Kvant 2009, số 5 · Trang

1

THÁNG 9

THÁNG 10

KHOA HỌC PHỔ BIẾN

2009

©

Yu№5

VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TẠP CHÍ

XUẤT BẢN TỪ THÁNG 1 NĂM 1970

Trong phòng:

2 7 13

Người sáng lập - Viện Hàn lâm Khoa học Nga, Quỹ Hỗ trợ Khoa học và Giáo dục Cơ bản (Quỹ Osipyan), Nhà xuất bản ISTT RAS - LLC NPP OO “Cục Lượng tử”

11

CÔNG NGHỆ NANO Thang máy nano không gian. K. Bogdanov

19 20

VẤN ĐỀ LƯỢNG TỬ Bài toán M2146–M2153, F2153–F2159 Lời giải bài toán M2124–M2130, F2138–F2144

28 29 29

K M Sh Bài toán Cuộc thi mang tên A.P. Savin “Toán học 6–8” Giải đấu mùa hè mang tên A.P. Savin

32

KALEIDOSCOPE “QUANTA” Mặt phẳng nghiêng

34 36

TRƯỜNG TRONG “LƯỢNG TỬ” Bí ẩn của kim nam châm (tiếp theo). I. Tầng điện ly Leenson và tiếng ồn sóng thần. A. Stasenko

38

VẬT LÝ TÙY CHỌN Về một điểm không chính xác của Isaac Newton. B. Kondratiev

42 43

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC Một lần nữa về định lý Morley. L. Shteingarts Hai cách chứng minh nữa cho định lý Morley

TỔNG BIÊN TẬP

S.S. Krotov

BAN BIÊN TẬP

A.Ya.Belov, Yu.M.Bruk, A.A.Varlamov, A.N.Vilenkin, V.I.Golubev, S.A.Gordyunin, N.P.Dolbilin (phó tổng biên tập), V.N.Dubrovsky, A.A.Egorov, A.V.Zhukov, A.R.Zilberman, V.V.Kveder (phó chủ tịch ban biên tập), P.A. Kozhevnikov, V.V. Kozlov (phó chủ tịch ban biên tập), S.P. Konovalov, A.A. Leonovich, Yu.P. Lysov, V.V. Proizvolov, N.H. Rozov, A.B. Sosinsky, A.L. Stasenko, V.G. Surdin, V.M. Tikhomirov, V.A. Tikhomirova, V.M. Uroev, A.I. Chernoutsan (phó giám đốc

Trực tiếp Sylvester. S. Tabachnikov, V. Timorin Nhiều mặt của proton. I. Ivanov Bài toán Erdos - Szekeres: tiếp tục câu chuyện. V. Koshelev, A. Raigorodsky biên tập viên)

BAN BIÊN TẬP

A.V.Andzhans, V.I.Arnold, M.I.Bashmkov, V.I.Bernik, V.G.Boltyansky, A.A.Borovoy, N.N.Konstantinov, G.L.Kotkin, S.P.Novikov, L.D.Faddeev

45

BAN BIÊN TẬP 1970

TỔNG BIÊN TẬP

I.K.Kikoin

PHÓ TỔNG BIÊN TẬP THỨ NHẤT

52

MỘT. Kolmogorov

57

L.A. Artsimovich, M.I. Bashmkov, V.G. Boltyansky, I.N. Bronshtein, N.B. Vasiliev, I.F. Ginzburg, V.G. Zubov, P.L. Kapitsa, V.A. Kirillin, G.I. Kosourov, V.A. Leshkovtsev, V.P. Lishevsky, A.I. Markushevich, MD Millionshchikov, N.A. Patrikeeva, N.H. Rozov, A.P. Savin, I.Sh. Slobodetsky, M.L. Smolyansky, Ya.A. Smorodinsky, V.A. Nhà chế tạo, Ya.E. Schneider

Nhãn hiệu “Tạp chí «Kvant»” là tài sản của LLC NPP OO “Cục Lượng tử” © 2009, RAS, Osipyan Foundation, tạp chí «Kvant»

48 49

58

THỰC HÀNH DÀNH CHO NGƯỜI ÁP DỤNG Bảo toàn năng lượng tổng cộng trong các bài toán nhiệt động lực học. A. Chernoutsan

OLYMPIADS Olympic Toán học mang tên Leonhard Euler Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga lần thứ XXXV dành cho học sinh môn toán Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh vật lý Olympic vật lý học sinh Moscow 2009

Đáp số, gợi ý, lời giải Thông tin (12) Xin độc giả chú ý (27)

TRÊN BÌA

I II III IV

Minh họa cho bài viết của I. Ivanov Bộ sưu tập câu đố Trang cờ Đi bộ với vật lý

CÔNG TY CP TECHSNABEXPORT tham gia tài chính trong việc xuất bản tạp chí «Kvant»

7

Nhiều mặt của proton

I. IVANOV

NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC VẬT CHẤT, CÁC NHÀ VẬT LÝ TÌM HIỂU nguyên tử được cấu tạo từ đâu, đi đến hạt nhân nguyên tử và tách nó thành proton và neutron. Tất cả các bước này được thực hiện khá dễ dàng - bạn chỉ cần tăng tốc các hạt đến năng lượng cần thiết, đẩy chúng vào nhau và sau đó chúng sẽ tách ra thành các bộ phận cấu thành. Nhưng với proton và neutron thủ thuật này không còn hiệu quả nữa. Mặc dù là các hạt tổng hợp nhưng chúng không thể bị “vỡ thành từng mảnh” ngay cả khi va chạm mạnh nhất. Vì vậy, các nhà vật lý phải mất hàng thập kỷ mới nghĩ ra những cách khác nhau để nhìn vào bên trong proton, xem cấu trúc và hình dạng của nó. Ngày nay, nghiên cứu cấu trúc của proton là một trong những lĩnh vực sôi động nhất của vật lý hạt.

Thiên nhiên đưa ra gợi ý

Lịch sử nghiên cứu cấu trúc của proton và neutron bắt đầu từ những năm 1930. Khi, ngoài proton, người ta còn phát hiện ra neutron (1932), sau khi đo khối lượng của chúng, các nhà vật lý đã rất ngạc nhiên khi thấy rằng nó rất gần với khối lượng của proton. Hơn nữa, hóa ra các proton và neutron “cảm nhận” được sự tương tác hạt nhân theo cách giống hệt nhau. Giống hệt nhau đến mức, theo quan điểm của lực hạt nhân, proton và neutron có thể được coi là hai biểu hiện của cùng một hạt - nucleon: proton là nucleon tích điện và neutron là nucleon trung tính. Hoán đổi proton lấy neutron và lực hạt nhân sẽ (gần như) không nhận thấy gì. Các nhà vật lý thể hiện tính chất này của tự nhiên là sự đối xứng - tương tác hạt nhân là đối xứng khi thay thế proton bằng neutron, giống như một con bướm đối xứng khi thay thế trái bằng phải. Sự đối xứng này, ngoài việc đóng vai trò quan trọng trong vật lý hạt nhân, thực ra còn là dấu hiệu đầu tiên cho thấy nucleon có cấu trúc bên trong thú vị. Đúng vậy, vào những năm 30, các nhà vật lý đã không nhận ra gợi ý này. Sự hiểu biết đến sau này. Nó bắt đầu từ thực tế là vào những năm 1940-50, trong các phản ứng va chạm của proton với hạt nhân của nhiều nguyên tố khác nhau, các nhà khoa học đã rất ngạc nhiên khi phát hiện ra ngày càng nhiều hạt mới. Không phải proton, không phải neutron, không phải pimeson được phát hiện vào thời đó, những thứ chứa nucleon trong hạt nhân, mà là một số hạt hoàn toàn mới. Với tất cả sự đa dạng của chúng, những hạt mới này có hai đặc tính chung. Thứ nhất, chúng, giống như nucleon, rất sẵn lòng tham gia vào các tương tác hạt nhân - ngày nay những hạt như vậy được gọi là hadron. Và trong-

thứ hai, chúng cực kỳ không ổn định. Loại không ổn định nhất trong số chúng phân hủy thành các hạt khác chỉ trong một phần nghìn tỷ nano giây, thậm chí không có thời gian để bay với kích thước bằng hạt nhân nguyên tử! Trong một thời gian dài, “vườn thú” hadron hoàn toàn là một mớ hỗn độn. Vào cuối những năm 1950, các nhà vật lý đã tìm hiểu khá nhiều loại hadron khác nhau, bắt đầu so sánh chúng với nhau và đột nhiên nhận thấy một sự đối xứng chung nhất định, thậm chí là tính tuần hoàn, trong các tính chất của chúng. Có ý kiến ​​cho rằng bên trong mọi hadron (kể cả nucleon) đều có một số vật thể đơn giản gọi là “quark”. Bằng cách kết hợp các quark theo những cách khác nhau, có thể thu được các hadron khác nhau, cùng loại và có cùng tính chất đã được phát hiện trong thí nghiệm.

Điều gì làm cho một proton trở thành một proton?

Sau khi các nhà vật lý phát hiện ra cấu trúc quark của hadron và biết rằng các quark có nhiều dạng khác nhau, người ta thấy rõ rằng nhiều loại hạt khác nhau có thể được cấu tạo từ các quark. Vì thế không ai ngạc nhiên khi các thí nghiệm tiếp theo tiếp tục lần lượt tìm ra các hadron mới. Nhưng trong số tất cả các hadron, người ta đã phát hiện ra cả một họ hạt, giống như proton, chỉ có hai quark u và một quark d. Một loại “anh em” của proton. Và ở đây các nhà vật lý đã phải ngạc nhiên. Trước tiên chúng ta hãy thực hiện một quan sát đơn giản. Nếu chúng ta có một số vật bao gồm những “viên gạch” giống nhau, thì vật nặng hơn chứa nhiều “viên gạch” hơn và vật nhẹ hơn chứa ít “viên gạch” hơn. Đây là một nguyên lý rất tự nhiên, có thể gọi là nguyên lý tổ hợp hoặc nguyên lý kiến ​​trúc thượng tầng, và nó hoạt động hoàn hảo cả trong đời sống hàng ngày lẫn trong vật lý. Nó thậm chí còn thể hiện ở cấu trúc của hạt nhân nguyên tử - xét cho cùng, hạt nhân nặng hơn chỉ đơn giản bao gồm một số lượng lớn hơn proton và neutron. Tuy nhiên, ở cấp độ quark, nguyên lý này hoàn toàn không hoạt động, và phải thừa nhận rằng các nhà vật lý vẫn chưa hoàn toàn tìm ra lý do tại sao. Hóa ra những người anh em nặng của proton cũng bao gồm các quark giống như proton, mặc dù chúng nặng hơn proton một rưỡi hoặc thậm chí hai lần. Chúng khác với proton (và khác nhau) không phải ở thành phần, mà ở sự sắp xếp tương đối của các quark, các quark này có mối tương quan với nhau ở trạng thái nào. Chỉ cần thay đổi vị trí tương đối của các quark là đủ - và từ proton chúng ta sẽ thu được một hạt khác nặng hơn đáng kể. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn vẫn lấy và thu thập nhiều hơn ba quark cùng nhau? Sẽ có một cái nặng mới?

8

KVANT 2009/№5

hạt? Đáng ngạc nhiên là nó không hoạt động - các quark sẽ vỡ thành ba phần và biến thành nhiều hạt rải rác. Vì lý do nào đó, thiên nhiên “không thích” kết hợp nhiều quark thành một tổng thể! Chỉ rất gần đây, theo đúng nghĩa đen là những năm gần đây, những gợi ý mới bắt đầu xuất hiện rằng một số hạt đa quark thực sự tồn tại, nhưng điều này chỉ nhấn mạnh rằng thiên nhiên không thích chúng đến mức nào. Một kết luận rất quan trọng và sâu sắc được rút ra từ tổ hợp này - khối lượng của hadron hoàn toàn không bao gồm khối lượng của quark. Nhưng nếu khối lượng của một hadron có thể tăng hoặc giảm chỉ bằng cách kết hợp lại các viên gạch cấu thành của nó, thì bản thân các quark không phải là nguyên nhân tạo ra khối lượng của hadron. Và thực sự, trong các thí nghiệm tiếp theo, người ta có thể phát hiện ra rằng khối lượng của bản thân các quark chỉ bằng khoảng 2% khối lượng của proton, và phần còn lại của lực hấp dẫn phát sinh do trường lực (các hạt đặc biệt - gluon) liên kết các quark lại với nhau. Ví dụ, bằng cách thay đổi vị trí tương đối của các quark, di chuyển chúng ra xa nhau hơn, do đó chúng ta thay đổi đám mây gluon, làm cho nó có khối lượng lớn hơn, đó là lý do tại sao khối lượng hadron tăng (hình1).

chúng với nhau, bây giờ là các parton độc lập và cùng với các quark mang “vật chất” và năng lượng của một proton chuyển động nhanh. Các thí nghiệm đã chỉ ra rằng khoảng một nửa năng lượng được lưu trữ dưới dạng quark và một nửa dưới dạng gluon. Parton được nghiên cứu thuận tiện nhất trong sự va chạm của proton với electron. Thực tế là, không giống như proton, electron không tham gia vào các tương tác hạt nhân mạnh và sự va chạm của nó với proton trông rất đơn giản: electron phát ra một photon ảo trong một thời gian rất ngắn, photon này đâm vào một parton tích điện và cuối cùng tạo ra một số lượng lớn hạt (hình2). Chúng ta có thể nói rằng electron là một con dao mổ tuyệt vời để “mở” proton và chia nó thành các phần riêng biệt - tuy nhiên,

Hình2. Khi một proton va chạm với một electron, một lượng tử của trường điện từ, một photon, “nhảy” vào giữa chúng. Va chạm với một trong các parton của proton, nó tạo ra nhiều hadron thứ cấp, chẳng hạn như meson

Hình1. Hình ảnh thông thường của một proton và một số “anh em” của nó. Các chấm màu là các quark liên kết với nhau bằng trường gluon (đám mây xanh). Mặc dù tất cả các hạt này được tạo thành từ các quark giống nhau, nhưng chúng có khối lượng khác nhau và thời gian sống khác nhau. Khối lượng hạt được biểu thị bằng đơn vị năng lượng - megaelectronvolt (MeV)

Điều gì đang xảy ra bên trong một proton chuyển động nhanh?

Mọi thứ được mô tả ở trên đều liên quan đến một proton đứng yên; theo ngôn ngữ của các nhà vật lý, đây là cấu trúc của proton trong hệ quy chiếu nghỉ của nó. Tuy nhiên, trong thí nghiệm, cấu trúc của proton lần đầu tiên được phát hiện dưới những điều kiện khác - bên trong một proton bay nhanh. Vào cuối những năm 1960, trong các thí nghiệm về va chạm hạt tại máy gia tốc, người ta nhận thấy rằng các proton chuyển động ở tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng hoạt động như thể năng lượng bên trong chúng không được phân bổ đều mà tập trung vào các vật thể nhỏ gọn riêng lẻ. Nhà vật lý nổi tiếng Richard Feynman đề xuất gọi những khối vật chất này bên trong proton là parton (từ phần tiếng Anh - part). Các thí nghiệm sau đó đã kiểm tra nhiều tính chất của các parton—ví dụ, điện tích, số lượng của chúng và phần năng lượng proton mà mỗi hạt mang theo. Hóa ra các parton tích điện là quark, và các parton trung hòa là gluon. Đúng vậy, chính những gluon đó trong hệ quy chiếu nghỉ của proton chỉ đơn giản là “phục vụ” các quark, chỉ thu hút trong một thời gian rất ngắn. Biết tần suất xảy ra các quá trình như vậy ở máy gia tốc, người ta có thể đo được số lượng parton bên trong một proton và điện tích của chúng.

Các Parton thực sự là ai?

Và ở đây chúng ta đến với một khám phá đáng kinh ngạc khác mà các nhà vật lý đã thực hiện khi nghiên cứu sự va chạm của các hạt cơ bản ở năng lượng cao. Trong điều kiện bình thường, câu hỏi vật này hoặc vật kia bao gồm những gì có một đáp số phổ quát cho tất cả các hệ quy chiếu. Ví dụ, một phân tử nước bao gồm hai nguyên tử hydro và một nguyên tử oxy - và việc chúng ta đang xem xét một phân tử đứng yên hay chuyển động không thành vấn đề. Tuy nhiên, quy tắc này có vẻ rất tự nhiên! – bị vi phạm nếu chúng ta nói về các hạt cơ bản chuyển động với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng. Trong một hệ quy chiếu, một hạt phức tạp có thể bao gồm một tập hợp các hạt con và trong một hệ quy chiếu khác, của một hệ quy chiếu khác. Hóa ra bố cục là một khái niệm tương đối! Làm thế nào điều này có thể được? Chìa khóa ở đây là một tính chất quan trọng: số lượng hạt trong thế giới của chúng ta không cố định - các hạt có thể sinh ra và biến mất. Ví dụ: nếu bạn đẩy hai electron có năng lượng đủ cao lại với nhau, thì ngoài hai electron này, một photon hoặc cặp electron-positron hoặc một số bộ phận khác có thể được sinh ra -

9

NHIỀU MẶT

tsy. Tất cả điều này đều được luật lượng tử cho phép và đây chính xác là những gì xảy ra trong các thí nghiệm thực tế. Nhưng “định luật không bảo toàn” này của các hạt hoạt động trong quá trình va chạm của các hạt. Làm thế nào mà cùng một proton từ những quan điểm khác nhau lại trông giống như nó bao gồm một tập hợp các hạt khác nhau? Vấn đề là một proton không chỉ là ba quark ghép lại với nhau. Giữa các quark có một trường lực gluon. Nói chung, trường lực (như trường hấp dẫn hoặc điện trường) là một loại “thực thể” vật chất thấm vào không gian và cho phép các hạt tác động lực lên nhau. Trong lý thuyết lượng tử, trường cũng bao gồm các hạt, mặc dù là những hạt đặc biệt - hạt ảo. Số lượng các hạt này không cố định; chúng liên tục “phát triển” từ các quark và bị hấp thụ bởi các quark khác. Một proton đứng yên thực sự có thể được coi là ba quark với gluon nhảy vào giữa chúng. Nhưng nếu chúng ta nhìn cùng một proton từ một hệ quy chiếu khác, như thể từ cửa sổ của một “chuyến tàu tương đối tính” đi ngang qua, chúng ta sẽ thấy một bức tranh hoàn toàn khác. Những gluon ảo gắn kết các quark lại với nhau sẽ có vẻ ít ảo hơn, các hạt “thực hơn”. Tất nhiên, chúng vẫn được sinh ra và hấp thụ bởi các quark, nhưng đồng thời chúng cũng sống độc lập trong một thời gian, bay bên cạnh các quark, giống như các hạt thực. Những gì trông giống như một trường lực đơn giản trong một hệ quy chiếu sẽ biến thành một dòng hạt trong một hệ quy chiếu khác! Lưu ý rằng chúng ta không chạm vào bản thân proton mà chỉ nhìn nó từ một hệ quy chiếu khác. Hơn nữa - nhiều hơn nữa. Tốc độ của “chuyến tàu tương đối tính” của chúng ta càng gần tốc độ ánh sáng thì hình ảnh chúng ta nhìn thấy bên trong proton càng đáng kinh ngạc. Khi chúng ta đạt đến tốc độ ánh sáng, chúng ta sẽ nhận thấy ngày càng có nhiều gluon bên trong proton. Hơn nữa, đôi khi chúng phân tách thành các cặp quark-phản quark, chúng cũng bay gần nhau và cũng được coi là các parton. Kết quả là, proton siêu tương đối tính, tức là một proton, chuyển động tương đối với chúng ta với tốc độ rất gần tốc độ ánh sáng, xuất hiện dưới dạng các đám mây quark, phản quark và gluon xuyên thấu, bay cùng nhau và dường như hỗ trợ lẫn nhau (hình3). Một độc giả quen thuộc với thuyết tương đối có thể quan tâm. Mọi vật lý đều dựa trên nguyên tắc mọi quá trình đều diễn ra theo cùng một cách trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Và sau đó anh ấy nhận được-

PROTON

Có đúng là thành phần của proton phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà chúng ta quan sát được nó không?! Đúng, chính xác, nhưng điều này không hề vi phạm nguyên lý tương đối. Kết quả của các quá trình vật lý – ví dụ, hạt nào và bao nhiêu hạt được tạo ra do va chạm – hóa ra là bất biến, mặc dù thành phần của proton phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Tình huống này thoạt nhìn có vẻ bất thường nhưng thỏa mãn mọi định luật vật lý, được minh họa dưới dạng sơ đồ trong hình 4. Nó cho thấy sự va chạm của hai proton năng lượng cao trông như thế nào

Hình4 Sơ đồ biểu diễn sự va chạm của hai proton ở năng lượng rất cao: trong hệ quy chiếu nghỉ của proton thứ hai (a), trong hệ quy chiếu khối tâm (b), trong hệ quy chiếu nghỉ của proton thứ nhất (c). Trong cả ba trường hợp, sự tương tác của các proton được thực hiện thông qua việc trao đổi “cây gluon”, nhưng nó được quy cho ai (cho proton thứ nhất hoặc thứ hai hoặc được coi là một tương tác riêng biệt) phụ thuộc vào hệ quy chiếu

trong các hệ quy chiếu khác nhau: trong hệ quy chiếu nghỉ của một proton, trong hệ quy chiếu khối tâm, trong hệ quy chiếu nghỉ của một proton khác. Sự tương tác giữa các proton xảy ra thông qua một loạt các gluon phân tách, nhưng chỉ trong một trường hợp, tầng này được coi là “bên trong” của một proton, trong trường hợp khác -

Hình3. Sơ đồ biểu diễn proton trong các hệ quy chiếu khác nhau. Một proton chuyển động chậm (a) có thể được coi là ba quark (đường liền nét) liên kết với nhau bằng gluon (đường đứt nét). Trong một proton chuyển động nhanh (b), gluon đôi khi bay cạnh các quark. Ở tốc độ của proton, rất gần với tốc độ ánh sáng (b), cả gluon và cặp quark-phản quark do chúng tạo ra đều trở thành các parton chính thức - bộ phận cấu thành của proton

10

KVANT 2009/№5

một phần của proton khác, và ở phần thứ ba, nó chỉ đơn giản là một vật nào đó được trao đổi giữa hai proton. Dòng thác này tồn tại, nó có thật, nhưng nó sẽ được quy cho phần nào của quá trình, tùy thuộc vào hệ quy chiếu.

Chân dung 3D của một proton

Tất cả những kết quả mà chúng ta vừa nói đến đều dựa trên những thí nghiệm được thực hiện cách đây khá lâu - vào những năm 60-70 của thế kỷ trước. Có vẻ như kể từ đó mọi thứ đáng lẽ phải được nghiên cứu và tất cả các câu hỏi lẽ ra đã tìm thấy đáp số của chúng. Nhưng không - cấu trúc của proton vẫn là một trong những chủ đề thú vị nhất trong vật lý hạt. Hơn nữa, sự quan tâm đến nó lại tăng lên trong những năm gần đây vì các nhà vật lý đã tìm ra cách thu được một bức chân dung “ba chiều” của một proton chuyển động nhanh, hóa ra khó hơn nhiều so với một bức chân dung của một proton đứng yên. Các thí nghiệm cổ điển về va chạm proton chỉ cho biết số lượng parton và sự phân bố năng lượng của chúng. Trong những thí nghiệm như vậy, các parton tham gia với tư cách là những vật thể độc lập, điều đó có nghĩa là không thể tìm ra từ chúng cách các parton được định vị tương đối với nhau hoặc chính xác chúng cộng lại với một proton như thế nào. Chúng ta có thể nói rằng trong một thời gian dài, các nhà vật lý chỉ có được bức chân dung “một chiều” của một proton chuyển động nhanh. Để xây dựng một bức chân dung ba chiều thực sự của một proton và tìm ra sự phân bố của các parton trong không gian, cần phải có những thí nghiệm tinh tế hơn nhiều so với những thí nghiệm có thể thực hiện được 40 năm trước. Các nhà vật lý đã học cách thực hiện những thí nghiệm như vậy khá gần đây, theo đúng nghĩa đen là trong thập kỷ qua. Họ nhận ra rằng trong số rất nhiều phản ứng khác nhau xảy ra khi một electron va chạm với một proton, có một phản ứng đặc biệt - tán xạ Compton ảo sâu - có thể cho biết cấu trúc ba chiều của proton. Nói chung, tán xạ Compton, hay hiệu ứng Compton, là sự va chạm đàn hồi của một photon với một hạt, ví dụ như proton. Nó trông như thế này: một photon tới, bị hấp thụ bởi một proton, chuyển sang trạng thái kích thích trong một thời gian ngắn, sau đó trở lại trạng thái ban đầu, phát ra một photon theo một hướng nào đó. Sự tán xạ Compton của các photon ánh sáng thông thường không dẫn đến điều gì thú vị - nó chỉ đơn giản là sự phản xạ ánh sáng từ một proton. Để cấu trúc bên trong của proton “phát huy tác dụng” và “cảm nhận được” sự phân bố của các quark, cần phải sử dụng các photon có năng lượng rất cao - gấp hàng tỷ lần so với ánh sáng thông thường. Và những photon như vậy – cho dù là những photon ảo – cũng dễ dàng được tạo ra bởi một electron tới. Nếu bây giờ chúng ta kết hợp cái này với cái kia, chúng ta sẽ có được tán xạ Compton ảo sâu (hình5). Đặc điểm chính của phản ứng này là nó không phá hủy proton. Photon tới không chỉ chạm vào proton mà còn cảm nhận nó một cách cẩn thận rồi bay đi. Nó bay về hướng nào?

Hình5. Sơ đồ tán xạ Compton ảo sâu. Một electron tới phát ra một photon ảo, photon này bị tán xạ bởi một proton giống như hiệu ứng Compton

và phần năng lượng mà proton lấy từ nó phụ thuộc vào cấu trúc của proton, vào sự sắp xếp tương đối của các parton bên trong nó. Đó là lý do tại sao, bằng cách nghiên cứu quá trình này, người ta có thể khôi phục lại hình dạng ba chiều của proton, như thể để “tạo kiểu cho tác phẩm điêu khắc của nó”. Đúng, điều này rất khó thực hiện đối với một nhà vật lý thực nghiệm. Quá trình bắt buộc xảy ra khá hiếm và rất khó để đăng ký nó. Dữ liệu thực nghiệm đầu tiên về phản ứng này chỉ thu được vào năm 2001 tại máy gia tốc HERA tại tổ hợp máy gia tốc DESY của Đức ở Hamburg; một loạt dữ liệu mới hiện đang được các nhà thí nghiệm xử lý. Tuy nhiên, ngày nay, dựa trên dữ liệu đầu tiên, các nhà lý thuyết đang vẽ ra sự phân bố ba chiều của các quark và gluon trong proton. Một đại lượng vật lý, mà trước đây các nhà vật lý chỉ đưa ra giả định, cuối cùng đã bắt đầu “xuất hiện” từ thí nghiệm. Có khám phá bất ngờ nào đang chờ chúng ta trong lĩnh vực này không? Có khả năng là có. Để minh họa, giả sử vào tháng 11 năm 2008, một bài báo lý thuyết thú vị đã xuất hiện, trong đó nói rằng một proton chuyển động nhanh không nên trông giống như một đĩa phẳng mà là một thấu kính hai mặt lõm. Điều này xảy ra vì các parton ở vùng trung tâm của proton bị nén mạnh hơn theo hướng dọc so với các parton ở rìa. Sẽ rất thú vị khi kiểm tra những dự đoán lý thuyết này bằng thực nghiệm!

Tại sao tất cả những điều này lại thú vị đối với các nhà vật lý?

Tại sao các nhà vật lý thậm chí cần biết chính xác vật chất được phân bố như thế nào bên trong proton và neutron? Thứ nhất, điều này được yêu cầu bởi chính logic của sự phát triển vật lý. Có rất nhiều hệ thống phức tạp đáng kinh ngạc trên thế giới mà vật lý lý thuyết hiện đại vẫn chưa thể giải quyết được hoàn toàn. Hadron là một trong những hệ thống như vậy. Bằng cách hiểu cấu trúc của hadron, chúng tôi đang trau dồi khả năng của vật lý lý thuyết, điều này có thể trở nên phổ biến và có lẽ sẽ giúp ích cho một điều gì đó hoàn toàn khác, chẳng hạn như trong nghiên cứu chất siêu dẫn hoặc các vật liệu khác có tính chất khác thường. Thứ hai, có lợi ích trực tiếp cho vật lý hạt nhân. Bất chấp lịch sử nghiên cứu hạt nhân nguyên tử kéo dài gần một thế kỷ, các nhà lý thuyết vẫn chưa biết định luật tương tác chính xác giữa proton và neutron.

13

Bài toán Erdos – Szekeres: tiếp nối câu chuyện

V. KOSHELEV, A. RAIGORODSKY

Lại lên đường

Ở «Kvant» số 2 năm nay, bài viết của chúng tôi “Bài toán Erdős–Szekeres về đa giác lồi” [1] đã được xuất bản. Ở đó, chúng tôi kể câu chuyện đáng kinh ngạc (và đôi khi thậm chí lãng mạn) về một trong những bài toán hay nhất và phổ biến nhất trong hình học tổ hợp - một câu chuyện bắt đầu từ 75 năm trước và còn rất lâu mới kết thúc. Tất nhiên, người đọc muốn hiểu rõ nguồn gốc của những gì chúng ta sẽ nói trong bài viết này phải trang bị cho mình bài viết nói trên, bởi vì ở đây chúng ta sẽ chỉ nhớ lại một bản tóm tắt ngắn gọn về “loạt bài trước”, và sau đó chúng ta sẽ chuyển sang những lĩnh vực cơ bản mới đối với chúng ta, cho đến nay vẫn chưa được khám phá. Vì vậy, đối tượng nghiên cứu chính của chúng tôi là tập hợp các điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng. Hãy nhớ rằng đây là tất cả các tập hợp trong đó không có ba phần tử nào nằm trên cùng một đường thẳng. Mục tiêu của chúng tôi là tìm cho mỗi số tự nhiên n giá trị của hàm g(n), mà chúng tôi giả sử bằng g nhỏ nhất sao cho ở bất kỳ vị trí tổng quát nào được đặt trên mặt phẳng với số lượng g, nhất thiết phải có n điểm là các đỉnh của một n-giác lồi. Đầu tiên, chúng ta thảo luận về hành vi của hàm g(n) đối với $n \in { 3,4,5,6 }$ và phát hiện ra rằng mọi lúc $g ( n ) = 2^{n} -^{2} + 1$. Sau đó, chúng tôi tin rằng nói chung với mọi $n \ge 3$ giá trị của g(n) là hữu hạn và hơn nữa, $g ( n ) \le 4^{n}$, chính xác hơn là $g ( n ) \le C_{2} nn --_{5}^{2} + 1$ đối với $n \ge 5$. Cuối cùng, một lần nữa, chúng tôi đã chứng minh điều đó với bất kỳ $n g ( n ) \ge 2^{n} -^{2} + 1$ nào. Về cơ bản đó là tất cả. Tuy nhiên, hóa ra đây mới chỉ là khởi đầu của cuộc hành trình. Và vấn đề không chỉ là dạng chính xác của hàm g ( n ) vẫn chưa được biết (theo các tác giả của bài toán, chúng ta chỉ có thể tin rằng $g ( n ) = 2^{n} -^{2} + 1 );$ vấn đề còn nằm ở chỗ bài toán ban đầu cho phép thực hiện một số khái quát hóa rất tự nhiên, không kém phần đẹp đẽ và, như người ta nói trong khoa học, là các sửa đổi. Bây giờ chúng ta sẽ nói về chúng.

Đa giác lồi và rỗng

Sửa đổi bài toán của Erdős–Szekeres

Gần nửa thế kỷ sau khi xuất bản bài báo đáng chú ý [2], hay chính xác hơn là vào năm 1978, P. Erdős đã đề xuất sửa đổi một chút điều kiện của bài toán ban đầu, mà vào thời điểm đó đã trở thành cổ điển.

Anh ta đặt câu hỏi: điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta tìm kiếm vị trí tổng quát $множестве^{X}$ này hay vị trí tổng quát khác trên mặt phẳng không chỉ các đỉnh của đa giác lồi, mà cả các đỉnh của đa giác lồi đó, bên trong không có điểm nào khác $множества^{X}$? Điều tự nhiên là gọi những đa giác như vậy là trống hoặc lỗ. hình1 hiển thị ví dụ về lỗ và ví dụ về không lỗ. Chúng ta hãy giới thiệu đại lượng h(n), đại lượng này sẽ đóng vai trò tương tự với đại lượng g(n) trong khuôn khổ của Hình 1 mới. Ví dụ về tiếng hú có lỗ và không có lỗ bài toán. Nó có nghĩa là gì? Về lý thuyết, mọi thứ rất đơn giản. Giả sử rằng với một số tự nhiên cho trước $n \ge 3$, chúng ta đã tìm được một số h sao cho trong bất kỳ vị trí tổng quát nào đặt trên mặt phẳng với số lượng h đều có một n-giác trống và có một tập hợp vị trí tổng quát trên mặt phẳng có kích thước h – 1 và không chứa lỗ trống trên n đỉnh. Vậy hãy đặt h ( n ) = h. Chỉ? Không thực sự. Vấn đề là vẫn chưa rõ tại sao sự hiện diện của các đa giác trống trong một tập hợp điểm h tùy ý đảm bảo cho chúng ta sự hiện diện của chúng trong mọi tập hợp kích thước h + 1. Một vấn đề nảy sinh khi thỏa mãn điều kiện trống rỗng, điều kiện này không có trước đó (tức là khi xác định giá trị của g(n)). Nói cách khác, nếu trước đây chúng ta bình tĩnh nói về giá trị biên g(n), bắt đầu từ đó mọi tập hợp có kích thước phù hợp đều chứa một đa giác lồi, thì từ nay trở đi vẫn cần phải đạt được sự bình tĩnh như vậy. May mắn thay, vấn đề có thể dễ dàng khắc phục được. Phát biểu 1. Giả sử, với một số h, bất kỳ vị trí tổng quát nào đặt trên mặt phẳng với số lượng h đều chứa một n-giác lồi và rỗng. Khi đó điều tương tự cũng đúng với mọi tập tổng quát có kích thước h + 1. Chứng minh. Xét một tập X tùy ý có số lượng $h + 1. Пусть^{H}$ – một đa giác là bao lồi của nó (xem [1]). Hãy xóa $из^{X}$ bất kỳ đỉnh nào của đa giác này. Những gì còn lại là một tập hợp có kích thước h, theo giả định của chúng tôi, chứa một n-giác lồi và rỗng. Rõ ràng, đỉnh chúng ta ném ra nằm ngoài n-giác này. Điều này có nghĩa là X chứa một n-giác lồi và rỗng. Tuyên bố đã được chứng minh. Nếu với mỗi h tồn tại một tập hợp

19

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 1 năm 2010 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 5–2009” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2146” hoặc “F2153”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng là [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2149 và M2150 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Leonhard Euler.

Bài toán M2146–M2153, F2153–F2159

M2146. Đồ thị 2008 của tam thức bậc hai được vẽ trên mặt phẳng tọa độ. Liệu có thể hóa ra rằng đối với mỗi người trong số họ có một đường thẳng có điểm chung với bất kỳ đồ thị nào ngoại trừ nó? N. Agakhanov, I. Bogdanov

M2147. Mỗi ô của một mặt phẳng ca rô vô hạn chứa một số thực sao cho tất cả các dãy số theo chiều ngang và chiều dọc vô hạn theo cả hai hướng đều tuần hoàn. Chứng minh rằng có vô số dãy ngang với các chu kỳ ngắn nhất khác nhau khi và chỉ khi có vô số dãy dọc với các chu kỳ ngắn nhất khác nhau. E.Ký tên

M2148. Các số 1, 2, 3, …, 100 được viết thành vòng tròn theo một thứ tự nào đó. Petya tính 100 tổng của tất cả các bộ ba số lân cận và viết số tiền nhỏ nhất lên bảng. Số lớn nhất có thể viết được trên bảng là bao nhiêu? P.Kozhevnikov

M2149. Trong tam giác ABC, các cạnh AB và BC bằng nhau. Điểm D bên trong tam giác sao cho $\angle$ ADC $= 2 \angle$ ABC. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm B đến phân giác ngoài của góc ADC gấp đôi bằng AD + DC. S. Berlov

M2150. Ở đất nước Leonardia, mọi con đường đều là một chiều. Mỗi con đường nối hai thành phố và không đi qua các thành phố khác. Cục Thống kê tính tổng số cho từng thành phố

cư dân ở các thành phố có đường dẫn đến nó và tổng số cư dân ở các thành phố có đường dẫn từ đó. Chứng minh rằng tại ít nhất một thành phố, số thứ nhất không nhỏ hơn số thứ hai. N. Gravin

M2151. Tam giác số 1

1

1 2

1 3

1 2

1

1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1

… được biên soạn theo quy tắc sau. Dòng đầu tiên chứa một số bằng 1. Dòng thứ k (k = 2, 3, …) chứa 2k – 1 số, mỗi số bằng tổng của ba số: số ở trên nó và hai số liền kề ở dòng trước (nếu thiếu một số trong ba số này thì coi như bằng 0). Chứng minh rằng ở cột giữa không có số nào chia cho 3 dư 2. K. Kaibhanov

$M2152^{*}$. Một cặp ( p, q ) gồm các số nguyên tố riêng biệt được gọi là đặc biệt nếu tồn tại a có thể biểu diễn dưới dạng $a = x^{p} + y^{p} = z^{q} + t^{q}$ đối với một số số tự nhiên x, y, z, t, nhưng không thể biểu diễn dưới dạng $u^{pq} + v^{pq}$, trong đó u và v là các số tự nhiên. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p đều có vô số cặp đặc biệt. V. Người gửi

$M2153^{*}$. Tổng các góc đặc tại các đỉnh của một khối đa diện lồi là $\pi$. Chứng minh rằng có một đường đi khép kín dọc theo các cạnh của nó đi qua

28

KMS

KVANT 2009/№5

Bài toán

Petya và Vasya đang đi trên những toa tàu lân cận. Toa mà Petya đang đi là toa thứ năm tính từ “đầu” của đoàn tàu, và toa mà Vasya đang đi là toa thứ bảy tính từ “đuôi”. Có bao nhiêu toa tàu trên tàu? M. Akhmedzhanova

nấm Có thể tất cả các loại nấm đều trở nên tốt sau khi một số con sâu bò từ nấm xấu sang nấm tốt? A. Kanel

Đối với hai quả bóng khác nhau, thật dễ dàng để tạo ra một chiếc vòng có thể gắn chặt vào mỗi quả bóng (để không có khoảng trống). Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn lấy hai củ khoai tây khác nhau? Liệu luôn có thể tạo ra một vòng dây, có thể cong chứ không phải phẳng, để có thể đặt chặt trên mỗi củ khoai tây? G. Galperin

hình hiển thị một hình, tất cả các góc giữa các đoạn liền kề của nó đều vuông. Làm thế nào, chỉ sử dụng bút chì và thước kẻ không có vạch chia, bạn có thể vẽ một đường thẳng cắt một phần của hình có diện tích bằng một nửa diện tích của hình? V. Kryukov

Minh họa của D. Grishukova

Một cây nấm được coi là xấu nếu có ít nhất 10 con giun. Nếu một cây nấm có ít hơn 10 con sâu thì được coi là nấm tốt. Có 90 cái xấu và 10 cái tốt trong một giỏ

Một đám đông đang đi dọc hành lang. Trước ngã ba hành lang có vách ngăn. Anh ta hướng người này sang trái và người kia sang phải, sao cho dòng chảy được chia thành hai phần bằng nhau. Bằng cách sử dụng một số thiết bị phân tách này, một phần tư dòng chảy hoặc ba phần tám dòng chảy có thể được tách ra. Có thể tách một phần ba dòng chảy? V.Arnold

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

29

ĐẾN

M

Sh

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo ở môn lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán phải được gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: [email protected] (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ điền tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

6. 2.000 người đã đăng ký trên trang web mới “Razgovori.ru”. Mỗi người trong số họ đã mời 1000 người làm bạn của mình. Hai người được tuyên bố là bạn bè khi và chỉ khi mỗi người trong số họ mời người kia làm bạn. Số lượng cặp bạn bè nhỏ nhất có thể được hình thành là bao nhiêu? A. Evnin

7. Có thể cắt một hình vuông thành 9 hình vuông và tô màu sao cho có 1 hình vuông màu trắng, 3 hình vuông màu xám và 5 hình vuông màu đen, các hình vuông cùng màu sẽ bằng nhau, còn các hình vuông nhiều màu sẽ không bằng nhau? N. Avilov

8. Hai trăm quả cân có khối lượng 1 g, 2 g, …, 200 g được đặt trên hai cái cân sao cho hai quả cân bất kỳ có độ chênh lệch nhau là bao nhiêu.

khối lượng 100 g rơi vào các bát khác nhau và hai vật nặng bất kỳ có tổng khối lượng 201 g cũng rơi vào các bát khác nhau. Đồng thời, cân đã ở trạng thái cân bằng. Sau đó, tất cả các vật nặng có khối lượng đều được lấy ra khỏi mỗi bát. Chứng minh rằng cân sẽ cân bằng trở lại. V.Proizvolov

9. Có số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn $a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = 100 100$ không? M. Murashkin

10. Trên các cạnh BC và CD của hình thoi ABCD ta lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho BP = CQ. Chứng minh rằng trọng tâm (giao điểm của các đường trung tuyến) của tam giác APQ nằm trên đường chéo BD của hình thoi. V.Proizvolov

Giải đấu mùa hè mang tên A.P. Savin

Hàng năm vào cuối tháng 6, các học sinh đam mê toán học sẽ tập trung tại một địa điểm tuyệt đẹp ở vùng Kostroma để tranh tài trong lời giải bài toán. Giải đấu được đặt theo tên của Anatoly Pavlovich Savin, người sáng lập cuộc thi “Toán học 6–8” của tạp chí «Kvant». Nhờ cuộc thi năm 1993, giải đấu này đã nảy sinh các trận chiến toán học. Đơn vị tổ chức giải đấu là tạp chí «Kvant» và chương trình giáo dục “Big Change” (do G.V. Kondkov đứng đầu). Mùa hè này, các đội đã tập trung trong 7 ngày (từ 26 tháng 6 đến 2 tháng 7 năm 2009) gần thành phố Sudislavl tại trung tâm giải trí đẹp như tranh vẽ “Berendeyevy Polyany”. Nhiều chàng trai đến đây sớm hơn nhiều - họ học tại trường toán mùa hè, bắt đầu vào ngày 11 tháng 6, sau đó họ quyết định ở lại tham dự giải đấu. Năm nay, các đội từ lớp 6–8 thi đấu với nhau: 8 đội từ lớp 6, 12 đội từ lớp 7 và 8 đội từ lớp 8. Học sinh đến từ Moscow, St. Petersburg, Ivanovo, Kostroma, Tambov và Chernogolovka. Đội Tambov được mời tham dự giải đấu với tư cách là đội chiến thắng trong cuộc thi “Toán học 6–8” của tạp chí «Kvant». Vào ngày đến (25/6), ngay lập tức trò chơi toán học sinh động “Magic Square” được diễn ra. Đội chiến thắng là các đội “Fractal” (lớp 6, St. Petersburg), “Trí tuệ” (lớp 7, Moscow) và “218-B” (lớp 8, Moscow). Ngày hôm sau, cuộc thi Olympic đồng đội miệng được tổ chức, theo kết quả, các đội được chia thành các giải theo lớp, trong đó lớp 7 được chia thành hai giải. Tiếp theo, các trận chiến toán học diễn ra ở mỗi giải đấu. Ngày cuối cùng của giải đấu là những trận chiến cuối cùng quyết định đội thắng ở mỗi giải đấu. Ở giải hạng 8, đội Matxcova-Nam đứng nhất. Nó được sưu tầm bởi T.P. Zorina tại trường toán hè tháng 6 năm 2008. Chỉ trong hơn một năm, các chàng trai đã vô địch nhiều giải đấu khác nhau, bao gồm cả giải đấu này năm ngoái. Trong giải đấu lớn lớp 7, đội xuất sắc nhất là đội câu lạc bộ MCSME do A.V. Spivak. Những học sinh lớp sáu giỏi nhất là các em đến từ câu lạc bộ Fractal ở St. Petersburg; Lợi thế của họ hóa ra là đáng chú ý cả trong các trận đấu và trong Thế vận hội đồng đội. Đội đứng đầu giải nhì gồm 7 lớp là đội của trường 82 đến từ Chernogolovka, vùng Moscow. Bảng dưới đây hiển thị danh sách tất cả các đội chiến thắng giải đấu. Vào một trong những ngày diễn ra giải đấu, những người tham gia đã tạm nghỉ chiến đấu - một cuộc thi Olympic cá nhân đã diễn ra. Mỗi song song đều có sự cạnh tranh riêng với những nhiệm vụ riêng. Ở lớp 6, với lời giải trong tổng số bài toán, Andrey Volgin (đội MTsNMO) đã nhận được “Grand Prix”, và Ivan Petrenko, cư dân Kostroma, đã giành được bằng tốt nghiệp cấp 1. Học sinh lớp 7 giỏi nhất là Nikita Sopenko (đội Tambov), học sinh lớp 8 giỏi nhất là Mikhail Artemyev (nhà thi đấu 1543, Moscow). Những người có bằng cấp II là: Semyon Verchenko (lớp 8, nhà thi đấu 1543), Maria Sandrikova (lớp 8, TsO 218),

30

KVANT 2009/№5

Liên minh

Bằng cấp

Đội

Đội trưởng

Người giám sát

Cao nhất 8 Cao nhất 8 Cao nhất 8 Cao nhất 8 Cao nhất 8 Cao nhất 7 Cao nhất 7 Cao nhất 7 Cao nhất 7 Cao nhất 7 Cao nhất 6 Cao nhất 6 Cao nhất 6 Cao nhất 6 Cao nhất 6 Đầu tiên 7 Đầu tiên 7

Tôi độ II độ II độ III độ III độ I độ II độ II độ III độ III độ I độ II độ II độ III độ III độ I độ II độ

Nhà thi đấu Moscow-South 1514, Moscow Lyceum 14, Quận trung tâm Tambov 218, Nhà thi đấu Moscow 1543, Moscow MTsNMO, Đội tuyển Moscow Kostroma Trí tuệ, Nhà thi đấu Moscow 1543, Nhà thi đấu Moscow 1514, Moscow Fractal, St. Petersburg Vorobyovs Mountains, Moscow TsO 218, Moscow Quantik, Moscow Mountain Sparrows, Moscow School 82, Trường Chernogolovka 179, Moscow

F. Lyashchenko A. Ponfilenko N. Sopenko M. Sandrikova M. Artemiev T. Levinson R. Tsvetnikov Yu. Grebennikova Y. Kotelnikova T. Stepanov E. Tseytina I. Gushchenko-Cheverda A. Zertsalov V. Volkov A. Melnik A. Potapov I. Panteleeva

T.P.Zorina O.R.Gorskaya A.V.Burmistrova A.D.Blinkov A.V.Khachaturyan A.V.Spivak D.A.Kalinin N.M.Netrusova I.V.Raskina T.V.Zhitnikova A.P.Pogoda T.P.Zorina Yu.A.Blinkov I.A.Nikolaeva T.P.Zorina L.N.Golovko A.Yu.Yurkov

Yulia Grebennikova (lớp 7, “Trí thức”), Maxim Khabarov (lớp 7, trường 30, St. Petersburg), Alexey Bystrov (lớp 6, Kostroma), Stepan Kargaltsev (lớp 6, CO 218), Nikita Uvarov (lớp 6, nhà thi đấu 1543) và Mikhail Yagudin (lớp 6, đội MMMF). Bằng cấp ba được trao cho Alexey Vinogradov (lớp 8, thể dục 1514), Anna Dobrovolskaya (lớp 8, thể dục 1514), Lev Sinykov (lớp 8, “Moscow-South”), Pyotr Melnichenko (lớp 7, TsO 218), Bogdan Slavov (lớp 7, trường 179), Marina Khachaturyan (lớp 7, thể dục thể hình) 1543), Ivan Burenev (lớp 6, “Fractal”), Andrey Zertsalov (lớp 6, CO 218), Daria Lebedeva (lớp 6, “Fractal”), Sergey Polevoy (lớp 6, “Moscow-South”) và Pavel Shevchuk (lớp 6, “Chim sẻ núi”). Ngoài ra, nhiều em còn được khen thưởng bằng tốt nghiệp khi tham gia thành công và được khen thưởng. Trong những giờ không tham gia các cuộc thi chính, những người tham gia Olympic đã được nghe các bài giảng về toán học của A.V. Spivak, S.I. Tokarev, A.B. Skopenkov, A.V. Shapovalov, A.A. Zaslavsky, S.G. Volchenkov. Nhưng trò giải trí không chỉ có tính toán. Sân bóng đá và sân bóng chuyền không bao giờ vắng người. Vào buổi tối, các trò chơi trí tuệ được tổ chức do N.M. Netrusova và A.V. Khachaturyan. Những chuyến du lịch dã ngoại vô cùng thú vị được tổ chức bởi T.P. Zorina, người từ lâu đã quan tâm đến lịch sử của Sudislavl và các vùng đất xung quanh và giờ đây có lẽ đã trở thành người hướng dẫn giỏi nhất ở thành phố cổ này. Thông tin chi tiết hơn về kết quả của giải đấu và các bức ảnh có thể được xem trên trang web http://kostroma-open.info/20090626.html Việc lựa chọn bài toán và tổng hợp các phương án được thực hiện bởi một ủy ban phương pháp dưới sự lãnh đạo của Alexander Vasilyevich Shapovalov. Nó bao gồm A.D. Blinkov, Yu.A. Blinkov, N.T. Grebenik, E.S. Gorskaya, S.A. Dorichenko, A.A. Zaslavsky, D.A. Kalinin, T.V. Karavaeva, P.V. Martynov, K.A. Matveev, D.V. Prokopenko, I.V. Raskina, A.B. Skopenkov, K.A. Skoptsov, S.I. Tokarev, A.V. Shapovalov. Các trưởng nhóm đã có đóng góp đáng kể cho công việc của ủy ban. Sách và các giải thưởng khác dành cho người chiến thắng được cung cấp bởi tạp chí «Kvant», công ty Yandex và Quỹ Giáo dục và Khai sáng Toán học (giám đốc S.I. Komarov). Theo truyền thống kể từ những giải đấu đầu tiên, nhiều bản quyền mới bài toán đã được công bố trong giải đấu. Trong số này, chúng tôi đã cố gắng chọn những nơi có điều kiện đòi hỏi nhiều hơn những gì người ta có thể mong đợi hoặc nơi lời giải có sự thay đổi và ngắn gọn bất ngờ. Sau số lượng bài toán, nó sẽ chỉ ra lớp nào phù hợp nhất.

Yêu thích bài toán của giải đấu

1 (7–8). Ba anh em Anton, Bori và Vasya có cùng ngày sinh nhật. Hóa ra khi Anton tròn 12 tuổi, tổng số tuổi của hai anh em còn lại sẽ chia cho 12 không có dư. Điều tương tự sẽ xảy ra khi Bora tròn 12 tuổi. Chứng minh rằng điều tương tự cũng sẽ xảy ra khi Vasya bước sang tuổi 12. A. Shapovalov

2 (7). Cho tam giác cân ABC (AB=AC) vẽ đường phân giác BD. Một đường thẳng đi qua điểm D vuông góc với BD cắt cạnh BC tại điểm K. Chứng minh rằng BK = 2CD. Văn hóa dân gian

3 (7–8). Ba kẻ rình rập đã đến được Stone Anomaly. Từ đó có một con đường dài 100 m dẫn tới kho báu. Những kẻ theo dõi biết rằng người đầu tiên đi theo con đường sẽ bị hóa đá ở một nơi ngẫu nhiên và số phận tương tự đang chờ đợi người thứ hai. Cả hai sẽ trở nên sống động vào thời điểm người thứ ba đi dọc theo con đường và tổng khoảng cách từ anh ta đến hai người bạn đồng hành hóa đá sẽ chính xác là 100 m. Liệu những kẻ rình rập có thể đến được kho báu mà không có nguy cơ bị hóa đá mãi mãi? A. Blinkov, I. Raskina

4 (8). Ba đường tròn đi qua điểm P và cắt nhau thành từng cặp tại các điểm A, B, C. Biết tâm của một đường tròn nằm trên đường thẳng AP, còn tâm của đường tròn kia nằm trên đường thẳng BP. Chứng minh tâm đường tròn thứ ba nằm trên đường thẳng CP. B.Frenkin

5 (8). Có thể chia tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 2009 thành hai nhóm sao cho tổng các số trong nhóm này bằng tích các số trong nhóm kia? A. Shapovalov

6 (8). Một hình 222 có các cạnh dọc theo ranh giới của các ô được vẽ trên giấy ca-rô. Số lượng ô nhỏ nhất mà đa giác này có thể bao gồm là bao nhiêu? A. Shapovalov

33

12. Một con lắc toán học được gắn trên một chiếc xe đẩy có thể lăn xuống mặt phẳng nghiêng không ma sát. Tìm vị trí cân bằng của con lắc. 13. Nêm bên trái được đẩy từ từ xuống dưới nêm bên phải, tỷ lệ các chân trong đó được biểu thị bằng hình. Góc $\alpha$ phải bằng bao nhiêu để nêm bên phải lật được? 14. Trong những điều kiện nào có thể sử dụng vít để siết chặt các bộ phận? 15. Hai ô tô được lăn luân phiên nhau từ đỉnh bướu: một ô tô trống, một ô tô có hàng. Xe nào sẽ đi xa hơn trên đoạn đường thẳng sau khi lăn bánh xuống dốc? 16. Nếu một ô tô lên núi với cùng công suất động cơ thì tốc độ của ô tô đó sẽ giảm đi. Tại sao? 17. Một hình trụ có đường kính bằng chiều cao của nó trượt một lần từ mặt phẳng nghiêng dọc theo trục sinh của nó, và một lần nữa trượt xuống từ cùng một điểm trên mặt phẳng. So sánh vận tốc tịnh tiến của hình trụ tại chân mặt phẳng nghiêng, coi hệ số ma sát trượt giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng là rất nhỏ. 18. Có ba khúc gỗ nhẵn giống hệt nhau ở phía sau một chiếc xe tải, được sắp xếp như hình hình. Ở góc nào $\alpha$ vật có thể nghiêng để khúc gỗ phía trên không lăn sang một bên?

Kinh nghiệm vi mô

Dán một hình trụ bằng giấy dày (bạn có thể lấy một ống bìa cứng từ cuộn giấy vệ sinh) và gắn một miếng nhựa vào bên trong nó. Một hình trụ như vậy có thể cuộn lên một mặt phẳng nghiêng. Làm thế nào để đạt được điều này?

Thật thú vị rằng…

…phát minh tài tình nhất của Archimedes là chiếc vít nâng nước. Theo Galileo, thiết bị này “không chỉ tráng lệ mà còn tuyệt vời, vì chúng ta thấy nước dâng lên trong trục vít, liên tục hạ xuống”. Ví dụ, trục vít Archimedes đã được sử dụng ở Ai Cập để nâng nước lên những nơi cao (đến độ cao lên tới 4 mét), nơi mà lũ sông Nile thường không tới được, vừa để thoát nước cho những vùng trũng thấp. …kể từ thời những người theo Archimedes - Heron và Pappus - cơ học bắt đầu được coi là khoa học về những cỗ máy đơn giản: cánh cổng, đòn bẩy, khối hộp, cái nêm và con vít. Hai cái cuối cùng dựa trên các tính chất của mặt phẳng nghiêng, tuy nhiên, định luật tác dụng của nó mà bản thân Archimedes cũng không biết đến. …bằng cách nghiên cứu trạng thái cân bằng của một sợi xích kín ném trên hai mặt phẳng nghiêng, nhà khoa học người Hà Lan Simon Stevin trong tác phẩm “Các nguyên lý tĩnh học” đã chứng minh rằng lực lăn một tải nhỏ hơn trọng lượng của nó nhiều lần cũng như chiều cao của mặt phẳng nhỏ hơn chiều dài của nó. …trong một chuyên luận được biên soạn trong thời gian giảng dạy trước công chúng vào năm 1597-1598, Galileo, khi chưa biết định luật phân bố lực, đầu tiên coi một đòn bẩy, sau đó biến một cái nêm thành một đòn bẩy, một mặt phẳng nghiêng thành một cái nêm, và một cái vít thành một mặt phẳng nghiêng. …Galileo thiết lập định luật rơi tự do của các vật bằng cách sử dụng một mặt phẳng nghiêng - một rãnh được lót bằng giấy da bóng ở bên trong, dùng nó để “giảm” gia tốc rơi tự do đi một số lần cho trước… …bằng cách phân tích chuyển động trên một mặt phẳng “không đi xuống cũng không đi lên”, Galileo đã tiết lộ đặc tính của các vật thể là duy trì tốc độ của chúng, mặc dù ông vẫn chưa tìm ra một công thức đầy đủ và chính xác về định luật quán tính mà Newton phải làm. … trong khi nghiên cứu quá trình lăn một quả bóng “từ ngọn đồi này sang ngọn đồi khác”, Galileo cho rằng, theo thuật ngữ hiện đại, tốc độ đạt được khi đi xuống không phụ thuộc vào hình dạng của đường mà cơ thể di chuyển. Galileo tất nhiên không biết rằng tình huống này tuân theo định luật bảo toàn năng lượng, nhưng ông đã đoán trước định luật này và áp dụng nó trong những trường hợp đơn giản nhất là một vật rơi hoặc chuyển động trên mặt phẳng nghiêng và trong các thí nghiệm với con lắc. … Galileo, sử dụng phương pháp hình học, đã xây dựng một lý thuyết về chuyển động dọc theo một mặt phẳng nghiêng và chuyển động dọc theo các dây của một đường tròn, cho thấy rằng dọc theo một cung của một đường tròn, nhỏ hơn hoặc bằng một phần tư đường tròn, một vật trượt nhanh hơn dọc theo một dây cung đang co lại. Bằng cách này, ông đã đoán trước được phát biểu bài toán về việc tìm kiếm đường đi xuống nhanh nhất - brachistochrone, bài toán, được giải quyết vào năm 1697 bởi Johann Bernoulli. Nhân tiện, phương trình của đường cong này, hóa ra là đường cycloid, được sử dụng trong thiết kế đường chạy xe trượt băng và tàu lượn siêu tốc. … khi vặn một bu lông có bước ren 1 mm bằng cờ lê dài 30 cm, chúng ta đạt được sức mạnh gấp hai nghìn lần, điều này cho phép chúng ta buộc chặt các bộ phận một cách an toàn hoặc di chuyển các vật nặng lớn mà không cần nỗ lực nhiều. …để tránh ô tô bay ra ngoài khi rẽ, đường ở những nơi này được làm nghiêng. Góc nghiêng chính xác tương ứng với bán kính quay vòng và tốc độ lái xe cụ thể mà giới hạn phải được đặt. Nhưng đường đua dành cho xe đạp có độ dốc thay đổi ở các ngã rẽ - có tính đến tốc độ khác nhau mà các vận động viên đạt được.

Đọc gì trong «Kvant» về mặt phẳng nghiêng

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Tổ hợp bài toán trong cơ học” - 2003, Phụ lục số 6, tr. 92; 2. “Về động lực học của chuyển động cong” – 2005, số 2, tr. 30; 3. “Trọng tâm của một hệ cơ học” – 2006, số 2, tr. 25; 4. “Trang trình bày nào nhanh nhất?” – 2006, Phụ lục số 6, tr. 68; 5. “Và chiếc xe đi lên đồi…” – 2008, số 5, tr. 35; 6. “Cạm bẫy” của sức mạnh Archimedes” – 2009, số 2, tr.46.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

40

KVANT 2009/№5

Mặt Trăng đang nhìn về đâu?

Các quan sát chỉ ra rằng quả bóng mặt trăng luôn hướng về Trái đất với một mặt chủ yếu. Nhưng tại sao, làm thế nào lại có đặc điểm nổi bật như vậy trong chuyển động của Mặt trăng? Nhà cơ khí và toán học nổi tiếng Lagrange là người đầu tiên đạt gần đáp số cho câu hỏi khó này. Trở lại năm 1764, ông đã xác định rằng “hình dạng của Mặt trăng phải là một hình elip với trục lớn nhất hướng về Trái đất < chúng tôi làm rõ rằng, nói đúng ra, trục này không hướng về Trái đất mà tạo ra những dao động nhẹ so với điểm của tiêu điểm thứ hai >. Và ngay cả khi ban đầu chu kỳ quay của Mặt trăng không trùng với chu kỳ quay quanh Trái đất, thì sau một thời gian, hai chu kỳ này lẽ ra phải bằng nhau do ảnh hưởng của lực hấp dẫn Trái đất và sự tiêu tán thủy triều liên quan về năng lượng quay của vệ tinh của chúng ta.” Trong cuốn Principia của mình, Newton viết: “…Kết quả của việc này… xảy ra là cùng một phía của Mặt trăng được quan sát từ Trái đất; ở một vị trí khác, vật thể của Mặt trăng không thể đứng yên mà sẽ liên tục quay trở lại vị trí này, dao động. Nhưng những dao động này, do lực tác dụng quá nhỏ, sẽ xảy ra rất chậm, do đó phía đáng lẽ phải liên tục hướng về Trái đất cũng có thể hướng về tiêu điểm khác của quỹ đạo Mặt Trăng…mà không bị kéo lại và quay về phía Mặt trăng ngay lập tức.” Trái đất.” Chắc chắn, Newton đang nói ở đây về một hiệu ứng rất tinh tế: do sự hiệu chỉnh quang học, hình hơi dài của Mặt trăng cũng sẽ thực hiện những dao động xoắn rất nhỏ, nhưng không còn rõ ràng nữa mà thực sự xảy ra so với tâm khối lượng của nó. Đây là dự đoán đầu tiên về sự cân bằng vật lý của Mặt trăng. Nhưng đồng thời, Newton lại mô tả bản thân hiện tượng hiệu chỉnh quang học một cách quá mơ hồ, thậm chí mơ hồ. Thật vậy, từ câu nói của ông, được in nghiêng ở trên, không thể hiểu được làm thế nào mà mặt của Mặt trăng, vốn luôn hướng về Trái đất, lại có thể hướng về một tiêu điểm khác của quỹ đạo Mặt trăng. Rốt cuộc, khoảng cách giữa cả hai tiêu điểm của quỹ đạo Mặt trăng đạt giá trị 42207 km, gấp 3,3 lần đường kính Trái đất - không quá nhỏ. Vì vậy, lời nói của Newton còn khó hiểu hơn là làm sáng tỏ bản chất của vấn đề. Ở chỗ khác trong “Các nguyên tắc”, chúng ta đọc: “Vì đối với Mặt trăng, với chuyển động quay đều quanh trục của nó, một ngày bằng tháng của chúng ta, nên hầu như luôn luôn cùng một phía sẽ luôn hướng về tiêu điểm thấp hơn của quỹ đạo của nó…” “Hướng về phía dưới” có nghĩa là tiêu điểm thứ hai của quỹ đạo. Hình elip, như đã biết, có hai tiêu điểm: một tiêu điểm là tâm Trái đất (chính xác hơn là hệ Trái đất-Mặt trăng), và mặt khác, theo ý kiến ​​​​của Newton trình bày ở đây (in nghiêng), hầu như luôn luôn hướng về cùng một phía của Mặt trăng. Tuy nhiên, cụm từ này của Newton không tạo thêm bất kỳ sự chắc chắn nào cho tuyên bố đầu tiên. Làm thế nào bán kính đã chọn của Mặt trăng có thể gần như liên tục hướng về cùng một điểm trong không gian vũ trụ? Rốt cuộc, quá trình hiệu chỉnh quang học diễn ra liên tục. Và như bây giờ chúng ta sẽ thấy, trên thực tế, mọi thứ lại diễn ra theo chiều ngược lại: bán kính đã chọn của Mặt trăng hầu như luôn không hướng (!) Về điểm của tiêu điểm thứ hai, mà dao động tương ứng với hướng về phía nó. Tất nhiên, dựa trên những gì đã nói thì khó có thể nói

Tuy nhiên, khi nói về sai sót của Newton, sự hiểu lầm về bản chất của vấn đề liên quan đến hướng thực tế của bán kính đã chọn của Mặt trăng trong quá trình hiệu chuẩn quang học dọc theo kinh độ được thể hiện khá rõ ràng ở Newton. Không có cảm giác nào về đặc điểm rõ ràng chính xác của nhà khoa học vĩ đại này, người mà quyền lực vẫn cao bất thường. Không có gì đáng ngạc nhiên khi một số sự mơ hồ trong cách mô tả hiện tượng này cũng được tìm thấy trong các tài liệu khoa học phổ thông. Người phổ biến khoa học đáng chú ý Ya.I. Perelman trong cuốn sách “Thiên văn học giải trí” lần đầu viết: “… khi Mặt trăng ở vị trí E, bán kính của Mặt trăng hướng về Trái đất tại điểm A sẽ mô tả một cung tại $90^\circ$ và sẽ hướng … đến một điểm … không xa tiêu điểm khác của quỹ đạo mặt trăng.” Và bên dưới chúng ta đọc: “…Mặt trăng luôn hướng về cùng một phía không phải với Trái đất mà là về một tiêu điểm khác trong quỹ đạo của nó…”. Ở đây cụm từ đầu tiên (đúng!) mâu thuẫn với cụm từ thứ hai. Nhà thiên văn học nổi tiếng người Nga V.I. Bronshten, trong cuốn sách đầy thông tin của mình “Mặt trăng chuyển động như thế nào”, đã trích dẫn mà không đưa ra bất kỳ bình luận nào về quan điểm nêu trên của Newton về bản chất chuyển động của Mặt trăng. Và ngay cả một nhà khoa học lỗi lạc, một chuyên gia về sự quay của Mặt trăng, Moutsoulas, trong chuyên khảo tập thể nổi tiếng “Vật lý và Thiên văn học của Mặt trăng” (dịch từ tiếng Anh), nói về dự đoán của Newton về sự cân bằng vật lý, cũng trích dẫn lời của ông, thật không may, mà không có bất kỳ bình luận phê phán nào.

Vai trò bí mật của trọng tâm thứ hai

Bất kỳ hình elip nào không suy biến thành đường tròn đều có hai tiêu điểm. Trong thiên văn học, định luật thứ nhất của Kepler phát biểu: tại một trong các tiêu điểm có một trung tâm thu hút - đối với các hành tinh thì đó là Mặt trời, đối với Mặt trăng là Trái đất, v.v. Điểm của tiêu điểm thứ hai đối với các hành tinh không đóng bất kỳ vai trò vật lý nào và chỉ đơn giản là một điểm hình học. Một tình huống khác nảy sinh khi mô tả chuyển động đồng bộ của Mặt trăng. Ở đây tiêu điểm thứ hai được phân biệt chính xác về mặt động học bởi thực tế là trục chính của Mặt trăng tạo ra những dao động nhẹ xung quanh hướng về phía nó. Vai trò của tâm điểm thứ hai cũng giống như các vệ tinh khác có chuyển động quay đồng bộ trong Hệ Mặt Trời. Tuy nhiên, trọng tâm thứ hai này không có bất kỳ ý nghĩa vật lý đặc biệt nào đối với bốn vệ tinh Galileo của Sao Mộc, vì nó nằm sâu bên trong Sao Mộc. Nhưng hệ thống Trái đất-Mặt trăng độc đáo ở chỗ chỉ ở đây điểm tiêu điểm thứ hai nằm xa Trái đất (hơn ba lần đường kính của nó), và không thể bỏ qua thực tế này trong cơ học thiên thể hiện đại nữa.

Hình3. Hình elip lớn là quỹ đạo của Mặt trăng M (để rõ ràng, lực nén được phóng đại), P và A là các điểm cận điểm và viễn điểm, $f_{1}$ và $f_{2}$ là tiêu điểm của hình elip, tâm khối lượng của Trái đất-Mặt trăng nằm ở tiêu điểm đầu tiên. Hình elip nhỏ mô tả hình Mặt trăng

51

Thế Vận Hội

Người đạt được bằng tốt nghiệp Olympic

Bằng tốt nghiệp của người chiến thắng ở 9 hạng đã được nhận bởi Alexey Pakharev - Ulyanovsk, nhà thi đấu 79, Victoria Malyasova - Rostov-on-Don, Lyceum kinh tế 14, Dmitry Egorov - St. Petersburg, FML 239, Dmitry Krachun - St. Petersburg, FML 239, Ekaterina Mukoseeva - St. Petersburg, FML 30;

ở 10 lớp - Bondarenko Mikhail - St. Petersburg, FML 239, Erokhin Stanislav - St. Petersburg, FML 239, Kushnir Andrey - Irkutsk, Lyceum 2, Klimovitsky Joseph - St. Petersburg, FML 239, Popov Maxim - Nizhnekamsk, nội trú lyceum 24;

ở 11 lớp - Nenashev Gleb - St. Petersburg, FML 239, Omelyanenko Victor - Belgorod, Lyceum 38, Gusev Daniil - Dzerzhinsk, trường 2 với nghiên cứu chuyên sâu về các môn học của chu trình vật lý và toán học, Ivanova Alina - Kazan, Lyceum được đặt theo tên. N.I. Lobachevsky tại KSU, Bragin Vladimir - Snezhinsk, nhà thi đấu 127.

Bằng tốt nghiệp của người chiến thắng ở 9 lớp đã được nhận bởi Olga Burova - Moscow, Trường cấp hai Lyceum, Yaroslav Sergienko - Krasnodar, Viện Công nghệ và Kinh tế hiện đại, Aleksey Zavodov - Dolgoprudny, FML 5, Vladimir Yanushkovsky - Moscow, Trường cấp hai Lyceum, Nikita Kosinov - Ulyanovsk, Lyceum đa ngành 20, Titov Dmitry - Ust-Labinsk, trường 2, Kunyavsky Pavel - Saratov, FTL 1, Tsybyshev Alexey - Samara, nhà thi đấu 1;

cho lớp 10 - Anton Bernstein - Novosibirsk, nhà thi đấu 1, Irina Gorbacheva - Krasnodar, lyceum 64, Vasily Mokin - Saratov, FTL 1, Isaac Evgeniy - Kurgan, trường 38, Alexey Balitsky - Zheleznogorsk, trường 11 với nghiên cứu chuyên sâu về từng môn học, Stepan Gorban - Moscow, SSC MSU, Kozachinsky Alexander - Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Berdnikov Alexander - Novosibirsk, nhà thi đấu 1, Boyarov Igor - Togliatti, Lyceum 51, Reshetnikov Ivan - Dolgoprudny, FML 5, Menshchikov Andrey - Kurgan, trường 38, Pologova Anna - Izhevsk, IEGL “Trường-30”, Stepanov Boris - Ekaterinburg, nhà thi đấu 9, Votykov Alexander - Izhevsk, EML 29, Miftakhov Azat - Nizhnekamsk, nội trú lyceum 24, Struchkova Anna - Yakutsk, nội trú lyceum “Cộng hòa Lyceum”, Ivlev Fedor - Moscow, SUSC MSU, Kupriyanov Alexander - Yaroslavl, trường 33 được đặt theo tên. K. Marx với nghiên cứu chuyên sâu về toán học, Nikita Bear - Moscow, Lyceum “Second School”, Serbina Daria - Kurgan, gymnasium 47, Baglay Mikhail - St. Petersburg, Lyceum “FTSH”, Glukhov Evgeniy - Kostroma, Lyceum 17,

Golova Anna - Moscow, SUSC MSU, Nikolaev Semyon - Moscow, Trung tâm Giáo dục “Trường thứ năm mươi bảy”, Pechina Anna - Dolgoprudny, FML 5, Samolyuk Sergey - Tomsk, trường 41, Lamtyugin Alexey - Ulyanovsk, trường 21, Lysenko Nikolay - Moscow, Trung tâm Giáo dục “Trường thứ năm mươi bảy”;

ở 11 lớp - Sokolov Vyacheslav - St. Petersburg, nhà thi đấu 261, Savenkov Kirill - St. Petersburg, FML 239, Matdinov Marcel - Moscow, SUSC MSU, Pogorelov Dmitry - Nizhny Novgorod, Lyceum 165 được đặt tên theo lễ kỷ niệm 65 năm thành lập GAZ, Tyshchuk Konstantin - St. Petersburg, FML 239, Tsarkov Oleg - Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Nechaev Stanislav - Irkutsk, Nhà thi đấu 25, Shabalin Philip - Kirov, KFML, Bershadsky Efim - Moscow, SUSC MSU, Aksenov Vitaly - St. Petersburg, FML 239, Yanushevich Leonid – Moscow, trung tâm giáo dục “Công nghệ giảng dạy”, Alexander Antropov – Perm, trường 146 với nghiên cứu chuyên sâu về toán học, vật lý, khoa học máy tính, Anton Gusev – Omsk, lyceum 64, Alexey Kuvshinov – Izhevsk, EML 29, Vitaly Sivolobov – Tomsk, lyceum tại Đại học Bách khoa Tomsk, Ivan Yaroslavtsev – Moscow, SESC MSU, Glyuz Boris - Maikop, phòng tập thể dục 22, Kalashnik Anna - Moscow, SESC MSU, Krul Yaroslav - Ufa, trường 42 với nghiên cứu chuyên sâu về từng môn học, Nizhibitsky Evgeniy - Krasnodar, trường 73, Ustinov Nikita - St. Petersburg, FML 239, Kondkova Elizaveta - Moscow, Lyceum “Sparrow Hills”, Cherkashin Danila - St. Petersburg, Lyceum 533, Aduenko Alexander - Bryansk, nhà thi đấu 1, Krasnov Dmitry - Vùng Kurgan, làng Zaozerny, nhà thi đấu 19, Lobastov Stepan - Kirov, FML, Lukyanets Evgeniy - St. Petersburg, FML 239, Orlov Oleg - Perm, trường 146 với nghiên cứu chuyên sâu về toán, vật lý, khoa học máy tính, Popov Leonid - Perm, trường 146 với nghiên cứu chuyên sâu về toán, vật lý, khoa học máy tính, Sungorkin Maxim - Cheboksary, lyceum 3, Gilman Mikhail - St. Petersburg, lyceum 533, Dukhov Kirill - Zhukovsky, nhà thi đấu 1, Kirill Mayantsev - Volgorechensk, trường 3, Nikiforov Dyulustan - Yakutsk, nội trú lyceum “Republican Lyceum”, Andrey Ploskonosov - Kaluga, trường 6 được đặt theo tên. BẰNG. Pushkina, Rogulenko Sergey - Saratov, FTL 1, Sochnev Sergey - Maikop, nhà thi đấu 22, Shershnev Alexey - Gatchina, lyceum 3, Kokurin Mikhail - Yoshkar-Ola, trường 20, Koltsov Ivan - Yaroslavl, trường 33 được đặt theo tên. K. Marx với sự nghiên cứu chuyên sâu về toán học.

Ấn phẩm được biên soạn bởi N. Agakhanov, I. Bogdanov, P. Kozhevnikov, O. Podlipsky, D. Tereshin

56

KVANT 2009/№5

Danil Grigoriev - Izhevsk, Kinh tế và Toán học Lyceum 29, Aleksey Alyushin - Moscow, SUNG MSU, Lev Tolmachev - Moscow, trường 192, Nina Kudryashova - Biysk, Biysk Lyceum của Lãnh thổ Altai, Anton Sobolev - St. Petersburg, FTS Lyceum, Vladislav Zemlyanov - Urai, phòng tập thể dục.

Chúng tôi đã nhận được bằng tốt nghiệp của người chiến thắng trong 9 lớp

Shuranov Dmitry - Ufa, nhà thi đấu 3 được đặt theo tên. LÀ. Gorky, Anton Churilov - Efremov, Efremov Vật lý và Toán học Lyceum, Andrey Zanochkin - Sarov, Lyceum 15, Alexey Akinschikov - Veliky Novgorod, trường 23, Pavel Nikitenkov - Smolensk, Nhà thi đấu. N.M. Przhevalsky, Bubis Anton - Tatarstan, FML 131, Shel Egor - Tyumen, trường 29, Goloveshkin Alexander - Moscow, lyceum 1303, Prokofiev Vadim - Ryazan, trường 3, Dekhtyarenko Yaroslav - Bryansk, trường 41, Luchnikov Ilya - Kirov, trường 21, Gamov Artemy – Sarov, lyceum 15, Bogdanov Svyatoslav – St. Petersburg, FML 239, Shumkov Anton – Omsk, nhà thi đấu 117, Tsybrov Fedor – Cộng hòa Komi, nhà thi đấu, Andrey Ionov – Moscow, Trung tâm Giáo dục “Trường học thứ năm mươi bảy”;

cho lớp 10 - Nikolaev Egor - Cộng hòa Mari El, trường Bách khoa nội trú lyceum, Alekseyev Aleksey - Biysk, Biysk Lyceum của Lãnh thổ Altai, Stroynov Evgeniy - Moscow, SUSC MSU, Baynev Vitaly - Saransk, lyceum 43, Kachalov Vyacheslav - Moscow, trường nội trú “Trí tuệ”, Konovalov Alexander - Dolgoprudny, Lyceum 5 “Fizmat”, Lavrov Petr - Perm, trường 146, Anaskin Victor - Biysk, Biysk Lyceum của Lãnh thổ Altai, Kazeev Nikita - St. Petersburg, Lyceum “FTSh”, Davydov Ivan - St. Petersburg, Lyceum “FTSh”, Starichkov Nikita - Kaluga, trường 46, Artamonov Dmitry - Sarov, Lyceum 15, Sadkov Victor - Saratov, FTL 1, Svetogorov Alexander - Kaluga, nhà thi đấu,

Razumov Dmitry - Nizhny Novgorod, Lyceum 40, Kostin Petr - Belgorod, Lyceum 38, Ofenheim Dmitry - St. Petersburg, Lyceum “FTSH”, Kurochkin Nikita - Cheboksary, Lyceum 3, Popov Fedor - Perm, trường 146, Kim Alexander - Cộng hòa Sakha (Yakutia), Lyceum của Đảng Cộng hòa, Rykov Andrey - Snezhinsk, phòng tập thể dục 127, Shustikova Anna - Zarechny, lyceum 230, Margaritov Artemy - Yaroslavl, trường 33 được đặt theo tên. K. Marx, Bebekh Ilya - Cộng hòa Komi, Trường nội trú Vật lý và Toán học Cộng hòa Lyceum, Perevoshchikov Denis - Kirov, trường 21, Thomas Pavel - Novosibirsk, Lyceum 130 được đặt theo tên. M.A. Lavrentieva, Mikhail Belyanchikov - Mezhdurechensk, nhà thi đấu 20, Nikolay Smirnov - Novosibirsk, nhà thi đấu 3, Andrey Komendatyan - Samara, Trường Vật lý và Âm nhạc;

cho lớp 11 –

Kravchuk Petr - St. Petersburg, Lyceum “FTSH”, Usmanova Dinara - Miass, Lyceum 6, Svetkin Mikhail - Moscow, SUSC MSU, Kostarev Ilya - St. Petersburg, Lyceum 533, Tsymbalov Ivan - Tver, Lyceum 35 CTCP “Đường sắt Nga”, Fadeev Alexey - Novocheboksarsk, Lyceum 18, Starkov Grigory - Noyabrsk, trường học 7, Obidina Yana - Orenburg, nhà thi đấu 3, Kazeev Alexander - Petropavlovsk-Kamchatsky, trường 33, Bersenev Nikita - Moscow, Trung tâm Giáo dục 1925, Tregubov Dmitry - Kirov, FML, Safoshkin Alexey - Ryazan, nhà thi đấu 2 được đặt theo tên. I.P. Pavlova, Andrey Bychin - Biysk, Biysk Lyceum của Lãnh thổ Altai, Mikhailova Anastasia - Orenburg, nhà thi đấu 3, Vlasyuk Alexander - Novosibirsk, SUSC NSU, Levdik Pavel - Chelyabinsk, lyceum 39, Liberzon Daniil - Kirov, FML, Doroshenko Andrey - Omsk, lyceum 92, Dubov Alexander - Vologda, Lyceum đa ngành Vologda, Kiyan Sergey - Tambov, Lyceum 14, Kuznetsov Ivan - Moscow, SUSC MSU, Lisitsky Dmitry - Beloretsk, Trường Máy tính, Thủy thủ Mikhail - Novovoronezh, trường 2.

Ấn phẩm được biên soạn bởi S. Kozel, V. Slobodyanin

ĐI BỘ VỚI VẬT LÝ

Cơ thể nặng hơn hay ít hơn trên núi?

(Xem phần mở đầu trang 4 của bìa)

… Ở vùng núi, mật độ không khí và cùng với đó là lực của Archimedes có thể giảm đáng kể. Những phép tính khá đơn giản (bạn tự thực hiện) cho thấy trọng lượng của các vật có khối lượng riêng, ví dụ bằng 1/3 khối lượng riêng của nước, không giảm mà tăng khi chiều cao tăng lên. Vì vậy, trọng lượng của bọt polystyrene, có mật độ khoảng $50 кг/м^{3}$, sẽ tăng lên khi bạn leo núi. Tất nhiên, đối với một viên gạch, một quả nặng và một con người, kết luận rút ra trong hầu hết các sách giáo khoa vẫn đúng. K. Bogdanov

57

Thế Vận Hội

Olympic Vật lý sinh viên Moscow 2009

Ngày 24 tháng 5 tại Đại học Kỹ thuật Nhà nước Moscow (MSTU) mang tên. N.E. Bauman đã tổ chức cuộc thi Olympic Vật lý Thành phố Moscow tiếp theo dành cho sinh viên các trường đại học kỹ thuật. 75 sinh viên từ 8 trường đại học ở Moscow đã tham gia Olympic. Theo kết quả phần thi đồng đội, đội MSTU đã giành vị trí thứ nhất. N.E. Bauman, người ghi được 155 điểm, vị trí thứ hai thuộc về đội Viện Thép và Hợp kim Nhà nước Moscow (MISiS) (129 điểm), vị trí thứ ba thuộc về đội Viện Công nghệ Điện tử Nhà nước Moscow (80 điểm). Ở nội dung thi cá nhân, vị trí đầu tiên thuộc về I. Ivanov đến từ MSTU. N.E. Bauman, người ghi được 50 điểm, vị trí thứ hai thuộc về A. Vyatskikh (MSTU được đặt theo tên của N.E. Bauman, 46 điểm), vị trí thứ ba thuộc về P. Karpov (MISiS, 31 điểm).

MỤC TIÊU CỦA Olympic

1. Xác định bán kính cong nhỏ nhất của quỹ đạo của một ô tô khối lượng m khi nó quay nhanh 90 độ nếu tốc độ trước và sau khi rẽ bằng v. Chuyển động quay xảy ra ở giới hạn lực ma sát cực đại của bánh xe với mặt đường là F. 2. Một tấm ván có khối lượng m tựa hai đầu vào một hình trụ bán kính R và trên một cuộn dây dọc theo bán kính trong $r_{1}$ nằm trên một mặt phẳng nằm ngang sao cho các trục của chúng nằm ngang và song song với nhau. Trục của cuộn dây và xi lanh được nối với nhau bằng dây dẫn cứng. Hệ số ma sát giữa tấm ván, hình trụ và trục quay là 1, giữa trục quay, hình trụ và mặt ngang không có hiện tượng trượt. Phải tác dụng lực nào lên tấm ván để làm nó di chuyển nếu bán kính ngoài của cuộn dây là $r_{2}$ và $2R = r_{1} + r_{2}$? 3. Hệ hành tinh gồm hai hành tinh có khối lượng bằng nhau, khoảng cách giữa chúng là l, quay quanh khối tâm chung của chúng. Xác định bán kính quỹ đạo tròn đứng yên của tàu vũ trụ trong hệ thống này. 4. Động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Carnot, lấy nhiệt từ dàn nóng có nhiệt độ $T_{1}$ và thải nhiệt

Duy trì nguồn năng lượng dồi dào…

(Để bắt đầu, xem trang 45)

Bài tập

1. Trong một xi lanh thẳng đứng, cách nhiệt dưới pít-tông có một lượng heli nhất định ở nhiệt độ 200 K. Đầu tiên một vật nặng được giữ phía trên pít-tông sao cho nó hầu như không chạm vào bề mặt của pít-tông, sau đó thả ra. Nhiệt độ (tính bằng Kelvin) của khí sau khi cân bằng được thiết lập sẽ là bao nhiêu? Khối lượng của tải bằng một nửa khối lượng của piston. Bỏ qua ma sát và truyền nhiệt; không có khí phía trên piston. 2. Trong một xi lanh cách nhiệt thẳng đứng dưới pít-tông có một lượng khí heli nhất định. Một tải trọng có khối lượng bằng khối lượng của piston tác dụng lên piston. Tải được loại bỏ ngay lập tức và hệ thống được đợi cho đến khi đạt đến trạng thái cân bằng. Độ cao nơi đặt pít-tông sẽ tăng bao nhiêu phần trăm? Không có khí phía trên piston. Giả sử rằng trong quá trình chuyển động của piston, chất khí không có thời gian trao đổi nhiệt với piston và xi lanh. 3. Trong xi lanh cách nhiệt thẳng đứng dưới piston

tủ lạnh có nhiệt độ $T_{2}$. Xác định công thu được trong mỗi chu kỳ nếu độ tăng entropy trong mỗi chu kỳ trong quá trình trao đổi nhiệt là $\Delta S$, và hiệu suất của máy là $\eta. 5.$ Xác định cường độ điện trường tại một điểm nằm trên trục Z có tọa độ z = a, nếu một phần của mặt phẳng XY giữa các nhánh của hyperbola $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ được tích điện với mật độ điện tích bề mặt $\sigma. 6.$ Xác định từ thông của vectơ cảm ứng từ trường qua các bề mặt bên gồm hai mạch phẳng giống hệt nhau có dòng điện I, quấn dưới dạng xoắn ốc một lớp có đường kính trong R, đường kính ngoài 2R và số vòng dây lớn N. Các mạch là đồng trục, khoảng cách giữa chúng là $\delta$ ≪ R và dòng điện trong chúng chạy ngược chiều nhau. 7. Một hình trụ dài có thành mỏng có độ dày d, bán kính R và chiều dài L được làm bằng vật liệu có độ dẫn điện $\sigma$ và nồng độ electron n và quay quanh trục của chính nó với vận tốc góc $\omega$ trong từ trường. Cảm ứng từ trường tại mọi điểm vuông góc với bề mặt của hình trụ và bằng V. Một hiệu điện thế U được đặt vào hai đầu của hình trụ thông qua các tiếp điểm trượt. Xác định dòng điện dọc theo trục của hình trụ. 8. Một hình trụ dẫn điện dài có thành mỏng có độ dày $\delta$, bán kính R và chiều dài L nằm trong một điện trường đều có cường độ E vuông góc với trục của nó. Hình trụ quay quanh trục của chính nó với vận tốc góc $\omega$. Xác định mômen của lực tác dụng lên hình trụ để duy trì chuyển động quay với vận tốc góc không đổi nếu hệ số dẫn điện của dây dẫn là $\gamma. 9.$ Bạn chỉ có tùy ý sử dụng phần ngoại vi của tấm vùng mà bạn không biết gì khác. Nếu chiếu sáng tấm bằng một chùm ánh sáng song song có bước sóng $\lambda$ thì chùm tia sẽ lệch một góc $\alpha$ và hội tụ tại một điểm cách tấm một khoảng l. Điều gì xảy ra nếu bạn chiếu sáng một tấm bằng một chùm ánh sáng có bước sóng $\Lambda$? Công bố do V. Golubev, M. Ykovlev chuẩn bị có một lượng heli nhất định ở nhiệt độ 200 K. Đầu tiên, một tải trọng được giữ phía trên pít-tông sao cho nó hầu như không chạm vào bề mặt của pít-tông, sau đó thả ra. Khi trạng thái cân bằng được thiết lập, trọng lượng ngay lập tức được lấy ra khỏi piston. Tìm nhiệt độ của khí sau khi hệ trở về trạng thái cân bằng. Khối lượng của tải bằng khối lượng của piston. Bỏ qua ma sát và truyền nhiệt; không có khí phía trên piston. 4. Trong một hình trụ thẳng đứng, cách nhiệt, đặt dưới pít-tông có một lượng khí heli nhất định ở nhiệt độ 300 K. Nhiệt độ nhanh chóng (do đó pít-tông không có thời gian chuyển động) tăng lên 350 K. Chiều cao của pít-tông tính từ đáy xi-lanh sẽ tăng lên bao nhiêu phần trăm sau khi hệ đạt trạng thái cân bằng? Không có khí phía trên piston. 5. Một khối khí lý tưởng đơn nguyên tử nằm trong một xi lanh cách nhiệt dưới một piston không trọng lượng. Ban đầu, piston được cố định và nối với đáy xi lanh bằng một lò xo không biến dạng. Sau khi nhả piston và hệ cân bằng thì thể tích khí tăng gấp 4 lần. Áp lực của anh ấy đã giảm bao nhiêu lần? Bỏ qua ma sát và truyền nhiệt; không có khí phía trên piston.