Kvant 2007, số 4 · Trang

4

KVANT 2007/№4

Hình 18. Quang điện tử sử dụng xung laser siêu ngắn: a) công tắc quang điện tử; b) nguyên lý đo điện quang của tín hiệu điện; c) máy hiện sóng quang điện tử

Ý tưởng cơ bản là một xung siêu âm kích hoạt một mạch điện tử và với sự trợ giúp của xung siêu âm thứ hai, bị trì hoãn trong một khoảng thời gian nhất định, tín hiệu điện được đo tại điểm mong muốn trong mạch. Một phần thiết yếu là công tắc quang điện tử, nhờ đó mạch đang nghiên cứu được khởi động. Cơ sở là một tấm bán dẫn có điện trở suất cao, trên đó dán các dải kim loại dẫn điện - các điện cực (hình18,a). Dải phía trên có một vết cắt dạng khe làm đứt mạch điện. Một nguồn điện áp có thể được nối vào các đầu của điện cực. Khi một chất bán dẫn được chiếu sáng qua một khe bằng bức xạ laser dưới dạng xung siêu ngắn có bước sóng nhất định, một số lượng lớn các hạt mang dòng điện (cặp lỗ điện tử) xuất hiện trong lớp bề mặt của chất bán dẫn trong thời gian chiếu xạ và chất bán dẫn trở nên dẫn điện. Bằng cách này, mạch điện được đóng lại nhanh chóng, bằng với thời gian phát xung siêu âm. Trong trường hợp không có ánh sáng, sự phá hủy các hạt mang điện xảy ra một cách tự phát và khá nhanh (sự tái hợp giữa các electron và lỗ trống), và do đó sự phục hồi điện trở cao trong thời gian dưới 1 ps. Hóa ra bạn có thể nhanh chóng bật và tắt điện áp, tức là tạo ra một xung điện cực ngắn để kích hoạt mạch tích hợp. Việc đăng ký xung điện được thực hiện bằng phương pháp đo quang điện bằng đầu dò quang điện (hình18,b). Cái này

Đầu dò hoạt động dựa trên hiệu ứng lưỡng chiết trong tinh thể quang điện khi đặt một điện trường vào nó. Nếu một tinh thể như vậy được đặt giữa các bản phân cực chéo nhau thì sự truyền ánh sáng qua chúng sẽ phụ thuộc vào cường độ của điện trường. Khi một xung điện đi qua mạch điện, xung quanh dây dẫn sẽ xuất hiện một điện trường thay đổi nhanh chóng. Nó thâm nhập vào một tinh thể gần đó và bằng cách truyền ánh sáng qua các bản phân cực chéo, cường độ của điện trường có thể được xác định. Nếu đây là ánh sáng ở dạng USP thì điện trường chỉ được ghi lại vào thời điểm USP đi qua tinh thể. Bằng cách thay đổi mức độ trễ giữa lúc khởi động mạch điện tử được thử nghiệm và tín hiệu lưỡng chiết cảm ứng, cường độ của tín hiệu điện có thể được đo như một hàm của thời gian trễ. Điều này tạo ra biểu đồ dao động của tín hiệu điện truyền trong mạch tích hợp. Dựa trên nguyên tắc này, một máy hiện sóng quang điện tử hoạt nghiệm đã được tạo ra. Sơ đồ mạch của nó được hiển thị trên hình thế kỷ 18. Một tinh thể quang điện rất nhỏ đã được sử dụng với một lớp phủ phản xạ điện môi được áp dụng ở cạnh dưới. Vì việc khởi động mạch đang được nghiên cứu và việc ghi tín hiệu được thực hiện bằng cùng một xung siêu ngắn laser nên hiện tượng giật hình của tín hiệu liên quan đến việc khởi động sẽ bị loại bỏ. Điều này cho phép bạn ghi lại chính xác các tín hiệu điện.

6

KVANT 2007/№4

sóng, cần phải đo tần số của chúng, tức là so sánh chúng với giây tiêu chuẩn. Nhưng trong quang học, không giống như vật lý vô tuyến và điện tử, không có phương pháp trực tiếp nào để đo tần số; bước sóng được đo ở đó. Có vẻ như không có vấn đề gì trong việc xác định tần số, biết bước sóng, vì $\nu = c \lambda$, nhưng bản thân tốc độ ánh sáng c phải được đo với độ chính xác thích hợp. Vấn đề đo thời gian chính xác có liên quan chính xác đến mong muốn có một phép đo c chính xác hơn. Laser xung Femto giây đã cung cấp một phương pháp đáng chú ý để kết hợp tần số của tia laser cực hẹp với tần số của tiêu chuẩn Caesium. Chúng ta hãy thảo luận về bản chất của phương pháp này bằng cách sử dụng ví dụ về tia laser hoạt động ở chế độ liên tục, tức là phát ra một chuỗi xung định kỳ (hình 20,a). Như đã trình bày, chuỗi này thu được bằng cách cộng nhiều sóng có khoảng tần số bằng nhau giữa chúng. Nói cách khác, phổ của bức xạ đó đại diện cho một “tổ hợp” các tần số rời rạc cách đều nhau (hình20, b). Độ rộng của toàn bộ phổ của lược $\Delta \nu$ được xác định bởi thời lượng xung: $\Delta \nu_{:} 1 \tau$ và trong-

Hình20. Đặc tính thời gian (a) và quang phổ (b) của laser femto giây liên tục

khoảng cách giữa các “răng” của lược $\delta \nu$ – chu kỳ của chúng theo thứ tự: $\delta \nu = 1 T$. Như chúng ta đã thấy, khoảng thời gian này được xác định bởi khoảng cách giữa các gương cộng hưởng, do đó, bằng cách di chuyển một trong các gương, khoảng tần số của lược có thể được điều chỉnh và ổn định. Tần số của khoảng này nằm trong vùng phân số và đơn vị gigahertz, và nó có thể được so sánh với tần số của giây tiêu chuẩn. Do đó, bức xạ của laser femto giây liên tục tạo ra một loại “dòng” tần số quang có “sự phân chia”, các giá trị của nó có thể được xác định chính xác so với tiêu chuẩn tần số.

Hình21. Mạch đo tần số của tia laser bằng cách tính toán lại các vạch chia của “thước đo” tần số quang

Hình22. Thang thời gian

7

LASER

–

TUYỆT VỜI

Sử dụng thước như vậy, bạn có thể đo tần số của một vạch laser hẹp $\nu_{лаз}$. Đặt tần số này rơi vào cạnh màu đỏ của chiếc lược và sóng hài thứ 2 của nó trên cạnh màu tím, như thể hiện trong hình 21. Sau đó, với sự điều chỉnh thích hợp về độ dài của khoang laser femto giây, mối quan hệ $2 \nu_{лаз} - \nu_{лаз} = \nu_{лаз} = N \delta \nu$ được thỏa mãn và phép đo tần số laser giảm xuống việc đếm số “răng” của chiếc lược. Nguyên tắc này, như đã nêu trước đó, đã được trao giải Nobel, là nền tảng cho việc tạo ra các đồng hồ quang học cực kỳ chính xác.

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng với sự trợ giúp của tia laser, có thể nghiên cứu những khoảng thời gian cực ngắn và đo thời gian hiện tại với độ chính xác cực cao. Theo quan điểm hiện đại, tuổi của Vũ trụ của chúng ta là khoảng 20 tỷ năm. Nếu những chiếc đồng hồ quang học cực kỳ chính xác hiện đang được tạo ra được phóng vào thời điểm “ra đời” của Vũ trụ, thì số đọc của chúng sẽ chênh lệch không quá vài giây. Lưu ý rằng những chiếc đồng hồ siêu chính xác (có độ chính xác khoảng $10^{-} 14$ – $10^{-} 16 )$ là một phần cần thiết

THÀNH TÍCH

XX

THẾ KỶ

Hệ thống định vị GLONASS, cho phép bạn xác định tọa độ với độ chính xác đến từng phần mét. hình 22 hiển thị thang thời gian trong đó các sự kiện đặc trưng được đánh dấu và khu vực thực hiện các phép đo bằng tia laze được chỉ định.

Phần kết luận

Làm việc trên tia laser và các ứng dụng của chúng đang phát triển nhanh chóng. Phần quan trọng nhất của công việc này là mong muốn tự cải tiến các tia laser, làm cho chúng hiệu quả hơn và dễ tiếp cận hơn. Điều này sẽ góp phần phát triển các ứng dụng khoa học và công nghệ khác nhau. Trong lĩnh vực khoa học cơ bản, các dự án đầy tham vọng đang được xem xét, chẳng hạn như phát hiện sóng hấp dẫn hoặc tìm hiểu xem các hằng số vật lý của thế giới có thay đổi theo thời gian hay không (giả thuyết Dirac). Những độc giả tò mò muốn cống hiến hết mình cho khoa học và công nghệ có cơ hội tham gia vào hoạt động thú vị và đầy hứa hẹn này.

KVANT + DVD

Chúng tôi vui mừng thông báo với độc giả rằng kho lưu trữ điện tử của tạp chí «Kvant» từ năm 1970 đến năm 2006 đã được xuất bản. Những tài liệu được đăng trên tạp chí «Kvant» trong nhiều năm tồn tại của nó là vô giá. Và đây không phải là những lời nói trống rỗng. Hơn một thế hệ thanh niên đã “vượt qua” «Kvant», cả những người đã chiếm một vị trí xứng đáng trong khoa học thế giới ngày nay và những người đã gia nhập hàng ngũ giáo viên giỏi nhất hiện nay, hãy nhớ đến với lòng biết ơn tạp chí «Kvant», tạp chí trong cuộc đời họ đóng vai trò là ngôi sao dẫn đường và quyết định lựa chọn thiên về kiến ​​​​thức cơ bản. Ngày nay trong xã hội của chúng ta đang có một xu hướng rõ ràng là làm sống lại những giá trị đích thực, nhu cầu khôi phục những ưu tiên thực sự trong giáo dục đang ngày càng gia tăng và mối quan tâm đến kiến ​​thức cơ bản đang được đánh thức. Vì vậy, chúng tôi quyết định, trên cơ sở kinh nghiệm tích cực to lớn được tích lũy bởi đội ngũ sáng tạo của tạp chí «Kvant», sẽ tạo ra một sản phẩm khoa học và giáo dục phù hợp với hiện trạng và xu hướng phát triển của công nghệ thông tin. Chúng tôi tin tưởng rằng, thứ nhất, nó sẽ mở đường đến kho lưu trữ độc đáo của tạp chí «Kvant» cho mọi người, và thứ hai, đối với một số người, nó sẽ đóng vai trò quyết định trong việc lựa chọn nghề nghiệp tương lai.

Đĩa có thể được mua tại tòa soạn tạp chí «Kvant».

Tọa độ của chúng tôi ở trang cuối cùng của tạp chí.

Viết, gọi. Chúng tôi đang chờ đợi bạn.

8

KVANT 2007/№4

phỏng đoán Catalan

V. SENDEROV, B. FRANKIN là lũy thừa (lớn hơn lũy thừa thứ nhất) của các số tự nhiên. Dãy số thu được là: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, … Các số 8 và 9 không được chọn ngẫu nhiên - đây là các số tự nhiên lân cận. Câu hỏi đặt ra: các lũy thừa lân cận của các số tự nhiên có còn tồn tại không? Câu hỏi này lần đầu tiên được đặt ra bởi nhà toán học người Bỉ E. Catalan: vào năm 1844, ông đã đề xuất rằng phương trình

$x^{y} - z^{t} = 1$

(1) có duy nhất lời giải x = 3, y = 2, z = 2, t = 3 trong các số tự nhiên lớn hơn một. Giả thuyết này tồn tại gần 160 năm, mặc dù nhiều nhà toán học nổi tiếng đã cố gắng tìm cách tiếp cận chứng minh của nó. Năm 2003, nhà toán học người Romania P. Mihailescu đã chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết Catalan. Bằng chứng-

Tác phẩm của Mihailescu rất phức tạp và không có tính sơ cấp nên không thể trình bày trên các trang tạp chí của chúng tôi. Tuy nhiên, bản thân kết quả đó gắn liền với nhiều sự kiện và bài toán toán học có thể được nghiên cứu trong khuôn khổ toán tiểu học. Ví dụ, từ định lý do Mihailescu chứng minh, chúng ta thu được ngay đáp số cho câu hỏi ở điểm a) bài toán M2032 («Kvant» Số 1 năm 2007; lời giải được xuất bản trên tạp chí này).

Lý lịch

Trở lại thế kỷ 14, Levi ben Gershon, còn được gọi là Leo Hebracus, đã chứng minh rằng phương trình $3^{x} - 2^{y} = \pm 1$ có duy nhất lời giải x = 2, y = 3 trong các số tự nhiên lớn hơn 1. Năm 1657, Frenicle de Bessy đã giải phương trình bằng số tự nhiên

$x^{2} - p^{y} = 1$, trong đó y > 1 và p là số nguyên tố.

Năm 1738, L. Euler chứng minh được phương trình

Minh họa của V. Ivanyuk

Hãy viết các số tự nhiên liên tiếp

TỪ LỊCH SỬ KHOA HỌC

Jan Hevelius

A.VASILIEV

TRONG SỐ NHỮNG NHÀ SÁNG LẬP TUYỆT VỜI của trường thiên văn học Châu Âu, một vị trí quan trọng thuộc về Jan Hevelius (28.01.1611–28.01.1687), một nhà sản xuất bia cha truyền con nối và là thủ tướng của cảng Hanseatic vinh quang của Gdansk (sau này là Danzig, và sau đó là Gdansk). Khi còn ở phòng tập thể dục, Jan đã có được kỹ năng vẽ bản đồ và thiết kế các dụng cụ thiên văn, đồng thời mở rộng tầm nhìn của mình khi trò chuyện với Pierre Gassendi, Maren Mersenne và Athanasius Kircher, những người mà anh đã đến thăm trong chuyến công du châu Âu đầu tiên. Jan trở về sau chuyến đi vào năm 1634 để thừa kế nhà máy bia từ cha mình là Abraham Hevelius và kết hôn với chủ nhân của hai ngôi nhà lân cận, Katharina Rebeshka. Hoàn cảnh này - sự hiện diện của ba ngôi nhà xây sát tường, và do đó có một mái nhà chung - đóng một vai trò quyết định đối với số phận tương lai của nhà thiên văn học trẻ người Ba Lan. Như đã biết, những chiếc kính thiên văn đầu tiên của Galileo, do ông thiết kế vào đầu thế kỷ 17, có chiều dài hơn một mét một chút. Những kính thiên văn này bị quang sai màu, vào thời điểm đó chỉ có thể khắc phục bằng cách tăng kích thước của kính thiên văn. Quang sai màu là do sự phân tán ánh sáng truyền qua thấu kính, tức là sự phụ thuộc của chiết suất của vật liệu thấu kính vào bước sóng ánh sáng. Kết quả là ánh sáng trắng bị phân hủy thành các tia màu cấu thành của nó. Chiết suất của tia xanh lớn hơn tia đỏ nên tiêu điểm của chúng gần điểm chính phía sau thấu kính hơn tiêu điểm của tia đỏ. Suy ra rằng đối với một tia sáng trắng không có một tiêu cự duy nhất mà là một tập hợp các tiêu cự của các tia có đủ màu sắc. Do đó, trên màn hình nằm trong vùng hình ảnh, thay vì một chấm sáng, người ta quan sát thấy một tập hợp các vòng tròn màu. Hevelius đã tạo ra đài quan sát đầu tiên của mình vào năm 1641, sử dụng không gian trên mái nhà. Vài năm sau, ông chế tạo được một chiếc kính thiên văn dài khoảng 4 mét, có thể phóng đại các vật ở xa lên hơn 50 lần. Khi thiết kế các dụng cụ thiên văn, Hevelius dựa vào sự hiểu biết sâu sắc về nguyên lý khúc xạ trong thấu kính. Thấu kính càng phẳng thì tiêu cự của chúng càng dài. Thấu kính tiêu cự dài tạo ra hình ảnh rõ hơn thấu kính tiêu cự ngắn, nhưng thấu kính và thị kính trong những kính thiên văn như vậy phải được đặt ở khoảng cách xa nhau hơn. Phát triển theo hướng này, Hevelius lần đầu tiên chế tạo kính thiên văn 20 mét, và sau đó là thành tựu chính của ông - kính thiên văn 50 mét. Thiết bị này được treo lên cột cao bằng hệ thống dây thừng và ròng rọc. Kính thiên văn được điều khiển bởi

Có một đội thủy thủ đã nghỉ hưu quen với việc bảo trì thiết bị. Thiết kế của Hevelius - còn gọi là kính viễn vọng trên không - là một thiết bị không có ống và không có kết nối cứng giữa thấu kính và thị kính. Kính thiên văn khổng lồ rung chuyển trước từng cơn gió nhỏ nhất từ ​​​​Biển Baltic, các giá đỡ bằng gỗ và dây gai dầu bị chùng xuống và căng ra do thay đổi nhiệt độ và độ ẩm. Trong những điều kiện này, việc điều chỉnh thấu kính và thị kính thành một trục quang duy nhất gặp phải những khó khăn gần như không thể vượt qua. Tuy nhiên, và đây là dấu hiệu của một nhà khoa học thực thụ, Hevelius đã thành thạo các công cụ của mình đến mức hoàn hảo và thực hiện một loạt các quan sát thiên văn xuất sắc. Ngoài ra, Hevelius còn là một nhà quan sát tài giỏi, quan sát các ngôi sao có cường độ thứ bảy bằng mắt thường. Sử dụng một kính lục phân do chính mình chế tạo, Hevelius đã lập danh mục vị trí của 1.564 ngôi sao đến từng phút cung gần nhất. Ông thực hiện những quan sát này mà không sử dụng quang học, tin rằng thấu kính có thể gây ra sai số trong phép đo. Công trình khoa học đầu tiên của Hevelius là “Selenography, hay Mô tả Mặt trăng”, xuất bản năm 1647 tại Gdansk. Nó chứa một mô tả chi tiết về bề mặt nhìn thấy được của Mặt trăng. Tác phẩm được in tại nhà in của chính tác giả, bao gồm 133 bản khắc mô tả 60 phần bề mặt Mặt Trăng và hình dáng chung của Mặt Trăng trong các giai đoạn khác nhau. Hevelius đã đề xuất tên cho các vật thể khác nhau trên bề mặt Mặt trăng, một số trong số đó còn tồn tại cho đến ngày nay, ước tính chính xác chiều cao của các ngọn núi trên Mặt trăng và phát hiện ra hiện tượng hiệu chỉnh quang học (quan sát được các dao động tuần hoàn giống như con lắc của Mặt trăng so với tâm khối lượng của nó, do đó 0,59 trên toàn bộ bề mặt Mặt trăng có thể được quan sát trực tiếp). Sau đó, Hevelius đã thực hiện nhiều quan sát khác nhau và ông chịu trách nhiệm về những khám phá thiên văn học trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ông tiếp tục nghiên cứu các vấn đề về chuyển động của Mặt Trăng và ước tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng, chu kỳ chuyển động của Mặt Trăng và chu kỳ tự quay của Mặt Trời. Ông đã tham gia vào việc quan sát các sao đôi và sao biến quang, đồng thời xác định chu kỳ quỹ đạo của các vệ tinh Galileo của Sao Mộc. Hevelius đã phát hiện ra 4 sao chổi và xuất bản tác phẩm “Sao chổi” vào năm 1668, trong đó ông phác thảo lịch sử quan sát tất cả các sao chổi được biết đến vào thời điểm đó và chỉ ra rằng một số sao chổi chuyển động theo quỹ đạo parabol. Chính Hevelius là người đã giới thiệu cho người châu Âu tác phẩm chính của Ulugbek - cái gọi là “Bảng thiên văn mới”. Hevelius là một trong những nhà thiên văn học được kính trọng nhất trong thời đại của ông. Năm 1664, ông được bầu làm thành viên của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn và năm 1666 ông được

26

KVANT 2007/№4

Bài toán

Chúng ta hãy biểu thị P(n) là tích các chữ số của một số tự nhiên n, và nếu số n đó là một chữ số thì P(n) = n. Ví dụ: P(5) = 5, P(25) = 10. Các số sau được viết tuần tự:

1 + P(1), 2 + P(2), 3 + P(3), …

Liệu 2007 số liên tiếp trong dãy này có thể là số tự nhiên liên tiếp không? S. Dvoryaninov

Trên mỗi tờ của cuốn sổ gồm 96 tờ, Petya vẽ một khuôn mặt vui vẻ (từ phía trước) ở mặt này hoặc mặt kia của tờ giấy, để nếu bạn đặt cuốn sổ đã đóng lại lên bàn, một số khuôn mặt sẽ “nhìn” vào anh ấy, và những khuôn mặt còn lại sẽ quay mặt đi khỏi anh ấy. Có đúng là bạn có thể mở cuốn sổ (hoặc hoàn toàn không mở nó) ở một nơi mà cùng một số khuôn mặt “nhìn” vào Petya và từ anh ấy? I. Akulich

Hòn đảo là nơi sinh sống của thổ dân, mỗi người trong số họ luôn nói sự thật hoặc luôn nói dối. Có lần ba thổ dân gặp nhau: Ah, Oh và Uh. Một người trong số họ nói: “Ah và Och đều là những kẻ nói dối”, người còn lại nói: “Ah và Uh ​​đều là những kẻ nói dối” (nhưng chính xác thì ai đã nói điều gì thì chưa rõ). Có bao nhiêu kẻ nói dối trong ba người bản xứ này? E. Barabanov

Giáo sư Mumbum-Plumboom mơ ước chọn được mười số tự nhiên khác nhau sao cho ước số chung lớn nhất của chúng trùng với trung bình số học của chúng. Liệu anh ấy có thể làm được điều này không? A. Zhukov

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

Minh họa của D. Grishukova

Một hình bát giác đều được cắt thành nhiều phần và sơn bốn màu. Chứng minh rằng mỗi màu bao phủ một diện tích như nhau. V.Proizvolov

27

ĐẾN

M

Sh

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Trong số này, chúng tôi đã thu thập bài toán tác giả từ các quốc gia khác nhau trên thế giới: Hoa Kỳ, Israel, Romania, Nga, Belarus. Gửi Lời giải bài toán trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ bao gồm tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh sự tham gia vào cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu vòng tròn lãnh đạo cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

1. Một nhà nghiên cứu số học đã xếp 100 đồng xu từ các quốc gia khác nhau vào một dòng. Hóa ra hai đồng xu lân cận đều nặng gần như nhau, tức là chênh lệch khối lượng của chúng hoàn toàn nhỏ hơn 0,01 gram. Liệu luôn có thể sắp xếp lại những đồng xu này theo cách như vậy rồi sắp xếp chúng thành một vòng tròn sao cho khối lượng của hai đồng xu liền kề bất kỳ trên vòng tròn chênh lệch nhau ít hơn 0,02 gam? G. Galperin

các số bên trong mỗi đa giác đều giống nhau và vượt quá M. I. Kheifets

2. a) Vẽ ba hình tròn, giao điểm của chúng tạo thành sáu diện tích có tính chất sau: bạn có thể sắp xếp các số từ 1 đến 6 trong đó sao cho tổng các số bên trong mỗi hình tròn bằng nhau và lớn nhất có thể. b) Vẽ ba đường tròn, giao điểm của chúng tạo thành sáu vùng không thể sắp xếp các số từ 1 đến 6 sao cho tổng các số bên trong tất cả các đường tròn đều bằng nhau. c) Hãy biểu thị số tiền lớn nhất thu được trong lời giải bài toán a) bởi M. Vẽ ba đa giác, giao điểm của chúng sẽ tạo thành sáu vùng có tính chất sau: bạn có thể sắp xếp các số từ 1 đến 6 trong đó sao cho tổng

$+ 201 \le$ 2mnpqr. V. Kiriak

3. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên lẻ phân biệt từng cặp m, n, p, q, r đều thỏa mãn bất đẳng thức mnpq + mnpr + mnqr + mpqr + npqr +

4. Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác cắt đường chéo của nó làm đôi. Chứng minh tứ giác là hình thang hoặc hình bình hành. V.Proizvolov

5. Trong một nước đi, bạn được phép đồng thời sơn lại bất kỳ ô nào của bàn cờ theo màu đối diện, cũng như tất cả các ô có chung mặt với nó. Có thể sơn lại tất cả các ô vuông của bảng bằng màu đối diện trong một vài lần di chuyển không? I. Akulich

Những người chiến thắng cuộc thi mang tên A.P. Savina “Toán học 6-8” năm học 2006/07

Các học sinh sau đây đã đạt được kết quả cao nhất trong cuộc thi:

Kagalovsky Tal - Beer Sheva (Israel), trường Eshel Hanasi, lớp 8, Lisichkin Sergey - Kharkov, nhà thi đấu 47, lớp 7, Gabidulina Nadezhda - Sevastopol, lớp 8, Kadets Boris - Kharkov, “Nhà thi đấu học thuật” 45, lớp 7, Dudkin Alexander - Kharkov, FML 27, lớp 8, Rodionov Georgy - Kharkov, FMS 27, lớp 7, Gulin Vsevolod - Kharkov, “Nhà thi đấu học thuật” 45, lớp 7, Ibraimova Aizhana - Bishkek, FMSHL 61, lớp 8, Rubanenko Maria - Kharkov, trường 106, lớp 7,

Khrushchev Timur - Kharkov, FML 27, lớp 7, Teplova Dasha - Kharkov, FML 27, lớp 7, Mishchenko Nikolay - Krasnodar, trường 93, lớp 6.

và câu lạc bộ: Câu lạc bộ Toán học của trường. D. Ben-Gurion ở Negev (Israel), người đứng đầu P. Samovol, J. Heifetz, “Eureka” tại FML 27, Kharkov, người đứng đầu A. L. Bershtein, E. L. Arinkina, trường 146, Perm, người đứng đầu O. N. Chichagova, A. M. Burshtein, Trung tâm Giáo dục Toán học Bổ sung, Kurgan, người đứng đầu O. I. Yuzhkov, Đại học Nhỏ ở Kharkov Quốc gia

36

KVANT 2007/№4

các kỹ thuật chung cho phép chúng ta xây dựng một cách chặt chẽ toán học bài toán và đối với lời giải bài toán, không cần phải giả định trước đặc điểm hành vi của một hạt vi mô mà chúng ta sẽ thiết lập - sóng hoặc hạt. Bằng cách giải bài toán, chúng ta sẽ hiểu cơ học lượng tử mô tả chuyển động của một hạt như thế nào. Chúng ta sẽ hiểu, ngay cả khi chúng ta không thể tưởng tượng được. Trong bài viết này, một công thức chặt chẽ của bài toán có nghĩa là khả năng viết ra phương trình Schrödinger và thiết lập các điều kiện biên và điều kiện ban đầu cần thiết. Lời giải do bài toán đặt ra không chỉ bao gồm việc tìm hàm $\psi$ thỏa mãn phương trình Schrödinger với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên, mà còn bao gồm việc tính toán các đại lượng vật lý mà chúng ta quan tâm. Chỉ bài toán như vậy mới được giải, trong đó hàm $\psi$ mô tả chuyển động của một hạt dưới tác dụng của một lực không phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, các kết quả vật lý cụ thể được “chứa” trong hàm $\psi$ của một hạt và có thể so sánh với kết quả thí nghiệm, không liên quan đến một hạt, mà liên quan đến một tập hợp, một tập hợp các hạt tương tự về mọi mặt. Phương trình Schrödinger mô tả điều gì: chuyển động của một hạt hay nhiều hạt? Một mình! Nhưng để tận dụng được những kết quả thu được, chúng cần được dịch sang ngôn ngữ vật lý cổ điển, vĩ mô. Để làm được điều này, việc chuyển đổi sang một tập hợp gồm nhiều hạt là cần thiết. Quá trình chuyển đổi từ thế giới vi mô sang thế giới vĩ mô không xảy ra “không bị trừng phạt”: việc mô tả mối quan hệ nhân quả giữa các sự kiện thay đổi. Trong vũ trụ vĩ mô, thuyết quyết định cơ học thông thường ngự trị. Trong mọi trường hợp, khi chúng ta đang nói về chuyển động của một hạt dưới tác dụng của một lực nhất định. Biết được các điều kiện ban đầu, chúng ta có thể theo dõi chuyển động của hạt ở tất cả các thời điểm tiếp theo. Chúng ta hãy làm rõ: giả sử tọa độ $x_{0}$ và vận tốc $v_{0}$ của hạt tại t = 0. Sau khi giải phương trình Newton (đã biết lực), chúng ta tìm được vị trí của hạt tại bất kỳ thời điểm nào, tức là hàm x = x (t) bằng $x_{0}$ tại t = 0. Đạo hàm dx (t) dt là vận tốc của hạt v (t). Đương nhiên, khi t = 0 thì $v = v_{0}$. Chính tuyên bố này đã mang cái tên khoa trương là thuyết quyết định cơ học. Đừng để từ “thế giới vĩ mô” đánh lừa bạn. Nhiều sự kiện khác nhau xảy ra trong thế giới vĩ mô, kết quả của chúng hoàn toàn không thể dự đoán được một cách chắc chắn. Đôi khi điều này chỉ là do kiến ​​thức chưa đầy đủ về các điều kiện ban đầu. Một ví dụ cổ điển là ném xúc xắc. Nếu bạn biết, hoàn toàn chính xác (!), cách ném một con súc sắc sao cho nó rơi ra với mặt cần thiết hướng lên trên, thì bài toán sẽ có lời giải rõ ràng. Và vì vậy chúng ta phải hài lòng với việc đánh giá khả năng xảy ra những gì sẽ xảy ra. Nó xảy ra, và khá thường xuyên, theo cách khác: lực làm cho vật thể vĩ mô chuyển động được biết chính xác và người ta biết vật thể sẽ chuyển động như thế nào dưới tác động của lực này. Nhưng nếu một cơ thể chuyển động, chẳng hạn như trong không khí hoặc trượt dọc theo một mặt phẳng nghiêng, thì cơ thể đó, ngoài một lực nhất định, còn chịu tác dụng của các lực từ các phân tử không khí hoặc nguyên tử của cơ thể mà nó đang trượt trên đó. Tất nhiên, không thể mô tả chi tiết chuyển động của vật và của mọi hạt (không khí, mặt phẳng nghiêng). Thông thường, chỉ cần giới hạn ở mức mô tả trung bình về ảnh hưởng của môi trường bằng lực ma sát hoặc lực cản của khí quyển là đủ. Có tính đến lực ma sát (lực cản), có thể mô tả chuyển động của một vật vĩ mô khá đáng tin cậy, nhưng các đặc điểm quan trọng của chuyển động thay đổi đáng kể. Như vậy, một phần năng lượng của cơ thể bị mất đi không thể phục hồi do ma sát, chuyển thành nhiệt - khả năng đảo ngược biến mất. Tính thuận nghịch của các phương trình cơ học là một hệ quả hình thức của thực tế là chúng

không thay đổi khi thay t bằng –t: gia tốc – đạo hàm bậc hai của tọa độ – không thay đổi khi thay t bằng –t. Lực ma sát tỷ lệ thuận với tốc độ của vật - đạo hàm bậc nhất của tọa độ, sẽ thay đổi khi thay thế như vậy. Tình huống này là lý do chính thức cho việc mất khả năng đảo ngược. Khi mô tả lực ma sát như vậy, người đọc chú ý sẽ cảm nhận được sự mâu thuẫn. Mỗi phân tử không khí hoặc một mặt phẳng nghiêng đều tuân theo các định luật giống như chính vật thể đó (bây giờ chúng ta không nói về những thay đổi do cơ học lượng tử đưa ra). Tại sao sự không thể đảo ngược lại xuất hiện? Đây là một câu hỏi rất khó khăn. Tại cốt lõi đáp số nó là nguyên nhân gây ra hiện tượng tiêu tán gây ra bởi sự chuyển đổi năng lượng từ một số lượng nhỏ bậc tự do cơ học của vật thể vĩ mô sang số bậc tự do về cơ bản là vô hạn của các hạt vi mô. Chuyển động của các vi hạt hỗn loạn đến mức xác suất năng lượng quay trở lại cơ thể là bằng không. Về vấn đề này, họ nói về sự vướng víu không thể đảo ngược, và nói theo ngôn ngữ chặt chẽ hơn - về sự tăng lên của entropy, đại lượng dùng làm thước đo cho sự rối loạn. Hãy quay trở lại với một hạt lượng tử, chuyển động của nó được mô tả $\psi$ -hàm – nghiệm của phương trình Schrödinger. Hàm sóng là hàm của tọa độ và thời gian. Sau khi xác định trạng thái ban đầu, chúng ta sẽ tìm thấy một trạng thái được xác định rõ ràng lời giải $\Psi = \Psi ( x, t )$. Nó dường như là một quá trình hoàn toàn xác định. Tuy nhiên, sau khi tự hỏi câu hỏi đơn giản nhất là hạt ở đâu tại thời điểm t, chúng ta buộc phải giới hạn ở phát biểu rằng chúng ta chỉ biết xác suất tìm thấy hạt trong khoảng dx quanh điểm x, và

2 xác suất này bằng $\Psi ( x, t ) dx$. Chúng tôi nhấn mạnh: chắc chắn, chúng ta đang nói về một tập hợp các hạt chứ không phải về một hạt. Nếu không có một tập hợp các hạt giống hệt nhau thì khái niệm xác suất sẽ mất đi ý nghĩa của nó. Và đó không phải là vấn đề kiến ​​thức chưa đầy đủ hay sự tương tác với một số lượng lớn các hạt khác. Xác suất là khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử. Việc xem xét kỹ lưỡng đã chỉ ra rằng không thể đạt được độ chính xác cao hơn của các dự đoán; không thể tránh khỏi việc sử dụng xác suất khi mô tả chuyển động của các hạt cực nhỏ. Lưỡng tính sóng-hạt của các hạt lượng tử không chỉ làm cho chuyển động của chúng rất khác với chuyển động của các vật thể cổ điển, mà còn buộc chúng ta phải xem xét hành trạng của một tập hợp các hạt ngay cả khi, dường như, phương trình mô tả chuyển động của một hạt đơn lẻ. Đây là một khó khăn tâm lý khác trong việc tìm hiểu cơ học lượng tử.

Quỹ đạo, trạng thái ổn định

Mô tả chung về chuyển động của các hạt vi mô bằng cơ học lượng tử thuyết phục chúng ta: các định luật chuyển động lượng tử không giống với các định luật cổ điển. Nhưng để nảy sinh cảm giác kỳ diệu, ấn tượng rằng có điều gì đó “không thể xảy ra” đang xảy ra, cần phải xem xét các ví dụ. Có thể phân biệt rõ ràng hành vi của các vi hạt lượng tử với các vật thể vĩ mô nếu người ta tưởng tượng rõ ràng chuyển động của các vật thể vĩ mô cổ điển trong những điều kiện hoàn toàn trùng khớp với các điều kiện mà chuyển động của các hạt lượng tử sẽ được xem xét. Khi mô tả chuyển động của vật thể cổ điển và hạt lượng tử, chúng ta sẽ cố gắng sử dụng những thuật ngữ giống nhau nếu có thể. Trong trường hợp một chiều, thật bất tiện khi nói về quỹ đạo. Tất nhiên, một hạt cổ điển trong thế giới một chiều luôn chuyển động theo đường thẳng. Mô tả toàn diện về chuyển động của hạt dưới tác dụng của một lực bên ngoài, không phụ thuộc vào thời gian F = F ( x ) được rút gọn thành việc xác định sự phụ thuộc của tọa độ hạt vào thời gian - để tìm hàm x = x ( t ). Thông tin đầy đủ về chuyển động của hạt

49

Thế Vận Hội

Trong một trò chơi bao gồm việc sơn lại tất cả các ô của cột hoặc hàng bất kỳ bằng màu đối diện, liệu tất cả các ô của hình vuông này có thể chuyển sang màu đen không? V. Alekseev

6. Các điểm A ¢, B ¢ và C¢ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC, BH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHC¢ và CHA¢ đi qua điểm M khác H thì $\angle$ ABM $= \angle CBB'$. V. Filimonov

7. Misha nhẩm đặt một đa giác lồi chứa tâm của hình tròn bên trong một hình tròn có bán kính đơn vị nhất định, và Kolya đang cố đoán chu vi của nó. Trong một bước, Kolya chỉ cho Misha một đường thẳng và tìm hiểu xem nó có cắt đa giác hay không. Kolya có khả năng đoán chính xác chu vi của một đa giác trong 3 bước với độ chính xác 0,3 không? O. Kosukhin

Ấn phẩm được biên soạn bởi B. Frenkin

Đã chọn bài toán Olympic Vật lý Moscow

Vòng lý thuyết đầu tiên

lớp 7

1. Sẽ thuận tiện nhất khi nghiên cứu Sao Hỏa trong thời kỳ xung đối, khi Trái đất nằm giữa Sao Hỏa và Mặt trời. Xác định sau khoảng thời gian nào sự đối lập của Trái đất và Sao Hỏa được lặp lại. Sao Hỏa quay quanh Mặt trời trong 687 ngày Trái đất và Trái đất trong 365 ngày. M.Romashka

2. Trên mặt đất có một lớp tuyết dày h = 70 cm. Áp suất của tuyết trên mặt đất (không bao gồm áp suất khí quyển) là p = 630 Pa. Thời tiết băng giá và tuyết được tạo thành từ không khí và băng. Xác định bao nhiêu phần trăm thể tích tuyết bị băng chiếm giữ và bao nhiêu phần trăm bị không khí chiếm giữ. Mật độ băng $\rho_{л} = 0,9$ g $см^{3}$. Gia tốc trọng trường g = 10 m $с^{2}$. M.Romashka

Hình 1

Hình 2

3. Trong một nhà máy, một hệ thống gồm bốn ròng rọc và một dây cáp gắn trên trần nhà được sử dụng để nâng các phôi nặng, như hình hình 1. Với lực F phải kéo đầu cáp xuống để giữ hoặc nâng từ từ và đều một phôi có trọng lượng P? Các phần cáp không nằm trên khối nằm ngang hoặc thẳng đứng; trọng lượng của các khối, dây cáp và ma sát có thể bỏ qua. M. Semenov

4. Một quả cầu đặc được treo trong bình bằng hai sợi dây nhẹ, như hình hình 2. Hai đầu tự do của sợi dây được cố định ở cùng một độ cao. Sau khi đổ đầy nước vào bình và quả cầu chìm hoàn toàn trong nước thì lực căng của sợi dây không thay đổi. Xác định mật độ $\rho$ của vật liệu làm ra quả bóng. Mật độ của nước là $\rho_{в} = 1000$ kg $м^{3}$. I.Gorbaty

lớp 8

1. Một khối hình trụ được hạ từ từ xuống một sợi dây vào một bình rộng chứa nước sao cho trục của hình trụ luôn thẳng đứng. Đồ thị của lực căng F của sợi dây so với độ sâu ngâm h của đáy dưới của hình trụ là một đoạn thẳng như hình hình 3. Tìm diện tích của đáy hình trụ và khối lượng của nó. Mật độ của nước là $\rho_{0} = 1$ g $см^{3}$, gia tốc rơi tự do là g = 10 m $с^{2}$. M.Romashka

2. Bình chứa nước đá ở nhiệt độ $t_{л} = 0 ^\circ C.^{Рис.} 3$. Đổ nước có khối lượng $m_{в} = 0,4$ kg, lấy ở nhiệt độ $t_{в} = 60 ^\circ C$ vào đó. Nhiệt độ nào được thiết lập trong bình nếu thể tích cuối cùng của lượng chứa trong đó là V = 1 l? Khối lượng của hàng hóa trong bình là bao nhiêu? Mật độ của nước và nước đá là $\rho_{в} = 1000$ kg $м^{3}$ và $\rho_{л} = 900$ kg $м^{3}$, nhiệt dung riêng của chúng là $с_{в} =$

= 4200 J (kg H $^\circ$ C) và $с_{л} = 2100$ J (kg H $^\circ$ C), nhiệt dung riêng của sự nóng chảy của băng $\lambda = 335$ kJ kg. Bỏ qua nhiệt dung của bình và tổn thất nhiệt. M.Romashka

3. Một trong hai “hộp đen” dài bằng nhau chứa một nam châm vĩnh cửu, còn hộp kia chứa một cuộn dây đồng dài nối với nguồn điện một chiều. Chỉ sử dụng những “hộp đen” này, làm thế nào bạn có thể xác định được hộp nào chứa nam châm vĩnh cửu? Bạn không thể nhìn vào bên trong hộp, tháo rời hộp hoặc phá hủy chúng. I.Gorbaty

lớp 9

1. “Hộp đen” là một hệ thống mô tả

Hình 4