Lời giải bài toán M2722—M2725; F2729—F2732

24

KVAN T 2023/№2

F2742. Một cục nước đá có nhiệt độ 0 q C được ném vào nhiệt lượng kế có chứa nước nóng. Sau khi thiết lập cân bằng nhiệt, nhiệt độ của nước giảm đi 12 q C. Khi ném miếng băng thứ hai giống hệt vào nhiệt lượng kế, nhiệt độ của nước lại giảm thêm 10 q C. Nhiệt độ của nước sẽ giảm bao nhiêu độ nếu ném mảnh băng thứ ba giống hệt vào đó và nó tan chảy hoàn toàn? Có thể bỏ qua nhiệt dung của nhiệt lượng kế và sự trao đổi nhiệt với môi trường. Thể hiện Đáp số bằng độ C và làm tròn đến phần mười gần nhất. A. Bychkov

dây tại điểm T nếu R = 20 Ohm. Biểu thị Đáp số bằng ampe và làm tròn đến phần mười gần nhất. M.Romashka

F2744. Hai gương phẳng có kích thước a u a, trong đó a = 10 cm, đặt vuông góc với mặt phẳng ảnh, chạm vào nhau tạo thành một góc E 70 q (Hình 4).

F2743. Học sinh này đã lắp ráp một mạch điện gần như vô tận bao gồm một số lượng rất lớn điện trở (Hình 3).

Cơm. 4

Cơm. 3

Nếu bạn di chuyển dọc theo mạch này từ trái sang phải thì sau mỗi điểm phân nhánh, điện trở của điện trở nằm phía trên điểm phân nhánh bằng điện trở của điện trở nằm ở bên trái điểm phân nhánh và điện trở của điện trở nằm phía dưới điểm phân nhánh lớn gấp đôi điện trở của điện trở nằm phía trên điểm phân nhánh. Hiệu điện thế trong mạch này là U= 27 V. Tìm dòng điện chạy qua tiết diện

Giữa hai gương, cách điểm tiếp xúc của chúng một khoảng l = 5 cm, đặt một vật nhỏ có kích thước bỏ qua. Ta ký hiệu góc giữa gương B và hướng từ điểm nối của gương đến vật là D. Xác định giá trị nào của góc D 5 ảnh sẽ được tạo ra trong hệ gương (bản thân vật không được coi là ảnh). M. Karmanov

Lời giải bài toán M2722–M2725, F2729–F2732 M2722. Cho một tam giác không cân cấp tính. Một hành động cho phép bạn cắt một trong các hình tam giác hiện có dọc theo đường trung tuyến thành hai hình tam giác. Liệu tất cả các hình tam giác có thể trở thành hình cân sau một vài bước không?

Đáp số: họ không thể. Hãy chứng minh rằng trong số các tam giác có sẵn luôn có một tam giác không cân

25

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

tam giác không vuông. Tại thời điểm ban đầu điều này là đúng. Ở lần di chuyển tiếp theo, hãy cắt tam giác không vuông ABC không cân hiện có dọc theo đường trung tuyến BM (xem hình). Vì không cân nên đường trung tuyến BM không trùng với chiều cao, tức là một trong các góc AMB, CMB tù. Gọi đây là góc AMB. Hãy chứng minh AMB là tam giác mà chúng ta cần. Nó tù (và do đó không phải hình chữ nhật). Vì ABC z 90 q nên trung tuyến BM không bằng nửa cạnh AC nên AM z BM. Ngoài ra, AB! AM và AB! BM (AB là cạnh đối diện với góc lớn nhất của tam giác AMB). Điều này có nghĩa là tam giác AMB không cân. E. Bakaev

M2723. Được biết, trong số nhiều tờ tiền có mệnh giá là các số tự nhiên khác nhau từng cặp, có đúng N tờ tiền giả. Trong một lần kiểm tra, máy dò sẽ xác định tổng mệnh giá của tất cả các tờ tiền thật có trong bộ chúng tôi đã chọn. Chứng minh rằng sau khi N kiểm tra có thể tìm được tất cả các tờ tiền giả nếu: a) N 2; b) N 3.

a) Sau khi kiểm tra bộ tiền giấy, ta tìm được tổng S mệnh giá của hai tờ tiền giả. Sau đó, bạn có thể tiến hành theo những cách khác nhau. Cách 1. Các cặp tiền giấy có tổng mệnh giá S không giao nhau. Lấy một tờ tiền từ mỗi cặp, chúng ta sẽ tìm thấy một tờ tiền giả trong bộ này trong một lần kiểm tra. Vì vậy, một vài hàng giả sẽ được xác định. Cách 2. Xét tập tất cả các tờ tiền có mệnh giá nhỏ hơn S 2. Trong bộ này có đúng một tờ tiền giả nghĩa là chúng ta nhận ra. Tờ tiền giả thứ hai là tờ có mệnh giá trùng với mệnh giá của tờ tiền thứ nhất cho đến S. b) Sau khi kiểm tra bộ tất cả các tờ tiền, ta tìm được tổng S của các mệnh giá của cả ba tờ tiền giả. Chúng tôi sẽ chỉ ra hai thuật toán về cách tiến hành. Cách 1. Đối với lần kiểm tra thứ hai, chúng tôi đưa vào bộ hóa đơn có mệnh giá nhỏ nhất từ ​​mỗi bộ ba với số tiền S. Trong bộ này

“QUANTA”

chắc chắn sẽ không bao gồm tờ tiền lớn nhất K từ mỗi bộ ba: thực sự, nếu K là tờ tiền nhỏ nhất trong bộ ba $T_{1}$ và lớn nhất trong bộ ba $T_{2}$, thì tổng các mệnh giá $T_{2}$ nhỏ hơn tổng các mệnh giá $T_{1}$. Điều này có nghĩa là trong bộ đã được xác minh có một hoặc hai hàng giả. Giả sử tổng mệnh giá của chúng bằng D. Tất cả các bộ ba nghi ngờ (có tổng mệnh giá S) được chia thành các bộ ba loại thứ nhất - với một cặp tờ tiền có tổng mệnh giá D và một tờ tiền S - D, và thuộc loại thứ hai - với một tờ tiền có mệnh giá D và một cặp tờ tiền có tổng mệnh giá S - D. Lưu ý rằng bộ ba của loại thứ hai $D, B_{1}, B_{2}$ không giao nhau với bộ ba của loại đầu tiên $A_{1}, A_{2}, S D$. Thật vậy, $A_{1} A_{2} D$, từ đâu $A_{1} D, A_{2} D$. Trong loại bộ ba thứ hai, D có giá trị thấp nhất, do đó $D B_{1}$ và $D B_{2}$. Nhưng vì $B_{1} B_{2} S D$, chúng ta có $B_{1} S D$ và $B_{2} S D$. Bây giờ, đối với lần kiểm tra thứ ba, chỉ cần chọn một hóa đơn không bằng D từ bộ ba loại thứ hai và một hóa đơn không bằng S – D từ bộ ba loại thứ nhất. Có chính xác một hàng giả trong bộ này và khi nhận ra nó, chúng ta có thể xác định rõ ràng ba hàng giả. Cách 2. Trong số các tờ tiền S 3 lớn, có một hoặc hai tờ tiền giả (gọi là tiền lớn). Chúng ta hãy tìm ra tổng của các mệnh giá của họ. Có hai trường hợp. 1) s d 2 S 3. Khi đó có một tờ tiền lớn. Do đó, trong số những tờ tiền nhỏ hơn S s 2, có đúng một tờ tiền giả. Chúng tôi nhận ra nó, và sau đó cái giả thứ ba được xác định rõ ràng. 2) s! 2 S 3. Nếu có một tờ tiền lớn thì hai tờ tiền giả còn lại cộng lại bằng S s, nhỏ hơn S 3, và có chính xác một trong số chúng nhỏ hơn S s 2. Nếu có hai tờ tiền lớn thì tờ tiền giả nhỏ nhất có mệnh giá S s và chính xác một trong những tờ tiền giả lớn nhỏ hơn s 2, nhưng lớn hơn S 3. Trong mọi trường hợp, hợp các khoảng 0, S s 2 và S 3, s 2 có đúng một tờ tiền giả. Hãy nhận ra nó (bằng cách kiểm tra tất cả các tờ tiền có mệnh giá trong các khoảng thời gian được chỉ định) và hiểu xem tờ tiền nào trong số đó