Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn toán

Thế Vận Hội

Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn toán

Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIII được tổ chức đồng thời ở tất cả các vùng của nước ta vào ngày 30 và 31 tháng 1 năm 2017.

Bài toán thế vận hội

lớp 9

1. Trong tích của ba số tự nhiên, mỗi thừa số giảm đi 3. Liệu tích của ba số tự nhiên có tăng đúng bằng năm 2016 không? N. Agakhanov, I. Bogdanov

2. Vasya nghĩ ra 8 ô vuông trên bàn cờ, không có ô nào nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột. Trong khi di chuyển, Petya đặt 8 quân xe không tấn công lẫn nhau lên bàn cờ, sau đó Vasya chỉ ra tất cả các quân xe đứng trên các ô đã định. Nếu số quân mà Vasya chỉ ra ở nước đi này là chẵn (tức là 0, 2, 4, 6 hoặc 8), thì Petya thắng; nếu không, tất cả các quân cờ sẽ bị loại khỏi bàn cờ và Petya thực hiện nước đi tiếp theo. Petya có thể đảm bảo thắng với số nước đi tối thiểu là bao nhiêu? I. Bogdanov

3. Xem bài toán M2457 “Bài toán Kvant”.

4. Xem bài toán M2455 “Bài toán Kvant”.

5. Oleg vẽ một cái bàn trống $50 \times 50$ và viết một số lên đầu mỗi cột và bên trái mỗi dòng. Hóa ra tất cả 100 số được viết đều khác nhau, trong đó 50 số là số hữu tỷ và 50 số còn lại là số vô tỷ. Sau đó, vào mỗi ô của bảng, anh ấy viết tổng các số được viết bên cạnh hàng và cột của nó (“bảng cộng”). Số tổng lớn nhất trong bảng này có thể là số hữu tỉ là bao nhiêu? O. Podlipsky

6. Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường trung tuyến AM và đường cao BH. Đường vuông góc phục hồi tại điểm M thành đường thẳng AM cắt tia HB tại điểm K. Chứng minh rằng nếu $\angle$ MAC $= 30 ^\circ$ thì AK = = BC. B.Obukhov

7. Xem bài toán M2456 “Bài toán Kvant”.

8. Ban đầu, 100 tấm thẻ được đặt trên bàn, trên mỗi tấm thẻ có viết một số tự nhiên; có đúng 43 thẻ số lẻ. Sau đó, thủ tục tiếp theo được thực hiện mỗi phút. Cứ ba lá bài nằm trên bàn, người ta tính tích của các số viết trên đó, tất cả các tích này được cộng lại và số kết quả được ghi trên một lá bài mới, số này được cộng vào những lá bài nằm trên bàn. Một năm sau khi bắt đầu quá trình, hóa ra trên bàn có một tấm thẻ có số chia hết cho $2^{10000}$. Chứng minh rằng một số chia hết cho $2^{10000}$ nằm trên một trong các thẻ chỉ một ngày sau khi bắt đầu. I. Bogdanov

lớp 10

1. Trong tích của năm số tự nhiên, mỗi thừa số giảm đi 3. Liệu tích của nó có thể tăng đúng 15 lần không? N. Agakhanov, I. Bogdanov

2. Đường tròn có tâm tại điểm I nội tiếp tứ giác ABCD. Tia BA và CD cắt nhau tại điểm P, tia AD và BC cắt nhau tại điểm Q. Biết điểm P nằm trên đường tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác AIC. Chứng minh điểm Q cũng nằm trên đường tròn $\omega$. A. Kuznetsov

3. Pasha đã chọn các số tự nhiên 2017 (không nhất thiết phải khác) $a_{1}, a_{2}$, …

51

Thế Vận Hội

… $, a_{2017}$ và chơi trò chơi tiếp theo với chính mình. Ban đầu, anh ta có nguồn cung cấp đá không giới hạn và 2017 hộp trống lớn. Trong một nước đi, Pasha thêm $a_{1}$ viên đá vào bất kỳ hộp nào (theo lựa chọn của anh ấy), $a_{2}$ viên đá vào bất kỳ hộp nào còn lại (theo lựa chọn của anh ấy), … và cuối cùng, vào hộp còn lại - $a_{2017}$ viên đá. Mục tiêu của Pasha là đảm bảo rằng sau một nước đi nhất định sẽ có số lượng đá bằng nhau trong tất cả các ô. Liệu anh ta có thể chọn những con số sao cho có thể đạt được mục tiêu sau 43 nước đi, nhưng không phải với số nước đi nhỏ hơn 0 không? I. Bogdanov

4. Giáo viên sẽ cho trẻ bài toán loại sau. Anh ta sẽ nói với họ rằng anh ta đã nghĩ ra một đa thức P(x) bậc 2017 với các hệ số nguyên có hệ số cao nhất là 1. Sau đó, anh ta sẽ báo cáo k số nguyên $n_{1}, n_{2}$, … $, n_{k}$ và báo cáo riêng giá trị của biểu thức $P ( n_{1} ) P ( n_{2} )$ … $P ( n_{k} )$. Sử dụng những dữ liệu này, trẻ phải tìm ra một đa thức mà giáo viên có thể đã dự định. Giáo viên có thể soạn bài toán ở mức tối thiểu nào để đa thức mà trẻ tìm thấy nhất thiết phải trùng với dự định? G. Zhukov

5. Oleg vẽ một bảng trống $50 \times 50$ và viết một số khác 0 lên trên mỗi cột và bên trái mỗi hàng. Hóa ra tất cả 100 số được viết đều khác nhau, trong đó 50 số là số hữu tỷ và 50 số còn lại là số vô tỷ. Sau đó, vào mỗi ô của bảng, anh ấy viết ra tích của các số được viết bên cạnh hàng và cột của nó (“bảng cửu chương”). Số sản phẩm lớn nhất trong bảng này có thể là số hữu tỉ là bao nhiêu? O. Podlipsky

6. Xem bài toán M2454 “Bài toán Kvant”.

7. Xem bài toán 7 cho lớp 9.

8. Vòng tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Chọn điểm D trên cạnh AB, lấy điểm E trên cạnh BC sao cho AC || D.E. Các điểm P và Q trên cung nhỏ AC của đường tròn $\omega$ sao cho DP P EQ. Tia QA và PC cắt đường thẳng DE lần lượt tại X và Y. Chứng minh rằng $\angle$ XBY $+ \angle$ PBQ $= 180 ^\circ$. A. Kuznetsov

lớp 11

1. Trong tích của bảy số tự nhiên, mỗi thừa số giảm đi 3. Liệu tích đó có thể tăng đúng 13 lần không? N. Agakhanov, I. Bogdanov

2. Xem bài toán 2 cho lớp 9.

3. Xem bài toán 4 cho lớp 10.

4. Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn Ω và nội tiếp đường tròn $\omega$. Trên các cạnh AC và AB lần lượt chọn P và Q sao cho đoạn PQ đi qua tâm tam giác ABC. Các vòng tròn $\Gamma_{b}$ và $\Gamma_{c}$ được dựng trên các đoạn BP và CQ làm đường kính. Chứng minh rằng các đường tròn $\Gamma_{b}$ và $\Gamma_{c}$ cắt nhau tại hai điểm, một điểm nằm trên Ω và điểm kia nằm trên $\omega$. A. Hakobyan

5. Oleg vẽ một cái bàn trống $50 \times 50$ và viết một số lên đầu mỗi cột và bên trái mỗi dòng. Hóa ra tất cả 100 số được viết đều khác nhau, trong đó 50 số là số hữu tỷ và 50 số còn lại là số vô tỷ. Sau đó, vào mỗi ô của bảng, anh ấy viết ra tích của các số được viết bên cạnh hàng và cột của nó (“bảng cửu chương”). Số sản phẩm lớn nhất trong bảng này có thể là số hữu tỉ là bao nhiêu? O. Podlipsky

6. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn $\Gamma c$ có tâm tại điểm O. Các đường chéo AC và BD vuông góc và cắt nhau tại điểm P và điểm O nằm bên trong tam giác BPC. Trên đoạn BO, điểm H được chọn sao cho $\angle$ BHP $= 90 ^\circ$. Đường tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác PHD cắt đoạn thẳng PC lần thứ hai tại điểm Q. Chứng minh rằng AP = CQ. A. Kuznetsov

7. Có nhiều đường thẳng vẽ trên một mặt phẳng, không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Chứng minh rằng trong các lĩnh vực

55

Thế Vận Hội

Hạ. Chuyện này xảy ra ở tầng mấy? Sự phụ thuộc của nhiệt độ động cơ vào thời gian T(t) được biểu diễn ở hình 8. Biết rằng

Hình 8

rằng cùng một điện áp luôn được cung cấp cho động cơ; Bỏ qua ma sát ở động cơ và ổ trục tời. Giả sử g = 10 m $с^{2}$, chiều cao 1 tầng h = = 3 m, công suất nhiệt của động cơ điện C = 4,5 kJ $^\circ$ S. I. Yudin

lớp 11

Bài toán 1. Bình thông nhau Trong hai bình hình trụ thẳng đứng thông nhau giống hệt nhau, chất lỏng có mật độ $\rho$ tìm thấy và bắt đầu chảy, tốc độ tăng mức của nó phía trên pít-tông là v = 0,2 mm/s. 1) Khi bắt đầu quá trình, bề mặt chất lỏng trong bình bên phải chuyển động với tốc độ bao nhiêu $v_{п}$? 2) Ở tốc độ nào $v_{л}$ và theo hướng nào (lên hoặc xuống) bề mặt chất lỏng di chuyển phía trên pít-tông khi bắt đầu quá trình? 3) Ở độ cao h tính từ đáy bình, bề mặt chất lỏng phía trên pít-tông sẽ là: a) sau 600 s; b) sau 1100 s? Nhiệt độ trong tàu có thể được coi là không đổi. Chất lỏng không đổ ra khỏi bình. A. Apollonsky

Bài toán 2. Cửa sổ nâng Khi bật mô tơ cửa sổ điện của một cửa ô tô, cửa sổ sẽ nâng từ vị trí dưới lên vị trí trên theo thời gian $t_{1}$. Nếu bật cùng lúc 2 cửa sổ chỉnh điện thì cửa sổ sẽ nâng lên theo thời gian $t_{2} ( t_{2} > t_{1} ).$ 1) Trong thời gian nào $t_{3}$ 3 cửa sổ ô tô sẽ nâng lên khi 3 cửa sổ chỉnh điện cùng lúc hoạt động? 2) Sẽ mất bao lâu $t_{4}$ để cả bốn cửa sổ của ô tô mở lên khi cả bốn cửa sổ điện đều hoạt động đồng thời? Ghi chú. Xét rằng lực cần thiết để nâng kính không phụ thuộc vào tốc độ nâng và lực kéo của động cơ kính là

Hình 9

Đây là chất lỏng có mật độ $\rho$ (hình9). Mực chất lỏng ban đầu trong bình cách đáy bình l = 10 cm. Các bình được nối thông qua các lỗ ở đáy bằng một ống nhỏ có thể tích không đáng kể. Trong bình bên trái, ở độ cao 2l tính từ đáy, có một pít-tông nhẹ có thể chuyển động tự do không ma sát với thành bình. Có không khí dưới piston ở áp suất khí quyển $p_{0} = 2 \rho gl$. Từ thời điểm t = 0 vào bình trái vào khoảng trống phía trên pít-tông

“Hộp đen”