng cùng hướng với lớp ban đầu. Tăng

7

Trường giảm sẽ dẫn đến thực tế là tốc độ hiệu dụng của electron bên trong lớp sẽ giảm hơn nữa và trường ở đó sẽ còn tăng hơn nữa.

Do đó, sự phân bố đồng đều của điện trường trong phần tới $j(E)$ là không thể: mọi sự không đồng nhất $E$ dù yếu đến đâu vô tình xuất hiện trong mẫu cũng không giải quyết được mà ngày càng lớn lên. Kết quả là hình thành một vùng hẹp (kích thước $\delta$) của trường mạnh, được gọi là miền điện. Trong trường hợp này, vì điện áp $U_0$ trên mẫu được chỉ định, tức là.

$$E_2\delta + E_1(L-\delta) = U_0 = \text{const},$$

sự gia tăng trường $E_2$ trong miền điện trở bằng cách giảm trường $E_1$ bên ngoài miền đó. Sẽ đến lúc $E_1 < E_a$ và $E_2 > E_b$ (xem hình 3). Tốc độ hoạt động bên trong miền bắt đầu giảm và tốc độ bên trong bắt đầu tăng. Sự tăng trưởng của trường $E_2$ trong miền sẽ dừng khi các tỷ lệ này trở nên bằng nhau và mật độ hiện tại trong miền và trong mẫu trở nên giống nhau:

$$j(E_1) = j(E_2) = j_0.$$

Từ hai đẳng thức cuối cùng, ta suy ra rằng mật độ dòng điện $j_0$ được thiết lập trong mẫu phụ thuộc vào độ dày của miền $\delta$.

Thông thường, một miền phát sinh gần cực dương (do sự nóng chảy của các tiếp điểm nên có sự không đồng nhất lớn ở đây) và bị dòng điện bên trong mang đi, bắt đầu di chuyển về phía cực dương với tốc độ $u_0 = j_0/en$. Khi nó di chuyển dọc theo mẫu, kích thước của nó không thay đổi, điều đó có nghĩa là dòng điện $j_0$ cũng không thay đổi. Gần cực dương, miền bắt đầu biến mất, độ dày của nó giảm và dòng điện trong mẫu tăng lên. Tuy nhiên, trường $E_1$ bên ngoài miền tạm thời được tăng lên. Càng sớm càng

$$E_1$$ đạt giá trị $E_a$, tại đó một miền mới được sinh ra, dòng điện bắt đầu giảm và quá trình cổ tử cung này được lặp lại (hình 5). Chu kì của dòng điện bóng đèn trong mẫu là $T_0 = L/u_0$.

Vì vậy, bằng cách đặt một điện áp không đổi $U_0$ vào chất bán dẫn, chúng ta thu được dòng điện xoay chiều có tần số $f = 1/T_0 = u_0/L$. Điều này hoàn toàn khác với định luật Ohm. Trong arsenua galley (GaAs) $u_0 \approx 10^5$ m/s. Sử dụng các mẫu nhỏ có chiều dài từ một đến stapicron, có thể thay đổi tần số của dòng điện xoay chiều trong phạm vi $f \sim 10^9 - 10^{11}$ Hz. Hầu hết các máy phát tần số siêu cao (vi sóng) hiện đại đều hoạt động dựa trên hiệu ứng Gunn. Ví dụ, những thiết bị này được sử dụng để xác định tốc độ không đổi của chuyển động tự động và trong việc phát sóng truyền hình qua các vệ tinh nhân tạo của Trái đất.

Vi phạm định luật Ohm

ở dòng điện cao

Cho đến nay, chúng ta xét chuyển động của các electron bên trong chỉ dưới tác dụng của điện trường. Tuy nhiên, người ta biết rằng dòng điện chạy qua dây dẫn là nguồn tạo ra từ trường. một từ trường sẽ xuất hiện không chỉ ở bên ngoài mà còn ở bên trong dây dẫn. Ví dụ, ở gần bề mặt của một sợi dây thẳng có đường kính $d = 1$ mm với dòng điện $I = 10$ A, một từ trường $B = 4\mu_0I/d \approx 0,012$ T sẽ xuất hiện ($\mu_0 = 4 \cdot 10^{-7}$ B·s/(A·m) – hằng số từ). Từ trường của dòng điện có thể vi phạm định luật Ohm.

Một electron chuyển động trong từ trường chịu tác dụng của lực Lorentz,

8

Hình 6.
uốn cong quỹ đạo của nó. Nếu cảm ứng trường $\vec{B}$ vuông góc với tốc độ $\vec{v}$ của electron thì quỹ đạo của electron sẽ là một đường tròn có bán kính $r=m^*v/eB$. Nếu góc giữa các vectơ $\vec{B}$ và $\vec{v}$ bằng $\alpha$ thì electron sẽ chuyển động theo một đường xoắn ốc có đường kính là $d=2(m^*v/eB)\sin \alpha$, hát một vòng xoắn ốc trong thời gian $T=2\pi m^*/eB$.

Trong một dây dẫn, electron có thể chuyển động theo hình xoắn ốc nếu thời gian chạy tự do là $\tau \gg T$ (hình 6, a). Trong trường hợp này, đường kính của hình xoắn ốc $d<vT$ nhỏ hơn nhiều lần so với khoảng cách $l=v\tau$ mà electron sẽ trộn lẫn trong thời gian $\tau$ khi không có từ trường (hình 6, b). Do đó, trong thời gian $\tau$, electron dường như bị khóa trong một ống có đường kính $d$. Kết quả là điện trở của dây dẫn trong từ trường lớn hơn $B=0$. Sự phụ thuộc của điện trở $R$ vào từ trường do dòng điện “riêng” tạo ra, do đó dẫn đến vi phạm định luật Ohm.

Nếu $\tau \ll T$, thì giữa hai lần va chạm liên tiếp, chuyển động của electron khác một chút so với chuyển động thẳng (hình 6, s); Từ trường thực tế không nhỏ hơn điện trở của dây dẫn.

Cảm ứng từ trường $B_0$, từ đó ảnh hưởng của trường trở nên đáng kể, được tìm thấy từ

Hình 7.

điều kiện bằng nhau về chu kỳ quay của electron trong quỹ đạo tròn $T=2\pi m^*/eB_0$ thời gian beta tự do $\tau: B_0=2\pi m^*/e\tau$. Đối với GaAs $m^*=0,06$ $m_e$ và $\tau \sim 10^{-13}$ s, vì vậy $B_0 \approx 3$ T. Trên thực tế, không thể tạo ra một trường như vậy bằng cách cho dòng điện chạy qua chất bán dẫn. Ở dòng điện rất thấp, mẫu sẽ bị phá hủy. Một kim loại có độ dẫn điện rất cao có thể mang dòng điện lớn hơn nhiều. Ngoài ra, ở kim loại nguyên chất được làm lạnh đến nhiệt độ gel lỏng (khoảng 4 K), thời gian $\tau$ có thể đạt giá trị $\sim 10^{-9}$ s, dài hơn đáng kể so với trong chất bán dẫn. Do đó, trong kim loại, trường $B_0$ nhỏ - khoảng 0,01 T. Đây là một ví dụ về loại trường xảy ra trong một dây dẫn có đường kính 1 mm ở dòng điện 10 A.

hình 7 cho thấy sự phụ thuộc thực nghiệm thu được của điện trở $R$ của một dây dẫn kim loại vào giá trị hiện tại $I$ ở nhiệt độ gel. Có thể thấy khi dòng điện tăng thì điện trở tăng lên nhiều lần. Điện trường trong thí nghiệm này nhỏ hơn $10^2$ V/m, nhỏ hơn nhiều so với các trường $E$ trong đó người ta quan sát thấy những sai lệch so với định luật Ohm trong chất bán dẫn. Do đó, ảnh hưởng của từ trường của dòng điện lên điện trở trong trường hợp này là nguyên nhân chính dẫn đến vi phạm định luật Ohm.

---

Chúng ta đã xem xét các nguyên tắc vật lý có thể dẫn đến sự vi phạm định luật Ohm ở chất dẫn điện. Đồng thời, những hiệu ứng quan trọng nhất không đạt được ở các vật dẫn nằm trong điện trường và từ trường xen kẽ cũng không được đề cập… Nhưng “không ai có thể chấp nhận được sự bao la”.

11

Nút thắt xuất hiện trong thời kỳ lịch sử - cùng với những sợi dây và sợi dây đầu tiên. Hoặc thậm chí có thể sớm hơn: dây leo dễ bị thắt nút. Các kỹ năng thực tế trong việc xử lý các nút thắt đã đi sâu vào lịch sử - chúng được sử dụng bởi các thủy thủ, thợ dệt và thợ xây dựng đầu tiên. Nhưng các nhà khoa học bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống các nút thắt đường tương đối gần đây: vào cuối thế kỷ này. Rõ ràng, khuôn khổ cứng nhắc của hình học truyền thống đã quá thử thách đối với những vật thể mỏng và dẻo này. Lý thuyết về các nút thắt bắt đầu được phát triển thành công chỉ cùng với thần học - khoa học về những đặc tính sâu sắc nhất của các hình và sự sắp xếp của chúng - chiếm một vị trí khiêm tốn nhưng xứng đáng trong đó. Khiêm tốn - trong thời điểm hiện tại.

Trong những năm gần đây, lý thuyết nút thắt đã không còn bị rò rỉ chỉ trong một số ít chuyên ngành và bất ngờ trở thành một trong những sở thích thời thượng nhất của các nhà toán học, nhà vật lý (cả “cổ điển” và “lượng tử”) và thậm chí cả các nhà di truyền học.

Nhưng nhiều hơn về điều đó một lát sau. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét các nút từ quan điểm của một nhà toán học và đặt câu hỏi tự nhiên nhất:

Có nút thắt nào có thể được gỡ rối?

Ví dụ: có thể gỡ các nút thắt như ở hình 1 không? Người đọc nhìn vào nút thắt $Y_1$ có thể thấy nó dễ dàng duỗi thẳng thành hình tròn. Cách gỡ nút thắt $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$, $Y_5$ không hiển thị ngay lập tức;

Hình 1. Ví dụ về sơ đồ nút thắt: $Y_1$ - nút thắt tầm thường (tức là tháo thành vòng tròn); $Y_2$ - hình tám nút thắt; $Y_3$ — nút bảng $8_1$; $Y_4$ - ? $Y_5$ — nút bảng $8_{11}$; $Y_6$ là hình ảnh nút không hợp lệ (không phải sơ đồ).

12

trực giác gợi ý rằng không thể gỡ nút thắt $Y_2$ mà không làm đứt nó. Nút $Y_6$ rất khó hiểu: không thể đi từ hình vì nút này nằm trong không gian.

Để chuyển từ cuộc thảo luận vật lý về các nút sang cuộc trò chuyện toán học phía máy chủ, cần có các định nghĩa chính xác. Hãy bắt đầu với định nghĩa: một nút là một đường đứt đoạn được kết nối (tức là bao gồm một phần), khép kín, định hướng (tức là được trang bị hướng đi ngang) trong không gian. Các nút được mô tả bằng các bản vẽ phẳng theo cách đặc biệt - dưới dạng sơ đồ. Sơ đồ còn gọi là hình chiếu của một nút lên một mặt phẳng, trong đó đường cong chỉ giao nhau tại hai điểm cách ly và có một khoảng trống

Hình 2. Tính chất cơ bản và sự tương đương của nút thắt: a) Thay nối AB bằng đoạn thẳng đứt đôi ACB (và ngược lại), với điều kiện tam giác ABC không có điểm chung với nút thắt (tất nhiên, ngoại trừ các điểm thuộc đoạn AB); b) phá hủy vòng lặp bằng cách sử dụng một dây dẫn cơ bản; c) căn chỉnh lại toàn bộ phần của nút ACDEB về vị trí AC’D’E’B bằng cách sử dụng một chuỗi sáu đạo trình cơ bản.

Trong phép chiếu, nó chỉ ra nhánh nào trong hai nhánh đi qua bên dưới. Trên hình 1 chỉ có năm sơ đồ thực: hình chiếu của nút $Y_6$ không phải là sơ đồ - nó có điểm ba (A), một điểm không có khoảng trắng ở nhánh dưới (B) và toàn bộ phần gồm các điểm kép (không bị cô lập) (C). Ở đây chúng tôi chỉ xem xét các nút được định hướng và chỉ ra hướng truyền tải bằng một mũi tên trên sơ đồ. (Trong sơ đồ, cùng với đường nét đứt, có một đường viền rộng của một đường cong mượt mà, vì mục đích thẩm mỹ.)

Hai nút thắt được coi là tương đương (tức là giống hệt nhau) nếu bằng cách lướt, kéo giãn, di chuyển một nút thắt trong không gian (không làm đứt hoặc dán) có thể biến đổi thành nút thắt khác *). Do đó, nút $Y_1$ biến thành một nút tầm thường, tức là thành một vòng tròn thông thường (hình 3). Trong số các nút thắt hình 1 còn có một nút thắt tầm thường khác (cố đoán xem là nút nào), nhưng không dễ gỡ rối như nút thắt $Y_1$.

Đoán xem đây là loại nút nào? Đúng vậy: nút $Y_4$ cũng tầm thường. Nhưng một người có trí tưởng tượng không gian bình thường thường không làm sáng tỏ nó ngay lập tức mà chỉ sử dụng bút chì, giấy và tẩy (hoặc bảng đen và phấn).

Bài tập 1. Vẽ quá trình tháo nút thắt $Y_4$.

Bây giờ là lúc đặt ra những câu hỏi chung.

1. Làm sáng tỏ vấn đề. Tìm một thuật toán có thể cho biết từ bất kỳ sơ đồ nút nào xem nút đó có tầm thường hay không.

Câu hỏi này là một trường hợp đặc biệt của một câu hỏi tổng quát hơn.

2. Vấn đề so sánh. Tìm một thuật toán có thể cho biết từ bất kỳ cặp sơ đồ nào chúng có tương đương hay không. (Bài toán giải rối là khoảng cách so sánh với một nút thắt tầm thường.)

*) Một định nghĩa lớn, chính xác: hai nút tương đương nhau nếu một nút có thể đi từ nút này sang nút kia dọc theo một chuỗi hữu hạn các liên kết cơ bản (thay thế một liên kết của một đường đứt bằng một đường đứt hai sợi và quay lại - xem hình 2).

Hình 3. Quá trình tháo nút thắt $Y_1$: a) trượt cành này sang cành khác; b) ném cành cây qua một điểm kép; c) một phiếu khác; e) thắt chặt vòng lặp; e) tháo hai vòng.

Làm thế nào để bắt đầu giải quyết những vấn đề này?
Họ sẽ giúp chúng tôi việc này

Hoạt động của Reidemeister

Hãy phân tích cách chúng tôi quyết định bài toán tháo nút thắt $Y_1$. Từ hình 3 có thể thấy rằng trong quá trình tháo nút, về cơ bản hình thức của nút chỉ thay đổi tại những thời điểm khi số lượng hoặc tính chất sắp xếp của các điểm kép thay đổi. Điểm kép có thể biến mất khi chúng ta tháo vòng lặp nhỏ (hình 3, $\delta$), một cặp chấm kép liền kề có thể biến mất khi một cung trượt vào một cung khác (hình 3, $a$), cuối cùng, một cặp dấu chấm kép có thể nhảy qua dấu chấm thứ ba (hình 3, $\delta$). Tình hình trước hoạt động này trên hình 3 được đánh dấu bằng vòng tròn màu vàng; cả ba loại hoạt động được sao chép riêng biệt trên hình 4. Có một cái tên đặc biệt dành cho chúng - phép toán Reidemeister, được đặt theo tên của nhà toán học người Đức, người đã cô lập chúng và ở tuổi thiếu niên đã chứng minh được điều sau.

Định lý: Hai nút tương đương khi và chỉ khi một nút có thể đi từ sơ đồ của nút này sang sơ đồ của nút khác bằng cách sử dụng đồng

Hình 4. Hoạt động của Reidemeister: $\Omega_1^{\pm}$ - tháo (và xoắn) các vòng; $\Omega_2^{\pm}$ - cành này trượt khỏi cành khác và cành này chồng lên cành khác; $\Omega_3$ - chuyển nhánh qua điểm kép. Các phép toán được đặt phẳng làm giảm số lượng điểm kép (và do đó đơn giản hóa sơ đồ nút); các hoạt động được đặt với dấu trừ sẽ tăng con số này; thao tác $\Omega_3$ không thay đổi số điểm kép.

14

một số lượng hoạt động hạn chế $\Omega_1^{\pm}, \Omega_2^{\pm}, \Omega_3$.

Định lý Reidemeister mở rộng sự tương đương không gian khó khăn bài toán của hai nút thắt với “phẳng” đơn giản hơn bài toán về việc chuyển đổi một sơ đồ nút này sang một sơ đồ nút khác bằng cách sử dụng ba phép toán nổi tiếng $\Omega_1^{\pm}, \Omega_2^{\pm}, \Omega_3$ (xem hình 4). Chúng ta sẽ không tiến hành chứng minh khá thú vị về định lý này* ở đây.

Bài tập
2. Tháo nút thắt $Y_1$, chỉ sử dụng các thao tác $\Omega_1^{+}$ và $\Omega_2^{+}$.
3. Chứng minh rằng các thao tác $\Omega_1^{+}$ và $\Omega_2^{+}$ không thể áp dụng cho nút $Y_2$.

Bài tập lời giải 2 và 3 thành công sẽ luôn tìm được bài toán giải vướng mắc lời giải. Chỉ sử dụng thao tác Reidemeister $\Omega_1^{+}, \Omega_2^{+}$, giúp giảm số điểm kép, chúng tôi sẽ khâu sơ đồ một cách có hệ thống cho đến khi nút thắt được tháo ra. Nếu không áp dụng được các thao tác thì nút thắt không thể được gỡ rối.

Than ôi! Ý tưởng này là thiếu sót:

Bài tập 4: Chứng minh rằng các phép toán $\Omega_1^{+}, \Omega_2^{+}$ không được áp dụng cho nút (tầm thường!) $Y_4$.

Chúng ta đã đến ngõ cụt. Để gỡ nút thắt, đôi khi cần phải tăng số lượng điểm đôi trước, sau đó mới gỡ sơ đồ nút thắt. Và vấn đề là không biết trước con số này cần phải tăng lên bao nhiêu - không có thuật toán nào ở đây. Xét cho cùng, một nỗ lực có hệ thống để gỡ nút thắt bằng thao tác Reidemeister không dẫn đến thành công chẳng chứng minh được điều gì: có lẽ nút thắt không thể được gỡ rối không phải vì nó không tầm thường mà vì chúng ta đã không tăng đủ số điểm kép.

Cách tiếp cận hình học ngây thơ của chúng tôi đã kết thúc trong thất bại hoàn toàn. Rốt cuộc, hiện tại chúng tôi không có bằng chứng về một nút nào đó không tầm thường! Có lẽ tất cả các nút thắt đang được tháo gỡ? Chúng ta cần những ý tưởng khác.

*) Nó bao gồm một phân tích cẩn thận về những gì xảy ra trên hình chiếu (sơ đồ) của một nút khi một dịch chuyển cơ bản được thực hiện (trong không gian). Đồng thời, các phương án khả thi sẽ được sắp xếp bằng cách sử dụng ý tưởng “chuyển động nhỏ”.

Hình 5. Ví dụ về độ lệch: $\Omega_1$ - đúng, độ lệch đơn giản nhất của hai vòng tròn; $\Omega_2$ - Colccia Borromo; $\Omega_3$ - vosmera xuyên qua; $\Omega_4$ - tín dụng tương đương với Borromo colccia (kiểm tra!); $\Omega_5$ - dây chuyền, màu xanh lá cây có hình cây ba lá; $\Omega_6$ là một chuỗi không ổn định (nó sẽ đứt ra nếu nhánh dưới và nhánh trên đặt vào vị trí tại điểm A).

Những người tham gia có kinh nghiệm về tối ưu hóa toán học sẽ đề xuất hướng tìm kiếm. Cần tìm

Bất biến chống làm sáng tỏ

Nó có nghĩa là gì? Cần phải liên kết với mỗi sơ đồ nút thắt một số đối tượng đại số - một bất biến - để các sơ đồ nút thắt tương đương có cùng các bất biến. Sau đó, nếu các bất biến của các nút khác nhau thì các nút này không thể tương đương. Nếu một nút có một bất biến không bằng bất biến của nút tầm thường thì nút đó không thể tầm thường. bất biến

15

như thể đang “ngăn chặn” nút thắt bị bung ra. Trong mọi trường hợp, bất biến cung cấp bằng chứng về tính không tầm thường của một nút nhất định*).

Vì vậy, nếu bất biến là khác nhau thì các nút cũng khác nhau. Nếu điều ngược lại cũng đúng (sự trùng hợp của các bất biến hàm ý sự tương đương của các nút), thì bất biến đó được gọi là hoàn chỉnh. Đối với một bài toán phức tạp như so sánh nút, không có bất biến hoàn chỉnh đơn giản nào được biết đến. Tuy nhiên, tôi muốn tính bất biến khá tinh tế, nghĩa là cho phép người ta phân biệt, nếu không phải tất cả, thì nhiều nút.

Làm thế nào để tìm thấy một bất biến như vậy? Để làm được điều này, chúng ta sẽ phải mở rộng phần nào lớp đối tượng đang được xem xét: nghiên cứu không chỉ các nút mà còn cả các khái niệm tổng quát hơn -

Véo

Sự phân chia là một tập hợp hữu hạn các đường đứt nét định hướng rời rạc khép kín trong không gian (hình 5). Nút thắt là trường hợp đặc biệt của một câu thần chú (một tập hợp gồm một đường đứt nét). Sự tương đương của các khiếu nại được xác định theo cách tương tự như các nút.

Sự hiện diện của một số đường gãy dẫn đến các hiệu ứng thắt nút mới về cơ bản. Ví dụ: hai vòng tròn (nút ba) có thể tạo thành một cặp không chia sẻ (3₁). Thú vị hơn nữa là chuỗi thư Borromean (3₂) - ba vòng tròn, được mở thành từng cặp, nhưng không thể gỡ rối cùng nhau. Tuần tự hát các vòng tròn nhỏ, bạn có thể tạo thành chuỗi dài và thậm chí thắt nút chúng (3₅). Chuỗi vòng lặp phức tạp hơn (3₆) cũng rất thú vị: nếu bạn mở “khóa bên trái” (tức là thay đổi điểm kép ngoài cùng bên trái thành điểm đối diện), thì chuỗi sẽ được phân bổ tuần tự từ trái sang phải. Hiệu ứng này phần nào gợi nhớ đến việc chạy “mũi tên” trên những chiếc tất nylon hoặc “sự cởi trói” của một chiếc áo len len.

*) Trong «Kvant» một bất biến tương tự đã được mô tả (xem bài viết của O. Ya. Viro “Nút thắt màu”, «Kvant», 1981, số 3).

Bài tập 5 (dành cho nữ). Vẽ cách móc các sợi chỉ trên và dưới khi may trên máy may.

Nhưng ở đây chúng ta sẽ không giải quyết các trò chơi hình học có liên kết mà sẽ chuyển thẳng sang việc xây dựng bất biến của chúng ta. Nó được gọi là

đa thức lồi

được đặt theo tên nhà toán học người Anh J. Conwell. Tuy nhiên, trong tài liệu khoa học, đa thức này thường được gọi là đa thức Alexander-Convel. J. Alexander, một nhà tôpô xuất sắc người Mỹ, đã nghĩ ra đa thức của mình trước Convel, vào năm 1933 (đa thức Convel khác với đa thức Alexander ở chỗ thay đổi đơn giản các biến), nhưng thiết kế của ông rất đẹp! - còn xa tiểu học. Tất nhiên, công lao của Convel không nằm ở khả năng thay thế các biến, mà ở việc xây dựng tiên đề cơ bản hoàn hảo của đa thức. Tôi mô tả cách xây dựng này bên dưới, chỉ giữ lại tên của đa thức J. Convel, một trong những nhà toán học sáng giá và linh hoạt nhất thế kỷ 20, người tạo ra trò chơi “Cuộc sống” (xem «Kvant», 1974, Số 9), những con số ma quái (xem Lượng tử, 1979, Số 11), một số con quái vật lẻ tẻ (xem «Kvant», 1987, Số 2) và nhiều điều rắc rối khác.

Convely đi đến ý tưởng rằng mỗi sơ đồ của một nút hoặc liên kết L được liên kết với một đa thức (đa thức) trong biến x với các hệ số nguyên. Đa thức này được ký hiệu là P_L(x). Trong trường hợp này, ba tiên đề phải được đáp ứng:

I. Sơ đồ tương đương L và L’ tương ứng với cùng một đa thức:

$$P_L(x) = P_L(x).$$

II. Nút ba tương ứng với một đa thức (độ 0), khác 1:

$$P_0(x) = 1.$$

III. Ba liên kết L⁺, L⁻, L⁰, giống nhau ở mọi nơi ngoại trừ một vòng tròn nhỏ, nơi chúng trông giống như được hiển thị trong hình 6,

16

Hình 6. Quan hệ cơ bản (tiên đề III) của đa thức Convel.

trả lời mối quan hệ liên quan đến đa thức

$$P_{L^+}(x) - P_{L^-}(x) = x \cdot P_{L^0}(x)$$

Chúng ta sẽ không thảo luận lý do tại sao đối với mỗi $L$ đa thức $P_{L}(x)$ tồn tại và được xác định duy nhất bởi các tiên đề này, nhưng chúng ta sẽ tìm hiểu, dựa trên các tiên đề, để tính đa thức này.

Chúng ta hãy nhìn vào hình 7,a. Nó hiển thị sơ đồ (được gắn nhãn $L^+$) của một nút thắt tầm thường có một điểm kép. Từ tiên đề I và II suy ra đa thức $P_{L^+}(x)$ bằng 1. Nếu chúng ta thay điểm kép của sơ đồ $L^+$ bằng điểm đối diện, rồi hủy điểm kép (theo Tiên đề III), thì chúng ta thu được một sơ đồ khác của nút tầm thường $L^-$ và một cặp đường tròn không liên kết $L^0$. Áp dụng quan hệ III, ta thu được

$$P_{L^+}(x) - P_{L^-}(x) = x \cdot P_{L^0}(x),$$

tức là $1 - 1 = x \cdot P_{L^0}(x)$, từ đó $P_{L^0}(x) = 0$, tức là một cặp đường tròn không liên kết có đa thức Convel bằng 0.

Bây giờ hãy tính đa thức Convel của một cặp đường tròn liên kết. Về vấn đề thay thế: vì chúng ta đang xem xét các đường định hướng, các cặp như vậy có hai loại: phải và trái. Để giải thích sự khác biệt giữa chúng, hãy coi một trong các vòng tròn là vòng tròn đầu tiên và vòng tròn còn lại là vòng tròn thứ hai. Đường thẳng xuyên qua mặt phẳng của đường tròn thứ nhất bên trong đường tròn này được định hướng theo quy tắc gimlet “đảo ngược”; nếu vòng tròn thứ hai có hướng chính xác như vậy, chúng ta coi cặp liên kết là bên trái, nếu không thì - bên phải (hình 8).

Hình 7. Đa thức lồi: a) cho một cặp đường tròn không liên kết $L^0(P_{L^0}(x) = 0)$; b) đối với một cặp (xem hình 8) vòng tròn được liên kết $L^+(P_{L^+}(x) = x)$; c) đối với nút ba lá $L^+(P_{L^+}(x) = x^2 + 1)$; d) hình tám nút thắt $L^+$; e) xỏ hình số tám để đính hôn; f) đối với các biến thể khác của hình số 8 bị thủng.

18

10. Chứng tỏ rằng đa thức Conway không phải là một bất biến hoàn chỉnh, tức là chứng tỏ rằng có các nút khác nhau có cùng đa thức Conway.

Gợi ý. Ví dụ đơn giản nhất là hình cây ba lá và hình ảnh phản chiếu của nó. Để chứng minh chúng không tương đương, bạn cần lập mô hình đa thức Conway, thay thế bằng đa thức Jones, được định nghĩa giống như đa thức Conway, chỉ có Tiên đề III thay đổi:

$$\text{III}' \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} P_{L^+} - \sqrt{x} P_{L^-} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} P_{L^0}.$$

Hãy tóm tắt lại

Hơn nữa, số lượng phép tính cần thiết được thực hiện cho thấy đa thức Conway là một công cụ khá tinh tế cho phép bạn phân biệt giữa các nút và liên kết cũng như thiết lập các thuộc tính không tầm thường của chúng. Ví dụ, bằng cách tính toán các đa thức của vòng trefoil, vosperka và Borromean (và đảm bảo rằng các đa thức này không bằng 0 hoặc 1), chúng ta đã chứng minh được rằng chúng không thể được gỡ rối. Hoặc, bằng cách tính các đa thức tương ứng, chúng ta đã chứng minh được rằng các liên kết trong Hình 7,δ,e không tương đương, điều này thực sự không rõ ràng lắm.

Tất nhiên, những bằng chứng này chỉ có giá trị nếu thực tế về sự tồn tại và tính duy nhất của đa thức Conway cho mỗi nút (và liên kết) đã được thiết lập. Xét cho cùng, việc xây dựng các tiên đề đơn giản không đảm bảo sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn các tiên đề này (nếu các tiên đề mâu thuẫn nhau thì sao!). Làm thế nào tôi có thể nhận được sự đảm bảo như vậy? Chỉ bằng cách chứng minh sự tồn tại và duy nhất của đa thức Conway. Nhưng bằng chứng cơ bản về sự thật này mà tôi biết thì rất phức tạp và nó sẽ không được đưa ra ở đây.

Và cuối cùng, một câu hỏi cuối cùng:

Vậy chúng ta nên làm gì?

Tôi hy vọng người đọc sẽ thích những công trình rõ ràng và trang nhã được mô tả ở trên. Phải nói rằng trong toán học hiện đại hiếm khi có những lĩnh vực phát triển chuyên sâu mà học sinh có thể được dạy bất cứ điều gì về bản chất. Theo quy luật, toán học sống mô tả một khối lượng kiến ​​​​thức khổng lồ vượt xa phạm vi chương trình giảng dạy của trường (và thậm chí cả trung đội). Ở đây mọi thứ gần như cơ bản, mặc dù khá mới (ví dụ, việc xây dựng đa thức Conway có từ những năm 70). Nhưng chúng ta không nên tự lừa dối mình. Những gì chúng tôi mô tả ở trên, mặc dù có sức hấp dẫn, nhưng không thể khơi dậy sự quan tâm ngày càng tăng đối với lý thuyết về nút thắt, điều mà tôi đã nói ở đầu bài viết.

Vấn đề ở đây là khác nhau. Thứ nhất, trong mối liên hệ sâu sắc được nhà toán học người Anh W. Jones tìm ra giữa đa thức nút, vật lý thống kê (cụ thể hơn là cái gọi là “mô hình Potts” cho băng) và vật lý lượng tử (cái gọi là “nhóm lượng tử”). Thứ hai, về sự xuất hiện của các nút thắt trong sinh học phân tử (nút thắt của các phân tử DNA dạng vòng *)). Và thứ ba, trong lời giải các bài toán cơ bản gần đây của lý thuyết nút thắt (các bài toán so sánh và giải vướng víu), dựa trên công trình hình học sâu sắc của các nhà toán học người Đức W. Haken và G. Waldhausen.

Hiện nay, trong tài liệu toán học đã có mô tả các thuật toán so sánh và giải quyết các nút thắt. Tuy nhiên, các thuật toán này vẫn còn quá phức tạp để thực hiện trên máy tính. Ngoài ra còn có một bất biến hoàn chỉnh cho các nút thắt, được phát minh bởi nhà toán học Liên Xô S.V. Matveev. Nhưng tính toán thực tế của nó cũng không thể tiếp cận được với máy tính. Công việc theo những hướng này vẫn tiếp tục.

*) Thông tin chi tiết có thể tìm thấy trong cuốn sách thay thế của M.D. Frank-Kamenetsky “Phân tử quan trọng nhất” (bộ “Vibloteka «Kvant»”, M., Nauka, 1983). Tác giả của nó đã lầm tưởng rằng đa thức Alexander là một bất biến hoàn toàn của một nút thắt (xem trang 109 của cuốn sách này). Tuy nhiên, ở chỗ khác tác giả nói rằng ông không phải là nhà toán học (tr. 106).

19

SỰ CHUYỂN ĐỔI CỦA BAKER

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. CHULAEVSKY

Nếu chúng ta phải nghe những từ “xác suất”, “ngẫu nhiên”, thì xin vui lòng, chúng ta thường nhớ đến trò chơi lật bài, ném xúc xắc hoặc xáo bài. Và bản thân thuật ngữ “cờ bạc” bắt nguồn từ từ tiếng Pháp hasard, có nghĩa là “trường hợp”. Những nỗ lực tìm kiếm các cơ chế ẩn giấu để kiểm soát tình hình đã được thực hiện mọi lúc. Tuy nhiên, như một quy luật, họ đã kết thúc một cách buồn bã - hãy nhớ đến Hermann của Pushchin! Và có điểm chung nào giữa sự tiền định hoàn toàn (“ba, bảy, át”) và sự ngẫu nhiên không? Đừng vội với đáp số mà bây giờ hãy… nấu ăn.

Bài toán về bánh không muối. Vì vậy, hãy nướng một chiếc bánh. Hãy mở sách dạy nấu ăn và chọn một công thức phù hợp với sở thích của bạn. Chúng ta thay bột, đợi cho đến khi bột nổi lên rồi dùng cán cán thành hình vuông. Hãy bắt đầu với phần nhân… Đợi đã, chúng ta không thêm muối vào bột. Chà, chúng ta hãy cố gắng sửa chữa sai lầm của mình: lấy một thìa cà phê muối và… Ôi, thật cẩu thả! Tất cả muối được đổ vào góc của chiếc bánh tương lai (hình 1). Nhưng điều này không nên làm chúng ta bối rối (vì thực tế là “hình vuông” trong bản vẽ của chúng ta “trông” giống như một góc vuông). Kinh nghiệm của những người thợ làm bánh đã giúp ích: chúng ta kéo giãn hình vuông hai lần theo chiều ngang, chế độ làm đôi theo chiều dọc và một lần nữa tạo thành hình vuông như trong hình 2.

Những gì chúng ta đã làm với hình vuông đôi khi được gọi là phép biến đổi của thợ làm bánh. Bất kỳ bà nội trợ nào cũng biết rằng bằng cách này bạn có thể làm cho bột rất đồng nhất. Nhưng bạn nghĩ thủ tục này cần phải được lặp lại bao nhiêu lần để muối đổ vào góc được phân bổ gần như bằng nhau cho tất cả các miếng của chiếc bánh tương lai - hai? Mười? một trăm? một ngàn?

Hình học biến đổi Baker. Hãy chia hình vuông làm đôi theo chiều dọc. Hãy chơi trò chơi sau: chúng ta chọn một điểm trong hình vuông và nếu sau khi người thợ làm bánh biến đổi, điểm đó nằm ở nửa bên trái của hình vuông thì chúng ta thắng, nếu không thì chúng ta thua.

“Một trò chơi dành cho trẻ mẫu giáo,” bạn nói. — Rõ ràng là điểm phải được chọn trên hai sọc dọc được tô màu ở hình 2, a.

Phải. Chúng ta sẽ phải phức tạp hóa luật chơi; Sau khi chọn một điểm, chúng tôi lặp lại phép biến đổi của thợ làm bánh 10 lần và chỉ sau đó chúng tôi mới xem nó rơi vào nửa hình vuông nào. Bây giờ cột chiến lược chiến thắng không hiển thị. Để tìm một tập hợp các điểm cho một n tùy ý mà sau khi áp dụng phép biến đổi baker n lần, kết thúc ở nửa bên trái của hình vuông, thật thuận tiện khi theo dõi chuyển động của điểm dưới tác dụng của nghịch đảo

20

Hình 3

sự biến đổi của người thợ làm bánh, tức là sự biến đổi của người thợ làm bánh được thực hiện theo cách tượng hình. Nó trông như thế nào được hiển thị trong hình 3. Áp dụng điều này sau khi lặp lại phép biến đổi của thợ làm bánh $n$ lần. Và mặc dù tập hợp “chiến thắng” được chỉ định rõ ràng, nhưng vẫn đáng mắc sai lầm khi xác định hoành độ của điểm trên $2^{-n-1}$ (và giá trị này khá cao).

biến đổi nhiều lần liên tiếp thành một hình vuông duy nhất, nửa bên trái được tô bóng, ta được dãy hình như ở hình 4. Ở bước $n$-th, tất cả các sọc dọc có chiều rộng $2^{-n-1}$ với số lẻ nếu đếm từ trái sang phải sẽ bị tô bóng. Chính những điểm này sẽ đi về nửa bên trái của hình vuông

Hình 4.

20

21

nhưng nhỏ ngay cả đối với các giá trị nhỏ của n) và chúng tôi đã thua. Việc xuất hiện dù chỉ một lỗi nhỏ cũng khiến trò chơi rất giống trò tung bài: xét cho cùng, set thắng luôn có diện tích là 1/2 nên nếu chọn ngẫu nhiên một điểm thì xác suất thắng cũng là 1/2.

Sự biến đổi. Chúng ta đã quên rằng sẽ có một chiếc bánh hỏng trong bếp. Tuy nhiên, thời gian đã không bị lãng phí. Bây giờ chúng tôi biết rằng việc khắc phục vấn đề không hề khó khăn. Chỉ cần lặp lại quá trình biến đổi của người làm bánh 15-20 lần là đủ, bột sẽ được muối gần như đều. Hãy cùng theo dõi sự tiến hóa của phần muối tròn của chiếc bánh - hình 5. Bạn có thể bắt đầu không chỉ với hình vuông mà còn với bất kỳ hình dạng nào. Trong mọi trường hợp, sau một số lần lặp lại nhỏ, hình ảnh của hình này sẽ được “bôi” đều trên hình vuông. Chính xác hơn, nó có thể được xây dựng như thế này. Chúng ta hãy biểu thị phép biến đổi của thợ làm bánh bằng T,

22

và các đường dẫn $A$ và $B$ là hai hình có diện tích khác 0 nằm bên trong hình vuông, ví dụ như hai đa giác. Sau đó, khi $n$ tăng lên, tỷ lệ diện tích $(T^n(A) \cap B)/$ so với diện tích $(A)$ có xu hướng bằng một phần diện tích của tập hợp $B$ so với diện tích của toàn bộ hình vuông. Điều này có nghĩa là đối với $n$ lớn, cơ hội nhận được từ $A$ đến $B$ trong $n$ bước dưới ảnh hưởng của $T$ trên thực tế không phụ thuộc vào $A$, tức là vào vị trí ban đầu của điểm, nhưng tập hợp $B$ chỉ phụ thuộc vào khu vực.

Thuộc tính mà chúng ta đã hình thành được gọi là change. Nó có nghĩa là bất kỳ hình nào cũng trải đều trên hình vuông theo thời gian.

Một số công thức. Tôi muốn tìm hiểu cách mô tả sự biến đổi của người thợ làm bánh bằng các công thức. Việc giảm một nửa liên quan đến định nghĩa về phép biến đổi cho thấy rằng hệ thống số kép có thể hữu ích trong cách mô tả như vậy. Hãy nhớ rằng mỗi số $\alpha$ từ khoảng $[0;1)$ có thể được viết là $0, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3...$, trong đó mỗi $\alpha_i$ bằng 0 hoặc 1. Ký hiệu này có nghĩa là $\alpha = \alpha_1/2 + \alpha_2/2^2 + \alpha_3/2^3 +...$; ví dụ: 1/2 có thể được viết trong hệ thống kép là 0,1 và 1/3 là 0,010101… Ý nghĩa hình học của ký hiệu như vậy như sau. Chia khoảng $[0;1)$ làm đôi. Nếu $\alpha_1 = 0$ thì số $\alpha$ nằm ở nửa bên trái của khoảng: $[0;1/2)$ và nếu $\alpha_1 = 1$ thì ở nửa bên phải: $[1/2;1)$. Đặt $\alpha_1 = 0$ để xác định. Sau đó, $\alpha_2$ cho biết nửa khoảng $[0;1/2)$ nằm $\alpha$ - ở bên trái ($\alpha_2 = 0$) hoặc ở bên phải ($\alpha_2 = 1$). Tất cả các chữ số nhập kép khác đều có ý nghĩa tương tự.

Bài tập

1. Chứng minh rằng $1/3 = 0,010101$…

Gợi ý: sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân vô hạn: $q + q^2 + q^3 +... = q/(1-q)$.

2. Viết 1/7 dưới dạng phân số kép.

3. Viết 0,110110110… dưới dạng phân số khách quan.

Lấy điểm $m$ trong bình phương đơn vị $K = \{(x;y):0 \leqslant x < 1, 0 \leqslant y < 1\}$ có tọa độ $(x;y)$, viết dưới dạng kép: $x = 0, x_1 x_2..., y = 0, y_1 y_2...$. Chúng ta hãy xem ký hiệu kép của tọa độ của điểm $m$ thay đổi như thế nào nếu áp dụng phép biến đổi của thợ làm bánh cho nó. Nếu $x_1 = 0$, tức là $m$, nằm ở nửa bên trái của hình vuông thì trục hoành của nó sẽ tăng gấp đôi. Vì lý do này mà chúng tôi đã đặt trước ký hiệu kép của số thập phân: trong hệ thống số thập phân, việc nhân phân số với 10 rất đơn giản - chỉ cần di chuyển phân số tương ứng với dấu thập phân sang trái 1 vị trí và trong hệ thống số chính xác kép, phép nhân với 2 cũng hoạt động theo cách tương tự.

Vì vậy, trục hoành của điểm $T(m)$ bằng 0, $x_2 x_3...$. Nếu như $x_1 = 1$, thì ở giai đoạn đầu tiên của quá trình chuyển đổi thợ làm bánh (hình 2, b) điểm $m$ sẽ đi đến điểm abscissa $1, x_2 x_3...$, và sau khi cắt (hình 2, e) - di chuyển 1 sang trái, vì vậy trong trường hợp này trục hoành của điểm $T(m)$ bằng 0, $x_2 x_3...$. Bây giờ chúng ta hãy theo dõi sự thay đổi tọa độ của điểm $m$. Ở giai đoạn đầu tiên, nó sẽ giảm đi một nửa: $y \rightarrow 0,0 y_1 y_2...$, và sau đó không thay đổi (tại $x_1 = 0$), hoặc sẽ tăng 1/2 (tại $x_1 = 1$). Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết tọa độ của điểm $T(m)$ bằng 0, $x_1 y_1 y_2...$. Để rõ ràng, hãy viết tọa độ của điểm $m$ trong một dòng như thế này:

$$m \leftrightarrow (\dots y_3 y_2 y_1, x_1 x_2 x_3...).$$

Khi đó điểm $T(m)$ sẽ được viết như sau:

$$T(m) \leftrightarrow (\ldots y_2 y_1 x_1, x_2 x_3 x_4 \ldots).$$

Chúng ta thấy rằng ký hiệu kép về tọa độ của một điểm cho phép chúng ta biểu diễn phép biến đổi $T$ ở dạng rất đơn giản - như một sự dịch chuyển sang trái của một chuỗi vô hạn các số 0 và số một theo cả hai hướng:

$$T: (\ldots z_{-1}, z_0 z_1 z_2 \ldots) \mapsto (\ldots z_{-1} z_0, z_1 z_2 \ldots).$$

Trong ký hiệu này, các số $z_n$ có ý nghĩa hình học rõ ràng: nếu $z_n = 0$, thì phép biến đổi $T$ sẽ đưa điểm chịu trách nhiệm về chuỗi này về nửa bên trái của hình vuông theo các bước $n$ và cho $z_n = 1$ ở bên phải.

Bài tập

4. Chứng minh rằng tập $M$ của tất cả các điểm $m$ trong đó $z_{i_1} = a_1, \ldots, z_{i_n} = a_n (a_1, \ldots, a_n)$ là các số cố định bằng 0 hoặc 1) là hợp của một số hình chữ nhật có cạnh song song với trục tọa độ.

5. Chứng minh rằng diện tích $P$ của tập hợp $M$ được mô tả trong Bài tập 4 bằng $(1/2)^n$.

Đầu hay đuôi? Chúng tôi sẽ hiểu chuỗi $(\ldots z_{-1}, z_0 z_1 \ldots)$ như một bản ghi kết quả của một loạt lần tung đồng xu với xác suất nhận được “sấp” và “sấp” bằng nhau. Trong trường hợp này, $z_n = 0$ có nghĩa là ở lần tung $n$ kết quả là “ngửa” và $z_n = 1$ có nghĩa là kết quả là “sấp”. Kinh nghiệm cho chúng ta biết rằng xác suất có kết quả đúng của $n$ lần tung độc lập là $(1/2)^n$, tức là.

xác suất để $\{z_{i_1} = a_1, \ldots, z_{i_n} = a_n\}$ bằng $(1/2)^n$, bất kể các số $a_k$ và các số phân biệt theo cặp $i_k$. Do đó, từ Bài tập 5, xác suất của các kết quả nhất định của trò chơi tung, được viết dưới dạng một tập hợp các chuỗi số 0 và số 1, trùng với diện tích của tập hợp bao gồm các điểm tương ứng của hình vuông. Do đó, một mối liên hệ bất ngờ đã được phát hiện giữa các trọng lượng tưởng chừng như ở xa - chuyển động của một điểm vuông dưới tác động của trọng lượng của một phép biến đổi đơn giản và “không ngẫu nhiên” của người thợ làm bánh $T$ và việc ném ngẫu nhiên của tôi

24

Nhiệm vụ

M1156 — M1160, F1163 — F1167

M1156. Tám đội khúc côn cầu cạnh tranh với nhau để lọt vào bốn đội cuối cùng. (Mỗi bên gặp nhau 1 lần, thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm, thua được 0 điểm)
Số điểm thấp nhất đảm bảo lọt vào vòng 4 chung cuộc là bao nhiêu?

Sanzhar Khodzhev, học sinh lớp 10

M1157. Khi các tam giác - trắng, đỏ và lục - có chung một điểm trong M. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một đỉnh của mỗi tam giác sao cho điểm M nằm bên trong hoặc trên đường viền của một tam giác có các đỉnh tại các điểm đã chọn có ba màu khác nhau.

Imre Baranyi (Hungary)

M1158. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(x+y)(x+z)$ nếu $x, y, z$ là số dương và $xyz(x+y+z)=1$.

Oleg Khristenko, học sinh lớp 10

M1159. Dùng thước kẻ hai mặt dựng một góc có độ lớn $30^\circ$. Các hoạt động sau đây được cho phép:
(1) vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm, (2) vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho cách một khoảng bằng chiều rộng của thước.

A. V. Polev

M1160. Ở một đầu $A$ của con đường thẳng $AB$ 10 con chuột túi tập trung lại và bắt đầu chơi trò nhảy cóc. Họ thay phiên nhau mang ách: người thứ nhất muốn ách bất cứ lúc nào; chiếc móc thứ hai xuyên qua chiếc móc đúng sao cho chiếc thứ nhất nằm chính xác ở giữa điểm đầu và cuối của chiếc khóa, chiếc thứ ba theo cách tương tự xuyên qua chiếc thứ hai, v.v., chiếc thứ mười móc chiếc thứ chín, sau đó một loạt khóa mới bắt đầu theo các quy tắc tương tự.
a) Sau 10 lần khóa, liệu có thể thu thập được tất cả chuột túi ở điểm B không?
b) Họ có thể tập trung ở đó sớm hơn được không?

S. L. Eliseev

F1163. Do hệ số ma sát thấp, thiết bị tự động hóa không thể di chuyển trên băng với gia tốc vượt quá modulo $a=0,5$ m/s². Theo điều kiện cắt, người lái xe cần đi từ điểm $A$ trong thời gian ngắn nhất đến điểm $B$, nằm trên đường thẳng vuông góc với hướng của tốc độ tự động hóa ban đầu (hình 1). Thời gian tối thiểu có thể là bao nhiêu nếu khoảng cách là $AB=375$ m và tốc độ thấp nhất là $v_0=10$ m/s? Quỹ đạo nào nó sẽ tự động đi theo? Trả lời các câu hỏi tương tự cho trường hợp về đích ở điểm $C$, $BC=200$ m.

A. N. Korotkov

25

F1164. Trong xây dựng, cái gọi là kết cấu bê tông cốt thép dự ứng lực được sử dụng. Việc sản xuất một chùm tia như vậy được thực hiện như sau. Một thanh thép có chiều dài $l_1$ được kéo dài đến chiều dài $l_2$, sau đó được đổ đầy bê tông lỏng. Sau khi bê tông cứng lại, thanh được giải phóng khỏi lực kéo. Tìm chiều dài của dầm bê tông cốt thép hình thành và mô hình Young của nó. Diện tích mặt cắt ngang của thanh và dầm và mô hình Young của thép và bê tông được coi là đã biết. Tại sao bê tông cốt thép dự ứng lực lại tốt hơn bê tông cốt thép thường?

V. I. Klyachin

F1165. Từ một lưới dẫn hình vuông vô hạn với điện trở của mỗi cạnh $r$, một phần dây dẫn đã bị loại bỏ - như thể hiện trong hình 2. Tìm điện trở giữa các điểm $A$ và $B$, $B$ và $C$, $A$ và $C$.

S. S. Krotov

F1166. Trong mạch hiển thị ở hình 3, phím $K_1$ đóng (với phím $K_2$ đóng) và tại thời điểm điện tích trên tụ $C_1$ đạt cực đại, phím $K_2$ được mở. Tìm điện tích cực đại của tụ điện $C_2$. Các tham số của các phần tử mạch trỏ tới hình được coi là đã cho.

V. V. Mozhaev

F1167. Một đoàn tàu dài, ngạc nhiên trước quán tính của nó, lao lên một ngọn đồi có góc $\alpha$. Khi đoàn tàu rời hẳn, một nửa chiều dài của nó nằm trên đường trượt (hình 4). Hỏi từ lúc bắt đầu leo ​​dốc đến khi dừng lại mất bao lâu? Chiều dài của bố cục là $L$, bỏ qua ma sát.

A. I. Buzdin

Lời giải bài toán

M1131 — M1135, F1143 — F1147

Đáp số: cho bốn $n$.

Hãy chứng minh rằng mỗi phần tử của tập hợp $B$ thuộc đúng hai phần tử của tập hợp $A_i$. Sự có mặt của ít nhất hai tập hợp như vậy được đảm bảo bởi điều kiện c). Giả sử rằng một số phần tử thuộc về các vị trí bắt buộc, chẳng hạn như $A_{2n+1}$, $A_i$, $A_j$. Chúng ta hãy liên kết với nó tập $A_i$ và với mỗi phần tử còn lại $x \in A_{2n+1}$ một trong các tập hợp $A_1$, $A_2$, …, $A_{2n}$ chứa phần tử $x$ theo điều kiện c). Khi đó, các tập hợp khác nhau sẽ được liên kết với các phần tử khác nhau và tập hợp $A_j$ không tương ứng với bất kỳ phần tử nào (nếu không thì một số giao điểm $A_k \cap A_{2n+1}$, $k \neq 2n+1$ chứa hai phần tử, mâu thuẫn với điều kiện 6)). Do đó, số phần tử trong $A_{2n+1}$ không vượt quá $2n-1$. Và điều này mâu thuẫn với điều kiện a) và do đó bác bỏ giả định của chúng tôi.

26

Với những giá trị nào của $n$, chúng ta có thể gán cho phần tử nào của tập hợp $B$ một trong các số - 0 hoặc 1 - sao cho mỗi tập hợp $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ chứa chính xác $n$ phần tử tương ứng với số 0?

Hình 1.

Hình 2.

M1132. Hàm $f$ xác định tập hợp các số nguyên dương và thỏa mãn các điều kiện sau:
$$f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n),$$
$$f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n),$$
$$f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n).$$
Tìm số lượng tất cả các giá trị của $n$ mà $f(n) = n$ và $1 \leq n \leq 1988$.

Nếu phân bố các số 0 và số 1 trên các phần tử của tập hợp $B$ sao cho trong mỗi bộ $A_i$ có chính xác $n$ “phần tử 0”, thì tổng số “phần tử 0” bằng $n(2n+1)/2$ (mỗi phần tử thuộc hai bộ $A_i$). Và số này chỉ là số nguyên nếu $n$ là số chẵn.

Ngược lại, đối với mỗi phần tử $x$ của tập hợp $B$ khoảng cách là cặp duy nhất của tập hợp $\{A_i, A_j\}$ chứa nó và gán cho phần tử $x$ số 0 nếu $|i - j| \leq n/2$ hoặc $|i - j| > 3n/2$ và 1 nếu $n/2 < |i - j| \leq 3n/2$.

Đối với thậm chí $n$, chúng tôi nhận được chính xác $n$ “phần tử 0” trong mỗi bộ $A_i$, đây là điều bắt buộc.

Tại lời giải bài toán này, các điều kiện cơ bản được dành để hiểu đúng các điều kiện. Ở đây, cách giải thích bằng đồ họa rất hữu ích (xem hình 1 và 2 cho $n=4$): mỗi bộ $A_i$ được biểu thị bằng một đỉnh của $(2n+1)$-giác đều và phần tử chung duy nhất của tập hợp $A_i$ và $A_j$ được biểu thị bằng một đoạn nối các đỉnh tương ứng, với các đoạn màu đỏ tượng trưng cho “các phần tử 0” và màu xanh lam “1 phần tử”; tập hợp $B$ tương ứng một-một với tập hợp tất cả các phân đoạn này. Sẽ rất hữu ích khi làm theo lý luận của chúng tôi trên biểu đồ này.

V. V. Vavilov

Đáp án: 92.

Hãy chứng minh bằng cách chỉ ra số $k$ ký tự kép $a_1 a_2 \dots a_{k-1} a_k$ ($a_1=1$) của số $m$ rằng
$$f(m) = a_k a_{k-1} \dots a_2 a_1.$$

Với $k=1$ chúng ta có $f(1)=1$; với $k=2$ chúng ta có
$$f(\bar{10}) = f(2) = f(1) = 1 = \bar{01},$$
$$f(\bar{11}) = f(3) = 3 = \bar{11}.$$

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh tuyên bố của mình cho số $k$ chữ số ($k>2$) $m$ trong hệ thống kép, giả sử rằng nó đúng với tất cả các số có ít chữ số hơn. Khoảng cách ba trường hợp có thể.

1. $m$ chẵn: $m=2n = a_1 \dots a_{k-1} 0$. Sau đó $n = a_1 \dots a_{k-1}$ và
   $$f(m) = f(n) = a_{k-1} \dots a_1 = 0 a_{k-1} \dots a_1.$$

2. $m=4n+1 = a_1 \dots a_{k-2} 01$. Sau đó $n = a_1 \dots a_{k-2} 2n+1 = a_1 \dots a_{k-2} 1$ và
   $$f(m) = 2f(2n+1) - f(n) = f(2n+1) + (f(2n+1) - f(n)) = 1 a_{k-2} \dots a_1 + (1 a_{k-2} \dots a_1 - a_{k-2} \dots a_1) = 10 a_{k-2} \dots a_1.$$

3. $m=4n+3 = a_1 \dots a_{k-2} 11$. Sau đó $n = a_1 \dots a_{k-2}$ và
   $$f(m) = 3f(2n+1) - 2f(n) = f(2n+1) + 2(f(2n+1) - f(n)) = 1 a_{k-2} \dots a_1 + 2(1 a_{k-2} \dots a_1 - a_{k-2} \dots a_1) = 11 a_{k-2} \dots a_1.$$

Trong mọi trường hợp, công thức (*) đều đúng; do đó nó được chứng minh cho tất cả $m$.

27

Từ công thức (*), suy ra $f(m)=m$ đối với các số $m$, ký hiệu kép là đối xứng. Để có được tất cả các số như vậy có dấu kép $2k-1$ hoặc $2k$, bạn cần đặt $a_1=1$ vào vị trí đầu tiên của ký hiệu, điền vào các vị trí $k-1$ tiếp theo $a_2$, …, $a_k$ một cách tùy ý và điền vào các vị trí còn lại đối xứng với $k$ đầu tiên. Điều này cho ra số $2^{k-1}$. Vì $2^{10}<1988<2^{11}$ và hai số “đối xứng nhị phân” gồm 11 chữ số duy nhất lớn hơn 1988=$\overline{11111000100}$ là $\overline{11111011111}$ và $\overline{11111111111}$, nên số ngoại lệ là $2(1+2+2^2+2^3+2^4)+2^5-2=92$.

V. V. Vavilov

M1133. Chứng minh rằng tập lời giải các khoảng không giao nhau có tổng độ dài là 1988.

$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

là sự hợp nhất của các khoảng có tổng chiều dài bằng 1988.

Miền định nghĩa của bất đẳng thức là hợp của các nửa đường thẳng $(-\infty; 1)$, $(70; \infty)$ và các khoảng $(1; 2)$, $(2; 3)$, …, $(69; 70)$. Rõ ràng (xem biểu đồ ví dụ ở lề), trên mỗi khoảng, phần nằm của bất đẳng thức diễn ra liên tục và đơn điệu: từ 0 đến $-\infty$ và từ $\infty$ đến 0, tương ứng, trên nửa dòng và từ $\infty$ đến $-\infty$ trên các khoảng. Do đó, trên mọi khoảng ngoại trừ $(-\infty; 1)$, nó nhận giá trị 5/4 tại đúng một điểm. Ta biểu thị các điểm này theo thứ tự tăng dần là $x_1, x_2, \dots, x_{70}$, khi đó tập bất đẳng thức lời giải là hợp của các nửa pitterles $(k; x_k)$, $k=1, 2, \dots, 70$. Các số $x_k$ là nghiệm của đa thức

$$\prod_{k=1}^{70} (x-k) - \frac{4}{5} \sum_{k=1}^{70} k \prod_{i \neq k} (x-i)^*.$$

Theo định lý Vieta (xem «Kvant», 1987, số 4, trang 40), tổng của chúng bằng hệ số $x^{69}$ với dấu trừ, tức là.

$$\sum_{k=1}^{70} k + \frac{4}{5} \sum_{k=1}^{70} k$$

do đó, tổng chiều dài nửa pitter bằng

$$\sum_{k=1}^{70} (x_k-k) = \frac{4}{5} \sum_{k=1}^{70} k=1988.$$

V. V. Vavilov

M1134. Đặt $AD$ là chiều cao trong tam giác vuông $ABC$, $\angle A=90^\circ$. Đường thẳng đi qua tâm các đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$ và $ACD$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $AK=AL=AD$. Hãy tuần tự xoay quanh điểm $D$ theo góc $45^\circ$ và chuẩn bị với tâm $D$ và hệ số $DO_1/DB$ (xem hình). Khi đó, các điểm $B$ và $A$ sẽ lần lượt đi đến tâm $O_1$ và $O_2$ của các đường tròn nội tiếp trong tam giác $DBA$ và $DAC$ ($\angle BDO_1=\angle ADO_2=45^\circ$ và $DO_2/DA=DO_1/DB$, vì tam giác $DAC$ rõ ràng giống với tam giác $DBA$). Do đó, góc giữa

28

các đường thẳng BA và $O_1O_2$ bằng 45°, tức là $\angle LKA=45^\circ$, nghĩa là tam giác KAL là tam giác vuông. Các tam giác $AO_1K$ và $AO_1D$ bằng nhau: chúng có một cạnh chung $AO_1$ và các góc bằng nhau ($\angle AKO_1=\angle ADO_1=45^\circ$, $AO_1$-góc phân giác KAD). Vì vậy $AL=AK=AD$.

Đặt $\angle ABC=\beta$, sau đó đặt $AB=AD/\sin \beta$, $AC=AD/\cos \beta$ và $S_{ABC}=AB \cdot AC/2=AD^2/\sin 2\beta \geqslant AD^2=2S_{AKL}$.

Bình đẳng đạt được khi sin 2β=1, tức là đối với tam giác đều ABC ($\beta=45^\circ$).

bài toán này là một ví dụ về trao đổi tích hợp. Tại Optimis, nó được đại diện bởi Hy Lạp. Trong một công thức hơi khác một chút: “Chứng minh rằng AK = AL = AD” nó được nêu trong cuốn sách “Các vấn đề về hình học. Phép đo phẳng” của I. F. Shargin.

V. N. Dubrovsky

M1135. Cho a và b là các số nguyên dương sao cho $a^2+b^2$ chia hết cho ab+1 mà không có số dư. Chứng minh rằng $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là bình phương của một số nguyên.

Cho a và b là các số tự nhiên và

$$\frac{a^2+b^2}{1+ab}=k.$$

Khi đó b là nghiệm của phương trình

$$x^2-kax+a^2-k=0.$$

Nếu c là nghiệm thứ hai của phương trình này, k là số nguyên và a<b, thì

1. $(a^2+c^2)/(1+ac)=k$ (theo phương trình);
2. c là một số nguyên, vì c=ka-b (định lý Vieta);
3. c<a, т. к. bc=a^2-k<a^2 и b>a;
4. c ≥0, bởi vì

$$\left(\frac{1}{a}+c\right)\left(\frac{1}{b}+b\right)=\left(-\frac{1}{a}-c\right)\left(-\frac{1}{b}-b\right)=$$

$$=\left(-\frac{1}{a}\right)^2-ka\left(-\frac{1}{a}\right)+a^2-k=\frac{1}{a^2}+a^2>0,$$

và do đó số nguyên c thỏa mãn bất đẳng thức $c>-1/a$.

Nếu c=0 thì b=a^3. Đây là “chuỗi chính” gồm các cặp (a, b) thỏa mãn điều kiện; đối với họ k=a^2. Nếu c>0, thì cặp (a, b) có thể được thay thế bằng cặp (c, a) có cùng tỷ lệ k, theo đó lý luận của chúng ta lại có thể áp dụng được, v.v. Trong quá trình “đi xuống”, số lượng cặp nhiều nhất giảm đi mỗi lần, do đó nó phải kết thúc ở một số cặp (0, n), đứng trước cặp (n, n^3) của “chuỗi chính”; thì k=n^2. Cuối cùng, nếu các số của cặp ban đầu (a, b) bằng nhau thì tỷ số k chỉ có thể là số nguyên khi a=b=1; thì k=1.

Lý luận của chúng tôi cho phép chúng tôi xây dựng một chuỗi vô hạn các cặp thỏa mãn các điều kiện, bắt đầu từ bất kỳ cặp nào (0, n). Ví dụ, với n=2, k=4 ta có các cặp (0, 2), (2, 8), (8, 30), (30, 4 30−8)=(30, 112)…

H. B. Vasiliev, B. B. Vasilov

29

F1143. Có rất nhiều bình chứa nước được xếp chồng lên nhau sao cho bình sau nổi trong bình trước. Diện tích ban ngày của tàu nhỏ nhất là $s_0$ và nhỏ hơn nhiều so với diện tích ban ngày của tàu lớn nhất. Một lượng nước $v_0$ được thêm vào bình nhỏ nhất. Con tàu này sẽ đi xuống bao xa so với mặt đất? (Sau khi thêm nước, tất cả các bình tiếp tục nổi.)

Chúng ta hãy xem xét điều kiện cân bằng của bất kỳ bình nổi nào: lực hấp dẫn của bình này được cân bằng bởi sự chênh lệch áp suất nước từ bên ngoài và từ bên trong. Do đó, cả trước và sau khi thêm nước vào bất kỳ bình nào, sự chênh lệch mực nước bên ngoài và bên trong mỗi bình vẫn như nhau. Điều này có nghĩa là so với mặt đất, vị trí mực nước trong tất cả các bình không thay đổi.

Vì vậy, so với mặt đất, mực nước trong bình nhỏ nhất không thay đổi sau khi thêm nước vào. Do đó, tàu này sẽ giảm một lượng

$$h = \frac{v_0}{s_0},$$

tức là đến độ cao của lớp nước mỏng.

S. S. Krotov

F1144. Có $N$ quả bóng lớn giống hệt nhau trên máy bay. Một quả bóng được đẩy, và sau khi trải qua nhiều mạch, nó vẫn giữ nguyên vị trí mà từ đó nó bắt đầu chuyển động. Điều này có thể thực hiện được ở mức tối thiểu $N$ nào? Các va chạm được coi là đàn hồi tuyệt đối.

Trước hết, chúng ta lưu ý rằng sau một va chạm đàn hồi tuyệt đối của hai quả bóng giống hệt nhau, một quả đã được đào trước đó, các quả bóng dàn ra theo một góc vuông. Thật vậy, theo định luật bảo toàn động lượng (hình 1; ở đây $v_0$ là tốc độ của quả bóng tới trước khi va chạm, $v_1$ và $v_2$ là tốc độ của quả bóng sau khi va chạm)

$$m\vec{v}_0 = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2,$$

và theo định luật bảo toàn năng lượng

$$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2},$$

suy ra vận tốc $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ của các quả bóng sau va chạm vuông góc với nhau: $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$.

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng, sau khi trải qua một bình, quả bóng lệch khỏi hướng chuyển động của nó một góc $\beta < \pi/2$. Theo hình 2, $\beta = \pi/2 - \alpha$, trong đó $0 \leq \alpha \leq \pi/2$. Nếu $\alpha = 0$, quả bóng đầu tiên bị bỏ lại sau cú đánh (và quả bóng thứ hai bắt đầu chuyển động với tốc độ $\vec{v}_2 = = \vec{v}_0$). Vì vậy, $\beta < \pi/2$.

Theo các điều kiện bài toán, một trong những quả bóng (chúng ta sẽ gọi nó là quả đầu tiên), đã trải qua một số mạch, phải mô tả một đường gãy khép kín. Như đã biết, tổng các góc ngoài của một đường đứt đoạn như vậy lớn hơn hoặc bằng 2π (dấu bằng tương ứng với một đa giác lồi).

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

30

Điều này có nghĩa là số quả bóng mà quả bóng đầu tiên phải va chạm phải thỏa mãn bất đẳng thức

$$n \geq \frac{2\pi}{\pi/2} \geq 4.$$

Ngoài ra, để quả bóng ban đầu vẫn còn, một quả bóng khác phải được đặt ở điểm xuất phát, quả bóng này sẽ va chạm với LOB đầu tiên và rời khỏi nó.

Vậy số bóng tối thiểu

$$N_{\min} = 4 + 1 + 1 = 6.$$

Cách sắp xếp có thể có của các quả bóng được thể hiện ở hình 3.

A. A. Belopolsky

F1145. Một đầu của một sợi dây không trọng lượng không dãn, luồn qua một hạt nhỏ có khối lượng m, được cố định tại điểm A, còn đầu kia được gắn vào một vòng không trọng lượng, vòng này có thể trượt tự do dọc theo một thanh nằm ngang (hình 1). Tại thời điểm ban đầu, hạt được giữ bởi vòng, sợi chỉ thẳng và không bị giãn. Hạt được giải phóng. Tìm vận tốc của hạt tại thời điểm sợi chỉ bị đứt, biết sợi chỉ có thể chịu được lực căng cực đại $T_0$. Chiều dài của sợi dây là L, khoảng cách từ điểm A đến thanh là h. Bỏ qua ma sát trong hệ.

Hình 1.

Để xác định quỹ đạo của hạt, chúng tôi giới thiệu hệ tọa độ như hình hình 2 (trục X hướng dọc theo thanh bên phải và trục Y hướng thẳng đứng xuống dưới và đi qua điểm buộc sợi A). Đặt hạt ở điểm N. Vì vòng không trọng lượng và trượt tự do dọc theo thanh nên phần trên của sợi BN thẳng đứng. Sau đó

$$BN = y \text{ и } PN = x.$$

Từ tam giác APN ta có

$$AP^2 + PN^2 = AN^2,$$

hoặc

$$(h - y)^2 + x^2 = (L - y)^2.$$

Từ đây chúng ta có được

$$y = \frac{L + h}{2} - \frac{x^2}{2(L - h)},$$

nghĩa là hạt di chuyển dọc theo một parabol.

Tại điểm N của quỹ đạo, các lực căng $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ tác dụng lên hạt từ phía của sợi chỉ và tổng của chúng $\vec{F}$ hướng vuông góc với tiếp tuyến của parabol tại điểm này. (Thật vậy, chỉ riêng lực căng của sợi dây không thể gây ra chuyển động của hạt.) Bây giờ, vì sợi dây là lý tưởng và không có ma sát của hạt trên sợi dây, $T_1 = T_2 = T$, và do đó, lực $\vec{F}$ hướng dọc theo góc phân giác giữa các vectơ $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$.

Chúng ta hãy viết định luật thứ hai của Newton cho hạt trong các hình chiếu lên hướng vuông góc với tiếp tuyến của quỹ đạo:

$$ma_n = 2T \cos \alpha - mg \cos \alpha.$$

Mặt khác, gia tốc (hướng tâm) bình thường là

$$a_n = v^2/R,$$

trong đó $v = \sqrt{2gy}$ là tốc độ của hạt và $R$ là bán kính cong

31

chúng ta có parabol tại điểm $N$. Đối với lời giải bài toán chúng ta chỉ cần tìm $R$.

Chúng ta hãy so sánh chuyển động của một hạt với chuyển động của một vật được ném nghiêng một góc so với phương ngang. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chọn các tham số của chuyển động này sao cho quỹ đạo của vật thể là một parabol đối xứng với quỹ đạo của hạt (xem hình 2). Sau đó

$$u_x = \frac{OK}{t} \text{ и } t = \sqrt{\frac{2H}{g}},$$

ở đâu $OK = \sqrt{L^2 - h^2}$ và $H = (L + h)/2$.

Gia tốc bình thường của vật tại điểm $N'$

$$a'_n = g \cos \alpha = \frac{u^2}{R}.$$

Xét rằng $u^2 = u_x^2 + u_y^2$, trong đó $u_y^2 = 2g(H - y)$, chúng ta thu được

$$R = \frac{u^2}{a'_n} = \frac{2(L - y)}{\cos \alpha}. \tag{3}$$

Hãy kết hợp các phương trình (1) - (3) thành một hệ và tìm lực căng của sợi dây mà hạt trượt dọc theo:

$$T = \frac{mgL}{2(L - y)}.$$

Sợi chỉ sẽ bị đứt nếu $T = T_0$, tức là khi

$$y = L \left(1 - \frac{mg}{2T_0}\right)$$

lưu ý rằng

$$v = \sqrt{2gy} = \sqrt{2gL \left(1 - \frac{mg}{2T_0}\right)}.$$

$$0 \leq y \leq \frac{L + h}{2},$$

tức là $$0 \leq L \left(1 - \frac{mg}{2T_0}\right) \leq \frac{L + h}{2}.$$

Như vậy, nếu thỏa mãn điều kiện

$$2 \geq \frac{mg}{T_0} \geq 1 - \frac{h}{L},$$

thì tại thời điểm sợi chỉ đứt thì tốc độ của hạt là

$$v = \sqrt{2gL \left(1 - \frac{mg}{2T_0}\right)};$$

nếu $mg/T_0 > 2$, bồn rửa sẽ bị vỡ ngay lúc đầu; nếu $mg/T_0 < 1 - h/L$, thì trong quá trình chuyển động của hạt, sợi chỉ sẽ không bị đứt chút nào.

V. T. Karanetyan

F1146. Tìm điện trở giữa các điểm $A$ và $B$ trong chuỗi vô hạn các phần tử,

Hãy để chúng tôi trình bày hai lời giải trong số bài toán này.

1. Từ các thông báo, có thể thấy rằng trong mạch này (xem hình 1) có những điểm có điện thế bằng nhau. Vì vậy, ví dụ,