Kvant 2022, số 6 · Trang

8

KVANT 2022/№6

lần lượt nhấn số lẻ và số chẵn tối thiểu có thể. Chúng tôi để lại cho độc giả cách chứng minh hình thức như một bài tập không khó lắm. Do đó, chúng ta có thể giả định rằng bài toán 2 đã được chúng tôi giải quyết hoàn toàn - cả đáp số và lời giải hóa ra đều khá đơn giản. Bây giờ chúng ta thử khám phá câu hỏi về tính nội truyền theo một hướng khác. Chúng ta thấy rằng trong chuỗi từ Ví dụ 2, xác suất thắng của p A f B, p B f C và p C f A đều bằng 5 9, có nghĩa là mức hoàn trả trung bình khá nhỏ - mỗi bộ đánh bại bộ tiếp theo 5 lần trong tổng số 9, nhưng thua 4 lần. Chúng tôi muốn học cách giành chiến thắng càng nhiều càng tốt - vậy tất cả xác suất chiến thắng trong một chuỗi có thể vượt quá 1 2 là bao nhiêu? Ví dụ: có thể trong một chuỗi không chuyển tiếp, mỗi bộ có thể mạnh ít nhất gấp đôi so với bộ tiếp theo, tức là bạn thắng thường xuyên gấp đôi số lần bạn thua không? Đáp số là tích cực cho câu hỏi này. Và trên thực tế, trong tập lập phương của Efron (ví dụ 3) mỗi khối có đúng hai lần

mạnh hơn chuỗi tiếp theo, vì xác suất thắng trong chuỗi này luôn là 2 3. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng điều này chỉ có thể thực hiện được vì chuỗi Efron bao gồm bốn viên xúc xắc. Đối với ba hình khối, điều này là không thể. Bài toán 3. Cho ba con xúc xắc sáu mặt A, B và C. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số $p A^{f} B, p B f C$ và p C f A không vượt quá 7 12. Hoặc có thể tồn tại một chuỗi nội động mà mỗi bộ mạnh hơn bộ tiếp theo ba lần? Hoặc thậm chí mạnh hơn năm lần? Nhưng đáp số đối với hai câu hỏi này hóa ra là phủ định, bất kể độ dài của chuỗi và kích thước của các bộ số.

Văn học

1. H. Steinhaus, S. Trybula. Về một nghịch lý trong xác suất ứng dụng. – Bò. Học viện. Polon. Khoa học, 7 (1959), tr.67–69. 2. M. Người làm vườn. Tic-tac-toe. – M.: Mir, 1988.

(Còn tiếp)

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Bạn có thể đăng ký tạp chí «Kvant» từ bất kỳ số nào tại bất kỳ bưu điện nào. Chỉ mục đăng ký của chúng tôi trong danh mục “Báo chí $России»^{–} 90964.$”. Bạn có thể mua tạp chí «Kvant» trong cửa hàng “Sách toán học” của nhà xuất bản MCNMO (địa chỉ cửa hàng trực tuyến: biblio.mccme.ru), cũng như tại các hiệu sách ở Moscow “Biblio-Globus”, “Young Guard”, “Moscow House of Books” và trong tòa soạn tạp chí. Kho lưu trữ các số đã xuất bản của tạp chí «Kvant» có sẵn trên trang web http://kvant.ras.ru

quán bar của vợ-Luca

TỪ LỊCH SỬ KHOA HỌC

D.ZLATOPOLSKY

MỘT THIẾT BỊ ĐẾM CŨ – còn gọi là “gậy Napeer” – được mô tả trong nhiều nguồn. Thiết bị này, được mô tả lần đầu tiên trong cuốn sách “Rabdology” (“Rabdologi seu Numerationis per Virgulas libri Duo”) của nam tước người Scotland và người đam mê toán học John Napier (nhân tiện, là người đầu tiên đề xuất khái niệm logarit), xuất bản năm 1617, giúp người ta có thể nhanh chóng thu được tích của một số có nhiều chữ số bằng một số có một chữ số. Nó bao gồm các thanh hình chữ nhật (Hình 1); ở đầu các thanh có một dấu hiệu

Các que có các chữ số của số nhân được đặt sao cho $число^{1}$ này được thể hiện ở phần trên và một que phụ nằm ở bên trái của chúng (Hình 3). Sau đó, hàng tương ứng với số nhân trên thanh phụ được tô sáng. Kết quả được xác định như sau.

Hình 3

Hình 1

Chữ số này chữ số kia được viết, bên dưới viết các cặp chữ số cách nhau bằng dấu gạch chéo. Tất nhiên, bạn đã hiểu những con số trên que tính là gì. Ví dụ: trên một cây gậy có số bảy, đây là các chữ số của tích của số 7 nhân 2, 3, …, 9. Các cây gậy khác cũng có cấu tạo tương tự. Thiết bị còn kèm theo một cây gậy có số 2, 3, …, 9 (Hình 2). Hình 2 Hãy gọi nó là “phụ trợ”. Kết quả của phép nhân được xác định như thế nào? Hãy xem một ví dụ về việc xác định tích của số 5619 với 5.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220603

Chữ số cuối cùng của tích – 5 – bằng số dưới dấu gạch chéo ở que ngoài cùng bên phải. Số áp chót là tổng của số phía trên vạch ở que ngoài cùng bên phải - 4 - và số ở dưới vạch ở vạch áp chót - 5, tức là 9. Các số còn lại được xác định tương tự (từ phải sang trái): 0 + 0 = 0, 3 + 5 = 8, 2 (chữ số đầu tiên của kết quả). Toàn bộ sản phẩm bằng 28095. Tất nhiên, có những trường hợp khi xác định chữ số tiếp theo, đơn vị được chuyển trong đầu sang chữ số liền kề bên trái, trong đó nó cũng cần được tính đến (ví dụ: kiểm tra điều này đối với trường hợp nhân số 8365 với 8). Một nhược điểm đáng kể của gậy Napier là khi xác định chữ số tiếp theo của tích

1 Tất nhiên, bộ này phải có nhiều que có cùng số ở trên cùng.

19

TỪ

CÂU CHUYỆN

TRÊN U KI

Hình 4

thêm các số trong đầu, thường tính đến việc chuyển từ vị trí bên phải và ghi nhớ tổng. Vào những năm 80 của thế kỷ 19, kỹ sư người Pháp Henri Genay, theo gợi ý của nhà toán học Edouard Luc, đã tự động hóa các phép tính này. Thiết bị này có tên là “Thanh Zhenay-Luc”, được hiển thị trong Hình 4. Nó bao gồm một loạt các thanh gỗ hẹp, trên các cạnh dài có khắc các con số và hình tam giác tối. Thiết bị này hoạt động như thế nào? Trước khi trả lời câu hỏi này, hãy giải thích lý do tại sao nhiều con số lại nằm trên đó theo cách này và những hình tam giác tối này là gì. Hãy xem xét nhân một số có 10 chữ số với một số có một chữ số, giả sử rằng tất cả các chữ số của số bị nhân đều khác nhau, ví dụ: 2607194385. Vì kết quả có thể có 11 chữ số nên chúng ta sẽ tạo một bảng có 11 bảng riêng biệt - đây sẽ là các “thanh” của chúng ta.

Ở trên cùng của các tấm, chúng tôi chỉ ra các số tương ứng của số bị nhân (Hình 5). Từ nay về sau chúng ta sẽ gọi tấm ngoài cùng bên trái là tấm “đế”. Hãy chia nó thành hai cột. Trong cột đầu tiên của bảng cơ sở, chúng tôi sẽ cung cấp 8 ô với các chữ số nhân có thể có (2–9) và trong cột thứ hai cho mỗi chữ số, chúng tôi sẽ ghi lại tất cả các giá trị có thể có của chữ số đầu tiên của tích. Chúng có thể là gì, những con số đầu tiên này? Khi nhân với một chữ số $число^{n}$, chữ số đầu tiên của sản phẩm có thể bằng $1, 2, …,^{n}$ – 1. Hãy viết kết quả này vào bảng (các số màu xanh), cũng tính đến số 0 (sản phẩm mong muốn có thể có 10 chữ số). Trong mỗi thanh máy tính bảng, ngoại trừ thanh cơ sở bên trái, chúng ta cũng viết các giá trị có thể có của số đơn vị trong tích của số ở phần trên của nó với số tương ứng trong bảng cơ sở. Số lượng đơn vị tối thiểu (không tính đến khả năng chuyển từ chữ số bên phải) bằng

20

Hình 5

KVANT 2022/№6

trên chữ số cuối cùng của sản phẩm được chỉ định và được đánh dấu màu đỏ trong bảng. Chúng ta cũng hãy tính đến phần chuyển tiếp, lưu ý rằng khi nhân $на^{b}$ trong bảng cơ sở, nó có thể bằng $1, 2, …,^{b}$ – 1 (hãy đảm bảo điều này!). Nếu số tiền, tính đến khoản chuyển khoản, có hai chữ số, chúng tôi sẽ chỉ ghi lại những số một. Bây giờ bạn có thể tiến hành tính toán các sản phẩm. Giả sử chúng ta đang tìm tích của 2607194385 và 4. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ quan tâm đến một phần của toàn bộ bảng trong Hình 5, liên quan đến số 4 trên tấm đế (Hình 6). Hình 6

Chữ số cuối cùng của tích bằng 0 và hai chữ số đó được chuyển sang bảng liền kề. Nên dùng số 4 (2 + 2): do chuyển hai nên xảy ra sự dịch chuyển xuống hai vị trí. Số 4 sẽ là chữ số thứ hai của kết quả tính từ bên phải. Trong trường hợp này, bộ ba cũng sẽ được chuyển sang chữ số có nghĩa nhất liền kề. Nó phải sử dụng số 5 (2 + 3). Đây sẽ là chữ số thứ ba từ bên phải của sản phẩm mong muốn. Ở chữ số tiếp theo, tính đến việc chuyển một thì chữ số tiếp theo là 7 (6 + 1). Tiếp tục di chuyển từ phải sang trái, tính đến khả năng chuyển khoản, chúng ta nhận được các số, trong Hình 6 chúng được khoanh tròn màu đỏ. Vậy kết quả là 10428777540. Thật ấn tượng phải không? Nhưng đó không phải là tất cả. Có thể tính đến việc chuyển khoản một cách tự động thay vì phải thực hiện tính toán và vẽ mũi tên mỗi lần như chúng tôi đã làm không? Hóa ra là có thể! Điều này đã được Henri Zhenai nhận ra. Các mũi tên và hình tam giác màu tối trên các thanh thực hiện chính xác việc chuyển giao này. Nhìn vào Hình 4. Ví dụ, mũi tên tam giác trên khối có số 6, nằm đối diện với số 7 ở tấm đế, có tính đến việc chuyển 4 sang chữ số bên trái. Trên thanh có số 3, nằm đối diện với số 6 trong bảng cơ sở, có hai mũi tên hình tam giác, vì cả hai đều mang số 1 và số 2 có thể xuất hiện ở chữ số bên trái. Để làm ví dụ về việc áp dụng tất cả những điều trên, hãy xem xét việc tính tích của 7569 và 4 bằng cách sử dụng thanh Zhenay (Hình 7). Di chuyển dọc theo hướng mũi tên tam giác, chúng ta nhanh chóng nhận được kết quả là 30276.

22

KVANT 2022/№6

Bảng 2

Kết quả chung cuộc: thương là 139, số dư là 4. Đối với các số có số chữ số lớn hơn thì mọi cách suy luận đều tương tự. Hình 9 minh họa ví dụ chia số 536027

Bảng 3 x 4 (chỉ hiển thị một đoạn thanh liên quan đến phép chia cho 4). Kết quả: thương là 134006, dư 3.

Hình 9

Đối với số bị chia có ba chữ số, ví dụ 838, hai chữ số đầu tiên của thương được xác định tương tự, đây là 13 và số dư là 5. Trong cột số 8 ở hàng cuối cùng, chúng ta có - số: 9; – Số dư: 4.

Ngoài các công cụ nhân và chia, còn có một thiết bị để thực hiện các phép tính tài chính. Nó giúp tính toán số tiền sẽ được ngân hàng ghi có trong một ngày với một mức lãi suất cụ thể. Số tiền lãi suất hàng ngày thu được, khi nhân với số ngày sử dụng thanh nhân, sẽ cho ra tổng số tiền cho tất cả các ngày. Sự phổ biến của các quán bar Genay-Luc rất lớn nhưng chỉ tồn tại trong thời gian ngắn; vào đầu thế kỷ XX chúng được thay thế bằng các thiết bị tính toán cơ học - máy cộng. Như người ta nói, tiến bộ công nghệ không thể bị ngăn cản…

VẤN ĐỀ BÓNG ĐÁ

(trong một lớp) và có hình kim tự tháp với hình vuông ở đáy.

Nhà toán học người Pháp Edouard Lucas được biết đến với công trình về lý thuyết số. Ví dụ, một trong những tiêu chí đánh giá tính nguyên tố của số Mersenne mang tên ông, tức là các số có dạng $2^{n} - 1, где^{n}$ – số tự nhiên. Lucas đã chứng minh số nguyên tố $2^{127} - 1$; trong nhiều thập kỷ nó vẫn là số nguyên tố lớn nhất mà khoa học biết đến. Trong Chiến tranh Pháp-Phổ (1870–1871), Luca làm lính pháo binh. Có lẽ chính vào thời điểm đó, bài toán tiếp theo đã xuất hiện trong đầu anh ấy.

Tìm số viên đạn có thể xếp thành hình vuông

Bài toán dễ dàng biểu diễn lại bằng ngôn ngữ của phương trình Diophantine.

Tìm tất cả $натуральные^{k,} n$ sao cho

$k (^{k} + 1 ) ( 2^{k} + 1 ) = n^{2}. 6$

Hai chiếc $решения:^{k} 1,^{n} 1 и^{k} 24,^{n} 70$ đã được chính Luke tìm thấy. Tuy nhiên, bài toán chỉ được giải hoàn toàn vào năm 1918 bằng cách sử dụng bộ máy hàm elip: người ta đã chứng minh rằng không có lời giải nào khác. N. Bàn Vân Ninh

Kinh nghiệm là thứ mà chúng ta đạt được bằng thực nghiệm, sau khi học được từ kinh nghiệm rằng chúng ta không cần phải có được trải nghiệm này. Johann Peter Eckermann

Các nhà toán học cũng giống như người Pháp: bất kể họ được nói gì, họ sẽ dịch mọi thứ sang ngôn ngữ của mình và khi làm như vậy họ sẽ đưa ra một điều gì đó khác biệt. Johann Wolfgang Goethe

Trên đời có những chuyện nghiêm trọng đến mức người ta chỉ có thể nói đùa về chúng. Niels Bohr

Bằng cách nào đó, chúng ta không biết cách làm những việc nghiêm túc nhất, đồng thời cười đùa, bởi vì điều này làm cuộc sống trở nên sinh động và hữu ích rất nhiều! Peter Kapitsa

Nếu không mắc lỗi thì bạn giải quá đơn giản bài toán, và đó là một sai lầm lớn. Frank Wilczek

Các nhà vật lý có thói quen lấy ví dụ đơn giản nhất của một hiện tượng và gọi nó là “vật lý”, và để lại những ví dụ phức tạp hơn để các ngành khoa học khác xé nát… Richard Feynman

Khoa học được chia thành tự nhiên, không tự nhiên và không tự nhiên. Lev Landau

Khoa học không dung thứ cho sự nghiêm túc tàn bạo! Nikolay Timofeev-Resovsky

?

Nó có quen thuộc với bạn không

NỤ CƯỜI K VANT

Những người làm khoa học, như chúng ta thấy, không hề xa lạ với ham muốn đùa giỡn, và các nhà vật lý và toán học cũng không phải là ngoại lệ. Hơn nữa, nhờ các nguyên tắc chính xác, một thể loại hài hước “khoa học” độc đáo đã ra đời, đôi khi chỉ có các chuyên gia mới hiểu được, nhưng phần lớn vẫn có thể tiếp cận được với công chúng. Học sinh cười thầy giáo, học sinh cười giáo sư, thầy giáo cười học sinh. Các nhà khoa học chế nhạo lẫn nhau và chế giễu chính họ, và tất cả họ đều chế nhạo những người dẫn chương trình truyền hình, những người khiến chúng ta thích thú với “số Fibonacci” và “máy va chạm hadron”. Những câu chuyện hài hước, đôi khi mang hương vị châm biếm và nghịch lý, cũng là một phương tiện để chống lại sự thiếu hiểu biết, bởi người ta biết rằng “trong mỗi câu chuyện cười chỉ có một chút trò đùa”. «Kvant» chưa bao giờ rời xa chuyên mục hài hước, và hôm nay chúng tôi khuyến khích các bạn cùng cười cùng Kính vạn hoa.

Câu hỏi và bài toán

1. Nhà khoa học phát hiện ra rằng một số phản ứng xảy ra trong vòng 80 phút nếu anh ta mặc áo khoác. Nếu anh ta không mặc áo khoác thì phản ứng tương tự sẽ xảy ra sau 1 giờ 20 phút. Nó thế nào rồi? $объяснить?^{2.}$ Một giáo sư được tặng một mảnh vườn có hình tam giác với các cạnh là 55, 62 và 117 mét. Bạn sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho một mảnh đất nếu một mét vuông có giá $1000 рублей?^{3.}$ Có 90 quả táo mọc trên cây bạch dương. Một cơn gió mạnh thổi qua và 10 quả táo rơi xuống. Bao nhiêu $осталось?^{4.}$ Có phải thế không $23 + 2 = 1 ?^{5.}$ Được biết, trọng lực trên Mặt trăng nhỏ hơn trên Trái đất. Một con chim sẽ bay nhanh hơn hoặc chậm hơn trên Mặt trăng nếu cả ở đó và trên Trái đất nó bay trong cùng một không gian $доспехах?^{6.} 4$ Một người thợ sửa ống nước sau khi uống 10 lít bia, mất 3 giờ mới sửa được vòi nước và cuối cùng bị gãy. Sẽ mất bao lâu để 6 thợ sửa ống nước làm vỡ cùng một vòi nước và họ sẽ cần bao nhiêu bia để làm việc đó? $понадобится?^{7.}$ Giá trị của biểu thức ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) … $( x - z ) ?^{8.}$ Một người đam mê toán học sẽ gọi tuốc nơ vít thông thường và tuốc nơ vít Phillips để phân biệt chúng là gì? $друга?^{9.}$ Nhiệt dung mol của heli ở trạng thái đẳng tích là bao nhiêu $расширении?^{10.}$ Xác định biểu thức sin D sin E sin bằng bao nhiêu $J^{…}$ sin $Z.^{11.}$ Công thức có nghĩa là gì? $apelsin^{2} D + + abricos^{2} D = 1 ?^{12.}$ Có thể tính chiều cao của một tòa nhà bằng hai đồng hồ bấm giờ không?

Kinh nghiệm vi mô

Bạn phải đứng cùng một người bạn trên cùng một tờ báo mà không thể chạm vào nhau. Làm sao có thể đạt được điều này nếu không được phép rời khỏi tờ báo?

Tò mò và… buồn cười

• Bố ơi, lít là gì? – Cái này giống như đồng hồ đo, chỉ có chất lỏng. * * * Một bà nọ khi được hỏi bao nhiêu tuổi thì trả lời: “Khi tôi lấy chồng, chồng tôi 40, còn tôi 20. Bây giờ anh ấy 60. Nghĩa là tôi 30”. * * * Nhiệt độ trung bình của họ là 20 độ, còn nhiệt độ của chúng tôi là 0: ít hơn hai mươi lần! (V.V. Zhirinovsky) * * * Cảnh sát nói với người điều khiển một chiếc ô tô đang dừng: - Anh có vũ khí có lưỡi không? - Tôi không biết - Tôi không có nhiệt kế.

Trong kỳ thi

– Tại sao xe điện lại chạy bằng dòng điện một chiều? – Nếu nó hoạt động trên điện xoay chiều thì đường ray sẽ phải được đặt theo hình sin.

• • • – Độ dài của ngày thay đổi như thế nào trong năm và tại sao? “Vào mùa hè, trời nóng và ngày dài hơn, nhưng vào mùa đông, trời lạnh và ngày ngắn lại.” * * * – Mã lực là gì? – Đây là sức mạnh mà một con ngựa cao 1 mét và nặng 1 kg phát triển. - Bạn đã thấy con ngựa như thế này ở đâu rồi? - Than ôi, nó được giữ cách xa tầm mắt con người trong Phòng Cân Đo ở Pháp! * * * – Tia nào được gọi là tia hồng ngoại? – Tia vô hình màu đỏ. * * * – Nguyên tử gồm những hạt nào? – Từ các electron, proton và newton.

Từ văn học dân gian khoa học

Ở một mức độ nào đó, hai cũng là tám. * * * Từ trái nghĩa của từ “song song” là gì? Nhà toán học: “vuông góc”. Nhà vật lý: “nhất quán.” * * * Hiệu trưởng trường đại học: “Tại sao các nhà vật lý luôn đòi hỏi những thiết bị đắt tiền như vậy? Ví dụ, các nhà toán học chỉ xin tiền giấy, bút chì và tẩy.” Sau khi suy nghĩ, ông nói thêm: “Và các triết gia thậm chí còn giỏi hơn. Họ thậm chí không cần cục tẩy.” * * * Bóng tối cũng lan rộng với tốc độ ánh sáng. * * * – Người ta biết rằng sự xuất hiện của phân số đi kèm với việc chúng được sử dụng rộng rãi một cách bất thường. -Nó đâu rồi? - Ở vương quốc 3 9, ở bang 3 10. * * * Một ngày nọ, hai nhà vật lý gặp nhau trong thời tiết giá lạnh. Người này nói với người kia: “Chà, bạn có mũi!” 720 nanomet. - Cái gì, nhỏ thế? - Không. Đỏ quá. * * * Nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng Richard Feynman từ từ xoay hình trước mặt các sinh viên và nói: “Nó được chế tạo sao cho dù bạn xoay thế nào thì tại điểm thấp nhất của đường viền, tiếp tuyến sẽ nằm ngang”. Các học sinh bắt đầu đặt bút chì vào điểm cuối của hình vẽ và vô cùng thích thú với khám phá này.

Đọc gì trong «Kvant»

(xuất bản những năm gần đây)

1. «Kvant» nụ cười” – 2018, Số 1, trang 30; 2018, Số 9, trang 35; 2020, Số 5, trang 39; 2021, Số 5, trang 23; 2022, Số 1, trang 12; 2. “Giá trị số…” – 2019, Không. 4, tr.2; 3. “Lượng tử mà Isaac xây dựng” – 2020, số 1, khu vực thứ 3;

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

34

KVAN T 2022/Số 6

Làm thế nào các dòng sông không còn băng

T. MOROZOVA

Quá trình tan băng trên sông hồ thoạt nhìn có vẻ tầm thường, mặc dù điều này không hoàn toàn đúng. Thông thường vào mùa xuân, sự nóng lên kéo theo sự làm mát, và điều này xảy ra nhiều lần cho đến khi thiên nhiên cạn kiệt nguồn dự trữ lạnh và cuối cùng giải phóng mùa xuân vào vùng đất và nước rộng lớn. Trong những đợt sương giá mùa đông, băng tích tụ trên sông. Do đó, độ dày băng ở Dnieper là 0,5 mét, ở các con sông ở Đồng bằng Trung Âu - khoảng 1 mét và trên sông Siberia - lên tới 1,5 mét. Càng có nhiều ngày băng giá trong năm, băng càng dày. Những dòng sông đóng băng mở ra những con đường mới để di chuyển từ nơi này sang nơi khác và cung cấp không gian độc đáo để đi bộ và du lịch. Nhưng khi băng bắt đầu tan, việc đi trên đó trở nên nguy hiểm.

Băng trên kênh Moscow

Lớp băng nào ít thuận lợi nhất cho việc đi bộ trên đó? Lựa chọn nguy hiểm nhất là lớp băng mỏng, mịn sau một đợt lạnh đột ngột, khi lực căng lớn được tạo ra trong vật liệu và có thể dễ dàng xuất hiện các vết nứt. Điều tương tự cũng áp dụng cho băng mới hình thành. Lưới không đồng đều

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220604

Sự không đồng nhất của băng trong quá trình đóng băng và rã đông hỗn loạn với những dao động nhiệt độ nhỏ tạo ra một loại khung. Tuy nhiên, nếu có khoảng trống trong đó thì điều này cũng gây nguy hiểm. Sau khi tan chảy, dải ven biển đóng băng nhanh hơn và vào những đêm xuân lạnh giá, đi dọc theo nó sẽ an toàn hơn là đi dọc giữa sông. Khi di chuyển trên băng, nó sẽ bị nứt ở những nơi có sự bất thường và độ cong của bức phù điêu. Ở những nơi như vậy, bạn không nên băng qua vùng nước đóng băng trong thời gian băng tan và đóng băng sau đó. Nếu bạn đi trên băng trên ván trượt, áp lực lên nó sẽ ít hơn nhiều so với khi đi bộ. Nếu bạn chạy, những cú sốc sẽ tạo ra áp lực lớn hơn và nguy cơ làm vỡ băng sẽ lớn hơn. Vậy loại băng nào trên sông đặc biệt nguy hiểm khi đi trên đó? 1) Khi có dòng sông đáng chú ý. Sông càng thu hẹp thì dòng chảy càng nhanh. Điều này trực tiếp suy ra từ phương trình liên tục $струи^{v} 1^{S} 1_{2}^{v} S_{2}, где^{v}$ – $скорость,^{S}$ – diện tích ngang $сечения.^{2)}$ Nơi băng vừa đóng băng hoặc sau khi ấm lên, sau đó nguội đi. Nhưng tất cả phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Ví dụ, nếu đợt lạnh nghiêm trọng thì băng vẫn an toàn. Và sự nóng lên có thể trộn lẫn băng, và nó sẽ đóng băng dày đặc hơn mà không có khoảng trống và không đồng nhất. 3) Trong đợt sương giá gay gắt, khi các khoảng trống và vết nứt có thể hình thành, đồng thời tạo ra ứng suất lớn trong băng và phát sinh dòng chảy dưới băng. Khi băng tan dần, nó tạo ra bùn chứ không phải băng có thể nứt. Nói cách khác, với độ dốc nhiệt độ không đổi trong quá trình nóng lên, băng hầu như không bị nứt ở các vùng nước tĩnh lặng. Nhưng trên những con sông có dòng chảy lớn, các tảng băng nứt hầu như luôn xuất hiện - bản thân dòng chảy không tạo cơ hội tạo ra một gradient nhiệt độ trơn tru. Dưới những cây cầu, băng tan đặc biệt nhanh chóng do sự hiện diện của khí, hơi và dòng đối lưu ấm. Bản thân băng gần bờ dày đặc hơn ở giữa sông. Nhưng không phải ở ngay bờ biển mà ở xa hơn một chút. Sông và hồ ở vùng nước nông đóng băng hoàn toàn, nhưng khi bắt đầu tan chảy, rìa của hồ chứa sẽ nhanh chóng tan chảy, vì nhiệt độ tuyệt đối

35

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

Băng nứt trên sông; độ dày của băng ở mép nước mỏng. Ở giữa sông, dòng chảy duy trì nhiệt độ nước cao hơn và ngăn băng đóng băng. Không giống như sông, hồ mất nhiều thời gian để rã đông vì các lớp băng phía dưới không có thời gian ấm lên do khả năng sinh nhiệt cao. Hơn nữa, trong hồ có nhiều nước và nhiều băng hơn nên thời gian rã đông sẽ lâu hơn. Một lượng nhỏ nước sẽ đóng băng nhanh hơn và tan nhanh hơn. Ngoài ra, các con sông được giải phóng khỏi băng nhanh hơn nhiều theo dòng chảy và sông càng lớn thì quá trình tan chảy càng diễn ra dữ dội. Tại sao tuyết trên sông, khi ấm lên và đóng băng thêm, lại trở thành lớp băng dày đặc, trong khi những bông tuyết trên bờ không đóng băng? Vấn đề là nước có nhiệt dung và độ dẫn nhiệt lớn hơn tuyết và băng, đồng thời nước hấp thụ nhiều nhiệt hơn và làm nóng các lớp liền kề mạnh hơn. Nhiệt được truyền nhanh chóng từ lớp này sang lớp khác, nhưng cần tiêu tốn nhiều năng lượng hơn để làm nóng từng lớp. Do đó, một khối lượng lớn tuyết tan trên sông và khi trời lạnh hơn, nó đóng băng hoàn toàn và biến thành băng. Trong quá trình làm mát tiếp theo, bề mặt của bình chứa sẽ đóng băng đều nếu có nhiều nước tan chảy. Bạn thậm chí có thể trượt trên bề mặt như vậy. Nhưng sớm hay muộn, mùa xuân cũng phải gánh chịu hậu quả và các vùng nước dần dần được giải phóng khỏi băng. Nước tan đặc biệt lạnh. Những người hâm mộ bơi lội mùa đông biết rõ điều này - xét cho cùng, bơi trong đó thậm chí còn lạnh hơn so với trong một hố băng giữa làn sương giá dày đặc. Vấn đề là, tôi đang lạnh cóng…

TRẺ EM HỌC SINH

Băng trên bề mặt hồ chứa được hình thành từ nước tinh khiết của các lớp gần bề mặt, từ đó tất cả trầm tích đã chìm xuống đáy. Nước rất sạch có thể được làm lạnh đến nhiệt độ $^{40}$ q C. Về vấn đề này, bạn có thể tiến hành thí nghiệm sau: trong điều kiện sương giá nhẹ, lắc nước suối đã lắng trong chai và nó sẽ đóng băng sau chưa đầy một phút - tạp chất sẽ làm tăng điểm đóng băng của nó. Nước muối, do tính chất hóa lý của nó, đóng băng ở $3 q^{C}$. Sự đóng băng xảy ra không đồng đều, đặc biệt là vào những ngày nắng, do ở rìa hố băng băng làm lạnh nước và đóng băng các tảng băng và không cho băng mà mặt trời làm tan chảy (không giống như ở giữa hố băng). Kết quả là ứng suất cắt xuất hiện và băng dâng lên theo hình vòng cung. Lớp vỏ tuyết trên bờ sông phân hóa thành những mảnh băng thẳng đứng riêng biệt và có cấu trúc tương tự như

Một hố băng có băng hình vòng cung không khít chặt vào giữa

36

KVAN T 2022/Số 6

nhũ đá và măng đá trong hang động. Các vết nứt và gãy xuất hiện trong các lớp. Ở vùng đất thấp, tuyết tan chậm hơn và xảy ra hiện tượng phân hủy tuyết và băng đóng băng. Vào mùa xuân có sự dao động nhiệt độ không đổi từ cộng sang âm. Kết quả là tuyết tan chảy lại đóng băng, biến thành một cấu trúc fractal băng giá gồm nhiều mảnh băng nhỏ có hình dạng bất thường.

tảng băng thẳng đứng

Bản thân tuyết là chất cách nhiệt rất tốt. Và ngay cả khi xung quanh đột nhiên ấm lên, nó vẫn giữ cái lạnh bên trong. Hơn nữa, ngay cả khi đã đạt đến trạng thái cân bằng với không khí xung quanh, tuyết không thể tan rất nhanh, vì để làm được điều này, nó không chỉ cần được làm nóng mà còn phải tan chảy (lượng nhiệt tan chảy và sưởi ấm được tổng hợp). Trên bờ, khi tuyết tan, nước hình thành, thấm vào lòng đất. Tuyết không cho phép các lớp bên dưới ấm lên. Do đó, với nhiệt độ lạnh hơn và sự nóng lên sau đó, bề mặt sông trở nên băng giá và những đám tuyết trên bờ vẫn giữ nguyên cấu trúc không thể lay chuyển. Tuy nhiên, với sự nóng lên chung, chúng dần dần tan chảy và trở nên nhỏ hơn, chìm xuống lòng đất hoặc tan chảy trên băng sông. Sông càng sâu gần bờ thì tuyết càng nhỏ dọc theo mép sông. Chúng cũng có thể nứt và vỡ thành từng lớp - điều này phụ thuộc vào đất. Bản thân cấu trúc băng được hình thành tùy thuộc vào đất. Có thể có thấu kính và các hình dạng khác bên trong băng. Đất cát rất đặc và thực tế không cho phép các hạt nước đi qua, trong khi đất sét thì có. Vì vậy, khi nước đóng băng, đất sét cứng lại và khi băng bắt đầu tan, nước nhanh chóng chảy qua các lỗ rỗng của chúng vào đất.

Nếu sông không có lòng cát, nó sẽ nhanh chóng trở nên cạn. Ngoài ra, khi băng đóng băng, nó nở ra và đất phồng lên. Ngoài ra, trong những đợt sương giá nghiêm trọng, băng đóng băng có thể bị nứt khi nó nở ra. Vì vậy, việc đi lại trên băng không chỉ trong thời gian tan băng mà còn khi sương giá tấn công mạnh là rất nguy hiểm.

Các vết nứt trên lớp tuyết trên bờ

Tại sao một số con sông trở nên cạn vào mùa đông và có bờ cát phủ đầy tuyết? Ở đây diễn ra hai quá trình: thứ nhất là sự bốc hơi của nước và sau đó là sự loại bỏ các khối bốc hơi, không giống như các mùa khác, không quay trở lại bể chứa và rơi ra dưới dạng mưa đều khắp trái đất, và thứ hai là mất nước vào lòng đất và đóng băng. Cường độ của quá trình thứ hai phụ thuộc vào loại đất và độ sâu của sông. Vào mùa xuân, tuyết tan và nước từ bờ sông chảy vào sông, nơi nó trở lại thể tích trước đó. Sông thường có bờ dốc bị dòng chảy cuốn trôi dần, bản thân sông thường chảy ở nơi thấp nhất, chảy từ bờ xung quanh xuống. Vào mùa hè, lượng mưa chảy vào sông từ bờ xung quanh, nhưng vào mùa đông thì không, nên lượng bốc hơi không quay trở lại. Vào mùa xuân, sự bốc hơi và tuyết tan không lên mây không chỉ vì đêm lạnh mà còn do thảm thực vật hấp thụ độ ẩm. Nhưng đôi khi vào một ngày đặc biệt nắng, hơi ẩm có thể rơi thành từng giọt riêng biệt mà không tích tụ thành mây và mưa. Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng nước tan chảy vào sông hoặc dưới lòng đất, tạo thành cấu trúc của các tảng băng trôi. Kết quả là mực nước trong hồ chứa tăng lên. Đó là lý do tại sao khi mùa xuân đến, cái gọi là nước dâng cao lại xuất hiện.

THÔNG TIN ORM A C I

Một đợt tuyển dụng khác tại VZMSH

Địa chỉ liên hệ của chúng tôi: https: vzms.ru https: lycuz2.mskobr.ru +7(926)280-28-20 [email protected] (thư, lễ tân) https: vk.com vzmsh 119234 Moscow, Vorobyovy Gory, Đại học Bang Moscow, Tòa nhà Học thuật Thứ hai, phòng. 307

Trường học đa môn toàn Nga mời học sinh và giáo viên từ mọi vùng của Nga, gần xa ở nước ngoài đến học theo các chương trình giáo dục từ xa (trực tuyến). VZMSH là trung tâm giáo dục bổ sung lâu đời nhất ở Nga. Nó được thành lập vào năm 1964 theo sáng kiến ​​​​của các nhà toán học, học giả xuất sắc I.G. Petrovsky (lúc đó là hiệu trưởng Đại học quốc gia Moscow) và I.M. Gelfand. Hiện tại, VZMSH là một phân khu cấu trúc của “Trường THCS” Vật lý và Toán học Lyceum nổi tiếng ở Moscow. Chúng tôi dạy toán, vật lý, sinh học, ngôn ngữ và văn học Nga, lịch sử và nghiên cứu xã hội. Giáo viên của chúng tôi là nhân viên của M.V. Đại học quốc gia Lomonosov Moscow và các trường đại học và học viện hàng đầu khác. Họ đã viết một thư viện phong phú gồm các sách giáo khoa độc đáo về toán học, lịch sử, nghiên cứu xã hội và các môn học khác. Các phương pháp họ tạo ra cho phép học từ xa (trực tuyến) ở mức cao nhất. Việc giáo dục học sinh trung học tại VZMS chủ yếu nhằm mục đích chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic và Kỳ thi Thống nhất. Tuy nhiên, chúng tôi tin rằng ngay cả điểm cao nhất cũng không thể tự nó kết thúc. Chúng tôi nghiên cứu chủ yếu với những học sinh mà sự phát triển bản thân được đặt lên hàng đầu, những người muốn biết TRÊN (ngoài chương trình giảng dạy ở trường) và tiếp thu kiến ​​thức bổ sung về nhiều môn học khác nhau. Hơn 200 nghìn học sinh đã tốt nghiệp VZMSH. Nhiều nhà khoa học, nhà nghiên cứu và giáo viên đã xuất thân từ cấp bậc của họ. Đối với nhiều người, việc học tại VZMSH đã giúp họ định hướng tốt hơn

phấn đấu trong cuộc sống, đặt ra những mục tiêu lớn cho bản thân bài toán, đạt được kế hoạch của bạn. VZMSH, không giống như các khóa học hay câu lạc bộ, là một ngôi trường thực sự, có chương trình, nhịp điệu, bài kiểm tra riêng, giao tiếp hai chiều giữa học sinh và giáo viên. Chúng tôi cung cấp tài liệu của mình dưới dạng điện tử, liên tục liên lạc với sinh viên thông qua mạng xã hội, cho họ biết về những gì không có trong chương trình giảng dạy nhưng giúp họ phát triển, giới thiệu sách và bài báo của giáo viên, tiến hành hội nghị video và bài giảng video. Tại VZMSh có một hình thức làm việc đặc biệt - nhóm “Sinh viên tập thể”. Đây là nhóm học sinh làm việc theo sách hướng dẫn phương pháp VZMSH dưới sự hướng dẫn của giáo viên trong trường, sử dụng các chương trình và sách hướng dẫn giống như từng học sinh. Để giúp giáo viên - người phụ trách các nhóm như vậy - các tài liệu giáo dục và phương pháp đặc biệt đang được phát triển. Học sinh, dưới sự hướng dẫn của giáo viên, cùng nhau thảo luận về tài liệu được đề cập và các bài tập nhận được. Như kinh nghiệm nhiều năm của chúng tôi cho thấy, nhiều giáo viên coi việc hợp tác với VZMS là nghiên cứu của chính họ. Học theo hình thức “Học sinh tập thể” có những ưu điểm sau: việc tiếp xúc với giáo viên giúp đơn giản hóa việc học, điều này đặc biệt quan trọng đối với những học sinh gặp khó khăn trong việc sắp xếp thời gian một cách độc lập mà không có người hướng dẫn; các hoạt động chung tạo ra bầu không khí sáng tạo, trong đó có chỗ cho cả sự cạnh tranh và hợp tác; tài liệu được gửi từ VZMS có thể làm cơ sở tốt để giáo viên tổ chức câu lạc bộ hoặc môn tự chọn ở trường, giúp chuẩn bị cho học sinh tham gia Olympic và vượt qua Kỳ thi Thống nhất cấp Bang; sinh viên được nhận vào VZMSh mà không hoàn thành nhiệm vụ giới thiệu; Học phí cho mỗi sinh viên thấp hơn so với học phí cá nhân. Bạn có thể tìm hiểu thêm về các chương trình đào tạo, đăng ký, hoàn thành các nhiệm vụ giới thiệu và cũng có thể gửi đơn đăng ký vào nhóm “Sinh viên tập thể” tại đây: math-vzms.org Bạn có thể bắt đầu đào tạo bất cứ lúc nào! Chúng tôi sẽ cho bạn biết thêm về các bộ phận của chúng tôi và cung cấp các điều kiện cho công việc giới thiệu tương ứng.

42

KV A NT 2022/Số 6

Khoa Toán

Chúng tôi dạy các nhà toán học tương lai cách làm việc với các văn bản khoa học, thể hiện rõ ràng suy nghĩ của họ và tạo cơ hội, bằng cách sử dụng sách hướng dẫn của chúng tôi, để tiến bộ trong nghiên cứu các vấn đề toán học khác nhau vượt xa mức tối thiểu bắt buộc như chính họ mong muốn. Chúng tôi giúp đào sâu và mở rộng kiến ​​thức đã học ở trường, chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất, Kỳ thi Thống nhất và các kỳ thi khác. Đối với những người đã biết đến niềm vui của lời giải toán học bài toán, chúng tôi hy vọng sẽ mang lại niềm vui từ việc nghĩ ra những bài toán mới, tương tự và không hề giống với những bài toán trước. Chúng tôi liên tục dạy học sinh từ lớp 4 đến lớp 11. Bạn có thể bắt đầu học từ bất kỳ lớp nào.

Bài giới thiệu

Bên cạnh số sê-ri bài toán, trong ngoặc đơn có ghi lớp bài toán này dành cho lớp nào (có nghĩa là lớp mà bạn sẽ học trong năm học tới). Nếu muốn, bạn có thể giải thêm bài toán dành cho các lớp cũ hơn. Bạn có thể không giải được hết bài toán của lớp mình, vui lòng gửi lời giải trong số những câu mà bạn đã giải được. Đừng quên biện minh cho lời giải của bạn, đáp số đến bài toán “trần trụi” không được coi là một giải pháp. 1. (5 lớp). Chipmunks Chip và Dale phải dự trữ cùng một lượng hạt cho mùa đông. Sau khi Chip mang 120 và Dale mang 147 quả, Chip còn lại số hạt gấp bốn lần Dale. Mỗi người nên dự trữ bao nhiêu loại hạt? 2. (5 lớp) Một người thợ săn kể với một người bạn rằng anh ta nhìn thấy một con sói có đuôi dài hàng mét trong rừng. Anh ta nói với một người bạn khác rằng người ta nhìn thấy một con sói có cái đuôi dài hai mét trong rừng. Bằng cách truyền đi tin tức, những người bình thường đã tăng gấp đôi chiều dài của cái đuôi của họ, còn những người sáng tạo thì tăng gấp ba lần. Kết quả là truyền hình đưa tin về một con sói có đuôi dài 648 mét. Có bao nhiêu người đơn giản và bao nhiêu người sáng tạo đã “mọc” đuôi sói? 3. (5 lớp) Biết tháng Giêng có 4 ngày thứ Sáu và 4 ngày thứ Hai. Ngày 1 tháng 1 là ngày thứ mấy trong tuần? 4. (6 lớp) 35 con quạ bay vào bãi đất trống. Đột nhiên đàn quạ bay đi và tách ra

thành hai đàn: một đàn đậu trên cành cây bạch dương già, đàn kia đậu trên cây tổng quán sủi. Sau một thời gian, có 5 con quạ bay từ cây bạch dương đến cây sủi, số quạ đó đã bay hoàn toàn khỏi cây bạch dương, sau đó số con quạ còn lại trên cây bạch dương nhiều gấp đôi so với trên cây sủi. Lúc đầu mỗi đàn có bao nhiêu con quạ? 5. (lớp 6) Các số 1, 2, 3, …, 111 được viết trên thẻ. Vanya lấy những tấm thẻ có số chẵn và Tanya lấy những tấm thẻ có số lẻ. Ai trong số họ có tổng các số trên thẻ lớn hơn và bằng bao nhiêu? 6. (6 ô) Vẽ một hình vuông có cạnh 5 ô trên giấy kẻ ca-rô. Chia thành 5 phần có diện tích bằng nhau, chỉ vẽ các đoạn bên trong hình vuông dọc theo các đường lưới sao cho tổng chiều dài các đoạn vẽ không vượt quá 16 ô. 7. (lớp 7) Bé Thơ muốn viết 2015 số tự nhiên thành một vòng tròn sao cho cứ hai số liền kề thì thương số chia số lớn cho số nhỏ là số nguyên tố. Bạn của anh, Makar, khẳng định rằng điều này là không thể. Ai đúng? 8. (7 ô) Vẽ tất cả các đường chéo trong một tam giác đều năm 2018. Petya chọn ngẫu nhiên N đường chéo. Với N nhỏ nhất trong số các đường chéo đã chọn là bao nhiêu thì đảm bảo sẽ có hai đường chéo có cùng độ dài? 9. (lớp 7) Người họa sĩ trẻ có một lon sơn xanh và một lon sơn vàng, mỗi thùng sơn đủ diện tích $38 дм^{2}$. Dùng hết số sơn này, anh đã vẽ nên một bức tranh: trời xanh, cỏ xanh và nắng vàng. Anh ấy có được màu xanh lá cây bằng cách trộn hai phần sơn màu vàng và một phần màu xanh lam. Mỗi màu trong tranh của anh được tô màu bao nhiêu diện tích nếu diện tích của cỏ trong tranh lớn hơn diện tích bầu trời $6 дм^{2}$? 10. (lớp 8–10) Hai thành phố A và B nằm bên bờ sông, cách nhau 10 km. Một chiếc tàu thủy có thể đi từ A đến B rồi quay về trong 1 giờ. Liệu anh ta sẽ mất nhiều hay ít thời gian để bơi 20 km qua hồ? 11. (lớp 7–10) a) Có thể đánh số các cạnh của một hình lập phương bằng các số tự nhiên từ 1 đến 12 sao cho mỗi đỉnh của hình lập phương có tổng số các cạnh hội tụ tại nó bằng nhau không? b) Câu hỏi tương tự nếu bạn đặt các số 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dọc theo các cạnh của hình lập phương.

61

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

GIẢI PHÁP

Hình 19

Hình 18

6. Có thể. Các lần cân được thể hiện trên sơ đồ (Hình 18; đồng vàng màu vàng, đồng bạc màu xám, đồng đồng màu nâu). Những trường hợp bát bên trái nặng hơn cũng được xử lý theo cách tương tự. 7. Lưu ý góc của đa giác M có thể bằng 60q, 90q, 120q, 150q. Điều này có nghĩa là mỗi góc ngoài M ít nhất là 30q. Vì tổng các góc ngoài của một đa giác là 360q, M có nhiều nhất là 12 góc và chỉ có thể có 12 nếu tất cả các góc đều bằng 150q. Nếu M có ít hơn 12 cạnh thì không phải tất cả các góc của nó đều bằng 150q. Chúng ta hãy tưởng tượng chèn một số cạnh có độ dài bằng 0: nếu có một góc 120q, hãy chèn một cạnh có độ dài bằng 0 vào đỉnh tương ứng, nếu có một góc 90q (60q) - hai (ba) cạnh liên tiếp có độ dài bằng 0. Kết quả là chúng ta có 12 cạnh, một số cạnh bằng 0. Chúng ta gọi đặc tính của đa giác M là tập hợp $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{12}$ độ dài các cạnh của nó, được liệt kê theo thứ tự đi ngang ngược chiều kim đồng hồ từ một đỉnh cố định. Chúng ta sẽ gọi các cạnh $a_{1}, a_{3}$, … $, a_{11}$ lẻ, và các cạnh $a_{2}, a_{4}$, … $, a_{12}$ chẵn. Chúng ta gọi đường viền của một phân vùng là tập hợp các khối (hình vuông và tam giác đều) có ít nhất một điểm chung với ranh giới của đa giác M (Hình 19). Nếu đường viền không trùng với M, chúng ta biểu thị bằng $M_{1}$ đa giác thu được từ M bằng cách loại bỏ đường viền. Chúng ta hãy xem xét một khối viền liền kề với một góc, cạnh của nó nằm trên cạnh AB của đa giác M. Nếu nó là hình vuông thì tất cả các khối viền liền kề với AB cũng là hình vuông (các góc tạo thành 90° chỉ có thể được lát bằng các hình vuông; xem Hình 19,a). Nếu đây là một hình tam giác thì tất cả các khuôn còn lại liền kề với cạnh này cũng là hình tam giác (xem Hình 19, b). Như vậy, chỉ có hình vuông hoặc chỉ hình tam giác liền kề mỗi cạnh của đa giác M. Do đó, các cạnh $M_{1}$ sẽ song song với các cạnh M tương ứng (cạnh AB và CD trong Hình 19). Nếu M không có các góc 60q hoặc 90q thì độ dài các cạnh $M_{1}$ sẽ bằng độ dài tương ứng của các cạnh M (trong trường hợp hình vuông) hoặc nhỏ hơn một (trong trường hợp hình tam giác). Trong trường hợp này, độ dài cạnh $M_{1}$ có thể bằng 0. Do đó, $M_{1}$ là một đa giác lồi không có nhiều cạnh hơn M. Đa giác $M_{1}$ cũng có đặc điểm - một tập hợp được xây dựng theo các quy tắc giống nhau sao cho số cạnh của M ​​và $M_{1}$ tương ứng với nhau. Giả sử độ dài tất cả các cạnh của M khác 0, tức là mọi góc M đều bằng 150q. Có hai phương án đặt hình vuông và hình tam giác cạnh góc 150q. Khi chọn một trong các tùy chọn, phần còn lại của đường viền được khôi phục duy nhất (đầu tiên, phần đường viền liền kề với các cạnh của góc được khôi phục, sau đó là phân vùng của hai góc liền kề, v.v.). Tổng cộng, có hai tùy chọn cho đường viền: hình tam giác nằm dọc theo tất cả các cạnh lẻ và hình vuông nằm dọc theo tất cả các cạnh chẵn hoặc ngược lại (Hình 20). Ở phiên bản đầu tiên, các đặc điểm

Hình 20

$M_{1}$ nào sẽ là tập hợp $a_{1} 1, a_{2}, a_{3} 1, a_{4},..., a_{11} 1, a_{12}$, trong phần thứ hai - tập hợp $a_{1}, a_{2} 1, a_{3}, a_{4} 1,..., a_{11}, a_{12} 1$. Giả sử ít nhất một cạnh lẻ của M bằng 0 và tất cả các cạnh chẵn khác 0. Hãy xem xét tôi sao cho $a_{i} 0$. Khi đó góc tại đỉnh tương ứng trong đa giác M sẽ bằng 120q (vì $a_{i} 1$ và $a_{i} 1$ không bằng 0), tức là chỉ có thể chia nó thành hai hình tam giác. Tiếp theo, đường viền được xây dựng lại một cách rõ ràng: dọc theo tất cả các cạnh chẵn có các hình tam giác và dọc theo tất cả các cạnh lẻ có độ dài khác 0 có các hình vuông. Đặc tính $M_{1}$ sẽ bằng $a_{1}, a_{2} 1, a_{3}, a_{4} 1,$ … $, a_{11}, a_{12} 1$. Nếu ít nhất một cạnh chẵn của M bằng 0 và tất cả các cạnh lẻ khác 0, thì tương tự, chúng ta thu được rằng đặc tính $M_{1}$ sẽ bằng $a_{1} 1, a_{2}, a_{3} 1, a_{4}$, … $, a_{11} 1, a_{12}$. Nếu ít nhất một cạnh chẵn và một cạnh lẻ của M bằng 0 thì đường viền thậm chí còn được khôi phục duy nhất hơn. Từ