Kvant 2017, số 10 · Trang

4

KVANT 2017/№10

được gọi là đường cách đều, có nghĩa là “đường thẳng có khoảng cách bằng nhau”. Như trong trường hợp chuyển động dọc theo tử vi, người ta có thể chuyển sang trường hợp h không số ít bằng cách sử dụng một đối xứng thích hợp (hình24).

Hình 24

Để ngắn gọn, chúng ta sẽ gọi chuyển động dọc theo họ đường cách đều là trượt. Như chúng ta đã biết, trượt dọc theo đường thẳng h là tổ hợp các đối xứng qua hai đường thẳng (a và b) vuông góc với h. Chúng ta sẽ sử dụng khái niệm trượt trong hai hình học khác. Trong trường hợp Euclide, trượt là một phép tịnh tiến song song dọc theo đường thẳng h (hình25);

Hình 25

vai trò của các đường cách đều được thể hiện bởi các đường thẳng song song với h. Trên một quả cầu, sự trượt hóa ra là một phép quay. Thật thuận tiện để hình dung điều này theo thuật ngữ “địa lý”: nếu h được coi là đường xích đạo, thì các đường thẳng a và b sẽ là kinh tuyến, và thành phần $S_{a} o S_{b}$ sẽ là một vòng quay quanh cực bắc (hoặc, tương tự, cực nam) (hình26). Vai trò của các đường cách đều được thể hiện bởi các đường song song (hình27).

Hình 26

Hình 27

Vì vậy, trên mặt phẳng lobachevsky, thành phần của hai đối xứng là một phép quay, một sự dịch chuyển dọc theo một họ các vòng quay hoặc một sự trượt. Trong trường hợp Euclide, chỉ còn phép quay và trượt, còn trong trường hợp hình cầu, hai trường hợp này trùng nhau và chỉ còn phép quay. Lưu ý rằng trong cả ba trường hợp, chuyển động có thể được biểu diễn dưới dạng hợp thành của hai đối xứng theo nhiều cách. Thật vậy, phép quay $R_{A}^{J}$ bằng $S_{a} o S_{b}$ đối với hai đường thẳng a và b bất kỳ cắt nhau tại điểm A một góc J 2 (hãy nhớ rằng góc được xét bằng dấu: điều quan trọng là thứ tự các cạnh của nó được lấy). Do đó, dưới dạng đường thẳng a, chúng ta có thể lấy một đường thẳng tùy ý đi qua điểm A. Đường thẳng thứ hai được xác định duy nhất. Điều tương tự cũng xảy ra trong trường hợp (2) và (3). Đối với (2), chuyển sang trường hợp đặc biệt sử dụng cách chia động từ, chúng ta có thể lấy bất kỳ đường thẳng đặc biệt nào là a, khi đó b sẽ là một đường thẳng đặc biệt cách a một khoảng nhất định. Với (3), dưới dạng a, chúng ta có thể lấy bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với h. Để thống nhất, chúng ta gọi tập hợp mà chúng ta có thể chọn một đường là một bút chì gồm các đường. Trong trường hợp (1) bút chì gồm các đường đi qua một điểm cho trước; trong trường hợp (2) – từ các đường thẳng song song; cuối cùng, trong trường hợp (3) – từ các đường thẳng vuông góc với một đường thẳng h cho trước. Đối với mặt phẳng Euclid, trường hợp (2) và (3) trùng nhau: một tập các đường thẳng song song cũng là một tập các đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Trên một hình cầu chỉ có trường hợp (1). Vì vậy, tuyên bố sau đây đúng trong cả ba hình học. Bổ đề về thay thế đối xứng: Thành phần $S_{a} o S_{b}$ cũng có thể được viết dưới dạng $S_{a} 1 o S_{b} 1$, trong đó một trong các đường thẳng $a_{1}$ và $b_{1}$ được chọn tùy ý từ bút chì chứa các đường thẳng a và b (đường còn lại được xác định duy nhất). Bổ đề này sẽ hữu ích cho chúng ta trong việc tính thành phần của ba đối xứng, $S_{a} o S_{b} o S_{c}$. Chúng ta sẽ cố gắng thực hiện việc lập luận một cách thống nhất cho cả ba dạng hình học: chúng ta sẽ chỉ sử dụng

Nguyên tắc 80:20 trong sinh học

A. MINEEV

NGUYÊN TẮC 80:20 ĐƯỢC BIẾT RỘNG RÃI và “có tác dụng” trong nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, mặc dù nó có chút bí ẩn, huyền bí và nghịch lý. Một tên gọi khác của nó là nguyên lý Pareto, được đặt theo tên của nhà xã hội học và kinh tế học người Ý. Vào cuối thế kỷ 19, khi xử lý dữ liệu thống kê, ông phát hiện ra rằng 20% ​​dân số sở hữu 80% tổng nguồn lực vật chất. Theo đó, 80% dân số sở hữu 20% tài nguyên còn lại. Hơn nữa - nhiều hơn nữa. Hóa ra 20% người mua mang lại 80% lợi nhuận, 80% người dùng truy cập 20% trang web, v.v. Trong nỗ lực sử dụng nguyên tắc này, đã đến mức các nhà sản xuất phần mềm lớn nhất (IBM, Apple, Microsoft, Lotus), đã có lúc phát hiện ra rằng 80% thời gian được dành để xử lý 20% lệnh, đã quyết định làm lại đáng kể phần mềm của họ. Đặc biệt chú ý đến tốc độ xử lý của 20% đồng được sử dụng nhiều nhất

theo yêu cầu, chúng đã tăng hiệu suất tổng thể (được gọi là bộ xử lý RISC). Và bằng cách đơn giản hóa việc xử lý 80% lệnh còn lại, họ đã làm cho máy tính rẻ hơn và dễ sử dụng hơn. Quy tắc 80:20 cổ điển nêu rõ: “80% công việc được thực hiện bởi 20% số người và ngược lại”. Có một bổ sung tương ứng cho câu nói hài hước này: “80% tin rằng họ nằm trong số 20% có giá trị nhất”. Có lẽ có điều gì đó trong chuyện này, nhưng chúng ta sẽ không dám khai triển một chủ đề như vậy; nó ít liên quan đến vật lý và sinh học… Những biểu hiện của một nguyên tắc tương tự (với tỷ lệ hơi khác nhau) cũng được phát hiện “trên quy mô toàn cầu” - cả hai đều bùng phát ra phạm vi rộng lớn của vũ trụ và ẩn sâu trong bộ gen. Đồng thời, cả trong nỗ lực tìm hiểu cấu trúc của Vũ trụ và giải mã bộ gen của con người, một điều gì đó hoàn toàn bí ẩn và đầy thách thức đã được phát hiện, thậm chí không phải là 80:20 mà là 95:5.

7

NGUYÊN TẮC

80:20

Như vậy, để hài hòa bức tranh về cấu trúc và sự tiến hóa của Vũ trụ, hiện nay người ta chấp nhận rằng vật chất thông thường (bao gồm các ngôi sao và hành tinh) chỉ chiếm 5% khối lượng của Vũ trụ, và 95% còn lại là do những thứ chưa biết chiếm giữ. Tên cho “thứ gì đó” này đã được phát minh: vật chất tối (khoảng 20–25% khối lượng) và năng lượng tối (75–70% còn lại), nhưng chúng ta chưa đạt được nhiều tiến bộ trong việc hiểu nó. Tình hình với bộ gen được giải mã cũng không khá hơn. Bản thân việc giải mã đã là một thành tựu to lớn đối với các nhà khoa học, nhưng hóa ra 95% chiều dài DNA trong bộ gen cũng bị chiếm giữ bởi một thứ gì đó chưa biết. Và ở đây họ cũng nghĩ ra một cái tên phù hợp: DNA “rác” hoặc “không mã hóa”. Người ta bày tỏ hy vọng rằng thứ gì đó - “đen tối”, “rác rưởi”, nói cách khác là “không mã hóa” - sẽ giúp giải thích một điều gì đó rất quan trọng trong cả thế giới vĩ mô và thế giới sống, cụ thể là sự tiến hóa của Vũ trụ và các sinh vật sống. Làm người đọc bối rối một chút, chúng ta hãy chuyển sang giải mã tiêu đề và ý nghĩa bài viết của chúng ta, tập trung vào một ví dụ sinh học bất thường về biểu hiện của quy tắc 20:80 và nghịch lý liên quan đến quy tắc này.

“Mất” 80%

Nghịch lý này được “ẩn giấu” rất gần và mọi người đều gặp phải nó ở mức độ hàng ngày. Hãy tưởng tượng một người có độ béo trung bình, nặng 70–80 kg, ít vận động và tiêu thụ 1800 kcal năng lượng mỗi ngày từ thức ăn. Hãy đặt anh ta vào ghế và để anh ta ở trạng thái nghỉ ngơi và nhiệt độ thoải mái. Ở trạng thái này, cơ thể tiêu thụ nó cùng với thức ăn và theo đó, giải phóng khoảng 80 W năng lượng ra môi trường. Công suất quy định dùng để làm gì? Một người sống, thở, tim bơm máu: trong điều kiện nghỉ ngơi, 300 lít máu đi qua tim mỗi giờ. Trong cùng thời gian đó, phổi thải ra 500 lít không khí… Tuy nhiên, chúng tôi xin trích dẫn ấn phẩm nhiều tập của K. P. Ivanov, “Những nguyên tắc cơ bản của năng lượng cơ thể”, trong đó có chứa tài liệu tích lũy độc đáo:

TRONG

SINH VẬT HỌC

“…khi cơ bắp của một người được nghỉ ngơi hoàn toàn, tim tiêu thụ không quá 8-9% và cơ hô hấp - không quá 3-4% ngân sách năng lượng, tức là tổng cộng 11–13%. Hãy thêm vào số tiền này mức tiêu hao năng lượng liên tục của thận, tiêu thụ khoảng 7% ngân sách và hoạt động liên tục. Tổng cộng là 20%. 80% còn lại chi cho nhu cầu gì? " Vì vậy, một lần nữa chúng ta lại phải đối mặt với nguyên tắc 80:20. Liệu có thể giải quyết được bản chất của nó trong trường hợp này không? Không có điều này, “năng lượng tối” sẽ xuất hiện trong cuộc sống con người, như trong trường hợp bí ẩn về cấu trúc của Vũ trụ. Thoạt nhìn, bản thân giải pháp của nó mang một chút nghịch lý: cơ thể dành phần lớn năng lượng khi nghỉ ngơi để “xây dựng lại” chính nó, nói cách khác là cập nhật các cấu trúc cơ bản của tế bào. Mặc dù sợi chỉ đáp số có thể đã được tìm thấy: 80% năng lượng được sử dụng cho một nhiệm vụ dường như hoàn toàn vô dụng - liên tục phá hủy và đồng thời tái tạo lại các cấu trúc sống tương tự. Như người ta thường nói trong cuộc sống hàng ngày, phá vỡ không phải là xây dựng. Và ở đây cơ thể liên tục tự phá vỡ và ngay lập tức tự xây dựng, hơn nữa, nó dành phần lớn năng lượng cho việc này. Để làm gì? Chúng ta hãy xem qua các trang của cuốn sách được đề cập bằng bút và máy tính, đồng thời đưa ra một số nhận xét trong quá trình thực hiện.

Tuổi thọ của tế bào trong cơ thể (dữ liệu đo)

Để bắt đầu, chúng tôi trình bày một bảng (xem Bảng 1) về tuổi thọ đo được của các tế bào cơ quan con người. Hãy lưu ý rằng “trung bình” cơ thể chúng ta được đổi mới hoàn toàn sau 5–10 năm, trong thời gian đó các tế bào mới thay thế các tế bào cũ. Đồng thời, một số cấu trúc của cơ thể được đổi mới nhanh hơn nhiều. Có thể thấy rằng bạch cầu cũng như các tế bào biểu mô của dạ dày, ruột non và phổi được đổi mới khá nhanh (khoảng - trong vòng một tuần). Các phế nang nằm ở cuối phế quản được thay mới mỗi năm một lần và các tế bào trên bề mặt

8

KVANT 2017/№10

Bảng 1

Tuổi thọ của các tế bào thuộc các cấu trúc khác nhau của cơ thể con người của phổi (tiếp nhận các chất có hại xâm nhập khi thở) là 1–2 lần một tháng. Bề mặt của da được đổi mới với tốc độ xấp xỉ như nhau. Cần khoảng sáu tháng để đổi mới tế bào gan và hồng cầu. Gan dài là các tế bào não chịu trách nhiệm về quá trình thị giác - chúng được đổi mới một lần trong đời, tế bào tim - một hoặc hai lần trong đời, cũng như các tế bào cơ, cấu trúc chính của ruột và cột sống, “sống” được 10-15 năm. Tóc cũng có thể “chịu đựng” được vài năm. Có vẻ như chính vì sự đổi mới liên tục của cơ thể mà 80% năng lượng còn thiếu sẽ được sử dụng.

Ước tính thời gian đổi mới vật liệu của một tế bào điển hình

Hãy bắt đầu bằng cách ước tính thời gian cập nhật tối thiểu cho một ô hoạt động bình thường. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng giá trị của một số tham số của một ô điển hình (xem Bảng 2). Lưu ý rằng công suất được chỉ định đề cập đến cái gọi là “tế bào in vitro” (in vitro), bên ngoài cơ thể sống. Chia năng lượng của tế bào E cho năng lượng trao đổi chất P, chúng ta thu được ước tính thời gian biến đổi đặc trưng của vật liệu tế bào T:

$T \sim$

$E_{\sim} 6$ ◊ $10^{5} c_{\sim} 7$ ngày. P

Bảng 2

Một số thông số của một tế bào điển hình ở người

Chúng ta hãy quay trở lại với bí ẩn về ý nghĩa của sự đổi mới khá nhanh chóng các cấu trúc khác nhau của cơ thể. Tại sao điều này là cần thiết? Nó chỉ ra rằng trong các tế bào “trung bình” duy trì thành phần không đổi, các quá trình tạo ra cấu trúc mới và phá hủy chúng luôn diễn ra. Nếu không thì làm sao tế bào có thể loại bỏ các chất thải? Hoặc tổng hợp các phân tử mới của protein, chất béo và carbohydrate? Hoặc vận chuyển các chất bên trong tế bào? Hoặc thậm chí bảo vệ tế bào khỏi bị phá hủy? Rốt cuộc, quá trình tạo và phá hủy các công trình không diễn ra hoàn toàn chính xác. Vì vậy, cuốn sách của K.P. Ivanov cung cấp dữ liệu cho thấy quá trình tổng hợp protein từ axit amin xảy ra sai sót và thất bại (trung bình, tần số lỗi là 3 ◊ $10^{-} 4 ).$ Nền bức xạ vũ trụ và mặt đất cũng dẫn đến thất bại trong việc xây dựng các cấu trúc. Cuối cùng, chuyển động nhiệt của các phân tử cũng dẫn đến sự phá hủy chậm các liên kết yếu trong phân tử khiến chúng giữ chúng ở trạng thái không thay đổi. Dễ dàng ước tính mức năng lượng đặc trưng của các liên kết yếu này.

Mức năng lượng của liên kết yếu

Chúng ta sẽ bắt đầu từ một mô hình thực nghiệm đối với động vật và chim: khi nhiệt độ cơ thể tăng $10 \infty C$, tốc độ trao đổi chất (nếu không thì các phản ứng trao đổi chất trong cơ thể) sẽ tăng gấp đôi. Làm thế nào để sử dụng thông tin này? Chúng ta hãy giả sử rằng tốc độ trao đổi chất v(T) phụ thuộc theo cấp số nhân vào tỷ lệ

10

KVANT 2017/№10

Không có chuỗi biến đổi dài liên quan đến enzyme, trong khi ATP là sản phẩm cuối cùng, “sẵn sàng để sử dụng”. Tại bất kỳ thời điểm nào, hàm lượng của nó trong cơ thể là cực kỳ nhỏ (xem bảng so sánh 4). Tuy nhiên

Bảng 4

Cấp độ trong cơ thể

“Năng suất” của ATP là rất lớn. Người ta ước tính rằng trong một ngày, trong các phản ứng giải phóng năng lượng, khoảng 40 kg ATP (một nửa trọng lượng cơ thể con người!) được phân hủy thành mức ADP. Đúng, số tiền tương tự sẽ được tổng hợp lại. Kết quả là, chúng ta có thể nói rằng ATP “quay” qua lại, giống như một con sóc trong bánh xe.

Định lý Chall về ba người

(Để bắt đầu, xem trang 2)

(tương ứng với các trường hợp đặc biệt và không đặc biệt), đối xứng trượt của hình cầu - nói cách khác là thành phần của phép quay và đối xứng đối với mặt phẳng vuông góc với trục quay - trên hình 33.

Hình 33

Chúng ta đã xem xét tính đối xứng trượt của mặt phẳng Euclide trong phần đầu của bài viết (xem hình4).

Sự tương tự với một con sóc trong bánh xe cũng có thể được nhìn từ phía bên kia: ATP, là một phân tử khá lớn, không thể “rò rỉ” qua màng và do đó bị khóa trong tế bào. Kết quả là, mỗi tế bào có một bộ “lượng tử” ATP riêng và chúng nằm trong màng ty thể. ATP có tỷ lệ luân chuyển cao bất thường. Nếu chúng ta giả sử rằng cơ thể con người có 20 g ATP vào bất kỳ thời điểm nào và tính đến 40 kg ATP được phân hủy mỗi ngày, thì hóa ra mỗi phân tử ATP được chia nhỏ khoảng 2000 lần và sau đó được tổng hợp lại, do đó tuổi thọ của nó chỉ chưa đầy 1 phút! Sự đổi mới nhanh chóng ATP này là cực kỳ quan trọng đối với cơ thể sống. Và khi nghỉ ngơi, cơ thể dành 80% năng lượng trao đổi chất của mình một cách hữu ích - để “sửa chữa” các tế bào và vận chuyển các chất bên trong chúng.

Vì vậy, chúng tôi đã liệt kê tất cả các loại chuyển động cho từng hình trong số ba hình học, tức là đã chứng minh định lý sau. Định lý Chall trong ba $лицах:_{i}$ Mọi chuyển động của mặt cầu đều là chuyển động quay hoặc trượt $симметрия._{i}$ Mọi chuyển động của mặt phẳng Euclide là một chuyển động quay, tịnh tiến song song hoặc trượt $симметрия._{i}$ Mọi chuyển động của mặt phẳng Lobachevsky là một chuyển động quay, một dịch chuyển dọc theo một họ horocycle, một chuyển động trượt (một dịch chuyển dọc theo các đường cách đều của một đường thẳng cho trước) hoặc một đối xứng trượt.

Bài viết được viết dựa trên các bài giảng của tác giả tại Khoa Cơ học và Toán học Nhỏ của Đại học Tổng hợp Moscow (Moscow) và tại Trường Âm nhạc Trẻ (St. Petersburg) năm 2015–2016. Tác giả cảm ơn tất cả thính giả của mình, trước hết là A. Zelentsova, I. Motorin và I. Tokareva. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới A.L. Kanunnikov và đặc biệt là V.O. Bugaenko vì những nhận xét có giá trị, giúp đơn giản hóa và cải thiện đáng kể chứng minh.

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2482–M2484 đã được đưa ra tại Olympic quốc tế về siêu đô thị lần thứ II, bài toán M2485a đã được đưa ra tại Olympic quốc tế lần thứ VIII về Toán học ở Romania. Bài toán F2489–F2492 đã được đưa ra tại Olympic toàn Siberia 2015.

Bài toán M2482–M2485, F2489–F2492

M2482. Cho hình bình hành ABCD có góc tù B, trong đó AD > AB (hình 1).

cái còn lại có thể đạt được bằng cách thực hiện một số chuyến bay chẵn. Với số tự nhiên nhỏ nhất d nào thì người ta có thể đảm bảo bay từ thành phố này đến thành phố khác bằng cách thực hiện số chuyến bay chẵn không vượt quá d? (Được phép đến cùng một thành phố hoặc đi cùng một chuyến bay nhiều lần.) I. Bogdanov

M2484. Các số tự nhiên x và y sao cho [ x + 2, y + 2 ] - [ x + 1, y + 1 ] =

Hình 1

Trên đường chéo AC chọn các điểm K và L sao cho – ABK = – ADL (các điểm A, K, L, C khác nhau và K nằm giữa A và L). Đường thẳng BK cắt đường tròn W ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm B và E, đường thẳng EL cắt W tại các điểm E và F. Chứng minh rằng BF P AC. B.Obukhov

M2483. Nước này có các chuyến bay thẳng hai chiều giữa một số cặp thành phố. Được biết, bạn có thể bay từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác trong không quá 100 chuyến bay. Ngoài ra, từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ

= [ x + 1, y + 1 ] - [ x, y ]. Chứng minh rằng một trong hai số x và y chia hết cho số kia. (Ở đây [a, b] biểu thị bội số chung nhỏ nhất của a và b.) D. Djukic (Serbia)

M2485. a) Hãy sửa số tự nhiên $n \ge 2$. Chúng ta hãy gọi một n-sàng là một hình vuông ca rô n ¥ n trong đó n ô đã bị loại bỏ sao cho mỗi cột và mỗi hàng chỉ có một ô được loại bỏ. Chúng ta gọi các hình chữ nhật ca rô là 1 ¥ k và k ¥ 1 sọc cho tất cả các số nguyên dương k. Với n-sàng A bất kỳ, chúng ta hãy biểu thị bằng m(A) số dải nhỏ nhất mà nó có thể được cắt thành. Tìm mọi thứ

17

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

các cặp cạnh đối diện sẽ bằng $90\infty$, 3) góc giữa các ảnh của các đường chéo của tứ giác cũng sẽ bằng $90\infty$. Hãy để chúng tôi xác định trong những trường hợp những điều kiện này được đáp ứng. Cho một thấu kính hội tụ mỏng và hai đoạn không song song. Hãy xây dựng hình ảnh của họ và hiểu khi nào những hình ảnh này sẽ song song. Để xây dựng, chúng ta lấy các tia chạy dọc theo các đoạn đó. Sau đó, mỗi tia này đi qua một đầu của đoạn thẳng rồi đi qua đầu kia, và do đó, ảnh của các đoạn tia này sẽ nằm trên các tia này sau khi chúng đi qua thấu kính. Nhưng để hai tia song song sau khi đi qua thấu kính hội tụ, chúng phải giao nhau trong mặt phẳng tiêu cự của nó trước khi tới thấu kính. Điều này có nghĩa là giao điểm của các tia mà các cạnh đối diện của tứ giác thuộc về - điểm A và B trên hình 2 - nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính (được biểu thị bằng đường chấm) và bản thân thấu kính nằm ở bên phải của

“QUANTA”

thuộc hình bán nguyệt đi qua hai điểm A và B. Trên hình 3 hình bán nguyệt được biểu thị bằng nét chấm và trục quang chính của thấu kính được thể hiện bằng nét đứt

Hình 3

Đường chấm chấm cũng đánh dấu tiêu điểm của thấu kính F. Do đó, ảnh của một tứ giác trong thấu kính ở hình 3 sẽ là hình chữ nhật và sẽ có rất nhiều vị trí thấu kính như vậy - tâm của nó có thể nằm ở bất kỳ điểm nào trên vòng tròn chấm chấm. Có thể chọn cách sắp xếp thấu kính sao cho ảnh của một tứ giác là hình vuông không? Có thể, và để làm được điều này, điều cần thiết là hình ảnh các đường chéo của tứ giác phải vuông góc với nhau. Và điều này sẽ xảy ra nếu góc giữa các tia ló ra từ điểm C và D (hình4) và đi qua tâm thấu kính là thẳng. Để làm điều này, tâm của thấu kính

Hình 2

thẳng AB ở bất cứ đâu. Ví dụ: hình 2 hiển thị một trong các vị trí có thể có của thấu kính và tiêu cự của nó phải bằng khoảng cách từ thấu kính đến đường thẳng AB. Vậy ảnh tứ giác sau khi đi qua thấu kính sẽ là hình bình hành. Bây giờ chúng ta đặt hình ảnh này thành một hình chữ nhật. Hiển nhiên, điều này sẽ xảy ra khi các tia ló ra từ điểm A và B và đi qua tâm thấu kính vuông góc với nhau. Thật vậy, những tia này không bị khúc xạ; mọi tia sáng khác đi qua hai điểm A và B sau khi đi qua thấu kính sẽ song song với chúng. Do đó, tâm của thấu kính có thể nằm ở bất kỳ điểm nào,

Hình 4

phải nằm trên hình bán nguyệt đi qua các điểm C và D. Vì tất cả các cấu trúc đều được thực hiện theo tỷ lệ chính xác nên hình 4 có thể được sử dụng để ước tính tiêu cự của thấu kính. Từ hình chúng tôi tìm thấy rằng

18

KVANT 2017/№10

khoảng cách từ thấu kính đến mặt phẳng tiêu điểm của nó là khoảng hai đường chéo của một ô, tức là $F \sim 3$ xem hình 5 để biết phần cuối cùng

Hình 5

Lưới tứ giác

N. BELUKHOV

Bài viết này dành cho lịch sử của hình học khó bài toán, được xuất bản trong “Bài toán Kvant dưới số M2473 (xem số 7). Chúng ta sẽ nói về việc bài toán này hình thành như thế nào, giới thiệu nó lời giải và nói về mối liên hệ của nó với các bài toán và định lý khác. Câu chuyện của chúng ta bắt đầu với bài toán. Bài toán 1. các đường chéo của tứ giác ABCD ngoại tiếp (lồi) cắt nhau tại điểm P. Trên các tia PA, PB, PC, PD, lần lượt đánh dấu các điểm A a, B a, C a, D a sao cho PA PA a PB PB a PC PC a PD PD a

Hình 1

xây dựng hình ảnh của một tứ giác trong thấu kính tìm thấy, được thực hiện theo các quy tắc quang học hình học. Và, như có thể thấy từ hình, hình ảnh thực sự trông giống như một hình vuông, tuy nhiên, hình ảnh này phải được xử lý một cách có điều kiện. Thứ nhất, vì những sai sót nhỏ trong cấu tạo của tia có thể làm gián đoạn khá đáng kể tính vuông góc của ảnh của các cạnh đối diện, và thứ hai, vì các định luật quang học hình học có tác dụng tốt đối với các tia nghiêng với trục chính của thấu kính ở những góc nhỏ. Ở đây chúng tôi phải sử dụng các chùm tia nghiêng với trục quang chính ở các góc lớn.

$(рис.1).^{1}$ Chứng minh rằng tứ giác A a B a C a D a cũng ngoại tiếp. Đây bài toán là một bước trong lời giải bài toán M1495 của tác giả (“Bài toán Kvant Số 6 cho $1995 г.).^{2}$ Đầu tiên, hãy tìm các góc của tứ giác A a B a C a D a. Từ sự giống nhau của các tam giác PAB và PA a B a, PBC và PB a C a, v.v. chúng ta có A a B a A a P PA một D một

= ABP PDA 180 o A. Tương tự, B a 180 o B, v.v. Điều này có nghĩa là các góc tương ứng của các tứ giác A a B a C a D a và ABCD cộng lại bằng 180o. Bên ngoài tứ giác ABCD, ta dựng tứ giác ABXY đồng dạng với tứ giác A a B a C a D a (hình 2). Vì BXY 180 o BCD nên CD P XY, tức là CDYX – hình thang (hoặc hình bình hành). Nói cách khác, chúng ta đã “thu nhỏ” tứ giác A a B a C a D a và dán một bản sao tương tự của tứ giác A a B a C a D a với tứ giác ABCD dọc theo

1 Nói cách khác, ABCD đi vào A a B a C a D a khi nghịch đảo với tâm P. Ví dụ, bạn có thể đọc về nghịch đảo trong bài viết của V. Uroev («Kvant» Số 5 cho $1984 г.).^{2}$ Tác giả bài toán M1495 – I. Vainshtein, lời giải của tác giả phần lớn dựa trên tính toán.

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

1. Cắt hình ở hình thành bốn phần có cùng chu vi sao cho không có phần nào bằng nhau. T. Kazitsina

Trong gia đình Besfamilny, người ta thường tính tuổi của gia đình, tức là tổng số tuổi (số năm trọn vẹn) của cha, mẹ và tất cả các con. Hàng năm vào ngày 31 tháng 12, Besfamilnye tổ chức sinh nhật cho gia đình họ. Năm đứa con út Vasya chào đời, gia đình đã 101 tuổi. Vài năm sau, Nhóm Không Gia Đình tổ chức lễ kỷ niệm cho họ.

Minh họa của D. Grishukova

Một trận đấu bóng đá 10 đấu 10 đã diễn ra giữa một đội gồm những kẻ nói dối (luôn nói dối) và một đội nói thật (những người luôn nói sự thật). Sau trận đấu, mỗi cầu thủ được hỏi: “Bạn đã ghi được bao nhiêu bàn thắng?” Một số người tham gia trận đấu trả lời “một”, Misha nói “hai”, một số trả lời “ba” và những người còn lại nói “năm”. Liệu Misha có nói dối nếu người nói thật giành chiến thắng với tỷ số 20:17? M. Evdokimov

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8. Những bài toán này được cung cấp tại Giải đấu XL mang tên M.V. Lomonosov.

Kỷ niệm 150 năm. Gia đình Besfamilny có bao nhiêu người con? D. Shnol

4. Lesha đã vẽ một bức tranh hình học bằng cách vẽ hình tam giác vuông bằng nhựa của mình bốn lần, áp một chân ngắn vào cạnh huyền và căn chỉnh đỉnh của góc nhọn với đỉnh của góc vuông. Hóa ra tam giác thứ năm “đóng” là tam giác cân (xem hình; các cạnh được đánh dấu bằng nhau). Tìm các góc nhọn của tam giác Lesha. T. Kazitsina

28

KVANT 2017/№10

Busenka thua cuộc thi ẩm thực như thế nào

K.KOKHAS

-T

VẬY, NGƯỜI THAM GIA, NGHIÊM TÚC theo công thức, phải “chỉ” nấu cháo,” chuột Ogryza nhìn kỹ khán giả. – Đây mới là kỹ năng nấu nướng thực sự bao gồm! Có vẻ như mọi người đều làm giống nhau, nhưng vì lý do nào đó, một số người làm rất tốt, trong khi những người khác chỉ dịch sản phẩm. Và bây giờ tôi sẽ giới thiệu với các bạn những người tham gia cuộc thi: Busenka siêu ẩm thực! - đã có tiếng vỗ tay thân thiện, - chim gõ kiến luật sư Spyatel!! – tiếng vỗ tay hóa ra gầy hơn một chút, – và đầu bếp megaboss… Zlobnopotam!!! – khán giả bồn chồn không yên và bắt đầu nhìn xung quanh, để nếu có chuyện gì xảy ra, họ sẽ biết con đường ngắn nhất dẫn đến lối ra là gì – Mời một chuyên gia ẩm thực hàng đầu đọc công thức… Ushasya - Chú ý, công thức – chuyên gia hàng đầu nói – Để nấu cháo bạn cần 100 gam.

bột yến mạch, một chút muối, một thìa cà phê đường và một ít nước. Cho bột yến mạch vào nồi, thêm đường, muối và nước, sau đó nấu trong 15 phút. “Oinky-kuksy-buksy,” Ushasya đột nhiên nói, quay sang những người tham gia mà không có lý do gì cả. Anh ấy luôn nói câu thần chú này khi đang cố gắng thôi miên ai đó. – Cố gắng sử dụng càng ít nước càng tốt. Bột yến mạch quá loãng có vị rất khó chịu. “Tôi yêu cầu những người tham gia đến bàn bếp,” Ogryza thông báo, “bạn có 20 phút tùy ý sử dụng.” Bắt đầu! Bí ẩn nấu cháo đã bắt đầu. Zlobnopotam là người ồn ào nhất. Anh ta tỉ mỉ kiểm tra bát đựng nguyên liệu, hồi hộp khịt mũi, cẩn thận đo mức nước trong ly, đồng thời bấm liên tục vào những chiếc gai và nhả ra những vòng khói hồng từ tai. Busenka cũng bị cuốn hút vào quá trình này. Không biết cô lấy được một chiếc máy ép thủy lực cầm tay, một số máy bơm và bình cổ cong ở đâu, thích hợp trong phòng thí nghiệm hóa học hơn là trong nhà bếp. Đối lập hoàn toàn với những người tham gia này là chim gõ kiến ​​Spyatel; anh ta dường như không làm gì cả, ngồi thanh thản trên ghế. Thời gian của cuộc thi dần dần kết thúc. - Dừng lại! – Ogryza tuyên bố. – Giai đoạn sáng tạo của cuộc thi đã kết thúc. Hãy chuyển sang phần nếm thử. Chúng tôi đã mời những người sành điệu về hương vị tham gia ban giám khảo, tôi yêu cầu họ đến bàn, đây là quái vật Gargoyle, con gián Kuzka và Ushasya vốn đã quen thuộc. Bây giờ những người tham gia sẽ lần lượt trình bày cho chúng ta kết quả hoạt động của mình.

30

KVANT 2017/№10

– Có vẻ như các chuyên gia ở Kashb Delicacy rất ưa chuộng món muesli nướng. Nhưng tuy nhiên, tất cả chúng ta đều nghĩ rằng món cháo này không ăn được. Tuy nhiên, xét đến những tình tiết giảm nhẹ - tinh thần của nhiệm vụ và tất cả những điều đó - chúng tôi đánh giá món ăn này một cách hào phóng và rất tốt: 1 điểm! Chim gõ kiến ​​Spyatel nhìn bồi thẩm đoàn với vẻ không hài lòng nhưng không tranh cãi. Ogryza thông báo: “Bây giờ ban giám khảo sẽ đánh giá công việc của người tham gia cuối cùng. - Busenka! Ban giám khảo đã đứng gần bàn của Busenka và xem kết quả. Kết quả của sự sáng tạo trong ẩm thực là một chiếc đĩa màu nâu cháy thành than chứa một loại bột nướng bốc mùi hôi thối. Nhìn từ góc độ nào thì nó trông không giống một món ăn có thể ăn được. Nếu khi đánh giá tác phẩm của Zlobnopotam, cảm xúc chủ đạo của ban giám khảo là nghi ngờ và ghê tởm, và khi ở gần bàn của chim gõ kiến ​​Spyatl - hoang mang và ghê tởm, thì giờ đây cảm xúc chủ đạo là cảm giác bất hòa về nhận thức, và thực sự là ghê tởm. “Tôi nghĩ một trong số chúng tôi bị điên,” Kuzka lẩm bẩm. “Chúng ta, những loài côn trùng nuôi trong nhà, thường phải đối mặt với những mảnh vụn và những mảnh thức ăn khô khác, nhưng cái này… cái này…” “Tôi đã làm theo đúng hướng dẫn,” Busenka phản đối. – Thực tế là mặc dù ngũ cốc được trình bày có vẻ khô hoàn toàn, nhưng với sự trợ giúp của máy ép tuyệt vời này và thiết bị bay hơi tuyệt vời không kém này, tôi đã ép được gần 8 ml nước ra khỏi nó. Vì vậy, tôi không thêm nước vào cháo mà ngược lại, tôi đã rút lượng nước dư thừa ra khỏi cháo, tức là nói một cách hình tượng, tôi đã thêm một lượng nước âm vào loại ngũ cốc này! Tuyệt vời phải không? “Nhưng thứ này hoàn toàn không ăn được,” Gargoyles buồn bã nói, “nói chung là tuyệt đối, trong mọi trường hợp!” “Nhưng nó hoàn toàn phù hợp với công thức.” Giá trị mà hàm của bạn nhận tại W = 200 chỉ là giá trị cực đại cục bộ, nó

không phải là giá trị lớn nhất của hàm, vì hàm có một cực đại cục bộ khác - âm. Độ ngon đạt giá trị lớn nhất tại W = –10 và bằng 5,18 đơn vị. Nhưng tôi chỉ đạt được W = –8, trong khi độ ngon bằng 5,17 đơn vị đơn vị, vẫn nhiều hơn so với chim gõ kiến ​​Spyatla. Biểu đồ của bạn trông như thế này nếu bạn mở rộng nó sang bên trái một chút:

Nếu tôi được phép làm bay hơi nước trong ngũ cốc trong vài giờ nữa, thay vì 15 phút, thì tôi sẽ chỉ lấy thêm được 2 ml nước! Ngon!! Bồi thẩm đoàn nhìn Busenka với cái miệng há hốc. “Tôi yêu cầu bồi thẩm đoàn công bố đánh giá của người tham gia,” Ogryza vội vàng. Những người bạn đã cân nhắc rất lâu và cuối cùng, Ushasya tuyên bố: “Vì thang điểm năm được sử dụng để xếp hạng nên chúng tôi đánh giá thành tích ẩm thực của Busenka ở mức –5 điểm!”

TRƯỜNG KVANT

Máy biến áp Tesla rất cao (khoảng bằng chiều cao của tòa nhà 16 tầng!) và có điện áp đầu ra từ 12 đến 20 megavolt, tạo ra dòng phóng điện dài 30 mét. Máy biến áp Tesla bao gồm các bộ phận sau (hình2):

V. UNUKOVYCH

CÓ rất nhiều phát minh vĩ đại và những câu chuyện thần bí gắn liền với cái tên NIKOLA TESLA. Như vậy, sau thành công của Hertz trong việc thử nghiệm lý thuyết điện từ của Maxwell, Tesla đã nảy ra ý tưởng phát triển một máy phát điện cao áp tần số cao. Sáng tạo của ông được gọi là “máy biến áp Tesla” hay “cuộn dây Tesla” và được sử dụng để tiến hành các thí nghiệm không dây về truyền năng lượng trong khoảng cách ngắn. Máy biến áp nổi tiếng nhất là máy phát phóng đại (hình1), được Tesla chế tạo vào năm 1899. Thiết bị này thực sự rất hoành tráng: đường kính 15,5 mét, 51 mét

Hình 1

Hình 2

i bộ lọc tuyến tính Lf, dùng để cách ly tín hiệu từ một dải tần số nhất định hoặc để triệt tiêu các tần số không mong muốn - nhiễu; tôi tăng cường máy biến áp T; i khe hở tia lửa P, bao gồm hai điểm tiếp xúc với không khí giữa chúng; i của tụ điện $C_{1} ; i$ của cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp (cuộn cảm) $L_{1}$ và $L_{2} ; i$ của hình xuyến hoặc quả bóng (nó là phần có thể nhìn thấy ở phần trên hình 1) được nối với cuộn dây thứ cấp. Chúng ta hãy lưu ý một điều quan trọng: các cuộn dây không được quấn trên lõi mà được bố trí sao cho cuộn thứ cấp nằm trong cuộn sơ cấp, vì khi dòng điện tần số cao chạy trong mạch, lõi sẽ tan chảy do dòng điện Foucault lớn. Đầu tiên, dòng điện có tần số nhất định được cách ly bằng bộ lọc tuyến tính và sau khi đi qua máy biến áp tăng áp, sẽ thu được dòng điện có biên độ lớn hơn và cùng tần số ở đầu ra. Do dòng điện này chạy qua, tụ điện $C_{1}$ được tích điện và khi hiệu điện thế đủ lớn, sẽ xảy ra hiện tượng đánh thủng trong khe hở tia lửa điện (cường độ trường ở đó cao đến mức các electron lao qua khe hở không khí như thể nó là một chất dẫn điện). Điện trở của khe hở tia lửa giảm mạnh và mạch bao gồm khe hở tia lửa, tụ điện $C_{1}$ và cuộn sơ cấp $L_{1}$ bị đóng lại. Mạch này là mạch dao động

(Tiếp theo trang 34)

Từ động vật, chúng ta học được những điều quan trọng nhất bằng cách bắt chước… chúng ta là học trò của chim nhạn trong việc xây nhà… Democritus

Nếu một bác sĩ nhãn khoa mang đến cho tôi một dụng cụ không hoàn hảo như mắt người, tôi sẽ ngay lập tức ném nó ra khỏi cửa. Hermann Helmholtz

… con chim là một công cụ hoạt động theo các quy luật toán học. Leonardo da Vinci

Trong một loạt các hành động đi kèm với ý thức và do thế giới bên ngoài gây ra, vật chất sống có thể được thay thế bằng một máy tự động. Nikolay Umov

Có lẽ sẽ rất hữu ích nếu kết hợp thấu kính của kính thiên văn từ nhiều phương tiện khác nhau, vì nó được sắp xếp trong mắt một cách tự nhiên, điều này không có tác dụng gì cả. David Gregory

… không có gì ở các sinh vật sống mà không thể hiểu được từ quan điểm rằng chúng bao gồm các nguyên tử hoạt động theo các định luật vật lý. Richard Feynman

Nó có quen thuộc với bạn không?

?

sinh học

Thuật ngữ này không có trong các tuyên bố được đưa ra trong đoạn văn; nó chỉ mới ra đời cách đây hơn nửa thế kỷ, khi một hướng khoa học mới được xác định. Nhận được cái tên “sinh học”, nó kết hợp các cách tiếp cận của nhiều ngành, đặc biệt là vật lý. Mục đích là để hiểu cấu trúc và chức năng của các sinh vật sống nhằm xác định những cơ hội tốt nhất để tạo ra các hệ thống, cơ chế và cấu trúc nhân tạo. Suy cho cùng, thiên nhiên, trong quá trình tiến hóa hàng tỷ năm, đã “học được” cách giải quyết nhiều vấn đề một cách đáng tin cậy và tiết kiệm hơn những gì các nhà khoa học và kỹ sư có thể làm được. Điều này bao gồm việc tích lũy và xử lý thông tin; và bài toán liên lạc và điều hướng; và sự chuyển đổi một số loại năng lượng này thành các loại năng lượng khác… Tuy nhiên, suy nghĩ của các nhà nghiên cứu chuyên nghiệp đã có trước vô số nỗ lực của tổ tiên xa xôi của chúng ta nhằm theo dõi và mượn từ thiên nhiên một thứ gì đó tiện lợi, thiết thực và hữu ích. Hãy bổ sung thêm cho họ sự ham học hỏi và kiên trì kiến ​​thức của chúng ta, chủ yếu về vật lý, để có thể đương đầu với những nhiệm vụ bất thường ngày nay. Rốt cuộc, họ sẽ yêu cầu bạn phải có khả năng quan sát, đưa ra những so sánh, tìm kiếm những điểm tương đồng giữa tự nhiên và nhân tạo.

Câu hỏi và bài toán

1. Trứng có thể chịu được sức nặng của gà mái giống nhưng lại dễ bị phá hủy dưới cú đánh của gà con yếu ớt từ bên trong. Tại sao? 2. Sự xuất hiện của cư dân trong thế giới động vật có thể giúp ích như thế nào cho các nhà thiết kế tàu thủy, máy bay và ô tô? 3. Những người đi xe đạp trong cuộc đua đồng đội lần lượt xếp thành hàng dài và các vận động viên đua trong đội bay xếp hàng theo hình nêm. Để làm gì? 4. Bàn chân của loài chim nước di chuyển như thế nào? Ai mượn phương thức vận chuyển này? 5. Kanguru bắt đầu di chuyển từ một nơi, cúi thấp xuống mặt đất, giúp chúng đạt tốc độ cao nhanh hơn. Ai có thể hưởng lợi từ quan sát như vậy? 6. Trong một thời gian dài, các nhà sản xuất máy bay không thể tìm ra cách chống rung—những rung động có hại của cánh máy bay khi đang bay—cho đến khi họ tìm ra cách thêm vật nặng vào cuối cánh. Thiên nhiên giải quyết vấn đề giảm rung động như thế nào? 7. Con mực thực hiện những cú ném, hút nước vào bên trong khoang trong cơ thể và “bắn” nước qua một cái phễu hẹp, đồng thời nó có thể xoay người, thay đổi hướng chuyển động. Phương pháp này rất kinh tế và cho phép vật nuôi đạt được

tốc độ lên tới 100 km/h. Nguyên tắc tương tự được sử dụng ở đâu trong công nghệ? 8. Tại sao thiên nhiên lại bỏ qua một phát minh hữu ích như bánh xe? 9. Cá nếp có một giác hút chiếm gần như toàn bộ chiều dài đầu, dính chặt vào các loại cá, đá, thuyền khác đến mức dễ xé ra hơn là tách ra. Cốc hút hoạt động như thế nào và nó có thể hữu ích ở đâu? 10. Một số loài rắn, chẳng hạn như rắn đầu đồng, có các cơ quan đặc biệt nằm trong hố giữa lỗ mũi và mắt. Nhờ chúng mà rắn dễ bị bức xạ hồng ngoại. Nghiên cứu về máy định vị nhiệt như vậy có thể hữu ích ở đâu? 11. Tại sao dơi không bay vào chướng ngại vật ngay cả trong bóng tối hoàn toàn? Khả năng của họ có thể giúp chúng ta như thế nào? 12. Cá cận thị chui xuống bùn, lộ mắt. Thiết bị này giống với thiết bị nào do con người phát minh ra? 13. Hóa ra những chiếc kim silicon mỏng và sắc của bọt biển có khả năng dẫn ánh sáng dọc theo chiều dài của chúng. Thiên nhiên đã đi trước các nhà phát minh ở điểm nào?

Kinh nghiệm vi mô

Chắc chắn, khi đi dạo giữa thiên nhiên, gai ngưu bàng sẽ dính vào quần áo hoặc giày của bạn. Cố gắng tìm những ví dụ trong tủ quần áo của bạn về việc sử dụng những đặc điểm này của cây.

Thật thú vị rằng…

… trứng của chim và động vật lưỡng cư, vỏ hạt, vỏ rùa và cua, vỏ động vật thân mềm là những ví dụ về vỏ tự nhiên bền và nhẹ, đã được các nhà xây dựng và kiến ​​trúc sư nghiên cứu từ thời cổ đại và được họ sử dụng, chẳng hạn như trong việc xây dựng các mái vòm hình vòm. … Leonardo da Vinci đã dành gần một phần tư thế kỷ để nghiên cứu khả năng bay của các loài chim với hy vọng tạo ra một cỗ máy bay cho con người, điều mà nhiều người đương thời coi ông là một nhà ảo thuật và thậm chí là điên rồ. …các nhà thiết kế ô tô ban đầu tìm kiếm sự giống nhau hoàn toàn bên ngoài của những chiếc ô tô của họ với những cư dân di chuyển nhanh ở vùng biển sâu - cá đuối gai độc và cá mập. Nhưng sau đó, các kỹ sư của Mercedes cùng với các nhà sinh học đã cố gắng tạo ra một chiếc ô tô sinh học thực sự (Bionic Car), dựa trên các đặc điểm cấu trúc của cá hộp, cụ thể là làm cho nó tinh gọn hơn, cứng hơn 40% và nhẹ hơn một phần ba so với các mẫu xe trước đây có kích thước tương tự. … khả năng thằn lằn leo lên những bức tường nhẵn và thậm chí chạy trên trần nhà đã ám ảnh các nhà thiết kế robot. Bằng cách nghiên cứu cấu trúc của bàn chân tắc kè, chúng ta đã có thể hiểu được sự tương tác của các vi sợi bao phủ chúng với các bề mặt - đây là lực hút tĩnh điện của các phân tử. Bằng cách sử dụng sợi nano nhân tạo, các kỹ sư Canada đã tạo ra một robot nêm có thể bò lên tường dù ở tốc độ thấp. …côn trùng, bị thu hút bởi những chiếc lá nắp ấm có màu sắc rực rỡ của cây săn mồi Nepenthes, bất chấp mọi thủ đoạn, trốn thoát khỏi chúng. Cấu trúc tự nhiên này đã thúc đẩy các nhà khoa học vật liệu tạo ra các bề mặt có khả năng đẩy lùi nhiều loại chất. … như các nhà khoa học Nhật Bản đã phát hiện ra, đại diện của một trong những loài đỉa có thể chịu được nhiệt độ âm 196 độ C trong 24 giờ và chịu đựng âm 90 độ trong thời gian 32 tháng. Giải quyết được hiện tượng này sẽ giúp bảo tồn tế bào hoặc cơ quan của con người để cấy ghép. …thiên nhiên cung cấp những ví dụ về tính hiệu quả mà cho đến nay nhiều thiết bị và máy móc của chúng ta không thể đạt được. Ví dụ, trong quá trình quang hợp, hiệu suất đạt tới 75%, vi khuẩn chuyển đổi tới 90% phản ứng hóa học thành ánh sáng và ở đom đóm, con số này đạt tới 100%!

Cần đọc gì «Kvant» về sinh học

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Lông chim và chuyến bay trên không” – 2012, số 1, tr. 14; 2. “Daedalus, Icarus và lực ly tâm” – 2014, số 5–6, tr. 42; 3. “Nhà vật lý thăm nhà sinh vật học” – 2015, Phụ lục số 1; 4. “Giới thiệu về bánh đà điện” – 2016, số 5-6, tr.45; 5. “Chuyển động của ô tô và sinh vật…” - 2017, số 1, tr. 36; 6. Kính vạn hoa «Kvant» – 2017, số 1, 4, 7.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

42

KVANT 2017/№10

Các lớp học với nhóm được thực hiện bởi các giáo viên của trại huấn luyện: giáo viên FML số 239, St. Petersburg, Ph.D. S.L. Berlov; Giáo sư, MIPT, Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học V.L. Dolnikov; Phó Giáo sư, Viện Vật lý và Công nghệ Matxcơva, Tiến sĩ. P.A. Kozhevnikov; nhà nghiên cứu cao cấp tại chi nhánh St. Petersburg của Viện Toán học mang tên. V.A. Steklova RAS F.V. Petrov; Giám đốc, giáo viên FML số 239, St. Petersburg, Ph.D. M.Ya.Pratusevich; giáo viên FML số 239 của St. Petersburg K.A. Sukhov; Phó Giáo sư, Viện Vật lý và Công nghệ Matxcơva, Tiến sĩ. D.A. Tereshin; lập trình viên G.R. Chelnokov. Các nhà toán học S.A. Dorichenko và K.A. Knop đã giúp chuẩn bị cho đội. Các trưởng nhóm cảm ơn Dmitry Yuryevich Deukhen, người đã hỗ trợ đội Nga trong các cuộc thi toán học quốc tế trong nhiều năm.

MỤC TIÊU CỦA Olympic

1. Đối với số nguyên tùy ý $a_{0} 1$, chúng tôi xác định chuỗi $a_{0}, a_{1}, a_{2},^{…}$ như sau:

«® a nếu $a_{n}$ là một số nguyên, $a n 1 ¬^{n}$ ® $a_{n} 3$ ngược lại với mọi n r 0. Tìm tất cả các giá trị của $a_{0}$ mà tồn tại số A sao cho $a_{n} =$ A với vô số giá trị của n. Nam Phi

2. Cho R là tập hợp tất cả các số thực. Tìm tất cả các hàm f: R m R sao cho với mọi x và y thực, đẳng thức f f x f y f x y f xy đúng.

Albania

3. Người thợ săn và con thỏ vô hình chơi trò chơi sau đây trên máy bay. Điểm xuất phát của con thỏ $A_{0}$ và điểm xuất phát của người thợ săn $B_{0}$ đều giống nhau. Giả sử sau n – 1 lượt chơi, con thỏ ở điểm $A_{n} 1$, và người thợ săn ở điểm $B_{n} 1$. Sau đó, ở vòng thứ n của trò chơi, ba hành động sau được thực hiện tuần tự: (i) Con thỏ, vẫn tàng hình, di chuyển đến một điểm $A_{n}$ sao cho khoảng cách giữa $A_{n} 1$ và $A_{n}$ chính xác bằng 1. (ii) Thiết bị theo dõi báo cáo cho người thợ săn một điểm nào đó $P_{n}$. Trong trường hợp này, thiết bị theo dõi chỉ đảm bảo rằng

khoảng cách giữa các điểm $P_{n}$ và $A_{n}$ không lớn hơn 1. (iii) Người thợ săn, vẫn nhìn thấy được, di chuyển đến điểm $B_{n}$ sao cho khoảng cách giữa $B_{n} 1$ và $B_{n}$ chính xác bằng 1. Phải chăng người thợ săn, đối với mọi chuyển động của con thỏ và bất kỳ điểm nào được báo cáo cho thiết bị theo dõi, có thể chọn chuyển động của mình sao cho sau $10^{9}$ vòng anh ta có thể đảm bảo rằng khoảng cách giữa anh và con thỏ không quá 100? Áo

4. Cho R và S là hai điểm phân biệt trên đường tròn 7 sao cho RS không phải là đường kính. Gọi l là tiếp tuyến của 7 tại điểm R. Chọn điểm T sao cho S là trung điểm của đoạn RT. Chọn điểm J trên cung nhỏ RS của đường tròn 7 sao cho đường tròn Г ngoại tiếp tam giác JST cắt l tại hai điểm khác nhau. Gọi A là một trong hai điểm chung Г và l gần điểm R hơn. Đường thẳng AJ cắt 7 lần thứ hai tại điểm K. Chứng minh rằng đường thẳng KТ tiếp xúc với Г. Luxembourg

5. Xem bài toán M2481 “Bài toán Kvant”.

Nga

6. Một cặp số nguyên x, y có thứ tự được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số chung lớn nhất của x và y là 1. Cho một tập hữu hạn S gồm các điểm nguyên thủy. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n và các số nguyên $a_{0}, a_{1},^{…}, a_{n}$ sao cho với mỗi điểm nguyên thủy x, y thuộc S đẳng thức

$a_{0} x^{n}$

$a_{1} x^{n} 1 y$

$a_{2} x^{n} 2 y^{2}$

…

…

$a_{n} 1 xy^{n} 1$

$a_{n} y^{n} 1$. Hoa Kỳ

Ấn phẩm được biên soạn bởi N. Agakhanov, I. Bogdanov, M. Pratusevich, K. Sukhov, D. Tereshin

VẬT LIỆU KIỂM TRA

Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

VẬT LÝ

Thi hồ sơ

Năm 2017, kỳ thi hồ sơ (bài kiểm tra đầu vào bổ sung) môn vật lý tại Đại học quốc gia Moscow và chi nhánh Sevastopol của trường này được thực hiện dưới hình thức viết. Một bài tập điển hình dành cho ứng viên bao gồm tất cả các phần chính của chương trình vật lý dành cho ứng viên vào Đại học Tổng hợp Moscow: 1) cơ học, 2) vật lý phân tử và nhiệt động lực học, 3) điện động lực học, 4) quang học. Đối với mỗi phần của chương trình, người nộp đơn được hỏi một câu hỏi lý thuyết ngắn và một câu hỏi bổ sung bài toán. Bốn giờ thiên văn đã được phân bổ để hoàn thành toàn bộ nhiệm vụ. Dưới đây là ví dụ về các nhiệm vụ cho kỳ thi hồ sơ năm 2017.

CƠ KHÍ

1. Xây dựng định luật ma sát khô. Xác định hệ số ma sát. Bài toán. Một chùm tia có khối lượng $m_{1} = 2$ kg và chiều dài l = 1 m (hình1) nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Trên đầu dầm

Bài toán. Một tấm ván có khối lượng M = 20 kg trượt dọc theo mặt băng nằm ngang nhẵn của một hồ nước đóng băng với tốc độ có mô đun bằng $v_{0} 2$ ms. Tốc độ của bảng song song với cạnh dài của nó. Tại một thời điểm nào đó, một người đứng trên băng cẩn thận hạ một khối có khối lượng m = 1 kg xuống tấm ván này sao cho khối tâm của nó nằm trên một đường thẳng đi qua khối tâm của tấm ván song song với cạnh dài của nó. Xác định hệ số ma sát M của khối trên bảng nếu khối dừng trượt trên bảng và chuyển động so với nó một khoảng l = 95 cm. Xét mô đun gia tốc rơi tự do bằng g 10 m $с^{2}$. Đáp số Làm tròn đến hai chữ số thập phân. 3. Xác định mômen lực đối với trục quay. Xây dựng quy tắc của khoảnh khắc. Bài toán. Một tấm mỏng đồng nhất P tựa với một cạnh trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn, còn một cạnh nằm trên mặt phẳng nghiêng gồ ghề tạo thành một góc A 45 o (hình2) với đường chân trời.

Hình 1

đặt một tấm ván đồng nhất có cùng chiều dài, khối lượng của nó là $m_{2} = 1$ kg. Sau một thời gian $t_{0} = 1$ s kể từ khi sợi dây buộc vào xà bắt đầu bị kéo theo phương ngang với một lực F = 8 N thì đầu bên trái của tấm ván bắt đầu rơi xuống. Xác định hệ số ma sát M giữa tấm ván và dầm. Chấp nhận gia tốc rơi tự do bằng g 10 m $с^{2}. 2.$ Đưa ra công thức biểu thị sự phụ thuộc thời gian của tọa độ và tốc độ của một điểm vật chất thực hiện chuyển động thẳng đều.

Hình 2

Mô đun của trọng lực tác dụng lên tấm là P = 10 N. Một sợi dây nhẵn không trọng lượng được gắn vào giữa mép trên của tấm và được ném qua một khối. Một vật nặng được treo ở đầu kia của sợi dây. Tiết diện ren giữa tấm và khối song song với mặt phẳng nghiêng, giữa tải trọng và khối là thẳng đứng. Xác định trọng số của tải Q tại đó hệ đang xét sẽ cân bằng nếu hệ số

45

BÀI KIỂM TRA

Hình 5

hình cầu. Hằng số điện là

$E_{0} 8,85$ $10^{12}$ Ф m. 3. Xây dựng định luật Ôm cho một đoạn dây xích. Điện trở của dây dẫn mắc nối tiếp và song song là bao nhiêu? Bài toán. Một điện trở có điện trở R = 8 ohm được nối với nguồn điện một chiều có điện trở trong r = 4 ohm. Một điện trở có điện trở bằng bao nhiêu $R_{x}$ cần mắc song song với một điện trở có điện trở R để công suất tỏa ra ở mạch ngoài không thay đổi?

QUANG HỌC

1. Xác định tiêu cự và công suất quang của thấu kính mỏng. Bài toán. Một thấu kính phẳng-lồi mỏng có tiêu cự F = 20 cm (hình6) được bịt kín vào một lỗ trên thành thẳng đứng của bể cá. Trên bề mặt lồi

Hình 6

Một chùm ánh sáng hẹp rơi song song với trục quang chính của thấu kính, trục này được hội tụ bên trong bể cá ban đầu trống rỗng. Nếu bể chứa đầy một chất lỏng nào đó thì điểm hội tụ của các tia sáng sẽ dịch chuyển một khoảng l 4 cm. Xác định chiết suất của chất lỏng n. Xét góc tới và góc khúc xạ của tia sáng đều nhỏ. Xin lưu ý rằng đối với các giá trị nhỏ của đối số x,

NGUYÊN VẬT LIỆU

tính bằng radian, các công thức gần đúng sin x tan x x là hợp lệ. 2. Xây dựng định luật khúc xạ ánh sáng. Nêu định nghĩa về chiết suất tuyệt đối và chiết suất tương đối. Bài toán. Một tia sáng chiếu tới mặt cầu của một bán cầu trong suốt có bán kính R = 10 cm và chiết suất n = 1,5, song song với trục vuông góc với đáy bán cầu và đi qua tâm của nó (hình7). Điểm rơi

Hình 7

Hướng của chùm tia cách trục này một khoảng a = 1 cm. Góc G nào mà tia ló ra từ bán cầu tạo thành pháp tuyến với đáy của nó? Khi thực hiện các phép tính, hãy tính đến a ≪ R và đối với các giá trị nhỏ của đối số x, tính bằng radian, đẳng thức gần đúng sin x x là hợp lệ. 3. Tròng kính nào được gọi là mỏng? Viết công thức của thấu kính mỏng và giải thích ý nghĩa các đại lượng chứa trong đó. Bài toán. Cách thấu kính của máy chiếu một khoảng f = 15 m có một màn có kích thước 2 s 3 m. Trên màn hình thu được hình ảnh rõ nét của một slide có kích thước 24 s 36 mm. Trong trường hợp này, hình ảnh chiếm một nửa diện tích màn hình. Tính công suất quang D của một thấu kính mỏng, thấu kính này phải được đặt gần thấu kính của thiết bị chiếu mà không thay đổi vị trí của nó sao cho hình ảnh rõ nét vừa khít với kích thước của màn ảnh. Hãy coi thấu kính của máy chiếu là một thấu kính mỏng. Đáp số tính điôp, làm tròn đến một chữ số thập phân. Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. Chesnokov

46

KVANT 2017/№10

Đại học bang Novosibirsk

VẬT LÝ

Olympic liên đại học mở rộng dành cho học sinh “Tương lai của Siberia”

Giai đoạn đầu tiên (vòng loại)

lớp 8

1. Ô tô chạy từ điểm A đến điểm B và ngược lại. Ô tô chạy hết quãng đường từ A đến B và nửa quãng đường về với tốc độ không đổi, sau đó do bị hỏng hóc nên giảm tốc độ và chạy quãng đường còn lại về với tốc độ không đổi nhưng thấp hơn. Xe giảm tốc độ bao nhiêu lần nếu biết vận tốc trung bình lúc đi từ A đến B lớn gấp 3 lần vận tốc lúc về? 2. Một bể cá hình chữ nhật có kích thước đáy hình chữ nhật a s b chứa đầy nước có khối lượng riêng $R_{0}$ đến mức h dưới mép bể (hình1). khối lượng nước là bao nhiêu

Hình 1

liệu nó có đổ ra khỏi bể cá nếu một khối gỗ có mật độ R và thể tích $V_{0}$ được hạ xuống trong đó không? Khối nổi trong nước sau khi được ngâm. 3. Một thước đo nhẹ có chiều dài l đặt trên hai giá đỡ sao cho chúng chia thành ba phần bằng nhau. Ở hai đầu đối diện của thước có các vật nặng có khối lượng khác nhau. Cấu trúc ở trạng thái cân bằng. Họ bắt đầu cẩn thận di chuyển trọng lượng bên trái sang bên phải để thước vẫn bất động. Khi tải trọng dịch chuyển $l_{1}$ (hình2), cấu trúc mất cân bằng và sụp đổ. Cấu trúc đã được khôi phục lại hình dạng ban đầu và

Hình 2

Chúng tôi lặp lại thí nghiệm, chỉ bây giờ chúng tôi mới bắt đầu chuyển trọng lượng bên phải sang trái. Khoảng cách tối đa $l_{2}$ mà tải trọng có thể di chuyển được trước khi công trình sụp đổ là bao nhiêu? 4. Trong một bình hình chữ nhật, cách nhiệt, có đáy là hình vuông có cạnh 10 cm, nước đá và nước cân bằng nhiệt (hình3). Một tấm lưới được cố định phía trên mặt băng để ngăn nó nổi lên. Đổ 0,9 lít nước nóng ở nhiệt độ 80 o C vào bình Hình 3 sao cho bao phủ hoàn toàn băng. Mực nước trong bình sẽ thay đổi bao nhiêu sau khi cân bằng nhiệt xảy ra, nếu biết rằng một phần băng sẽ tan chảy? Nhiệt dung của nước là 4,2 kJ kg K, khối lượng riêng là 1000 kg $м^{3}$, nhiệt nóng chảy của nước đá là 336 kJ kg, khối lượng riêng là 900 kg $м^{3}$.

Lớp 9 1. Ivan Tsarevich bắt đầu cuộc hành trình đi lấy quả bóng dẫn đường do Baba Yaga trao cho. Trong 1/3 quãng đường đầu tiên trên sân, quả bóng lăn với tốc độ không đổi 5 km/h, rồi đi sâu hơn vào rừng, tốc độ giảm đi một nửa. Ivan Tsarevich đi với tốc độ không ổn định dọc theo sợi dây đang rút dọc theo quỹ đạo của quả bóng, cố gắng theo kịp nó. Tốc độ trung bình của Ivan Tsarevich trên toàn bộ quãng đường là bao nhiêu, nếu ở đầu đường anh ta ở cạnh quả bóng và họ cùng đến điểm cuối cùng một lúc? 2. Có ba đồng xu giống nhau trên bàn. Một trong những đồng xu, gần mép của nó tại điểm A

48

KVANT 2017/№10

khu vực danh nghĩa. Bỏ qua ảnh hưởng của không khí. 4. Một khối khối lượng m (hình9) trượt dọc theo một hình nêm có khối lượng M đứng trên một mặt sàn gồ ghề. Xác định ở mức độ nào

3. Hai viên phấn được ném dọc theo một băng chuyền đang chuyển động, tạo cho chúng cùng một tốc độ ban đầu so với người quan sát đứng yên (hình11). Đồng thời

Hình 9

Với hệ số ma sát giữa bàn và nêm nhỏ thì nêm sẽ đứng yên. Góc nghiêng của nêm là A. Bỏ qua ma sát giữa vật và nêm và ảnh hưởng của không khí.

lớp 11

1. Cậu bé đứng trên bờ hồ gần mặt nước và ném đá xuống hồ một góc 15o so với đường chân trời. Anh ta nhận thấy vòng tròn nước chạm tới chân anh ta vào thời điểm T sau khi hòn đá rơi xuống. Người cha đến gần cậu bé và ném một hòn đá xuống hồ, nhưng với góc 45o và với vận tốc ban đầu gấp đôi cậu bé. Bao lâu sau khi hòn đá người cha ném rơi xuống, những vòng nước đó có chạm tới chân ông không? Giả sử các gợn sóng trong nước lan truyền với tốc độ không đổi. Bỏ qua chiều cao của cậu bé và bố cậu cũng như ảnh hưởng của không khí. 2. Một bình hình trụ kín có khối lượng m, chiều cao H, tiết diện S, chứa đầy không khí, lơ lửng trong chất lỏng theo phương thẳng đứng (hình10). Ở phía dưới

Hình 11

mảnh đầu tiên được phóng theo hướng chuyển động của băng và mảnh thứ hai ngược lại. Khi những cây bút màu dừng lại trên băng, hóa ra vết do cây bút màu thứ hai tạo ra dài hơn N lần vết do cây bút chì thứ nhất để lại. Tốc độ truyền vào bút chì lớn hơn tốc độ của băng bao nhiêu lần? 4. Một tụ điện không khí bản phẳng có khoảng cách giữa các bản bằng d được nối với nguồn điện áp (hình12). Điện tích trên tụ điện là $q_{0}$. Bên trong con-

Hình 12

của tụ điện, một bản mỏng tích điện đều với điện tích Q được mắc song song với các bản của nó, cách một trong hai bản một khoảng a (a < d). Xác định điện tích của tụ q sau khi lắp bản vào.

Giai đoạn thứ hai (cuối cùng)

Hình 10

một phần của bình bị rò rỉ, khiến bình chuyển sang vị trí cân bằng mới, rơi xuống độ cao h. Tìm áp suất không khí ban đầu trong bình. Áp suất khí quyển là $p_{a}$, gia tốc trọng trường là g. Nhiệt độ không đổi.

Lớp 8 1. Một người đi xe đạp đang di chuyển dọc theo đại lộ nhận thấy số lượng xe điện chạy về phía mình nhiều gấp đôi số xe điện chạy qua mình. Một người lái xe ô tô di chuyển dọc theo cùng một đại lộ cũng nhận thấy rằng anh ta nhìn thấy những chiếc xe điện đang chạy tới thường xuyên gấp đôi so với những chiếc xe điện chạy qua mà anh ta định kỳ vượt qua. Giả sử tốc độ của xe đạp, ô tô và xe điện không đổi và khoảng cách giữa các xe điện ở cả hai chiều là như nhau, hãy xác định xem ô tô chuyển động nhanh hơn xe đạp bao nhiêu lần. 2. Tủ lạnh di động loại nhỏ là dạng túi kín, vách ngăn