Kvant 2024, số 7 · Trang

8

KVANT 2024/№7

phản ứng sẽ bắt đầu

$H_{1}^{2} He_{2}^{3} o He_{2}^{4} p 8,35$ MeV

(Phản ứng hiệu quả hơn về mặt năng lượng của deuterium và tritium là không phù hợp do thời gian bán hủy ngắn của tritium). 2. Cần kiểm soát cấu hình không gian của plasma nhiệt hạch theo cách đảm bảo cách nhiệt của nó với vật liệu của thành lò phản ứng và tạo thành dòng vật chất theo hướng mong muốn. Các phương pháp từ tính để giam giữ và làm nóng plasma bằng điện từ mang lại những triển vọng nhất định cho lời giải những vấn đề này. Không đi sâu vào chi tiết về các phương pháp tiếp cận vật lý và kỹ thuật khả thi đối với lời giải hai vấn đề đã được xác định bằng cách sử dụng trường điện từ, chúng tôi lưu ý đến ưu điểm quan trọng nhất của động cơ tên lửa nhiệt hạch tiềm năng. Theo các chuyên gia, những động cơ này sẽ có thể đảm bảo dòng khí plasma thoát ra với tốc độ khoảng 50.000 km/s, khá phù hợp cho những chuyến bay tới những ngôi sao gần nhất. Giá trị của tốc độ này chủ yếu được xác định bởi nhiệt độ bên trong lò phản ứng nhiệt hạch, cụ thể là căn bậc hai của nhiệt độ này. Về mặt này, động cơ tên lửa nhiệt hạch tương tự như động cơ phản lực chất lỏng, trong đó tốc độ của dòng phản lực cũng tỷ lệ thuận với căn bậc hai của nhiệt độ khí. Một phiên bản kỳ lạ của động cơ nhiệt hạch có thể là động cơ dựa trên sự phát nổ của bom hydro thu nhỏ. Ý tưởng về một động cơ như vậy lần đầu tiên được đề xuất vào những năm 1950 và 1960 trong dự án Orion. Động cơ Orion giả định dựa trên ý tưởng sử dụng xung lực giật được tạo ra bởi vụ nổ của bom nguyên tử năng lượng thấp. Để xung như vậy hoạt động, bom phải phát nổ ở gần tấm đĩa lớn nằm ở đuôi tên lửa. Hơn nữa, điện tích hạt nhân phải được thiết kế sao cho phi thuyền có thể hấp thụ một phần đáng kể xung lực vụ nổ.

Không tập trung vào các vấn đề kỹ thuật liên quan đến việc thực hiện dự án Orion và các dự án nhiệt hạch sau này, chúng tôi lưu ý kết luận chính. Động cơ tên lửa nhiệt hạch nổ chỉ có khả năng tăng tốc tàu vũ trụ lên tốc độ 15.000 km/s. Đây là tốc độ cao nhưng rõ ràng là không đủ cho những chuyến bay thực sự giữa các vì sao. Trong những phi thuyền nổ như vậy, giá trị khối lượng cuối cùng và khối lượng ban đầu của tên lửa sẽ khác nhau rất nhiều, vì hầu như toàn bộ khối lượng sẽ được sử dụng để tăng tốc. Vấn đề tương tự cũng xảy ra ở động cơ nhiệt hạch plasma, nhưng đối với chúng, tỷ lệ giữa khối lượng ban đầu và khối lượng cuối cùng của phi thuyền sao dễ chấp nhận hơn nhiều. Vì vậy, không chỉ có thể tăng tốc một phi thuyền nhiệt hạch plasma mà còn có thể cung cấp chế độ phanh thuận lợi cho toàn bộ con tàu hoặc mô-đun riêng lẻ của nó. Một trong những lời giải của vấn đề thiếu nhiên liệu trên các phi thuyền nhiệt hạch có thể là động cơ nhiệt hạch Bussard ramjet. Trong động cơ này, người ta đề xuất sử dụng vật chất liên sao, chủ yếu bao gồm các nguyên tử hydro, làm nhiên liệu nhiệt hạch. Do nồng độ vật chất giữa các vì sao rất thấp nên để tạo ra nồng độ proton cần thiết trong lò phản ứng nhiệt hạch, hydro vũ trụ sẽ phải được thu giữ trên một diện tích lớn bằng một phễu đặc biệt. Các ước tính cho thấy đường kính ngoài của miệng núi lửa này có thể lên tới hàng trăm, hàng nghìn km. Điều này có nghĩa là các phi thuyền của Bussard phải có kích thước khổng lồ, tăng tốc từ từ với lực đẩy phản lực rất nhỏ. Tên lửa photon Dữ liệu trong Hình 2 cho thấy chỉ những tên lửa trong đó dòng vật chất thoát ra từ động cơ xảy ra ở tốc độ lớn hơn 100.000 km/s mới phù hợp nhất cho các chuyến bay giữa các vì sao. Thật không may, ngày nay không có quá trình vật lý nào được biết đến có thể tạo ra kết quả thông thường

9

GIỮA CÁC NGÔI SAO

BAY:

Hình 3. Tổng quan về tên lửa photon

chất làm việc của động cơ tên lửa có tốc độ tương tự. Đúng, có một ngoại lệ - ánh sáng. Nó không cần tốc độ ánh sáng, nó chỉ tồn tại khi chuyển động và tốc độ của nó trong chân không 300.000 km/s là giới hạn đối với vật chất. Không khó để đưa ra một thiết kế trong đó xung ánh sáng phản xạ đóng vai trò như một phản lực. Đây có thể là những luồng ánh sáng được tạo ra trên chính phi thuyền, chẳng hạn như sử dụng nguồn sáng ở tiêu điểm của gương parabol hoặc luồng ánh sáng hướng vào gương phản chiếu.

Hình 4. Có thể xuất hiện thuyền buồm StarChip

GIẤC MƠ

VÀ

THỰC TẾ

cánh buồm sáng ngời của một con tàu vũ trụ từ bên ngoài. Công trình thuộc loại thứ nhất được gọi là “tên lửa photon” (Hình 3), công trình thuộc loại thứ hai được gọi là “cánh buồm nhẹ” (Hình 4). Để phi thuyền photon trở thành một phương tiện du hành liên hành tinh hiệu quả, cần phải có một nguồn photon hoạt động liên tục với công suất khổng lồ. Nguồn áp suất ánh sáng như vậy chỉ có thể là sự hủy diệt của vật chất và phản vật chất. Đối với các cơ chế vật lý khác, năng lượng ánh sáng phát ra và áp suất ánh sáng được tạo ra có độ lớn thấp hơn đối với cùng mức tiêu thụ khối lượng nhiên liệu. Như đã lưu ý ở đầu bài viết, thu được phản vật chất với số lượng lớn là một nhiệm vụ bất khả thi. Để làm được điều này, bạn sẽ phải tiêu tốn nhiều năng lượng hơn mức có thể nhận được dưới dạng ánh sáng. Tất cả điều này làm cho các dự án tên lửa photon trở nên thuần túy tưởng tượng. Thực tế hơn nhiều là việc phóng các phi thuyền buồm thu nhỏ tới các vì sao bằng cách sử dụng các nguồn ánh sáng mạnh nằm trên mặt đất hoặc trong không gian. Những chiếc thuyền buồm không gian thu nhỏ như vậy dự kiến ​​sẽ được gửi tới các ngôi sao gần đó như một phần của dự án Breakthrough Starshot. Bản thân chiếc thuyền buồm (Hình 4) sẽ bao gồm một đầu dò nano StarChip nặng 1 g và một cánh buồm siêu nhẹ có khối lượng 1 g và diện tích $16 м^{2}$. Tổ hợp laser 100 GW sẽ được sử dụng để tăng tốc StarChip. Theo các nhà khoa học, các chùm tia laser tập trung vào cánh buồm sẽ tạo ra gia tốc 10.000 g cho thuyền buồm và tăng tốc nó lên tốc độ 15% đến 20% tốc độ ánh sáng trong 5 phút. Với tốc độ này, thuyền buồm StarChip sẽ có thể đến được ngôi sao gần nhất Al-

Serge Petrovich Novikov

(20.03.1938 – 06.06.2024)

Ngày 6/6/2024, nhà toán học, viện sĩ ưu tú của Viện Hàn lâm Khoa học Nga, thành viên lâu năm trong ban biên tập và hội đồng biên tập tạp chí «Kvant», Phó tổng biên tập thứ nhất tạp chí «Kvant» (1990 – 2007) đã qua đời. Sergei Petrovich sinh ra trong một gia đình toán học nổi tiếng: cha ông, viện sĩ Pyotr Sergeevich Novikov, là chuyên gia chính trong lĩnh vực lý thuyết tập hợp, logic toán học, lý thuyết thuật toán và lý thuyết nhóm. Công trình của ông về tính duy nhất của thế nghịch đảo bài toán đã mở ra một hướng quan trọng trong toán học ứng dụng, và mẹ ông, Giáo sư Lyudmila Vsevolodovna Keldysh, được biết đến trong thế giới toán học nhờ công trình nghiên cứu về cấu trúc liên kết hình học và lý thuyết tập hợp, trong đó bà đã đưa ra lời giải một số vấn đề khó khăn trong các lĩnh vực này. Ông ngoại của Sergei Petrovich, Vsevolod Mikhailovich Keldysh, được tất cả các bách khoa toàn thư trong nước ghi nhận là người tạo ra bê tông cốt thép của Nga, và chú của ông, anh trai của mẹ ông, Mstislav Vsevolodovich Keldysh, là một chuyên gia lớn trong lĩnh vực toán học ứng dụng và trong nhiều năm đứng đầu Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Anh trai của S.P. Novikov, Leonid Veniaminovich Keldysh, là một nhà vật lý lý thuyết xuất sắc, một chuyên gia trong lĩnh vực vật lý chất rắn, vật lý bán dẫn và vật lý phóng xạ lượng tử. Sergei Petrovich Novikov là nhà khoa học nổi tiếng thế giới, người sáng lập một số lĩnh vực hiện đại về hình học, cấu trúc liên kết, lý thuyết hệ động lực, lý thuyết trường lượng tử và vật lý chất rắn. Một trong những thành tựu cao nhất của S.P. Novikov là chứng minh tính bất biến tôpô của các lớp hữu tỷ Pontryagin (1965) - một kết quả cơ bản quyết định phần lớn sự phát triển tiếp theo của tôpô. Những kết quả mang tính đột phá tạo ra những hướng đi mới trong tôpô đại số và vi phân đã được Sergei Petrovich thu được trong lý thuyết cobordism và lý thuyết cấu trúc trơn trên đa tạp. Những công trình này đã được trao Giải thưởng Lênin (1967) và Huy chương Fields, giải thưởng cao nhất của Liên đoàn Toán học Quốc tế (1970).

16

KVANT 2024/№7

Đóng góp của S.P. Novikov cho toán học và vật lý lý thuyết đã được thế giới công nhận. Ông là người sáng lập phương pháp tích hợp vùng hữu hạn của các phương trình phi tuyến của vật lý toán học, phương pháp đại số hình học trong lý thuyết soliton và là người tạo ra lý thuyết về các hàm hành động đa giá trị (lý thuyết Morse–Novikov). Ông đã phát hiện ra hiện tượng tôpô trong kim loại bình thường trong điều kiện từ trường mạnh. Vì những đóng góp của mình cho khoa học, S.P. Novikov đã được trao Huân chương Vàng vĩ đại mang tên M.V. Lomonosov - giải thưởng cao nhất của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (2020), Huy chương Vàng Leonhard Euler của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (2012), Huy chương Vàng mang tên N.N. Bogolyubov của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (2009), N.I. Giải Lobachevsky của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (1980). Ông được bầu làm thành viên danh dự của nhiều học viện, hội khoa học nước ngoài. S.P. Novikov là tổng biên tập tạp chí “Uspekhi Matematicheskikh Nauk” (1988–2023), chủ tịch Hội Toán học Moscow (1985–1996). S.P. Novikov là người tạo ra một trường phái khoa học xuất sắc, tác giả của các chuyên khảo và sách giáo khoa cơ bản. Những vấn đề do S.P. Novikov đặt ra và những giả thuyết ông đưa ra tiếp tục có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của khoa học. Trong hơn 40 năm, hoạt động sư phạm của Sergei Petrovich gắn bó chặt chẽ với khoa hình học cao cấp và cấu trúc liên kết của Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Tổng hợp Moscow, nơi ông đứng đầu từ năm 1982 cho đến cuối đời. S.P. Novikov là một trong những người khởi xướng thành lập Đại học Độc lập Moscow, trường đóng vai trò quan trọng trong giáo dục toán học Nga. S.P. Novikov cũng rất quan tâm đến các vấn đề giáo dục học đường. Sergei Petrovich đã làm rất nhiều việc để thu hút cả các nhà toán học trẻ và đã nổi tiếng đang hoạt động tích cực đến với tạp chí «Kvant» với tư cách là tác giả. Ký ức về nhà khoa học vĩ đại, người thầy và con người tuyệt vời sẽ mãi mãi còn trong trái tim chúng ta.

Vật lý lý thuyết và toán học hiện đại

THẾ GIỚI TOÁN HỌC

S. NOVIKOV

Vật lý lý thuyết luôn được coi là toán học của thế giới thực, theo một nghĩa nào đó, là nguồn gốc chính của các ý tưởng toán học kể từ thế kỷ 17, là động lực chính cho sự phát triển của thế giới thực.

Từ cuốn sách “Thành phần toán học” (ấn bản thứ 2).

90% là các nhà toán học và là sợi dây kết nối chính giữa toán học và phần còn lại của khoa học tự nhiên. Vào thế kỷ 20, vật lý lý thuyết đạt tới đỉnh cao; nó đã trở thành khoa học chính xác chính. Những nhà lãnh đạo vĩ đại của vật lý lý thuyết đã có thể sử dụng và đôi khi tạo ra những lý thuyết toán học trừu tượng rất sâu sắc khi cần thiết để khám phá thực tế. Ngôn ngữ toán học và các kỹ thuật vật lý lý thuyết được phát triển đặc biệt như những công cụ toán học tốt nhất để nghiên cứu các vấn đề trong thế giới thực. Các quy luật mới của tự nhiên đã được phát hiện, và ngày nay, trên cơ sở đó, các công nghệ mới có hiệu quả thực tế đáng kinh ngạc đã được phát triển.

TOÁN HỌC

ty, và nó đã thay đổi thế giới của chúng ta mãi mãi. Trong nhiều thế kỷ, bài toán lời giải (tích hợp) các phương trình vi phân mô tả các hiện tượng tự nhiên là trọng tâm của sự tương tác giữa vật lý và toán học. Mọi người đều biết bài toán hai vật nổi tiếng do Newton giải có vai trò gì trong việc phát triển các phương pháp toán học của vật lý. Trong một thời gian dài sau đó, việc tìm ra các phương trình vi phân lời giải phân tích chính xác vẫn là công cụ chính của vật lý toán học: nếu bài toán trông quá khó, thì cần phải đơn giản hóa nó và sau đó tìm kiếm lời giải chính xác. Người ta đã dành nhiều nỗ lực để tìm ra những “trường hợp tích phân” đặc biệt của bài toán nổi tiếng, chẳng hạn như bài toán về chuyển động của một đỉnh. Vì lý do này, vào thế kỷ 19, tất cả các phương pháp toán học đã được phát hiện và phát triển, bao gồm chuỗi lũy thừa và lượng giác, phép biến đổi tích phân Fourier–Laplace, giải tích phức và xét tính đối xứng. Đôi khi những phương pháp này dẫn đến kết quả tiêu cực đáng chú ý - bằng chứng cho thấy mô hình này hoặc mô hình kia về nguyên tắc là không thể giải quyết được. Vào thế kỷ 19, một số trường hợp kỳ lạ có thể tích phân đã được phát hiện trong đó không thể nhìn thấy sự đối xứng rõ ràng: khả năng tích phân của dòng trắc địa trên các hình elip hai chiều trong không gian Euclide ba chiều (Jacobi), chuyển động của một đỉnh với các tham số đặc biệt trong trường hấp dẫn không đổi (Kovalevskaya) và một số trường hợp khác. Sự đối xứng ẩn đằng sau tất cả điều này là gì? Đáp số không rõ ràng trước khi lý thuyết soliton ra đời. Soliton (hay sóng đơn độc) trong nước đã được biết đến vào thế kỷ 19, nhưng với sự ra đời của những chiếc máy tính đầu tiên vào những năm 1960, các thí nghiệm số đã có thể thực hiện được cho thấy những đặc tính mới đáng chú ý của các sóng phi tuyến này. Lời giải thích toán học của họ đã dẫn đến việc tạo ra lý thuyết về các mô hình soliton có thể tích hợp, kết nối các phần khác nhau

THẾ GIỚI

toán học và vật lý. Trong loạt bài này: sóng phi tuyến trong môi trường liên tục (bao gồm lý thuyết plasma và quang học phi tuyến); lý thuyết lượng tử, lý thuyết tán xạ và tinh thể tuần hoàn; Động lực học Hamilton; hình học đại số của bề mặt Riemann và các đa tạp Abelian (hàm theta). Tôi sẽ đưa ra luận điểm sau: một phần quan trọng trong những khám phá quan trọng nhất trong toán học và vật lý toán học được thực hiện trong quá trình phát triển lý thuyết về các mô hình tích hợp. Vào những năm 1970, những thay đổi quan trọng đã xảy ra trong sự hợp tác giữa các nhà toán học và vật lý học. Ví dụ, các kết quả cấu trúc liên kết đã giải thích những quan sát thực nghiệm quan trọng đã tồn tại suốt nửa thế kỷ. Vào đầu những năm 80, các nhà vật lý nhất trí rằng điều chính mà các nhà vật lý học được từ toán học trong 10 năm qua là cấu trúc liên kết. Đồng thời, những khám phá của các nhà vật lý bắt đầu được áp dụng trong cấu trúc liên kết. Chúng ta hãy nhớ lại rằng từ lý thuyết phương trình Yang–Mills tự đối ngẫu đã phát triển lý thuyết tức thời với những ứng dụng đáng chú ý của nó đối với cấu trúc liên kết bốn chiều. Lý thuyết phương trình Yang–Baxter dẫn tới lý thuyết đa thức Jones trong lý thuyết nút thắt. Các lý thuyết trường phù hợp hai chiều nổi tiếng đã tạo ra nhiều mô hình có thể tích hợp, cũng đại diện cho các đối tượng đại số mới có mối liên hệ sâu sắc với lý thuyết soliton và các nhóm lượng tử. Trong thập kỷ qua, ngay trong thế kỷ 21, những ý tưởng toán học đến từ các nhà vật lý lý thuyết đã có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của hình học đại số. Sự tương tác giữa toán học và vật lý lý thuyết vẫn chưa dừng lại; những thành tựu của mỗi ngành khoa học này làm phong phú thêm cho ngành khoa học kia. Để kết luận, tôi muốn gửi một lời chúc đến các nhà toán học trẻ: hãy mở rộng phạm vi các hội thảo khoa học mà bạn tham dự trong cả toán học và vật lý. Đạt được sự hiểu biết sẽ tự biểu hiện, mặc dù theo thời gian.

19

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Hình 2

Hệ số ma sát của đai ốc trên mặt phẳng là P tg D, trong đó D là góc ma sát (tức là góc nghiêng tại đó bắt đầu trượt). Đai ốc phẳng P bị lệch khỏi đường OB, được gọi là đường có độ dốc lớn nhất hoặc đường có độ dốc lớn nhất và được thả ra mà không có tốc độ ban đầu. Với góc tối đa bằng bao nhiêu $M_{max}$ đai ốc có thể bị lệch khỏi đường có độ dốc lớn nhất mà nó không bắt đầu chuyển động sau khi được thả ra? A. Burov

F2811. Nếu ở nhiệt độ phòng (20 q C), bạn bơm không khí bên ngoài vào một chai có thành trong suốt ướt từ bên trong đến áp suất, chẳng hạn như 2,33 atm, hãy đợi một lúc để nhiệt độ và áp suất của hơi nước bão hòa được thiết lập bên trong (2,33 kPa ở 20 ° C), sau đó mở chai, sau đó sương mù xuất hiện trong đó ngay sau khi nút chai và một phần nội dung bay ra ngoài. Nhiệt độ của đồ bên trong (ở giữa chai) tại thời điểm này sẽ là bao nhiêu? Các dữ liệu cần thiết về nước, đặc biệt là về sự phụ thuộc của áp suất hơi bão hòa của nước vào nhiệt độ, có thể tìm thấy trong sách tham khảo vật lý. B. Tumanov

F2812. Một máy biến áp ba pha có lõi sắt hình chữ F và ba cuộn dây giống nhau có số vòng dây như nhau. Lõi sắt không bão hòa và có độ nhạy từ rất cao và không đổi. Nếu bạn đặt một điện áp xoay chiều có biên độ $U_{0}$ vào cuộn dây bao phủ mạch từ ở giữa, thì điện áp sẽ bị loại bỏ khỏi bất kỳ cuộn dây nào khác

“QUANTA”

chuyển động nửa biên độ. Nếu bạn đặt cùng một điện áp vào một trong các cuộn dây bên, thì điện áp ở cuộn dây giữa sẽ bằng $0,55U_{0}$. 1) Đặt một điện áp U sin Z t vào một trong các cuộn dây và 2 U cos Z t vào cuộn dây kia. Điện áp nào được loại bỏ khỏi cuộn dây thứ ba? (Có một số phương án, vui lòng cho biết tất cả các phương án có thể.) 2) Nếu bạn sử dụng máy biến áp này để cố gắng đạt được điện áp có biên độ cực đại khi có nguồn điện áp xoay chiều có biên độ $U_{0}$, thì biên độ của điện áp này sẽ là bao nhiêu? Vẽ sơ đồ nối máy biến áp với nguồn điện áp và các cực. 3) Sử dụng cùng một máy biến áp, cùng một nguồn điện áp xoay chiều cần thu được điện áp xoay chiều có biên độ không bằng 0 nhưng có thể nhỏ hơn so với $U_{0}$. Điện áp biên độ tối thiểu này là gì? S. Varlamov

Lời giải bài toán M2786–M2793, F2793–F2796 M2786. Có 100 chấm trắng trong một vòng tròn. Anya và Borya lần lượt sơn một điểm chưa được sơn màu đỏ hoặc xanh, Anya bắt đầu. Anya muốn có càng nhiều cặp chấm lân cận nhiều màu càng tốt, và Borya muốn có càng ít cặp như vậy càng tốt. Số cặp chấm lân cận nhiều màu lớn nhất mà Anya có thể đảm bảo cho chính mình, bất kể trò chơi của Bori là bao nhiêu?

Đáp số: 50. Tổng cộng có 100 cặp điểm lân cận trong vòng tròn. Nó đủ để chứng minh rằng Anya luôn có thể đảm bảo rằng trong số 100 cặp cặp khác màu này có ít nhất 50 cặp, và Borya có thể đảm bảo rằng trong số 100 cặp cặp cùng màu này có ít nhất 50 cặp. Có một số chiến lược phù hợp cho Anya và Borya. Có lẽ các chiến lược đơn giản nhất là như sau.

21

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

tất cả các điểm được đánh dấu trên 111 bộ tuyến tính? b) Câu hỏi tương tự nếu yêu cầu thêm rằng mỗi tập hợp tuyến tính phải là một đoạn gồm các điểm được đánh dấu (nghĩa là nếu hai điểm được đánh dấu khác nhau được bao gồm trong một tập hợp tuyến tính thì tất cả các điểm được đánh dấu trên đoạn giữa chúng cũng vậy).

2

3

Đáp số: a) $2^{3} n$; b) $C_{2} nn$, trong đó n 111 3 37. Xét một tam giác đều có cạnh k, chia tam giác đó thành các tam giác đều có cạnh 1 và đánh dấu tất cả các đỉnh của các tam giác này; Chúng ta gọi kết quả được xây dựng là tam giác k. Trong phần tiếp theo, khi nói đường thẳng, chúng ta sẽ luôn hiểu là những đường thẳng song song với các cạnh của tam giác này và đi qua ít nhất một điểm đã đánh dấu. a) Bổ đề. Cho A là một điểm được đánh dấu trong tam giác k. Khi đó có một cách duy nhất để vẽ k đường sao cho tất cả các điểm được đánh dấu, có lẽ ngoại trừ A, đều bị bao phủ bởi các đường này. Cụ thể, với mỗi cạnh của tam giác k, ta vẽ tất cả các đường thẳng song song với nó và nằm giữa cạnh này và điểm A (kể cả cạnh đó nhưng loại trừ đường thẳng chứa A. Hình 1 (Hình 1). Chứng minh quy nạp trên k. Cơ sở của k 1 rất dễ kiểm tra: ta cần vẽ một đường thẳng chứa hai điểm còn lại ngoại trừ A. Để tiếp tục, xét cạnh của tam giác k mà A không nằm trên đó. Nếu đường thẳng chứa cạnh này không được vẽ, thì tất cả các điểm được đánh dấu k + 1 trên đường thẳng này phải được bao phủ bởi các đường khác nhau; điều này là không thể, vì có k đường thẳng được vẽ. Loại bỏ nó và các điểm của tam giác k nằm trên nó, chúng ta thu được tam giác k 1 trong đó k 1 đường thẳng được vẽ với cùng điều kiện.

“QUANTA”

thay đổi giả định quy nạp. Bổ đề đã được chứng minh. Hãy chuyển sang bài toán. Hãy xem xét một trong các phân vùng thành các tập hợp tuyến tính. Đối với mỗi bộ, chúng ta vẽ một đường chứa nó. Khi đó, những đường thẳng này bao phủ tất cả các điểm được đánh dấu của tam giác (3n) đã cho của chúng ta, trong đó n 37, có lẽ ngoại trừ tâm A của nó. Điều này có nghĩa là những đường thẳng này được sắp xếp như mô tả trong bổ đề, và đối với bất kỳ phân hoạch nào, tập hợp các đường thẳng này đều giống nhau. Lưu ý rằng tam giác (3n) của chúng ta được chia thành 6 vùng: ba “hình thoi” ở các góc, bao gồm các điểm được bao phủ bởi các đường thẳng của chúng ta hai lần và ba “hình thang” ở hai bên, trong đó mỗi điểm được bao phủ bởi một đường thẳng (Hình 2). Khi đó mỗi điểm trong “hình thang” thuộc về tập hợp nằm trong Hình 2 mu trên đường thẳng này; mỗi điểm trong “hình thoi” có thể được quy cho bất kỳ tập hợp nào trong hai tập hợp nằm trên các đường thẳng đi qua nó. Tất cả các lựa chọn như vậy có thể được thực hiện độc lập với nhau. Vì mỗi viên trong số ba “viên kim cương” chỉ chứa $n^{2}$ điểm nên chúng ta thấy rằng có chính xác $2^{n}$ phân vùng bắt buộc

2

3

.

b) Với lời giải bài toán b) chúng ta lặp lại tất cả lý do trên cho đến việc phân bổ điểm trên các tập hợp trong “kim cương”. Ví dụ: hãy xem xét “viên kim cương” phía dưới bên trái và đặt S là tập hợp các điểm được đánh dấu $n^{2}$ trong đó (Hình 3). Hãy tô màu đỏ các đường ngang đi qua các điểm của tập S và đánh số từ 1 đến n từ dưới lên trên. Tương tự, ta tô màu và đánh số các đường nghiêng đi qua các điểm của tập S bằng màu xanh lam. Theo cách tô màu và đánh số các đoạn thẳng, ta tô màu và đánh số các đoạn thẳng nằm. 3

25

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

bò lên trên với tốc độ không đổi theo quy tắc của chúng tôi (trong trường hợp này, chúng sẽ bò qua que ngay lập tức), bọ ở que ngang sẽ đổi chỗ và không có hai con bọ nào ở trên cùng một cột cùng một lúc. Điều này có nghĩa là ở đầu mỗi cột sẽ có một con bọ ở cuối. Hãy gọi con bọ bắt đầu từ cột đầu tiên là màu đỏ và con bọ kết thúc ở đầu cột trung tâm là màu xanh lá cây. Lưu ý rằng con bọ đỏ bắt đầu ở bên trái con bọ xanh và kết thúc ở bên phải. Điều này có nghĩa là trên ít nhất một cây gậy họ đổi chỗ cho nhau. Hãy bỏ cây gậy này ra: qua đó chúng ta sẽ chuyển hướng con bọ đỏ dọc theo lộ trình của con bọ xanh, con bọ này sẽ đạt được điều chúng ta mong muốn. Hãy để chúng tôi trình bày một sơ đồ về một lời giải hơi khác một chút. Ban đầu, chúng ta sẽ đặt con bọ màu xanh lên trên cùng của cột thứ năm và để nó bò từ trên xuống dưới. Quỹ đạo của nó sẽ giao nhau với quỹ đạo của con bọ đỏ trên thanh ngang. Hãy loại bỏ cây gậy này. G. Karavaev

M2793*. Trong tam giác nhọn ABC (AB AC), điểm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp: (Hình 1). Giả sử đường tiếp tuyến của: vẽ tại điểm A, cắt đường thẳng BC tại điểm D. Đường thẳng DO cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại các điểm E và F. Điểm G được dựng sao cho AEGF là hình bình hành. Gọi K và H lần lượt là giao điểm của đoạn BC với các đoạn EG và FG. Chứng minh đường tròn (GKH) tiếp xúc với đường tròn:.

Hình 1

“QUANTA”

Hình 2

Cho điểm T đối xứng với điểm A so với DO (Hình 2). Khi đó DT là tiếp tuyến của đường tròn: đối xứng với tiếp tuyến DA đối với DO. Chúng tôi có ETF FAE EGF. Suy ra các điểm E, F, T và G cùng nằm trên một đường tròn. Tiếp theo ETD DAE ACB EKD. Suy ra các điểm D, E, K, T cùng nằm trên một đường tròn. Suy ra T là điểm Mikel của bốn đường thẳng DBC, DEF, EKG, FHG. Điều này có nghĩa là các điểm T, K, H và G cũng nằm trên cùng một đường tròn. Để hoàn thành lời giải cần chứng minh DT tiếp tuyến với đường tròn (TKHG). Sử dụng sự bằng nhau của các góc nội tiếp, tính song song và tính đối xứng đối với DO, ta có DTK FEK EFA TFE TGK. Đẳng thức thu được DTK TGK có nghĩa là DT tiếp tuyến với đường tròn (TKHG). Đồng Lưu

Từ biên tập viên. Các tính chất thú vị sau đây cũng có thể được tìm thấy trong cấu trúc hình học của bài toán M2793. (1) Nếu đường tròn (EFG) cắt AB, AC lần thứ hai tại P và Q thì PQ đi qua trực tâm tam giác ABC; (2) AG cắt đường tròn (TKHG) lần thứ hai tại điểm X sao cho tiếp tuyến của (TKHG) qua X đi qua D. Hơn nữa, (1) đúng với mọi cặp điểm E và F nằm trên AB và AC sao cho EF đi qua O, và (2)

28

KVAN T 2024/№7

đường cong, cần lưu ý rằng trong phần thẳng, áp suất tại tất cả các điểm là như nhau, nhưng ở phần cong chúng khác nhau. Nhưng áp suất không thể thay đổi đột ngột; Do đó, trong lời giải phải có sự phụ thuộc vào khoảng cách mà một phần chất lỏng đã di chuyển trong một phần cong, nhưng sự phụ thuộc này trong lời giải không có. Đúng, điều kiện nói lên rằng nơi bạn cần tìm tốc độ nằm cách xa đoạn thẳng. Điều này có nghĩa là kết quả lời giải đúng về mặt chất lượng nhưng không chính xác.

F2795. Vòng có bán kính R, độ dày của vòng nhỏ so với bán kính, khối lượng của vòng m phân bố đều dọc theo chu vi của nó. Chiếc nhẫn được tháo xoắn quanh trục đối xứng của nó, đặt trên một mặt phẳng có hệ số ma sát gồ ghề bằng P, nghiêng một góc D so với phương ngang và được đẩy lên trên. Trục đối xứng của vòng vuông góc với mặt nghiêng. Chiếc nhẫn được ép vào bề mặt ở tất cả các điểm trên chu vi của nó. Tại một thời điểm nào đó, tâm của vòng có tốc độ bằng 0 (so với bề mặt) và vòng quay với vận tốc góc Z. Tâm của vòng chuyển động tại thời điểm đã cho với gia tốc bằng bao nhiêu? Tốc độ góc quay của vòng giảm ở tốc độ nào tại thời điểm này?

Tại thời điểm đã chỉ định, tất cả các điểm của vòng tiếp xúc với bề mặt đều chuyển động và tốc độ chuyển động của chúng hướng tiếp tuyến với vòng. Điều này có nghĩa là tổng lực ma sát tác dụng lên vòng tại thời điểm này bằng không. Do đó, gia tốc của tâm vòng bằng $а_{ц} = g$ sin D. Vận tốc góc quay của vòng giảm và tại thời điểm chỉ định gia tốc góc tương ứng (trên thực tế là giảm tốc) bằng d Z dt g P cos D. R

Ngoài lời giải đơn giản này, bạn có thể đưa ra cho người đọc những câu hỏi phức tạp hơn những câu hỏi trong điều kiện nhiệm vụ.

chi: tâm của chiếc nhẫn sẽ di chuyển bao xa từ thời điểm xác định đến thời điểm chiếc nhẫn dừng quay; Hỏi chiếc nhẫn sẽ quay được góc bao nhiêu trong khoảng thời gian này? Đối với đáp số, những câu hỏi này rõ ràng sẽ yêu cầu sử dụng máy tính, vì để tìm sự phụ thuộc của gia tốc và vận tốc của tâm vòng theo thời gian, cũng như để thiết lập sự phụ thuộc của vận tốc góc quay của vòng theo thời gian, cần phải giải các phương trình vi phân trong đó cần tính tích phân phức và các tích phân chứa cả vận tốc của tâm vòng và vận tốc góc quay của nó.

F2796. Một hộp cố định rất dài, có thành mỏng, làm bằng vật liệu không dẫn điện. Mặt cắt ngang của hình hộp là hình vuông có cạnh a. Trên trục đối xứng của hộp có một thanh mỏng rất dài mang điện tích phân bố đều dọc theo chiều dài của nó. Mật độ điện tích tuyến tính V. Gắn vào mép hộp là một đầu của một sợi dây mỏng, không dẫn điện, không trọng lượng và không dãn, được quấn quanh hộp, tạo thành N vòng giống hệt nhau. Các mặt phẳng quay vuông góc với trục đối xứng của hình hộp. Một vật điểm (quả bóng) có khối lượng m và điện tích q được gắn vào đầu kia của sợi dây. Tại thời điểm ban đầu, vật này nằm cạnh vị trí mà đầu sợi chỉ được cố định vào hộp và tốc độ của nó tại thời điểm này bằng 0. Thiết kế này ở trong chân không và có thể bỏ qua trọng lực. Khi một vật chuyển động, đến một lúc nào đó nó đạt vận tốc cực đại. Độ lớn của tốc độ này là bao nhiêu và độ căng của sợi dây tại thời điểm này là bao nhiêu?

Thanh tạo ra một điện trường trong không gian xung quanh, vectơ cường độ của nó tại bất kỳ điểm nào trong không gian vuông góc với thanh và độ lớn của vectơ này được xác định bởi khoảng cách từ thanh đến điểm tương ứng. Giá trị này có thể được tìm thấy bằng định lý Gauss:

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

“Dễ lời giải với một hình học khó bài toán”

K. KOZERENKO, A. GERASIMOVA, A. LUZGINA

CHÚNG TÔI đặt dấu ngoặc kép trong tiêu đề bài viết vì đó là một câu trích dẫn. Đây là tựa đề bài báo của L. Euler [1], được ông xuất bản năm 1767. Trong đó, Euler đặt ra vấn đề dựng lại một tam giác từ giao điểm của các đường cao H, giao điểm của các đường trung tuyến M, giao điểm của các phân giác I và tâm của đường tròn ngoại tiếp O (Hình 1). Việc điểm M nằm trên đoạn HO đã xuất hiện trong bài viết này (xem [2]). Hình 1 215 năm trôi qua, và vào năm 1982, nhà toán học người Mỹ William Wernick đã công bố một danh sách gồm 139 bài toán [3], trong đó ông cố gắng hệ thống hóa bài toán cách dựng lại một tam giác từ một số trong ba điểm của nó bằng cách sử dụng thước kẻ và la bàn. Trong số này, bài toán, số 80, được đề cập là cho đến nay vẫn chưa được giải quyết, và bài toán của Euler. Năm 1996, Myers công bố thêm lời giải 29 bài toán nữa từ danh sách của Wernick [4], bao gồm bài toán $№80.^{1}$ Myers trích dẫn lời giải làm ví dụ

một trong 29 bài toán. lời giải này đã sử dụng định lý sau (xem [7], chương 5). Định lý. Cho một đoạn có độ dài 1. Khi đó, nếu một phương trình bậc ba với các hệ số hữu tỉ không có nghiệm hữu tỉ và có nghiệm thực dương a, thì một đoạn có độ dài a không thể dựng được bằng compa và thước. Việc chứng minh định lý này không đơn giản và sử dụng bộ máy đại số nằm ngoài phạm vi chương trình học ở trường nên chúng tôi không trình bày (tuy nhiên, chúng tôi khuyên người đọc nên hiểu). Trong bài viết này, dựa trên cùng một định lý, chúng tôi sẽ đưa ra bằng chứng rằng đáp số trong bài toán 80 từ danh sách của Wernicke là âm, tức là không có thuật toán nào để tái tạo một tam giác bằng compa và thước từ các điểm H, I và O. Tuy nhiên, nếu thiếu la bàn và thước, thì một câu hỏi tự nhiên sẽ đặt ra: liệu có công cụ nào mà bằng cách thêm nó vào la bàn và thước, có thể giải được không bài toán? Chúng tôi cũng sẽ cho đáp số cho câu hỏi này. Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý (và điều này thật tuyệt vời!) rằng với la bàn và thước kẻ, bắt đầu từ tam giác HIO, bạn có thể khôi phục nhiều phần tử của tam giác: xây dựng đường tròn ngoại tiếp:, đường tròn nội tiếp Z, đường tròn chín điểm H (vòng tròn Euler) và thậm chí tìm bán chu vi p của tam giác mong muốn (Hình 2). Khi chúng tôi phát hiện ra điều này, chúng tôi nghĩ rằng gần như đã xong! Ở giai đoạn làm việc này, chúng tôi vẫn chưa biết đáp số và không thể hiểu tại sao, dù đã tiến bộ đến mức này, chúng tôi vẫn không thể hoàn thành thuật toán tái tạo tam giác từ các điểm H, I và O. Oils in

(Tiếp theo trang 34)

1 Chúng ta hãy lưu ý bài viết [5], đề cập đến tính không thể quyết định của các danh sách bài toán Wernicke khác, nhưng cách xây dựng tương tự cũng hoạt động cho bài toán 80. Đối với tình hình hiện tại với danh sách Wernicke, nó hiện đã đóng hoàn toàn (xem [6]) và các tác giả của công trình này đã học cách giải nhanh chóng bài toán đó trên máy tính.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240703

Hình 2

39

PHÒNG THÍ NGHIỆM

“QUANTA”

Hình 3. Phân bố chu kỳ dao động

trong trường hợp cụ thể này, đó là hàm phân phối thời kỳ. Đây là số dao động có chu kỳ nằm trong một khoảng nhất định. Bất kỳ phép đo nào cũng là một quá trình xác suất. Xác suất càng cao thì hiện tượng này càng đáng tin cậy, không còn nghi ngờ gì nữa. Ở vị trí “dây dẫn bên dưới”, con lắc dao động với chu kỳ ngắn nhiều hơn so với chu kỳ lớn; chu kì tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của gia tốc “rơi tự do”, nghĩa là hệ trở nên “nặng hơn”. Đúng vậy: trong những khoảng thời gian ngắn, lực tác dụng lên dòng điện hở sẽ được định hướng đến nơi cần thiết; như mong đợi (xem hình 1b). Dây dẫn trong cách sắp xếp này không chỉ bị ảnh hưởng bởi lực hấp dẫn $сила_{r}$ mà còn bởi lực f. Trong thời gian dài, mọi thứ diễn ra hoàn toàn ngược lại. Tất nhiên, thật đáng tiếc là xác suất tối đa không cách xa nhau hơn. Lý do rất rõ ràng: ngoài dòng điện hở còn có dòng điện đóng, ảnh hưởng của từ trường lên chúng là rất đáng kể. Và một xác nhận khác rằng tần số dao động của dây dẫn phụ thuộc vào vị trí của nó. Khi tắt các nam châm điện của con lắc Waltenhofen, chu kỳ dao động hóa ra là

gần 1,051 giây, tức là giữa các giá trị tại đó xảy ra tăng hoặc giảm cân. Hiệu quả vẫn còn yếu. Sự thay đổi g đo được theo cách này là khoảng hai phần mười phần trăm. Chúng ta muốn gì? Vì vậy, ở tần số dao động 1 hertz, toàn bộ hệ thống sẽ cất cánh, theo một nghĩa nào đó, không bắt đầu từ bất cứ thứ gì? Điều này không xảy ra trong đời thực; cần có thêm điều kiện và nỗ lực để điều này xảy ra.

Văn học

1. A.L. Dorofeev. Dòng điện xoáy. – M.: Năng lượng, 1977. 2. P. Kuzmin. Nghịch lý của từ trường không đổi. – «Kvant», 1995, số 3. 3. J. Orir. Vật lý. – M.: KDU, 2019. 4. T.A. Agekyan. Nguyên tắc cơ bản của lý thuyết sai số cho các nhà thiên văn học và vật lý học. – M.: Nauka, 1968.

OLIM PIA DY

Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán

Giai đoạn cuối cùng của lễ kỷ niệm Olympic Toán học toàn Nga lần thứ 50 diễn ra từ ngày 19 tháng 4 đến ngày 25 tháng 4 năm 2024 tại Nizhny Novgorod. Đơn vị tổ chức chính của Olympic là Đại học Minin. Những người tham gia Olympic được cung cấp một chương trình tham quan thú vị cũng như tham dự các bài giảng khoa học phổ thông từ các nhà toán học - đại diện các trường đại học hàng đầu của đất nước. 471 học sinh, đại diện cho hầu hết các vùng của Nga, đã tham gia Olympic. Ngoài ra, theo truyền thống, một đội đến từ Trung Quốc đã tham gia Olympic: sáu học sinh từ tỉnh Chiết Giang đã viết Olympic trực tuyến. Độ khó của bài toán có thể được đánh giá từ các bảng sau (người tham gia đạt ít nhất 5 trên 7 điểm có thể có ở phần bài toán này được coi là đã giải được bài toán):

lớp 9

,

lớp 10

,

lớp 11

,

Theo ý kiến ​​​​của họ, một cuộc khảo sát với những người tham gia Olympic đã tiết lộ rằng bài toán Olympic là đẹp nhất. Song song với 9 lớp, ba vị trí đầu tiên được chiếm bởi bài toán 6 (vị trí thứ nhất), 8 (vị trí thứ 2) và 3 (vị trí thứ 3), song song với 10 lớp - bài toán 2 (vị trí thứ nhất), 6 (vị trí thứ 2) và 3 (vị trí thứ 3), song song với 11 lớp - bài toán 3 (vị trí thứ nhất), 7 (vị trí thứ 2) và 2 (vị trí thứ 3). Dưới đây là các điều kiện bài toán và danh sách những người chiến thắng chặng cuối của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán.

Điều kiện bài toán

lớp 9

1. Petya và Vasya chỉ biết các số tự nhiên không vượt quá $10^{9} 4000$. Petya coi các số tốt có thể biểu diễn dưới dạng abc ab ac bc, trong đó a, b và c là các số tự nhiên không nhỏ hơn 100. Vasya coi các số tốt có thể biểu diễn dưới dạng xyz x y z, trong đó x, y và z là các số tự nhiên lớn hơn 100. Vậy số nào trong số chúng có nhiều số tốt hơn? I. Bogdanov

2. Một số tự nhiên có đúng 50 ước số. Có thể nào không có hiệu nào của hai ước khác nhau chia hết cho 100? Hoa hồng phương pháp dựa trên bài toán A. Chironov

3. Hai cậu bé được tặng một túi khoai tây, mỗi túi chứa 150 củ. Các em lần lượt chuyển khoai tây, mỗi người trong nước đi tiếp theo sẽ chuyển một số củ khác 0 từ túi của mình sang túi của người khác. Đồng thời, phải tuân thủ điều kiện của khả năng mới: trong mỗi nước đi, cậu bé phải di chuyển nhiều củ hơn số củ có trong túi trước bất kỳ nước đi nào trước đó (nếu có những nước đi đó). Vì vậy, ở nước đi đầu tiên, cậu bé có thể di chuyển bất kỳ số lượng nào khác 0, nhưng

47

CÂU TRẢ LỜI LÀ

HƯỚNG DẪN

hướng theo chiều ngang. Khối lượng của ô tô lớn hơn khối lượng của quả bóng bao nhiêu lần? Bỏ qua ma sát, chuyển động tịnh tiến, tg 42 q 0,9, va chạm là đàn hồi tuyệt đối. 4. Một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử đựng trong bình đặt dưới pít-tông trải qua một quá trình tuần hoàn. Cảm biến ghi lại áp suất khí p và nhiệt độ T của nó tùy theo thời gian t. Đồ thị của các phụ thuộc này được thể hiện trong Hình 16. Xác định: 1) tỷ lệ giữa thể tích khí tối đa và tối thiểu trong quá trình này; 2) công thực hiện đối với một chất khí trong quá trình nén đẳng áp của nó, nếu trong quá trình nung nóng đẳng tích Q 300 J nhiệt được cung cấp cho chất khí. 5. Hai quả bóng nhỏ tích điện giống nhau được giữ trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Tại điểm A, tại đó mô đun vectơ cường độ điện trường của các quả cầu tích điện bằng $E^{1000} В^{м}$, đặt một điện tích nhọn q 1 µC và các quả bóng được thả đồng thời.

GIẢI PHÁP

Hình 16

liệu. Gia tốc của chúng khi bắt đầu chuyển động hóa ra là vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau $a_{1}^{3} м^{с} 2$ và $a_{2} 4^{м} с^{2}$. Xác định khối lượng của quả bóng. Ấn phẩm được biên soạn bởi G. Gaidukov, I. Gorbaty, V. Gundyrev

ĐÁP ÁN, GỢI Ý, GIẢI PHÁP

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(xem «Kvant» số 5–6)

1. Trong lỗ đầu tiên có một con chuột màu đỏ, ở lỗ thứ hai - một con màu vàng, ở lỗ thứ ba - một con đen, ở lỗ thứ tư - một con trắng, ở lỗ thứ năm - một con chuột xám. Con chuột trắng sống giữa hai con còn lại, nhưng không ở lỗ thứ ba (nếu không miếng pho mát trắng phía trước nó sẽ bị ăn mất). Điều này có nghĩa là con chuột trắng sống ở lỗ thứ hai hoặc ở lỗ thứ tư. Nếu ở hố thứ hai, thì con chuột xám hàng xóm của nó không sống ở hố thứ nhất mà ở hố thứ ba, con đen - ở hố thứ nhất, và con chuột đỏ không sống cạnh hố xám - tức là không phải ở hố thứ tư mà ở hố thứ năm còn lại. Nhưng rồi con màu vàng lẽ ra phải sống ở con thứ tư, nhưng miếng pho mát màu vàng trước mặt nó lại không được ăn - một điều mâu thuẫn. Điều này có nghĩa là con chuột trắng không sống ở hố thứ hai mà ở hố thứ tư. Trong trường hợp này, người hàng xóm da đen của cô sống ở lỗ thứ ba, người hàng xóm xám ở lỗ thứ năm; con màu đỏ trong hai con còn lại chỉ có thể sống ở con thứ nhất, còn con màu vàng có thể sống ở con thứ hai. 2. Một số ví dụ về may và cắt được thể hiện trong Hình 1-3. Bình luận. Các bộ phận đều giống nhau, có nghĩa là bạn có thể di chuyển toàn bộ một trong các bộ phận sao cho nó chồng lên bộ phận kia. Trong ví dụ đầu tiên, để làm điều này, bạn cần di chuyển nó song song với chính nó, trong ví dụ thứ hai, xoay nó quanh một điểm nhất định và trong ví dụ thứ ba, trước tiên hãy di chuyển nó, sau đó

Hình 1

Hình 2

quay sang phía bên kia. Những chuyển động này được gọi là chuyển động phẳng - chúng không làm thay đổi khoảng cách giữa các điểm của hình và do đó hình vẫn giữ nguyên hình dạng (Hình 3 và kích thước). Các chuyển động mà chúng ta thấy trong các ví dụ này lần lượt được gọi là đối xứng tịnh tiến, chuyển động quay và đối xứng trượt. Định lý Chall phát biểu rằng mọi chuyển động của mặt phẳng đều thuộc một trong ba loại chuyển động này. Michel Chales là nhà hình học nổi tiếng người Pháp thế kỷ 19. 3. 8. Gọi M là trung điểm AC $(рис.^{4).}$ Khi đó AM MC 1; BM là đường trung bình trong tam giác cân vẽ đáy nên cũng là chiều cao. Tam giác AKH và ABM có cạnh bằng nhau và hai cạnh kề nhau