Kvant 2016, số 3 · Trang

3

TOÁN HỌC

VÀ

MÁY TÍNH:

là các số dương và số p được gọi là số nguyên tố nếu nó không có ước nào khác ngoài 1 và p. Ví dụ: các số 2, 3, 5, 7, 11, v.v. là số nguyên tố, nhưng các số 14, 15 và 100 có các ước không phải là 1 và chính chúng, vì vậy những số này là hợp số. Các số nguyên tố là “các khối xây dựng” từ đó tất cả các số nguyên được tập hợp lại: mọi số nguyên dương có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích của một dãy số nguyên tố không giảm. Có tổng cộng bao nhiêu số nguyên tố? Vô số nhiều. Người ta thường nói rằng một báo cáo toán học lý tưởng phải chứa đúng một bằng chứng và đúng một câu chuyện cười. Vì vậy, đây là bằng chứng nổi tiếng, có lẽ là do Euclid: nếu chỉ có hữu hạn số nguyên tố $p_{1}$, … $, p_{n}$, thì bạn cần xét số N, nó bằng tích của tất cả những $p_{1},^{…}, p_{n}$ cộng một đó. Theo định lý cơ bản của số học, N là tích của các số nguyên tố, nhưng vì N không chia hết cho bất kỳ số nào trong số $p_{1}$, … $, p_{n}$ nên nó phải chia hết cho một số nguyên tố mới và ta có mâu thuẫn. Người ta phải nghĩ rằng tất cả bằng chứng này đã được nhìn thấy. Nhưng hầu hết người nghe có lẽ đều không quen với một kết quả khác ít được biết đến, đó là tiền thân của kết quả này của Euclid, đó là hợp số cũng là vô hạn. Bằng chứng là thế này: cho các số $c_{1}$, … $, c_{k}$ là hợp số, lấy tích của chúng, không cộng một. (Khán giả cười lớn.) Nhân tiện, trò đùa này thuộc về Hendrik Lenstra. Số nguyên tố lớn nhất được biết đến ngày nay là 2 mũ 57 triệu trừ một. Ký hiệu thập phân của nó có 17 triệu chữ số; nó đã giành được giải thưởng vì là số nguyên tố đầu tiên chứa hơn 10 triệu chữ số thập phân. Nó được phát hiện vào năm ngoái trong khuôn khổ dự án Tìm kiếm Mersenne Primes. Những người tham gia dự án này đã cài đặt một chương trình đặc biệt trên máy tính của họ và nó kiểm tra các chỉ báo khác nhau ở chế độ nền. Bạn biết rằng số mũ trong ví dụ này (57885161) là một số nguyên tố, nó là một trong các số nguyên tố Mersenne và để $2^{p} - 1$ là số nguyên tố thì bản thân p phải là số nguyên tố; khi thử nghiệm tính đơn giản này, có khoảng 32 triệu quy trình đang chạy; Mất khoảng một giờ để kiểm tra từng chỉ số. Electronic Frontier Foundation đã trao giải thưởng trị giá 150.000 USD cho số nguyên tố đầu tiên đạt hơn một trăm triệu chữ số thập phân. Đây là lĩnh vực mà máy tính chắc chắn có thể làm được điều gì đó; Tiếp theo chúng ta sẽ xem tại sao mọi người lại quan tâm đến số nguyên tố.

VẤN ĐỀ

VÀ

TRIỂN VỌNG

Được rồi, hãy quay lại với số nguyên tố. Nếu quan sát kỹ, bạn có thể thấy rằng dường như tất cả các số chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố và bạn có thể thấy rằng số càng lớn thì càng có nhiều cách biểu diễn nó dưới dạng này. Có một giả thuyết được đưa ra vào năm 1742, theo đó mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố. Máy tính có thể tìm ra cách nào đó để giải quyết vấn đề này; với sự giúp đỡ của họ, giả thuyết đã được kiểm tra với các số chẵn nhỏ hơn $10^{18}$ - có vẻ ổn! Một nhà xuất bản ở Anh (Faber & Faber) đã treo giải thưởng trị giá hàng triệu đô la cho bất kỳ ai có thể chứng minh được giả thuyết của Goldbach trước một thời hạn nhất định. Nhưng nó đặt ra các điều kiện bổ sung: người nộp đơn xin giải thưởng phải là công dân Hoa Kỳ hoặc Anh và ít nhất 18 tuổi. Tôi sẽ nói rằng nếu ai đó chưa đủ mười tám tuổi chứng minh được điều này thì anh ta xứng đáng nhận được một giải thưởng thậm chí còn lớn hơn, nhưng bằng cách này hay cách khác, giải thưởng này không thuộc về ai cả, thế là đủ. Hơn 40 năm trước, nhà toán học Trung Quốc Chen Jingrun đã chứng minh rằng bất kỳ số chẵn đủ lớn nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, một trong số đó là số nguyên tố và số còn lại có thể phân tích thành tích của nhiều nhất hai số nguyên tố. Gần đây hơn, vào năm 2013, Helfgott đã chỉ ra rằng mọi số lẻ lớn hơn 5 đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba số nguyên tố. Tôi nhấn mạnh: không phải “đủ lớn”, nhưng bất kỳ! Giới hạn trước đó là 2 ◊ $10^{1346}$ nên anh ấy đã hạ nó xuống một cách triệt để! Và bằng chứng của ông liên quan đến một số phép tính trên máy tính. Chúng ta hãy nhìn lại các số nguyên tố. Bạn có thể nhận thấy rằng ở đầu dãy của chúng thường có các cặp số nguyên tố khác nhau 2. Những số nguyên tố như vậy được gọi là anh em sinh đôi và có một vấn đề: chứng minh rằng số cặp số nguyên tố sinh đôi

Trương Nhất Đường

4

KVANT 2016/№3

vô tận. Cặp song sinh lớn nhất được biết đến chứa khoảng 200.000 chữ số thập phân (cụ thể là 3756801695685 ◊ $2^{666669} \pm 1 ),$ và một lần nữa nó được tìm thấy với sự trợ giúp của máy tính: có những bài kiểm tra kiểm tra xem một số có phải là số nguyên tố hay không. Năm 2013, Zhang Yitang, một giáo viên ở New Hampshire, đã chứng minh một định lý rằng có một số N nhỏ hơn 70000000, rằng có vô số cặp số nguyên tố khác nhau nhỏ hơn N. Đây là một thành tựu nghiêm túc, nhờ sử dụng những ý tưởng mới. Nhân tiện, sau kết quả này, Zhang đã được thăng chức từ trợ lý lên giáo sư, vì vậy bằng chứng bắt đầu có lợi cho anh ta. Sau đó, một cuộc đấu tranh đã được đưa ra để giảm con số này trên một trang web đặc biệt. Ví dụ, vài tuần trước, con số này đã giảm từ 70 triệu xuống còn 246. Tôi không nghĩ có thể đạt được hiệu số 2, nhưng ít nhất người ta đã chứng minh được rằng có vô số. các cặp số nguyên tố khác nhau không quá 246. Định lý cơ bản của số học phát biểu rằng bất kỳ số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố, nhưng sau đó câu hỏi đặt ra là làm thế nào để thực hiện chính xác điều này. Ví dụ: 11 là số nguyên tố, 111 được phân tách thành 3 ◊ 37, nhưng còn số 1111 - nó có phải là số nguyên tố không? đơn vị trong một hàng? Hãy xem. Nó không chia hết cho ba mà cho bảy?.. Cuối cùng, nó bằng 41 ◊ 271. Như bạn có thể thấy, số càng lớn thì càng khó phân tích thành thừa số nguyên tố. lấy một số được viết bởi 71. Nó có phải là số nguyên tố không? Và nếu không thì làm thế nào chúng ta có thể phân tích nó? Hóa ra số này là tích của hai số nguyên tố (thường có nhiều thừa số hơn). Nếu bạn xem kỹ bài viết này, bạn sẽ nhận thấy chữ số cuối cùng của một trong các số nhân là 8, điều này làm nảy sinh một số nghi ngờ. Vì vậy, khi bạn đọc báo, hãy cảnh giác. Nhưng vì mục đích gì mà người ta quan tâm đến việc phân tích các số lớn thành thừa số nguyên tố? Thực tế là một hướng đi mới đã xuất hiện

Trích từ báo “Nước Mỹ ngày nay”

trong mật mã, mã hóa khóa công khai, sức mạnh của nó dựa trên thực tế là người ta tin rằng rất khó để phân tích các số lớn thành tích của các số nguyên tố. Trong bức ảnh bên cạnh là Ron Rivest, họ là một phần của từ viết tắt RSA, tên của một trong những hệ thống mã hóa khóa công khai. Một cách để giải mã như vậy là phân tích một số lớn thành thừa số nguyên tố. Rivest đã công bố một số có 129 chữ số và mời mọi người phân tích nó. Ông tin tưởng rằng việc sử dụng các phương pháp được biết đến vào thời điểm đó sẽ mất khoảng 4 ◊ $10^{16}$ năm. Con số này đã được đăng trong một bài viết trên tờ The Times cách đây khoảng 20 năm. Trên thực tế, sự phân hủy được tìm thấy trong khoảng 20 năm, vì vậy ước tính về $10^{16}$ hóa ra là quá bi quan. Ngày nay, trong nhiều tình huống yêu cầu bảo mật (ví dụ khi làm việc với thẻ ngân hàng), độ mạnh của mã hóa phụ thuộc vào độ khó phân tách số lượng lớn. Nếu một cách hiệu quả để tìm ra những bản mở rộng như vậy được phát hiện thì sẽ có rất nhiều thay đổi. Hóa ra số viết trong 1031 đơn vị liên tiếp là số nguyên tố. Đây có phải là số nguyên tố cuối cùng của loại này? Paul Erdős sẽ nói rằng mọi người có tư duy rộng rãi đều biết rằng có vô số số nguyên tố loại này, nhưng anh ta không thể chứng minh được điều đó. Có vẻ như một số được viết bằng 270343 số liên tiếp có thể là số nguyên tố: nó chưa được chứng minh, nhưng nó hoạt động rất giống nhau và nó thỏa mãn nhiều điều kiện cần thiết để có số nguyên tố.

8

KVANT 2016/№3

Số thực là bốn (hình5): ba màu là không đủ. Còn biểu đồ ở hình 6 thì sao?

Hình 2

Trên hình 3 có ba biểu đồ trông khác nhau nhưng thực tế chúng đều giống nhau: đây

Hình 6

Hình 3

ba cách khác nhau để mô tả đồ thị của Petersen. Trong lý thuyết đồ thị, việc bạn biểu diễn đồ thị như thế nào không quan trọng, quan trọng là ai được kết nối với ai. Nếu có thể gắn nhãn các đỉnh của hai ảnh của đồ thị sao cho các cặp đỉnh giống nhau được nối với nhau thì đồ thị được gọi là đẳng cấu. Có một phép tính bài toán, lời giải chưa biết: cho hai ảnh đồ thị, cần phải tìm hiểu xem chúng có đẳng cấu hay không. Không rõ liệu bài toán này có phải là NP-đầy đủ hay không và thuật toán hiệu quả cho lời giải của nó cũng chưa được biết. Chúng ta sẽ nói rằng ánh xạ từ một tập đỉnh tới một tập r màu là một phép tô màu r nếu các đỉnh lân cận luôn được tô bằng các màu khác nhau. Vấn đề này nảy sinh trong quá trình sản xuất bản đồ địa lý: nếu hai quốc gia có biên giới thì phải sơn các màu khác nhau để phân biệt. Số $\chi ( G )$, được gọi là sắc số của đồ thị G, là r nhỏ nhất tồn tại màu r của đồ thị. Bạn có thể sơn mỗi đỉnh bằng một màu khác nhau, nhưng có lẽ điều này quá lãng phí: có thể bạn sẽ sử dụng ít màu hơn? Ví dụ: số màu của biểu đồ Petersen là ba: bạn có thể tô màu nó bằng ba màu (hình4), nhưng không được bằng hai màu. Đối với Bá tước Moser, màu sắc

Hình 4

Hình 5

Tôi không biết, đó là một câu hỏi khó. Số màu không vượt quá hai nếu đồ thị không có chu trình có độ dài lẻ. Và khi nào nó bằng ba? Không ai biết một thuật toán chạy trong thời gian đa thức và cho đáp số cho câu hỏi này. Có vẻ như hiện tại vẫn chưa rõ làm thế nào để tiếp nhận bài toán như vậy. Vì vậy, chúng ta chuyển sang khoa học máy tính, hay khoa học máy tính. Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể được biểu diễn trên một mặt phẳng sao cho các cạnh không cắt nhau. Ví dụ: đồ thị Moser là phẳng: nếu bạn kéo giãn cạnh dưới thì giao điểm của các cạnh còn lại sẽ biến mất (hình7).

Hình 7

Nhưng đồ thị Petersen không phải là đồ thị phẳng: cho dù bạn vẽ nó như thế nào thì một số cạnh sẽ giao nhau. Giả thuyết bốn màu, được đề xuất vào năm 1852, phát biểu rằng bốn màu luôn đủ để tô màu các đỉnh của đồ thị phẳng. Nó đã được chứng minh vào cuối thế kỷ 19, nhưng 12 năm sau người ta phát hiện ra một sai sót trong chứng minh của nó và chứng minh này đã bị bác bỏ. Chỉ gần đây hơn, vào năm 1976, Appel và Haken mới chứng minh được giả thuyết bốn màu; nó đã trở thành định lý bốn màu. Không phải ai cũng biết cách chứng minh này hoạt động. Trên thực tế, đây không phải là một bài viết mà là hai bài viết. Với sự giúp đỡ của một ý tưởng hay, việc chứng minh đã được rút gọn thành một phép tìm kiếm hữu hạn, đòi hỏi 15 nghìn giờ sử dụng máy tính trên chiếc máy tính lớn nhất vào thời điểm đó. Nếu không có chúng sẽ không có gì trong chứng minh này.

9

TOÁN HỌC

VÀ

MÁY TÍNH:

nó đã hoạt động. Bây giờ câu hỏi được đặt ra: liệu có thể tìm được một bằng chứng đại số tốt hơn mà trong đó tất cả những phép tính này là không cần thiết không? Robertson, Sanders, Seymour và Thomas đã bắt đầu một dự án cùng một lúc, mục tiêu là chứng minh định lý bốn màu mà không cần sử dụng máy tính, nhưng họ vẫn phải sử dụng máy tính. Họ mất ba tiếng rưỡi trên máy tính Sparc-20, tức là hàng tỷ thao tác tính toán. Vậy định lý bốn màu vẫn đúng nhưng biết đâu nó có bằng chứng cho thấy con người có thể đọc được? Haken không tin vào điều đó. Ông tin rằng định lý này đúng vì nó đã được thử nghiệm trong một trăm tỷ trường hợp đặc biệt. Bài toán bốn màu có một trường hợp đặc biệt - giả thuyết Hadwiger. Giả thuyết này nêu như sau. Chúng ta sẽ nói rằng đồ thị H là đồ thị thứ của đồ thị G (ký hiệu: G > H) nếu H có thể thu được từ G bằng cách sử dụng một chuỗi các phép loại bỏ đỉnh hoặc cạnh và co cạnh. Tại hình 8, rõ ràng là từ đồ thị M

Hình 8

thu được $K_{4}$ nhỏ của nó: đầu tiên chúng ta thu gọn cạnh, sau đó chúng ta kết nối các cạnh kép mới nổi thành một, sau đó chúng ta loại bỏ đỉnh phụ mới nổi. Vì vậy, giả thuyết của Hadwiger phát biểu rằng nếu sắc số của một đồ thị bằng k thì đồ thị này phải chứa một đồ thị phụ đầy đủ với k đỉnh (nếu có một số nhỏ như vậy thì sắc số không thể nhỏ hơn k - đây là bằng chứng ủng hộ giả thuyết). Giả thuyết như vậy dành riêng cho số màu k được ký hiệu là H(k). Giả thuyết này vẫn là một câu hỏi mở trong một thời gian dài - có thể là 70 năm. Những gì được biết? Giả thuyết H (5) tương đương với định lý bốn màu. Seymour, Robertson và Thomas đã chứng minh giả thuyết H (6), nhưng họ không tiến xa hơn nữa. Tôi muốn sống để chứng minh giả thuyết H(k) cho một k tùy ý, nhưng bạn vẫn nhanh lên, tôi không muốn đợi hai mươi ba mươi năm đâu! Có một xu hướng đáng sợ trong việc ứng dụng máy tính vào toán học. Cụ thể, trong một biểu đồ được kết nối (đây là biểu đồ trong đó hai đỉnh bất kỳ có thể được kết nối bằng một đường dẫn), bạn có thể xác định khoảng cách giữa các đỉnh - đây đơn giản là một phép tính định lượng

VẤN ĐỀ

VÀ

TRIỂN VỌNG

số cạnh trong đường đi ngắn nhất nối chúng. Ví dụ, trong đồ thị Petersen, khoảng cách giữa các đỉnh u và v là d(u,v) = 2, vì có một đường đi có độ dài 2 nối chúng và không có đường nào ngắn hơn. Bạn cũng có thể xác định khoảng cách trung bình giữa các đỉnh trong đồ thị G, nó được ký hiệu là d(G) =

$1 Â d_{G} ( x, y )$: chúng tôi lưu kho $n^{2} x, y$ Chúng tôi lấy tất cả các khoảng cách theo cặp giữa các đỉnh và chia cho bình phương số đỉnh. Đối với đồ thị Petersen, con số này là 1,5. Một đặc tính số khác của đồ thị là số độc lập của nó, ký hiệu là ind ( G ). Đây là số đỉnh lớn nhất có thể được chọn sao cho không có hai đỉnh nào được nối bởi một cạnh. Ví dụ: đối với đồ thị Petersen, con số này là bốn. Có một phỏng đoán hay về Graffiti, theo đó đối với bất kỳ đồ thị liên thông nào, số độc lập của nó không nhỏ hơn khoảng cách trung bình: nếu khoảng cách trung bình lớn thì phải có nhiều điểm độc lập. Giả thuyết này đã được chứng minh bởi đồng tác giả yêu thích của tôi Fan Chun. Vì vậy, việc chứng minh này không hề dễ dàng, nhưng điều thú vị ở đây là Graffiti không phải là con người mà là một chương trình máy tính do Simeon Faitovich từ Đại học Houston tạo ra. Chương trình này đưa ra khoảng 6000 giả thuyết về lý thuyết đồ thị và hình học. Người tạo ra chương trình này là một chuyên gia trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo. Ông nói, phần khó nhất về những giả thuyết do máy tính tạo ra này là tìm hiểu xem liệu một giả thuyết cụ thể có thú vị hay không. Anh ta lấy 50–60 bất biến khác nhau của biểu đồ (ví dụ: giá trị riêng của ma trận tỷ lệ), và sau đó, bằng cách sử dụng một chương trình máy tính, anh ta tìm kiếm mối quan hệ giữa các bất biến này. Anh ta kiểm tra chúng trên các biểu đồ khác nhau, trên các biểu đồ được coi là đặc biệt khó và nếu những thử nghiệm này không tìm thấy phản ví dụ, anh ta sẽ đưa ra một giả thuyết. Nhiều giả thuyết trong số này đã được nghiên cứu. Một số hóa ra là sai - một phản ví dụ “lớn” đã được tìm thấy, một số đã được chứng minh hoặc hóa ra là tầm thường, nhưng về nhiều ví dụ, chúng ta không biết liệu chúng có đúng hay không. Vì vậy, mặc dù máy tính rất tệ trong việc chứng minh các định lý nhưng chúng lại rất giỏi trong việc xây dựng các giả thuyết. Liệu chúng ta có bao giờ bắt kịp được họ không?

(Kết thúc để theo dõi)

14

KVANT 2016/№3

Hình 15. Hai hình nón và không gian Alexander

trông tối hơn (xem lại hình 11).

Bài tập 7. Hãy ước tính độ rộng góc của không gian tối của Alexander theo độ.

Hãy thực hiện một bổ sung nhỏ. Xét theo hình 9, đỉnh của hình nón có nửa góc $42\infty$ nằm gần mặt sau của giọt nước. Và hình 14 cho thấy đỉnh của hình nón có nửa góc $51\infty$ nằm gần mặt trước của giọt nước. Điều này dẫn đến thực tế là gần giọt nước, hình nón lớn hơn nằm bên trong hình nón nhỏ hơn, điều này cũng được xác nhận bởi hình 15. Thử nghiệm với một cái bình. Chúng ta gần như đã hoàn thành lý thuyết của Descartes. Hãy thử tái hiện thí nghiệm của anh ấy một lần nữa. “Giọt” sẽ là bình đáy tròn 250 ml. Một vòng tròn màu trắng được vẽ trên máy tính trên nền đen - hình ảnh của mặt trời và hình ảnh này được chiếu qua máy chiếu. Để quan sát cầu vồng, một tờ giấy Whatman có lỗ tròn ở giữa được dùng làm màn hình. Ở hình 16, bóng đèn và màn hình có thể nhìn thấy được, đồng thời máy chiếu cùng với máy tính được đặt phía sau màn hình và chiếu sáng bóng đèn qua một lỗ. Tất nhiên, bình không phải là một bình hình cầu; nó có cổ nên chỉ có phần hình cầu của nó chứa đầy nước. Do đó, các cung tròn trên hình 16 chỉ hiển thị được một phần, trong khi phần dưới và phần trên của hình ảnh trên màn hình được hình thành bởi bề mặt nằm ngang của nước trong bóng đèn. Vòng cung đầu tiên ở đâu và vòng cung thứ hai ở đâu? Dưới đây là những dấu hiệu để chúng ta có thể phân biệt chúng. Giọt thứ hai kém sáng hơn do các tia tạo thành nó chịu thêm sự phản xạ bên trong giọt nước. Hơn nữa, ở cung đầu tiên, màu sắc từ trong ra ngoài chuyển từ tím sang đỏ.

Hình 16. Thí nghiệm với một cái bình, cung thứ hai bên trong cung thứ nhất

mu, và thứ hai - theo thứ tự ngược lại. Đánh giá theo những dấu hiệu này, bên trong có một vòng cung thứ hai. Và điều này tương ứng với lý thuyết của Descartes, với sự trợ giúp của lý thuyết hình 15 đã được xây dựng. Các vòng cung đối diện nhau với các cạnh màu tím và khoảng không giữa chúng tràn ngập màu tím. Không gian này, nằm gần giọt nước, có thể được gọi một cách tương tự là không gian Alexander màu tím. Đánh giá theo hình 15, vị trí tương đối tiêu chuẩn của các cung, khi cung đầu tiên nằm bên trong cung thứ hai, sẽ được khôi phục nếu khoảng cách từ điểm rơi đến màn hình lớn hơn mười bán kính của điểm rơi. Và tất nhiên, khi quan sát cầu vồng tự nhiên thông thường, khoảng cách từ hạt mưa đến mắt người quan sát vượt quá giới hạn này nhiều lần.

(Kết thúc để theo dõi)

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này nên được gửi đến địa chỉ sau: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 3–2016” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2421” hoặc “F2428”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng: [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2421, М2422а, M2426, M2427, М2428а, b đã được đưa ra tại Giải đấu các thành phố XXXVII, bài toán M2423 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Châu Âu lần thứ V dành cho nữ, bài toán F2432 – tại Olympic Vật lý Moscow 2016.

Bài toán M2421–M2428, F2428–F2434

M2421. Công ty ghi nhận chi phí bằng rúp cho 100 hạng mục ngân sách, nhận được danh sách 100 số (mỗi số có không quá hai chữ số thập phân). Mỗi kế toán viên sẽ sao chép danh sách và tìm số tiền chi phí gần đúng, tiến hành như sau. Đầu tiên, anh ta chọn hai số bất kỳ trong danh sách, cộng chúng lại, loại bỏ vị trí thập phân của tổng (nếu có) và viết kết quả thay cho hai số đã chọn. Với danh sách kết quả gồm 99 số, anh ta làm tương tự, v.v., cho đến khi chỉ còn một số nguyên trong danh sách. Hóa ra cuối cùng tất cả các kế toán viên đều nhận được kết quả khác nhau. Số lượng kế toán viên lớn nhất có thể làm việc trong công ty là bao nhiêu? M. Evdokimov

M2422. Hình chữ nhật p ¥ q, trong đó p, q là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, p < q, được chia thành các ô vuông đơn vị. Một đường chéo được vẽ từ góc dưới bên trái của hình chữ nhật đến góc trên bên phải của nó. Nó cắt các hình tam giác khỏi một số hình vuông. Tìm: a) tổng chu vi; b) tổng diện tích của tất cả các hình tam giác này. A.Tolpygo

M2423. Các đường tròn $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ có cùng bán kính cắt nhau tại các điểm $X_{1}$ và $X_{2}$ (hình 1). Vòng tròn $\omega$ chạm vào vòng tròn $\omega_{1}$ bên ngoài tại điểm $T_{1}$ và vòng tròn $\omega_{2}$ bên trong tại điểm $T_{2}$. Chứng minh rằng đường thẳng $X_{1} T_{1}$ và $X_{2} T_{2}$ cắt nhau trên đường tròn $\omega$. Ch. Latham (Luxembourg)

M2424. Có một số đường thẳng trên mặt phẳng có điểm chung O. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng đó

Hình 1

các đường thẳng có thể tô màu đỏ hoặc xanh lam sao cho tồn tại một điểm trên mặt phẳng khác O thì tổng khoảng cách từ đó đến tất cả các đường thẳng màu đỏ bằng tổng khoảng cách từ nó đến tất cả các đường thẳng màu xanh. I. Weinstein

M2425. Một hình chữ nhật song song 2 ¥ 2 ¥ 100 cần được chia thành các viên gạch 1 ¥ 1 ¥ 2. Chứng minh rằng số cách thực hiện điều này là một hình vuông. (Khi đếm, chúng ta không quay hoặc lật hình song song.) V. Rastorguev

M2426. Cả nước có 64 thành phố, một số cặp được kết nối bằng đường bộ, nhưng chúng tôi không biết đó là thành phố nào. Chúng ta có thể chọn bất kỳ cặp thành phố nào và nhận được đáp số khi được hỏi liệu có con đường nào giữa chúng không. Chúng tôi muốn tìm hiểu xem liệu ở đất nước này có thể đi từ thành phố này đến thành phố khác bằng cách lái xe dọc theo các con đường hay không. Chứng minh rằng không có thuật toán nào có thể làm được điều này trong ít hơn 2016 câu hỏi. K.Knop

16

KVANT 2016/№3

M2427. Có N số được viết trên bảng, tất cả chúng đều khác nhau và một trong số chúng bằng 0. Bạn có thể lấy bất kỳ đa thức nào, mỗi hệ số của nó bằng một trong các số được viết (một số hệ số có thể bằng nhau) và cộng tất cả các nghiệm của đa thức này vào bảng. Sau một số phép tính như vậy, tất cả các số nguyên từ –2016 đến 2016 (và có thể cả một số số khác) đều xuất hiện trên bảng. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của N. G. Zhukov

M2428. Trên một hành tinh hình cầu có đường xích đạo dài 1, họ dự định đặt N đường vành đai, mỗi đường sẽ đi dọc theo một vòng tròn có chiều dài 1. Sau đó, một số đoàn tàu sẽ được phóng dọc theo mỗi đường. Tất cả các đoàn tàu sẽ di chuyển dọc theo các con đường với cùng một tốc độ không đổi dương, không bao giờ dừng lại hoặc va chạm. (Coi các đoàn tàu là các cung có độ dày bằng 0, từ đó các điểm cuối bị đẩy ra.) Trong những điều kiện như vậy, tổng chiều dài tối đa có thể có của tất cả các đoàn tàu là bao nhiêu: a) với N = 3; b) tại N = 4? c*) Tổng chiều dài của đoàn tàu có thể lớn hơn 1000 đối với một số N không? A. Berdnikov

F2428. Một nhóm ba du khách phải di chuyển từ điểm A đến điểm B dọc theo đoạn đường có chiều dài s = 45 km. Mọi người đều bắt đầu cùng một lúc. Cả đoàn khách du lịch chỉ có hai chiếc xe đạp, nếu hai người đi xe đạp thì tốc độ của họ là 3v, còn nếu một người đi xe đạp thì tốc độ của họ là 4v. Nếu một du khách đi bộ thì vận tốc của người đó là v = 5 km/h. Trong thời gian tối thiểu tất cả khách du lịch có thể đến đích? V. Sergeev

F2429. Chàng cao bồi buộc một quả bóng chày, $m_{м} = = 150$ g và D = 7,3 cm, vào một sợi dây cứng (không giãn và nhẹ) có chiều dài L = 1 m, đầu còn lại được buộc vào một thanh ngang tròn có đường kính d = 6 cm. Sau đó, anh ta bước 10 bước theo hướng vuông góc với xà ngang và bắn một khẩu Colt vào quả bóng. Bóng bắt đầu chuyển động nhanh, cuốn sợi chỉ quanh xà ngang rồi bật ra. Kiểm tra thì thấy viên đạn kẹt trong bi, sợi chỉ quấn quanh xà ngang n = 2 lần. Ước tính tốc độ của viên đạn trước khi va chạm với quả bóng nếu khối lượng của viên đạn là $m_{п} = 10$ g và sợi chỉ có thể chịu được tải trọng không quá $m_{гр} = 10$ kg. D. Bograchev

F2430. Vasya quyết định cân một mảnh nhỏ của thiên thạch Chelyabinsk mà anh tìm thấy gần Hồ Chebarkul bằng quả cân sắt. Để làm được điều này, ông đã sử dụng những chiếc cân đối xứng bằng nhau làm bằng sắt. Trong không khí, cân cho kết quả M = 2,1 kg. Khi những chiếc cân được ngâm hoàn toàn trong nước hồ, kết quả lại khác - để cân bằng những chiếc cân, người ta phải đặt những quả nặng lên chúng, tổng khối lượng của chúng bằng m = 1,8 kg. Trong trường hợp này, cả vật nặng và quả nặng đều được ngâm hoàn toàn trong nước. Tại sao

Mật độ của vật chất thiên thạch có bằng nhau không? Mật độ của sắt là $\rho_{ж} = 7,9$ g $см^{3}$, mật độ của nước là $\rho_{в} = 1,0$ g $см^{3}$. V.Statikov

F2431. Ba tụ điện có điện dung C, 2C và 3C được mắc nối tiếp thành một mạch kín. Sử dụng một thiết bị đặc biệt được kết nối với ba điểm kết nối của tụ điện, các điện tích +Q, +Q và –2Q được truyền (chuyển) đến những nơi này. Thiết bị đã bị tắt. Năng lượng tối đa (tối thiểu) có thể được lưu trữ trong một hệ thống tụ điện tích điện là bao nhiêu? S. Varlamov

F2432. Lưới vô hạn với các ô hình kim cương, được hiển thị trong hình 2, bao gồm các ô giống hệt nhau

Hình 2

điện trở Storov r. Tìm điện trở giữa hai điểm A và VA. A. Bychkov

F2433. Trong mạch điện ở hình 3, mọi phần tử đều lý tưởng, dòng điện trong cuộn dây có độ tự cảm L bằng 0. Chìa khóa được đóng và mở sau một khoảng thời gian $t_{0}$, khi tốc độ biến đổi năng lượng tích trữ trong cuộn cảm là $достигает^{Рис.} 3$ tối đa. Được biết, $t_{0} = 2 ln 2$ ◊ (L R). Tìm: 1) công suất P mà nguồn dòng điện sinh ra tại thời điểm mở công tắc; 2) lượng nhiệt $Q_{1}$ tỏa ra trong mạch sau khi mở công tắc; 3) lượng nhiệt $Q_{2}$ tỏa ra trong mạch khi đóng công tắc. A. Sheronov

F2434. Phía trên một mặt phẳng nằm ngang ở độ cao H = 10 m có một nguồn sáng điểm đẳng hướng có cường độ $W_{0} = 1000$ K (một nghìn candela). Một cảm biến ánh sáng phẳng nhỏ được lắp đặt ở điểm bề mặt gần nguồn sáng nhất; mặt phẳng của nó vuông góc với tia sáng. Diện tích của phần tử cảm biến cảm biến $S = 0,1 см^{2}$. Cảm biến ghi lại độ sáng bao nhiêu $E_{1}$ (tính bằng lux)? Sau đó trực tiếp dưới nguồn ánh sáng trên

17

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

một ống hình trụ thẳng đứng có đường kính trong d = 10 cm được đặt trên bề mặt. Chiều cao của ống là H. Nguồn sáng và cảm biến ánh sáng được đặt trên trục đối xứng của ống. Các thành bên trong của ống nhẵn, giống như gương và phản chiếu 100% ánh sáng. Cảm biến hiện đang ghi lại mức độ chiếu sáng $E_{2}$ nào? Cảm biến sẽ hiển thị điều gì nếu các bức tường, ở bất kỳ góc tới nào của ánh sáng, phản chiếu 99% ánh sáng tới? (Tính toán số có thể được thực hiện bằng máy tính.) M. Svetlov

Lời giải bài toán M2405–M2413, F2413–F2419

M2405. Đường thẳng nối tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác cắt một trong các cạnh của nó ở chân đường cao và cạnh kia tại điểm tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Tìm góc giữa các cạnh này của tam giác.

Lời giải xem bài viết của A. Zaslavsky “Về hai loại hình tam giác, hoặc bài toán đến từ đâu” trong số tạp chí này.

M2406. K số đã bị loại bỏ khỏi các số nguyên từ 1 đến 100. Có cần chọn k số khác nhau có tổng bằng 100 trong số các số còn lại nếu: a) k = 9; b) k = 8?

a) Đáp số. Không bắt buộc. Hãy loại bỏ các số 1, 2,…, 9. Khi đó tổng của chín số chẵn nhỏ nhất trong các số còn lại (10 + 11 +… + 18 = 126) lớn hơn 100. b) Đáp số. Cần thiết. Xét 12 cặp số có tổng bằng 25: (1, 24), (2, 23),…, (12, 13). Sau khi loại bỏ 8 số, sẽ còn lại ít nhất bốn cặp còn nguyên. Họ sẽ cho tổng cộng 100. A. Shapovalov

M2407. Mọi hệ số của một đa thức đều là số nguyên và mô đun của chúng không vượt quá 2015. Chứng minh rằng mọi nghiệm dương của đa thức này đều lớn hơn 1/2016.

Lời giải xem bài viết của S. Dorichenko, P. Kozhevnikov “Từ thay thế gốc đến số siêu việt” trên tạp chí số này.

M2408. Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ cắt nhau tại điểm M. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$ và điểm M cùng nằm trên một đường tròn.

Đặt $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$. Chúng ta hãy tiến hành suy luận về vị trí của các điểm thể hiện trong hình (đối với các trường hợp khác, vị trí của các tâm thì lý luận tương tự; để tránh phân tích các trường hợp, chúng ta có thể coi mọi góc đều được định hướng).

“QUANTA”

Chứng minh rằng $O_{4}$ nằm trên đường tròn $( MO_{1} O_{3} ).$ Đường thẳng $O_{1} O_{3}$ là đường phân giác vuông góc với $MA_{0}$. Góc $MO_{1} O_{3}$ bằng nửa góc ở tâm $MO_{1} A_{0}$ của đường tròn $( MA_{0} B_{0} ),$ tức là góc $MB_{0} A_{0}$ nội tiếp. Đường thẳng $O_{4} O_{3}$ là đường trung trực của đoạn $MC_{0}$ nên góc giữa đường thẳng $MO_{4}$ và $MO_{3}$ bằng nửa góc ở tâm $MO_{4} C_{0}$ của đường tròn $( MBC_{0} ),$ tức là góc $MBC_{0}$ nội tiếp. Và các góc $MB_{0} A_{0}$ và $MBC_{0}$ bằng nhau do có sự song song $B_{0} A_{0}$ và $BC_{0}$. Do đó – $MO_{1} O_{3} +$ – $MO_{4} O_{3} = 180 \infty$, tức là $O_{4}$ nằm trên đường tròn $( MO_{1} O_{3} ).$ Tương tự, $O_{2}$ nằm trên đường tròn $( MO_{1} O_{3} ).$ P. Kozhevnikov

M2409. Một hình vuông ca rô 9 ¥ 9 được làm bằng các que diêm, cạnh của mỗi hình vuông là một que diêm. Petya và Vasya thay phiên nhau bỏ que diêm, Petya bắt đầu. Người chiến thắng là người có nước đi không còn 1 ¥ 1 ô vuông. Ai có thể hành động theo cách đảm bảo chiến thắng, bất kể đối thủ của mình chơi như thế nào?

Đáp số. Vasya. Lưu ý rằng sẽ luôn còn một số lẻ trận đấu trước khi Vasya di chuyển. Rõ ràng người chiến thắng sẽ là người chiếm được vị trí khi có một hoặc hai ô vuông liền kề (ở một bên). Vì vậy, chỉ cần Vasya không để lại vị trí như vậy là đủ, khi đó anh sẽ thắng, vì một trận hòa là không thể. Hãy cho thấy anh ấy có thể làm điều này như thế nào trong những trường hợp khác nhau. 1) Còn lại nhiều hơn ba ô vuông. Anh ta sẽ đánh trận cuối cùng, làm hỏng không quá một ô vuông. 2) Còn lại ba hình vuông. Anh ta sẽ lấy một trận đấu không phải của họ, và nếu không có trận đấu nào như vậy, thì do số trận đấu lẻ nên rõ ràng hai hình vuông liền kề và hình vuông thứ ba không liền kề với chúng, thì anh ta sẽ làm hỏng một trong những hình vuông liền kề. 3) Còn lại hai hình vuông và chúng không kề nhau. Do số lẻ nên có một trận đấu không có trong đó mà Vasya sẽ tham gia. Tất cả các vị trí đã được xem xét. A. Shapovalov

M2410. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Các phần kéo dài của các cạnh đối diện của nó cắt nhau tại các điểm P và Q. Gọi K và N là trung điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng tổng các góc PKQ và PNQ bằng $180\infty$.

Đặt các điểm như trên hình. Các tam giác ACP và BDP giống nhau vì các góc C và D của chúng cùng chịu một cung và góc P là chung. Do đó, các trung vị tương ứng trong chúng bị cắt bỏ

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

Dunno có năm thẻ chứa các số: 1, 2, 3, 4 và 5. Hãy giúp anh ấy tạo ra hai số từ những thẻ này - một số có ba chữ số và một số có hai chữ số - sao cho số đầu tiên chia hết cho số thứ hai. A. Shapovalov

Một góc của một tam giác bằng $60\infty$ và cạnh đối diện với góc này bằng 1/3 chu vi của tam giác. Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều. M. Volchkevich

Hai con ốc sên bò trên bề mặt hình bánh rán của hành tinh, để lại dấu vết: một con dọc theo đường màu đỏ và con kia dọc theo đường màu xanh lam (như trên hình). Các vết ốc sên chia bề mặt hành tinh thành mấy phần? S. Smirnov, I. Yashchenko

Anya muốn viết vào từng ô của bảng

5 ¥ 8 mỗi lần một chữ số sao cho mỗi chữ số xuất hiện ở đúng bốn hàng. (Chúng ta đếm cả cột và hàng của bảng là hàng.) Chứng minh rằng cô ấy sẽ không thành công. E. Bakaev

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8. Những bài toán này đã được đưa ra tại Lễ hội Toán học XXVII.

Minh họa của D. Grishukova

Tại cuộc thi “Nào, quái vật!” 15 con rồng đứng thành một hàng. Số đầu của những con lân cận chênh nhau 1. Nếu một con rồng có nhiều đầu hơn cả hai con rồng lân cận thì nó được coi là xảo quyệt, nếu nó có ít hơn cả hai con rồng lân cận thì được coi là mạnh, còn những con còn lại (kể cả những con đứng trên rìa) được coi là bình thường. Có đúng bốn con rồng xảo quyệt liên tiếp - có 4, 6, 7 và 7 đầu và đúng ba con mạnh - có 3, 3 và 6 đầu. Con rồng đầu tiên và cuối cùng có số đầu bằng nhau. a) Hãy cho một ví dụ về cách điều này có thể xảy ra. b) Chứng minh rằng số đầu của con rồng thứ nhất trong mọi ví dụ đều bằng nhau. A. Shapovalov, I. Yashchenko

25

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

Những con bò của Isaac Newton

I.AKULICH

NHƯ Y.I. PERELMAN VIẾT TRONG SÁCH “Đại số giải trí” (Chương II, bài “Những con bò trên đồng cỏ”), theo một số thông tin, nông nghiệp bài toán này do chính Isaac Newton, hoặc ít nhất một trong những người cùng thời với ông đề xuất: Cỏ khắp đồng cỏ mọc dày và nhanh như nhau. Được biết, 70 con bò sẽ ăn nó trong 24 ngày và 30 con bò sẽ ăn nó trong 60 ngày. Có bao nhiêu con bò sẽ ăn hết cỏ trên đồng cỏ trong 96 ngày? Một cách tiếp cận thẳng thắn và có vẻ tự nhiên gặp phải những khó khăn không thể vượt qua. Trên thực tế, 96 ngày dài gấp 4 lần 24 ngày. Do đó, nếu 70 con bò ăn cỏ trong 24 ngày thì để bữa ăn kéo dài hơn 4 lần thì số lượng bò phải giảm đi một lượng tương ứng và trở thành 70: 4 = 17,5. Với đáp số này, người ta sẽ nhớ ngay đến câu chuyện hải quân một rưỡi nổi tiếng của Victor $Перестукина^{1}$, nhưng điều đó không quá tệ. Một điều nữa còn tệ hơn: nếu chúng ta dựa vào các điều kiện đã cho khác, cụ thể là không phải 70 con bò mà là 30 con đã ăn cỏ trong 60 ngày, thì 96: 60 = 1,6, và do đó số lượng bò cần thiết sẽ bằng 30: 1,6 = 18,75. Kết quả là, một cảm giác tuyệt vọng u ám nảy sinh, dịu đi đôi chút bởi hy vọng rằng điều kiện chỉ đơn giản là có sai sót, và do đó chẳng ích gì khi thực hiện bài toán như vậy. Trong khi đó, không có lỗi nào trong bài toán, và những người chú ý hơn sẽ chú ý ngay đến câu đầu tiên - về việc trồng cỏ. Đây là nơi chôn cất $собака^{2}$ - hóa ra là trong khi bò đang ăn, cỏ có thời gian để phát triển và nguồn cung cấp thức ăn trên đồng cỏ tăng lên (mặc dù nó không thể cung cấp cho động vật nguồn dinh dưỡng lâu dài vô tận). Làm thế nào để giải quyết bài toán như vậy? Một cách tiếp cận khả thi được đề xuất bởi Ya.I. chính Perelman trong cùng một cuốn sách. Hãy để chúng tôi trích dẫn lý luận của ông. Hãy để chúng tôi giới thiệu một ẩn số phụ, nó sẽ biểu thị sự phát triển hàng ngày của cỏ theo tỷ lệ cung cấp cho đồng cỏ. Trong một ngày y tăng, trong 24 ngày – 24y; nếu tổng cung được lấy là 1 thì trong vòng 24 ngày bò ăn 1 + 24y. mỗi ngày

1 Xem truyện cổ tích của L.B. Geraskina “Ở vùng đất của những người không có học thức $уроков».^{2}$ Trong trường hợp này, sẽ chính xác hơn khi nói “một con bò được chôn cất”.

27

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

TRẺ EM HỌC SINH

Pinocchio và chiếc xích đu của cậu ấy

S. DVORYANINOV

-T

BẠN PHẢI CÓ MỘT NHIỆM VỤ KHÓ? – Papa Carlo hỏi Pinocchio, ngước lên từ bàn làm việc. - Tại sao cậu lại quyết định như vậy? – Buratino ngạc nhiên. - Vâng, mọi thứ rất đơn giản. Trước mặt bạn là một cuốn sách nhưng đã lâu bạn chưa lật qua và chưa mở trang mới. Đây là điều xảy ra khi bạn đang nghĩ về một phép toán phức tạp bài toán. Cuốn sách của tôi hoàn toàn không viết về toán học, tôi đang đọc về những cuộc phiêu lưu của Nam tước Munchausen. Và đây là điều tôi đã nghĩ tới. Một ngày nọ, vị nam tước này được cho là đã nắm tóc mình ra khỏi đầm lầy. Mọi người đều hiểu rằng điều này là không thể theo tất cả các định luật vật lý và điều này không bao giờ xảy ra. Nhưng đây là những gì tôi nhớ. Khi tôi còn rất nhỏ, bạn đã đẩy tôi lên chiếc xích đu. Tôi ngồi xuống ghế bành, thỉnh thoảng bạn lại huých nhẹ anh ấy. Tôi cũng hỏi bạn: “Mạnh mẽ hơn!” Cao hơn! Thậm chí cao hơn! Mọi thứ đều rõ ràng ở đây - tôi không thể thúc ép bản thân. Nhưng hôm qua tôi và các cậu bé đang đu trên xích đu, và ở đây tình hình hoàn toàn khác. Tôi nhảy lên chiếc xích đu và sau đó, không cần ai giúp đỡ, tôi vung rất mạnh. Nếu bạn có mặt vào thời điểm đó, có lẽ bạn sẽ yêu cầu tôi phải cẩn thận. Nhưng đó không phải là vấn đề. Đối với tôi, việc lắc lư này giống như việc bạn tự kéo mình ra khỏi đầm lầy. Nhưng không ai có thể làm được điều sau, nhưng mọi người đều có thể đu trên xích đu. Tại sao lại như vậy?

Có lẽ có sự mâu thuẫn nào đó ẩn giấu ở đây và có một bí mật nào đó. Tôi muốn giải quyết vấn đề này. Và thật thú vị đến nỗi tôi sẵn sàng ngừng đọc cuốn sách hấp dẫn về những cuộc phiêu lưu của Munchausen. Vậy chúng ta đu trên xích đu như thế nào? “Được rồi, chúng ta sẽ tìm ra cách,” Papa Carlo rũ bỏ những mảnh vụn trên tạp dề và ngồi xuống bàn. - Đưa tôi tờ giấy. Đầu tiên chúng ta phải nhớ về năng lượng. Cụ thể là năng lượng cơ học. Có hai loại năng lượng như vậy… “Vâng, tôi biết,” Buratino tự tin nói. Năng lượng có thể là động năng và thế năng. Khi tôi tăng tốc trên một chiếc xe tay ga, tôi thực hiện công việc. Cả tôi và chiếc xe máy đều đang chuyển động trên đó với tốc độ ngày càng tăng. Tốc độ càng cao thì động năng càng lớn. Sau đó trong một thời gian tôi có thể lăn với tốc độ không đổi theo quán tính. Nếu đồng thời đường của tôi đi lên thì do động năng tích lũy nên tôi có thể lăn lên đồi. Khi bạn di chuyển lên trên, tốc độ giảm và động năng cũng giảm. Cuối cùng tôi sẽ dừng lại, động năng sẽ bằng không. Nhưng năng lượng sẽ không biến mất mà sẽ chuyển thành thế năng. Năng lượng này gắn liền với chiều cao. Cuối cùng tôi đã ở trên một ngọn đồi, và do đó tôi có thế năng. Bây giờ tôi có thể quay lại và lăn xuống. Trong trường hợp này, thế năng sẽ giảm - nó sẽ chuyển thành động năng của chuyển động. - Chà, tôi thấy bạn hiểu rõ về vật lý và bạn hiểu rằng năng lượng của bạn cũng thay đổi khi bạn đu trên xích đu. Bạn thấy mình đang ở trên đỉnh và dừng lại một lúc - thế năng của bạn là cao nhất, nhưng động năng của bạn bằng không. Tại điểm thấp nhất của quỹ đạo của bạn, thế năng bằng 0 và động năng là lớn nhất. Điều quan trọng là với những dao động như vậy của bạn - đây là tên gọi dao động của một con lắc, và dao động của bạn chính là con lắc đó - định luật bảo toàn năng lượng K + P = C được thỏa mãn, trong đó K là động năng, P là thế năng, C là giá trị không đổi đối với các dao động có biên độ cho trước. Vâng, hãy để tôi giải thích: biên độ là phạm vi dao động.

28

KVANT 2016/№3

– Do đó, nếu tôi muốn swing ngày càng mạnh hơn, tức là tăng ngày càng cao hơn, tôi phải tăng giá trị của hằng số C này. Và điều này có thể đạt được bằng cách tăng giá trị của K hoặc giá trị của P. Tôi hiểu rồi! Khi bạn đẩy chiếc xích đu của con tôi trước đó, bạn đã tăng động năng của tôi. Bây giờ đồng đội của tôi có thể hành động tương tự nếu họ ở gần. Nhưng ngay cả khi họ không ở đó, bản thân tôi, một mình, có thể vung ngày càng mạnh hơn. Làm thế nào điều này đạt được? Đây là câu hỏi chính của tôi! – Buratino nhiệt tình nói. – Hãy cùng tìm hiểu xem loại năng lượng nào – động năng hay thế năng – bạn có thể tăng lên khi đang đu dây. Bạn không thể thúc đẩy bản thân, vì vậy mọi hy vọng vẫn còn về việc tăng cường năng lượng tiềm năng. Nhưng bạn thực sự có thể tăng nó. Và bạn đang làm gì khi đang ở trên xích đu?… Ơ?… Bạn có nhớ không?.. “Vâng,” Buratino rất vui. Tôi đã nhớ ra! Đứng trên tấm ván, tôi lần lượt gập đầu gối rồi duỗi thẳng, tức là tôi lần lượt ngồi xổm và duỗi thẳng người. Và khi tôi đứng thẳng, tức là tôi đứng hết cỡ, thì tôi thực hiện công để nâng khối tâm (hoặc trọng tâm) của mình lên, và công này biến thành thế năng của cú đu. Nhưng sau đó, khi tôi ngồi xổm, thế năng - đến đây Buratino im lặng và vẻ thất vọng hiện rõ trên khuôn mặt anh ấy. – Vậy thế năng ở đó có tác dụng gì? – Papa Carlo động viên anh ấy. – Thế năng giảm nên tổng năng lượng của hệ cơ đang xét không tăng thêm. “Tôi không thể vung mạnh hơn,” Buratino thất vọng kết luận. - Đừng vội, nhưng hãy cẩn thận. Rốt cuộc, các thí nghiệm, tức là kinh nghiệm của bạn, họ nói rằng sự lắc lư xảy ra! Đừng bỏ cuộc và đừng nản lòng, hãy tìm kiếm lời giải thích mang tính lý thuyết cho hiện tượng này. - Họ đang tìm nấm trong rừng, nhưng tìm lời giải thích ở đâu? - Pinocchio trở nên chán nản. - Như ở đâu? Trong lý luận của bạn! Tình cờ là bạn đã giải một phương trình, kiểm tra đáp số và thấy rằng mình đã sai. Bạn bắt đầu quyết định lại, cẩn thận thực hiện tất cả các tính toán. Vì vậy, bây giờ là như vậy. Sau đây tôi sẽ cho bạn một gợi ý nhỏ. Hãy bắt đầu lại từ đầu. Bạn đu đưa qua lại trên xích đu với biên độ không đổi trên hai chân cong ở đầu gối. Và ở điểm thấp nhất, bạn ngay lập tức đứng thẳng lên hết cỡ. Bạn có nghĩ rằng sau đó biên độ (tức là nhịp) sẽ tăng lên không?

• Chắc chắn. Rốt cuộc, tôi đã tự nâng mình lên, thực hiện công, tăng thế năng và do đó làm tăng tổng năng lượng của hệ. “Vậy nên có một cách để tăng thế năng.” Có thể không nhiều nhưng hãy tăng lên. Tôi muốn lặp lại kỹ thuật này. Phải? Nói cách khác, bạn nên đứng thẳng trở lại với chiều cao tối đa của mình. Nhưng bây giờ bạn đã đứng và không thể lặp lại kỹ thuật này. Làm sao đây?.. – Bạn chỉ có thể đứng hết chiều cao của mình khi ở trạng thái hai chân cong ở đầu gối. Và vì vậy bây giờ tôi phải ngồi xuống," Buratino đồng ý. Điều quan trọng nhất là chọn thời điểm thực hiện việc này. Nếu bạn khuỵu gối ở điểm thấp nhất của quỹ đạo, thì sự mất đi thế năng sẽ bằng với mức tăng của nó trước đó. Tổng hiệu ứng của hai hành động sẽ bằng 0, chúng ta sẽ quay lại chế độ dao động ban đầu. Tốt nhất là ngồi xuống… Hãy nghĩ xem khi nào. Và để đưa ra đáp số đúng, hãy nhìn vào hai cầu thang giống hệt nhau. Chỉ một trong số chúng đứng vững. theo chiều dọc (như lối thoát hiểm gần một ngôi nhà), và cái kia nghiêng. Nếu bạn leo lên, chẳng hạn như 10 bậc trên mỗi cầu thang, thì trong trường hợp nào bạn sẽ leo lên một độ cao lớn hơn - cầu thang thẳng đứng hay cầu thang nghiêng? Ở đây cần nhớ rằng chân của một tam giác vuông nhỏ hơn cạnh huyền. Mọi thứ đều rõ ràng với tôi - Buratino vui vẻ nói. tăng, tức là ở điểm dưới cùng của quỹ đạo. Do đó, thế năng mất đi sẽ ít hơn mức tăng của nó. Do hai hành động - duỗi thẳng ở điểm dưới cùng và ngồi xổm ở điểm trên cùng - xích đu sẽ nhận được năng lượng tăng lên, biên độ dao động sẽ tăng lên, do đó bơm năng lượng vào hệ thống cơ học của chúng ta. đến hết chiều cao của bạn - bạn sẽ có một con lắc ngắn có chiều dài l. – Vâng, chúng ta đã giải quyết xong vấn đề vật lý. Bạn có thể tiếp tục đọc và tôi có thể tiếp tục công việc của mình. Nhưng cần lưu ý rằng chúng ta đã đưa ra lời giải thích đơn giản nhất về cách một chiếc xích đu dao động. Nhưng đây là một chủ đề cho một cuộc trò chuyện khác.

Trong tay phải tôi cầm… một cái bình, và tay kia tôi cố gắng tạo ra tia lửa từ thùng điện. Đột nhiên tay phải của tôi bị đánh mạnh đến nỗi toàn thân tôi rung lên như bị sét đánh… Tôi tưởng rằng sự kết thúc đã đến. Pieter van Muschenbrouck

Trong quá trình thí nghiệm, một bình Leyden phủ staniol được nối với một sợi dây qua đó các bán cầu được tích điện… Henry Cavendish

Nỗ lực đầu tiên của tôi nhằm làm chệch hướng một chùm tia âm cực là cho nó đi qua giữa hai tấm kim loại… và tạo ra một điện trường giữa các tấm kim loại. Joseph John Thomson

…hiệu điện thế giữa hai dây dẫn tỉ lệ thuận với điện tích của chúng…hệ số tỉ lệ được gọi là điện dung, và hệ hai dây dẫn được gọi là tụ điện. Richard Feynman

Nó có quen thuộc với bạn không?

?

tụ điện

Chẳng phải là có quá nhiều vinh dự cho một thiết bị trong phần truyền thống dành cho các định luật, hiện tượng và khái niệm cơ bản sao? Thứ nhất, trong hơn hai thế kỷ rưỡi, ông là người tham gia không thể thiếu trong nhiều nghiên cứu quan trọng. Việc phát hiện ra bình Leyden đơn giản đã cách mạng hóa các thí nghiệm về điện, và sau đó tụ điện được sử dụng trong tất cả các thí nghiệm mang tính quyết định trong đó khoa học hiện đại ra đời, cho đến khi thuyết tương đối được xác nhận. Thứ hai, tụ điện vẫn cực kỳ quan trọng đối với việc luyện tập. Phóng điện tụ điện trong đèn flash, tia laser kích thích và đèn huỳnh quang, cũng như hoạt động của máy khử rung tim giúp bệnh nhân sống lại bằng cách truyền xung điện qua tim chỉ là một vài lĩnh vực ứng dụng của chúng. Và chúng ta có thể nói gì về tivi và radio, máy tính bỏ túi và máy tính lớn, micrô và điện thoại cũng như nhiều phương tiện liên lạc khác! Tụ điện có thể được tìm thấy ở bất cứ nơi nào sử dụng mạch tích hợp. Đúng vậy, chúng không còn giống với những thiết bị tích lũy điện tích đầu tiên nữa - việc thu nhỏ một lít “bình Leyden” sẽ giúp bạn có thể lắp nó vào một bộ phận hầu như không nhìn thấy được trên đầu ghim. Chà, và thứ ba, bạn sẽ gặp tụ điện nhiều lần trong khóa học vật lý ở trường của mình. Trường nào được hình thành trong chúng, các lựa chọn khả thi cho kết nối của chúng là gì, chúng tích lũy và giải phóng năng lượng như thế nào, chúng hoạt động như thế nào trong các mạch điện một chiều hoặc xoay chiều, cách các hạt tích điện bay qua chúng, cách chúng nhận và truyền thông tin với sự trợ giúp của chúng - đây là những câu hỏi mà bạn cần có khả năng trả lời. Chúng tôi hy vọng tập Kính vạn hoa này sẽ giúp bạn giải quyết chúng.

Câu hỏi và bài toán

1. Có thể sạc một bình Leyden mà không cần nối đất một trong số đó không $обкладок?^{2.}$ Cường độ trường sẽ thay đổi như thế nào giữa các bản của một tụ điện bản song song đơn độc nếu điện tích trên một trong các bản tăng gấp đôi?

2. Trong trường hợp nào lực tương tác giữa các bản của tụ điện tích điện đặt trong chất điện môi lỏng: a) tỉ lệ thuận với hằng số điện môi của môi trường; b) tỷ lệ nghịch với $ей?^{4.}$ Một tụ điện không khí phẳng, các bản của nó nằm ngang, được lấp đầy một nửa bằng chất điện môi lỏng có độ thấm $\varepsilon$. Phần nào của tụ điện phải được lấp đầy bằng cùng một chất điện môi với sự sắp xếp theo chiều dọc của các bản sao cho điện dung trong cả hai trường hợp là $одинаковы?^{5.}$ Tìm điện dung của dãy tụ điện như trong hình 1, nếu điện dung của mỗi tụ điện là $С.^{6.}$ Giá trị của điện dung $C_{x}$ là bao nhiêu, nếu tổng điện dung của mạch điện như trong hình 2 là 2C?

Hình 1

Hình 2

7. Bốn tấm kim loại giống hệt nhau được đặt trong không khí ở những khoảng cách bằng nhau và được nối với nhau bằng một dây dẫn, như được chỉ ra trong hình 3. Xác định điện dung của hệ thống đó nếu điện dung của mỗi cặp tấm riêng lẻ là $C_{0}.^{8.}$ Một tụ điện đã tích điện được mắc song song với cùng một tụ điện nhưng không tích điện. Năng lượng của trường $конденсатора?^{9.}$ đầu tiên đã thay đổi bao nhiêu lần? Cạnh của tấm điện môi được mắc vào một tụ điện đã tích điện. $Что^{Рис.} 3$

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXVII

MỤC ĐÍCH CỦA DU LỊCH XUÂN

LỰA CHỌN CƠ BẢN

lớp 8–9

$1 (3)^{1}$. Nam và nữ đứng thành vòng tròn (có cả hai), tổng cộng 20 em. Được biết, mọi cậu bé đều có một người hàng xóm theo chiều kim đồng hồ - một đứa trẻ mặc áo phông xanh, và mọi cô gái đều có một người hàng xóm ngược chiều kim đồng hồ - một đứa trẻ mặc áo phông đỏ. Có thể xác định rõ ràng có bao nhiêu chàng trai trong vòng tròn? E. Bakaev

2 (4). Trong tam giác ABC nhọn, góc C bằng $60^\circ$. Gọi H là giao điểm các đường cao của tam giác này. Một đường tròn tâm H bán kính HC cắt các đường thẳng CA và CB lần thứ hai tại các điểm M và N. Chứng minh AN và BM song song (hoặc trùng nhau). E. Bakaev

3 (5). Có số nguyên 2016 nào có tổng và tích bằng 2016 không? Văn học dân gian, do M. Evdokimov đề xuất

4 (5). Trong hình vuông $10 \times 10$, tất cả các ô của hình vuông phía trên bên trái $5 \times 5$ có màu đen và các ô còn lại có màu trắng. Số lượng đa giác lớn nhất mà hình vuông này có thể được cắt thành (dọc theo ranh giới của các ô) là bao nhiêu để trong mỗi đa giác có số ô đen ít hơn ba lần so với ô trắng? (Các đa giác không cần phải có kích thước bằng nhau hoặc thậm chí bằng nhau.) E. Bakaev

5 (5). Vẽ một hình tam giác trên một tờ giấy bằng bút chì màu xanh, sau đó dùng bút chì màu đỏ vẽ đường trung bình, đường phân giác và đường cao (có thể không phải tất cả từ các đỉnh khác nhau) nằm bên trong hình tam giác bằng bút chì màu đỏ. Chúng ta đã có được sự phân chia tam giác thành nhiều phần. Những mảnh này có thể bao gồm một hình tam giác đều có cạnh màu đỏ không? M. Evdokimov

lớp 10–11

1 (4). Một điểm bên trong một tứ giác lồi được nối với tất cả các đỉnh và bốn điểm trên các cạnh (mỗi điểm một cạnh). Tứ giác hóa ra được chia thành tám hình tam giác có bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng nhau. Chứng minh rằng tứ giác ban đầu là tứ giác nội tiếp. E. Bakaev

2 (4). Xem bài toán 3 cho lớp 8–9.

3 (4). Xem bài toán 4 cho lớp 8–9.

4 (6). Xem bài toán M2421 “Bài toán Kvant”.

5. Trên mỗi cạnh trong số 12 cạnh của hình lập phương, phần giữa của nó được đánh dấu. Liệu quả cầu có nhất thiết phải đi qua tất cả các điểm được đánh dấu nếu biết rằng nó đi qua:

1 Trong ngoặc đơn sau số bài toán số điểm tối đa được trao cho lời giải của nó được biểu thị. Kết quả được tóm tắt theo ba nhiệm vụ đã đạt được kết quả tốt nhất; Điểm cho các điểm của một bài toán được tổng hợp.

a) (3) qua khoảng 6 điểm đã đánh dấu; b) (3) qua khoảng 7 điểm đã đánh dấu? M. Evdokimov

LỰA CHỌN PHỨC HỢP

lớp 8–9

1. Trên một dải giấy dài, họ viết ra tất cả các số từ 1 đến một triệu (theo một thứ tự ngẫu nhiên nào đó). Sau đó, cuộn băng được cắt thành nhiều mảnh, mỗi mảnh có hai con số. Chứng minh rằng dù viết các số theo thứ tự nào thì tất cả các số có hai chữ số đều có trên các mảnh ghép. A.Tolpygo

2. Có số nguyên a và b sao cho: a) (2) phương trình $x^{2} + ax + b = 0$ không có nghiệm nhưng phương trình $È Î x^{2}$ ˘ ˚ + ax + b = 0 thì có? b) (3) phương trình $x^{2} + 2 ax + b = 0$ không có nghiệm nhưng phương trình $È Î x^{2}$ ˘ ˚ + 2 ax + b = 0 có? (Ký hiệu [k] biểu thị phần nguyên của số k, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá k.) A. Khrabrov

3 (6). Cho một hình vuông có cạnh 10. Cắt nó thành 100 hình tứ giác bằng nhau, mỗi hình tứ giác nội tiếp trong một hình tròn có đường kính 3. I. Bogdanov

4 (8). Nghệ sĩ trừu tượng lấy một khối gỗ

$5 \times 5 \times 5$, chia mỗi mặt thành các ô vuông đơn vị và sơn mỗi mặt bằng một trong ba màu - đen, trắng hoặc đỏ - sao cho không có ô vuông cùng màu nào liền kề với nhau. Có thể tạo ra số ô vuông màu đen nhỏ nhất là bao nhiêu? (Các hình vuông có một cạnh chung được coi là liền kề nếu chúng nằm trên cùng một mặt của hình lập phương và nếu chúng nằm trên các mặt khác nhau của hình lập phương.) M. Evdokimov

5 (8). Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn $10^{k}$. Chúng tôi lấy một số chia hết cho p và chèn một số có k chữ số A vào giữa hai chữ số liền kề của nó. Chúng ta có một số chia hết cho p. Một số có k chữ số B được chèn vào đó - giữa hai chữ số liền kề của số A - và kết quả một lần nữa lại chia hết cho p. Chứng minh rằng số B được lấy từ số A bằng cách sắp xếp lại các chữ số. I. Bogdanov

6 (9). Một robot hút bụi có hình tròn chạy trên sàn phẳng. Đối với mỗi điểm trên vòng tròn ranh giới của robot, bạn có thể chỉ định đường thẳng mà điểm này duy trì trong toàn bộ chuyển động. Tâm của robot có nhất thiết phải nằm trên một đường thẳng nhất định trong toàn bộ chuyển động không? I. Weinstein

7. a) (5) Có 2n + 1 pin (n > 2). Người ta biết rằng có nhiều pin tốt hơn pin xấu, nhưng pin nào tốt, pin nào xấu thì chưa biết. Hai viên pin được lắp vào đèn pin và đèn chỉ sáng nếu cả hai đều tốt. Số nhỏ nhất của số đó là bao nhiêu

51

Thế Vận Hội

thanh C, nằm cách điểm O một khoảng $l_{2} = 110$ cm, sao cho quả cầu nhôm lại được nhúng chìm đến một nửa thể tích của nó? Mật độ của nhôm, dầu máy và nước lần lượt là $\rho_{a} = 2700$ kg $м^{3}, \rho_{м} = 800$ kg $м^{3}$ và $\rho_{в} = 1000$ kg $м^{3}$. Trước khi nhúng quả bóng vào nước, quả bóng đã được lau sạch dầu. E.Yakuta

lớp 8

1. Ô tô đã chạy một đoạn đường với tốc độ không đổi $v_{1}$ trên đường đất, sau đó khi đến đoạn đường nhựa tốt, nó chạy nhanh hơn với tốc độ không đổi khác $v_{2}$. hình 13 hiển thị biểu đồ tốc độ trung bình

Hình 13

$v_{cp}$ của ô tô tính từ quãng đường s mà nó đã đi được. Thật không may, hầu hết biểu đồ đã mờ dần theo thời gian và chỉ còn lại những mảnh rời rạc. Xác định các giá trị của tốc độ $v_{1}$ và $v_{2}$. Phải mất bao lâu để lái xe dọc theo con đường đất? Tốc độ trung bình của ô tô đạt được giá trị bao nhiêu khi đi được km thứ một trăm? M. Zamyatnin

2. Ở đầu bên phải A của thanh có khối lượng không đáng kể, một quả cầu nhôm được treo trên một sợi dây mỏng (xem hình12). Thanh được đặt trên mép của một bình chứa nước và đến điểm B, nằm cách $l_{1} = 50$ cm về bên trái điểm tựa O, một vật nặng có khối lượng m được treo lơ lửng đến mức quả bóng chìm trong nước một nửa thể tích của nó. Quả bóng này sẽ chìm trong nước bao nhiêu phần thể tích nếu tải được chuyển từ điểm B đến điểm C, nằm cách điểm O một khoảng $l_{2} = 60$ cm? Mật độ của nhôm là $\rho_{a} = 2700$ kg $м^{3}$, mật độ của nước là $\rho_{в} = 1000$ kg $м^{3}$. E.Yakuta

3. Xem bài toán F2422 “Bài toán Kvant”.

4. Bố quyết định đưa Vasya đi câu cá mùa đông cùng mình. Trong kho của bố có thêm hai quả cân chì có cùng khối lượng. Cái đầu tiên là một hình lập phương, và cái thứ hai là một hình trụ, chiều cao của nó bằng chiều dài cạnh của hình lập phương. Những chiếc móc nhỏ được gắn vào giữa một trong các mặt của hình lập phương và vào tâm của một trong các đế của hình trụ. Tại một thời điểm nào đó, Vasya cảm thấy nhàm chán và bắt đầu thử nghiệm những quả tạ này. Vasya buộc các sợi chỉ vào các móc, treo các quả chìm bằng những sợi chỉ này và bịt kín bề mặt trên và dưới của các quả chìm bằng băng cách điện, loại băng này không dẫn nhiệt tốt. Sau đó, Vasya đun nóng nước trong một cái bát trên bếp gas của trại, hạ một khối chì vào đó, đợi cho nó nóng lên hoàn toàn đến $80 ^\circ$ C, rồi nhúng khối vào hố băng. Hóa ra khối lập phương đã nguội đến nhiệt độ $36,6 ^\circ$ C trong 30 giây. Sau đó, Vasya đun nóng một cái chậu hình trụ theo cách tương tự đến cùng nhiệt độ và

đẩy anh ta xuống hố. Sẽ mất bao lâu để nó nguội đến nhiệt độ $36,6 ^\circ$ C? Trợ giúp: thể tích của một hình trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó. A. Bychkov

lớp 9

1. Trên hành tinh của hệ sao Shedar, một trong những điểm sạc dành cho người biểu diễn robot phục vụ mỗi lần một robot với tốc độ 60 robot mỗi giờ (r/h). Một ngày nọ, robot đến điểm trong vòng 8 giờ. Giờ đầu tiên họ đến với tốc độ 70 vòng/giờ. Trong giờ thứ hai, tốc độ xuất hiện của robot tăng dần, cuối cùng đạt 80 r/h. Sau đó, trong giờ thứ ba, tốc độ đến của robot giảm dần và giảm xuống còn 70 vòng/giờ vào cuối giờ. Trong giờ thứ tư, tốc độ đến của robot giảm đều, đạt 20 r/h vào cuối giờ và sau đó giữ nguyên như vậy trong giờ thứ năm và thứ sáu. Vào giờ thứ bảy, tốc độ đến của robot lại tăng đồng đều - lên tới 100 r/h vào cuối giờ, và vào giờ thứ tám, tốc độ đến của robot giảm đồng đều xuống 60 r/h. Các robot tuân thủ nghiêm ngặt mệnh lệnh và sau khi sạc pin, chúng lập tức rời khỏi điểm. 1) Điểm hoạt động trong ngày hôm đó là bao lâu nếu tất cả các robot đều được sạc? 2) Thời gian robot ở lại điểm sạc lâu nhất (trong hàng đợi và tại trạm sạc) trong ngày này là bao lâu? A. Frolov

2. Xem bài toán F2423 “Bài toán Kvant”.

3. Một cái nêm có khối lượng M = 5 kg có góc đáy $\alpha = 45 ^\circ$ đặt trên một bàn nằm ngang nhẵn (hình14). Một khối có khối lượng m = 1kg nằm trên mặt nghiêng của nêm. Một lực hướng theo phương ngang về phía nêm bắt đầu tác dụng lên khối. Mô đun của lực này tăng theo thời gian t theo định luật $F = \delta t$, trong đó hệ số tỷ lệ là $\delta = 1$ N s. Hệ số ma sát giữa nêm và khối là $\mu = 1,2$. Hình 14 Tìm độ lớn của lực ma sát tác dụng từ phía của khối nêm lên khối sau thời gian T = 12 s kể từ khi lực bắt đầu xuất hiện, nếu đến thời điểm này khối nêm vẫn chưa bắt đầu lật. Gia tốc trọng trường có thể coi là g = 10 m $с^{2}$. A. Bychkov

4. Alice và Vasilisa đang chơi trò chơi “Dòng điện một chiều”. Họ nối nối tiếp hai biến trở và một ampe kế lý tưởng rồi nối mạch thu được với một nguồn điện áp. Ampe kế hiển thị dòng điện $I_{0} = 100$ mA. Các nữ sinh lần lượt “đi bộ”. Người ta di chuyển thanh trượt của bộ biến trở và số chỉ của ampe kế thay đổi. Người kia cũng nên di chuyển thanh trượt của bộ biến trở, đưa dòng điện về giá trị trước đó càng nhanh càng tốt. Sau đó, “nước đi” sẽ thuộc về cô ấy. Các biến trở của các cô gái là khác nhau, nhưng trên mỗi cô gái, thanh trượt di chuyển theo đường thẳng và ở vị trí chính giữa khi bắt đầu trò chơi. Đối với Alice, khoảng cách giữa các vị trí cực đại có thể có của thanh trượt là $L_{A} = 36$ cm và đối với Vasilisa – $L_{B} = 40$ cm. 1) Alice “đi” trước. Cô di chuyển thanh trượt sang phải 4 cm và ampe kế bắt đầu hiển thị dòng điện $I_{1} = 90$ mA.