Kvant 2021, số 6 · Trang

Udar và môi trường xung quanh

L.ASHKINAZI

Trong bất kỳ sách giáo khoa vật lý phổ thông nào cũng xem xét trường hợp hai quả bóng va chạm trực tiếp vào tâm - đàn hồi tuyệt đối và tuyệt đối không đàn hồi. Tất nhiên, bạn có thể viết và giải các phương trình tương ứng, hai phương trình cho mỗi trường hợp. Trong cuộc sống thực không có “trung tâm trực tiếp” và không có “quả bóng” - luôn có một số sai lệch. Nhân tiện, vì không có quả bóng, làm thế nào chúng ta có thể hình thành điều kiện “trực tiếp” và “trung tâm” và liệu công thức này có hữu ích gì cho chúng ta không? Tất nhiên, không có “đàn hồi tuyệt đối” và hơn nữa, không có “tác động”. Khi đưa ra khái niệm này, chúng ta thường bỏ qua thời gian tương tác, và để thay đổi động lượng trong một thời gian vô cùng nhỏ, chúng ta cần (hãy nhớ phương trình m ’ v F ’ t ) một lực vô cùng lớn sẽ phá hủy bất kỳ vật chất nào. Tại sao tất cả những điều này đều có trong sách giáo khoa mà không chỉ có trong sách giáo khoa ở trường? Khi các mô hình được xem xét trong vật lý, việc lựa chọn một cách đơn giản hóa cụ thể được xác định bởi khả năng chính thức đạt được lời giải và tính hợp lý của điều này lời giải. Hơn nữa, “tính hợp lý” còn phụ thuộc vào cách chúng ta áp dụng lời giải. Nếu chúng ta đang nói về ứng dụng thực tế, tức là về kỹ thuật, về việc tạo ra mọi thứ, thì điều quan trọng chính là liệu lời giải thu được có đủ chính xác trong các điều kiện và những hạn chế mà chúng ta cần hay không. Nếu chúng ta chưa nói về thực hành, tức là nếu đây là mô hình “nội vật lý”, thì tình hình sẽ phức tạp hơn. Điều quan trọng ở đây là mô hình dựa trên vật lý cơ bản đến mức nào, liệu nó có các tham số phù hợp khó hiểu hay không và có bao nhiêu tham số, mô hình logic như thế nào và liệu nó có cho phép phát triển hay không. Đây là những tiêu chí ít rõ ràng hơn, vì vậy trong vật lý đôi khi chúng có thể

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210602

theo thời gian, một số mô hình của cùng một loạt các hiện tượng cùng tồn tại. Kỹ thuật cố gắng tránh những tình huống như vậy, mặc dù điều này không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được. Ví dụ, trong một môn học có thể bạn đã từng nghe đến cái tên - “sức bền của vật liệu”, có một số cách để đánh giá tải trọng giới hạn lên các bộ phận kết cấu, được gọi là “lý thuyết sức bền”. Nhưng đây là một tình huống hiếm gặp. Mô hình tác động, được nêu trong sách giáo khoa ở trường, đã tồn tại khoảng ba thế kỷ (ví dụ: lịch sử của nó được kể ở đây - http: Physiclib.ru mục sách f00 s00 z0000053 st059.shtml). Vì vậy, nó không mang tính chất “nội vật lý” mà hoàn toàn có thể áp dụng được trong thực tế. Ngoài ra, nó còn có các phần mở rộng hữu ích và thú vị, đó là trọng tâm của bài viết này. Hơn nữa, cả phần mở rộng trường học, được tìm thấy trong các bài tập và câu hỏi trong bài kiểm tra, cũng như phần mở rộng ngoại khóa. Nhưng trước tiên, để làm mới mô hình này trong bộ nhớ và “sửa nó trên bảng truy cập nhanh”, hãy biểu thị khối lượng của các quả bóng $m_{1}$ và $m_{2}$, tốc độ của chúng, tương ứng, $v_{1}$ trước $, v_{2}$ trước $, v_{1}$ sau và $v_{2}$ sau và cho tình huống $v_{2}$ trước 0, chúng ta sẽ xây dựng các biểu đồ đẹp mắt về sự phụ thuộc v 1 sau v 1 trước và $v_{2}$ sau $v 1_{до}$ từ $m 1 m_{2}$ cho cả hai loại va chạm (Hình 1). Nhân tiện, hãy nghĩ về lý do tại sao chúng tôi xây dựng các phần phụ thuộc

Hình 1. Hành vi của bóng sau va chạm. Đường cong 1 dùng để chỉ quả bóng đầu tiên trong trường hợp va chạm đàn hồi; đường cong 2 – đối với cả hai quả bóng khi va chạm không đàn hồi; đường cong 3 – tới quả bóng thứ hai trong trường hợp va chạm đàn hồi

7

ĐÁNH

VÀ

CỦA ANH ẤY

điều này là bình thường - bất kỳ mô hình nào cũng có ranh giới, việc biết chúng sẽ rất hữu ích. Một cuốn sách giáo khoa lý tưởng nên chỉ ra những điều này, hoặc - nếu chúng ta không biết chúng - nó sẽ chỉ ra phạm vi của mô hình là gì, tức là nó đang hoạt động với giá trị tham số nào và nó đã được kiểm tra với độ chính xác như thế nào. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta có một lỗ hổng - nếu điều kiện nói rằng va chạm là đàn hồi tuyệt đối, thì công do lực ma sát thực hiện bằng không. Nhưng không có kẽ hở nào cho sự thúc đẩy đó, và sự sai lầm vẫn còn đó. Đúng, đôi khi “tác động” được định nghĩa khác và chính xác hơn - là một tương tác đủ ngắn để có thể bỏ qua các lực bên ngoài. Trong trường hợp này, thời gian va chạm không bằng 0, các lực không bằng vô cực và chúng ta đã bỏ qua những gì chúng ta đã gặp ở đoạn trước. Tuy nhiên, với độ đàn hồi tuyệt đối của va chạm, lực ma sát không thực hiện công, nghĩa là không có lực hoặc không có chuyển động. Tuy nhiên, các quả bóng có thể trao đổi động lượng và do đó có thể thay đổi vận tốc góc của chúng và bay sang một bên. Do đó, bài học là phải đọc kỹ các định nghĩa, vì đây cũng là một phần của mô hình, và các định nghĩa khác nhau có nghĩa là chúng ta có các mô hình khác nhau. Chúng ta sẽ quay lại hoạt động của một quả bóng đang quay có ma sát ở phần sau. Bước tiếp theo vào độ sâu bài toán là một cú đánh trực tiếp, không vào tâm (Hình 2, b), các quả bóng vui vẻ bay dọc theo các đường thẳng song song và tự hỏi liệu chúng có va chạm hay không. Ở đây có ba tham số phát huy tác dụng - hai bán kính và khoảng cách giữa các đường. Nếu nó bằng 0, chúng ta có bài toán – tác động trung tâm trước đó. Nếu khoảng cách lớn hơn tổng bán kính thì không có va chạm nào cả. Nếu xảy ra va chạm, thì ba tham số này - chính xác hơn là mối quan hệ giữa chúng - xác định vị trí của điểm va chạm và hướng của các lực tác dụng lên các quả bóng trong quá trình va chạm. Nếu va chạm tuyệt đối không đàn hồi, thì tất cả những điều này không thành vấn đề - chúng ta lại có hai phương trình và hai đại lượng chưa biết, chẳng hạn như vận tốc sau va chạm.

HÀNG XÓM

Nếu va chạm là đàn hồi, hoàn toàn hay một phần, thì các thông số mới – điểm va chạm và hướng của lực – trở nên quan trọng. Nếu không có ma sát thì các lực chỉ là phản lực, chúng vuông góc với bề mặt và đi qua tâm của các quả bóng. Các thành phần của chúng, hướng dọc theo các đường song song, ảnh hưởng đến vận tốc dọc và các thành phần ngang làm cho các quả bóng bay qua các đường thẳng. Bài toán hoàn toàn có thể giải được, nhưng ở hình thức này họ không đưa nó ở trường mà làm đơn giản hơn - họ giết một người không rõ danh tính. Thật vậy, bây giờ chúng ta có ba phương trình (đối với năng lượng, động lượng dọc và ngang) và bốn đại lượng chưa biết. Trong điều kiện tự nhiên, đây là các thành phần của vận tốc sau va chạm và không thể tìm thấy chúng nếu không biết các thông số mới của chúng ta. Nhưng về bản chất, cũng như ở trường, họ làm điều đó một cách đơn giản, họ tạo ra ba đại lượng bất kỳ chưa biết - theo số phương trình. Ví dụ, ít nhất một trong các thành phần của một trong các vận tốc sau va chạm được coi là “đã biết”. Hoặc họ hành động tử tế hơn một chút - họ yêu cầu không phải tìm ra các thành phần mà là tìm tỷ lệ của một số thành phần, một lần nữa làm giảm số lượng ẩn số một cách giả tạo. Nếu chúng ta đưa vào một hệ số ma sát thì va chạm không còn đàn hồi tuyệt đối nữa và chúng ta có một sự lựa chọn. Bạn có thể bỏ qua điều này, áp dụng định luật bảo toàn động năng và coi lực ma sát tỷ lệ thuận với phản lực của giá đỡ. Trong trường hợp này, có tính đến ma sát sẽ giảm đến mức lực mà một quả bóng tác dụng lên quả bóng khác sẽ không còn vuông góc với bề mặt nữa - nó sẽ có thành phần tiếp tuyến. Và mọi thứ sẽ ổn, nhưng lực ma sát tỷ lệ thuận với phản lực của giá đỡ chỉ khi có chuyển động. Khi bắt đầu va chạm, các quả bóng thực sự trượt lên nhau, nhưng chúng không thể dừng lại trong quá trình tương tác sao? Nếu chúng ta từ bỏ độ đàn hồi tuyệt đối, chúng ta sẽ mất một phương trình, hoặc chúng ta cần tính trung thực công của lực ma sát và trừ kết quả ra khỏi động năng. Sẽ không phải là một bài toán đơn giản, đặc biệt khi xem xét

9

ĐÁNH

VÀ

CỦA ANH ẤY

Cốt lõi của bài toán này là thế này. Có một quả cầu có kích thước đã biết, ban đầu nó đứng yên. Một vật có khối lượng nhỏ hơn nhiều bay dọc theo một đường thẳng đi qua tâm của nó và va chạm với quả bóng này. Lực tác dụng giữa các cơ thể được coi là đã biết. Những diễn biến tiếp theo là gì? Điều kiện khối lượng có nghĩa là quả bóng lớn đang đứng yên, hay chính xác hơn là nó chuyển động chậm hơn nhiều so với vật nhỏ. Hơn nữa, nếu lực bằng 0 (thường thì đây là cách dễ nhất để bắt đầu xem xét), thì không có tương tác - vật lớn đứng yên, vật nhỏ đang bay, ngạc nhiên rằng tốc độ của nó không thay đổi. Chúng ta bắt đầu tăng lực - sự trao đổi xung lực bắt đầu và chúng ta cũng có thể sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, trừ đi động năng của công của lực A FD tác dụng giữa các vật, trong đó D là đường kính. Với lực tăng thêm nữa, chúng ta đạt đến “một va chạm tuyệt đối không đàn hồi”, khi một vật nhỏ dừng lại bên trong một vật lớn. Bạn có thể tự viết các phương trình tương ứng và nhận được lời giải. Nếu chúng ta bỏ điều kiện về tỷ lệ khối lượng, thì chúng ta sẽ phải tính đến việc vật lớn cũng chuyển động, và khi đó chuyển động của vật nhỏ không xảy ra cho đến khi nó dừng lại mà cho đến khi vận tốc trùng nhau. Chúng ta cũng có thể xét trường hợp một vật lớn có vận tốc ban đầu; điều này sẽ không phức tạp bài toán nhiều. Mô hình này có một số tùy chọn phức tạp thú vị, một số tùy chọn được tìm thấy trong sách giải bài toán. Ví dụ, một vật thể nhỏ có thể bay theo đường thẳng không đi qua tâm của vật thể lớn. Trong trường hợp này, lực F có một mômen và vật thể lớn rõ ràng bắt đầu quay. Điều ít rõ ràng hơn là trong trường hợp này, thành phần vận tốc xuất hiện trong vật thể lớn, hướng ngang theo hướng chuyển động ban đầu của vật thể nhỏ. Một lựa chọn phức tạp khác là nếu tốc độ ban đầu của một vật thể lớn không hướng dọc theo đường thẳng mà vật thể nhỏ ban đầu bay, mà, ví dụ, theo hướng vuông góc. Hãy xem xét tình huống này và thấy rằng sự quay xảy ra

HÀNG XÓM

trong trường hợp này cũng vậy. Nhưng nếu một vật thể nhỏ va vào một vật thể lớn, bay theo đường thẳng đi qua tâm của một vật thể lớn không có tốc độ tuyến tính mà ban đầu quay thì chuyển động quay của nó sẽ chậm lại. “Càng ngày càng tò mò hơn,” Alice sẽ nói. (Bạn có nhớ điều này không?) Nếu những điều trên có vẻ thú vị với bạn, bạn gần như chắc chắn sẽ quan tâm đến các bài báo về tác động đã được đăng trước đó trên tạp chí «Kvant» - A. Panova (1990, Số 8), V. Kozlov (1988, Số 9 và 1995, Số 4), S. Khorozov (1997, Số 4) và A. Grosberg và M. Kaganov (1993, số 9 10 và 1996, số 2). Hơn nữa, việc đọc tất cả chúng sẽ rất hữu ích vì các tác giả tiếp cận hiện tượng từ các góc độ khác nhau và xây dựng các mô hình khác nhau về nó - đôi khi mang tính toán học hơn, đôi khi mang tính vật lý hơn. Và từ bài viết trước, bạn cũng sẽ tìm hiểu tại sao âm thanh được nghe thấy khi va chạm và nó mang theo bao nhiêu phần năng lượng. Tóm lại… chúng ta hãy tạm dừng cuốn sách hoặc màn hình và tra cứu. Như Stanislaw Lem đã viết, không gian không hề trống rỗng - “nó liên tục tràn ngập tầm nhìn của hàng triệu chúng sinh”. Có thể bây giờ ánh nhìn của bạn giao nhau với ánh nhìn của ai đó từ đầu bên kia của Thiên hà. Ngoài ra còn có các vụ va chạm trong không gian, người ta đã biết một trường hợp va chạm với vệ tinh và nhìn chung có nguy cơ tàu vũ trụ va chạm với đủ loại mảnh vụn bay phía trên chúng ta. Đúng, ở những tốc độ này, các mô hình mà chúng tôi đã xem xét không hoạt động, cơ chế tương tác trông khác và sự phá hủy luôn xảy ra. Nếu nhân loại tiếp tục khám phá không gian, tầm quan trọng của bài toán tương ứng sẽ tăng lên, vì vậy nếu bạn được giáo dục nghiêm túc và tham gia lớp học bài toán này, bạn sẽ không cảm thấy nhàm chán. Nhân tiện, trong bài viết chúng tôi đã đề cập đến việc xoay vòng nhiều lần. Và các thiên hà, như bạn biết, quay. Điều này có thể là do sự va chạm của thứ gì đó mà từ đó các thiên hà được hình thành?

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2654, M2655, M2657 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLVII dành cho học sinh môn toán. Bài toán M2656 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XLII.

Bài toán M2654–M2657, F2661–F2664 M2654. Trên cạnh BC của hình bình hành ABCD đánh dấu các điểm E và F, trong đó E nằm giữa B và F (Hình 1). Các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O. Các đường thẳng AE và DF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $треу-^{Рис.} 1$ của AOD. Chứng minh rằng chúng cũng chạm vào đường tròn ngoại tiếp tam giác EOF. A. Kuznetsov

M2656. Dãy số tự nhiên tăng dần $a_{1} a_{2}$ … sao cho mọi n! 100 số $a_{n}$ bằng số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n} 1$ và không chia hết cho bất kỳ số nào $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} 1$. Chứng minh rằng dãy số này chỉ có hữu hạn số hợp số. P.Kozhevnikov

M2655. Cho một mặt phẳng ca rô vô hạn. Một giáo viên và một lớp gồm 30 học sinh chơi một trò chơi, lần lượt thay phiên nhau - đầu tiên là giáo viên, sau đó lần lượt là tất cả học sinh, sau đó lại là giáo viên, v.v. Trong một động tác, bạn có thể vẽ một đoạn duy nhất, đó là đường viền giữa hai ô liền kề. Bạn không thể vẽ các phần hai lần. Giáo viên thắng nếu sau khi di chuyển một trong 31 người chơi, có một hình chữ nhật ca rô 1 u 2 hoặc 2 u 1 sao cho toàn bộ đường viền của nó được tô màu nhưng đoạn đơn vị bên trong nó không được tô màu. Chứng minh rằng giáo viên có thể giành chiến thắng. M. Didin, A. Kuznetsov

F2661. Để thay đổi mức độ vị trí của bộ phận phía trên mặt bàn một cách trơn tru, chúng tôi đã xây dựng hệ thống lắp đặt như trong Hình 2, bao gồm một số thanh bản lề. Các góc tạo bởi các thanh là 120q và 60q. Thanh được đánh dấu màu đỏ trong hình là thép, có chiều dài L là 10 cm. Nó được làm nóng với tốc độ 10 K q phút. Phần này tăng lên với tốc độ bao nhiêu? đồng-

M2657*. Số tự nhiên n! 20 và k! 1 sao cho n chia hết cho $k^{2}$. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a, b, c sao cho n ab bc ca. A. Khrabrov

Hình 2

12

KVAN T 2021/Số 6

Vì vậy, $x^{2} n y^{2} n$. Nhưng rồi 0! $x^{2} n y^{2} n$! x là mâu thuẫn. N. Agakhanov

M2643. Vòng tròn: và Z chạm vào nhau bên trong tại điểm A (Hình 1). Hãy vẽ một vòng tròn lớn hơn

Hình 1

: dây CD tiếp xúc với Z tại điểm B (dây AB không phải là đường kính của Z). Điểm M là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD đi qua tâm Z.

Chúng ta hãy biểu thị tâm đường tròn Z bằng O (Hình 2). Hãy vẽ một điểm chung qua điểm A

Hình 2

tiếp tuyến với vòng tròn của chúng tôi; để nó cắt đường thẳng CD tại điểm P. Vì PA PB nên điểm P nằm trên đường trung trực của đoạn AB cũng đi qua hai điểm M và O. Vì AM là đường cao trong tam giác vuông PAO nên ta có PM $PO PA^{2}$. Mặt khác, theo tính chất tiếp tuyến và cát tuyến ta có $PA^{2} PC$ PD. Vậy PM PO PC PD. Điều này có nghĩa là các điểm C, D, O và M nằm trên cùng một đường tròn. P. Bibikov

M2644. Petya và Vasya chơi trên bảng 100 ¥ 100. Ban đầu, tất cả các ô vuông trên bảng đều có màu trắng. Với mỗi nước đi của mình, Petya sơn một hoặc nhiều ô vuông màu trắng thành một hàng theo đường chéo màu đen. Với mỗi bước di chuyển của mình, Vasya sơn một hoặc nhiều ô vuông màu trắng đứng thành một hàng màu đen. Petya thực hiện bước đầu tiên. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Ai thắng khi chơi đúng?

Đáp số: Petya thắng. Hãy đưa ra một trong những chiến lược giành chiến thắng khả thi cho Petya. Anh ta sẽ luôn thực hiện các nước đi song song với một trong các đường chéo của bàn cờ, hãy gọi đó là nước đi chính. Với nước đi đầu tiên của mình, Petya sẽ vẽ tất cả các ô vuông trên đường chéo chính, sau đó bảng được chia thành hai “thang” giống hệt nhau (Hình 1). Chúng ta hãy tưởng tượng làm cho mỗi bậc thang đối xứng với đường thẳng đứng bằng cách di chuyển từng hàng ngang trong đó, ngoại trừ hàng đầu tiên, một nửa ô so với hàng trước đó. 1 của hàng trước (Hình 2).

Hình 2

Kết quả của sự dịch chuyển, cả đường thẳng đứng và đường chéo trước đây song song với đường chính đều trở thành các hàng nghiêng. Trong trường hợp này, “đường thẳng đứng” của một thang đối xứng với “đường chéo” của thang kia. Điều này có nghĩa là đối với mỗi bước di chuyển của Vasya, Petya có thể đáp lại bằng một bước di chuyển đối xứng sang một bậc thang khác (hai bước đáp số như vậy được hiển thị trong Hình 2). Sau đó, sau mỗi nước đi của Petya, tình huống trên bức tranh “đã dịch chuyển” sẽ giữ nguyên đối xứng, nghĩa là Petya sẽ luôn có thể thực hiện nước đi theo mô tả.

18

KVAN T 2021/Số 6

Phân đoạn bàn đạp: mức tối đa ở đâu?

M.DIDIN, P.KOZHEVNIKOV

Cho tam giác ABC và một điểm X trên mặt phẳng. Chúng ta ký hiệu hình chiếu của điểm X lên các cạnh BC, CA, AB lần lượt là $X_{a}, X_{b}, X_{c}$. Như đã biết, các điểm $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ sẽ nằm trên cùng một đường thẳng khi và chỉ khi X nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (trong trường hợp này, đường thẳng $X_{a} X_{b} X_{c}$ được gọi là đường thẳng Simson). Tiếp theo, giả sử X không nằm trên đường tròn (ABC), sau đó vẽ đường tròn đi qua các điểm $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ - gọi là đường tròn bàn đạp của điểm X (Hình 1). Chúng ta biểu thị giao điểm thứ hai của đường tròn $X_{a} X_{b} X_{c}$ với các cạnh của tam giác là $Y_{a}, Y_{b}, Y_{c}$. Chúng ta gọi các đoạn bàn đạp của một điểm X là các đoạn $X_{a} Y_{a}, X_{b} Y_{b}, X_{c} Y_{c}$. Trong bài viết ngắn này chúng ta sẽ nghiên cứu xem đoạn bàn đạp nào sẽ đạt hiệu suất tối đa

Hình 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210603

chiều dài nhỏ hoặc tối thiểu, tùy thuộc vào vị trí của điểm X. Dựa trên kết quả của nghiên cứu nhỏ này, chúng tôi sẽ xem xét một số trường hợp đặc biệt thú vị và đưa ra lời giải bài toán M2621 từ “Bài toán Kvant (xem «Kvant» số 9 cho năm 2020). Kết quả lời giải của tác giả về bài toán này dựa trên việc tính toán độ dài của các đoạn bàn đạp. Chúng tôi sẽ sử dụng như sau một thực tế nổi tiếng (ví dụ, xem bài viết của P. Kozhevnikov “Điểm liên hợp đẳng giác” trong «Kvant» Số 1 năm 2016): vuông góc với các đường thẳng BC, CA, AB, lần lượt vẽ tại các điểm $Y_{a}, Y_{b}, Y_{c}$, sẽ luôn giao nhau tại một điểm Y, điểm X liên hợp đẳng giác, tức là tại điểm Y sao cho các đường thẳng AX và AY đối xứng với phân giác của góc BAC, các đường thẳng BX và BY đối xứng qua các phân giác của góc ABC, các đường thẳng CX và CY đối xứng với các phân giác của góc ACB. Nói cách khác, các điểm X và Y trong xét của chúng ta bằng nhau; chúng có một đường tròn bàn đạp chung. Chúng ta cũng sẽ cấm điểm Y nằm trên đường tròn (ABC) (trong trường hợp này X không được xác định, hoặc như người ta nói “đi đến vô cùng”), ngoại trừ trường hợp X nằm trên một trong các đường thẳng AB, BC, CA. - khi đó đường tròn bàn đạp của điểm X được xác định và đi qua đỉnh của tam giác ABC, và Y trùng với đỉnh này. Ý tưởng chính sẽ như sau. Chúng ta sẽ tìm quỹ tích của các điểm X có hai đoạn bàn đạp bằng nhau; trong trường hợp này, độ dài của các đoạn bàn đạp sẽ chia mặt phẳng thành các vùng. có nghĩa là miễn là X nằm trong một trong các vùng được xác định ở trên thì thứ tự dọc theo chiều dài của các đoạn bàn đạp $X_{a} Y_{a}, X_{b} Y_{b}, X_{c} Y_{c}$ sẽ giữ nguyên. Tiếp theo, chúng ta vẽ các đường phân giác trong và ngoài của tam giác để chúng hướng vào;

22

KVAN T 2021/Số 6

hoặc tâm của đường tròn ngoại tiếp O. Nếu góc trung bình của tam giác nhỏ hơn 60q thì đoạn bàn đạp nhỏ nhất của X H nằm ở cạnh nhỏ nhất, nhưng nếu góc trung bình của tam giác lớn hơn 60q thì nằm ở cạnh lớn nhất. 2. Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp, $^{r}$ b bán kính của đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với cạnh giữa, R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Khi đó đoạn bàn đạp nhỏ nhất bài toán M2621 (dây của vòng tròn Nagel) nằm ở cạnh ngắn hơn khi và chỉ khi 2 R r r b.

3. Dây lớn nhất của vòng tròn bàn đạp của điểm Torricelli nằm ở cạnh giữa của tam giác. 4. Dây nhỏ nhất của vòng tròn bàn đạp của điểm Torricelli nằm ở cạnh nhỏ hơn nếu góc trung bình của tam giác lớn hơn 60q, và nằm ở cạnh lớn hơn nếu ngược lại.

Chúng ta có thể tiếp tục nghiên cứu các điểm đáng chú ý khác của tam giác cũng như trường hợp tam giác tù.

Đối xứng ẩn

E. BAKAEV

Số này có chứa lời giải bài toán M2644. Cái hay của bài toán này là, mặc dù luật chơi hoàn toàn khác nhau của hai người chơi, nhưng hóa ra bạn có thể nhìn tình huống từ một góc độ mà tính đối xứng hoạt động như một chiến lược theo nghĩa hình học trực tiếp! Chúng tôi sẽ giới thiệu thêm ba trò chơi nữa có nội dung tương tự. Trong vấn đề 1 và 2, người chơi tuân theo các quy tắc tương tự, nhưng vị trí của các quân cờ trên bàn cờ vẫn không có tính đối xứng - chúng tôi khuyên bạn nên suy nghĩ về cách đạt được sự đối xứng này. Trong bài toán 3, người chơi di chuyển hoàn toàn khác nhau, thậm chí không có cách sắp xếp đồ vật nào được chỉ định, tuy nhiên, ngay cả ở đó, khi nhìn thấy sự đối xứng ẩn, bạn quyết định bài toán. 1 (A. Tolpygo). Quân trắng nằm ở ô b2 của bàn cờ 8 u 8, quân đen ở ô c4. Các đấu thủ thay phiên nhau, mỗi người có quân xe riêng và Trắng bắt đầu. Cấm đặt quân xe của bạn trong trận chiến với một quân xe khác, cũng như trên một ô mà một số quân xe đã có mặt. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Người chơi nào có thể đảm bảo chiến thắng cho dù người chơi khác chơi thế nào? (Trong một nước đi, quân Xe di chuyển theo chiều ngang hoặc chiều dọc theo số lượng ô bất kỳ và được coi là nó chỉ đi qua các ô đầu tiên và cuối cùng của nước đi này.) 2 (A. Buchin, A. Ivanishchuk). Hai người chơi lần lượt đặt một quân cờ 65u65 lên bàn cờ. Trong trường hợp này, không được có nhiều hơn hai quân cờ trên bất kỳ dòng nào (ngang hoặc dọc). Ai không thể di chuyển sẽ thua. Ai thắng khi chơi đúng? 3 (E. Bakaev). Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Đầu tiên, trên bàn có 11 chồng 10 viên đá. Các cầu thủ thay phiên nhau, Petya bắt đầu. Mỗi nước đi người chơi lấy 1, 2 hoặc 3 viên đá, nhưng Petya luôn chọn tất cả các viên đá từ một cọc bất kỳ và Vasya luôn chọn tất cả các viên đá từ các cọc khác nhau (nếu có nhiều hơn một viên). Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Người chơi nào có thể đảm bảo chiến thắng cho dù đối thủ chơi thế nào?

24

KVANT 2021/№6

Đọc lại các nhà văn khoa học viễn tưởng

S. PARNOVSKY

Truyện tranh và phim hiệu ứng đặc biệt dựa trên chúng có đầy đủ các anh hùng với nhiều loại siêu năng lực khác nhau. Chúng có thể được tìm thấy ít thường xuyên hơn trong các cuốn sách thuộc thể loại giả tưởng. Chúng có tồn tại trong khoa học viễn tưởng cổ điển không? Tại sao cổ điển, bạn hỏi. Đúng vậy, đơn giản vì trong giai đoạn đầu phát triển của thể loại này, người ta tin rằng tác giả phải đưa ra lời giải thích về siêu năng lực của người anh hùng của mình, ít nhất là bằng cách nào đó giống một cách hợp lý. Họ sử dụng những phát minh tuyệt vời, những cỗ máy được bí mật tạo ra bởi những thiên tài chưa được công nhận, một số loại thuốc tiên hoặc thuốc chữa bệnh, vật liệu mới (tốt nhất là kim loại có nguồn gốc siêu phàm mà khoa học chưa biết đến), v.v. Một tác phẩm kinh điển của thể loại này là Người vô hình của H.G. Wells, người đã trở nên như vậy nhờ khám phá khoa học của mình. Và gần như ngay từ khi cuốn sách về siêu anh hùng này xuất hiện, nó đã trở thành đối tượng phân tích và chế giễu khoa học. Thật vậy, ánh sáng chiếu vào một vật có thể bị hấp thụ, phản xạ, tán xạ và khúc xạ. Đây là những gì làm cho đối tượng này có thể nhìn thấy được. Nhà khoa học trẻ Griffin đã nghĩ ra cách loại bỏ tất cả những hiện tượng này và

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210604

áp dụng nó vào cơ thể của mình. Và kết quả là gì? Tất cả ánh sáng đi vào mắt anh đều bình tĩnh đi qua chúng, không tương tác với các tế bào hình que và hình nón - những cơ quan thụ cảm nhạy sáng trên võng mạc của mắt anh. Vì vậy, bản thân kẻ vô hình khét tiếng Griffin lẽ ra không nên nhìn thấy bất cứ thứ gì xung quanh mình. Và không chỉ con người, mà cả thế giới xung quanh chúng ta. Tất cả những gì còn lại là cảm thấy tiếc cho người mù tội nghiệp. Tuy nhiên, nếu bạn thoải mái phát huy trí tưởng tượng của mình, bạn có thể nghĩ ra cách để giải quyết vấn đề này. Đơn giản nhất là cho phép võng mạc hấp thụ ánh sáng. Nhưng điều này vẫn chưa đủ, bạn còn phải làm cho thấu kính của mắt nhìn thấy được, bởi vì nếu chiết suất của nó bằng chiết suất của không khí, giống như của Wells, thì thấu kính sẽ ngừng tập trung ánh sáng vào võng mạc và khả năng hiển thị của nó sẽ ít có tác dụng. Bạn có thể đi xa hơn và tưởng tượng một thiết bị phức tạp có thể chia đôi ánh sáng chiếu vào nó. Một nửa đi vào mắt người quan sát hoặc thiết bị nhạy sáng khác, nửa còn lại được khuếch đại hai lần và tiếp tục di chuyển, mang lại khả năng tàng hình. Rõ ràng là các nửa được viết đơn giản như một ví dụ. Điều quan trọng là ánh sáng chiếu vào thiết bị phải được phân tích và phần hấp thụ được thay thế bằng ánh sáng phát ra từ một bộ phát đặc biệt. Ánh sáng phát ra phải thay thế ánh sáng bị hấp thụ cả về cường độ lẫn hướng và quang phổ. Tất cả điều này rất có thể sẽ được kiểm soát bằng máy tính. Trong khoa học viễn tưởng của Liên Xô, bạn có thể tìm thấy một siêu anh hùng khác trở thành kết quả của một khám phá khoa học, không chỉ một mà là nhiều siêu anh hùng khác nhau. Đây là Giáo sư Wagner, nhân vật chính trong nhiều câu chuyện của Alexander Belyaev. Chúng tôi mở câu chuyện “Người khách đến từ tủ sách” xuất bản năm 1926, trong bộ truyện “Những phát minh của giáo sư Wagner” và đọc: “Nhưng giáo sư Wagner không ngủ. Ông ấy đã không ngủ từ lâu rồi”.

25

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

nhiều năm kể từ khi giấc ngủ chinh phục. Cuộc đời của anh là một ngày làm việc liên tục. Và anh ấy làm hai công việc cùng một lúc. Mỗi bán cầu não của anh ấy, giống như hai trục quay độc lập, dệt nên hai luồng suy nghĩ cùng một lúc. Một trong số đó là về cấu trúc của nguyên tử. Đây chính là điều Giáo sư Wagner đang nghiên cứu. Và với nửa não còn lại - điều rất hiếm khi xảy ra với anh ấy - anh ấy nghĩ về bản thân mình. Anh ta tóm tắt những sự kiện khiến anh ta trở thành tù nhân một lần nữa. Chiến thắng giấc ngủ đã khiến anh phải trả giá đắt. Tổ chức chính trị bí mật của Đức “Nhà độc tài”, muốn lợi dụng phát minh của ông, đã dụ ông vào mạng lưới của tổ chức này bằng cách lừa dối. Giáo sư Wagner trốn thoát bằng máy bay. Nhưng khi sự cứu rỗi dường như đã đến, khi anh đã nhìn thấy lá cờ đỏ phấp phới phía xa, trên biên giới Nga, một điều đã xảy ra mà anh không ngờ tới nhất. Anh ta đã bị vượt qua bởi một cuộc truy đuổi bất ngờ ”. Rõ ràng đây là đồng nghiệp của Superman. Và người ta có thể đoán trước rằng vị giáo sư sẽ soi sáng xã hội “Nhà độc tài” và tay sai của nó: “Ba tháng đã trôi qua kể từ khi Wagner trở lại nhà tù sau cuộc vượt ngục bất thành. …Và chỉ bây giờ, trong đêm mưa giông bão tố này, anh đã có một khám phá được cho là sẽ mở ra mọi cánh cửa cho anh, giúp anh được tự do - tự do, giống như không có người nào khác trên Trái đất. “Nói sớm hơn làm!” Và đột nhiên anh ta đi thẳng qua phòng, xuyên qua bàn ghế, xuyên qua chúng như thể xuyên qua không khí. … Và đột nhiên Wagner, trước sự kinh hoàng của những khán giả gần như bất tỉnh, bước vào lò sưởi rực lửa, vui vẻ gật đầu với họ lần cuối, đứng giữa ngọn lửa và biến mất trong bức tường lò sưởi. Đi qua các đồ vật và con người, vị giáo sư từ từ du hành khắp nước Đức, khiến những người bình thường phải khiếp sợ với vẻ ngoài của mình. Nhưng kẻ thù đầy xảo quyệt: “Bạn thấy đấy, có chuyện gì vậy: Giáo sư Wagner là người khó nắm bắt và bất khả xâm phạm. Nhưng anh ta cũng phải có gót chân Achilles. Vâng, đó chính xác là gót chân Achilles, người ta có thể nói không chỉ theo nghĩa bóng mà gần như theo nghĩa đen.

TRẺ EM HỌC SINH

Giáo sư Schmidt nói, nếu toàn bộ cơ thể có thể thấm được vật chất, thì rõ ràng là Wagner đã rơi xuống đất… - Vậy đó! Đó là toàn bộ vấn đề! Nếu mặt đất không nhường chỗ dưới chân anh ta, điều đó có nghĩa là lòng bàn chân của anh ta đã được trang bị chất cách điện đặc biệt hoặc thứ gì đó. Những chất cách điện này phải có cấu trúc nguyên tử khác với thân của nó. Schmidt không hiểu làm thế nào mà những chất cách điện hay đôi dép này vẫn xuyên qua được tường. Ông thừa nhận rằng ở phía trước hoặc ở rìa chúng được trang bị một lớp vỏ có khả năng thay đổi thành phần nguyên tử của vật chất gặp phải trên đường đi và làm cho nó có khả năng thấm qua. Nhưng bản thân những đôi dép, hay giày galoshes, dù bạn muốn gọi chúng là gì, đều phải là chất liệu. Đó là toàn bộ vấn đề… - Sao?.. - Rất đơn giản: bạn cần bắt hắn vì tội cao ngạo này! Bao quanh và nắm lấy bàn chân của bạn bằng lòng bàn chân của bạn! Sau đó hắn sẽ nằm trong tay chúng ta! Nếu bắt được galoshes, chúng ta sẽ bắt được Wagner!” Nhưng tất nhiên là họ đã tính toán sai. Chúng ta hãy cùng lắng nghe câu chuyện của chính vị giáo sư: “Họ, những người theo đuổi tôi, cho rằng tôi nên có những tấm cách nhiệt đặc biệt ở đế để không bị rơi xuống đất. Chỉ là bây giờ, trước khi tôi đến nương náu với bạn, họ đã tấn công tôi, hay đúng hơn là vào chân tôi. Họ nắm lấy lòng bàn chân của tôi gần mặt đất. Nhưng tôi đã lún sâu tới đầu gối xuống đất. Tôi cũng có thể đi lên đầu mình và sau đó họ sẽ thấy một cái đầu di chuyển dọc theo mặt đất. Nhưng tôi không có “đế” nào cả. Họ đã sai. Định luật trọng lực không tồn tại đối với tôi. Và tôi đã rời bỏ họ một cách an toàn.” Đã đến lúc ngừng đọc và suy nghĩ xem mọi thứ sẽ trông như thế nào từ quan điểm vật lý. Chúng ta hãy xây dựng công thức bài toán: có một vật thể, trong trường hợp của chúng ta, đó là vật thể của Giáo sư Wagner, không có lực nào tác dụng lên. Không phải trọng lực, cũng không phải phản lực hỗ trợ, cũng như lực cơ học khi tương tác với các vật thể tiếp xúc với nó. Theo định luật thứ nhất của Newton, vật này sẽ chuyển động với tốc độ không đổi. Có thật là Giáo sư Wagner không, thay vì chậm rãi bước sang một bên

KONK URS IM ENI A.P.S AVINA

Liên Xô sẽ bất lực ở một chỗ, cố gắng hít một luồng không khí xuyên qua mình mà không ngừng nghỉ? Tôi thậm chí không nhớ về thức ăn và nước uống. Đáp số: Nó phức tạp hơn một chút. Cơ thể của giáo sư Wagner ở trạng thái bình thường không chỉ bị thu hút bởi Trái đất mà còn bị thu hút bởi Mặt trời, Mặt trăng, trung tâm Thiên hà, các cụm và siêu đám thiên hà. Và nếu giáo sư tại một thời điểm nào đó đồng thời làm cho cơ thể của mình có khả năng thẩm thấu và không bị thu hút bởi các vật thể khác, thì nó thực sự sẽ chuyển động đều và thẳng, nhưng không theo hệ quy chiếu gắn liền với Trái đất hoặc lâu đài Đức nơi giáo sư được giam giữ, mà liên quan đến một “hệ quy chiếu quán tính” không hoàn toàn rõ ràng. Lâu đài quay quanh trục Trái đất trong một ngày, Trái đất quay quanh tâm khối lượng của hệ Trái đất-Mặt trăng trong một tháng và quanh Mặt trời trong một năm. Quỹ đạo của lâu đài trong cùng hệ quy chiếu quán tính này sẽ khác biệt đáng kể so với đường thẳng.

Theo quan điểm của những người theo dõi sự biến mất của giáo sư trong lò sưởi, bức tranh sẽ như thế này: giáo sư tự chiếu vào mình những tia sáng bí ẩn, sau đó ông bắt đầu nghẹt thở, bối rối trong không khí và ngày càng bay lên cao hơn với tốc độ ngày càng tăng. Nếu anh ta cố gắng nói điều gì đó, thì vẫn không thể nghe thấy anh ta - xét cho cùng, cổ họng, phổi, dây thanh âm và mọi thứ khác của anh ta đều bình tĩnh truyền qua không khí mà không làm nó rung động, tức là không gây ra sóng âm thanh. Có lẽ chúng ta không cần đi sâu vào chi tiết khác. Nhưng kết luận lại, mời độc giả tự mình tìm hiểu một thủ thuật đặc trưng khác từ kho vũ khí khoa học viễn tưởng - du hành thời gian. Người ta không hỏi điều này có thể được sắp xếp như thế nào, mà là người du hành thời gian sẽ đến chính xác ở đâu, đã di chuyển tiến hoặc lùi trong chính thời gian này, nhưng lại thấy mình, theo các nhà văn khoa học viễn tưởng, “ở cùng một nơi”. Và quỹ đạo của Siêu giáo sư Wagner sẽ giúp bạn suy nghĩ về câu hỏi này.

$КОНК_{УРС} ИМ_{Е}$ CŨNG KHÔNG $А_{.П.С}$ AVINA

KẾT QUẢ CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA CHO NĂM HỌC 2020/21

Người chiến thắng Kết quả tốt nhất được thể hiện bởi Biryulin Alexey - Moscow, trường 179, lớp 8, Drencheva Maria - Bulgaria, Sofia, Nhà thi đấu toán học Sofia, lớp 9, Nesterenko Alexandra - Moscow, trường 1287, lớp 8, Chasovskikh Ivan - Khimki, khu vực Moscow, trường 14, lớp 7.

Những người đoạt giải Nhóm của MAOU “Academic Lyceum” của thành phố Magnitogorsk (do Moshkin Vitaly Stanislavovich đứng đầu) cũng cho thấy kết quả tốt:

Bogdan Chernov (lớp 10), Ekaterina Kazakova (lớp 9), Lev Gofshtein (lớp 9), Mikhail Korolev (lớp 10), nhóm toán chung của Trung tâm “Thành công” của Quận Gatchina và Trung tâm Phương pháp và Thông tin của Quận Luga, Vùng Leningrad (người đứng đầu Sergey Pavlovich Pavlov): Denis Strekozov (lớp 5), Dorokhova Sophia (lớp 7), Timofey Krylov (lớp 7), Ivan Markin (lớp 8), Daniil Tyukov (lớp 10), Valery Eronin (lớp 10).

Chúc mừng!

Người đoạt giải và đoạt giải sẽ được nhận bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và giải thưởng từ Trung tâm Giáo dục và Khoa học Quốc tế. Ngoài ra, những người tham gia tích cực nhất cuộc thi cũng sẽ nhận được giải thưởng.

…có thể làm được điều gì tốt đẹp với những thứ không bị quy giản về mức độ và thước đo, đặc biệt là trong vật lý? Alessandro Volta

Việc đo độ dài của cung kinh tuyến được thực hiện với độ chính xác cao hơn … là cơ sở cho hệ thống đo lường đơn giản và tự nhiên nhất. Pierre Simon Laplace

…mọi phân tử trong Vũ trụ đều mang dấu ấn đo lường và số lượng rõ ràng như thước đo của kho lưu trữ Paris hay như thước đôi hoàng gia của đền Karnak. James Thư Ký Maxwell

Tôi thường ngạc nhiên vì ngay cả những nhà khoa học rất lỗi lạc cũng ít chú ý đến nguyên lý vĩ đại của sự tương đồng. John William Rayleigh

Trong vật lý… không có chỗ cho những suy nghĩ bối rối… Những người thực sự hiểu bản chất của hiện tượng này hay hiện tượng kia phải nắm được các định luật cơ bản từ việc xem xét các chiều. Enrico Fermi

Hãy cẩn thận! Kiểm tra hệ thống đơn vị khi bạn mở một cuốn sách mới về điện! Ykov Smorodinsky

?

Bạn có quá quen thuộc với kích thước và sự tương đồng?

Dịch các thước đo, phép đo, kích thước là một trong những thuật ngữ đầu tiên gặp phải khi bắt đầu nghiên cứu vật lý. Chúng dựa trên khái niệm ĐO LƯỜNG, đáng để kết bạn chặt chẽ với cả hai như một công cụ cần thiết cho những người có năng lực lời giải bài toán và như một công cụ hỗ trợ cho việc phân tích định tính các tình huống vật lý khác nhau. Để hiểu những gì “kết hợp” với các đại lượng mô tả một hiện tượng, điều gì nằm trong nền tảng của hệ thống đơn vị bạn sử dụng, sự cân bằng giữa trực giác và tính toán là gì - điều này và nhiều điều khác xuất phát từ việc nắm vững phương pháp thứ nguyên và nguyên tắc tương tự liên quan chặt chẽ. Một cuộc trò chuyện về vấn đề này sẽ liên quan đến nhiều vấn đề về Kính vạn hoa. Trong khi chờ đợi, giống như những người cố vấn của chúng ta trong các sử thi, chúng ta hãy phát triển ý thức về tỷ lệ trong vật lý.

Câu hỏi và bài toán

1. Điểm chung giữa một hải lý (bằng 1852 m) và $секундой?^{2.}$ Thời gian khởi hành của tàu là 2 phút và quãng đường đến ga là 2 km. Nếu một vận động viên chạy km đầu tiên với tốc độ 30 km/h thì anh ta nên chạy km thứ hai với tốc độ bao nhiêu?

2. Máy bay có thể bay trong 1 giây không $1 километр?^{4.}$ Các cô gái đã làm một người tuyết, và các chàng trai đã tạo ra một bản sao chính xác của nó, nhưng cao gấp đôi. Khối lượng của bản sao là bao nhiêu nếu khối lượng của bản gốc là 50 kg? Giả sử mật độ của tuyết là $неизменной.^{5.}$ Quả bóng rổ cần được bơm phồng lên 8 pound trên inch vuông (PSI, pound trên inch vuông). Đồng hồ đo áp suất bơm đo áp suất bằng pascal. Thiết bị sẽ hiển thị gì sau $накачки?^{6.}$ Một trong những đặc điểm của giấy viết là mật độ V của nó, để đo lường đơn vị phi hệ thống g $м^{2}$ được sử dụng. Một tờ giấy có mật độ $V ?^{7.}$ tác dụng lên bàn một áp suất là bao nhiêu? Làm thế nào, bằng cách xem xét các chiều, chúng ta có thể xác định sự phụ thuộc của tốc độ của sóng âm trong thanh vào mô đun và mật độ Young $материала?^{8.}$ Vòng kim loại bị xé toạc bởi lực Coulomb khi điện tích của vòng bằng q. Chiếc nhẫn mới có cùng kích thước được làm bằng vật liệu có mật độ lớn hơn 10 lần. Điện tích nào sẽ làm vỡ chiếc nhẫn mới?

9. Đại lượng vật lý nào có thể được đo bằng đơn vị J $Кл^{2}$. Với? 10. Điện thế ở đỉnh khối lập phương được tích điện đều trong toàn bộ thể tích của nó là 12 V. Điện thế ở tâm khối lập phương là bao nhiêu? 11. Cường độ bức xạ điện từ được biểu thị bằng đơn vị nào?

Kinh nghiệm vi mô

Ví dụ, vẽ bằng thước đo góc, góc ở tâm 10 độ, sau đó kiểm tra nó qua kính lúp. Góc có thay đổi không?

Thật thú vị rằng…

… từ xa xưa, người Ấn Độ khi mua đất đã lấy đơn vị đo lường lãnh thổ mà một người có thể đi lại trong một ngày. Vì vậy, người mua thường thuê người chạy nhanh nhất cho mục đích này. … kích thước của nhiều công trình kiến ​​trúc hoành tráng, bao gồm cả Stonehenge nổi tiếng, là bội số của một thước đo chiều dài đặc biệt gọi là thước cự thạch và bằng 82,9 cm. … Sử dụng phân tích thứ nguyên, Galileo lần đầu tiên đi đến kết luận rằng lượng tải trọng an toàn trên một đơn vị thể tích của chùm tia tỷ lệ nghịch với chiều dài của nó. … trong lời giải Galileo bài toán về dao động của con lắc đã chứa đựng những cân nhắc về hành vi tương tự của các hệ như vậy. Nguyên lý tương tự lần đầu tiên được xây dựng dưới dạng rõ ràng bởi Newton và Hooke. … Khái niệm thứ nguyên của một đại lượng vật lý và nguyên lý đồng nhất về thứ nguyên được nhà khoa học người Pháp Jean Fourier sử dụng lần đầu tiên vào năm 1822, sau đó được phát triển và phổ biến bởi James Maxwell. … vào năm 1832, nhà toán học và vật lý người Đức Carl Gauss đã tạo ra một hệ thống đo lường tuyệt đối, đưa ra ba đơn vị cơ bản cho ba đại lượng cơ bản - thời gian, chiều dài và khối lượng. Và vào năm 1881, Đại hội Quốc tế đã được triệu tập tại Paris, nơi lần đầu tiên thành lập các đơn vị đo lường được chấp nhận rộng rãi cho các đại lượng vật lý, đặt tên cho chúng để vinh danh các nhà vật lý vĩ đại.

… cho đến ngày nay, một số đơn vị phi hệ thống vẫn không mất đi sự liên quan và tiện lợi và tiếp tục được sử dụng tích cực - chẳng hạn như “mã lực”, “đơn vị chiều dài thiên văn” và “milimét thủy ngân”. … Max Planck, người đã giới thiệu hằng số nổi tiếng của mình vào năm 1900, đã lưu ý rằng hằng số của ông, cùng với tốc độ ánh sáng và hằng số hấp dẫn của Newton, tạo thành một hệ đơn vị tuyệt đối. Điều quan trọng là các giá trị hiện đại của chuẩn đo lường có liên quan chặt chẽ đến việc xác định và cố định chính xác các giá trị của các hằng số cơ bản. … khám phá cơ bản của vật lý lượng tử - ý tưởng lượng tử hóa - ra đời trên cơ sở phân tích của Niels Bohr về các chiều của các đại lượng vật lý đặc trưng cho chuyển động của một electron xung quanh hạt nhân nguyên tử. …một tàu vũ trụ của NASA tiếp cận Sao Hỏa vào năm 1999 đã bay quá thấp so với bề mặt hành tinh và bốc cháy trong bầu khí quyển của nó. Vụ tai nạn là do một sai lầm đáng xấu hổ: một nhóm chuyên gia đã sử dụng đơn vị đo lường (lực pound) của Anh trong tính toán, còn nhóm kia sử dụng đơn vị đo lường (newton).

Những gì cần đọc trong «Kvant» về thứ nguyên và sự tương đồng

(xuất bản những năm gần đây) 1. “Từ sổ tay giáo viên” – 2014, số 5/6, tr. 18; 2. “Sức mạnh của một Pinocchio” – 2015, số 2, tr. 30; 3. “Các chiều và… quy tắc lượng tử hóa Bohr” - 2016, Phụ lục số 2, tr. 144; 4. “Hãy đón nhận sự bao la, hay Chiều kích giống như Cô ấy” – 2019, Số 2, trang 2; 5. “Tại sao lại làm phẳng hạt, hoặc Về mật độ dòng chảy” - 2019, Số 11, tr. 27; 6. “Tính toán không tính toán” – 2020, số 1, tr. 21; 7. “Sao lùn trắng - sao kết tinh” – 2021, số 5, tr. 17.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

Ô L I P I A D S

Olympic Toán học LXXXIV Moscow dành cho học sinh

Vào ngày 28 tháng 3 năm 2021, Kỳ thi Olympic Toán học Moscow tiếp theo được tổ chức (đồng thời với phiên bản phức tạp của vòng mùa xuân Giải đấu các thành phố, nhiều bài toán đã được phổ biến). Dưới đây là một số bài toán Olympic (lớp mà nó được tổ chức được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán). Tất cả các điều kiện và lời giải có thể được tìm thấy trên trang web olympiads.mccme.ru mmo.

giao thông một chiều. Bộ trưởng Bộ Đường sắt, một nhân vật phản diện bí mật, đã quyết định tổ chức phong trào theo cách mà khi rời khỏi bất kỳ thành phố nào thì sẽ không thể quay lại đó. Để làm được điều này, hàng ngày, bắt đầu từ ngày 1 tháng 6 năm 2021, anh thay đổi hướng di chuyển trên một trong các con đường. Chứng minh rằng anh ấy có thể đạt được mục tiêu của mình vào năm 2022 (tức là trong 214 ngày). A. Zaslavsky

Đã chọn bài toán 1.(8) Nam tước Munchausen tuyên bố rằng với bất kỳ số có hai chữ số nào, bạn có thể thêm hai chữ số nữa vào bên phải để có được một hình vuông hoàn chỉnh (ví dụ: nếu cho số 10 thì cộng 24 và nhận được $1024 32^{2} ).$ Nam tước có đúng không? M. Evdokimov

6.(9) Các số dương a và b thỏa mãn a b a b. Cái nào lớn hơn: a b hay ab? V. Kleptsyn, A. Gusev

2.(8) Mitya đã mua một chiếc bánh tròn có đường kính 36 cm và 13 ngọn nến mỏng cho ngày sinh nhật của mình. Mitya không thích đặt nến quá gần nên anh muốn đặt chúng cách nhau ít nhất 10 cm. Liệu tất cả những ngọn nến có vừa với chiếc bánh không? D. Mukhin

3.(8) Trong hình ngũ giác đều ABCDE, điểm F được đánh dấu - chính giữa CD. Đường trung trực của AF cắt CE tại điểm H. Chứng minh rằng đường thẳng AH vuông góc với đường thẳng CE. A. Blinkov

4.(8) Mỗi ​​ngăn trong số 16 ngăn của hộp 4 u 4 chứa một đồng tiền vàng. Người sưu tập nhớ rằng có hai đồng xu nằm cạnh nhau (nằm cạnh nhau) nặng 9 gam, còn lại - 10 gam. Có thể xác định được tổng trọng lượng tính bằng gam của hai đồng tiền này bằng bao nhiêu lần cân trên một chiếc cân cho thấy tổng trọng lượng? M. Evdokimov

5.(8) Ở một bang nọ có 32 thành phố, mỗi thành phố được nối với nhau bằng một con đường với

7.(9) Các ô của tờ giấy hình vuông 8 và 8 được sơn hai màu. Chứng minh rằng Arseny có thể cắt từ nó dọc theo đường lưới hai hình vuông 2 u 2 không có các ô chung cùng màu. (Các màu khác nhau khi xoay được coi là khác nhau.) L. Popov, A. Gusev

8.(10) Viết một số tự nhiên lên bảng. Nếu bạn xóa chữ số cuối cùng (ở vị trí đơn vị), thì vẫn còn một số khác 0, số này sẽ chia hết cho 20 và nếu chữ số đầu tiên chia hết cho 21. Số nhỏ nhất có thể viết được trên bảng là bao nhiêu nếu chữ số thứ hai của nó không bằng 0? M. Evdokimov

9.(10) Cho một hình thang cân, tổng các cạnh của nó bằng cạnh đáy lớn. Chứng minh góc nhọn giữa hai đường chéo không lớn hơn 60q. A. Blinkov

10.(10) Có một dải ca rô vô tận về một hướng, các ô được đánh số bằng số tự nhiên và một túi đựng mười viên đá. Ban đầu không có dải đá nào trong các tế bào. Bạn có thể làm như sau: – di chuyển viên đá từ túi đến ô đầu tiên của dải hoặc quay lại; – nếu có viên đá ở ô số i thì bạn có thể di chuyển viên đá từ túi sang ô số i 1 hoặc ngược lại.

42

KVA NT 2021/№6

Olympic Vật lý học sinh Moscow 2021

Giai đoạn cuối

lớp 7

1. Thông thường và “Én” (7 điểm) Trên tuyến đường sắt nối thành phố M với trung tâm khu vực T, có (trong số những điểm khác) điểm dừng ở thị trấn Z và làng P. Từ M đến W có hai đường dành cho tàu chạy theo hướng T và từ W đến P có một đường (Hình 1). Khoảng cách từ M đến W

2. Miếng bọt biển của Menger (10 điểm) Hình 2 mô phỏng bản vẽ máy tính từ Wikipedia (tác giả: Niabot),

Hình 2

Hình 1

là 45 km, từ W đến R là 15 km. Bắt đầu từ 17:00 đến 21:00 từ M theo hướng T, tàu điện tốc độ cao “Lastochka” khởi hành cứ sau mười lăm phút, dừng ở phía W, nhưng không dừng ở P, và tàu điện thông thường khởi hành ít nhất mỗi giờ một lần, dừng cả ở W và P. Lastochkas di chuyển với tốc độ trung bình 120 km h và tàu điện thông thường - với tốc độ trung bình 45 km h. Trên đường từ M đến W, Chim én và tàu điện thông thường di chuyển dọc theo những đường đi khác nhau mà không gây cản trở lẫn nhau. Tàu không khởi hành từ W nếu trên đường tới P có thể bị Én vượt qua, đợi ở W một thời điểm thuận tiện để khởi hành (để có thể đến P mà không cản trở Chim Én). Chúng ta có thể giả định rằng việc lên, xuống và chuyển hành khách từ tàu điện này sang tàu điện khác tại các điểm dừng diễn ra trong thời gian ngắn không đáng kể. A. Trong thời gian tối thiểu bạn có thể đến làng P bằng đường sắt, khởi hành từ M trong khoảng thời gian từ 18:00 đến 19:00, trong trường hợp có lịch trình tàu thuận tiện nhất? (3 điểm) B. Vào lúc mấy giờ (giờ, phút) trong khoảng thời gian từ 18 giờ đến 18 giờ 30 thì phải sắp xếp lịch xuất phát của tàu điện từ M để đến P mà không dừng ở W? Vui lòng cung cấp tất cả các giá trị. (4 điểm) P. Kryukov, A. Bychkov mô tả những lần lặp lại đầu tiên của việc xây dựng một fractal có tên là “Menger Sponge”. Ở lần lặp đầu tiên, ba lỗ xuyên qua có tiết diện hình vuông được tạo thành hình lập phương. Trục của các lỗ vuông góc với nhau, vuông góc với các mặt của hình lập phương và đi qua điểm giữa của các mặt. Độ dài cạnh hình vuông nằm trong tiết diện của lỗ bằng 1 3 chiều dài cạnh mặt hình lập phương. Trong lần lặp thứ hai, các lỗ tương tự được tạo thành các khối nhỏ hình thành trên các mặt của khối lớn, v.v. Giả sử có một phôi ở dạng khối lập phương có chiều dài cạnh 1 m, được làm bằng nhựa có mật độ 1000 kg $м^{3}$, cũng như một thiết bị mà bạn có thể tạo các lỗ vuông có kích thước nhỏ tùy ý trong phôi này. Họ quyết định thực hiện lần lặp thứ n của Miếng bọt biển Menger từ khối lập phương. A. Mật độ trung bình của khối ở lần lặp thứ tư (khối cuối cùng trong hình) là bao nhiêu? (4 điểm) B. Hãy tưởng tượng rằng các khoang hình thành ở lần lặp thứ n được lấp đầy bằng nhựa với mật độ 2000 kg $м^{3}$. Mật độ trung bình của khối ở lần lặp thứ n ( n t 0 ) có thể là bao nhiêu? Trong đáp số chỉ ra ranh giới của phạm vi giá trị mật độ có thể có. (2 điểm) C. Chúng tôi không thích miếng bọt biển có màu trắng. Chúng tôi quyết định sơn tất cả các mặt của miếng bọt biển trong lần lặp thứ hai (bao gồm tất cả các mặt bên trong) bằng sơn màu xanh lam, lượng tiêu thụ là 100 g $м^{2}$. Một can chứa 1 kg sơn có đủ cho việc này không? Còn hai lon thì sao? (4 điểm) P. Kryukov, A. Bychkov

44

KVA NT 2021/№6

và được định hướng như trong Hình 6. A. 1) Nếu không có hạt thứ hai và thứ tư, đồ thị của góc $M_{3} t$, xác định vị trí của hạt thứ ba, trông như thế nào theo thời gian trong hai giây chuyển động đầu tiên? (1 điểm) 2) Vẽ đồ thị góc $M_{2} t$, xác định vị trí của hạt thứ hai, theo thời gian trong hai giây chuyển động đầu tiên (có bốn hạt trên vòng). (3 điểm). B. Hạt đầu tiên sẽ ở vị trí nào sau 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động? Cô ấy sẽ trải qua bao nhiêu vụ va chạm trong thời gian này? (2 điểm) C. Có đúng là các góc đặc trưng cho vị trí của các hạt cũng như tốc độ của chúng sau một thời gian T sẽ bằng thời điểm ban đầu? Nếu có thì tìm thời điểm T. (5 điểm) P. Kryukov

2. Xem bài toán F2658 “Bài toán Kvant (8 điểm). 3. Về xe máy điện (6 điểm) Xe máy điện sử dụng pin lithium-ion làm nguồn năng lượng. Với sự trợ giúp của một thiết bị đặc biệt gọi là bộ điều khiển và động cơ, năng lượng điện tích trữ trong pin sẽ chuyển thành công cơ mà không hao hụt. Chúng ta có thể giả sử rằng khi chuyển động với tốc độ không đổi, mọi công cơ học được thực hiện bởi động cơ của xe tay ga chống lại lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương tốc độ của xe tay ga. Mức sạc pin tỷ lệ thuận với năng lượng điện tích trong pin. Khi lái xe máy ở tốc độ 15 km/h trên đường nằm ngang, mức sạc pin giảm từ 80% xuống 70% trong 20 phút. Sẽ mất bao lâu để xảy ra hiện tượng giảm mức sạc pin tương tự khi lái xe với tốc độ 18,9 km/h trên cùng một con đường trên cùng một chiếc xe tay ga của cùng một người như trong trường hợp đầu tiên?

3. Xem bài toán F2659 “Bài toán Kvant (10 điểm).

lớp 9

1. Quả cầu disco (10 điểm) Quả cầu disco là một quả cầu có bề mặt gương gồm hàng trăm hoặc hàng nghìn mặt, mỗi mặt là một tấm gương phẳng nhỏ. Nó thường được treo trên trần nhà bằng một thiết bị quay đều quanh một trục thẳng đứng. Khi quả bóng được chiếu sáng bằng đèn sân khấu, người xem sẽ thấy vô số hình ảnh phản chiếu (“những chú thỏ”) chạy dọc theo sàn, tường và trần của căn phòng (ảnh trong Hình 7). Bóng gương

Hình 7

trở nên phổ biến trong thời kỳ hoàng kim của phong cách âm nhạc disco vào cuối những năm 70 của thế kỷ 20, khi chúng bắt đầu được lắp đặt trong hội trường của các vũ trường và hộp đêm. Cho một quả cầu có bán kính R quay quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm của nó (điểm A trong Hình 8, nhìn từ trên xuống), với n vòng mỗi giây. Khoảng cách từ tâm quả bóng đến bức tường thẳng đứng trùng với trục hoành x bằng H, với H ≫ R. Quả bóng được chiếu sáng bởi một chùm tia song song được tạo thành bởi một đèn chiếu đặt trên tường ở độ cao bằng tâm quả bóng. Tia sáng từ đèn chiếu vuông góc với tường, phương ngang của chùm tia là 2d.

Giải thích. Khi chúng ta nói “công thực hiện chống lại lực cản của không khí”, chúng ta muốn nói rằng công do các lực làm cho xe chuyển động có giá trị tuyệt đối bằng công do lực cản thực hiện.

M. Romashka, P. Kryukov

Hình 8

45

Ô L I M P I A D S

Hãy xem xét những chú thỏ chạy dọc theo bức tường ở độ cao tương đương với ánh đèn sân khấu. A. Giá trị tối đa của tọa độ của chú thỏ $x_{max}$ là bao nhiêu? (2 điểm) B. Xác định vận tốc v x chuyển động của chú thỏ đi qua điểm có tọa độ x. (4 điểm) C. Cho những gương phẳng nhỏ giống nhau phủ trên bề mặt quả bóng có dạng hình vuông có cạnh a ( a ≪ R ). Cho chùm ánh sáng chiếu vào quả bóng có độ phân kỳ nhỏ xác định bởi góc 2M (M ≪ 1). Hãy ước tính giá trị lớn nhất của góc M mà tại đó có thể phân biệt được từng “con thỏ” ít nhất tại một số điểm trên tường. (4 điểm)

Gợi ý. Đối với lời giải, các quan hệ gần đúng sau đây của hàm lượng giác của góc nhỏ D ( D ≪ 1, > D @ rad) có thể hữu ích: sin D | D, cos D | 1, tg D | D.

P. Kryukov

2. Xem bài toán F2657 “Bài toán Kvant (10 điểm) 3. Xem bài toán F2660 “Bài toán Kvant (8 điểm). 4. Mật độ của lớp phủ (6 điểm) Theo các quan điểm hiện có về cấu trúc của Trái đất, dưới lớp vỏ trái đất có độ dày nhỏ có lớp phủ bao gồm đá silicat và kéo dài đến độ sâu khoảng 2900 km, lớp phủ bao quanh lõi ngoài lỏng. Từ độ sâu nông, do áp suất cao, chất rắn của lớp phủ bắt đầu biểu hiện tính chất dẻo nên trong tính toán có thể coi là chất lỏng. Dựa trên việc phân tích dữ liệu về tốc độ lan truyền của sóng địa chấn, các ý tưởng mô hình về sự phân bố áp suất bên trong Trái đất đã xuất hiện. Theo phép tính gần đúng đầu tiên, đồ thị biểu thị sự phụ thuộc của áp suất p vào độ sâu h (tại h Ш 3500 km) bao gồm hai phần tuyến tính (Hình 9), trong khi lực hấp dẫn tác dụng lên một vật thể có khối lượng m tính từ Trái đất ở độ sâu lên tới 3000 km được xác định theo cùng công thức như trên bề mặt: F mg. Chúng ta có thể giả sử rằng gia tốc trọng trường g là 10 m $с^{2}$. Mô tả bằng đồ họa sự phụ thuộc của mật độ vật chất của Trái đất vào độ sâu, tương ứng với phần tỉ lệ thuận trên biểu đồ áp suất. Bao lâu

Hình 9

mật độ có thay đổi tại điểm dừng của biểu đồ áp suất không? A. Bychkov, P. Kryukov

5. Lập kế hoạch (9 điểm) Trên cánh máy bay, từ phía luồng không khí chảy vào nó, chuyển động với tốc độ v (so với cánh), các lực phụ thuộc vào tốc độ v: lực nâng L v, trực giao với tốc độ và lực kéo D v, cùng hướng với tốc độ (Hình 10). Thái độ

Hình 10

L v được gọi là chất lượng khí động học. Trong bài toán này, K v được coi là chuyến bay của tàu lượn (máy bay không có động cơ), trong đó chất lượng khí động học có thể được coi là không đổi, không phụ thuộc vào hướng và độ lớn của tốc độ v. Người ta biết rằng trong không khí đứng yên (so với mặt đất), tàu lượn có thể bay, hạ độ cao, với tốc độ không đổi, do đó độ cao giảm đi sẽ là 20 mét cho mỗi km chuyển động ngang (Hình 11).

Hình 11

47

Ô L I M P I A D S

2. Một cơn gió ngược (đối với bể) thổi, sao cho thành phần nằm ngang của vận tốc của những giọt nước gần mặt đất hóa ra bằng w, và thành phần thẳng đứng bằng u. Khoảng cách $L_{2}$ bồn sẽ di chuyển trước khi dừng lại nếu thời gian chuyển động bằng t? (2 điểm) B. Ở phần này bài toán giả sử bồn không có lỗ, toàn bộ nước mưa rơi vào bồn đều đọng lại trong đó. Trong thời gian xét, nước không tràn đầy bể và không tràn. Không có gió, tốc độ của giọt nước là thẳng đứng. 1) Xác định sự phụ thuộc của vận tốc khung chậu vào thời gian v t trong trường hợp này. (2 điểm) 2) Nếu một bể đi được quãng đường s cho đến khi khối lượng nước trong bể bằng khối lượng bể M thì nó sẽ đi được quãng đường bao nhiêu tính đến thời điểm khối lượng nước trong bể bằng 3M? (3 điểm) Văn học dân gian

2. Vẽ đặc điểm (7 điểm) Trong mạch điện của nguồn điện áp đặc biệt như hình 14, các điốt là -

công suất 3C không được tích điện, dòng điện trong mạch bằng không. Các thông số khác của mạch là $R_{1} 10$ MOhm, $R_{2} 10$ Ohm, E 12 V. Có thể bỏ qua điện trở trong của nguồn và điện trở của dây dẫn. Chìa khóa đã được đóng lại. Xác định dòng điện $i_{1}$ và $i_{2}$ chạy qua các điện trở có điện trở $R_{1}$ và $R_{2}$ tương ứng, một giây sau khi đóng công tắc. M.Romashka

4. Nhìn vào một đồng xu (9 điểm) Ở đáy một bình có độ sâu h, chứa đầy chất lỏng có chiết suất n, tại một điểm có tọa độ (0, h) (hướng của các trục như hình 16) có

Hình 16

Hình 14

lý tưởng (mở ở điện áp gần bằng 0), giá trị emf và điện trở trong lần lượt bằng E 1,5 V và r 1,0 Ohm. Mô tả bằng đồ thị sự phụ thuộc i U (đặc tính điện áp của nguồn), trong đó i là dòng điện phát sinh khi nối với nguồn tải và U là hiệu điện thế giữa cực A và $B: U M_{A} M_{B}$. Dựa trên bài toán A. Zilberman F753

3. Dòng điện trên giây (8 điểm) Trong mạch như hình 15, công tắc K ban đầu mở, tụ C 100 µF được tích điện, và tụ điện

Hình 15

Hình 17

đồng xu S. Người quan sát nhìn thấy ảnh của đồng xu $S_{1}$ tại một điểm có tọa độ (x, y). Tập hợp các giá trị (x, y) cho các góc nhìn khác nhau được hiển thị trên biểu đồ (Hình 17). Sử dụng đồ thị, hãy tìm chiết suất của chất lỏng n và độ sâu của thùng chứa h. P. Kryukov

5. Về giọt nước (12 điểm) bài toán này xem xét tác động của việc giảm nhiệt độ của một giọt nước do sự bay hơi khỏi bề mặt của nó ở áp suất và nhiệt độ gần như phòng.