Tiểu thuyết và hiện thực

36

KVAN T 2021/№7

Tiểu thuyết và hiện thực

S. DVORYANINOV

Bạn có nhớ trong cuốn sách của N.N. “Dunno on the Moon” của Nosov, các nhân vật trong đó có đại diện cho cấu trúc của Mặt trăng không? Họ coi Mặt trăng là rỗng, và do đó Znayka mơ về những chuyến du hành mới: “Sẽ thật tuyệt nếu đóng một con tàu liên hành tinh lớn, mang theo một nguồn cung cấp thực phẩm và không khí đáng kể và sắp xếp một chuyến thám hiểm dài ngày tới Mặt trăng. Chúng ta phải giả định rằng ở lớp vỏ bên ngoài của Mặt trăng có những lỗ hổng dưới dạng hang động hoặc miệng núi lửa đã tắt. Thông qua những lỗ này, người ta có thể thâm nhập vào bên trong Mặt trăng và nhìn thấy lõi trung tâm của nó. Nếu lõi này tồn tại và chắc chắn là có, thì quần short mặt trăng sống trên bề mặt của nó. Có có lẽ là có đủ lượng không khí được bảo tồn giữa lớp vỏ bên ngoài và lõi trung tâm của Mặt trăng, vì vậy điều kiện sống trên bề mặt lõi sẽ khá thuận lợi cho những người thấp bé.” Nhưng để sống trên một Mặt trăng như vậy, những Mặt trăng thấp chắc chắn sẽ cần năng lượng. Làm thế nào bạn có thể có được nó? Hãy tiếp tục những tưởng tượng của Znayka. Mỗi vật khối lượng m nằm ở độ cao h so với bề mặt Trái đất có thế năng $W_{=}^{mgh}$. Tương tự như vậy, mỗi viên đá trên lớp vỏ ngoài của Mặt trăng đều có thế năng so với lõi Mặt trăng. Họ chất đá vào giỏ bằng một sợi dây và quấn sợi dây quanh rôto của máy phát điện - và thế là xong! Giỏ đi xuống, rôto quay và năng lượng điện chạy qua dây dẫn ở những nơi cần thiết. (Trọng lượng cũng hoạt động theo nguyên tắc tương tự.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210703

đồng hồ cổ - thế năng của chúng làm cho cơ chế đồng hồ hoạt động.) Tất nhiên, một giỏ là không đủ; một số giỏ phải được đặt trên một vành đai - giống như một băng tải thông thường (các bước của thang cuốn trong tàu điện ngầm được cố định theo cách tương tự). Bạn sẽ nói: Znayka, Dunno, Mặt trăng rỗng - đây không phải là chuyện nghiêm túc đâu, những tưởng tượng của trẻ con! Nhưng không. Những gì đã nói về việc sử dụng thế năng từ lâu đã được áp dụng trong việc thiết kế ống dẫn nước để nâng người lên núi. Chỉ trong trường hợp này, thay vì đá, người ta sử dụng nước và thay vì giỏ đựng đá, người ta sử dụng một bể chứa dưới cáp treo. Giống như cáp treo thông thường, hai cáp treo nước được nối với nhau bằng dây cáp. Trên đỉnh núi, nước được đổ vào thùng đặc biệt của một trong các xe moóc, còn bên dưới, nước được đổ từ thùng của một xe moóc khác. Trong trường hợp này, sự cân bằng bị xáo trộn và xe phía trên nặng hơn xe phía dưới. Sau đó phanh được nhả ra và rơ-moóc chuyển động: xe nặng có nước đi xuống, xe nhẹ không có nước đi lên. Thế thôi. Những chiếc phễu đầu tiên như vậy được chế tạo cách đây gần một thế kỷ rưỡi, một số vẫn đang hoạt động. Vậy nó có phải là một cỗ máy chuyển động vĩnh viễn không? Tất nhiên là không. Nếu hết nước trên đỉnh núi, đường sắt leo núi sẽ không có gì để cung cấp nhiên liệu. Nhưng hóa ra nước trên đỉnh là do năng lượng của Mặt trời - nước trên mặt đất bốc hơi, dâng lên và rơi xuống dưới dạng mưa hoặc tuyết trên đỉnh núi.

45

TOÁN HỌC

KR UZH OK

Hình 15

Hình 13

I

Hình 16

Hình 14

5. Các tiếp tuyến tại đỉnh A và C với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm P. Khi đó đường thẳng BP đối xứng với đường trung tuyến BM so với phân giác của góc ABC (Hình 14). Đường thẳng BP gọi là đường trung tuyến của tam giác. Bạn có thể đọc về nhiều tính chất thú vị của phương trình đối xứng trong các bài viết xuất sắc [1], [2].

Một ví dụ khó Cuối cùng, chúng ta hãy xem bài toán khó này từ Olympic toàn Nga, trong đó một số đồ thị cổ điển được đan xen cùng một lúc: 6. Trong tam giác ABC (AB BC), điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp, M là trung điểm của cạnh AC, N là trung điểm của cung ABC của đường tròn ngoại tiếp (Hình 15). Chứng minh rằng IMA INB. Vẽ ngay đường trung tuyến IM của tam giác AIC. Còn phân khúc IN thì sao? Đoạn IN có thể là đường trung bình trong tam giác nào? Một gợi ý về hướng tìm kiếm mong muốn có thể là BN là phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC, vì điểm N là trung điểm của cung ABC. Do đó, hãy bổ sung hình vẽ bằng tâm các đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC – các điểm $I_{a}, I_{b}, I_{c}$ (Hình 16). Khi đó các điểm A, B và C trong tam giác $I_{a} I_{b} I_{c}$ là đáy của các đường cao (tại sao?). Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong tam giác $I_{a} I_{b} I_{c}$ đi qua đáy các đường cao, tức là đường tròn chín điểm của tam giác này. Như bạn đã biết, đường tròn chín điểm cũng đi qua trung điểm các cạnh của tam giác. Từ đó ta kết luận điểm N là trung điểm của đoạn $I_{a} I_{c}$. Bây giờ chúng ta có hai tam giác đồng dạng AIC và $I_{a} II_{c}$, có đường trung tuyến IM và IN cho các góc bằng nhau như mong muốn. Đọc xong lời giải ở trên, rất có thể người đọc sẽ phẫn nộ: “Làm sao bạn có thể đoán được lời giải như vậy?” Về vấn đề này, chúng tôi lưu ý rằng bài toán, bản thân nó đã khó, lại là động lực để tạo ra một phương pháp riêng biệt ngoạn mục và hiệu quả lời giải bài toán, là chủ đề của một bài báo hấp dẫn [3].

Bài tập

Trong bài tập đầu tiên, chúng tôi mời người đọc vẽ đường “lời giải” của một trong những hình học cơ bản bài toán đẹp nhất bằng phương pháp của chúng tôi.

1 (bài toán về con bướm). Hai dây cung AB và CD tùy ý được vẽ qua điểm M giữa của dây PQ của đường tròn (Hình 17). Các đoạn PM và AC cắt nhau

46

KVA NT 2021/Số 7

Hình 17

nằm tại điểm E, các đoạn thẳng BD và MQ tại điểm F. Chứng minh EM = MF. Một cách chứng minh theo tinh thần của người Hy Lạp cổ đại được đưa ra trong Hình 18–20. Chiều sâu thẩm mỹ của bài toán này khiến bạn ngày càng tìm kiếm nhiều hơn

Hình 18

Hình 20

Hình 21

Hình 19

lời giải. Một bộ sưu tập lớn các cách chứng minh khác nhau, các biến thể và khái quát hóa hấp dẫn được chứa trong bài viết tuyệt vời [4], bài viết được khuyến khích đọc cho tất cả những người yêu thích hình học!

2. Cho tứ giác nội tiếp ABCD (Hình 21). Các phần kéo dài của các cạnh đối diện của nó cắt nhau tại các điểm P và Q. Gọi K và N là trung điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng tổng các góc PKQ và PNQ bằng 180q. 3. Tiếp tuyến tại điểm A với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt phần kéo dài của cạnh BC vượt quá điểm B tại điểm K (Hình 22); L là trung điểm AC, M là trung điểm đoạn AB. Chứng minh rằng AKM CKL. 4. Trong tam giác cân ABC, từ giữa H của đáy BC, hạ HE vuông góc xuống cạnh AC (Hình 23); M – trung điểm của đoạn HE. Chứng minh rằng các đường thẳng AM và BE vuông góc với nhau. 5. Cho tam giác ABC (Hình 24). Gọi M là trung điểm của cạnh AC và P là trung điểm của đoạn CM. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP cắt cạnh BC tại điểm trong Q. Chứng minh rằng ABM MQP.

Hình 22

Hình 23

Hình 25

Hình 24

47

TOÁN HỌC

Hình 26

Hình 27

KR UZH OK

6. Cho tứ giác nội tiếp ABCD (Hình 25). Khi kéo dài, các cạnh đối diện AB và CD cắt nhau tại điểm P, các cạnh BC và AD tại điểm Q. Chứng minh rằng các phân giác của các góc BPC và BQA cắt nhau trên một đường thẳng đi qua trung điểm AC và BD. 7. Đường thẳng l vuông góc với một trong các đường trung tuyến của tam giác (Hình 26). Các đường trung trực của các cạnh của tam giác này cắt đường thẳng l tại ba điểm. Chứng minh rằng một trong số chúng là trung điểm của đoạn thẳng tạo bởi hai đoạn còn lại. 8. Gọi M là trung điểm cạnh BC của tam giác nhọn ABC; điểm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp (Hình 27); P, Q là đáy các đường vuông góc kẻ từ M lên các cạnh AC và AB. Chứng minh rằng đường trung tuyến ML của tam giác PMQ song song với đường thẳng AO. 9. Trong một đường tròn: nội tiếp tam giác ABC có AB! BC (Hình 28). Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của cung nhỏ và cung lớn AC của đường tròn, M là đáy đường vuông góc kẻ từ điểm Q đến đoạn AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC chia đôi đoạn thẳng BP. 10. Gọi P là điểm tùy ý của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các điểm X và Y lần lượt là hình chiếu của điểm P lên các đường thẳng AB và AC, còn các điểm N, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng XY và BC (Hình 29). Chứng minh rằng PNM 90 q.

Kết luận Trong bài viết, chúng tôi đã thảo luận về độ khó bài toán, đã đưa ra một số cái mới - và tất cả những điều này đều dựa trên một kỹ thuật, dựa trên ý tưởng về chuyển đổi độ tương tự. Bạn có thể đọc về điều này (và nhiều hơn thế nữa!) trong cuốn sách tuyệt vời của I.M. Yaglom “Biến đổi hình học” [6].

Hình 28

Văn học

1. Yu. Blinkov. Symedia. – «Kvant», 2015, số 2. 2. A. Karlyuchenko, G. Filippovsky. Về tiếp tuyến tại hai đỉnh của một tam giác. – https: bài viết hình học.ru symmedian_f_k.pdf 3. A. Polyansky. Từ một khẩu đại bác ở chim sẻ. – «Kvant», 2012, số 2. 4. V. Protasov. Về hai người đi xe đạp và một hố anh đào. – «Kvant», 2008, số 8. 5. A. Spivak. Mười con bướm. – https: bài viết hình học.ru spivak_butterfly.pdf 6. I. Yaglom. Các phép biến đổi hình học. Tập 1. – https: math.ru lib bib-mat-kr 7

Hình 29