Lời giải bài toán M2682—M2685; F2689—F2692

19

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

nâng những quả bóng giấy như vậy. Gia tốc trọng trường trên bề mặt Mặt trăng là $g_{Л} 1,62$ m $с^{2}$ và trên bề mặt Trái đất $g_{З} 9,81$ m $с^{2}$. Ở trạng thái ổn định tốc độ bao nhiêu thì một cục giấy như vậy, được thả từ một độ cao lớn, sẽ rơi gần bề mặt Trái đất? Manh mối. Lực cản của không khí (gần bề mặt Trái đất) tỷ lệ với bình phương tốc độ của quả bóng, mật độ của không khí (1,2 kg $м^{3} )$ và tiết diện của quả bóng. Hệ số không thứ nguyên trong biểu thức của lực này là 0,24 (nếu tất cả các đại lượng khác được biểu thị bằng đơn vị SI). Trên một gói giấy như vậy có ghi: 500 tờ 210 mm u 297 mm, 80 g $м^{2}$. S. Sharikov

F2702. Để đào mương bằng xẻng lưỡi lê (Hình 1), Vasya (khối lượng của anh ta

Hình 1

80kg) dùng chân ấn lên bậc thang (phần trên của lưỡi xẻng cong vuông góc) và khi xẻng dừng lại thì 50% trọng lượng của người đó rơi xuống bậc thang này. Trong trường hợp này, lưỡi xẻng đâm (cắt) nửa lưỡi lê xuống đất - khoảng 15 cm. Để xé lớp đất đã cắt ra khỏi bề mặt của xẻng, bạn cần thực hiện khối lượng công việc tương đương để đưa lưỡi lê xuống đất. Độ dày của “lát” cắt trung bình là 5 cm. Tính công cần thực hiện để đào một cái hố hình lập phương có cạnh 1,5 m. Đất có độ chặt trung bình U 1,5 g $см^{3}$. Phần nào của công việc này sẽ được yêu cầu để phá hủy tính toàn vẹn của đất và phần nào sẽ được yêu cầu để nâng “mảnh” lên ngang với mép của hố? Chúng ta sẽ coi xẻng là không trọng lượng. V. Lopatin

“QUANTA”

F2703. Không khí trong xi lanh $длиной^{l}$ có thể được nén đẳng nhiệt bằng mẫu dài nhẹ - Hình 2 ki (Hình 2) cho đến khi chiều dài cột không khí trong xi lanh bằng l 3 (với lực nén lớn hơn, nút bị đẩy ra khỏi xi lanh khi lực dừng lại). Sau lần nén tối đa này, không khí trong xi lanh được làm nóng từ từ. Không khí phải được làm nóng đến nhiệt độ tối thiểu nào để nút bật ra hoàn toàn khỏi hình trụ? Nhiệt độ ban đầu của không khí trong khí quyển là $T_{0} 300$ K. Xét rằng lực ma sát cực đại tác dụng lên phích cắm tỷ lệ thuận với độ sâu ngâm của nó trong bình. Trọng lực có thể được bỏ qua. V. Manukyan

F2704. Một ống nhựa thẳng, có thành trong, hở ở hai đầu, có mặt cắt ngang hình tròn bên trong. Giữ ống thẳng đứng, một đầu của nó được nhúng vào thùng thủy ngân và ở vị trí này, lỗ dưới của ống đã được bịt lại. Thủy ngân không làm ướt thành ống. Sau đó, người ta nâng cái ống lên, giữ nguyên vị trí thẳng đứng và trong đó còn lại một cột thủy ngân dài 20 cm. Giữ đầu hở của ống phía trên thùng, ống được quay từ từ 180° và lúc này đầu hở của nó ở trên bề mặt thủy ngân. Cột thủy ngân vẫn ở gần cuối ống (nay là đỉnh). Áp suất khí quyển bên ngoài 760 mm Hg. Điều 2, hệ số căng bề mặt của thủy ngân V 0,4 J $м^{2}$ mật độ của thủy ngân U 13600 kg $м^{3}$. Chiều dài của ống L là bao nhiêu và đường kính D tối đa của lỗ bên trong ống là bao nhiêu? V.Sao Thuỷ

Lời giải bài toán M2682–M2685, F2689–F2692 M2682. Cho sáu số thực $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} x_{6}$. Với mỗi bộ ba số khác nhau từ những số này

34

KVAN T 2022/Số 4

chính xác bằng 112,5q và 22,5q. Chứng minh rằng trong tam giác này các đường cao AH, đường trung tuyến BM và đường phân giác CP cắt nhau tại một điểm. Bằng chứng. Giả sử đường cao AH và đường phân giác CP cắt nhau tại điểm Q (Hình 12). Hãy chứng minh rằng trung vị BM

Hình 10

Bổ đề về ba đường phân giác KP là đường phân giác ngoài thứ hai. Từ đó xây dựng: ta nối các điểm A, K, P. Cho AKP D. Qua điểm K tạo thành một góc D với KP ta vẽ đường thẳng t cắt tia AP tại đỉnh B. Ta có KAB 180 q A. Khi đó cũng có một góc A. Qua đỉnh A tạo một góc bằng A ta vẽ tia tới cạnh AB. Nó cắt đường thẳng t tại đỉnh bị thiếu C. Bài toán 10 (L. Carroll). Trên các cạnh AC và AB của tam giác ABC, dựng các điểm F, N sao cho đoạn FN song song với cạnh BC và thỏa mãn đẳng thức BN CF BC. Lời giải. Giả sử các điểm F và N như vậy được xây dựng và cũng cho FN || BC, x y a (Hình 11). Phân tích cho thấy rằng nếu chúng ta tìm thấy

Hình 11

Nếu trên BC có điểm T sao cho CT y thì BT x. Vì ’ CFT là cân (CF CT y) nên 1 2. Nhưng 2 3 (nội bộ nằm ngang với các đường thẳng song song FN và BC). Tương tự, 4 5 ( BN BT x ) và 5 6 ( FN || BC ). Khi đó FT và NT là hai đường phân giác ngoài của AFN. Theo bổ đề, AT trùng với phân giác trong của góc A trong tam giác AFN. Hãy chuyển sang xây dựng. Vẽ đường phân giác AT của ABC. Trên cạnh CA, chúng ta đặt đoạn CF CT và trên cạnh BA - đoạn BN BT. Chúng tôi kết nối F và N. Đoạn FN là đoạn bắt buộc. Bài toán 11. Trong tam giác ABC, giá trị các góc tại đỉnh A và B tương ứng

Hình 12

đi qua Q. Từ ’ AHB ta có HAB 90 q 22,5 q 67,5 q. Hãy tiếp tục CA vượt quá điểm A. Khi đó DAB 180 q 112,5 q 67,5 q. Trong AHC, đoạn CP trùng với phân giác trong AB – với phân giác ngoài. Điều này có nghĩa là, theo bổ đề về ba đường phân giác, HP là đường phân giác ngoài thứ hai và AHP BHP 45 q. Nhưng cũng có ACB 45 q ( 180 q 112,5 q 22,5 q ). Do đó APHC là hình thang. Theo cái gọi là bổ đề hình thang (giao điểm của các đường chéo, giao điểm của phần kéo dài của các cạnh bên và trung điểm của các đáy của bất kỳ hình thang nào nằm trên cùng một đường thẳng), tia BQ đi qua giữa AC - điểm M. Và điều này có nghĩa là đường cao AH, đường trung tuyến BM và đường phân giác CP cắt nhau tại một điểm - điểm Q. Bài toán 12 (D. Shvetsov). Các đường phân giác AL và BK của tam giác vuông ABC ( C 90 q ) cắt nhau tại điểm I, Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CKL. Chứng minh rằng QI A AB. Bằng chứng. Vì ‘KCL là hình chữ nhật nên điểm Q là trung điểm của KL. Hãy thực hiện KN A AB và LT A AB (Hình 13). Rõ ràng CK KN và CL LT (bất kỳ điểm nào trên đường phân giác đều cách đều hai cạnh). Sau đó

Hình 13

36

KVAN T 2022/Số 4

Hình 2

Hình 1

nó là gần đúng và không chính xác. Bây giờ bạn, giống như một cậu học sinh ngoan ngoãn, vẽ tất cả các lực (Hình 1, a), viết các phương trình: “tổng lực theo chiều ngang”, “tổng lực theo phương thẳng đứng” và “tổng mô men so với trọng tâm” đều bằng 0. Và - nỗi kinh hoàng của nỗi kinh hoàng - bạn có ba phương trình và bốn ẩn số. Các trình biên dịch của bài toán có một cách để giải quyết tình huống này - “bóp nghẹt” một ẩn số, trong trường hợp này là tuyên bố rằng không có ma sát ở điểm tiếp xúc phía trên: hệ số ma sát P 0 (Hình 1, b). Đương nhiên, điều này làm tắt một trong các lực, nhưng bạn đã thấy ở đâu một bức tường không có ma sát? Nhân tiện, rõ ràng nếu bạn khai báo P 0 ở điểm thấp nhất thì có thể nguy hiểm đến tính mạng. bài toán này là một trong nhiều “không xác định tĩnh bài toán”. Đây là tên gọi của bài toán thống kê, trong đó số lượng ẩn số lớn hơn số lượng phương trình. Ở trường, họ thường xem xét các thống kê bài toán phẳng - chỉ vì hình ảnh đối với họ rất dễ vẽ trên một bề mặt phẳng: trên giấy, bảng hoặc màn hình. Trong những bài toán như vậy có ba phương trình - hai phương trình về tổng lực dọc theo trục tọa độ và một phương trình về tổng mô men. Khi rảnh rỗi, hãy nghĩ xem sẽ có bao nhiêu phương trình cho thống kê bài toán ba chiều. Rõ ràng là trong cuộc sống thực, bất kể vật thể được làm gì, bất kể chúng được đặt ở vị trí nào, cuối cùng thì mọi lực đều có ý nghĩa nào đó. “Tính không thể giải quyết được” của bài toán này phát sinh do chúng ta đã bỏ qua điều gì đó, nhưng đối với lời giải chúng ta cần tính đến “điều gì đó” này. Nhưng hãy nhớ - nếu chúng ta tính đến “thứ gì đó” này và bài toán nhận được lời giải, thì điều này có nghĩa là chúng ta đã giải quyết bài toán này chỉ trong phép tính gần đúng này. Trong trường hợp của chúng tôi, “cái gì đó” là sự biến dạng của các phần tử hệ thống. Khi xem xét bất kỳ bài toán nào khác hoặc ngay cả khi tăng yêu cầu

Hình 3

Hình 4

Để đạt được độ chính xác lời giải có thể cần phải tính đến những điều khác. Hãy xem một ví dụ đơn giản và sau đó quay lại cầu thang của chúng ta. Để dầm treo trên hai dây cáp và bạn cần tìm lực căng của chúng (Hình 2). Bài toán tầm thường: không có lực ngang nên có hai phương trình và hai ẩn số. Chúng tôi gắn sợi cáp thứ ba (Hình 3) và… bộ phận bảo vệ xuất hiện. Chúng ta hãy thử tính đến các biến dạng - nhưng của ai? Biến dạng của dây cáp trong trường tuân theo định luật Hooke nhưng không thể tính được biến dạng của dầm trong trường. Vì vậy, chúng tôi sẽ giới hạn ở dây cáp; biến dạng của chúng được thể hiện trong Hình 4 một cách có điều kiện ở dạng lò xo. Chúng ta sẽ cộng sáu đại lượng đã biết: độ dài ban đầu và các hệ số trong định luật Hooke, ba ẩn số: độ dài cuối cùng và ba phương trình: sự phụ thuộc của độ dài dây vào lực căng, tức là các phương trình của định luật Hooke, nhưng không ở dạng F kx, mà ở dạng $L L_{0} N k$, trong đó $L_{0}$ là độ dài ban đầu, N là lực căng, k là hệ số độ cứng. Tuy nhiên, giống như chúng ta đã thiếu một phương trình, hiện tại chúng ta vẫn còn thiếu nó. Bạn có thể thấy một phương trình khác trong hình không? Các phương trình loại này được gọi là phương trình tương thích biến dạng. Quả thực, sự biến dạng của các phần tử kết cấu có mối liên hệ nào đó; kích thước của các phần tử kết cấu không thể tùy ý. Ví dụ, nếu các điểm gắn của các dây cáp trên dầm nằm trên cùng một đường thẳng thì chúng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng, còn nếu biến dạng nhỏ thì các dây cáp song song và chiều dài cuối cùng có liên hệ với nhau bằng một phương trình tầm thường. Đây sẽ là phương trình thứ bảy mà chúng ta còn thiếu. Bài toán cũng có thể giải được đối với những biến dạng lớn, chỉ là lời giải sẽ dài hơn. Chúng ta cũng có thể xem xét một phạm vi rộng các hệ số độ dài và độ cứng ban đầu, và trong trường hợp này, chúng ta có thể viết một chương trình sẽ treo chùm tia trên cáp trực tiếp trên màn hình và cho chúng ta thấy hành vi khi thay đổi các giá trị ban đầu.

39

Ô L I M P I A D S

nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau.) K. Knop

3. (8) Có phải từ bất kỳ tứ giác lồi nào người ta cũng có thể cắt được ba bản sao của tứ giác này không? A.Yuran

4. (9) Mỗi ​​số trong chín số tự nhiên n, 2n, 3n,…, 9n viết chữ số đầu tiên từ trái sang. Đối với một số tự nhiên n, có thể có không quá bốn chữ số khác nhau trong số chín chữ số được viết ra không? A.Tolpygo

5. (9) Bộ sưu tập của Sasha bao gồm đồng xu và hình dán, và có ít xu hơn hình dán, nhưng vẫn có ít nhất một. Sasha đã chọn một số dương t nào đó! 1 (không nhất thiết phải là số nguyên). Nếu anh ta tăng số xu lên t lần mà không thay đổi số lượng nhãn dán thì bộ sưu tập của anh ta sẽ có 100 vật phẩm. Thay vào đó, nếu anh ta tăng số lượng nhãn dán lên t lần mà không thay đổi số xu thì anh ta sẽ có 101 vật phẩm. Sasha có thể có bao nhiêu nhãn dán? Tìm tất cả đáp số có thể và chứng minh rằng không có ai khác. A. Galochkin

6. (9) Một số ô của bảng 100 và 100 được sơn màu đen. Trong tất cả các hàng và cột có ô đen thì số của chúng là số lẻ. Ở mỗi dòng có ô đen, chúng ta sẽ đặt một chip màu đỏ vào ô đen ở giữa. Ở mỗi cột có ô đen, chúng ta sẽ đặt một chip xanh vào ô đen ở giữa. Hóa ra tất cả các chip màu đỏ nằm ở các cột khác nhau và các chip xanh nằm ở các hàng khác nhau. Chứng minh rằng có một ô chứa cả chip xanh và chip đỏ. B.Frenkin

7. (10) Trong năm nút giấy ca-rô thông thường bất kỳ, chắc chắn sẽ có hai nút, đoạn giữa cũng là một nút giấy ca-rô. Số lượng nút lưới tối thiểu của các hình lục giác đều (Hình 3) phải được lấy để

Hình 3

Trong số đó phải có hai, đoạn giữa đoạn nào cũng là nút của lưới này? A. Kulygin

8. (10) Cho một đa thức bậc 2022 với các hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. Số nghiệm lớn nhất mà nó có thể có trong khoảng 0;1 là bao nhiêu? A. Kanel-Belov

9. (11) Trong hệ tọa độ Descartes (có cùng tỷ lệ dọc theo trục x và y), một đồ thị của hàm mũ $y 3^{x}$ đã được vẽ. Sau đó trục y và tất cả các dấu trên trục x bị xóa. Tất cả những gì còn lại là đồ thị của hàm số và trục x không có tỷ lệ và dấu 0. Làm cách nào bạn có thể khôi phục trục y bằng la bàn và thước kẻ? M. Evdokimov

10. (11) Con tàu vũ trụ nằm trong một nửa không gian cách ranh giới của nó một khoảng a. Phi hành đoàn nhận thức được điều này nhưng không biết phải di chuyển theo hướng nào để đến được mặt phẳng ranh giới. Tàu vũ trụ có thể bay trong không gian theo bất kỳ quỹ đạo nào, đo chiều dài của quãng đường đã đi và có cảm biến đưa ra tín hiệu khi đạt đến ranh giới. Liệu một phi thuyền có thể được đảm bảo đến được biên giới, bao phủ một con đường dài không quá 14a không? M. Evdokimov

11. (11) Trong 12 giác lồi, mọi góc đều bằng nhau. Được biết, độ dài của khoảng mười cạnh của nó bằng 1, và chiều dài của một cạnh nữa bằng 2. Diện tích của 12 cạnh này có thể là bao nhiêu? M. Evdokimov

12. (11) Một đường chéo được vẽ trong một hình thang cân. Một con bọ bò dọc theo đường viền của mỗi hình tam giác thu được. Tốc độ di chuyển của bọ cánh cứng là không đổi và giống hệt nhau. Bọ cánh cứng không thay đổi hướng mà chúng di chuyển xung quanh đường viền của chúng và dọc theo đường chéo của hình thang, chúng bò theo các hướng khác nhau. Chứng minh rằng với mọi vị trí ban đầu của bọ cánh cứng, chúng sẽ gặp nhau vào một ngày nào đó. P. Borodin

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi N. Panyunin