Kvant 2017, số 2 · Trang

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2451 – M2453 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXXVIII. Bài toán F2457–F2460 đã được đưa ra vào năm 2016 tại Olympic Vật lý mở rộng Thành phố St. Petersburg dành cho học sinh.

Bài toán M2450–M2453, F2457–F2460

M2450. Cho tam giác ABC. Trên tia AB, chúng ta đánh dấu một điểm $C_{1}$ sao cho $AC_{1} = =$ AC, trên tia BC sao cho một điểm $A_{1}$ sao cho $BA_{1} = =$ BA, trên tia CA sao cho $B_{1}$ sao cho $CB_{1} = CB$; trên tia BA, chúng ta đã đánh dấu một điểm $C_{2}$ sao cho $BC_{2} = BC$, trên tia CB một điểm $A_{2}$ sao cho $CA_{2} = CA$, trên tia AC sao cho một điểm $B_{2}$ sao cho $AB_{2} = AB$ (hình1). Chứng tỏ nó xấu

dọc theo các đường của lưới vuông. Ông đã kiểm tra rằng nó có thể được cắt dọc theo ranh giới của các ô thành 2 đa giác bằng nhau và 25 đa giác bằng nhau. Sau đó có cần thiết phải cắt nó dọc theo ranh giới của các ô và thành 50 đa giác bằng nhau không? E. Bakaev

M2452. Có thể cắt một hình vuông có cạnh 1 thành hai phần và che chúng bằng bất kỳ hình tròn nào có đường kính lớn hơn 1 không? A. Shapovalov

M2453. Thẻ đỏ 2016 và thẻ xanh 2016 đều có ghi số dương, chúng đều khác nhau. Người ta biết rằng tổng theo cặp của khoảng 64 số được viết trên các thẻ cùng màu và tích từng cặp của 64 số giống nhau được viết trên các thẻ có màu khác. Có phải lúc nào cũng có thể xác định được những thẻ màu nào có tổng cặp trên chúng không? B.Frenkin

Hình 1

Diện tích của tam giác ABC bằng một nửa tổng diện tích của các tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ và $A_{2} B_{2} C_{2}$. P. Xoăn M2451. Petya vẽ một đa giác có diện tích 100 ô, vẽ ranh giới

F2457. Một tàu chở nhiên liệu hết nhiên liệu khi còn cách cảng L = 100 km. Để đến đích, thuyền trưởng quyết định sử dụng hàng hóa làm nhiên liệu cho tàu chở dầu. Cần phải tiêu tốn ít nhất bao nhiêu tấn nhiên liệu để đến cảng theo đường thẳng? Tốc độ của tàu chở dầu phụ thuộc

23

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

bài viết. Chúng tôi sẽ trình bày lý luận hình học sau đây, từ đó chúng tôi có thể rút ra sự bảo toàn diện tích. Chúng ta hãy xem xét một hình thang cong - một “tỷ lệ” có chiều rộng t, được giới hạn bởi các đường thẳng đứng cách nhau một khoảng t và các parabol $y = x^{2} + b, y = x^{2} + b + s$, trong đó s > 0 (hình5). Khi đó diện tích của vảy là ts.

Hình 5

Bài tập 5: Chứng minh điều đó. Gợi ý. Cắt cân theo chiều ngang thành từng mảnh, sắp xếp lại chúng để tạo thành hình chữ nhật $t \times s$.

Trong quá trình quay parabol, bất kỳ đường thẳng đứng nào cũng bị dịch chuyển k theo chiều ngang, điều đó có nghĩa là vảy của chúng ta sẽ biến thành một vảy mới có cùng chiều rộng t, được kẹp giữa các parabol giống nhau. Như chúng ta thấy, diện tích của lớp vảy mới cũng bằng ts. Vì vậy, diện tích của thang đo được kẹp giữa các đường thẳng đứng và parabol có dạng $y = x^{2} + c$ được giữ nguyên. Bạn có thể tạo một lưới “đường cong” mịn từ các tỷ lệ như vậy (hình6) và ước chừng một giá trị nhất định

(Xem phần đầu ở trang 9) Trong Vũ trụ sơ khai, những chuyển pha rất lớn đã diễn ra, sự phân rã của chân không và sự ra đời ngày càng nhiều hạt mới từ nó. Sự tiến hóa của Vũ trụ là một quá trình không cân bằng và không thể đảo ngược. Nhà vật lý đầu tiên nghiêm túc chú ý đến vấn đề này là Georgy Gamow, người cùng với các sinh viên của mình đã tìm ra mối quan hệ giữa lượng nguyên tố nhẹ của hệ Mendeleev trong Vũ trụ, dự đoán sự tồn tại của bức xạ nền vi sóng vũ trụ và ước tính chính xác nhiệt độ của nó. Nhưng đó lại là một câu chuyện khác…

“QUANTA”

Hình 6

hình bằng một tập hợp tỷ lệ (tương tự như cách, khi xác định diện tích của các hình phức tạp, hình được tính gần đúng bằng một tập hợp các ô của một lưới vuông mịn) - và suy ra việc bảo toàn diện tích cho tỷ lệ để bảo toàn diện tích cho bất kỳ hình nào. Vậy là cả ba điểm chính của lời giải đã sẵn sàng, giờ chỉ còn là chuyện nhỏ thôi.

Bài tập

6. Lập dạng tương tự của Bài tập 2, chứng minh và hoàn thành lời giải bài toán trên parabol. 7. Xây dựng và chứng minh sự thật về phần giữa của đoạn thẳng, tương tự Bài tập 3.

Để kết luận, chúng tôi mời người đọc đưa ra bài toán không gian tương tự về các hình elip, hyperboloid, paraboloid và các khối bị cắt bởi các mặt phẳng tiếp tuyến.

Văn học

1. Những bức thư và bản thảo của A. Friedmann trong kho lưu trữ của P. Ehrenfest (www.lorentz.leidenuniv.nl/ history/Friedmann_archive/) 2. A. A. Friedman. Thế giới như không gian và thời gian (tái bản lần thứ 5) (M.: Librocom, 2009) 3. Số tạp chí “Uspekhi Fizicheskikh Nauk”, dành riêng cho lễ kỷ niệm 75 năm Friedman (tập 80, v. 3, 1963) 4. E.A. Tropp, V.Ya. Frenkel, AD Chernin. Alexander Alexandrovich Fridman: Cuộc sống và hoạt động (tái bản lần thứ 2) (M.: KomKniga, 2006) 5. A. Belenky. “Vùng nước tôi đang đi vào chưa bao giờ được vượt qua trước đây.” Alexander Friedman và nguồn gốc của vũ trụ học hiện đại (tạp chí điện tử “Science from First Hands”, Số 5(47), 2012) 6. V.O. Solovyov. Friedman đã đào tạo Einstein như thế nào (tạp chí Naukograd, số 4(6), 2015) 7. M.V. Sazhin. Vũ trụ học hiện đại trong một bài thuyết trình phổ biến (M.: URSS, 2002) 8. A.D. Dolgov. Vũ trụ học: từ Pomeranchuk đến ngày nay (UFN, tập 184, 2014)

TRƯỜNG KVANT

Nhiệt động lực học và chu trình xe máy

A.STASENKO

“Xin chào các vectơ cao quý! Tôi là phù thủy tốt bụng Adi Aba Ata…” Anh dẫn anh em nhà Adi Aba Ata đến đường trắc địa, chỉ đường đến Divgrad… Làm thế nào ba vectơ biến một định thức thành 0 (từ cuốn sách “Các nhà vật lý tiếp tục đùa giỡn”)

MỘT ngày nọ, tại Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva có một cuộc hội thảo dành cho học sinh trong khuôn khổ chương trình “Bắt đầu bước vào khoa học”. Các thành viên ban giám khảo chăm chú lắng nghe phần tường trình của em học sinh lớp 9 về xe máy. Những hình ảnh nhiệt động học quen thuộc hiện lên trong đầu những người nghe có kinh nghiệm, bắt đầu từ những quá trình khí đơn giản nhất. Ví dụ: trên hình 1, ba trong số chúng được hiển thị theo tọa độ áp suất - thể tích (p, V), áp suất - nhiệt độ (p, T), cũng như trong không gian ba chiều (p, T, V). Nhiệt động lực học bắt đầu với những tình huống cụ thể này khoảng hai trăm năm trước. Bây giờ ai mà không biết luật của Gay-Lussac, Boyle-Mariotte, Charles, Mendeleev-Clapeyron! Nhưng quá trình này phức tạp hơn (để mô tả) - đoạn nhiệt, tức là xảy ra mà không trao đổi nhiệt với các vật thể xung quanh. Trên hình 2 được đánh dấu bằng số 4. Chúng ta hãy so sánh nó với quá trình đẳng nhiệt 1. Có thể thấy rằng khi chất lỏng làm việc (khí) giãn nở từ thể tích $V_{min}$ đến $V_{max}$, để duy trì nhiệt độ không đổi trong quá trình 1 thì cần phải cung cấp năng lượng từ bên ngoài, nhưng trong quá trình đoạn nhiệt 4 không có sự trao đổi nhiệt và khí phải tiêu tốn một phần năng lượng của chính nó cho cùng một mức tăng khối lượng. Do đó, nhiệt độ và áp suất của nó giảm. Rõ ràng với bất kỳ ai hiểu rằng trong trường hợp này các tham số của trạng thái có liên quan với nhau bởi các quan hệ

$\gamma$

$p \sim V^{-\gamma} \sim T^{\gamma -} 1$,

Hình 1. Các trường hợp đặc biệt của các quá trình khí trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều: 1 – đường đẳng nhiệt, 2 – đẳng tích, 3 – đẳng tích

Hình 2. Các quá trình đồng phân và đoạn nhiệt giống nhau

trong đó $\gamma = C_{p} C_{V}$ là tỷ số nhiệt dung mol của khí trong các quá trình đẳng áp và đẳng tích (chỉ số p và V tương ứng được biểu thị). Nhưng thậm chí còn có sự phụ thuộc mạnh mẽ hơn của áp suất vào nhiệt độ - theo cấp số nhân. Trong trường hợp này chúng ta đang nói về trạng thái của hơi bão hòa, tức là hơi ở trạng thái cân bằng với chất lỏng của nó. Chúng ta hãy nhớ lại công thức khí áp: áp suất p của khí quyển giảm theo chiều cao h

Biến tần

Vào thế kỷ 19, các kỹ sư cơ khí phải đối mặt với một vấn đề quan trọng bài toán: tạo ra một đường thẳng - một cơ chế biến chuyển động tròn thành chuyển động thẳng. Người ta cho rằng lời giải sẽ là một cơ cấu bản lề phẳng - một hệ thống các liên kết phẳng có độ dài khác nhau được lồng vào nhau bằng bản lề ở các đầu. Nhà toán học vĩ đại người Nga Pafnutiy Lvovich Chebyshev chỉ có thể nghĩ ra một đường thẳng gần đúng, biến chuyển động tròn của một bản lề thành chuyển động của một bản lề khác gần đoạn thẳng, nhưng không chính xác dọc theo nó (hình1).

bên ngoài vòng tròn và ngược lại theo quy tắc AO ◊ OA ¢ $= R^{2}$ (hình2). Sự đảo ngược có nhiều đặc tính thú vị và hữu ích (nhiều đặc tính trong số đó, cùng với bằng chứng, có thể được tìm thấy trong tập tài liệu “Đảo ngược” của I.D. Zhizhilkin). Thuộc tính thú vị nhất đối với chúng ta là: cung của một đường tròn đi qua tâm đảo ngược sẽ đi vào đoạn (hình3).

Hình 3

Hình 1

Có thể giảm độ lệch của đường cong thanh truyền so với đường thẳng bằng cách thay đổi các thông số của cơ cấu. Trong trường hợp này, chiều dài hành trình của khớp dẫn động cũng sẽ giảm, nhưng điều này xảy ra chậm hơn so với việc giảm độ lệch so với đường thẳng. Do đó, vì mục đích thực tế, các tham số thỏa đáng có thể được chọn, nhưng theo quan điểm lý thuyết, bài toán vẫn chưa được giải quyết. Đảo ngược giúp tạo một đường thẳng chính xác - một phép biến đổi của mặt phẳng (không có một điểm), biến các điểm bên trong của đường tròn, ngoại trừ tâm, thành các điểm nằm

Thuộc tính nghịch đảo này được sử dụng trong bộ biến tần Pocellier-Lipkin, cơ cấu khớp nối phẳng đầu tiên chuyển đổi chuyển động tròn thành chuyển động thẳng. Nó được phát minh độc lập vào những năm 1860 bởi một sĩ quan của quân đoàn công binh Pháp, Charles Nicolas Pocellier (1823–1913), và một sinh viên của P.L. Chebyshev, Lipman Lipkin (1846–1876). Bộ biến tần Pocelle–Lipkin dựa trên sự xem xét sau đây. Cho APA ¢ Q là hình thoi có cạnh a và một điểm O sao cho OP = OQ = b và b > a. Hãy tính tích OA ◊ OA ¢. Để làm điều này, chúng ta lưu ý rằng các điểm O, A và A¢ luôn nằm trên cùng một đường thẳng, vẽ các đường chéo trong hình thoi - để chúng cắt nhau tại điểm X - và áp dụng định lý Pythagore nhiều lần: OA ◊ OA ¢ = ( OX - XA ) ◊ ( OX + XA ) =

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 = OX - XA = b - PX - a - PX =

Hình 2

$= b^{2} - a^{2}$.

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Trục Ptolemaic của một tam giác là điểm Gergonne của tam giác là giao điểm của ba đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác và các điểm tiếp tuyến của các cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp (hình2,a), và điểm Nagel là giao điểm của ba đoạn thẳng nối nhau

K. KOZERENKO, P. FAKANOV

HÃY VẼ TAM GIÁC, CHÈN một vòng tròn $\omega$ vào đó và mô tả một vòng tròn Ω xung quanh nó. Nếu bây giờ chúng ta xóa hình tam giác, chúng ta sẽ không thể khôi phục nó nữa: có vô số họ hình tam giác “bị kẹp” giữa các vòng tròn đã cho (hình1). Đây là trường hợp đặc biệt của định lý Poncelet nổi tiếng (ví dụ, xem

Hình 2

Hình 1

bài viết của V. Protasov trong «Kvant» Số 5–6 năm 2014), do đó chúng tôi đồng ý gọi các tam giác thuộc họ này là tam giác Poncelet (đối với một cặp đường tròn Ω và $\omega ).$ Thật thú vị khi theo dõi chuyển động của các điểm đáng chú ý của tam giác khi tam giác Poncelet “quay” giữa hai đường tròn cho trước. «Kvant» đã đề cập đến chủ đề này hơn một lần. Trong bài viết tuyệt vời của V. Dubrovsky và V. Senderova “Bẫy cho tam giác” («Kvant» Số 3 năm 1999) quỹ đạo của trực tâm, tâm khối lượng (điểm giao nhau của các đường trung tuyến) và tâm của đường tròn chín điểm của tam giác Poncelet đã được chỉ ra Trong bài viết của A. Zaslavsky, D. Kosov và M. Muzafarov “Quỹ đạo của các điểm đáng chú ý của tam giác Poncelet”. («Kvant» Số 2 cho năm 2003), ngoài ra, quỹ đạo của các điểm Nagel và Gergonne đã được tìm thấy. Hãy nhớ lại rằng các đỉnh của tam giác và các điểm tiếp tuyến của các cạnh đối diện với đường tròn $(рис.2,б).^{1}$ Tất cả quỹ đạo của các điểm đáng chú ý được đề cập là các đường tròn có tâm nằm trên đường tâm của các đường tròn Ω và $\omega$ Ở đây có một số điểm tương đồng với hệ địa tâm. Ptolemy (tất cả các hành tinh đều quay theo các vòng tròn có tâm lần lượt nằm trên đường tròn), sự tương tự này được đặt tên là “Trục Ptolemaic”. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tập trung lại vào các điểm Gergonne và Nagel của tam giác Poncelet và đưa ra mô tả về các vòng tròn mà chúng di chuyển dọc theo. bằng chứng.

1 Về chủ đề này, xem thêm dự án được đề xuất tại Hội nghị Mùa hè của Giải đấu các Thành phố năm 2014: http://www.turgor.ru/lktg/2014/6/ index.htm

42

KVANT 2017/№2

Hình 4. Cốc trong suốt có đèn LED tích hợp

Hình 2. Cốc đôi

sức mạnh của Magnus, hành động như vậy thật không thể tin được! Để làm cho điều này trở nên rõ ràng, chúng tôi lấy một vài chiếc cốc trong suốt, gắn một đèn LED có pin vào chúng và quay chuyến bay của chúng trong bóng tối với tốc độ màn trập dài - ảnh được hiển thị trên hình 4. Bạn có thể thấy rằng do lực cản của không khí, tốc độ góc quay của những chiếc cốc rơi xuống và cùng với đó là lực Magnus tác dụng lên những chiếc cốc giảm đi. Lực Magnus giống như lực nâng trên cánh máy bay. Lực nâng cũng vuông góc với hướng chuyển động của máy bay, và máy bay giấy mà nó tác dụng cũng tạo thành những vòng tròn trong không khí. Cách tính

Hình 3. Cốc đang bay

quỹ đạo của máy bay chịu ảnh hưởng của lực nâng đã được mô tả ở điểm «Kvant» trong bài “Chuyến tàu lượn và chuyển động của Zhukovsky trên các cánh đồng chéo” (2016, số 1). Phương pháp tương tự có thể được áp dụng để tính quỹ đạo của chiếc cốc bay chịu tác dụng của lực Magnus. Lần đầu tiên chúng tôi nhìn thấy những chiếc cốc bay trên kênh YouTube tuyệt vời Home-Made Science với Bruce Yeany. Có một video tuyệt vời tên là Cup Flyers, với phần trình diễn chuyến bay. Hãy nhớ xem và học cách tự mình khởi động những chiếc cốc này nhé. Dải có người lái và Big Mouth. Chúng ta đã nói rằng lực ma sát làm chậm chuyển động quay của những chiếc cốc và lực Magnus không còn hỗ trợ chúng bay nữa. Nhưng có những vật thể bay có thể duy trì tốc độ quay của chúng một cách độc lập - tự động xoay. Đơn giản nhất trong số đó là một dải giấy hình chữ nhật. Được thả tự do, dưới những điều kiện nhất định, nó thể hiện chuyển động quay một cách độc lập quanh trục dài của nó. N.E. Zhukovsky nhận thấy rằng một dải bay như vậy bị ảnh hưởng bởi lực của Magnus. Đồ chơi mới được phát hành - Sọc có thể điều khiển và Miệng to (hình5) - đã cải thiện chất lượng bay. Dải có người lái đại diện cho sự hợp tác

43

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Hình 5. Dải có người lái và Miệng Lớn

Trận chiến là một hình chữ nhật làm bằng giấy mỏng, có bốn cánh và Miệng Lớn được dán đơn giản lại với nhau từ hai dải giấy. Quỹ đạo của chúng được mô tả trong hình 6. Chúng được cho là đang ở trạng thái tự quay ổn định, chuyến bay của chúng được hỗ trợ bởi sức mạnh của Magnus. Những đồ chơi này có thể được điều khiển, tức là cho chúng bay trong thời gian không giới hạn, đồng thời thay phiên nhau và thay đổi độ cao bay. Chi tiết có tại «Kvant» trong các bài “Manned Strip” (2013, số 4) và “Big Mouth in Flight” (2016, số 2). Dòng hát. Lần này, để chứng minh hiệu ứng Magnus, chúng tôi đề xuất

“QUANTA”

sử dụng thước gỗ thông thường dài 30 cm. Thước như vậy cũng có khả năng tự động xoay - quay độc lập dưới tác động của luồng không khí tới. Bạn sẽ cần tạo một lỗ ở một đầu của thước, luồn một sợi chỉ chắc chắn qua đó và buộc lại, sau đó tháo thước ra trước mặt bạn. Thước sẽ chuyển sang chế độ tự động xoay và bắt đầu xoay quanh trục của nó - điều này có thể được nhìn thấy dọc theo đường đi của đèn LED gắn ở đầu thước. Điều này có nghĩa là lực Magnus sẽ tác dụng lên thước, lực này sẽ đưa thước ra khỏi mặt phẳng thẳng đứng và buộc nó chuyển động dọc theo bề mặt của một hình nón nhất định. Khi hướng tự quay thay đổi theo chiều ngược lại thì lực Magnus cũng sẽ thay đổi hướng và hình nón sẽ nằm ở phía bên kia của mặt phẳng thẳng đứng. Hai hình nón này có thể nhìn thấy rõ ràng trên hình 7. Sự đảo ngược quá trình tự quay tự xảy ra - do độ xoắn của sợi tăng dần theo chu kỳ. Khi xoay, thước tạo ra âm thanh rung thấp và nhiều nhạc cụ cổ xưa thuộc các thời đại và dân tộc khác nhau được chế tạo dựa trên nguyên tắc này. Ngày nay, những nhạc cụ này được thống nhất dưới cái tên chung là “bullroarer”, và chiếc cổ nhất được tìm thấy có niên đại từ thế kỷ 17 trước Công nguyên. Vì thế những nhạc sĩ hàng đầu

Hình 6. Dải có người lái và Miệng to trong chuyến bay

44

KVANT 2017/№2

Hình 7. Hai hình nón của thước tự động quay

Những người thuộc thời kỳ đồ đá cũ có lẽ cũng đã quen thuộc với hiệu ứng Magnus. Bạn có thể nghe thấy bản nhạc này khi bạn xoay thước và nó bắt đầu tự động xoay, nhưng bạn có thể thấy bản nhạc này ngay bây giờ. Chúng tôi đã ghi lại âm thanh bằng cách đặt micrô gần đường dẫn của đèn LED, như trên hình 7, nhưng bạn cũng có thể sử dụng điện thoại di động. Vào hình 8, theo tọa độ thời gian-độ ồn, bản ghi âm thanh dài 32 giây và hai đoạn của nó được mô tả - một đoạn từ 16,6 đến 20,2 giây, đoạn còn lại từ 18,12 đến 18,42 giây. Bản ghi âm xác định rõ ràng 8 nhóm âm thanh, mỗi nhóm kéo dài 4 giây. Chúng tương ứng với sự quay của thước dọc theo hình nón này hoặc hình nón kia. Hãy chú ý đến biên độ âm thanh ở các nhóm lân cận - nhóm lớn xen kẽ với nhóm nhỏ. Điều này là do một hình nón được đặt gần micrô của điện thoại di động hơn. Tiếp theo, hình trình bày khoảng thời gian 16,6–20,2 giây, chứa nhóm thứ năm. Đỉnh cao tương ứng với đoạn thước đi qua gần micro. Có thể thấy chu kì quay của thước dọc theo hình nón hơi

Hình 8. Bản ghi âm và các mảnh vỡ của nó

ít hơn 0,3 giây. Chúng tôi cũng xác định khoảng thời gian 18,12–18,42 giây, chứa đỉnh thứ sáu từ nhóm thứ năm. Các gai hẹp tạo nên nó theo sau với khoảng thời gian khoảng 0,005 giây, tương ứng với tần số quay gấp đôi của thước quanh trục dài của nó.

Cuối cùng, chúng tôi sẽ bổ sung thêm một số video trong đó các nhà khoa học nói một cách thú vị về hiệu ứng Magnus. • Lực Magnus là gì? trên kênh Veritasium https://www.youtube.com/ watch?v=23fjvGUWJs • Các ứng dụng đáng ngạc nhiên của Hiệu ứng Magnus trên kênh Veritasium https://www.youtube.com/watch?v= 2OSrvzNW9FE • Hiệu ứng Coanda, Bernoulli và Magnus trên kênh Fizzics.org https://www.fizzics.org/physics-notes-and- video-lessons/free-physical-video-lessons/fluid-flow-video-lessons

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXVIII

Bài toán chuyến du lịch mùa thu (2016)

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1. (4)^{1}$

Chúng tôi lấy năm số tự nhiên và với mỗi số đó chúng tôi viết tổng của chúng. Có thể nào tất cả 10 tổng kết quả đều có kết thúc bằng các số khác nhau? M. Evdokimov

2. (4) Có bốn điểm được đánh dấu trên đường thẳng và một điểm nữa được đánh dấu bên ngoài đường thẳng. Có tổng cộng sáu hình tam giác có đỉnh tại các điểm này. Số lượng lớn nhất trong số chúng có thể là cân là bao nhiêu? E. Bakaev

3. Có 100 điểm được đánh dấu trên một vòng tròn. Những điểm này được đánh số từ 1 đến 100 theo một thứ tự nào đó. a) (2) Chứng minh rằng, với mọi cách đánh số, các điểm có thể chia thành các cặp sao cho các đoạn nối các điểm trong các cặp không cắt nhau và mọi tổng trong các cặp đều là số lẻ. b) (2) Có đúng là với bất kỳ cách đánh số nào cũng có thể chia các điểm thành từng cặp sao cho các đoạn nối các điểm trong các cặp không cắt nhau và tất cả các tổng trong các cặp đều là số chẵn? P.Kozhevnikov

4. (5) Cho hình bình hành ABCD và điểm K sao cho AK = BD. Điểm M là trung điểm của CK. Chứng minh rằng $\angle$ BMD $= 90 ^\circ$. E. Bakaev

5. (5) Một trăm chú gấu con tìm thấy quả mọng trong rừng. Con út lấy được 1 quả, gấu con lớn hơn lấy được 2 quả, con tiếp theo lấy được 4 quả, v.v., và con lớn nhất lấy được

1 Trong ngoặc đơn sau số bài toán số điểm tối đa được trao cho lời giải được biểu thị. Kết quả được tóm tắt theo ba nhiệm vụ đã đạt được kết quả tốt nhất.

có $2^{99}$ quả mọng. Con cáo gợi ý rằng họ nên chia quả mọng một cách “công bằng”. Cô ấy có thể đến gần hai đàn con và chia đều quả mọng cho chúng, đồng thời nếu có thêm quả mọng thì cáo sẽ ăn quả đó. Cô ấy tiếp tục những hành động như vậy cho đến khi tất cả đàn con có được phần quả mọng bằng nhau. Số quả mọng nhỏ nhất mà một con cáo có thể để lại cho đàn con là bao nhiêu? E. Bakaev

lớp 10–11

1. (4) Hai parabol có đỉnh khác nhau là đồ thị của tam thức bậc hai với hệ số p và q cao nhất. Biết rằng đỉnh của mỗi parabol nằm trên một parabol khác. p + q có thể bằng bao nhiêu? N. Sedrakyan

2. (5) Xem bài toán M2448 “Bài toán Kvant”. 3. (5) Xem bài toán 5 dành cho lớp 8-9 với câu hỏi: “Con cáo có thể ăn được bao nhiêu quả mọng?” 4. (5) Xem bài toán M2451 “Bài toán Kvant. 5. (6) Xem bài toán M2447 “Bài toán Kvant.

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1. (5) Xem bài toán M2446 và “Bài toán Kvant”.

2. (5) Vào mỗi ô của bảng 8 ¥ 8, viết một số tự nhiên. Hóa ra là bất cứ khi nào bàn cờ được cắt thành các quân domino, tổng các số trong tất cả các quân domino sẽ khác nhau. Có thể nào số lớn nhất ghi trên bảng không quá 32? N. Chernyatyev

3. (6) Một tam giác tùy ý được cắt thành các tam giác bằng nhau bằng các đường thẳng song song với các cạnh (như hình vẽ).

53

Thế Vận Hội

b) (6) Giải tương tự bài toán nếu có 12 phương án đáp số cho mỗi câu hỏi. I. Mitrofanov, A. Kanel-Belov

lớp 10–11

1. (5) Xem bài toán M2446,b “Bài toán Kvant.

hình). Chứng minh rằng trực tâm của sáu tam giác tô đậm nằm trên cùng một đường tròn. E. Bakaev

4. (8) Một hộp sôcôla hình vuông được chia thành 49 ô vuông bằng nhau. Mỗi ô chứa một viên kẹo sô cô la - đen hoặc trắng. Trong một lần ngồi, Sasha có thể ăn hai viên kẹo nếu chúng cùng màu và nằm trong các ô cạnh bên hoặc góc. Số kẹo lớn nhất mà Sasha chắc chắn sẽ ăn là bao nhiêu, bất kể kẹo được xếp vào hộp như thế nào? A. Kuznetsov

5. (8) Ba tấm thẻ đỏ và ba tấm thẻ xanh có ghi sáu số dương, tất cả đều khác nhau. Người ta biết rằng tổng theo cặp của một số ba số được viết trên các thẻ cùng màu và tích từng cặp của ba số giống nhau được viết trên các thẻ có màu khác nhau. Có phải luôn luôn có thể xác định được ba con số này một cách chắc chắn? B.Frenkin

6. (9) Cho 2n-giác đều đặn

$A_{1} A_{2}^{…} A_{2n}$ với tâm O và $n \ge 5$. Các đường chéo $A_{2} A_{n} -_{1}$ và $A_{3} A_{n}$ cắt nhau tại điểm F, $A_{1} A_{3}$ và $A_{2} A_{2} n_{-} 2$ tại điểm P. Chứng minh rằng PF = PO.

M. Timokhin

7. a) (5) Một nhóm người đã hoàn thành một bản khảo sát bao gồm 20 câu hỏi, mỗi câu có thể trả lời hai đáp số. Sau cuộc khảo sát, hóa ra là đối với 10 câu hỏi bất kỳ và bất kỳ sự kết hợp nào của đáp số cho những câu hỏi này, sẽ có một người đưa ra chính xác đáp số cho những câu hỏi này. Có nhất thiết phải có hai người có đáp số không khớp với bất kỳ câu hỏi nào không?

8. (5) Xem bài toán 2 cho lớp 8 – 9.

9. (7) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Ω tâm O và O không nằm trên các đường chéo của tứ giác. Đường tròn ngoại tiếp $Ω_{1}$ của tam giác AOC đi qua trung điểm của đường chéo BD. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $Ω_{2}$ của tam giác BOD đi qua trung điểm của đường chéo AC.

A. Zaslavsky

4. (8) Xem bài toán M2453 “Bài toán Kvant”.

5. (9) Xem bài toán M2452 “Bài toán Kvant”.

6. (9) Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Đầu tiên, Petya hình dung một đa thức P(x) nhất định với các hệ số nguyên. Tiếp theo, một số động thái được thực hiện. Để đi một nước đi, Vasya trả cho Petya một đồng rúp và đặt tên cho bất kỳ số nguyên a nào mà anh ta vẫn chưa đặt tên, và Petya trong đáp số cho biết phương trình P ( x ) = a có bao nhiêu lời giải số nguyên. Vasya thắng ngay khi Petya gọi cùng một số hai lần (không nhất thiết phải liên tiếp). Số rúp nhỏ nhất sẽ đủ để đảm bảo Vasya giành chiến thắng là bao nhiêu? A.Mudgal

7. (12) Xem bài toán M2449 “Bài toán Kvant”. Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. Dorichenko, L. Mednikov

54

KVANT 2017/№2

Sân khấu thành phố của Olympic toàn Nga dành cho học sinh vật lý

Tại khu vực Mátxcơva, vòng thi Olympic cấp thành phố đã diễn ra vào ngày 18 tháng 12 năm 2016. 4.270 học sinh từ lớp 7–11 đã tham gia.

Bài toán thế vận hội

lớp 7

Bài toán 1. Vật lý thiên văn Hai vật thể không gian được quan sát qua kính viễn vọng. Được biết, một trong số chúng nằm ở khoảng cách 18,0 nghìn năm ánh sáng tính từ Trái đất và cái còn lại nằm ở khoảng cách 5,50 kiloparsec. Góc giữa các hướng nhìn thấy được với các vật thể là 60 độ và khoảng cách giữa chúng là 1,14 tỷ đơn vị thiên văn (AU). Có bao nhiêu năm ánh sáng trong 1 Parsec? Được biết, khoảng cách 1 AU ánh sáng truyền đi trong 500 giây và 1 năm ánh sáng là quãng đường ánh sáng truyền đi trong 1 năm.

Bài toán 2. Mật độ phi tuyến Trong khi khám phá mật độ của một chất lỏng chưa xác định, nhà thí nghiệm Gluck đã tiến hành một loạt phép đo. Sau khi đặt một cốc đo lường chất lỏng lên cân, anh ấy chụp ảnh các thiết lập.

một cái mới, sau đó thêm một chút chất lỏng, chụp bức ảnh thứ hai (hình1). Vài ngày sau, Gluck nhận ra rằng do sự cố xảy ra vào ngày thí nghiệm, số chỉ trên thang đo đã được đánh giá quá cao chính xác 10%. Giúp người thí nghiệm xác định mật độ của chất lỏng chưa biết và khối lượng của cốc đo rỗng.

Bài toán 3. Thời gian tương đối Tàu đi qua một cây cầu có chiều dài l = 450 m trong $t_{1} = 45$ s. Một người bảo vệ đứng trên cầu nhận thấy đoàn tàu đã di chuyển qua anh ta trong $t_{2} = 30$ s. Một hành khách ngồi trên toa tàu đi qua cầu trong bao lâu? Tìm chiều dài của đoàn tàu và vận tốc của nó rồi xác định xem chiều dài của đoàn tàu lớn hơn chiều dài của cây cầu bao nhiêu lần.

Bài toán 4. Qua lại Đồ thị (hình2) biểu thị sự phụ thuộc tọa độ của một vật chuyển động dọc theo trục x theo thời gian. Xác định mức tối đa

Hình 2

tốc độ chuyển động cơ thể mới; quãng đường vật đi được trong 30 s; tốc độ trung bình của cơ thể trong khoảng thời gian từ 5 s đến 20 s.

lớp 8

Hình 1

Bài toán 1. Ôi, đường Chiếc SUV Niva có thể đi được quãng đường l = 39 km từ Dubna đến Orudyev,

55

Thế Vận Hội

có tốc độ trên đường nhựa $v_{1} = 100$ km/h và trên đường đất $v_{2} = 25$ km/h. Một ô tô BMW trên cùng một con đường trên đường nhựa tăng tốc lên $v_{3} = 160$ km/h, nhưng trên đường đất nó chỉ di chuyển với tốc độ $v_{4} = 10$ km/h. Ở đoạn đường không trải nhựa, thời gian di chuyển của xe sẽ như nhau ở độ dài nào?

Bài toán 2. Thể hình Một vận động viên đã quyết định điều chỉnh cơ thể của mình cho phù hợp với tỷ lệ của bức tượng David do Michelangelo vĩ đại tạo ra và thực hiện chế độ ăn kiêng. Nhưng đã xảy ra sự cố. Nếu tất cả các kích thước theo chiều ngang của vận động viên hóa ra chỉ bằng một nửa kích thước của David, thì chiều cao chỉ còn h = 170 cm, trong khi chiều cao của bức tượng là H = 500 cm. Xác định khối lượng của vận động viên nếu khối lượng của bức tượng bằng đá cẩm thạch là m = 3200 kg. Mật độ của đá cẩm thạch là $\rho = 2700$ kg $м^{3}$, mật độ trung bình của cơ thể con người là $\rho_{0} = 1000$ kg $м^{3}$.

Bài toán 3. Ấm trà sứ M = 500 g nước nóng ở nhiệt độ $t_{1} = 80 \infty C$ được đổ vào ấm trà sứ rỗng ở nhiệt độ phòng $t_{0} = 20 \infty C$. Do trao đổi nhiệt, nhiệt độ của ấm và các chất bên trong ấm trở nên bằng $t_{2} = 70 \infty C$. Sau đó, ấm đun nước được cắm vào và sau $\tau = 2$ phút nước trong ấm đun sôi. Xác định công suất của ấm đun nước. Bỏ qua tổn thất nhiệt ra môi trường. Nhiệt dung riêng của nước c = 4200 J (kg ◊ $\infty$ C).

Bài toán 4. Hãy cân bằng Một sợi dây nhẹ ném qua một khối có một đòn bẩy đồng nhất gắn ở một bên, và bên kia - một tải trọng chạm vào đòn bẩy và có khối lượng m = 6 kg (hình3). Xác định khối lượng của đòn bẩy M thì hệ sẽ giữ ở trạng thái cân bằng. Tải trọng sẽ tác dụng lên đòn bẩy với lực bằng bao nhiêu? Ma sát trục

Hình 3

không có khối. Tất cả các khoảng cách cần thiết có thể được lấy từ hình. Gia tốc trọng trường g = 10 m $с^{2}$.

lớp 9

Bài toán 1. Nửa thứ hai Xe chuyển động từ trạng thái đứng yên với gia tốc không đổi, đi được quãng đường s và đạt vận tốc v = 10 m/s. Sau đó, tiếp tục chuyển động đều với vận tốc v, nó đi được quãng đường s như cũ. Xác định vận tốc trung bình của xe trong nửa thời gian còn lại.

Bài toán 2. Bình Bình kim loại có dạng ống song song. Khối lượng của một bình chứa đầy nước bằng M. Nếu đặt bình lên bàn có mặt lớn nhất thì nó sẽ tạo ra một áp suất $p_{1}$. Nếu bạn đặt nó lên mặt giữa thì áp suất sẽ bằng $p_{2}$. Nếu đặt bình ở cạnh nhỏ nhất thì áp suất sẽ bằng $p_{3}$. Khối lượng m của bình rỗng và độ dài các cạnh a, b và c của nó là bao nhiêu? Độ dày của thành bình nhỏ không đáng kể so với chiều dài của các gân của nó. Mật độ của nước là $\rho$. Ghi chú. Cụ thể, gọi chiều dài cạnh ngắn của bình là a, chiều dài cạnh giữa là b và chiều dài cạnh dài là c.

Bài toán 3. Cân bằng chất lỏng Hai hình trụ có kích thước bằng nhau được cân bằng trên một đòn bẩy nhẹ. Ở lần cân đầu tiên, điểm tựa chia đòn bẩy theo tỷ lệ 1: 2 và các hình trụ được ngâm trong chất lỏng có mật độ $\rho$ cho một phần ba thể tích (hình 4,a). Nếu độ sâu ngâm tăng gấp đôi thì để giữ thăng bằng bạn sẽ phải di chuyển điểm tựa của đòn bẩy sang trái sao cho nó chia đòn bẩy theo tỷ lệ 1: 3 (hình4,b). Xác định mật độ của hình trụ $\rho_{1}$ và $\rho_{2}$.

Hình 4