Kvant 2022, số 10 · Trang

4

KVANT 2022/№10

mặt phẳng mà mặt phẳng cắt và mặt phẳng chứa các điểm tiếp xúc của hình nón với hình cầu giao nhau. Gọi $^{H}$ là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d.

Bài tập 3. Chứng minh đường thẳng MH song song với ma trận sinh r của hình nón.

$Пусть^{T}$ là điểm tiếp tuyến của ma trận hình nón đi qua điểm M với hình cầu nội tiếp. Khi đó MF MT là tiếp tuyến của hình cầu. Lưu ý rằng MT và MH tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng chứa các điểm tiếp xúc của hình cầu nội tiếp với hình nón, vì MT là phần tử sinh của hình nón và MH song song với phần tử sinh r khác. Rồi MT MH. Như vậy, MF MH, tức là tiết diện của hình nón là một parabol.

Hình 6

điểm M. Do đó, mặt phẳng cắt một hình elip có $фокусами_{1}^{F} и_{2}^{F}$ trên hình nón.

Bài tập 2. Chứng minh tương tự rằng trong trường hợp thứ hai, khi mặt phẳng cắt cả hai hốc của hình nón thì đường cong giao nhau là một hyperbol.

Hãy xem xét trường hợp thứ ba (Hình 7), khi mặt phẳng cắt song song với đúng một đường sinh r của hình nón. Khi đó, như chúng ta đã nói, có chính xác một hình cầu nội tiếp trong hình nón và tiếp tuyến với mặt phẳng tại $точке^{F.}$ Giả sử M là một điểm tùy ý trên mặt cắt. Hãy để chúng tôi biểu thị bằng d thẳng

Hình 7

Bài tập 4. Sử dụng cách xây dựng tương tự như đã xét trong trường hợp thứ ba, chứng minh rằng trong hai trường hợp đầu, đường thẳng mà mặt phẳng cắt và mặt phẳng chứa giao điểm của hình cầu nội tiếp với hình nón là đường chuẩn của hình nón. Nhận xét 1. Trong công trình của mình [1], Dandelin đã không chứng minh được khẳng định của Bài tập 4. Điều này được thực hiện bởi nhà toán học người Ireland Piers Morton vào năm 1829. Nhà toán học và giám mục người Ireland Hugh Hamilton vào năm 1758, trong chuyên luận về mặt cắt conic, đã xây dựng các công trình tương tự như cách xây dựng của Dandelen. Và mặc dù Hamilton không lắp các hình cầu vào một hình nón, nhưng ông đã xét các đường tròn tiếp tuyến của những hình cầu đó và hình nón. Ông định nghĩa một đường tròn như vậy là một đường tròn trên một hình nón nằm ở cùng một khoảng cách dọc theo đường sinh tính từ đỉnh hình nón nơi tập trung của nó. Đối với một đường tròn như vậy, ông đã chứng minh rằng đối với bất kỳ điểm nào của đường conic thì chiều dài của đường sinh tới đường tròn bằng khoảng cách đến tiêu điểm và mặt phẳng của đường tròn cắt mặt phẳng đường conic dọc theo đường chuẩn của nó.

Lưu ý rằng nếu mặt phẳng ban đầu đi qua đỉnh của hình nón thì nó cắt hình nón dọc theo một điểm hoặc dọc theo một cặp đường thẳng hoặc dọc theo một đường thẳng. Đôi khi những phần như vậy được gọi là hình nón suy biến. Vì vậy, chúng tôi đã mô tả tất cả các phần hình nón. Theo liên kết https: etudes.ru etudes Dandelin-spheres, bạn có thể xem những hình ảnh động đẹp mắt dành riêng cho thiết kế Dandelin.

Quả bóng của Perelman

I.AKULICH

CUỐN SÁCH NỔI TIẾNG CỦA NGÀI “Bạn có biết Vật lý không?” (ấn bản đầu tiên của cuốn sách được xuất bản vào năm 1934, sau đó cuốn sách được tái bản nhiều lần) nhà phổ biến cổ điển về khoa học tự nhiên Ya.I. Perelman bao gồm những điều sau đây bài toán: “Một cái thang treo tự do trên một quả bóng bay, bất động trong không khí. Một người đàn ông bắt đầu trèo lên nó. Quả bóng sẽ chuyển động đi đâu: lên hay xuống, và bao nhiêu?” Ở đó, anh ấy cũng đặt cái này lời giải: “Quả bóng sẽ không đứng một mình. Khi một người đang leo cầu thang, quả bóng sẽ hạ xuống. Điều xảy ra ở đây cũng giống như khi bạn đi dọc theo một chiếc thuyền nhẹ neo đậu vào bờ để vào đất liền: chiếc thuyền di chuyển lùi lại dưới chân bạn. Tương tự như vậy, một cái thang, bị chân của người leo lên đẩy xuống, sẽ kéo quả bóng bay về phía mặt đất. Chuyển sang lời giải cái này bài toán Theo quan điểm của các định luật cơ học, chúng ta phải suy luận như thế này. Một quả bóng có một cái thang và một người trên đó đại diện cho một hệ cô lập, trọng tâm của nó không thể bị di chuyển bởi các nội lực. Nó sẽ giữ nguyên vị trí khi một người leo lên cầu thang chỉ khi quả bóng rơi xuống, nếu không thì trọng tâm sẽ tăng lên. Đây chính xác là trường hợp người có thẩm quyền xứng đáng của Ykov Isidorovich đã chơi một trò đùa độc ác, bởi vì bài toán này cùng với những điều trên

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20221002

như người ta nói, quyết định thuộc về người dân. Vì vậy, vào năm 1989, nó đã được xuất bản ở «Kvant» (điều kiện - Số 7, lời giải - Số 9). Người đọc có thể hỏi: có gì sai ở đây? Lời giải khá logic và hợp lý, xét ở mức độ thông thường thì nó có vẻ không thể chê vào đâu được. Cho dù nó thế nào đi chăng nữa! Để làm cho lỗi khá rõ ràng, chúng ta hãy thử giải một lỗi khác (nhưng về cơ bản là giống nhau) bài toán bằng cách sử dụng cùng một phương pháp. Trong lời giải, như chúng ta nhớ, Perelman đã đề cập đến chiếc thuyền. Ở đây chúng tôi sử dụng nó: Trên mặt hồ chứa có một chiếc thuyền nặng 100 kg. Một chiếc thang được hạ xuống từ nó xuống một bể chứa, trên bậc đó ở độ sâu 10 m có một thợ lặn nặng 100 kg. Người thợ lặn leo lên thang cho đến khi tới được thuyền. Con thuyền sẽ di chuyển ở đâu và bao nhiêu? Bài toán thực sự hoàn toàn giống nhau - ở đây chỉ có môi trường tạo ra lực nổi không phải là không khí mà là nước. Nhưng sự khác biệt là gì? Nếu chúng ta giải bài toán bằng cách sử dụng lý luận tương tự như Perelman, thì với khối lượng của thuyền và thợ lặn bằng nhau, chúng ta có thể rút ra một kết luận rõ ràng: thợ lặn và thuyền sẽ gặp nhau ở độ sâu 5 mét dưới nước. Nó như thế nào? Nhưng đáp số hóa ra còn ấn tượng hơn nếu người thợ lặn bắt đầu đi xuống cầu thang thay vì đi lên. Sau đó, khi anh ta ở độ sâu 20 mét, con thuyền sẽ bay lên không trung ở độ cao 10 mét so với mặt nước! Tôi muốn xem cái này - nó phải là một cảnh tượng ấn tượng. Lỗi trong lý luận là gì? Perelman lập luận rằng một quả bóng có một cái thang và một người ở trên đó là một hệ cô lập, trọng tâm của nó không thể bị di chuyển bởi các nội lực. Và dẫn tới

10

KVANT 2022/№10

tương tự như một chiếc thuyền trượt ngang trên mặt nước khi một người đi ngang qua nó. Đúng, đối với một người có thuyền, tổng trọng tâm của họ sẽ giữ nguyên vị trí của nó, nhưng chỉ vì không có ngoại lực nào tác dụng theo hướng chuyển động của người và thuyền (và hệ cô lập trong hình chiếu của nó lên trục mà người đó đi và thuyền di chuyển). Nhưng đối với một quả bóng bay thì điều ngược lại là đúng - hệ không cô lập, vì theo hướng thẳng đứng, các ngoại lực rất đáng kể tác dụng lên tất cả các phần tử của nó. Thứ nhất, đây là lực hấp dẫn và thứ hai là lực nổi của không khí. Họ xác định chuyển động của quả bóng. Đúng, trên thực tế, sự hiện diện của một quả bóng với một người trong không khí ở trạng thái cân bằng chủ yếu được xác định bởi các ngoại lực này chứ không phải bởi bất kỳ chuyển động nào của người đó dọc theo cầu thang. Cái gì, không thuyết phục lắm à? ĐƯỢC RỒI. Vì tiêu chí tốt nhất cho tính đúng đắn của bất kỳ lý thuyết nào là thực hành, chúng ta hãy thực hiện một phép tính và tìm hiểu độ dịch chuyển thực tế của quả bóng sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta chấp nhận một số điều kiện thực tế ít nhiều. Chúng ta hãy mô tả một cách sơ đồ (xem hình) vị trí của quả bóng và người trên cầu thang khi bắt đầu leo ​​lên (ở bên trái) và ở cuối (ở bên phải). Ở đây, người được biểu thị bằng một vòng tròn nhỏ màu đen và quả bóng được biểu thị bằng một vòng tròn lớn màu trắng. Tất nhiên, đã đến lúc đơn giản hóa một số thứ. Đặc biệt, rổ không được rút ra

– một thuộc tính không thể thiếu của bất kỳ khinh khí cầu nào. Nhưng có thể chấp nhận được rằng rổ tạo thành một tổng thể không thể tách rời với chính quả bóng, do đó khối lượng của rổ được tính vào khối lượng của quả bóng. Giỏ nằm ngay dưới đáy quả bóng - gần như ngay bên cạnh nó. Và vì lực nổi đóng một vai trò quan trọng (thậm chí, có lẽ là chính) trong bài toán của chúng ta, nên chúng ta đồng thời lưu ý rằng thể tích riêng của rổ và vỏ quả bóng có thể bị bỏ qua hoàn toàn và lực nổi tác dụng lên chúng có thể được coi là không có. Đối với cầu thang, chúng ta sẽ còn nghiêm khắc hơn - chúng ta sẽ bỏ qua cả khối lượng và thể tích của nó. Vì vậy, trong số các đối tượng đang được xem xét, vẫn còn hai đối tượng: một quả bóng chứa đầy khí và một người. Ta lấy khối lượng của vỏ bi (kể cả rổ) bằng $m_{ш} 200$ kg, khối lượng của người – $m_{ч} 80$ kg. Chúng tôi giả sử rằng quả bóng nằm ở vị trí khá cao - ở độ cao H 1000 m so với mực nước biển và chiều dài của cầu thang sẽ được coi là bằng L 100 m. Theo Perelman, sau khi một người nhô lên từ bên dưới ngay dưới “bụng”, quả bóng sẽ giảm một lượng x nhất định mà chúng ta sẽ tìm kiếm. Hình này hiển thị thêm một đại lượng - bán kính của quả bóng bay $r_{ш}$ (chúng ta sẽ coi nó là hình cầu). Giá trị này không thể được chỉ định; nó sẽ phải được tính toán từ các điều kiện cân bằng. Nhưng nhiều hơn về điều đó một lát sau. Lực nổi do không khí tác dụng lên các vật thể trong đó được xác định bởi mật độ của không khí. Mật độ không khí, như đã biết, giảm theo độ cao (và nhân tiện, chính sự giảm này cho phép bóng bay “lơ lửng” ở một độ cao nhất định - nếu không thì quả bóng sẽ bay lên đến tận cùng của bầu khí quyển). Nhưng nó giảm như thế nào? Về điểm này, thông tin chi tiết còn mâu thuẫn, nhưng có sự phụ thuộc rõ ràng của áp suất không khí trung bình vào độ cao (có giá trị lên đến vài km): ở mực nước biển, áp suất là 760 mm Hg. Nghệ thuật. (hoặc 101,3 $10^{3}$ Pa) và giảm 1 mm Hg. Nghệ thuật. (133,3 Pa) cho mỗi độ cao 12 m. Do đó, tăng 1 m sẽ dẫn đến giảm áp suất

15

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

“QUANTA”

nhiếp ảnh gia chiếm vị trí tương tự. Có phải sự khác biệt về thời gian này hay điều gì khác đã gây ra sự khác biệt nổi bật như vậy trong các bức ảnh (Hình 3)?

F2728. Hãy ước tính chiều cao của cây qua tán lá nơi tia sáng Mặt trời xuyên qua. Các điểm sáng hình thành trên đường nhựa (Hình 4). Chiều rộng (được đánh dấu màu xanh)

Hình 2

Hệ số căng bề mặt của nước là V 0,07 J $м^{2}$.

F2726. Hãy ước tính tốc độ trung bình của gió trong bầu khí quyển Trái đất nếu nhiệt độ trung bình của nước trên bề mặt trái đất gần xích đạo là 27 q C. Giả sử “chu kỳ” của khí quyển kéo dài 1 ngày. Albedo của Trái đất là 35%, hằng số mặt trời E là 1,37 kW $м^{2}$.

F2727. Vết dầu tương tự trên đường nhựa ướt được chụp hai lần bằng điện thoại thông minh, cách nhau khoảng 16 giây. Điện thoại thông minh liên quan đến người đang đứng trên đường nhựa

Hình 3

Hình 4

điểm mũi tên) của chiếc ủng, có thể nhìn thấy một phần trong ảnh, là 12,5 cm (được đo độc lập bằng thước kẻ).

Lời giải bài toán M2706–M2709, F2713–F2716 M2706. Mười sáu đội của Liên đoàn Khúc côn cầu Quốc gia được ghép thành tám cặp ở vòng đầu tiên của vòng loại trực tiếp và đấu với nhau theo loạt trận nhất trong bốn trận (vì vậy tỷ số của loạt trận có thể là 4–0, 4–1, 4–2 hoặc 4–3). Sau mỗi vòng đấu, các đội chiến thắng trong các cặp của mình sẽ được ghép đôi lại và các đội thua sẽ không còn tham gia giải đấu. Sau vòng chung kết thứ 4, kết quả có đúng k đội có tổng số trận thắng trong tất cả các trận đấu không nhỏ hơn số trận thua (ví dụ: đội đủ điều kiện

44

KVA NT 2022/Số 10

2 (5–6). Hãy gọi một ngày là “palindrome” nếu nó đọc giống nhau từ trái sang phải và từ phải sang trái (không tính đến dấu chấm). Ví dụ: ngày 22/02/2022 là một bảng màu. Khi nào thì ngày palindrome tiếp theo được viết theo cùng định dạng với ngày đã cho? 3 (5–6). Kolya đã làm bài tập về nhà: trong 2 giờ, cậu ấy đã hoàn thành được một nửa số bài tập toán, 3-4 bài tập vật lý và tất cả các bài tập hóa học. Và khi hoàn thành xong công việc, anh phát hiện ra rằng 25% tổng thời gian được dành cho các bài tập hóa học. Được biết, nếu anh ấy chỉ làm môn vật lý thì anh ấy sẽ hoàn thành tất cả các bài tập trong đó trong một giờ. Kolya mất bao lâu để hoàn thành tất cả các nhiệm vụ? Chúng tôi tin rằng mỗi nhiệm vụ trong một chủ đề đều yêu cầu cùng một lượng thời gian để hoàn thành. 4 (5–6, 7–8, 9). Ta sẽ ký hiệu các số abc có ba chữ số viết dưới dạng a, b, c. Có bao nhiêu số có ba chữ số sao cho abc acb chia hết cho 72 mà không có số dư? 5 (5–6, 7–8, 9). Petya đang xây một lâu đài bằng các hình khối. Tại một thời điểm, ông đã miêu tả một lâu đài chưa hoàn thiện ở ba góc nhìn: mặt trước, mặt bên và mặt trên. Cái mà

Hơn nữa, mọi người đều đào được một số luống giống nhau (không nhất thiết phải là số nguyên). Ngày hôm sau, một số công nhân đổ bệnh vì Covid-19 và chỉ có 7 người đến làm việc. Những người đến làm việc nửa ngày với năng suất như ngày đầu tiên và hoàn thành phần công việc còn lại. Có tổng cộng bao nhiêu giường trên lô đất? 8 (7–8). Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x; y mà đẳng thức x y x y 1 2 y giữ

9 (9). Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x; y mà đẳng thức x y x y 1 y giữ

10 (9). Giáo viên viết phương trình bậc hai lên bảng

$x^{2} ax^{2022}$

Andrey lần lượt thay thế tất cả các số nguyên từ 0 đến 99 cho a và giải được tất cả 100 phương trình thu được. Tìm tổng của tất cả các nghiệm thực của các phương trình này mà Andrey thu được. Nếu cần, hãy làm tròn đáp số đến hàng trăm gần nhất.

Tùy chọn 2 Số khối nhỏ nhất có thể được hiển thị ở chế độ xem trên cùng là bao nhiêu? 6 (5–6, 7–8, 9). Đến giữa thế kỷ 22, loài người đã xâm chiếm được 100 hành tinh có thể ở được trong các hệ sao khác. Có 40 cổng siêu không gian tỏa ra từ mỗi hành tinh và 40 cổng từ các hành tinh khác dẫn đến mỗi hành tinh. Tất cả các cổng đều không chồng chéo và hoàn toàn chỉ có một chiều, tức là nếu có một cổng dẫn từ A đến B thì không có cổng nào dẫn từ B đến A. Ông Riggs muốn đi từ Galatea 37 đến Pandora với số lần nhảy siêu không gian ít nhất. Anh ta có thể cần bao nhiêu lần nhảy (liệt kê tất cả các lựa chọn)? 7 (7–8, 9). Các công nhân phải đào lên nhiều luống giống hệt nhau. Ngày đầu tiên, công nhân đào được 10 luống,

(lớp 10) 1. Số nào sẽ đứng ở vị trí thứ 2022 trong dãy vô hạn 12, 13, 14, 15, 16, 17, …, nếu loại bỏ tất cả các hình vuông và lập phương của bất kỳ số tự nhiên nào (tức là các số $16 4^{2}, 25 5^{2}, 27 3^{3}$,…) bị loại bỏ? 2. Giải bất đẳng thức

$18 x^{3} 9 x^{2} 2 x 1$ arccos 2 x 1 t

§ $1 3 \cdot t$ arccos ¨ ¨ ¸. q 4 sin 50 4 sin 40 q ¸ ¹ ©

3. Tìm số ước tự nhiên của giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức xyz xy yz zx 2023, nếu tổng các số không âm x, y và z bằng 2022. 4. Trong số tất cả các tứ giác nội tiếp, tìm tứ giác ABCD có chu vi nhỏ nhất, trong đó BC CD AD và tất cả các khoảng cách theo cặp giữa các điểm -