Nghịch lý của Tolya Vtulkin

TÙY CHỌN VẬT LÝ

Nghịch lý của Tolya Vtulkin

S. DVORYANINOV

Phần I

Độc giả được cung cấp một câu chuyện khoa học viễn tưởng dành cho các nhà vật lý lý thuyết trong tương lai. Đã nhiều năm trôi qua kể từ khi Tolya Vtulkin trình diễn cách bố trí thí nghiệm mà ông đã phát minh ra tại câu lạc bộ vật lý của trường chúng tôi. Dường như mới hôm qua… Thiết kế rất đơn giản. Bộ phận chính của nó là một ống thủy tinh mỏng, không thẳng mà cong thành hình bán nguyệt bán kính R. Ngoài ra còn có một quả cầu kim loại 1, khối lượng của nó là m. Nó rất nhỏ và có thể di chuyển tự do bên trong ống. Ống được gắn trên giá ba chân trong mặt phẳng thẳng đứng có hình chữ C (Hình 1). Đầu trên B và đầu dưới H của nó nằm chính xác trên cùng một đường thẳng đứng. Khi chúng tôi cố gắng đặt bóng ở điểm B, chúng tôi đã không thể thực hiện được. Và rõ ràng là tại sao: vị trí này của quả bóng không ổn định. Và một sợi chỉ mỏng dài 2R được buộc vào điểm B. Những quả bóng khác, trong đó có ba quả, có thể được buộc vào sợi chỉ này. Thánh lễ Mỹ y

Hình 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200505

Chúng khác nhau và đường kính lớn hơn một chút so với đường kính của ống. Đầu tiên, Tolik đặt quả bóng 1 của chúng ta vào điểm H và buộc một quả bóng nhẹ 2 vào một sợi dây, khối lượng của nó nhỏ hơn đáng kể so với khối lượng m. Sau đó, anh kéo sợi chỉ sang một bên và kéo chặt. Kết quả là sợi chỉ nằm dọc theo chiều ngang. Có thể nói đây là vị trí bắt đầu. – Điều gì sẽ xảy ra tiếp theo nếu tôi buông quả bóng 2 ra khỏi tay? – Tolik hỏi. Đáp số là điều hiển nhiên đối với mọi người. Quả bóng trong tay Tolik có thế năng Mg 2 R. Chuyển động xuống như một con lắc, nó sẽ va chạm với quả bóng 1 và truyền một phần động năng cho nó. Quả bóng 1, có một chút năng lượng, sẽ bắt đầu di chuyển lên trên ống, nhưng thậm chí chưa đạt đến điểm O, nó sẽ dừng lại một lúc, sau đó bắt đầu lăn xuống và lăn ra khỏi ống. Đây là cách nó diễn ra trong kinh nghiệm. Lần thứ hai, Tolik buộc một quả bóng nặng 2, có khối lượng M lớn hơn m rất nhiều, vào một sợi dây. Và tình huống này là dễ hiểu. Quả bóng 1 sau khi bị quả bóng 2 đánh vào đã nhận được một phần năng lượng đến mức có thể bay qua ống đến điểm B và với tốc độ khác 0. Và quả thực quả bóng số 1 đã bay ra khỏi ống như thể bắn ra từ một khẩu đại bác. Sau những thí nghiệm đơn giản này, một số người bắt đầu không còn hứng thú với tác phẩm sắp đặt của Tolya. “Đợi đã, đừng rời đi, bây giờ điều thú vị nhất sẽ xảy ra,” Tolik kêu lên. – Xin hãy nhìn xem! – nói những lời này, anh ta buộc quả bóng 2 có khối lượng m vào sợi dây, dịch sợi dây sang một bên và kéo nó. – Điều gì sẽ xảy ra với quả bóng 1, lúc này đang đứng yên tại điểm H, sau khi tôi thả quả bóng 2 ra khỏi tay? MỘT? Dự đoán của bạn là gì? – Tolik nói với mọi người. Vấn đề này có vẻ đơn giản với mọi người. Thế năng của quả bóng số 2 trong tay Tolik bằng 2mgR. Sau va chạm nó chuyển thành năng lượng của quả bóng 1 có khối lượng m. Năng lượng này chính xác đủ để anh ta leo lên ống tới điểm B.

47

TRƯỜNG HỌC

Hãy áp dụng định lý này cho các tam giác vuông FBG và EDH. Chúng ta có GF > GB, thì $10 P_{BGF}$! BG GF!! 2BG, do đó BG < 5 và GC = BC – – BG > 6,25 – 5 = 1,25, tức là GC > 1,25. Tương tự, HE > HD thì $6 P_{EHD}$!! Ơ HD! 2 HD, do đó HD < 3 và CH = CD – HD > 6,25 – 3 = 3,25, tức là CH > 3,25. Bây giờ chúng ta áp dụng định lý cho tam giác vuông CHG. Chúng tôi nhận được $7 P_{GCH} GC CH GH$! GC 2 CH! > 1,25 2 3,25 7,75.

Sự mâu thuẫn. Vì vậy, hình vuông như vậy không tồn tại! Ý tưởng tuyệt vời về việc cộng và trừ chu vi đã thất bại do tính chất của tam giác vuông. Việc phát hiện ra lỗi ẩn trong điều kiện bài toán đặt ra một số câu hỏi để chúng ta xem xét. Một trong những vấn đề có thể đặt ra là phương pháp sư phạm và phương pháp dạy toán. lời giải có nên được tính là bài toán đối với học sinh tìm thấy đáp số trong bài toán, điều kiện của nó được xây dựng sai? Liên quan đến các vấn đề của chúng ta, chúng ta nên tính lời giải bài toán cho một cậu học sinh đạt đáp số 6,25 trong bài toán 1 theo cách được mô tả ở trên, hay cho một cậu học sinh tìm thấy trong bài toán 2 rằng diện tích của một tam giác vuông là $30 см^{2}$? Có thể có những ý kiến ​​​​khác nhau ở đây. Thời gian dành cho việc hoàn thành phần giới thiệu có hạn và sinh viên khó có cơ hội thực hiện một nghiên cứu hoàn chỉnh. Vì vậy, chúng tôi sẽ tính anh ấy là lời giải. Đương nhiên, một học sinh đã chứng minh được sự tồn tại của một hình vuông như vậy là điều không thể khen ngợi được. Một học sinh như vậy chắc hẳn đã biết rằng một trong những hành động quan trọng nhất được dạy ở lời giải bài toán là kiểm tra! Đồng thời, chúng ta có thể đưa ra lập luận logic sau đây dựa trên tính chất hàm ý đã biết. Một phát biểu sai có thể dẫn đến một phát biểu đúng hoặc sai. Nhưng một tuyên bố sai không theo sau một tuyên bố đúng. Do đó, bất kỳ đáp số nào cũng phù hợp với bài toán với các điều kiện trái ngược nhau (ngay cả điều kiện chúng tôi không đưa ra ở đây) và nó cần phải được tính. Tuy nhiên, hãy để cuộc thảo luận về vấn đề khó khăn này

TRONG

“QUANTE”

vấn đề sư phạm và phương pháp luận nằm ngoài phạm vi của bài viết này. Câu hỏi thứ hai liên quan đến việc cố gắng sửa một lỗi trong điều kiện và có thể thực hiện một nghiên cứu toán học nhỏ. Chúng ta có thể lưu ý tưởng bài toán bằng cách điều chỉnh điều kiện của nó một chút không?

Hình chữ nhật

Điều gì xảy ra nếu trong điều kiện bài toán hình vuông được thay thế bằng hình chữ nhật? Để không làm lộn xộn bản vẽ, chúng tôi sẽ loại bỏ ‘FQK’ khỏi phần xem xét. Hãy định dạng lại bài toán. Bài toán 3. Các hình tam giác được cắt từ hình chữ nhật ABCD và chu vi của nó được viết bên trong mỗi hình tam giác (Hình 2). Tìm chu vi của hình chữ nhật ABCD, với điều kiện chu vi là 4- Hình 2 tam giác FGHE bằng 10. Áp dụng lý luận tương tự khi cộng và trừ chu vi của các tam giác, chúng ta thấy chu vi của hình chữ nhật ABCD bằng 25. Nhưng bây giờ chúng ta muốn biết: một hình chữ nhật như vậy có tồn tại không? Khi thảo luận về bài toán 1 và 3 với bạn bè, một câu hỏi đã nảy sinh về sự chênh lệch lớn về giá trị chu vi của tứ giác FGHE và hình vuông ABCD. Một thiết kế như vậy dường như là không thể. Chu vi của tứ giác FGHE bằng 10, nhỏ đến mức đáng ngờ so với chu vi của hình vuông (hình chữ nhật) ABCD. Các tính toán tiếp theo xác nhận tính đúng đắn của dự đoán đã nêu. Hãy bắt đầu nghiên cứu của chúng tôi với một định nghĩa. Ta gọi tứ giác nội tiếp là hình chữ nhật (hình vuông) nếu mỗi đỉnh của nó nằm trên một cạnh của hình chữ nhật (hình vuông). Trong tứ giác bài toán FGHE nội tiếp trong hình chữ nhật ABCD. Chúng ta hãy thu được một số ước tính đơn giản liên quan đến chu vi của một hình chữ nhật (hình vuông) và hình tứ giác nội tiếp trong đó. Bài toán 4. Đối với chu vi của hình chữ nhật ABCD và tứ giác FGHE nội tiếp trong đó, các bất đẳng thức $P_{FGHE} P_{ABCD} 2 P_{FGHE}$ được thỏa mãn. Chứng minh điều đó.

52

KVAN T 2020/Số 5

Hình 4, các góc ở đáy bằng 60q H. Hãy chứng minh rằng một tam giác có các góc A 120 q, B H 2, $C^{60} q H 2$ không bị bao phủ bởi các tam giác cân như vậy. Hình 4 cho thấy ba cạnh của các tam giác cân này đi vào bên trong ‘ABC như thế nào (các góc được đánh dấu bởi một cung là các góc ở đáy của các tam giác cân, chúng bằng 60q H). Khu vực sẽ vẫn chưa được che chắn sẽ được đánh dấu màu đỏ. 27. a) $2^{n}$. Hãy đánh số các bóng đèn. Nếu nút có số k thì nối nó với tất cả các bóng đèn có số từ 1 đến k. Sau đó, đối với bất kỳ t nào, có thể thay đổi trạng thái của bóng đèn số t mà không thay đổi trạng thái của các bóng đèn khác: đối với t > 1, để thực hiện việc này, bạn cần nhấn các nút t và t 1, và đối với t 1, chỉ cần nhấn nút 1. Điều này có nghĩa là bạn có thể thay đổi trạng thái của một bóng đèn độc lập với các bóng đèn khác; Theo đó, bạn có thể nhận được bất kỳ sự kết hợp nào giữa bóng đèn sáng và không sáng. $б)^{2} m^{1}, где^{m}$ là số tự nhiên lớn nhất sao cho $2^{m} d^{n}$. Cấp. Số lượng kết hợp có thể có của bóng đèn sáng và không sáng có thể thu được bằng cách nhấn các nút trong một cấu hình nút và bóng đèn nhất định được gọi là độ đa dạng của cấu hình này. $Рассмотрим^{n}$ bóng đèn và bây giờ chúng ta sẽ lần lượt xem xét các nút theo thứ tự sau: số 1, số 2, số 4, 8,… $…,^{2} m^{1},^{n.}$ Chúng ta sẽ gọi các nút như vậy là quan trọng, số lượng của chúng là $равно^{m} + 1.$ Chúng ta sẽ chỉ ra rằng với mỗi lần thêm một nút quan trọng, sự đa dạng về cấu hình sẽ tăng lên đúng 2 lần. Hãy thêm một nút quan trọng khác K. Vì số của nút tiếp theo lớn hơn tổng số của tất cả các nút được kết nối trước đó nên có một bóng đèn L chỉ được kết nối với nút mới. Hãy xem xét một trong những sự kết hợp cũ giữa bóng đèn sáng và không sáng - nó vẫn có thể đạt được. Bằng cách nhấn nút K, chúng ta sẽ có được sự kết hợp mà trước đây không thể đạt được vì đèn L bật sáng trong đó, điều này trước đây không thể đạt được. (Rõ ràng là từ hai kết hợp cũ khác nhau theo cách này không thể thu được cùng một kết hợp mới.) Do đó, tất cả các cấu hình cũ đều có thể đạt được và số lượng kết hợp mới bằng số lượng các kết hợp cũ, tức là số lượng các cấu hình có thể đạt được đã tăng gấp đôi. Vì vậy, sau khi thêm các nút quan trọng, cấu hình đa dạng sẽ trở thành $равным^{2} m^{1}$. Hãy thêm vào

Hình 5 bây giờ là tất cả các nút khác - rõ ràng là chúng sẽ không làm giảm sự đa dạng. Ví dụ. Chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách kết nối các nút với bóng đèn sao cho có $равно^{2} m^{1}$ đa dạng. $рисунке^{5}$ hiển thị cấu hình ví dụ $для^{n} 13, тогда^{m} 3$, đa dạng $равно^{2} 4$. Các hàng tương ứng với các nút, các cột tương ứng với bóng đèn; nếu ô được tô bóng thì nút tương ứng và bóng đèn được kết nối. Việc xây dựng ví dụ được chia thành ba giai đoạn. Các nút được thêm vào ở giai đoạn đầu tiên được đánh dấu bằng màu đỏ (đây là các nút quan trọng), ở giai đoạn thứ hai - màu xanh lam, ở giai đoạn thứ ba - màu xanh lá cây. Giai đoạn đầu tiên. Trước tiên chúng ta hãy kết nối các nút quan trọng bằng các số $1, 2, …,^{2} m^{1}$ sao cho không có hai nút nào được kết nối với một bóng đèn. Điều này có thể được thực hiện vì tổng số $лампочек^{n}$ không phải là $меньше^{2} m$, do đó lớn hơn tổng số nút mà chúng ta hiện đang kết nối. Bây giờ, hãy kết nối nút quan trọng cuối cùng với $номером^{n.}$ Như chúng tôi đã trình bày, tại thời điểm này, mức độ đa dạng là $равно^{2} m^{1}$. Bây giờ chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách thêm các bóng đèn khác để nó không bị to hơn. Giai đoạn thứ hai. Bây giờ hãy kết nối tất cả các nút không quan trọng bằng các số $меньше^{2} m$ như sau. Số lượng của mỗi nút như vậy được biểu thị dưới dạng tổng một số lũy thừa của hai nhỏ hơn $2^{m}$. Chúng tôi đã thêm các nút có số bằng lũy ​​thừa hai này; Hãy kết nối nút được đề cập với các bóng đèn giống nhau. Việc nhấp vào một nút mới có thể được thay thế bằng cách nhấp vào một số nút cũ, vì vậy việc thêm nút này sẽ không tạo thêm sự đa dạng. Giai đoạn thứ ba. Các nút còn lại – có số bắt đầu từ $2^{m} до^{n} 1$ – sẽ được kết nối theo quy tắc sau. Nút có số i phải được kết nối với các bóng đèn mà nút “đối diện” có $номером^{n} i$ chưa được kết nối. Tất cả các nút “ngược lại” với những nút được thêm vào ở giai đoạn này