Kvant 2024, số 4 · Trang

9

MỞ VÀ ĐÓNG…

bao gồm các tế bào trước đây của một thân cây gỗ. Sự di chuyển qua các mạch xylem xảy ra hướng lên trên. Để sinh trưởng và phát triển hơn nữa, chất hữu cơ phải được phân phối khắp cây. Các chất hữu cơ này được hình thành trong lá trong quá trình quang hợp, trong khi các bước sóng ánh sáng khác nhau tới trên lá dẫn đến sự hình thành carbohydrate - phần màu đỏ của quang phổ và các axit amin và protein - phần màu xanh của quang phổ. Và sự chuyển động của các sản phẩm quang hợp tự nó xảy ra thông qua các mạch của phloem. Các dòng đi lên và đi xuống được ngăn cách bởi một lớp cambium - tế bào phân chia trong suốt vòng đời của cây. Cambium mang lại sự sống cho cả tế bào xylem và phloem. Sự phân chia của các tế bào phát sinh gỗ, chỉ dừng lại vào mùa đông, tạo thành các vòng hàng năm, có thể nhìn thấy được trên một phần thân cây (xem Hình 1). Cambium và các lớp xylem và phloem liền kề là những phần hoạt động tích cực nhất của thân cây. Cùng với lá và lông rễ, chúng tạo thành một cơ thể duy nhất đảm bảo sự sinh trưởng và phát triển của cây. Khi bạn di chuyển từ tầng sinh gỗ vào trong thân cây, đặc tính dẫn điện của xylem dần dần bị mất đi và nó biến thành một lõi chắc chắn. Và khi loại bỏ phần bên ngoài, phloem sẽ biến thành vỏ cây, chủ yếu thực hiện chức năng bảo vệ. Khi thân cây dày lên theo thời gian, vỏ cây đang phát triển sẽ dần dần nứt ra. Đặc điểm của cây như một hệ thống mở là sự phát triển liên tục (và sự dày lên của thân cây) trong suốt cuộc đời của nó, sự rụng lá (kim) hàng năm và sự thay mới của lông rễ. Một số chất thải của cây tích tụ trong lõi của nó. Kiểu khép kín của hệ thống mạch hở như vậy của cây xảy ra ở nhiều cấp độ và do đó kết nối các thành phần của cây thành một sinh vật duy nhất. Đầu tiên là ở mức độ dinh dưỡng. Các cơ quan trên mặt đất (thân, cành, lá, chồi) cần khoáng chất và nước từ đất, được rễ hấp thụ. Và rễ cây cần

sản phẩm của quá trình quang hợp xảy ra ở lá. Nếu sự trao đổi này không đầy đủ thì sinh trưởng chậm lại, cành, lá co lại, giảm kích thước, số lượng quả… Thứ hai là nhờ sự trợ giúp của hormone. Điều này cho thấy một số điểm tương đồng với thế giới động vật, mặc dù số lượng phytohormone ít hơn và chức năng của chúng ở thực vật đơn giản hơn. Phytohormone tham gia vào quá trình sinh trưởng và vận động sinh trưởng của cây, khi bị stress, ra hoa, phát triển quả, rụng lá… Có một số hormone kích hoạt sự sinh trưởng của cây. Hai loại phytohormone chính của sự tăng trưởng được tổng hợp ở rễ, đó là cytokinin, và trong quá trình phát triển chồi và lá, đây là auxin. Cytokinin di chuyển dọc theo xylem từ rễ lên ngọn cây, và ngược lại, auxin di chuyển từ đầu chồi dọc theo phloem xuống rễ cây. Những hormone này và sự tương tác của chúng thực sự gắn kết cây thành một sinh vật duy nhất, cho phép phát triển hơn nữa ở cả phần trên và phần dưới của cây. Sự hiện diện của cả hai loại hormone và sự cân bằng giữa chúng đều rất quan trọng. Vì vậy, cytokinin chỉ phân chia tế bào khi có mặt auxin. Một loại hormone tăng trưởng khác, gibberellin, được sản xuất ở cả lá và rễ và được vận chuyển qua các mạch của cả xylem và phloem. Vai trò của nó là kéo dài thân cây. Cambium nằm giữa xylem, qua đó các cytokinin di chuyển lên thân cây, và phloem, qua đó các auxin di chuyển xuống. Điều này dẫn đến thực tế là khi dư thừa cytokinin, sự hình thành phloem chiếm ưu thế sẽ xảy ra và khi dư thừa auxin thì sự hình thành xylem sẽ xảy ra. Ngược lại, có một số phytohormone có tác dụng ngăn chặn sự tăng trưởng. Điều này rất quan trọng, chẳng hạn như vào mùa thu, khi sự tích tụ của chúng đưa các tế bào thận vào trạng thái nghỉ ngơi. Và vào mùa xuân, hàm lượng của chúng giảm sẽ đánh thức sự phát triển của chồi. Khi thực vật bị căng thẳng (do mất nước, lạnh, v.v.), hoạt động của các hormone như vậy sẽ ức chế quá trình trao đổi chất và bảo vệ tế bào khỏi cái chết. Vào mùa thu, những hormone này dẫn đến rụng lá và rụng quả.

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2790–M2792 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XLV. Bài toán F2797–F2800 đã được đưa ra tại Olympic Moscow lần thứ 85 dành cho học sinh môn vật lý.

Bài toán M2790–M2793, F2797–F2800

M2790. Chứng minh rằng trong số các đỉnh của một hình lục giác lồi bất kỳ, người ta có thể tìm thấy ba đỉnh tạo thành một tam giác tù, không có cạnh nào trùng với các cạnh của hình lục giác đó. A.Yuran

M2791. Mỗi ô của bảng N u N chứa một số. Chúng ta gọi một ô C là tốt nếu một trong các ô liền kề với C ở bên cạnh có số 1 nhiều hơn C và một số ô khác liền kề với C ở bên cạnh có số 3 nhiều hơn C. Số lượng ô tốt nhất có thể có là bao nhiêu? A. Chebotarev

M2792. Có 9 cột dọc liên tiếp. Ở một số nơi, các thanh ngang được chèn vào giữa các trụ liền kề; không có hai cái nào có cùng độ cao. Con bọ bò từ dưới lên trên; gặp một cây gậy, anh ta bò dọc theo cây gậy đó đến trụ tiếp theo và tiếp tục bò lên. Được biết, nếu một con bọ xuất phát ở cuối cột đầu tiên (ngoài cùng bên trái) thì nó sẽ kết thúc đường đi của mình ở cột thứ chín (ngoài cùng bên phải). Có phải luôn luôn có thể loại bỏ một cây gậy để con bọ ở cuối con đường kết thúc ở đầu cột thứ năm? (Ví dụ: nếu các que được sắp xếp như Hình 1, bọ sẽ bò dọc theo một đường liền. Nếu bạn loại bỏ que thứ ba

Hình 1

bám vào đường đi của con bọ, sau đó nó sẽ bò dọc theo đường chấm.) G. Karavaev

M2793*. Trong tam giác nhọn ABC (AB AC), điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp: (Hình 2). Giả sử đường tiếp tuyến của: vẽ tại điểm A, cắt đường thẳng BC tại điểm D. Đường thẳng DO cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại các điểm E và F. Điểm G được dựng sao cho AEGF song song

:

Hình 2

21

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Trong trường hợp này, sự chuyển động của ánh sáng trong khí quyển làm thay đổi tính chất của môi trường không mạnh nhưng trơn tru. Cùng với sự thay đổi mật độ không khí khi nó đến gần bề mặt Trái đất, hướng thẳng đứng trong đó mật độ thay đổi nhanh nhất cũng thay đổi (tức là các đường thẳng đứng ở những nơi khác nhau trên đường đi của tia sáng không phải là các đường thẳng song song). Ví dụ, nếu chúng ta giả sử rằng độ dày của khí quyển trên Trái đất là khoảng 32 km (ở độ cao này, mật độ không khí xấp xỉ 1% mật độ không khí gần bề mặt Trái đất ở mực nước biển), thì với bán kính Trái đất là khoảng 6400 km, chiều dài đường đi của ánh sáng tiếp tuyến với bề mặt Trái đất từ ​​điểm đi vào khí quyển đến bề mặt Trái đất là (không tính đến khúc xạ) khoảng 640 km. Trong trường hợp này, các đường thẳng đứng của nơi đi vào khí quyển và tại nơi chùm ánh sáng chạm vào bề mặt Trái đất tạo thành một góc rất nhỏ - khoảng 0,1 rad, hay khoảng 5,7q. Khi tính đến hiện tượng khúc xạ, độ dài đường đi sẽ còn lớn hơn và các đường thẳng đứng được đề cập sẽ tạo thành một góc thậm chí còn lớn hơn. Các thí nghiệm được thực hiện trong điều kiện bình thường cho thấy một ngôi sao nhìn thấy được ở ngay đường chân trời (độ cao so với đường chân trời 0q) đang ở

“QUANTA”

trên thực tế, nó đã giảm xuống dưới đường chân trời khoảng 35 phút cung. Nói cách khác, chúng ta, khi ở trên bề mặt Trái đất, nhìn thấy các vật thể không gian phát sáng nằm ở một góc đặc lớn hơn 2S. Nếu Trái đất phẳng và có bầu khí quyển phía trên nó với mật độ gần bề mặt giống như Trái đất thật, thì trong trường hợp này chúng ta sẽ thấy các vật thể phát sáng nằm ở một góc đặc bằng 2S. Trong trường hợp này, đối với chúng ta, có vẻ như góc mà chúng ta nhìn thấy chúng nhỏ hơn 2S, tức là ánh sáng của các vật thể vũ trụ sẽ đến với chúng ta (nằm trên bề mặt Trái đất) theo các hướng tạo thành một góc với đường chân trời không nhỏ hơn góc khúc xạ. Chúng ta hãy ước tính độ lớn của một góc như vậy đối với Trái đất phẳng. Chiết suất của ánh sáng trong không khí ở điều kiện bình thường xấp xỉ n 1,00028. Theo định luật khúc xạ, tỉ số giữa các góc tới và góc khúc xạ bằng tỉ số vận tốc ánh sáng trong môi trường tương ứng. Theo đó, góc tối thiểu với đường chân trời, được hình thành bởi các tia sáng tới từ các vật thể bên ngoài khí quyển, đối với Trái đất phẳng sẽ bằng arccos 1 n | 1,35 q 81 phút cung. Dưới đây là bảng lấy từ Internet, cho thấy chiều cao góc biểu kiến ​​của một nguồn sáng điểm (ngôi sao) đối với

Chúng tôi và người mẫu

TÙY CHỌN VẬT LÝ

L.ASHKINAZI

Có rất nhiều bài toán liên quan đến vật lý nên tôi muốn phân loại chúng. Ví dụ: bạn có thể chia chúng thành “bài toán trong vật lý” và “vật lý bài toán”. Những câu đầu tiên là những bài toán có ​​trong sách bài tập và được đưa ra trong kỳ thi hoặc tại Thế vận hội. Vấn đề thứ hai là những vấn đề bài toán được xử lý bởi một “nhà vật lý thực hành”. Sự phân chia này không hoàn toàn nghiêm ngặt. Vì vậy, có hai cuốn sách có vấn đề - của Jirl Walker và Pyotr Leonidovich Kapitsa, trong đó một phần quan trọng của bài toán đáng được các nhà vật lý chú ý, bao gồm cả các tác giả của sách có vấn đề. Một điều nữa là đối với họ, có thể nói, bài toán này không phải là những vấn đề khoa học nghiêm trọng mà là một trò giải trí thú vị. Nhưng nếu chúng ta xem xét kỹ hơn, chúng ta sẽ thấy trong những nhiệm vụ này có một đặc điểm quan trọng giúp gắn kết chúng với những nhiệm vụ rất nghiêm túc đó. Bạn sẽ gặp họ khi bước vào trò chơi tuyệt vời này - Vật lý. Đến cấp độ đầu tiên. Đặc điểm này không phải là sự hiển nhiên của mô hình. Khi giải quyết bất kỳ bài toán nào, chúng tôi tính đến điều gì đó và điều gì đó thì không. Trường học bài toán là nơi chúng tôi luôn biết chính xác những gì chúng tôi có thể tính đến, vì ngoài sách vấn đề còn có sách giáo khoa và mọi thứ đều được viết ở đó. Trong vật lý nghiêm túc thì điều này không xảy ra; chúng ta không bị giới hạn bởi bất cứ điều gì - ngoại trừ kiến ​​thức hiện tại của chúng ta. Tuy nhiên, có những truyền thống và khi xem xét, chẳng hạn như chuyển động của Trái đất hoặc Mặt trăng, chúng ta không tính đến áp lực của ánh sáng mặt trời và thậm chí chúng ta không biện minh cho điều này. Nhưng với kích thước vật thể nhỏ hơn, áp lực này sẽ phải được tính đến - mặc dù nó đã trở nên nhỏ hơn. (Nhân tiện, bạn nghĩ kích thước bao nhiêu? Hãy thử làm phép tính.) Những cách đơn giản hóa mà chúng tôi sử dụng có thể được chia thành hai nhóm. Cái trước phổ biến hơn trong các vấn đề ở trường học; họ đơn giản hóa triệt để lời giải bài toán, chứ không phải

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240405

dẫn tới những mâu thuẫn cơ bản. Các ví dụ đã được biết rõ - bỏ qua lực cản của không khí khi một vật chuyển động trong khí quyển, hằng số của lực cản riêng, sự độc lập của ma sát với áp suất và tốc độ, sự bằng nhau của ma sát tĩnh cực đại và ma sát trượt, tính lý tưởng của các chất khí, độ cứng của các giá đỡ, tính không giãn và không trọng lượng của dây, v.v. Bản thân bạn biết tất cả các ví dụ này và sau khi trải qua bài toán mà bạn đã giải trong trí nhớ, hãy nhớ những ví dụ khác. Một số sự đơn giản hóa “trường học” có thể được khắc phục khá dễ dàng. Ví dụ, nếu ma sát tĩnh cực đại và ma sát trượt không bằng nhau thì không có gì phức tạp. Đôi khi có thể xem xét một trường hợp cụ thể, đôi khi có thể xây dựng một mô hình máy tính. Công việc đơn giản hóa như vậy rất hữu ích cho việc mở rộng tầm nhìn tuy nhỏ nhưng có tầm quan trọng cơ bản. Trong số những sự đơn giản hóa ở trường học, có những điều về nguyên tắc vi phạm tính mạch lạc logic của môn vật lý. Vì vậy, người ta có thể hỏi tại sao chúng ta không tính đến bức xạ năng lượng ở lời giải bài toán với sự chuyển mạch (chuyển mạch) hoặc khi xem xét một mạch dao động, mặc dù về bức xạ

29

THUỘC VẬT CHẤT

điện tích chuyển động có gia tốc được đề cập trong sách giáo khoa. Hoặc tại sao chúng ta không tính đến áp suất khí quyển cũng như lực Archimedean khi xác định phản lực của vật đỡ (cân)? Và một điều nữa - tại sao chúng ta không tính đến chênh lệch áp suất theo chiều cao khi xem xét thủy lực bài toán (bình thông nhau của các phần khác nhau, hai pít-tông)? Đôi khi đáp số sẽ trông như thế này: rất khó để tính đến điều này, nhưng trên thực tế hiệu quả rất nhỏ nên không được tính đến. Nhưng đôi khi chúng ta không thoát khỏi dễ dàng như vậy, việc cân nhắc đòi hỏi lời giải khó khăn bài toán. Việc đơn giản hóa nhóm thứ hai, nhóm “người lớn”, đôi khi trở thành những vấn đề khá nghiêm trọng, nhưng ngay cả việc xem xét công thức của chúng cũng có thể hữu ích và thú vị. Dưới đây là một số ví dụ với nhận xét ngắn gọn. Tại sao chúng ta tác dụng lực hấp dẫn mg vào trọng tâm, tức là tại một điểm? Thứ nhất, điểm chỉ tồn tại trong toán học, chúng không tồn tại trong vật lý. Thứ hai, khi tác dụng một lực hữu hạn lên một diện tích nhỏ sẽ xuất hiện ứng suất cơ học lớn. Ví dụ, khi mg được áp dụng vào trọng tâm của một người, thậm chí không phải vào một điểm, mà vào một nền tảng, chẳng hạn như ở $1 мм^{2}$, thì ứng suất cơ học sẽ lớn hơn độ bền kéo. Và “điểm” này sẽ cắt xuyên qua cơ thể bạn và huýt sáo về phía tâm Trái đất. Và thân của bạn, sau khi giảm cân, sẽ ngừng ấn xuống sàn, sàn và chân của bạn sẽ không giãn ra, và bạn sẽ từ từ bay lên trên. (Nhân tiện, đây là một bài toán đơn giản - bạn sẽ bay với tốc độ bao nhiêu?) Tất nhiên, phản ứng của giá đỡ, lực ma sát và lực mao dẫn không tác dụng lên điểm. Những điều sau này thật may mắn - khi vẽ một mao mạch, chúng được mô tả là hai chứ không phải một, giống như lực hấp dẫn yếu. Tại sao không nhìn vào lực lượng phân tán là gì? Nhân tiện, đối với các nhà xây dựng và chuyên gia về độ bền của vật liệu, những người sống và suy nghĩ trong dầm, giàn và màng, đề xuất đặt trọng lượng của chính phần tử vào trọng tâm sẽ gây ra tiếng cười. Trên thực tế, tình huống là thế này: có bài toán, trong đó mô hình “lực tác dụng lên một điểm” cho phép chúng ta thu được đáp số chính xác. Nhưng có những người khác bài toán. Một ví dụ đơn giản hơn là sự phân rã phóng xạ, khi mọi thứ kết thúc. Đây là những cái còn lại

KHÔNG BẮT BUỘC

ba nguyên tử, thời gian bán hủy của chúng sắp hết, và trước chúng bài toán Cường độ bi kịch của Hamlet - một rưỡi phải tan rã. Ai sẽ tha cho một nửa của mình vì hành động hy sinh bản thân này? Bạn có đoán được rằng trong một bài toán bạn có thể sử dụng hai ngôn ngữ (ngôn ngữ thứ hai là lý thuyết xác suất). Nói chung, khi một hàm tiến tới một giá trị tiệm cận thì đây là một tín hiệu đáng báo động. Ví dụ: hàm phân bố vận tốc của các phân tử khí, tức là phân phối Maxwell. Đánh giá theo công thức trong sách giáo khoa, nó không bằng 0 ở đâu cả, phép tính gần đúng với trục x là tiệm cận. Từ đó có suy ra rằng có những phân tử trong khí quyển chuyển động nhanh hơn tốc độ ánh sáng không? Có lẽ là không. (Nhưng tại sao?) Chúng ta hãy lưu ý rằng phương trình nhiệt lời giải tiêu chuẩn (phương trình Fourier) dẫn đến tốc độ truyền nhiệt vô hạn. Tuy nhiên, phương trình này đã có từ hai thế kỷ trước và nó vẫn chưa làm ai thất vọng. Nhưng đó chỉ là bây giờ. Việc thay đổi các điều kiện thí nghiệm và mở rộng phạm vi đại lượng mà vật lý và kỹ thuật sử dụng có thể dẫn đến nhu cầu mở rộng và cải tiến bất kỳ mô hình nào. Một lý thuyết mở rộng về độ dẫn nhiệt “ngoài Fourier” đã được xây dựng cách đây vài năm (Tạp chí Vật lý Kỹ thuật, 2021, Số 1, trang 5). Bạn đang làm gì với định luật Hooke? Mọi chuyện ổn chứ? Bạn không mơ về anh ấy vào ban đêm, phàn nàn về sự không chính xác của mô hình sao? Biến dạng có tính đàn hồi, sự phụ thuộc của biến dạng vào lực trên đường đi tới và đi về là như nhau, nghĩa là công đưa vào biến dạng đều có thể được trích ra trên đường đi về. Lý luận đơn giản này mâu thuẫn với—đừng quên—định luật bảo toàn năng lượng. Thực tế là các lò xo nóng lên trong quá trình hoạt động nên mọi thứ đều ổn định về mặt năng lượng, có sự tinh tế trong định luật Hooke và nguồn gốc của tọa độ (Thư gửi Tạp chí Vật lý Kỹ thuật, 1999, số 17, trang 29 và 2018, số 15, trang 80). Chà, tóm lại, chúng ta hãy chuyển sang tĩnh điện. Bất kỳ học sinh nào cũng sẽ dễ dàng xác nhận rằng trong tĩnh điện, khi không có dòng điện, nếu một dây dẫn được tích điện thì các điện tích sẽ nằm trên bề mặt của nó. Hơn nữa, nếu là một quả bóng thì mật độ điện tích sẽ không đổi. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra -

Giải đấu thành phố XLV

GIỚI THIỆU

Bài toán du xuân

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1 (4).^{1}$ Nếu Vasya chia một chiếc bánh hoặc một miếng bánh thành hai phần, anh ấy luôn làm cho chúng có khối lượng bằng nhau. Và nếu anh ta chia nó thành nhiều phần hơn thì anh ta có thể làm chúng bất cứ thứ gì anh ta muốn, nhưng tất cả chúng phải có khối lượng khác nhau. Sau nhiều lần chia như vậy, Vasya đã cắt chiếc bánh thành 17 miếng. Tất cả các bộ phận có thể có khối lượng bằng nhau không? (Bạn không thể kết hợp các phần.) B. Frenkin

2 (4). Bàn cờ 8 và 8 được sơn lại bằng nhiều màu (mỗi ô một màu). Hóa ra nếu hai ô nằm cạnh nhau theo đường chéo hoặc tách biệt với nhau bằng nước đi của hiệp sĩ thì chúng nhất thiết phải có màu khác nhau. Số màu nhỏ nhất có thể dùng được là bao nhiêu? M. Evdokimov

3 (5). Năm tam giác đều được sắp xếp như hình 1. Ba tam giác lớn bằng nhau

Hình 1

giữa chúng và hai cái nhỏ cũng bình đẳng với nhau. Tìm các góc của tam giác ABC. E. Bakaev

4 (5). Hai tên cướp biển chia sẻ 25 đồng tiền vàng có mệnh giá khác nhau, được đặt trong một hình vuông có kích thước 5 x 5. Những tên cướp biển thay phiên nhau lấy một đồng xu từ mép (có thể lấy một đồng xu

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm của một bài toán được tổng hợp).

nếu ở bên trái, hoặc bên phải, hoặc bên dưới, hoặc bên trên thì không có cái nào khác). Có đúng là tên cướp biển đầu tiên luôn có thể hành động sao cho đảm bảo nhận được ít nhất một nửa tổng số chiến lợi phẩm? M. Evdokimov

5 (6). Có N con trăn, miệng có kích thước 1 cm, 2 cm,…, N cm. Mỗi con boa constrictor có thể nuốt một quả táo có đường kính bất kỳ (tính bằng cm), không vượt quá kích thước miệng của nó. Nhưng bạn không thể biết được ai đó có miệng bằng cách nhìn vào vẻ bề ngoài của họ. Vào buổi tối, người chăm sóc có thể đưa cho mỗi con trăn bao nhiêu quả táo tùy thích với kích cỡ tùy ý, và trong đêm, con trăn sẽ nuốt tất cả những quả vừa vào miệng. Tổng số quả táo tối thiểu mà người chăm sóc phải đưa cho những con trăn vào buổi tối là bao nhiêu để đến buổi sáng, dựa vào kết quả, anh ta đảm bảo xác định được kích thước miệng của từng con trăn? T. Kazitsyna

lớp 10–11

1 (3). Trong dãy số thực $a_{1}, a_{2},^{…}$, mỗi số bắt đầu từ số thứ ba bằng một nửa tổng của hai số trước đó. Chứng minh rằng mọi parabol có dạng $y x^{2} a_{n} x a_{n} 1$ (trong đó n 1, 2, 3, …) đều có điểm chung. M. Evdokimov

2 (4). Một hình chữ nhật tùy ý được chia thành các tam giác vuông như Hình 2. Một hình vuông có cạnh nằm trên cạnh huyền được nội tiếp trong mỗi tam giác. Cái nào lớn hơn: diện tích hình vuông lớn nhất hay tổng diện tích của ba hình vuông còn lại? M. Evdokimov

Hình 2

để rõ ràng, phân đoạn này hiển thị người chơi đã thực hiện nước đi). Bạn có thể nhận thấy rằng sau bất kỳ bước đi tiếp theo nào của người chơi đầu tiên, người chơi thứ hai sẽ có thể chiếm được hình vuông. Trò chơi này được biết đến ở nhiều nước dưới những cái tên khác nhau. Các quy tắc của nó được nhà toán học người Pháp Edouard Lucas công bố lần đầu tiên vào năm 1889. 4. Ếch và cóc. Trên 2n + 1 ô thẳng hàng $расположены^{n}$ ếch $и^{n}$ cóc, giữa đó có một ô trống (Hình 3). Ếch bên trái, cóc bên phải.

Hình 3

Ếch chỉ có thể di chuyển sang bên phải: đến ô liền kề nếu ô trống hoặc nhảy qua một con cóc hoặc một con ếch đến ô trống. Con cóc cũng vậy nhưng chúng chỉ di chuyển về bên trái. Mục tiêu của trò chơi là hoán đổi ếch và cóc. Các động tác không nhất thiết phải xen kẽ giữa ếch và cóc. Bài toán 1. Chứng minh rằng trò chơi giải đố này luôn có lời giải. Tìm số lần di chuyển. Một khái quát của trò chơi này cho thấy chính nó. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có m con cóc $и^{n}$ ếch? Bài toán 2. Chứng minh rằng câu đố tổng quát cũng có lời giải và tìm số lần di chuyển. Câu đố này có bao nhiêu lời giải? Hãy biểu thị một bước di chuyển bằng chữ cái Ш nếu đó là một bước di chuyển đến một ô liền kề và bằng chữ P nếu đó là một bước nhảy. Hãy viết ra chuỗi các nước đi dẫn đến chiến thắng. Ví dụ, trong trường hợp hai con cóc và hai con ếch:

SHPSHPSHPSH

Lưu ý rằng chuỗi di chuyển kết quả là một bảng màu [3]. Bài toán 3. Chứng minh rằng điều này đúng với số lượng cóc và ếch tùy ý. Bài toán 4. Có đúng là chuỗi nước đi thắng cũng sẽ là một bảng màu đối xứng cho $случая^{m} z^{n}$ không? Một dạng khái quát khác của câu đố này là trường hai chiều (Hình 4). Bây giờ ếch chỉ có thể di chuyển sang phải hoặc xuống, cóc chỉ có thể di chuyển sang trái và lên.

Hình 4

Một con lưỡng cư có thể nhảy qua người hàng xóm của nó, miễn là ô vuông mà nó đáp xuống trống. Mục tiêu của câu đố một lần nữa là khiến ếch và cóc đổi chỗ cho nhau. Bài toán 5. Chứng minh rằng câu đố hai chiều có lời giải. Có một phiên bản khác của trò chơi “Cóc và Ếch” do nhà toán học Richard Guy đề xuất. Trong trò chơi này, cóc và ếch lại nằm trên một đường thẳng nhưng có thể có nhiều ô tự do, các bước di chuyển được phép là như nhau, chỉ duy nhất trò chơi này là phải thắng. Người thua cuộc là người không thể thực hiện thêm bước đi nào khác. Các vị trí trong trò chơi như vậy có thể được gán giá trị. Đôi khi chúng là những con số quen thuộc với chúng ta và đôi khi chúng là những thực thể khác phức tạp hơn. Nỗ lực phân tích chi tiết những trò chơi như vậy bất ngờ dẫn đến một lý thuyết thú vị và phức tạp. Một cuộc thảo luận chi tiết có thể được tìm thấy trong cuốn sách [4] và bộ sưu tập [5].

Văn học

1. Máy kiểm tra laze. – «Kvant», 1970, số 4, tr. 59. 2. Trò chơi yoga. – «Kvant», 1978, số 9, tr. 64. 3. https: www.cut-the-knot.org SimpleGames FrogsAndToads.shtml 4. E. R. Berlekamp, ​​​J. H. Conway, R. K. Guy. Những cách chiến thắng cho trò chơi toán học của bạn. Tập 1. – AK Peters/CRC Press, 2001. 5. J. Conway và cộng sự. Người đàn ông chơi toán. – M.: MTsNMO, 2023.

Tài liệu do N. Panyunin chuẩn bị