Kvant 2010, số 4 · Trang

1

2010

©

THÁNG BẢY

TUYỆT VỜI NAM

KHOA HỌC PHỔ BIẾN

№4

VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TẠP CHÍ

XUẤT BẢN TỪ THÁNG 1 NĂM 1970

Trong phòng:

4 11

Người sáng lập - Viện Hàn lâm Khoa học Nga Nhà xuất bản - LLC NPP OO “Cục Lượng tử”

TỔNG BIÊN TẬP

V.V. Kozlov

PHÓ TỔNG BIÊN TẬP THỨ NHẤT

19 20

A.Ya.Belov, Yu.M.Bruk, A.A.Varlamov, A.N.Vilenkin, V.I.Golubev, S.A.Gordyunin, N.P.Dolbilin (phó tổng biên tập), V.N.Dubrovsky, A.A.Egorov, A.V.Zhukov, A.R.Zilberman, P.A.Kozhevnikov, S.P.Konovalov, A.A.Leonovich, Yu.P.Lysov, V.V.Proizvolov, N.H.Rozov, A.B.Sosinsky, A.L.Stasenko, V.G.Surdin, V.M.Tikhomirova, V.A.Tikhomirova, V.M.Uroev, A.I.Chernoutsan (phó giám đốc)

VẤN ĐỀ LƯỢNG TỬ Bài toán M2184–M2190, F2190–F2197 Lời giải bài toán M2161–M2168, F2177–F2181

27 28 28 30

K M Sh Bài toán Cuộc thi được đặt theo tên của A.P. Savin Dây “Toán học 6–8” từ một trang web. D. Bagrov Người chiến thắng trong cuộc thi mang tên A.P. Savin “Toán học 6–8” năm học 2009/10

31

TRƯỜNG TRONG “LƯỢNG TỬ” Điểm tam giác và lượng giác tuyệt vời. G. Filippovsky

S.S. Krotov

BAN BIÊN TẬP

Hai lớp học của câu lạc bộ trường Đại học quốc gia Moscow. W. Arnold Quan sát khí tượng: phân bố theo không gian và thời gian (tiếp theo). V.Gardin

32

36

KALEIDOSCOPE “QUANTA” Bình phương hình vuông

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA” Về sự trôi nổi của các vật thể một chiều. M. Davletshin, V. Solovyov, F. Strelnikov, E. Yunosov biên tập viên)

BAN BIÊN TẬP

A.V.Andzhans, M.I.Bashmkov, V.I.Bernik, V.G.Boltyansky, A.A.Borovoy, N.N.Konstantinov, G.L.Kotkin, S.P.Novikov, L.D.Faddeev

BAN BIÊN TẬP 1970

TỔNG BIÊN TẬP

I.K.Kikoin

39

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC Cuộc hành trình dài của nhà vua. N. Belukhov

42

ỨNG DỤNG THỰC HÀNH Bài toán về phương trình mômen lực. A. Chernoutsan

47 48 51

OLYMPIADS XXXI Giải đấu các thành phố LXXIII Olympic Toán học Moscow được chọn bài toán Olympic Vật lý Moscow

55

Đáp số, gợi ý, lời giải

PHÓ TỔNG BIÊN TẬP THỨ NHẤT

Tưởng nhớ V.I.Arnold (2)

MỘT. Kolmogorov

L.A. Artsimovich, M.I. Bashmkov, V.G. Boltyansky, I.N. Bronshtein, N.B. Vasiliev, I.F. Ginzburg, V.G. Zubov, P.L. Kapitsa, V.A. Kirillin, G.I. Kosourov, V.A. Leshkovtsev, V.P. Lishevsky, A.I. Markushevich, MD Millionshchikov, N.A. Patrikeeva, N.H. Rozov, A.P. Savin, I.Sh. Slobodetsky, M.L. Smolyansky, Ya.A. Smorodinsky, V.A. Nhà chế tạo, Ya.E. Schneider

TRÊN BÌA

I II III IV

Hình P.I. Chernusky Bộ sưu tập câu đố Trang cờ vua Đi bộ với vật lý

Thương hiệu “Tạp chí «Kvant»” là tài sản của LLC NPP OO “Cục Lượng tử” © 2010, RAS, tạp chí «Kvant»

3

Người theo dõi hóa ra là sinh viên năm thứ ba Arnold. Và vào tháng 4 năm 1957, cuốn sổ ghi chép của một học sinh trong lồng nằm trên bàn của Kolmogorov, trên đó viết rằng đây là bài tập của sinh viên năm thứ ba V. Arnold. Trong khóa học này, bài toán thứ mười ba của Hilbert đã được giải. Đây là tác phẩm đầu tiên của Arnold, giúp tên tuổi của ông được cả thế giới toán học biết đến. Và sau đó một loạt khám phá bắt đầu, việc liệt kê chúng sẽ mất vài trang. Trong luận án của mình, Arnold đã phát triển thêm một phương pháp Kolmogorov trong lý thuyết hệ động lực. Phương pháp này được phát triển thêm trong các công trình của nhà toán học xuất sắc Jürgen Moser. Lý thuyết do ba nhà toán học này xây dựng được gọi là “lý thuyết KAM” - lý thuyết Kolmogorov–Arnold–Moser. Nó đã tìm thấy nhiều ứng dụng trong toán học, cơ học, vũ trụ học và vật lý. Arnold đã biến đổi toàn bộ lĩnh vực toán học. Ví dụ: “lý thuyết về điểm kỳ dị”. Trong triết học, từ lâu đã có quan điểm cho rằng “với sự chuyển đổi từ số lượng sang chất lượng”, các quá trình tiến hóa thường có những bước nhảy vọt. “Lý thuyết về các cuộc cách mạng” phần lớn được xây dựng dựa trên điều này. Các quá trình nhảy bắt đầu được nghiên cứu chuyên sâu vào đầu thế kỷ XX. Một trong những người sáng lập ra hướng đi mới, nhà toán học người Pháp Rene Thom, đã đề xuất cái tên “thuyết thảm họa” cho nó. Trong các tác phẩm của Arnold, lý thuyết này đã nhận được sự phát triển vượt trội. Luôn tránh những quảng cáo không chính đáng, V.I. Arnold gọi hướng đi này là “lý thuyết về điểm kỳ dị”. Arnold đã phát triển rất xa một nhánh đặc biệt của hình học hiện đại, được gọi là hình học đối xứng, và đặt nền móng cho một hướng mới trong cấu trúc liên kết, nhận được sự phát triển cơ bản - cấu trúc liên kết đối xứng. Đóng góp của Arnold cho hình học đại số là rất đáng kể. Ông đã thiết lập mối liên hệ giữa bài toán thứ mười sáu của Hilbert về hình bầu dục của các đường cong đại số thực và cấu trúc liên kết bốn chiều, cũng như mối liên hệ giữa hình học đại số và lý thuyết bện. Vladimir Igorevich là một nhà hình học xuất sắc, ông nghiên cứu đại số và lý thuyết số, tổ hợp, logic và nền tảng của toán học, nói một cách dễ hiểu, công việc của ông bao trùm hầu hết các lĩnh vực của toán học hiện đại. Những thành tựu của ông trong khoa học tự nhiên rất lớn - về thủy động lực học, vũ trụ học, lý thuyết thế năng. Ông đã có những mối liên hệ hiệu quả với những nhà vật lý vĩ đại nhất trong thời đại của mình - N.N. Bogolyubov, V.L. Ginzburg, Ya.B. Zeldovich. Với niềm đam mê và niềm tin, V.I. Arnold đã phát triển và truyền bá ý tưởng của Poincaré rằng toán học là một phần của khoa học tự nhiên. Arnold phục vụ nghề nghiệp và học vấn của mình trong mọi lĩnh vực có thể. Ông đã thành lập một trường khoa học toán học xuất sắc, viết nhiều sách giáo khoa hay (sách giáo khoa về cơ học cổ điển của ông được so sánh với tác phẩm vĩ đại nhất của văn học khoa học - “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” của Newton, các chuyên khảo và các bài báo đánh giá về các vấn đề toán học. Bắt đầu với sự lãnh đạo của giới toán học trường học nổi tiếng vào những năm 50 (bạn có thể đọc về những gì đã xảy ra trong phần vòng tròn này mà ông đứng đầu trong bài báo của Arnold đăng trên tạp chí này), VI Arnold rất chú trọng đến việc trực tiếp làm việc với học sinh. Năm 1963, ông tham gia vào trường toán mùa hè đầu tiên, và trong mười năm qua hàng năm ông đều học ở trường này.

trường thanh thiếu niên ở Dubna. Khóa học do Vladimir Igorevich giảng dạy cho những sinh viên tốt nghiệp đầu tiên của Trường Vật lý và Cơ học (nay là Trung tâm Nghiên cứu Khoa học A.N. Kolmogorov) đã trở thành một kiệt tác sư phạm. Theo sáng kiến ​​của V.I. Arnold, Trung tâm Giáo dục Toán học thường xuyên Matxcova và Đại học Độc lập Mátxcơva được thành lập. Ảnh hưởng của V.I. Arnold trên toàn bộ thế giới toán học là rất lớn. V.I. Arnold đã được trao nhiều danh hiệu, bằng tiến sĩ và giải thưởng. Trong số các giải thưởng có Giải thưởng của Hội Toán học Moscow (1958, trong đó Vladimir Igorevich đặc biệt tự hào), Giải Lenin (1965, cùng với A.N. Kolmogorov), Giải Crafoord của Viện Hàn lâm Khoa học Thụy Điển (1982), Giải Technion Harvey (1994), Giải Wolf (2001), Giải Rhun Zhunshou (2005) (còn gọi là Giải Nobel Phương Đông), Giải thưởng Nhà nước của Liên bang Nga (2008). Tài năng chung trong tính cách của anh ấy được thể hiện ở những phản ứng và sở thích đa dạng nhất của anh ấy. Anh ta là một hướng dẫn viên hào hoa khác thường đến Paris. Anh ấy đã đi xe đạp dài (khoảng một trăm km) ở vùng Moscow và ngoại ô Paris. Đồng thời, ông cũng tiến hành khảo sát địa hình tại đây, ghi lại những nơi có những khoảng trống trồng nấm, cây me chua hoặc dâu tây, hoặc những bụi cây mâm xôi. Và khi thời cơ đến, anh khởi hành bốn mươi cây số từ nhà đến những nơi đã chọn với chiếc ba lô chứa đầy “quà rừng”. Vào mùa đông, Arnold đi trượt tuyết, có khi lên tới cả trăm km. Anh ấy cũng thích những chuyến đi dài và đi bộ đường dài, kể cả trên núi. Anh ấy đọc rất nhiều và nhớ chi tiết rất nhiều những gì anh ấy đọc, điều này khiến anh ấy trở thành một người đối thoại thú vị lạ thường, và trong số những người đối thoại của anh ấy có những nhà khoa học vĩ đại nhất của thời đại chúng ta. Trên đường đi, ông cũng có những khám phá mang tính nhân đạo (việc ông phát hiện ra mối liên hệ giữa đoạn văn với “Eugene Onegin” của Pushkin và văn bản trong “Những mối liên hệ nguy hiểm” của Charles de Laclos đã gây ra sự thích thú chung). Arnold đã để lại nhiều ghi chú tự truyện đáng chú ý mà tôi nghĩ chỉ chiếm một phần nhỏ những gì lẽ ra có thể nói với ông. Ông đã viết những cuốn hồi ký tuyệt vời về Kolmogorov, Zeldovich, Bogolyubov. Thầy giáo của Arnold, Andrei Nikolaevich Kolmogorov, đã miêu tả một cách tuyệt vời, vượt thời gian về Arnold trong lời chúc mừng sinh nhật lần thứ 50 của ông. Vào thời điểm Arnold chưa có những danh hiệu học thuật lớn, Kolmogorov bày tỏ “niềm tin của ông rằng nhà toán học Liên Xô đầu tiên được tôn vinh không chỉ bởi sức mạnh của những kết quả đạt được mà còn bởi khí chất của cá nhân, bởi khả năng nhận thức những điều mới và lòng dũng cảm vượt qua trở ngại”. Thông điệp từ giáo viên gửi đến học sinh mô tả một cách đáng ngạc nhiên cả hai: Vladimir Igorevich, người có tính cách và công việc nhận được đánh giá nhiệt tình và sâu sắc như vậy, và bản thân Andrei Nikolaevich, người sắp chết nhưng vẫn giữ được sự hào phóng về tinh thần và khả năng ngưỡng mộ. Tin nhắn này không được coi là lời chia tay. Đây là một phước lành! Vladimir Igorevich Arnold bắt đầu hành trình đi đến sự bất tử. Mọi thứ liên quan đến anh ấy - tài năng cá nhân phi thường, sự sáng tạo, sự phục vụ nhân loại - khiến hình ảnh của anh ấy không thể nào quên đối với tất cả những ai may mắn được tiếp xúc với anh ấy trên đường đời của họ. V. Tikhomirov

18

KVANT 2010/№4

Hình11. Tính dị hướng của trường nhiệt độ tháng Giêng. Hướng của đoạn biểu thị hướng có mối tương quan lớn nhất của trường nhiệt độ tùy thuộc vào vĩ độ và độ cao (trung bình theo kinh độ). Vị trí nằm ngang của đoạn có nghĩa là mối tương quan mạnh hơn dọc theo đường song song và vị trí thẳng đứng có nghĩa là nó mạnh hơn dọc theo kinh tuyến. Đoạn càng dài thì tính dị hướng a của hàm tương quan càng lớn. Có thể thấy cực đại a nằm ở tầng bình lưu nhiệt đới

ít hơn nhiều lần so với việc xác định hàm K phụ thuộc vào hai đối số vectơ. Tính đẳng hướng chỉ có thể được giả định từ các biến nằm ngang. Giả thuyết thống kê đơn giản về tính đồng nhất và đẳng hướng theo chiều ngang đã được sử dụng trong khí tượng học trong khoảng nửa thế kỷ. Tuy nhiên, việc tích lũy kho lưu trữ các phép đo khí tượng, sự phát triển của khả năng tính toán và sự phát triển của các thuật toán tính toán mới đã dẫn đến việc sửa đổi nó. Hóa ra, tính dị hướng trong các biến theo chiều ngang, chẳng hạn như nhiệt độ, được biểu hiện đáng kể ở vùng nhiệt đới (hình11). Thuật toán nội suy thống kê, có tính đến tính bất đẳng hướng của trường nội suy, phức tạp hơn một chút so với phiên bản đẳng hướng.

Phần kết luận

Hãy thả bánh mì của bạn xuống nước, vì sau nhiều ngày bạn sẽ tìm thấy nó. truyền đạo

Khối lượng lớn thông tin khí tượng đòi hỏi các thuật toán đồng hóa tính toán đầy đủ. Chất lượng của sản phẩm được xác định bởi chất lượng của chính các thuật toán và độ chính xác, phạm vi và khối lượng của phép đo cũng như sức mạnh của máy tính. Kết quả là, cả dự báo thời tiết bằng số và sự hiểu biết của chúng ta về khí hậu hành tinh đều được cải thiện. trong tôi

Đổi lại, kiến ​​thức về các trường hàm trung bình và hàm tương quan của các trường khí tượng giúp có thể gỡ lỗi các mô hình khí hậu số, vốn khá phổ biến trong những thập kỷ gần đây. Cho đến khi các hàm tương quan do các mô hình này tạo ra gần với các hàm tương quan thực sự được ước tính từ các kho lưu trữ quan sát, thì các mô hình như vậy sẽ không đáng tin cậy. Bài viết này không thể giải thích chính xác cách sử dụng dữ liệu quan sát hàng ngày $^{24}$ để dự báo thời tiết: những phương trình vi phân tiến hóa thuộc loại thủy động lực học nào được giải, chúng mô tả những quá trình vật lý nào, những thuật toán tính toán nào được sử dụng. Điều này đòi hỏi một cuốn sách riêng và sự chuẩn bị toán học tốt của người đọc. Dự báo thời tiết bằng số đầu tiên được thực hiện bởi Scot L. Richardson khoảng một thế kỷ trước. Các nhân viên máy tính được trang bị các quy tắc trượt. Công việc tính toán dự báo thời tiết lúc 6 giờ ở châu Âu kéo dài vài năm và dẫn đến một dự báo sai lầm nghiêm trọng. Một phần tư thế kỷ nữa đòi hỏi phải “sửa chữa những sai lầm của Richardson”, trong đó cả các nhà toán học (R. Courant, K. Friedrichs, G. Levy) và “các nhà toán học thiên về khí tượng học” (G. Rossby, I. A. Kibel) đều tham gia. Khi các nhà khoa học (và máy tính của họ) có thời gian rảnh ở Los Alamos sau khi chế tạo bom nguyên tử, họ nhận nhiệm vụ dự báo thời tiết. Trong sáu mươi năm qua, chất lượng dự báo đã được cải thiện đều đặn. Nhân loại đã bắt đầu tận hưởng thành quả của sự đầu tư kéo dài hàng thế kỷ vào khí tượng học. Nhưng đó lại là một câu chuyện khác…

Văn học

1. O.A. Aldukhov, V.A. Chúa ơi. Hàm tương quan ba chiều của các đại lượng khí học chính. – “Izvestia của Viện Hàn lâm Khoa học Nga”, loạt bài “Vật lý Khí quyển và Đại dương”, 2001, 37(1). 2. O.A. Aldukhov, V.A. Chúa ơi. Ước tính tính dị hướng của cấu trúc tương quan của các trường đại lượng khí tượng dựa trên các quan sát của mạng lưới hàng không toàn cầu. – “Izvestia của Viện Hàn lâm Khoa học Nga”, loạt bài “Vật lý Khí quyển và Đại dương”, 2005, 41(3). 3. A.I.Bedritsky, E.P.Borisenkov, A.S.Korovchenko, V.M.Pasetsky. Tiểu luận về lịch sử của Cơ quan Khí tượng Thủy văn ở Nga, tập 1. – St. Petersburg: Gidrometeoizdat, 1997. 4. V.A. Chúa ơi. Thuật toán “Coulomb” để chọn các trạm ảnh hưởng. – “Khí tượng Thủy văn”, 2003, số 12. 5. V.A. Godin Làm thế nào để tính toán điều này? Xử lý thông tin khí tượng trên máy tính. – M.: MTsNMO, 2005. 6. V.A. Chúa ơi. Toán học, máy tính, dự báo thời tiết và các kịch bản vật lý toán học khác. – M.: Fizmatlit, 2010. 7. A.Kh.Khrgian. Các tiểu luận về sự phát triển của khí tượng học. – L.: Gidrometeoizdat, 1959.

24 Chúng ta không chỉ cần quan sát khí tượng mà còn cần quan sát suất phản chiếu bề mặt, đại dương và sông ngòi cũng như các đặc tính của lá và rễ cây, giống như đất, bốc hơi và hấp thụ độ ẩm. Nếu không, sẽ không thể dự báo chính xác hơn. “Càng vào rừng, càng nhiều củi…”

19

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 11 năm 2010 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 4–2010” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2184” hoặc “F2190”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng là [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2184–M2186, M2188–M2190 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXXI. Bài toán F2195 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLIV dành cho học sinh môn vật lý.

Bài toán M2184–M2190, F2190–F2197

M2184. Sau đây đã biết về hàm f(x): bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng tọa độ đều có số điểm chung với đồ thị y = f(x) như với parabol $y = x^{2}$. Chứng minh rằng hàm f(x) bằng $x^{2}$. A. Shapovalov

M2185. Cho một số tự nhiên $n \ge 5$. Người ta biết về kim tự tháp $SA_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ rằng đáy của nó $A_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ là một n-giác đều và tất cả các mặt bên đều là tam giác cân (không nhất thiết phải có đỉnh S). Kim tự tháp này có nhất thiết phải đúng không? G. Galperin

M2186. Nam tước Munchausen yêu cầu nghĩ ra một đa thức P(x) không cố định với các hệ số nguyên không âm và chỉ cho ông ta biết các giá trị của P(2) và P(P(2)). Baron tuyên bố rằng ông luôn có thể xây dựng lại đa thức mong muốn chỉ từ những dữ liệu này. Nam tước có nhầm không? S.Markelov

M2187. Trong tam giác nhọn ABC, các đường cao $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng $A_{1} C_{1}$ và AC cắt nhau tại điểm D. Chứng minh đường thẳng DH vuông góc với đường trung tuyến vẽ từ đỉnh B. S. Ilyasov (học sinh lớp 8, Almaty)

M2188. Chiếc kim nằm trên mặt phẳng. Được phép xoay kim $45^\circ$ xung quanh bất kỳ đầu nào của nó. Liệu bằng cách thực hiện nhiều lượt như vậy, có thể đạt được

để chiếc kim trở về vị trí ban đầu nhưng đồng thời hai đầu của nó bị tráo đổi? A. Gribalko

M2189. Ba mươi ba anh hùng cưỡi ngựa dọc theo đường vành đai ngược chiều kim đồng hồ. Liệu họ có thể lái xe vô thời hạn với nhiều tốc độ không đổi khác nhau nếu chỉ có một điểm trên đường mà các anh hùng có cơ hội vượt nhau? A. Klyachko, E. Frenkel

M2190. Một số tự nhiên được cho. Bạn được phép đặt dấu cộng giữa các chữ số của số một cách tùy ý và tính tổng (ví dụ: từ số 123456789 bạn có thể nhận được 12345 + 6 + 789 = 13140). Với số kết quả, một hoạt động tương tự lại được phép, v.v. Chứng minh rằng từ bất kỳ số nào bạn cũng có thể nhận được một chữ số bằng cách thực hiện không quá 10 phép tính như vậy. A.Tolpygo

F2190. Một hòn đá được ném với vận tốc ban đầu $v_{0} = = 40$ m/s theo góc $\alpha = 30 ^\circ$ so với phương ngang. Tìm vận tốc góc quay cực đại của vectơ vận tốc của hòn đá trong quá trình bay tự do. A.Kamnev

F2191. Trên một chiếc bàn nằm ngang nhẵn có một thanh đèn, ở hai đầu của thanh đèn được buộc những đoạn dây nhẹ ngắn, không giãn (hình1). Để miễn phí

Hình 1

27

KMS

Bài toán

1

. Nam tước Munchausen cho rằng có ba số tự nhiên a, b, c có tính chất sau: cả a và b đều không chia hết cho c nhưng ab chia hết cho $c^{2}$. Nam tước có nhầm không? Văn hóa dân gian

Vasya trong một phút nữa? (Mỗi người chạy với tốc độ không đổi.) S. Dorichenko

4

. Khi vào một cửa hàng nội thất, cuộc đối thoại sau đây diễn ra giữa khách hàng (K) và người bán (P1), (P2): (K) Chiếc ghế sofa này giá bao nhiêu? (P1) 60.000 rúp. (K) Tại sao nó lại đắt như vậy? (P2) Đừng ngạc nhiên, người bán hàng này đã thổi phồng tất cả các con số lên gấp 3 lần! (K) Ừ, vậy ghế sofa rẻ hơn nhiều à? (P1) Đối tác của tôi đã nói thế này? Vậy là anh ta đã đánh giá thấp tất cả các con số tới 12 lần!

2

. Mười tám que diêm nằm trên một mặt phẳng tạo thành chín hình tam giác đều không chồng lên nhau. Có thể sắp xếp lại các que diêm để tạo thành mười hình tam giác đều không chồng lên nhau (không nhất thiết phải giống hệt nhau) không? N. Avilov

Một chiếc ghế sofa thực sự có giá bao nhiêu nếu người bán, khi đưa ra các con số, thay đổi chúng theo số lần riêng của họ, nhưng nếu không thì lại nói sự thật? I. Ivanov

5

Minh họa của D. Grishukova

3

. Có hai con đường thẳng song song trong công viên cách nhau ba mét. Petya và Vasya chạy cùng lúc, mỗi người đi theo con đường riêng của mình, về cùng một hướng. Lúc đầu, khoảng cách giữa các chàng trai là ba mét, sau một phút đã tăng lên bảy mét. Khoảng cách giữa Petya và

. Kế hoạch cho thấy một đường cao tốc từ đó có nhiều con đường dẫn đến các làng. Trạm dừng xe buýt nên đặt ở đâu trên đường cao tốc sao cho tổng khoảng cách từ trạm đó đến tất cả các thôn (theo đường bộ và đường cao tốc) là ngắn nhất? A.Anjans

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

28

KVANT 2010/№4

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán phải được gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: [email protected] (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ điền tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

1. Có 10 số tự nhiên khác nhau, không có số nào là bình phương của một số nguyên, có tính chất: a) Tích của hai số bất kỳ trong số đó là bình phương của một số nguyên; b) Tích của ba số bất kỳ là bình phương của một số nguyên? S. Dorichenko

2. Hình dạng tổ ong là sự kết hợp của ba hình lục giác đều bằng nhau. Cắt hình này thành ba phần bằng nhau và gấp chúng thành một hình lục giác đều. N. Avilov

3. Họa sĩ tắc kè hoa di chuyển trên bàn cờ như một quân cờ bình thường. Khi ở ô tiếp theo, anh ta sơn lại ô đó theo màu của nó hoặc sơn lại ô đó bằng màu của chính mình. Một họa sĩ tắc kè hoa màu trắng được đặt trên một tấm bảng đen có kích thước $8 \times 8$ ô. Bé có thể tô màu nó theo hình bàn cờ không? Văn hóa dân gian

4. Trong tam giác vuông, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với một trong các đường giữa. Chứng minh rằng độ dài các cạnh của tam giác này tỉ lệ 3:4:5. R.Gardin

5. Trong một số là lũy thừa tự nhiên của hai, các chữ số đã được sắp xếp lại. Số kết quả có thể là lũy thừa tự nhiên lớn hơn của hai không? Văn hóa dân gian

Dây mạng

D.BAGROV

MỌI NGƯỜI CÓ THỂ DỄ DÀNG BỎ MỘT MẠNG TREO giữa cành cây hoặc dưới trần nhà ở góc xa của căn phòng. Nhưng ít người biết rằng nếu tấm lưới có đường kính 1 mm thì có thể chịu được tải trọng xấp xỉ 200 kg. Dây thép có cùng đường kính có thể chịu được lực nhỏ hơn đáng kể: 30–100 kg, tùy thuộc vào loại thép. Tại sao web lại có những đặc tính đặc biệt như vậy? Một số con nhện quay tới bảy loại sợi, mỗi loại có mục đích riêng. Sợi chỉ có thể được sử dụng không chỉ để bắt con mồi mà còn để xây kén và nhảy dù (bằng cách cất cánh theo chiều gió, nhện có thể thoát khỏi mối đe dọa bất ngờ và nhện non lây lan sang các lãnh thổ mới theo cách này). Mỗi loại web được tạo ra bởi các tuyến đặc biệt. Lưới dùng để bắt con mồi bao gồm một số loại sợi (hình1): khung, xuyên tâm, bắt và phụ trợ. Mối quan tâm lớn nhất của các nhà khoa học là sợi thân thịt: nó vừa có độ bền cao vừa có độ đàn hồi cao - chính sự kết hợp các đặc tính này là độc nhất. Độ bền kéo tối đa của sợi khung của loài nhện Araneus diadematus là 1,1–2,7 GPa. Để so sánh: giới hạn

29

ĐẾN

Hình1. Các luồng khác nhau trên web: luồng khung là luồng mạnh nhất, nó giữ toàn bộ trang web lại với nhau; sợi xuyên tâm mỏng và không dính, nó hỗ trợ sợi bắt dính; xoắn ốc phụ trợ giúp định vị sợi bắt

độ bền của thép là 0,4–1,5 GPa, tóc người $\sim 0,25$ GPa. Đồng thời, sợi khung có thể giãn ra 30–35% và hầu hết các kim loại có thể chịu được biến dạng không quá 10–20%. Hãy tưởng tượng một con côn trùng đang bay va vào một tấm mạng căng. Trong trường hợp này, sợi tơ phải căng ra để động năng của côn trùng bay chuyển thành nhiệt. Nếu mạng lưu trữ năng lượng nhận được dưới dạng năng lượng biến dạng đàn hồi thì côn trùng sẽ bật ra khỏi mạng giống như bật ra khỏi tấm bạt lò xo. Một đặc tính quan trọng của mạng nhện là chúng tạo ra một lượng nhiệt rất lớn khi bị kéo căng rồi co lại nhanh chóng: năng lượng giải phóng trên một đơn vị thể tích lớn hơn 150 MJ $м^{3}$ (thép phóng ra $\sim 6$ MJ $м^{3} ).$ Điều này cho phép mạng tiêu tán năng lượng va chạm một cách hiệu quả và không giãn quá nhiều khi nạn nhân bị vướng vào đó. Mạng nhện hoặc polyme có đặc tính tương tự, có thể trở thành vật liệu lý tưởng để chế tạo áo giáp hạng nhẹ. Trong y học dân gian, có Một công thức như vậy: để cầm máu, bạn có thể dùng mạng nhện, cẩn thận loại bỏ côn trùng và cành cây nhỏ mắc kẹt trong đó. Hóa ra mạng nhện có tác dụng cầm máu và đẩy nhanh quá trình chữa lành vùng da bị tổn thương. Chúng ta đã quen với thực tế là các phân tử là những vật thể cực kỳ nhỏ. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng: các polyme có các phân tử dài bao gồm các đơn vị giống hệt nhau hoặc tương tự nhau phổ biến xung quanh chúng ta.

M

Sh

Ví dụ: khối lượng của một phân tử DNA ở người vào khoảng $1,9 \cdot 10^{12}$ amu. (tuy nhiên, con số này gấp khoảng một trăm tỷ lần so với khối lượng của một phân tử nước), chiều dài của mỗi phân tử là vài cm và tổng chiều dài của tất cả các phân tử DNA của con người đạt tới $10^{11}$ km. Lớp polyme tự nhiên quan trọng nhất là protein; chúng bao gồm các đơn vị gọi là axit amin. Các protein khác nhau thực hiện các chức năng cực kỳ khác nhau trong các sinh vật sống: chúng kiểm soát các phản ứng hóa học, được sử dụng làm vật liệu xây dựng, để bảo vệ, v.v. Sợi chỉ của mạng bao gồm hai protein, được gọi là spidroin 1 và 2 (từ loài nhện Anh). Spidroin là những phân tử dài có khối lượng từ 120.000 đến 720.000 amu. Trình tự axit amin của spidroin có thể khác nhau giữa các loài nhện, nhưng tất cả các spidroin đều có những đặc điểm chung. Nếu bạn tưởng tượng kéo dài một phân tử spidroin dài theo một đường thẳng và nhìn vào trình tự các axit amin, thì hóa ra nó bao gồm các phần lặp lại tương tự nhau (hình2). Hai loại vùng xen kẽ nhau trong phân tử: tương đối ưa nước (những vùng có lợi thế về mặt năng lượng khi tiếp xúc với các phân tử nước) và tương đối kỵ nước (những vùng tránh tiếp xúc với nước). Ở phần cuối của mỗi phân tử có hai vùng ưa nước không lặp lại và vùng kỵ nước bao gồm nhiều đoạn lặp lại của một axit amin gọi là alanine. Một phân tử dài (ví dụ, protein, DNA, polyme tổng hợp) có thể được coi như một sợi dây nhàu nát, rối rắm. Việc kéo dài nó không khó vì các vòng bên trong phân tử có thể duỗi thẳng ra mà không cần tốn nhiều công sức. Một số polyme (chẳng hạn như cao su) có thể kéo dài tới 500% chiều dài ban đầu của chúng. Vì vậy khả năng mạng nhện (một vật liệu được tạo thành từ các phân tử dài) biến dạng hơn kim loại là không có gì đáng ngạc nhiên. Sức mạnh của web đến từ đâu? Để hiểu được điều này, điều quan trọng là phải theo dõi quá trình hình thành sợi chỉ. Bên trong tuyến nhện, spidroin tích tụ dưới dạng dung dịch đậm đặc. Khi hình thành sợi, dung dịch này thoát ra khỏi tuyến qua một kênh hẹp, điều này giúp kéo căng các phân tử và định hướng chúng theo hướng bị kéo căng, đồng thời những thay đổi hóa học tương ứng khiến các phân tử dính lại với nhau. Các mảnh phân tử bao gồm alanine liên kết với nhau và tạo thành một cấu trúc có trật tự tương tự như

Hình2. Phân tử Spidroin và mô hình vị trí của nó trong sợi

30

KVANT 2010/№4

Hình3. Protein mạng nhện tái tổ hợp có khả năng hình thành cấu trúc đặc biệt - sợi mỏng có đường kính 3-5 nm

pha lê (hình3). Bên trong cấu trúc như vậy, các mảnh được đặt song song với nhau và liên kết với nhau bằng liên kết hydro. Chính những khu vực này, được lồng vào nhau, sẽ tạo nên độ bền của sợi. Kích thước điển hình của các vùng phân tử dày đặc như vậy là vài nanomet. Các vùng ưa nước xung quanh chúng cuộn lại một cách ngẫu nhiên, tương tự như những sợi dây nhàu nát; chúng có thể duỗi thẳng ra và do đó đảm bảo độ giãn của mạng. Nhiều vật liệu composite, chẳng hạn như nhựa gia cố, được cấu tạo theo nguyên tắc giống như sợi của giàn giáo: trong một ma trận tương đối mềm và dẻo, cho phép biến dạng, có những vùng cứng nhỏ làm cho vật liệu trở nên chắc chắn. Mặc dù các nhà khoa học vật liệu đã làm việc với các hệ thống tương tự trong một thời gian dài, nhưng vật liệu tổng hợp nhân tạo chỉ mới bắt đầu tiếp cận mạng nhện về đặc tính của chúng. Điều tò mò là khi tấm màng bị ướt, nó co lại rất nhiều (hiện tượng này gọi là siêu co).

ý kiến). Điều này xảy ra do các phân tử nước xâm nhập vào sợi và làm cho các vùng ưa nước bị rối loạn trở nên di động hơn. Nếu mạng bị giãn và chùng xuống do côn trùng thì vào ngày ẩm ướt hoặc mưa, mạng sẽ co lại, đồng thời khôi phục lại hình dạng. Chúng ta cũng hãy lưu ý một đặc điểm thú vị của sự hình thành sợi chỉ. Con nhện mở rộng mạng dưới tác động của trọng lượng của chính nó, nhưng mạng thu được (đường kính sợi khoảng 1–10 μm) thường có thể chịu được khối lượng gấp sáu lần khối lượng của chính con nhện. Nếu bạn tăng trọng lượng của con nhện bằng cách quay nó trong máy ly tâm, nó sẽ bắt đầu tiết ra một mạng lưới dày hơn và bền hơn nhưng kém cứng hơn. Khi nói đến việc sử dụng mạng nhện, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để có được nó với số lượng công nghiệp. Trên thế giới có những thiết bị lắp đặt dành cho nhện “vắt sữa”, chúng kéo sợi và cuộn chúng trên các ống cuộn đặc biệt. Tuy nhiên, phương pháp này không hiệu quả: để tích lũy 500 g mạng cần có 27 nghìn con nhện cỡ trung bình. Và ở đây công nghệ sinh học đã hỗ trợ các nhà nghiên cứu. Công nghệ hiện đại có thể đưa các gen mã hóa protein mạng nhện vào nhiều sinh vật sống khác nhau, chẳng hạn như vi khuẩn hoặc nấm men. Những sinh vật biến đổi gen này trở thành nguồn của mạng lưới nhân tạo. Protein được tạo ra bằng kỹ thuật di truyền được gọi là tái tổ hợp. Lưu ý rằng các spidroin tái tổ hợp thường nhỏ hơn nhiều so với các spidroin tự nhiên, nhưng cấu trúc của phân tử (các vùng ưa nước và kỵ nước xen kẽ) vẫn không thay đổi. Người ta tin rằng web nhân tạo sẽ không thua kém về đặc tính so với web tự nhiên và sẽ tìm thấy ứng dụng thực tế của nó như một vật liệu bền và thân thiện với môi trường. Ở Nga, một số nhóm khoa học từ nhiều viện nghiên cứu khác nhau đang cùng nhau nghiên cứu các đặc tính của trang web. Việc sản xuất mạng nhện tái tổ hợp được thực hiện tại Viện Nghiên cứu Di truyền và Tuyển chọn Vi sinh vật Công nghiệp Nhà nước, các tính chất vật lý và hóa học của protein được nghiên cứu tại Khoa Kỹ thuật Sinh học thuộc Khoa Sinh học của M.V. Đại học quốc gia Lomonosov Moscow, các sản phẩm từ protein mạng nhện được hình thành tại Viện Hóa học hữu cơ sinh học của Viện Hàn lâm Khoa học Nga, các ứng dụng y tế của chúng được nghiên cứu tại Viện Cấy ghép và Nội tạng Nhân tạo.

Người chiến thắng cuộc thi mang tên A.P. Savin “Toán học 6-8” năm học 2009/10

Kết quả tốt nhất trong cuộc thi thuộc về cậu học sinh Daniel Ling, Beer Sheva (Israel) và các câu lạc bộ: Lyceum 14, Tambov, thủ lĩnh A.V. Burmistrova, “Signum”, Moscow, lãnh đạo S.A. Ivanov.

Ban giám khảo cuộc thi cũng ghi nhận thành tích tốt của các em học sinh: Nikita Alexandrov, Naberezhnye Chelny, gymnasium 26, Bakina Mikhail, Chelyabinsk, gymnasium 93 và các câu lạc bộ: Lyceum 130, Novosibirsk, trưởng L.N. Chusovitin, Trung tâm Giáo dục Toán học Bổ sung, Kurgan, người đứng đầu E.G. Pushkareva, O.I. Yuzhkov, “Eureka”, Kharkov, đứng đầu E.L.Arinkina, A.L.Bernstein.

Những người chiến thắng cuộc thi sẽ được trao tặng DVD - kho lưu trữ điện tử của tạp chí «Kvant» từ năm 1970 đến năm 2008.

38

KVANT 2010/№4

Sau đó, bạn chỉ cần tăng mật độ của nước lên hơn 0,02% một chút và cây gậy sẽ chuyển sang vị trí nằm ngang. Hãy nhớ lại rằng mật độ của nước biển là 1,03 g $см^{3}$, lớn hơn 3% so với mật độ của nước ngọt. Điều này có nghĩa là việc đạt được sự gia tăng mật độ của nước chỉ vài phần trăm phần trăm dường như không phải là một nhiệm vụ khó khăn - bạn chỉ cần thêm muối vào nước! Hiệu ứng này được quan sát một cách đáng tin cậy và bạn có thể dễ dàng lặp lại nó. Bây giờ hãy mô tả thí nghiệm. Chúng tôi sử dụng lọ thủy tinh nửa lít làm bình đựng và nước máy làm chất lỏng. Chúng tôi đã làm xong một cây gậy; mật độ trung bình của nó càng gần với mật độ của nước ngọt càng tốt. Trọng tâm của thanh được dịch chuyển về một đầu sao cho vị trí cân bằng của nó trong nước ngọt là thẳng đứng. Bây giờ cẩn thận đổ một thìa muối ăn mịn vào nước dọc theo thành bình. Sau khoảng một phút, một đám mây trắng bắt đầu từ từ bốc lên từ đáy tàu. Nửa chặng đường

phút nó nổi lên mặt nước và sau vài giây biến mất không dấu vết. Sau 1–3 phút nữa, thanh bắt đầu xoay từ vị trí thẳng đứng và sau 10–20 giây nó chuyển sang vị trí nằm ngang. Chú ý! Có thể có một hiện vật (từ tiếng Latin artefactum - được tạo ra một cách nhân tạo). Thực tế là nguyên nhân khiến que bị lật có thể là do mây trắng - nó chứa nhiều bọt khí, bám vào que và do đó làm cho que nhẹ hơn, sẽ dẫn đến hiệu ứng lật. Tác dụng phụ này được quan sát một cách đáng tin cậy nếu đổ nhiều muối vào nước cùng một lúc. Rất dễ dàng để xác minh điều này. Chỉ cần rửa sạch bong bóng dính trên que trong cùng một nước là đủ, và nó sẽ nổi trở lại theo phương thẳng đứng. Nhưng sau một thời gian, do sự khuếch tán, mật độ của các lớp nước phía trên đạt đến giá trị tới hạn, cây gậy chắc chắn sẽ bị lật.

BÌA CỦA CHÚNG TÔI

Điểm nước ướt

(Xem phần mở đầu trang 4 của bìa)

Để trả lời câu hỏi đặt ra chúng ta hãy tiến hành một thí nghiệm đơn giản. Đặt một chiếc khăn giấy khô lên cuốn sách, sau đó làm ướt một phần khăn ăn bằng nước sạch (hình1). Chúng ta sẽ thấy rằng chiếc khăn ăn ướt sẽ trở nên trong mờ và qua đó có thể đọc được dòng chữ vô hình trước đó trên bìa sách và xem xét mẫu vải mà cuốn sách nằm trên đó. Bạn có thể giải thích những gì bạn đã thấy, chẳng hạn như sau. Nước thấm vào khăn ăn và làm bão hòa nó bằng lực mao dẫn. Trong trường hợp này, các sợi tạo nên khăn ăn được kéo dài ra (ví dụ như xảy ra,

Hình 2

đo bằng máy đo độ ẩm tóc) và di chuyển ra xa nhau. Kết quả là khăn ăn trở nên gần như trong suốt. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách xem cách khăn ăn của chúng ta truyền ánh sáng (hình2). Bức ảnh cho thấy vết nước trên khăn ăn nhạt hơn những phần khô. Điều này có nghĩa là vết nước truyền ánh sáng tốt hơn phản xạ ánh sáng. Đây là lý do tại sao các đốm nước sẽ xuất hiện tối hơn trong ánh sáng phản chiếu. Những vết đen tương tự có thể được để lại bởi các chất lỏng trong suốt không màu khác, chẳng hạn như glycerin. Cũng có thể nguyên nhân làm sạch là do sự hình thành các đường dẫn ánh sáng đặc biệt mà qua đó ánh sáng tích cực đi qua khăn ăn. Không thể loại trừ những lý do khác. Tôi tự hỏi bạn nghĩ gì về điều này?

K. Bogdanov

Hình 1

39

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Cuộc hành trình dài của nhà vua

N. BELUKHOV (BULGARIA)

Bảng “trắng” của Welch thành bảng “đen” hoặc ngược lại. Do đó, lộ trình của bất kỳ vị vua nào cũng được thể hiện dưới dạng đường đi của một quân xe khập khiễng đi qua hai bàn cờ của xứ Wales, nhảy từ bàn cờ này sang bàn cờ khác khi nhà vua thực hiện một bước đi ngắn. Số lần nhảy bằng số nước đi ngắn của vua. Vì mục tiêu của chúng ta là số lần di chuyển nhỏ nhất, nên chúng ta sẽ tìm một tuyến xe què dọc theo một bảng Welch, bao gồm số phần liên tục nhỏ nhất. Hãy tô màu bảng Welch theo mẫu bàn cờ, như minh họa trong hình 2. Trên bất kỳ phần nào trên đường đi của quân xe của chúng ta, màu trắng

Dành riêng cho Evgeniy Gik

TRONG “QUANTUM” số 3 CHO NĂM 2000, MỘT ghi chú NHỎ của I. Akulich “Walks of the King” ĐƯỢC IN. Trong đó, tác giả đã đặt ra một số câu hỏi mở thú vị, trong đó có câu hỏi này: Độ dài lớn nhất có thể có của một con đường khép kín để quân vua đi quanh bàn cờ $8 \times 8$ là bao nhiêu? Chính xác hơn, hãy để vua đi vòng quanh bàn cờ, thăm từng ô một lần và với nước đi cuối cùng sẽ quay trở lại ô ban đầu. Nếu bạn nối tâm của các trường mà anh ta lần lượt đi qua các đoạn, bạn sẽ có được một đường đứt nét khép kín (rất có thể là tự giao nhau). Độ dài lớn nhất có thể có của đường đứt nét này là bao nhiêu? Rõ ràng là đường gãy bao gồm các đoạn gồm hai loại - ngắn (dài 1) và dài (dài 2). Vì vậy, chỉ cần tìm số nước đi ngắn tối thiểu có thể có cho vua là đủ. Đây là những gì chúng tôi sẽ làm. Trên thực tế, chúng ta sẽ giải bài toán trong trường hợp tổng quát - đối với các bảng $2 n \times 2 n$ (bài toán đối với các bảng có độ dài cạnh lẻ được giải khá đơn giản, như chúng ta sẽ sớm thấy). Xét bàn cờ $2 n \times 2 n$ và dựng một bàn cờ phụ gọi là bàn cờ Welch. Để thực hiện việc này, hãy xóa tất cả các ô cùng màu khỏi bảng ban đầu và thay thế mỗi ô có màu khác bằng một hình vuông có cạnh dài hơn 2 lần, được xoay $45^\circ$ quanh tâm ô (hình1).

Hình 1

Trong khi vua thực hiện các bước đi dài, tức là di chuyển theo đường chéo, nó vẫn ở trên các ô cùng màu. Hơn nữa, những nước đi như vậy của vua tương ứng với sự di chuyển của một quân “què” trên bàn cờ Welch (một quân què di chuyển như quân bình thường, nhưng chỉ di chuyển đến các ô liền kề trong khi di chuyển). Nếu chúng ta giả sử rằng có hai bàn cờ Welch - mỗi bàn cờ đại diện cho các ô trắng và đen của bàn cờ ban đầu, thì mỗi nước đi ngắn của vua có thể được hiểu là một quân xe nhảy từ

Hình 2

và các ô màu đen xen kẽ nhau nên sự chênh lệch giữa số của ô này và ô kia trên bất kỳ phần nào không vượt quá 1. Nếu bàn cờ ban đầu có kích thước $( 2 n + 1 ) \times ( 2 n + 1 )$, thì trên một trong các bảng Welch có màu sẽ có nhiều ô cùng màu hơn ô kia và không nhỏ hơn 2n + 1. Điều này có nghĩa là sẽ mất ít nhất 2n + 1 đoạn đường đi liên tục để thăm hết các ô của một bảng. Do đó, sẽ có ít nhất 4n + 2 lần nhảy từ bảng này sang bảng khác (hai lần nhảy cho mỗi đoạn đường). Vì vậy, nếu bàn cờ có kích thước lẻ thì vua đi vòng quanh bàn cờ theo một đường kín sẽ thực hiện ít nhất 4n + 2 nước đi ngắn. Đây là một con số đủ lớn để việc xây dựng một đường dẫn ví dụ tương ứng không quá khó khăn.

Bài tập. Làm đi.

Nếu bàn cờ có kích thước chẵn thì mỗi bàn cờ Welch chứa số ô vuông màu trắng và ô đen bằng nhau. Nhưng vị trí của họ sẽ cho chúng ta manh mối về lời giải. Để quân xe khi di chuyển dọc theo bàn cờ Welch, để lại dấu vết - đường nối tâm các ô mà quân xe lần lượt ghé thăm. Khi quân xe nhảy (sang bảng khác), hàng bị gián đoạn, nhưng sau đó một hàng mới sẽ bắt đầu. Nếu quân xe đã đi qua tất cả các ô, thì một số đường như vậy sẽ “bao phủ” toàn bộ bàn cờ. Chúng ta hãy tưởng tượng cắt tấm bảng ở hình 2 thành hai phần giống hệt nhau dọc theo đoạn AB. Đoạn này chia một số dòng thành nhiều phần. Lưu ý rằng nửa dưới của bảng có nhiều ô đen hơn n ô trắng. Điều này có nghĩa là có ít nhất n dòng hoặc n phần của nó bắt đầu và kết thúc trong một ô màu đen. Tương tự, nhìn vào nửa trên, chúng ta thấy có ít nhất n dòng hoặc phần của nó bắt đầu và kết thúc bằng một hình vuông màu trắng. Tổng cộng có ít nhất 2n dòng hoặc các phần của chúng. Nhưng việc dán các phần của các đường dọc theo đoạn AB sẽ làm giảm số lượng của chúng không quá n (rốt cuộc chỉ có thể có n vị trí dán).

47

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXI

MỤC ĐÍCH CỦA DU LỊCH XUÂN

Tùy chọn cơ bản

các mặt là các tam giác đều, 4 mặt gặp nhau ở mỗi đỉnh.) N. Avilov

lớp 8–9

4 (5). Xem bài toán M2186 “Bài toán Kvant”.

$1 (3)^{1}$. Sáu giỏ đựng lê, mận và táo. Số mận trong mỗi giỏ bằng số táo ở các giỏ còn lại cộng lại, số táo trong mỗi giỏ bằng số lê ở các giỏ còn lại cộng lại. Chứng minh tổng số quả chia hết cho 31. M. Murashkin, A. Shapovalov

5 (6). Xem bài toán M2188 “Bài toán Kvant”.

2 (3). Kid và Carlson đang cắt một chiếc bánh hình vuông. Carlson chọn một điểm trên đó (không phải trên đường viền). Sau đó, Kid thực hiện một đường cắt thẳng từ điểm đã chọn đến cạnh (theo bất kỳ hướng nào). Sau đó, Carlson thực hiện đường cắt thẳng thứ hai từ điểm đã chọn đến cạnh, vuông góc với điểm đầu tiên và đưa mảnh nhỏ hơn trong hai mảnh thu được cho Kid. Đứa trẻ muốn lấy được ít nhất một phần tư cái bánh. Carlson có thể ngăn anh ta lại không? M. Murashkin

3. Góc được vẽ và chỉ có một la bàn. a) (2) Cần vẽ số đường tròn nhỏ nhất để xác định chắc chắn một góc đã cho có nhọn hay không? b) (2) Làm thế nào để xác định một góc cho trước có bằng $31^\circ$ (bạn có thể vẽ bao nhiêu hình tròn tùy thích)? G. Feldman, D. Baranov

4 (5). Trong số những người tham gia Olympic, mọi người đều biết ít nhất ba người khác. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một nhóm chẵn người tham gia (nhiều hơn hai người) và xếp họ ngồi vào một bàn tròn sao cho mọi người đều biết cả hai người hàng xóm. Văn hóa dân gian (do A. Shapovalov đề xuất)

5 (5). Có 101 số được viết trên bảng: $1^{2},2^{2}$, … $,101^{2}$. Trong một thao tác, bạn có thể xóa hai số bất kỳ và thay vào đó viết giá trị tuyệt đối của hiệu chúng. Số nhỏ nhất có thể thu được sau 100 phép tính là bao nhiêu? M. Malkin

lớp 10–11

1 (3). Từ Nam Mỹ đến Nga, năm 2010 tàu chở chuối, chanh và dứa. Số chuối trên mỗi tàu bằng số chanh trên các tàu khác cộng lại, và số chanh trên mỗi tàu bằng số dứa trên các tàu khác cộng lại. Chứng minh tổng số quả chia hết cho 31. M. Murashkin, A. Shapovalov

2 (4). Xem bài toán M2184 “Bài toán Kvant”.

3 (5). Có thể phủ lên bề mặt của một hình bát diện đều bằng một số hình lục giác đều mà không bị chồng lên nhau hoặc có khoảng trống không? (Một bát diện đều có 6 đỉnh, tất cả đều

1 Ở đây và bên dưới, trong ngoặc đơn sau số bài toán, số điểm tối đa được trao cho lời giải của nó được chỉ định.

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1 (3). Có một miếng phô mai. Bạn được phép chọn bất kỳ số dương nào (có thể không phải là số nguyên) $a \ne 1$ và cắt miếng phô mai này theo tỷ lệ 1:a theo trọng lượng, sau đó cắt bất kỳ miếng nào có sẵn theo cùng tỷ lệ, v.v. Có thể tiến hành sao cho sau một số lần cắt hữu hạn, tất cả các miếng phô mai có thể được chia thành hai đống có trọng lượng bằng nhau không? A. Shapovalov

2 (4). Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm cạnh AC, điểm P nằm trên cạnh BC. Đoạn AP cắt BM tại điểm O. Suy ra BO = BP. Tìm tỉ số OM:PC. M. Volchkevich

3. Có 999 số được sắp xếp trên một vòng tròn, mỗi số bằng 1 hoặc –1 và không phải số nào cũng giống nhau. Hãy lấy tất cả tích của 10 số liên tiếp và cộng chúng lại. a) (3) Số tiền nhỏ nhất có thể đạt được là bao nhiêu? b) (3) Cái nào lớn nhất? A.Tolpygo

4 (6). Tổng các chữ số của số tự nhiên n là 100. Tổng các chữ số của số $n^{3}$ có thể bằng $100^{3}$ không? A. Kanel-Belov

5. a) (3) Ba anh hùng cưỡi ngựa đi dọc đường vành đai ngược chiều kim đồng hồ. Liệu họ có thể lái xe vô thời hạn với nhiều tốc độ không đổi khác nhau nếu chỉ có một điểm trên đường mà các anh hùng có cơ hội vượt nhau? b) (5) Nếu có mười anh hùng thì sao? A. Klyachko, E. Frenkel

6 (8). Trên mặt phẳng cho trước một đường đứt nét mở, không tự cắt nhau, trong đó có 31 mắt xích (các mắt xích lân cận không nằm trên cùng một đường thẳng). Qua mỗi mắt xích vẽ một đường thẳng chứa mắt xích này. Chúng tôi đã nhận được 31 cái trực tiếp, một số trong số chúng có thể trùng khớp. Có thể thu được số dòng khác nhau nhỏ nhất là bao nhiêu? A.Tolpygo

7 (11). Trên một số ô vuông của bảng $10 \times 10$ có một con bọ chét. Mỗi phút một lần, bọ chét nhảy đồng loạt, mỗi con nhảy sang lồng liền kề (ở bên cạnh). Con bọ nhảy đúng theo một trong bốn hướng song song với các cạnh của bảng, duy trì hướng đó càng lâu càng tốt, nếu không thì sẽ chuyển sang hướng ngược lại. Con chó Barbos đã quan sát lũ bọ chét trong một giờ và không bao giờ thấy hai con nào ngồi chung một chuồng. Số bọ chét lớn nhất có thể nhảy lên bảng là bao nhiêu? M. Murashkin

48

KVANT 2010/№4

lớp 10 – 11

1 (3). Có thể chia tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng thành các cặp đường vuông góc sao cho mỗi đường thẳng thuộc đúng một cặp không? A. Shapovalov

2. a) (2) Có một miếng pho mát. Cho phép chọn một số vô tỷ a > 0 và cắt miếng này theo tỷ lệ 1: a theo trọng lượng, sau đó cắt bất kỳ miếng nào có sẵn theo cùng tỷ lệ, v.v. Có thể tiến hành sao cho sau một số lần cắt hữu hạn, tất cả các miếng phô mai có thể được chia thành hai đống có trọng lượng bằng nhau không? b) (2) Câu hỏi tương tự nhưng số hữu tỉ dương $a \ne 1$ được chọn. A. Shapovalov

3 (6). Có thể áp dụng các hàm sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg cho số 1 theo thứ tự nào đó để thu được số 2010 không? (Mỗi chức năng có thể được sử dụng bao nhiêu lần tùy thích.) S. Markelov

4 (6). 5.000 người yêu điện ảnh tụ tập tại hội nghị, ai cũng đã xem ít nhất một bộ phim. Họ được chia thành hai loại phần: hoặc họ thảo luận về một bộ phim mà tất cả các thành viên trong phần đó đã xem, hoặc mọi người nói về một bộ phim họ đã xem mà chưa có ai khác trong phần đó xem. Chứng minh rằng có thể chia mọi người thành đúng 100 phần. (Được phép chia sẻ phần của một người: anh ấy viết bài đánh giá về bộ phim mà anh ấy đã xem.) I. Mitrofanov

5 (7). Xem bài toán M2189 “Bài toán Kvant”.

6 (8). Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I. M và N là trung điểm của các cạnh AB và CD. Biết rằng IM/AB = IN/CD. Chứng minh ABCD là hình thang hoặc hình bình hành. N. Belukhov, A. Zaslavsky

7 (9). Xem bài toán M2190 “Bài toán Kvant”.

Vòng miệng lớp 11

1. Xem bài toán M2185 “Bài toán Kvant”.

liên tiếp, bắt đầu từ một). Một nhóm học sinh tham dự buổi sáng ở hội trường 1 và buổi chiều ở hội trường 2, cả hai lần đều chiếm hết chỗ ngồi. Được biết, sảnh thứ nhất có hàng ghế 10 chỗ, còn sảnh thứ hai thì không. Chứng minh rằng có hai học sinh ngồi cùng một hàng trong một buổi học và có cùng số ghế ở buổi học kia. A. Bufetov

3. Cho một đường tròn $\omega_{1}$ bán kính 1 trên mặt phẳng. Một vòng tròn $\omega_{2}$ được dựng trên một trong các dây cung của nó làm đường kính. Trên một trong các dây $\omega_{2}$, cũng như trên đường kính, một đường tròn $\omega_{3}$ được dựng, v.v. Tìm khoảng cách lớn nhất có thể có giữa hai điểm, một điểm thuộc về $\omega_{1}$ và điểm còn lại thuộc về $\omega_{1000000}$. M. Murashkin

4. Xe di chuyển qua bàn cờ $8 \times 8$ mà không đi qua cùng một ô hai lần hoặc nhảy qua các ô. Trong trường hợp này, tất cả các lượt sang phải được thực hiện trong các ô màu đen và sang trái - trong các ô màu trắng. Số lượng tế bào lớn nhất có thể đi qua là bao nhiêu? A. Shapovalov

5. Sasha và Luda đang chơi trò chơi. Sasha phải chế tạo một chiếc 13-gon được mô tả với một bên nhất định và Lyuda muốn ngăn anh ta lại. Đầu tiên, Sasha gọi tên số bên - số k từ 1 đến 13. Sau đó Lyuda đặt độ dài của cạnh này - một số thực dương s. Sasha sẽ thắng nếu bây giờ anh ấy mô tả một 13 giác xung quanh vòng tròn đơn vị, trong đó độ dài cạnh lớn thứ k bằng s. Luda có thể ngăn anh ta lại không? (Một cạnh có kích thước thứ k nếu có k – 1 cạnh không ngắn hơn nó và 13 – k cạnh còn lại không dài hơn nó.) A. Shapovalov

6. Chúng ta hãy biểu thị bằng $[ a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} ]$ tích của tất cả các khác biệt có thể có theo cặp $a_{i} - a_{j}$, trong đó $1 \le i < j \le n$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ thì số $[ a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} ]$ đều chia hết cho [ 1,2, … ,n]. M. Bershtein

Ấn phẩm được biên soạn bởi S. Dorichenko, L. Mednikov, A. Shapovalov

2. Rạp chiếu phim có hai hội trường với số lượng ghế như nhau. Mỗi hội trường có nhiều hàng (chỗ ngồi ở hàng nào cũng được đánh số

Olympic Toán học LXXIII Mátxcơva

NHIỆM VỤ

lớp 6

1. Các vòng ngang mỏng được vẽ trên ổ xúc xích. Nếu cắt dọc theo vòng màu đỏ sẽ được 5 miếng, cắt dọc theo vòng màu vàng là 7 miếng, cắt dọc theo vòng màu xanh lá cây là 11 miếng. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu miếng xúc xích nếu cắt thành các vòng có đủ ba màu? A. Shapovalov

2. Chỉ có yêu tinh và người lùn sống ở Forest Mountain. Người lùn nói dối khi nói về vàng của họ, nhưng mặt khác họ lại nói sự thật. Yêu tinh nói dối khi nói về người lùn, nhưng trong những trường hợp khác, họ nói sự thật. Một ngày nọ, hai cư dân Forest Mountain nói: A: Tôi đã lấy trộm tất cả vàng của mình từ con Rồng. B: Bạn đang nói dối. Xác định xem mỗi người trong số họ là yêu tinh hay thần lùn. I. Raskin

49

Thế Vận Hội

3. Piglet Naf-Naf đã tìm ra cách gấp một hình song song từ các hình khối giống hệt nhau và che nó bằng ba hình vuông mà không có khoảng trống hoặc chồng lên nhau. Làm điều này quá. A. Shapovalov

4. Tại văn phòng đổi tiền, hai loại giao dịch được thực hiện: 1) tặng 2 euro - nhận 3 đô la và một chiếc kẹo làm quà; 2) tặng 5 đô la - nhận 3 euro và một chiếc kẹo làm quà. Khi Buratino giàu có đến quầy đổi tiền, anh ta chỉ có đô la. Khi anh ấy rời đi, số đô la ít hơn, đồng euro không bao giờ xuất hiện nhưng anh ấy nhận được 50 chiếc kẹo. “Món quà” này có giá bao nhiêu đô la Pinocchio? I. Raskin

5. Sasha cắt bàn cờ $8 \times 8$ dọc theo ranh giới của các ô thành 30 hình chữ nhật sao cho các hình chữ nhật bằng nhau không chạm vào cả các góc (hình1). Cố gắng cải thiện thành tích của nó bằng cách cắt bảng thành nhiều hình chữ nhật hơn trong khi vẫn duy trì tình trạng tương tự. A. Shapovalov

Hình 1

6. Có 30 tách trà cách đều nhau trên mép bàn xoay tròn. Thỏ tháng Ba và Chuột sóc ngồi xuống bàn và bắt đầu uống trà từ khoảng hai chiếc cốc (không nhất thiết phải là những chiếc cốc liền kề). Khi uống trà xong, Thỏ lật bàn sao cho trước mặt mỗi người lại có một cốc đầy. Khi những chiếc cốc này đã cạn, Thỏ lại lật bàn (có lẽ sang một góc khác), và một chiếc cốc đầy lại xuất hiện trước mặt mọi người. Và điều này tiếp tục cho đến khi uống hết trà. Chứng minh rằng nếu Thỏ luôn lật bàn sao cho cốc mới của nó đứng liền kề với cốc trước thì chúng cũng có thể uống hết trà (tức là lần nào cả hai cốc cũng sẽ đầy). I. Raskin

lớp 7

1. Yura có một máy tính cho phép bạn nhân một số với 3, thêm 3 vào một số hoặc (nếu số đó chia hết cho 3) chia cho 3. Làm thế nào bạn có thể sử dụng máy tính này để lấy số 11 từ số 1? T. Golenishcheva-Kutuzova

2. Một số bánh xe có nan hoa được đặt trên trục thẳng đứng. Chế độ xem trên cùng được hiển thị ở hình 2,a. Sau đó bánh xe quay. Chế độ xem trên cùng mới được hiển thị trong hình 2, b. Có thể có: a) ba bánh xe; b) hai? T. Golenishcheva-Kutuzova, V. Kleptsyn, I. Yashchenko

4. Cuộc thi hát có sự tham gia của Dậu, Quạ và Cúc. Mỗi thành viên ban giám khảo bình chọn cho một trong ba nghệ sĩ biểu diễn. Chim gõ kiến ​​tính toán rằng có 59 giám khảo trong ban giám khảo, với tổng số 15 phiếu bầu cho Gà trống và Gà trống, 18 phiếu cho Gà trống và Gà trống, và 20 phiếu cho Gà trống và Gà trống. Con chim gõ kiến ​​đếm kém, nhưng mỗi con số trong số bốn con số mà nó đặt tên đều khác với con số đúng không quá 13. Có bao nhiêu giám khảo đã bình chọn cho con Quạ? I. Raskin

5. a) Piglet Naf-Naf đã tìm ra cách gấp một hình song song từ các hình khối giống hệt nhau và che nó bằng ba hình vuông mà không có khoảng trống hoặc chồng lên nhau. Làm điều này quá. b) Naf-Naf có thể đảm bảo rằng hai ô vuông đều giáp nhau không? A. Shapovalov

6. Thật dễ dàng để đặt một nhóm tàu ​​để chơi Battleship trên bảng $10 \times 10$ (hình3). Bảng hình vuông nhỏ nhất mà bộ này có thể được đặt trên là bao nhiêu? (Hãy nhớ rằng theo quy định, tàu thậm chí không được chạm vào các góc.) A. Blinkov

Hình 3

lớp 8

1. CUBE là một khối lập phương. Chứng minh BÓNG không phải là hình lập phương. (CUBE và BALL là các số có ba chữ số, các chữ cái khác nhau biểu thị các số khác nhau.) A. Khachaturian

2. Có 28 đồng xu có cùng kích thước (hình4) được đặt trên bàn theo hình tam giác. Biết rằng tổng khối lượng của ba đồng xu bất kỳ chạm vào nhau theo cặp là 10 g. Tìm tổng khối lượng của tất cả 18 đồng xu trên ranh giới của tam giác. A. Shapovalov

Hình 4

3. Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh AC, điểm P nằm trên cạnh BC. Đoạn AR cắt VM tại điểm O. Hoá ra VO = = BP. Tìm tỉ số OM:RS. M. Volchkevich

4. Xem bài toán M2189 “Bài toán Kvant”.

5. Cho tam giác ABC, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Biết rằng góc AIN là góc vuông. Chứng minh góc BIM cũng đúng.

Hình 2

3. Các em nhỏ ăn kẹo. Mọi người đều ăn ít hơn những người khác 7 viên kẹo nhưng vẫn nhiều hơn một viên. Tổng cộng có bao nhiêu viên kẹo đã được ăn? A. Shapovalov

4. Một số ô của hình vuông $20 \times 20$ có mũi tên theo một trong bốn hướng. Tại đường viền của hình vuông, tất cả các mũi tên chỉ theo chiều kim đồng hồ dọc theo đường viền (hình5). Ngoài ra, các mũi tên trong các ô liền kề (có thể là đường chéo) không trỏ theo hướng ngược nhau.

Hình 5