Kvant 2017, số 5 · Trang

3

NGÀY-

Chạng vạng

Hình 2

giảm dần và độ sáng của sương mù càng giảm đi, đường mà ánh nhìn của người quan sát hướng tới càng xa đèn lồng. Nếu sự tán xạ đủ yếu, tức là sương mù không quá dày, thì ở gần một nguồn sáng nhỏ, độ sáng của ánh sáng sương mù sẽ giảm tỷ lệ nghịch với kích thước “khoảng cách nhìn thấy” của ánh nhìn của người quan sát. Nếu các tia trực tiếp của Mặt trời rơi vào các chướng ngại vật trong không khí, thì trong vùng bóng tối, không khí sẽ phân tán bức xạ đã bị phân tán trước đó bởi các phần khác của không khí (tức là xảy ra sự tán xạ thứ cấp của các tia). Cường độ phát sáng của phần không khí này giảm đáng kể. Ví dụ: nếu bạn nhìn dọc theo vùng bóng được tạo bởi vệt tương phản của một chiếc máy bay đang bay theo đường thẳng, thì bạn có thể nhìn thấy một chùm tia tối (hình3) trong không khí.

Hình 3

–

ĐÊM

…

Các chùm ánh sáng song song xuyên qua không khí nơi không có chướng ngại vật khiến không khí phát sáng và những vùng phát sáng này hiện rõ trên nền không khí phát sáng mờ nhạt trong bóng của chướng ngại vật (hình4). Cường độ ánh sáng tán xạ bởi một lượng không khí nhất định (ví dụ, một mol hạt) phụ thuộc cả vào bước sóng của tia sáng và góc giữa hướng truyền của các tia trực tiếp của Mặt trời và hướng truyền của ánh sáng tán xạ. Vùng hấp thụ của các phân tử trong đó không khí chủ yếu nằm trong phạm vi tia cực tím, do đó trong phạm vi nhìn thấy không khí trong suốt. Trong các phân tử không khí nằm trong trường điện từ của tia sáng, xảy ra sự phân cực của điện tích và trong trường hợp này mômen lưỡng cực điện của các phân tử tỷ lệ với cường độ điện trường $E_{0}$ cos $\omega t$ của sóng ánh sáng. Các nguyên tử và phân tử có khối lượng lớn và các electron ở lớp vỏ ngoài là nhẹ, vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng mômen lưỡng cực có liên quan đến sự dịch chuyển của các electron nhẹ so với phần nặng còn lại của phân tử. Chuyển động cưỡng bức của các electron có điện tích q và khối lượng m trong nguyên tử dưới tác dụng của điện trường xoay chiều bên ngoài $E_{0}$ cos $\omega t$ có thể được mô tả giống như các dao động của một hệ cơ học gồm một tải có khối lượng m,

Hình 4

Sự kỳ diệu của số phức

A.KANUNIKOV

MỘT số lượng đáng kinh ngạc các bài báo và sách giáo khoa khoa học phổ biến đã được VIẾT BẰNG CÁC SỐ PHỨC; đã có công bố trên [4, 5, 6] và trên tạp chí «Kvant». Bí quyết của sự nổi tiếng như vậy là gì và tại sao một bài báo khác lại được viết? Khía cạnh chính mang tính khoa học: số phức có mặt khắp nơi, chúng được thiết lập vững chắc trong các lĩnh vực toán học và vật lý khác nhau. Một học sinh có thể đánh giá cao sức mạnh của bộ máy số phức, vẻ đẹp và sự phong phú của các ứng dụng của chúng bằng cách sử dụng ví dụ bài toán của toán tiểu học. Cũng rất hữu ích và hấp dẫn khi nghiên cứu lịch sử của vấn đề: các số phức xuất hiện và phát triển như thế nào, ngay cả những bộ óc vĩ đại lúc đầu cũng không tin vào chúng, nhưng theo thời gian họ đã quen và ngưỡng mộ sức mạnh đáng kinh ngạc của chúng. Rất thường xuyên, những kết luận mà các nhà khoa học đưa ra đều đi trước những bằng chứng xác thực, đôi khi hàng thế kỷ… Điều này khiến số phức chỉ khẳng định danh tiếng của chúng là bí ẩn và thần bí, nhưng đồng thời nó cũng đẩy nhanh việc xây dựng nền tảng toán học và phát triển các lý thuyết khoa học mới. Mục đích chính của bài viết được tiết lộ bởi tiêu đề của nó. Chúng tôi muốn làm bạn ngạc nhiên, bạn đọc thân mến, bằng cách kể một số câu chuyện hay về số phức, đồng thời có ý nghĩa khoa học quan trọng. Bạn càng biết ít về số phức thì kết quả mang lại cho bạn càng bất ngờ, hiệu ứng bất ngờ càng mạnh. Hãy tưởng tượng rằng bạn đã đến xem buổi biểu diễn của một ảo thuật gia và ngồi xuống - những chú thỏ ẩn trong mũ đang háo hức chờ đợi sự xuất hiện và tiếng vỗ tay của bạn! Lúc đầu, chỉ cần có hiểu biết cơ bản về số phức là đủ:

i là những “số” (biểu thức, bản ghi) có dạng a + bi, trong đó $a, b \in^{R}, i$ là đơn vị ảo thỏa mãn quan hệ $i^{2} = - 1 ; i$ số a + bi có thể coi là một điểm ( a, b ) trên mặt phẳng tọa độ $R^{2} ; i$ số phức được cộng và nhân theo quy tắc thông thường, khi mở ngoặc ( a + bi )( c + di ) chúng ta sử dụng định nghĩa số i và nhận $ac - bd + ( ad + bc ) i ; i$ cho số z = a + bi được xác định: phần thực Re z = a, phần ảo Im z = b, số liên hợp

$z = a - bi$ và mô-đun $z = a^{2} + b^{2}$ (hình 1).

Hình 1

Chúng ta sẽ nói về số phức một cách chi tiết và có hệ thống hơn trong cùng số tạp chí (trang 28).

§1. Tổng bình phương bị phân hủy! Với những hậu quả sâu rộng…

Khi lần đầu nhìn thấy các công thức nhân viết tắt, điều khiến tôi ấn tượng là chúng đều được chia thành từng cặp… tất cả ngoại trừ một:

22

KVANT 2017/№5

Thước dây và chất làm cứng

S. DVORYANINOV

HÃY tưởng tượng rằng bạn muốn lắp kính ban công của mình. Gọi cho công ty. Để ước tính chi phí tiền tệ cần thiết để hoàn thành công việc này, bạn được yêu cầu cung cấp chiều dài, chiều rộng và chiều cao của ban công. Làm thế nào để đo lường chúng? Nếu các đoạn đo được ngắn thì một cây thước trường học bình thường sẽ làm được. Và chiều dài của ban công là hơn ba mét. Bao nhiêu lần bạn sẽ phải áp một cây thước dài 25 cm vào lan can và cộng 25 + 25 + 25 + …? Bạn có thể mất số lượng. Không, thước kẻ rõ ràng là không phù hợp. Có một công cụ khác để đo khoảng cách - thước đo của thợ may. Vâng, nó có thể được sử dụng. Tuy nhiên, mỗi nhiệm vụ đều yêu cầu các công cụ riêng. Xét cho cùng, máy đo vải sạch không phù hợp để đánh dấu bồn hoa trên mặt đất. Trong nghề mộc, hệ thống ống nước và xây dựng, thước dây được sử dụng để đo. Từ này có ít nhất hai nghĩa phổ biến. Roulette là một trò chơi may rủi. Tên này xuất phát từ roulette Pháp, có nghĩa là bánh xe nhỏ. Trong trò chơi này, bánh xe thực sự quay và quả bóng lăn trên đó. Trong tiếng Nga, từ cuộn cũng gợi nhớ đến một bánh xe, chẳng hạn như một cuộn giấy. Bây giờ chúng ta quan tâm đến thước dây như một công cụ để đo chiều dài. Nó nên có trong mọi nhà. Bạn không bao giờ biết những gì bạn phải đo! Và thước dây chiếm rất ít không gian. Đôi khi móc khóa được kết hợp với thước dây để công cụ hữu ích này luôn trong tầm tay. Thước dây cũng là thước đo của thợ may, chỉ được làm bằng vật liệu bền - băng thép hoặc polyme có vạch chia. Trên một cạnh của băng có các vạch chia tính bằng milimét, mặt khác - tính bằng inch.

Thước dây như một thước dây

Đối với nhu cầu sử dụng tại nhà, thước dây dài 3–5 mét hoặc thậm chí 1 mét là đủ. Thước dây được quấn trên một cuộn nằm trong thân thước dây. Kéo băng ra ngoài bằng móc ở đầu của nó. Băng được quấn bên trong bằng tay cầm gắn trên thân. Nếu băng không dài thì nghĩa là không có tay cầm - băng sẽ tự động được quấn vào bên trong bằng lò xo hồi vị nằm bên trong. Thước dây có lò xo thường có nút chặn để ngăn thước dây tự bung ra. Một số thước dây hiện đại thậm chí còn có màn hình LCD hiển thị số đo. Nên sử dụng thước dây một cách thận trọng. Thước dây mới có lò xo cuộn dây vào trong rất nhanh, gần như ngay lập tức. Và các cạnh của băng mỏng và cứng và có thể làm tổn thương tay bạn. Sau đây là thú vị. Nếu bạn nhìn kỹ vào thước dây, bạn sẽ nhận thấy rằng sợi dây thép của nó không phẳng mà có dạng rãnh. Tại sao thước dây của thước dây lại có hình dạng này? Columbus từng kể về việc ông đã khám phá ra Châu Mỹ như thế nào. Theo truyền thuyết, một trong những thính giả đã nói: “Cái gì

23

VẬT LÝ

–

“Columbus và quả trứng”. Johann Geier, 1847 có thể dễ dàng hơn việc khám phá một vùng đất mới? Vào năm đáp số Columbus đã đưa ra cho anh ta một bài toán đơn giản: đặt một quả trứng gà theo chiều dọc. Khi không ai có thể làm được điều này, Columbus lấy quả trứng, đập vỡ một đầu và đặt lên bàn. Nó thực sự đơn giản. Các nhà quan sát thất vọng cho biết họ cũng có thể làm như vậy. “Bạn có thể, nhưng tôi thực sự đã làm được,” Columbus kết luận. Ngày nay, câu khẩu hiệu quả trứng Columbus có nghĩa là một sự việc đơn giản nhưng bất ngờ.

DÀNH CHO KỸ SƯ

Đây là một cách nghịch lý để thoát khỏi một tình huống khó khăn. Ví dụ, hãy lấy một dải giấy. Nó có thể được đặt theo chiều dọc trên bàn không? Điều này có vẻ không thể? Không, điều đó là có thể! Chỉ cần uốn cong nó dọc theo toàn bộ chiều dài của nó theo hình máng xối là đủ. Đường gấp trở thành cái gọi là gân tăng cứng. Sách giáo khoa hình học ở trường lưu ý rằng hình tam giác là một hình cứng, nhưng hình vuông, hình chữ nhật và hình bình hành thì không. Nếu bạn thêm một đường chéo vào hình vuông, bạn sẽ có được một hình cứng. Trong kỹ thuật, các phần tử kết cấu mang lại độ cứng cho kết cấu được gọi là chất làm cứng. Nếu một tờ giấy được cuộn thành ống thì ống này sẽ đủ bền và có thể chịu được tải trọng đáng kể. Một dải giấy gấp thành rãnh cũng trở nên cứng. Nó có thể được vẫy trong không khí, giống như dùi cui của người soát vé. Tương tự như vậy, trong roulette, một đoạn băng dài, có hình dạng như một rãnh, trở nên cứng và không cuộn lại được. Điều này cho phép băng được hướng thẳng đứng lên trên.

VẬT LÝ CHO KỸ SƯ

Geohammer và bí mật của một đòn hữu ích

A.FRIDRICHSON

THƯỜNG HỌC HỌC SINH TRUNG HỌC, CÓ KHẢ NĂNG VẬT LÝ, từ chối sự nghiệp khoa học, nói: “Đi vào khoa học để làm gì, nơi mà mọi thứ quan trọng đều đã được khám phá rồi? Thời của Newton, Hooke và thậm chí cả Einstein đã qua rồi, và việc viết lại luận văn của người khác với mức lương ít ỏi chẳng thú vị gì cả.” Ôi, bạn thật sai lầm, còn trẻ và tài năng. Vấn đề không phải là tiền lương – mà là sự cởi mở của mọi thứ mới là điều quan trọng. Tôi đảm bảo với bạn rằng có đủ những bí ẩn chưa được giải đáp, những hiện tượng bị hiểu lầm, những nghịch lý không thể giải thích được ngay cả trong vật lý cổ điển cho đến hết cuộc đời bạn. Hơn nữa, vật lý là một môn khoa học mà kiến ​​thức của nó có thể ảnh hưởng đến mọi lĩnh vực trong cuộc sống của chúng ta - từ kinh doanh nhỏ đến chính trị lớn, từ những quy luật đạo đức trong chúng ta cho đến các vì sao phía trên chúng ta. Nhưng vì những tuyên bố chưa được chứng minh không được chấp nhận trong khoa học này nên chúng tôi sẽ cố gắng chứng minh điều trên bằng điều sau. Hóa ra khái niệm cảm xúc như một cú đánh có một mô tả hoàn toàn hợp lý trong vật lý. Nếu bạn không sử dụng những công thức trừu tượng, thì một cú đánh là một tác dụng lực nhanh chóng (tốc độ cao - nói một cách khoa học) lên một cơ thể hoặc hệ thống cơ thể. Tuy nhiên, cao

24

KVANT 2017/№5

tốc độ là một khái niệm tương đối. Do đó, nói đúng hơn, một tác động có thể được gọi là sự tác dụng lực trong đó thời gian tác động tương xứng hoặc nhỏ hơn chu kỳ dao động tự nhiên của một vật thể hoặc hệ thống các vật thể. Điều gây tò mò là sự cân xứng lại là nguyên nhân của một số hiện tượng “sốc” ít được nghiên cứu và đôi khi nghịch lý. Bạn có thể bắt đầu chuyến du ngoạn từ một cây cầu đã bị một đại đội lính phá hủy bằng cách gõ nhịp nhàng từng bước với tần số dao động tự nhiên của kết cấu cầu. Tuy nhiên, sự cộng hưởng, tức là sự trùng khớp giữa tần số của tác động bên ngoài với tần số dao động tự nhiên của một vật thể hoặc hệ thống vật thể là một hiện tượng được nghiên cứu khá kỹ. Nhưng ví dụ về sự trùng hợp giữa thời gian va chạm với chu kỳ dao động tự nhiên, mà chúng ta thường gọi là cú đánh của búa địa chất lên một mẫu đá, không đơn giản như người ta tưởng, và là một ví dụ về một tác động rất hữu ích (không chỉ đối với địa chất) lên một vật thể rắn. Một nhà địa chất có kinh nghiệm chia mẫu thành hai phần, như thể làm dịu cú đánh. Thậm chí không phải là một loại mà là mềm mại hơn - điều này có vẻ xa lạ đối với một người quan sát thiếu kinh nghiệm. Và vô ích. Ngay cả khi không hiểu sự phức tạp của lý thuyết đàn hồi hoặc vật lý của chất rắn, một nhà địa chất có kinh nghiệm vẫn biết rằng để tách một mẫu gọn gàng làm đôi, búa phải được cung cấp một tốc độ đủ cao nhưng không đổi để gia tốc tại thời điểm va chạm là tối thiểu. Lý tưởng nhất là bằng 0. Nghịch lý? Rõ ràng. Bởi vì

Gia tốc gần như bằng 0 tại thời điểm búa địa kỹ thuật tiếp xúc với đá mang lại sự đáp ứng hữu ích định luật bảo toàn năng lượng, khi toàn bộ động năng của búa được chuyển thành nội năng của mẫu. Và không phải ở năng lượng nhiệt, mà ở năng lượng đàn hồi. Bởi vì khi tiếp xúc tự do (không có gia tốc) với đá, búa tương tác với mẫu đúng thời gian được xác định bởi đặc tính đàn hồi của chính nó. Điều này có nghĩa là thời gian tương tác của búa với đá được xác định không phải bởi nỗ lực bên ngoài của nhà địa chất, mà bởi chu kỳ dao động của chính mẫu mà anh ta đang nghiên cứu. Với các thông số tương tác như vậy, năng lượng của geohammer do được gọi là cường độ va đập sẽ được truyền một cách hoàn toàn nhất có thể thành năng lượng biến dạng đàn hồi của mẫu. Nhưng sóng xung kích trong đá, vốn sẽ chỉ làm vỡ mẫu (do gia tốc rất nhỏ), sẽ ở mức tối thiểu. Quá trình phân đôi diễn ra như thế nào? Như một quy luật, nó dễ dàng. Do biến dạng nén theo hướng va chạm, mẫu đồng thời giãn nở trong mặt phẳng vuông góc. Và khi biến dạng ngang này vượt quá biến dạng kéo tới hạn của một loại đá nhất định (tốt hơn nên nói là độ bền kéo), mẫu sẽ tách dọc theo mặt phẳng thẳng đứng yếu nhất của mẫu, tức là làm đôi để hiển thị kết cấu, thành phần và nhiều chi tiết địa chất khác của mẫu. Đúng thứ mà một nhà địa chất lành nghề cần. Hơn nữa, do cán búa dài, nhà địa chất không chỉ có thể chạm tới mảnh đá mong muốn trên hiện trường mà còn có thể điều chỉnh “cú đánh phân tích” theo cách chia nhiều mẫu khác nhau thành hai phần, cả về hình dạng và thành phần. Hơn nữa, khi biết tốc độ búa gần đúng mà tại đó mẫu đá đang nghiên cứu sẽ tách làm đôi, có thể xác định sơ bộ cái gọi là ứng suất kéo tới hạn và đây là một đặc tính rất quan trọng của đá. Nhân tiện, đặc điểm này được sử dụng bởi các nhà địa chất - thợ mỏ. Trong các mỏ đá

25

VẬT LÝ

–

phát triển do nổ, điện tích trong các lỗ nổ cũng như khoảng cách giữa các lỗ nổ được tính toán dựa trên đặc tính cường độ của đá. Một người đọc chú ý khi nhìn vào bảng ở đây chắc chắn sẽ chú ý đến hai chi tiết: 1) khả năng chống đứt tạm thời (sức căng) là một bậc có độ lớn nhỏ hơn khả năng chịu nén và thậm chí uốn; 2) việc nghiên cứu đá theo thông số này (độ bền kéo) bị tụt lại phía sau đáng kể, điều này rõ ràng là do quá trình nghiên cứu sử dụng nhiều lao động hơn. Không giống như các nhà địa chất, các thợ mỏ cần phải làm nổ đá càng mịn càng tốt để dễ dàng chất lên các phương tiện và sau đó xử lý nó, chẳng hạn như thành đá dăm. Sóng xung kích được tạo ra chính xác bởi gia tốc cao của đá trong vụ nổ, trái ngược với cấu trúc địa chất mỏng manh

DÀNH CHO KỸ SƯ

tác động mạnh, nghiền nát đá theo từng vùng tương ứng với đường kính lỗ nổ. Nhưng do năng lượng của sóng xung kích giảm mạnh ở khoảng cách vài mét tính từ giếng, đá bị tách ra “theo nguyên lý của búa địa kỹ thuật” - trên các mặt phẳng bị suy yếu do các vết nứt vi mô, khi đá bị phá hủy do biến dạng kéo mô tả ở trên. Trong bối cảnh này, kiến ​​thức ít ỏi (như chúng ta thấy từ bảng) về đá về biến dạng kéo tới hạn không cho phép các kỹ sư khai thác mỏ tính toán chính xác hơn năng lượng vụ nổ. Thật vậy, đối với nhu cầu của ngành khai thác mỏ, đá bị vỡ thành bụi do sóng xung kích cần ít hơn nhiều so với việc chia thành các mảnh một cách tối ưu. Tuy nhiên, điều được biết chắc chắn là sự phụ thuộc nghịch đảo của sự phân mảnh vào năng lượng vụ nổ (cũng như vào cú sốc cơ học): hơn là

26

KVANT 2017/№5

Năng lượng càng lớn thì sự phân mảnh của đá bị phá hủy càng mịn. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng trong một số trường hợp thì điều ngược lại cũng đúng: sự phân mảnh trước khi bị phá hủy càng mịn thì năng lượng cần thiết để phân mảnh tiếp theo càng lớn. Rốt cuộc, đá càng có nhiều vết nứt trước vụ nổ thì càng có nhiều chướng ngại vật tự nhiên đối với sóng xung kích nghiền nát. Và phần lớn năng lượng của vụ nổ sẽ không được dùng để nghiền nát mà để di chuyển những mảnh đá tự do bên trong các vết nứt. Các kỹ sư khai thác mỏ có kinh nghiệm cũng tính đến điều này, nhìn chung ít được nghiên cứu, độ tinh tế của việc nổ mìn. Trong mọi trường hợp, để tính toán chính xác năng lượng vụ nổ, ngoài đặc tính cường độ của đá, người ta còn tính đến “độ khối” của nó - kích thước trung bình của một mảnh đá giữa các vết nứt trên một khu vực nhất định của mỏ đá. Các nhà địa vật lý gọi đặc tính tương tự là “sự nứt gãy” và tính đến nó để tính toán năng lượng của một tác động thực nghiệm (thường là tác động của một tải trọng rơi từ một độ cao nhất định lên bề mặt trái đất). Nếu sóng địa chấn được kích thích bởi một vụ nổ thì sự nứt vỡ của khối đá cũng được tính đến. Tuy nhiên, ở mức độ lớn hơn, hiệu quả của vụ nổ thử nghiệm và quan trọng nhất - ít gây thiệt hại cho môi trường hơn, bị ảnh hưởng bởi các chỉ số như độ brisance, gần với geohammer, tức là tốc độ nổ. Giống như một nhà địa chất có kinh nghiệm cố gắng hạ chiếc búa của mình xuống đá với gia tốc tối thiểu, các nhà địa vật lý có kinh nghiệm chọn một chất nổ có độ sáng tối thiểu để kích thích các rung động địa chấn - sao cho phần lớn năng lượng của vụ nổ không chuyển thành sóng xung kích (chu kỳ của nó nhỏ hơn chu kỳ dao động tự nhiên của đá), mà chuyển sang dạng đàn hồi, tức là chính sóng địa chấn (chu kỳ là chu kỳ dao động tự nhiên của địa khối). Nói cách khác, sự phá hủy do va chạm càng nhỏ thì càng thu được nhiều thông tin khoa học hơn từ kết quả của nó - ví dụ như về một khối đá. Điều ngược lại, như các nhà địa vật lý nói, bài toán, cũng có thể được giải quyết: nếu biết đặc điểm cường độ của đá, thì bằng số phần bị tách ra trong quá trình va chạm, có thể xác định được năng lượng ban đầu của chính va chạm này. Tương tự, tùy theo kích thước của một mảnh đá trung bình

sau một vụ nổ (ví dụ, trong các mỏ đá vôi, đá sa thạch hoặc đá granit để sản xuất thành phần quan trọng nhất của xây dựng đường - đá dăm), có thể xác định được năng lượng của vụ nổ. Định luật bảo toàn năng lượng có tính phổ quát và đối xứng trong thời gian và không gian. Do đó, mức độ phá hủy (và do đó phân mảnh) của bất kỳ vật chất nào đều phụ thuộc vào năng lượng hủy diệt ban đầu và ngược lại. Và ngay cả trong cuộc điều tra quan trọng nhất về thảm họa gần Donetsk, sự phụ thuộc này cũng có thể được áp dụng. Trong trường hợp này, sự phụ thuộc của năng lượng vụ nổ vào kích thước trung bình của các mảnh vỡ của thân tàu bị phá hủy. Nhiều chuyên gia đã thu hút sự chú ý đến mảnh vỡ rất nhỏ tại hiện trường vụ rơi máy bay Boeing của Malaysia, từ đó có thể tính toán được năng lượng của vụ nổ ban đầu, dù chỉ là gần đúng. Phép tính đơn giản nhất cho thấy với sự phân mảnh như vậy, năng lượng của vụ nổ ban đầu sẽ nằm trong khoảng $10^{12}$ joules. Đây là năng lượng khổng lồ, tương xứng với năng lượng của một vụ nổ lớn ở mỏ đá lớn hoặc năng lượng của một trận động đất nhỏ có cường độ 1. Năng lượng nổ của tên lửa BUK-M khét tiếng (ngay cả khi nó phát nổ không phải bên ngoài máy bay mà là bên trong) ít nhất là một trăm lần. Nguồn năng lượng duy nhất tương đương với những con số được đưa ra là vụ nổ (nổ tức thời) của tất cả các thùng nhiên liệu của Boeing, miễn là chúng đã đầy. Cũng cần lưu ý rằng việc phát nổ đồng thời nhiên liệu có thể không phải do tác động bên ngoài mà là do tác động bên trong, được chuẩn bị đặc biệt - nói cách khác là một ngòi nổ khởi động gần chính thùng nhiên liệu. Điều gì đã gây ra sức hủy diệt mạnh mẽ như vậy, lớn hơn hàng nghìn lần so với khả năng của bất kỳ loại tên lửa nào, không còn là câu hỏi khoa học. Nhưng nó đã được đặt ra bởi một chuyên gia đáng tin cậy - định luật bảo toàn năng lượng. Tác giả đã trải nghiệm được sự hỗ trợ đắc lực của quy luật này trong thực tiễn thực tế của mình. Chuyện xảy ra tại mỏ đá granit Svetlogorsk ở Karelia (mỏ đá đang nổ tung loại đá mạnh nhất để biến nó thành loại đá nghiền mạnh nhất để lấp đầy mặt đường trong cả nước). Tính toán cái gọi là lưới nổ, tức là

27

VẬT LÝ

–

Khoảng cách giữa các lỗ nổ là có thể, như độc giả của chúng tôi đã biết, chỉ khi biết đặc tính của khối đá như vết nứt. Đối với lời giải điều này bài toán chúng tôi đã có sẵn một tổ hợp đo địa chấn (dành cho nghiên cứu lỗ khoan và lỗ khoan chéo): máy thu địa chấn và nguồn rung đàn hồi. Nếu phần tử đầu tiên là một vật nặng vài trăm gam thì nguồn rung động nặng năm mươi kilôgam. Nhưng vấn đề chính thậm chí không phải là trọng lượng: sau khi hạ thiết bị này xuống giếng và cố định nó vào thành giếng, nó bị đập từ trên cao xuống bằng một chiếc búa tạ đo địa chấn đặc biệt nặng hơn đáng kể so với một chiếc búa địa chất. Tác động này được truyền qua các bộ chuyển đổi cơ học tới thành giếng và do đó tạo ra những rung động rất đàn hồi mà chúng tôi lẽ ra phải thu được bằng máy thu địa chấn ở giếng lân cận. Bằng tốc độ di chuyển của chúng, người ta có thể đánh giá mức độ gãy xương - tốc độ càng thấp thì vết nứt càng lớn và ngược lại. Nó có vẻ đơn giản bài toán. Tuy nhiên, sau ba bốn lần va chạm, nguồn giếng của chúng tôi bị kẹt nhiều đến mức việc nâng cấu trúc kim loại nặng này lên mặt nước đã là một vấn đề lớn. Kết quả là, năng suất nghiên cứu ghi nhật ký của chúng tôi giảm mạnh và câu hỏi đặt ra là phải làm gì (và chúng tôi đã biết ai là người chịu trách nhiệm, vì bản thân chúng tôi cũng chưa nghĩ đến tất cả các chi tiết kỹ thuật). Kết quả của quá trình động não, người ta đã đề xuất sử dụng… những quả bóng bay thông thường, được hạ xuống trên một ống từ bộ thu không khí của xe thám hiểm GAZ-66 của chúng tôi vào giếng - để “nổ” tiếp theo trong khoang của nó. Tất nhiên, vẫn có những nghi ngờ: năng lượng không khí, ngay cả dưới áp suất 1-2 atm, có thể không đủ để “xuyên thủng”, hay chính xác hơn là “âm thanh” khối đá cách 10-20 mét đến giếng lân cận, nơi máy thu địa chấn nhỏ gọn của chúng tôi đang “làm mát” trong vô vọng chờ hoạt động hiệu quả. Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của những người không tin vào sự thành công khi trên địa chấn đồ, chúng tôi không chỉ nhận được một tín hiệu mà còn lớn hơn nhiều lần so với những gì chúng tôi đã nhận được trước đây qua proxy.

DÀNH CHO KỸ SƯ

dùng “búa tạ”. Đó là tất cả về cường độ năng lượng của nguồn khí nén được phát minh của chúng tôi. Khi bầu khí quyển của ô tô nở ra, quả bóng cao su được nén bởi thành lỗ khoan, khối đá granit xung quanh cảm nhận được năng lượng này “chậm mà chắc”, về cơ bản là không bị mất đi - biến dạng từng micron một trong vài giây. Khi sản phẩm cao su tuyệt vời nổ tung, một cú sốc động “ngược lại” đã xảy ra. Điều này xảy ra, chẳng hạn như khi loại bỏ các tầng tên lửa đã qua sử dụng hoặc khi dỡ bỏ nguồn gây ra trận động đất. Chúng tôi cố tình cung cấp những ví dụ vĩ mô như vậy vì thí nghiệm đá granit năm 1984 của chúng tôi cho thấy rằng nguyên lý này đúng trên mọi quy mô, từ nguồn gốc của một trận động đất đến khinh khí cầu. Vì vậy, vấn đề đã được giải quyết thành công và công việc tiếp theo diễn ra như kim đồng hồ, hay đúng hơn là như không khí. Hóa ra, cú sốc giải phóng áp suất đã được sử dụng nhiều lần trong lịch sử khoa học và công nghệ, nhưng đây là lần đầu tiên để kích thích các dao động đàn hồi trong giếng. Và khi trở về từ chuyến thám hiểm, chúng tôi đã nộp “bằng sáng chế cho phương pháp” mà chúng tôi đã nhiều lần sử dụng thành công trong các chuyến thám hiểm tiếp theo - và không chỉ trên đá granit mà còn trên đá sa thạch, đá vôi và đá dolomit. Tuy nhiên, không có gì đáng kinh ngạc khi quả bóng bay thay thế một chiếc “búa tạ” nặng nhiều kg. Mọi thứ đều hiển nhiên: một bầu khí quyển nhân với 1/10 mét khối (đây là cách tính năng lượng mà quả bóng bay được bơm căng truyền qua thành giếng vào khối địa chất) là 10.000 joules. Khi tính đến hiệu suất cao, có thể so sánh nguồn khí nén của tác động động ngược như vậy với tác động trực tiếp của tải nặng 100 kg rơi từ độ cao 10 mét (điều này không tính đến tổn thất năng lượng đáng kể trong quá trình tác động trực tiếp như vậy - khi nghiền đá mịn, sóng xung kích không đàn hồi và năng lượng nhiệt, tất nhiên, được giải phóng vào không gian xung quanh). Nguồn của loại được mô tả không có những tổn thất này. Do đó, định luật bảo toàn năng lượng toàn cầu đã giúp giải quyết câu đố kỹ thuật và địa vật lý cụ thể bài toán.

TRƯỜNG KVANT

Đại số và hình học của số phức

A.KANUNIKOV

Chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết này sau bài viết “Sự kỳ diệu của số phức” (tr. 5) hoặc song song với nó. Các sơ đồ của bài viết đó thường tuân theo cùng một kịch bản: đối với các phương pháp hình học lời giải đại số bài toán được sử dụng “trong hậu trường” và kết quả hoàn thiện xuất hiện giống như một con thỏ chui ra khỏi mũ. Đại số thuần túy có thể giải quyết những vấn đề nào về số phức và đâu là giới hạn ứng dụng của nó? Các phương pháp hình học giúp giải quyết những vấn đề gì và số phức và hình học làm phong phú lẫn nhau như thế nào? Chúng tôi sẽ nói về tất cả điều này trong bài viết. Nhưng mục tiêu chính của chúng tôi - vì đây là tiêu đề “Trường học ở «Kvant» - là để dạy cho bạn, bạn đọc thân mến, các kỹ thuật làm việc với số phức, các phương pháp đại số và hình học lời giải bài toán, dựa trên cơ sở lý thuyết vững chắc. Đừng cố hiểu mọi thứ cùng một lúc. Hãy nghiên cứu bài viết một cách chu đáo, chậm rãi, quay lại phần “Sự kỳ diệu của số phức” (bí mật được tiết lộ?). và quan trọng nhất là giải bài toán, hầu hết đều bao gồm đáp số và gợi ý (tr. 51).

Đại số số phức

§1. Định nghĩa và tính chất trong câu hỏi và câu trả lời

Chúng tôi sẽ không định nghĩa lại các khái niệm ban đầu với hy vọng bạn đã quen thuộc với chúng (xem trang 5). Tốt hơn hết, hãy đọc phần giới thiệu chi tiết hơn về số phức từ nhiều nguồn khác nhau, chẳng hạn như [2–5]. Chúng tôi thực sự không hiểu ý nghĩa của chúng

lặp lại. Hãy cùng trả lời tốt hơn những câu hỏi thường gặp nhất trong loạt bài “Bạn muốn biết (làm rõ) điều gì nhưng lại ngại hỏi”. Khi thảo luận, chúng ta sẽ đi đến một định nghĩa hợp lý về số phức. Hỏi: Tại sao đơn vị tưởng tượng lại được biểu thị bằng chữ i? Tại sao bạn không thể viết $- 1$? Đáp: Đây là chữ cái đầu tiên trong từ Latin imaginarius (tưởng tượng). Nó được Euler đề xuất vào năm 1777. Thay vì viết i, sẽ không chính xác khi viết $- 1$, vì đây là ký hiệu cho tập nghiệm của phương trình $x^{2} = - 1$, ngoài i, còn có một nghiệm khác –i: $x^{2} + 1 = ( x - i )( x + i )$. Nhân tiện, chính trên ký hiệu đáng tiếc này mà các lỗi cơ bản như

1 = 1 =

$( - 1 )^{2} =$

2

$- 1 = - 1$.

Hỏi: Tại sao số phức thường được định nghĩa trong văn học là các cặp số thực? Điều này có vẻ hơi lạ, đặc biệt là khi giới thiệu phép nhân bằng công thức $( a, b )( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc )$. Tại sao không chỉ viết a + bi? Đáp: Cách tiếp cận với các cặp đôi là sự tôn vinh chủ nghĩa hình thức, không hơn không kém. Khi đó họ vẫn chuyển sang ký hiệu dễ hiểu a + bi thay vì ( a, b ). Nó chỉ dễ dàng hơn để xác định mà không cần phải đắn đo thêm: các cặp đôi và thế là xong. Nhưng bạn nói đúng, việc nhân các cặp có vẻ điên rồ và những cuốn sách hay luôn thúc đẩy điều đó. Nếu bạn viết ngay a + bi, thì câu hỏi sẽ đặt ra, cộng này là gì và phép nhân của b với i là bao nhiêu. Tuy nhiên, trước tiên bạn cần xác định số phức là đối tượng và chỉ sau đó mới thực hiện các phép toán. Hỏi: Có phải thực sự không thể đưa ra một định nghĩa vừa chặt chẽ vừa rõ ràng? Đáp: Điều đó là có thể. Hãy coi số phức là vectơ trong mặt phẳng: $C = R^{2}$. Các vectơ là những cặp giống nhau và chúng ta biết cách cộng và nhân chúng với số thực (theo tọa độ). Hãy xác định vectơ (1, 0) bằng số 1 và ký hiệu vectơ (0, 1) bằng chữ i. Khi đó ( a, b ) = a ( 1, 0 ) + b ( 0, 1 ) = a + bi

– phân tích vectơ theo cơ sở 1, i. Vẫn còn phải xác định phép nhân của các vectơ cơ sở

KÍNH KÍNH KÍNH “QUANTA”

Xếp lát tuần hoàn của một mặt phẳng là lớp phủ của một mặt phẳng với các hình không chồng lên nhau, tồn tại hai vectơ không song song sao cho một sự dịch chuyển trên bất kỳ vectơ nào trong số chúng sẽ biến lớp phủ thành chính nó. Nếu lớp phủ định kỳ được hình thành bởi các bản sao của cùng một đa giác thì nó được gọi là sàn gỗ. Chỉ có ba đa giác đều - hình tam giác, hình vuông và hình lục giác - là sàn gỗ. Đối với các n-giác đều, góc đỉnh không phải là ước số của 360. Các phép tính của đa giác lồi không đều phức tạp hơn nhiều. Rõ ràng, sàn gỗ có thể được gấp lại, sao chép bất kỳ hình tam giác hoặc hình tứ giác nào. Nhưng không có n-giác lồi nào có n > 7 có thể được sử dụng để tạo thành một sàn gỗ. Với n = 6, ba loại hình lục giác lồi được tìm thấy và chứng minh rằng không có loại nào khác tồn tại (đối với hình lục giác ABCDEF, những loại này được đặc trưng bởi một tập hợp các mối quan hệ về góc và cạnh; không có hạn chế nào được áp đặt đối với các góc và cạnh không được đề cập).

đa giác, bằng cách chuyển song song, bạn có thể có được toàn bộ sàn gỗ. Năm loại đầu tiên được K. Reinhardt tìm ra vào năm 1918, và loại cuối cùng được biết đến, loại thứ 15, được C. Mann, J. McLeod, D. Von Derau tìm ra vào năm 2015. Loại 14 và 15 được xác định một cách cứng nhắc (đến mức tương tự nhau). Các loại còn lại có bậc tự do (ví dụ loại 1 có năm), việc thay đổi có thể thay đổi diện mạo của sàn gỗ khá đáng kể. Hơn nữa, một số loại hình ngũ giác ở dạng chung cho phép ốp nhiều lớp. Nhưng nó cũng xảy ra khác - loại này có một loại phụ (không có bậc tự do hoặc có ít bậc tự do hơn loại chính), có thể được sử dụng để xếp một mặt phẳng theo nhiều cách. Việc xác định các loại đa giác sàn gỗ thông qua tỷ lệ các cạnh và góc là nhỏ gọn và truyền thống nhất. Sau khi phân tích nó, chúng ta có thể đưa ra cấu trúc trực quan hơn của từng lớp, tiết lộ hình dạng của các tham số tự do. Bạn đọc quan tâm có thể cài đặt chương trình bách khoa toàn thư miễn phí

Với n = 5 bài toán không giải được hoàn toàn. Mười lăm loại hình ngũ giác lồi tạo thành sàn gỗ đã được phát hiện, nhưng liệu những loại khác có tồn tại hay không và nếu có thì loại nào vẫn chưa được biết. Các loại hình ngũ giác sàn gỗ ABCDE được tìm thấy với các mối quan hệ đặc trưng được trình bày ở trang bên phải của Kính vạn hoa. Miền cơ bản (được chọn vì lý do đối xứng) được đánh dấu rõ ràng - một tập hợp số lượng tối thiểu có thể có là http://www.jaapsch.net/tilings. Trong đó, tác giả của nó - J. Scherphuis - đã thu thập tất cả các ô xếp tuần hoàn hiện được biết đến (không chỉ với đa giác lồi mà còn không lồi). Tessellations với đa giác không lồi và bài toán khác của chủ đề này đã được thảo luận trong “Kính vạn hoa «Kvant» Số 2 năm 2009. Tài liệu do N. Andreev, M. Panov chuẩn bị

34

KVANT 2017/№5

(Để bắt đầu, xem trang 28)

cho rằng chính các phương trình bậc ba lời giải đã dẫn đến việc khám phá ra số phức (xem trang 9). Bây giờ thì sao? Đã đến lúc thực sự “khám phá” công thức Cardano? Trong mọi trường hợp, không rõ phải làm gì với gốc rễ của bất kỳ lũy thừa nào… Vì vậy, chúng ta đã đi đến điểm mà các phương tiện đại số thuần túy không còn đủ nữa. Chúng ta cần những ý tưởng mới về cơ bản, một tầm nhìn mới về số phức.

Vật lý của mưa đá

V. DROZDOV

THÁNG 7 NĂM 2008 RẤT nghiêm trọng ở vùng Ryazan: mưa rào, giông bão và thậm chí $град^{1}$. Vì vậy, vào khoảng 6 giờ tối ngày 18 tháng 7, tôi hầu như không có thời gian để trú mưa đá tại nhà ga dài 208 km gần Ryazan. Trận mưa đá có hình dạng gần hình cầu với đường kính khoảng 1 cm và kéo dài trong ba phút. Về đến nhà, tôi đọc lại bài viết về mưa đá ở K.D. Sách giáo khoa vật lý nổi tiếng của Kraevich vào đầu thế kỷ 20. Văn bản này đáng được trích dẫn:

1 Những bức ảnh đẹp về trận mưa đá tháng 7 có thể tìm thấy ở «Kvant» số 3 năm 2017 (xem trang 4 bìa và trang 25 bên trong tạp chí).

Tài liệu tham khảo

1. V.I.Arnold. Hình học của số phức, bậc bốn và spin. – M.: MTsNMO, 2002. 2. S. Dorichenko. Số phức. – «Kvant», 2008, Số 5. 3. Ya.P. Ponarin. Đại số số phức trong các bài toán hình học. – M.: MTsNMO, 2004. 4. V.V. Prasolov, V.M. Tikhomirov. Hình học. – M.: MTsNMO, 2007. 5. Yu. Solovyov. Số phức. – «Kvant», 1991, số 7.

(Còn tiếp)

“Nếu, trong chuyển động đi lên mạnh mẽ của một cột không khí, sự hóa lỏng của hơi nước đã xảy ra ở nhiệt độ trên 0, thì các giọt tạo thành sẽ được đưa cao hơn vào các lớp có nhiệt độ âm chiếm ưu thế, ở đó chúng, vẫn ở dạng lỏng, nguội xuống dưới 0, tức là hạ nhiệt. Nếu ở trạng thái này, các giọt nước siêu lạnh gặp phải các tinh thể băng trôi nổi trong không khí, thì sự đóng băng ngay lập tức xảy ra và kết quả là quả cầu băng khi rơi xuống giữa các giọt siêu lạnh sẽ nhanh chóng bị bao phủ bởi băng, tăng thể tích và chạm tới bề mặt của không khí. đất ở dạng một mảnh băng, thường có hình dạng không đều. Lượng mưa loại này thường có kích thước bằng hạt thông, và đôi khi có kích thước bằng quả trứng gà; chúng có hình dạng không đều. Phần giữa của mưa đá thường bao gồm một lõi tuyết được bao phủ bởi lớp vỏ băng giá bền. Mưa đá thường xảy ra vào giữa mùa hè và thường xảy ra vào ban đêm. trong vài phút, hiếm khi trong một phần tư giờ, loại mưa này gây ra sự tàn phá nghiêm trọng, phá hủy mùa màng và nếu lớn, nó có thể gây tử vong cho cả người và động vật ”.

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Polara

D. SHVETSOV

HÃY BẮT ĐẦU BẰNG MỘT CÂU HỎI RẤT ĐƠN GIẢN: làm thế nào để dựng tiếp tuyến từ một điểm P đến một đường tròn cho trước $\omega$? Chúng ta hãy nhớ lại rằng cách xây dựng tiêu chuẩn ở đây như sau: chúng ta tìm tâm của đường tròn O (làm thế nào?), sau đó chúng ta dựng một đường tròn $\omega_{1}$ có đường kính OP, bây giờ là các điểm giao nhau của các đường tròn $\omega, \omega_{1}$ và đặt các tiếp tuyến (hình1).

các cát tuyến tùy ý cắt đường tròn tại các điểm A, B và C, D tương ứng. Giả sử các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm E, các đường thẳng BC và AD cắt nhau tại điểm Q (hình2). Bây giờ, cuối cùng, để đường thẳng QE cắt đường tròn $\omega$ tại các điểm $P_{1}$ và $P_{2}$, thì hóa ra các đường thẳng $PP_{1}$ và $PP_{2}$ là tiếp tuyến! Vì vậy, bạn có thể dựng các tiếp tuyến từ điểm P đến đường tròn $\omega$ chỉ bằng một thước. Lưu ý rằng các cát tuyến được chọn hoàn toàn tùy ý ở bước đầu tiên, tuy nhiên, cuối cùng vẫn thu được các tiếp tuyến, tức là vị trí của các điểm $P_{1}$ và $P_{2}$ không phụ thuộc vào việc chọn tứ giác ABCD. Chúng ta thấy rằng giao điểm của các đường chéo của tất cả các tứ giác như vậy nằm trên cùng một đường thẳng (hình3).

Hình 1

Việc xây dựng này dựa trên tính chất-ký cơ bản của một tiếp tuyến - bán kính được vẽ đến điểm tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến, do đó, rất có thể việc xây dựng trông không có gì đáng ngạc nhiên. Nhưng nếu bạn từ chối sử dụng la bàn thì mọi thứ sẽ trở nên thú vị hơn nhiều. Vì vậy, hãy vẽ hai điểm qua một điểm P tùy ý bên ngoài đường tròn đã cho $\omega$

Hình 3

Tất cả những quan sát này có thể được phát biểu dưới dạng một định lý, chứng minh cơ bản của nó là chủ đề của bài viết này.$^{1}$ Định lý chính. Cho các phần kéo dài của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn $\omega$ cắt nhau tại điểm P, phần kéo dài của các cạnh BC và AD tại điểm Q, các đường chéo AC, BD tại điểm E. Cho các tiếp tuyến kẻ từ P đến đường tròn $\omega$ chạm vào nó tại các điểm $P_{1}$ và

1 Một trong những bằng chứng tự nhiên nhất

Hình 2

Định lý chính sử dụng hình học xạ ảnh.

37

TOÁN HỌC

Hình 4

VÒNG TRÒN

Hình 6

$P_{2}$. Khi đó các điểm $P_{1}, P_{2}, E, Q$ nằm trên cùng một đường thẳng (hình4).

Bài toán Sharygina

Trở lại năm 1985, những người tham gia Olympic Toán học Quốc tế XXVI đã được đề nghị bài toán sau đây, tác giả của nó là nhà hình học xuất sắc Igor Fedorovich Sharygin (1937–2004). Bài toán. Cho các đường tròn ngoại tiếp các tam giác PAD, PBC cắt nhau lần thứ hai tại điểm M, như trong hình 5. Khi đó $\angle$ PMO $= 90 ^\circ$, trong đó O là som, ta đủ điều kiện chứng minh tứ giác PMYX là tứ giác nội tiếp. Lưu ý rằng $\angle$ MDP $= \angle$ MAP là các góc nội tiếp chắn bởi một cung MP, và tương tự $\angle$ MCP $= \angle$ MBP (hình7). Từ sự bằng nhau của các cặp góc suy ra sự đồng dạng của các tam giác MDC và MAB. Phần MX và

Hình 7

Hình 5

tâm đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của tứ giác ABCD. Chứng minh điều đó. Lời giải. Phát biểu bài toán tương đương với việc điểm M nằm trên đường tròn có đường kính OP. Mặt khác, đường tròn có đường kính OP đi qua trung điểm của X, Y đoạn AB và CD, vì $OX \perp AB$ và $OY \perp CD$ (hình6). Lối này

MY là đường trung bình của các tam giác đồng dạng nên tam giác MYC và MXB đồng dạng. Từ sự giống nhau cuối cùng, suy ra rằng các góc bằng nhau: $\angle$ MYP $= \angle$ MXP, suy ra rằng tứ giác PMYX nội tiếp. Như vậy khẳng định bài toán đã được chứng minh.

Trục căn thức và chứng minh định lý chính

Chúng ta cũng hãy phân tích cách xây dựng bài toán của Sharygin, có tính đến ba đường tròn trục đẳng phương của chúng

39

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

QE trùng với đường thẳng $P_{1} P_{2}$. Nhưng các điểm $P_{1}$ và $P_{2}$ rõ ràng là đối xứng với đường thẳng PO, do đó $P_{1} P_{2} \perp PO$. Vì vậy, $QE \perp PO$. Tương tự như vậy, $PE \perp QO$. Do đó, điểm E là giao điểm các đường cao của tam giác POQ (hay nói cách khác bộ tứ P, Q, E, O là trực tâm, tức là mỗi điểm này là trực tâm của một tam giác có ba đỉnh là ba điểm còn lại). Cụ thể là $OE \perp PQ$ (hình10).

Hình 10

Sự vuông góc của các đường thẳng OE và PQ được gọi là định lý Brocard.

Tiếp theo là gì?

Việc xây dựng định lý chính phổ biến đến mức một số đối tượng của nó đã có tên riêng. Do đó, điểm P được gọi là cực của đường $P_{1} P_{2}$, và bản thân đường $P_{1} P_{2}$ được gọi là cực của điểm P. Do đó, mỗi điểm (cực) được liên kết với một đường thẳng (cực) duy nhất của chính nó, sự tương ứng như vậy được gọi là cực. Kết hợp cực được ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải quyết bài toán khó khăn nhất. Để giới thiệu chủ đề nhanh chóng và hiệu quả, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng bộ sưu tập bài toán [1], trong đó bạn có thể tìm thấy nhiều ví dụ thú vị. Điều đáng ngạc nhiên là hóa ra việc dựng một tiếp tuyến bằng một thước cũng tiến hành theo cách tương tự nếu chúng ta thay đường tròn bằng hình elip, hyperbol hoặc parabol (hình11). Thoạt nhìn có vẻ như chứng minh của chúng tôi vô dụng trong trường hợp này, tuy nhiên, trên thực tế, cả ba trường hợp được đề cập (elip, hyperbol và parabol) đều có thể rút gọn thành trường hợp đường tròn.

Hình 11

Bạn! Với mục đích này, cái gọi là phép biến đổi xạ ảnh được sử dụng. Bạn có thể đọc về chúng, ví dụ, trong một cuốn sách chi tiết [2]. Cuối cùng, chúng tôi lưu ý rằng cơ sở của toàn bộ cốt truyện là bài toán của Sharygina, một cách tiếp cận hoàn toàn khác, cũng như mối liên hệ của nó với những viên ngọc hình học khác, có thể được tìm thấy trong một bài viết tuyệt vời [3].

Văn học

1. P.A. Kozhevnikov. Kết hợp cực. (http://geometry.ru/persons/kozhevnikov/ cực.pdf) 2. I.Ya.Yaglom. Các phép biến đổi hình học. Tập 2. – M.: Nauka, 1955. (http:// www.math.ru/lib/files/djvu/yaglom/ tom2.djvu) 3. V. Protasov. Về hai người đi xe đạp và một hố anh đào. – «Kvant», 2008, Số 3. (http: //geometry.ru/articles/protasovbycicle.pdf)

Thế Vận Hội

Olympic Toán LXXX Moscow

lớp 8

1. Thay thế các chữ cái trong biểu thức $AB^{C} = DE^{F}$ bằng số sao cho đẳng thức trở thành đúng, sử dụng mỗi chữ số từ 1 đến 6 đúng một lần. (Giải thích: $AB^{C}$ là số có hai chữ số gồm các chữ số A và B, lũy thừa C. Chỉ cần đưa ra một phương pháp thay thế là đủ.) E. Bakaev

2. Cho tam giác ABC và 10 đường thẳng nằm trên một mặt phẳng, không có đường thẳng nào song song với nhau. Hóa ra mỗi đường thẳng cách đều hai đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng có ít nhất ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm. S.Markelov

3. Có 100 số khác 0 được viết trong một vòng tròn. Giữa hai số liền kề, tích của chúng được viết và các số trước đó bị xóa. Số lượng các số dương không thay đổi. Số số dương tối thiểu có thể viết được ban đầu là bao nhiêu? B.Frenkin

4. Xem bài toán 4 phương án khó dành cho lớp 8–9 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII (xuất bản trong «Kvant» Số 4).

5. Giáo viên cho điểm theo thang điểm từ 0 đến 100. Ở phần giáo dục, họ có thể thay đổi giới hạn trên của thang thành bất kỳ số tự nhiên nào khác, tính lại điểm theo tỷ lệ và làm tròn thành số nguyên. Số không nguyên được làm tròn đến số nguyên gần nhất; nếu phần phân số bằng 0,5 thì phần giáo dục có thể chọn chiều làm tròn bất kỳ, riêng cho từng lớp. (Ví dụ: điểm 37 trên thang điểm 100, sau khi tính lại theo thang điểm 40 sẽ thành $37 \cdot ( 40 100 ) = 14,8$ và sẽ làm tròn thành 15.) Học sinh Petya và Vasya nhận điểm a và b khác 0 và 100. Chứng minh rằng phần huấn luyện có thể thực hiện nhiều phép tính lại để Petya

là lớp b, và Vasya là lớp a (cả hai lớp đều được tính lại cùng một lúc). B. Vysokanov, N. Medved, V. Bragin

6. Xem bài toán M2460 “Bài toán Kvant”.

lớp 9

1. Tìm số tự nhiên lớn nhất, tất cả các chữ số thập phân của nó đều khác nhau và bị giảm đi 5 nếu bạn gạch bỏ chữ số đầu tiên. M. Evdokimov

2. Xem bài toán 1 phương án khó dành cho lớp 8–9 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

3. Xem bài toán 2 phương án khó dành cho lớp 8–9 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

4. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a và k sao cho với mọi số tự nhiên n, n nguyên tố cùng nhau với c a thì số $a^{k} +^{1} - 1$ chia hết cho n. A. Menshchikov

5. Xem bài toán 4 phương án khó dành cho lớp 10–11 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

6. Xem bài toán 5 phương án khó dành cho lớp 10–11 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

lớp 10

1. Tam thức bình phương $x^{2} + bx + c$ có hai nghiệm thực. Mỗi hệ số trong số ba hệ số của nó (bao gồm cả hệ số tại $x^{2} )$ đều tăng thêm 1. Phải chăng cả hai nghiệm của tam thức cũng tăng thêm 1? M. Evdokimov

2. Tất cả các số tự nhiên, đơn vị lớn, được tô bằng hai màu - xanh lam và đỏ - sao cho tổng của hai số xanh bất kỳ (kể cả những số giống nhau) là xanh lam và tích

41

Thế Vận Hội

Hai màu đỏ bất kỳ (kể cả những màu giống hệt nhau) đều có màu đỏ. Được biết, cả hai màu đều được sử dụng để tô màu và số 1024 được sơn màu xanh lam. Con số 2017 có thể có màu gì? M. Evdokimov

3. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC cắt các cạnh AB và BC lần thứ hai tại các điểm E và F. Suy ra đường thẳng EF chia đôi diện tích tam giác ABC. Tìm góc B. M. Evdokimov

4. Vasya có một hòn đá (đồng nhất, không có lỗ rỗng bên trong) có hình khối đa diện lồi, chỉ có các mặt hình tam giác và lục giác. Vasya tuyên bố rằng ông đã đập viên đá này thành hai phần để chúng có thể được gấp lại thành một khối lập phương (không có khoang bên trong). Lời nói của Vasya có thể là sự thật? M. Evdokimov

5. Với những số tự nhiên n nào, với mọi số tự nhiên $k \ge n$, có số nào có tổng các chữ số k là bội số của n không? A. Kuznetsov, I. Losev

6. Xem bài toán 7 phương án khó dành cho lớp 10–11 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

lớp 11

Ngày đầu tiên

1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất là bội số của 80, trong đó hai chữ số khác nhau của nó có thể được sắp xếp lại sao cho số thu được cũng là bội số của 80. A. Bắt đầu

2. Trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AC tại điểm S có điểm Q sao cho trung điểm của các đoạn AQ và QC cũng nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh QS là phân giác của góc AQC. M. Vasiliev

3. Đặt $x_{0}$ là nghiệm dương của phương trình $x^{2017} - x - 1 = 0$ và $y_{0}$ là nghiệm dương

nghiệm thực của phương trình $y^{4034} - y = 3 x_{0}$.

a) So sánh $x_{0}$ và $y_{0}$. b) Tìm chữ số thập phân thứ mười của $x_{0} - y_{0}$. I. Sheypak

4. Ba người đi xe đạp cùng chiều trên một đường tròn dài 300m. Mỗi người trong số họ di chuyển với tốc độ không đổi của riêng mình, tất cả các tốc độ đều khác nhau. Nhiếp ảnh gia sẽ có thể chụp được một bức ảnh đẹp về những người đi xe đạp nếu tất cả họ đều dừng lại trên một đoạn đường dài d mét. Ở mức d tối thiểu nào thì nhiếp ảnh gia sớm hay muộn sẽ có thể chụp được một bức ảnh thành công? O. Kosukhin

5. Trên các mặt của khối lập phương đơn vị có 8 điểm được đánh dấu, đóng vai trò là các đỉnh của khối lập phương nhỏ hơn. Tìm tất cả các giá trị mà độ dài cạnh của khối này có thể nhận. M. Evdokimov

6. Xem bài toán 6 cho lớp 10.

Ngày thứ hai

1. Cho hai cấp số không đổi $( a_{n} )$ và $( b_{n} )$, một cấp số học và cấp số kia là cấp số học. Được biết, $a_{1} = b_{1}, a_{2} : b_{2} = 2$ và $a_{4} : b_{4} = 8$. Tỷ lệ $a_{3} : b_{3}$ có thể bằng bao nhiêu? D. Goryashin

2. Dunno chỉ quen thuộc với logarit thập phân và tin rằng logarit của tổng hai số bằng tích logarit của chúng và logarit của hiệu hai số bằng thương số logarit của chúng. Dunno có thể chọn ít nhất một cặp số mà cả hai đẳng thức này đều đúng cùng một lúc không? A. Bắt đầu

3. Thám tử Nero Wolfe đang điều tra vụ án. Vụ án có 80 người liên quan, trong đó một người là tội phạm, một người là nhân chứng của tội ác (nhưng không biết đó là ai). Mỗi ngày thám tử có thể mời một hoặc nhiều trong số 80 người này đến chỗ mình, nếu trong số những người được mời có nhân chứng nhưng không có tội phạm thì nhân chứng sẽ cho biết ai là tội phạm. Một thám tử có thể cố ý giải quyết một vụ án trong 12 ngày không? O. Kosukhin

4. Bên trong tam giác ABC lấy điểm D sao cho BD = CD, $\angle$ BDC $= 120 ^\circ$. Ngoài

42

KVANT 2017/№5

của tam giác ABC lấy điểm E sao cho AE = CE, $\angle$ AEC $= 60 ^\circ$ và các điểm B và E nằm trong hai nửa mặt phẳng khác nhau đối với AC. Chứng minh rằng $\angle$ AFD $= 90 ^\circ$, trong đó F là trung điểm của đoạn BE. O. Kosukhin

5. Một bảng có kích thước $2017 \times 2017$ chứa đầy các chữ số khác 0. Trong số 4034 số có ký hiệu thập phân trùng với

Các hàng và cột của bảng này lần lượt được đọc từ trái sang phải và từ trên xuống dưới, tất cả trừ một đều chia hết cho số nguyên tố p và số còn lại không chia hết cho p. Tìm tất cả các giá trị có thể có của p. A. Galatenko

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi E. Epifanov

Olympic Vật lý Mátxcơva 2017

Vòng lý thuyết thứ hai

lớp 7

1. Tại sân bay Sheremetyevo, trên đoạn đường dài giữa hai nhà ga, có hai thang cuốn song song với nhau - các thang cuốn nằm ngang có cùng chiều dài. Cậu học sinh Vasya, khi tham dự Olympic Vật lý Quốc tế, nhận thấy chiếc máy du lịch đầu tiên đang di chuyển và chiếc thứ hai đã tắt, và trong khi chờ chuyến bay, cậu quyết định vui đùa một chút. Anh bắt đầu chạy đi chạy lại dọc theo những người lữ hành, mỗi lần lại quay về điểm xuất phát. Lần đầu tiên, Vasya chạy đến đó trên một chiếc máy du lịch đang chuyển động và quay lại trên một chiếc xe đứng yên. Lần thứ hai anh ta chạy đến đó trên một chiếc xe du lịch đứng yên và quay lại trên một chiếc xe đang chuyển động. Sự khác biệt về thời gian di chuyển của Vasya trong lần chạy đầu tiên và lần thứ hai là $\Delta t_{1} = 25$ s. Lần thứ ba, Vasya chạy theo cả hai hướng dọc theo máy du lịch đang chuyển động và lần thứ tư, theo cả hai hướng dọc theo máy du lịch đứng yên. Sự khác biệt về thời gian di chuyển của Vasya trong lần chạy thứ ba và thứ tư hóa ra bằng $\Delta t_{2} = 5$ s. Vasya phát triển một tốc độ không đổi so với thiết bị di chuyển, tốc độ của nó cũng không đổi và bằng u = 1 m/s. Tìm vận tốc v của Vasya so với máy du lịch và xác định chiều dài của máy du lịch. Hãy xem xét rằng Vasya dành thời gian không đáng kể cho việc tăng tốc, phanh và rẽ. M. Zamyatnin

2. Ra khỏi nhà, bố, con gái Masha và con trai Vanya chạy đến bến xe buýt, quãng đường là s = ​​430 m. Tốc độ của Vanya là v = 2 m/s, tốc độ của Masha là 2v và tốc độ của bố là 4v. Nếu bố đặt bất kỳ đứa trẻ nào lên cổ thì tốc độ của ông giảm xuống còn 3v. Bố không thể bế hai con cùng một lúc. Trong thời gian tối thiểu cả gia đình có thể có mặt ở bến xe buýt? Chúng ta có thể cho rằng trẻ ngồi trên cổ bố, việc tăng tốc và phanh xe diễn ra nhanh chóng. A. Bychkov

3. Ba bình hình trụ thẳng đứng giống hệt nhau giao tiếp với nhau ở gần đáy bằng cách sử dụng các ống hẹp có vòi, ban đầu được đóng lại (hình1,a). Bình bên trái và bình bên phải chứa nước dưới các pít-tông mỏng nằm ngang, bình giữa rỗng. Các vòi mở đồng thời và cùng lúc cả hai piston bắt đầu chuyển động xuống dưới với tốc độ không đổi. Trong trường hợp này, độ chênh lệch mức pít-tông tăng theo phương thẳng đứng với vận tốc v. Sử dụng đồ thị phụ thuộc chiều cao h của mực nước ở bình giữa

Hình 1

44

KVANT 2017/№5

sự phụ thuộc $d_{12} ( t )$ được mô tả bằng một đường màu xanh lam. Giá trị bằng số của giá trị $d_{0}$ vẫn chưa được biết, nhưng người ta biết rằng $t_{1} = 30$ s và $t_{2} = 40 c.$ Khi xác định khoảng cách giữa những người bơi, chiều rộng của các làn bơi không được tính đến và người ta tin rằng các vận động viên đã di chuyển gần như dọc theo một đường thẳng. Lần lượt của mỗi người bơi diễn ra rất nhanh. 1) Thời gian về đích của mỗi người bơi là bao lâu? 2) Tiếp tục (hoàn thành) cả hai đồ thị cho đến thời gian 60 giây. P. Kryukov

3. Một tải trọng không đồng nhất có khối lượng 4m được treo bằng hệ khối như hình hình 5. Các ren và khối rất

Hình 5

Các phần ren nhẹ, tự do thẳng đứng, không có ma sát ở các trục của khối. Một đối trọng có khối lượng m được gắn vào đầu tự do của sợi dây ném qua các khối. Một đoạn của cùng một sợi nằm giữa tải và khối bên phải đi qua một lỗ nhỏ trên vách ngăn cố định. Khi sợi chỉ trượt trong lỗ xuất hiện một lực ma sát F = 10 N tác dụng lên sợi chỉ từ phía vách ngăn. 1) Tại giá trị nào của khối lượng đối trọng m thì hệ có thể giữ cân bằng? 2) Trọng tâm của một tải trọng không đồng nhất phải đặt ở đâu để có thể đạt được trạng thái cân bằng? 3) Độ lớn của lực ma sát $F_{1}$ là bao nhiêu và nó hướng vào $m = m_{1} = 0,7$ kg theo hướng nào? Mô đun gia tốc trọng trường có thể coi bằng g = 10 m $с^{2}$. M. Zamyatnin

4. Ở Moscow, thuộc quận Ochkovo, có một nhà máy nhiệt điện mạnh tên là CHP-25. Công suất điện tối đa của trạm này là $W_{1} = = 1370$ MW. Ngoài việc tạo ra điện, trạm này có thể đồng thời cung cấp nhiệt với công suất $W_{2} = = 4088$ Gcal/h để cung cấp nước nóng cho các khu vực lân cận của thành phố và sưởi ấm cho các ngôi nhà. Trạm hoạt động bằng khí metan tự nhiên $( CH_{4} ),$ khi đốt cháy $m_{0} = 16$ g giải phóng một lượng nhiệt Q = 797 kJ. 20% năng lượng thu được từ quá trình đốt cháy nhiên liệu luôn được thải vào khí quyển qua đường ống cùng với các sản phẩm đốt cháy. Ở chế độ mùa hè, khi không cần sưởi ấm ngôi nhà, trạm hoạt động với 80% công suất điện tối đa, đồng thời, 30% lượng nhiệt thoát ra trong quá trình đốt khí metan vẫn phải được thải vào khí quyển bằng cách làm bay hơi nước trong các thiết bị đặc biệt - tháp giải nhiệt. Nhiệt dung riêng bay hơi của nước là L = 2256 kJ/kg, 1 calo xấp xỉ 4,2 J. 1) Tiêu thụ nhiên liệu của trạm (kg/s) vào mùa đông là bao nhiêu? 2) Hiệu suất sử dụng nhiệt năng khi chuyển hóa thành điện năng vào mùa đông là bao nhiêu? 3) Lượng nước được chuyển thành hơi mỗi giây (tính bằng l/s) trong tháp giải nhiệt của trạm vào mùa hè? 4) Nguồn năng lượng nào được cung cấp cho người tiêu dùng nước nóng trong nhà vào mùa hè? I. Semerikov, S. Varlamov

lớp 9

1. Tên lửa di chuyển ra khỏi bề mặt nằm ngang của Trái đất với tốc độ v được định hướng hoàn toàn theo phương thẳng đứng. Một chiếc máy bay đang bay song song với bề mặt về phía tây với tốc độ v 3. 1) Với tốc độ tuyệt đối tối thiểu u là bao nhiêu và một máy bay bốn cánh nên bay theo hướng nào (so với Trái đất) để so với nó, tên lửa và máy bay có vận tốc ngược chiều nhau? 2) Vận tốc nên hướng một góc nào so với đường chân trời (so với Trái đất)?

58

KVANT 2017/№5

$n \ge 2$, chúng ta sẽ chia nó thành hai, tích sẽ không giảm, vì $2 n \ge n + 2$. Sẽ chỉ còn lại hai và ba. Thay thế ba số hai bằng hai số ba, chúng ta sẽ tăng tích số. Kết quả là chúng ta có được 12 bộ ba. Như vậy, số lượng băng đảng không quá $3^{12}$.

TOUR NÓI DÀNH CHO LỚP 11

1. 3. Hãy xây dựng biểu đồ sau: các đỉnh là người chơi, các cạnh là trò chơi đã chơi. Theo điều kiện, biểu đồ này giống nhau cho cả hai giải đấu. Hãy nhìn vào giải đấu đầu tiên và chọn ra những trò chơi mà người chiến thắng chưa từng thắng trước đó (ví dụ: đây là trò chơi đầu tiên). Sau đó, các cạnh tương ứng tạo thành một đường dẫn và các cạnh còn lại liền kề với đường dẫn này ở một đầu. Đặc biệt, nếu chúng ta loại bỏ tất cả các đỉnh treo thì chỉ còn lại đường đi của chúng ta không có các đỉnh cực trị. Bây giờ hãy xem biểu đồ này giống như biểu đồ giải đấu cúp. Nếu chúng tôi loại bỏ các đỉnh treo khỏi nó, biểu đồ giải đấu của những người chiến thắng $2^{n-} 1$ ở giai đoạn đầu tiên sẽ vẫn còn. Rõ ràng đó là một đường đi chỉ dành cho n £ 3, nếu không, người chiến thắng trong giải đấu sẽ có trình độ ít nhất là 3. Do đó, n £ 3. Vẫn còn phải đưa ra một ví dụ cho n = 3. Hãy đánh số những người tham gia từ 1 đến 8 và các cặp trong cúp như sau (người thua được liệt kê đầu tiên, người chiến thắng thứ hai): 1–2, 3–4, 5–6, 7–8, 2–4, 6–8, 4–8. Sau đó, khi chơi tiếp, các cặp có thể như sau (người chiến thắng lại được liệt kê ở vị trí thứ hai): 1–2, 2–4, 3–4, 4–8, 7–8, 8–6, 6–5. 2. Không. Chúng tôi thậm chí sẽ chỉ ra rằng điều này không đúng trong một trong hai trường hợp: a) xương sườn thứ trăm là xương sườn gốc và b) xương sườn thứ trăm là xương sườn bên. a) Lấy 51 giác đều $A_{1} A_{2}$ … $A_{51} c$ tâm C. Gọi $\omega$ và Ω lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Xét một hình cầu S có tâm C, giao với mặt phẳng của 51 giác dọc theo đường tròn $\omega$, và xét hình nón có đáy Ω mà hình cầu này nội tiếp. Gọi O là đỉnh của hình nón này. Khi đó hình chóp 50 cạnh $OA_{1} A_{2}$ … $A_{50}$ có tất cả các cạnh bên và 49 cạnh của đáy chạm vào hình cầu S, nhưng cạnh $A_{1} A_{50}$ thì không. b) Vẽ đa giác, hình cầu và hình nón tương tự như ở điểm a). Bây giờ để các đường $A_{1} A_{51}$ và $A_{49} A_{50}$ cắt nhau tại điểm B. Khi đó, hình chóp $OA_{1} A_{2}$ … $A_{49} B$ là điểm bắt buộc: tất cả các cạnh của nó, ngoại trừ cạnh bên OB, chạm vào hình cầu S. 4. Không. Rõ ràng là các hàng của bảng có thể được sắp xếp lại theo ý muốn và các cột cũng vậy. Hãy sắp xếp lại tất cả những thứ lặt vặt-

Tất cả các cột ở bên trái và tất cả các hàng lẻ ở phía dưới. Kết quả là bảng ban đầu sẽ là một bảng được chia thành 4 ô vuông giống hệt nhau - hai ô đối diện là màu trắng, còn lại là màu đen. Giả sử sau khi sơn lại có 50+k ô đen ở mỗi hàng, mỗi cột; thì trong mỗi cột và mỗi hàng có k ô trắng được tô màu lại nhiều hơn ô đen. Để một ô ở một trong các ô vuông màu đen được đổi màu. Như đã lưu ý ở trên, mỗi ô vuông màu trắng có a + 50k ô được tô màu lại, sau đó ô vuông màu đen còn lại cũng có ( a + 50 k ) - 50 k = a ô được tô màu lại. Điều này có nghĩa là tổng số ô được tô màu lại là 2a + + 2 ( a + 50 k ) = 4 ( a + 25 k ), tức là chia hết cho 4 nên không thể bằng 2018. 5. Gọi M là trung điểm của BC, Y và Z lần lượt là các điểm đối xứng với X qua đường thẳng BC và điểm M (hình20).

Hình 20

Sau đó

– BZC = – BYC = – BXC $= 180 \infty -$ – $BA_{H} C$, từ đó các điểm $A_{H}, B, C, Y$ và Z nằm trên cùng một đường tròn Ω với tâm O và bán kính R. Hơn nữa, vì $A_{H} A_{M} P BC$ và $A_{M} X : XM = 2$, ta thu được $A_{H} X : XY = A_{M} X : 2 XM = 1$, tức là X – giữa $A_{H} Y$. Gọi T là trung điểm của YZ. Khi đó OTYX là hình chữ nhật nên TX = OY = R. Từ tính đối xứng theo BC ta thu được OB = OC = TB = TC = R. Do đó, T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BXC, tức là theo bổ đề đinh ba, đây là trung điểm của cung BC của đường tròn $( A_{I} BC ).$ Gọi $K = A_{H} Y \cap BC$, YY¢ là đường kính của đường tròn Ω, và P và S là trung điểm tương ứng là KM và $A_{H} A_{M}$. Lưu ý rằng $YZ = 2 KM = = A_{H} A_{M} = A_{H} Y$ ¢. Điều này có nghĩa là TX cắt các đoạn KM và $A_{H} A_{M}$ tại trung điểm P và S của chúng, cũng như P = YY ¢ $\cap BC$. Khi đó BP ◊ PC = YP ◊ PY ¢ = = TP ◊ PS (đẳng thức cuối cùng đúng do tính đối xứng của các đoạn YY¢ và TS tương đối