Kvant 2024, số 9 · Trang

5

VỀ BẢN CHẤT CỦA DÒNG ĐIỆN…

một số chuyển vị ’ x dọc theo đường sức tích lũy. Tương tự như sự trôi dạt của một con tàu dưới tác động của gió hoặc dòng hải lưu, sự dịch chuyển của các electron này được gọi là “trôi dạt”. Chuyển động trôi dạt ’ $x v_{др}$ ’ t, trong đó $v_{др}$ là tốc độ trôi của electron. Tổng độ trôi của các electron của dây dẫn trong thời gian trung bình giữa các va chạm trong lý thuyết điện tử cổ điển về độ dẫn điện của kim loại biểu thị một dòng điện. Tốc độ của sự trôi dạt này trong hệ thống dây điện trong nhà chẳng hạn là bao nhiêu? Hãy tưởng tượng cường độ hiện tại là ‘q’ t. Điện tích q chuyển động trong thời gian ’t sẽ được biểu thị thông qua số electron chuyển động’ N và điện tích e. Trong một dây dẫn có tiết diện hình chữ nhật trong một thể tích hẹp dây dẫn ‘V S’ x, trong đó S là diện tích tiết diện của dây dẫn, và ‘x là chuyển động trôi dạt, số lượng electron ‘N n’ V (n là nồng độ các electron tự do, có độ lớn bằng nồng độ các nguyên tử trong kim loại). Vì ’ $x v_{др}$ ’ t, đối với tốc độ trôi, chúng ta thu được $v_{др} I$ enS. Cường độ dòng điện I trong dây đồng trong nhà không vượt quá 1,5 A, tiết diện của chúng khoảng $1 мм^{2}$. Nồng độ nguyên tử trong kim loại là $n G N_{A} M$, trong đó G là mật độ của kim loại, M là khối lượng mol (nguyên tử) của nó. Đối với đồng n 0,83 $10^{29} 1 м^{3}$. Các phép tính cho tốc độ trôi $v_{др}$ một giá trị cỡ $10^{4}$ m s 0,1 mm s. Đây là một kết quả khá bất ngờ. Xét cho cùng, nếu dòng điện là sự chuyển động của các electron dọc theo dây dẫn,

với tốc độ như vậy, các electron sẽ phải mất cả ngày để di chuyển từ công tắc sang bóng đèn! Và khi đó dòng điện xoay chiều trong dây dẫn của chúng ta trở nên khó hiểu - xét cho cùng, nó thay đổi hướng 50 lần mỗi giây. Có điều gì đó không ổn với lý thuyết dẫn điện tử cổ điển. Tại sao nó được nghiên cứu ở cả vật lý phổ thông và đại học? Giá trị của lý thuyết này là với sự trợ giúp của định luật Ohm và định luật Joule-Lenz, khái niệm điện trở của dây dẫn và sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nó đã được giải thích một cách định tính. Và tất nhiên, sự rõ ràng của lý thuyết này, việc sử dụng mô hình hành tinh của các nguyên tử và khái niệm về cấu trúc nguyên tử-tinh thể của kim loại là rất quan trọng. Định luật Ohm bắt nguồn từ lý thuyết điện tử cổ điển như thế nào? Định luật này thể hiện mối liên hệ giữa nguyên nhân - hiệu điện thế của điện trường và tác dụng - chuyển động của các electron tự do. Trong cơ học cổ điển, mối quan hệ này được xác định bởi định luật Newton. Chuyển động của electron dưới tác dụng của lực trường được coi là gia tốc gần như đều theo hướng ngược lại với vectơ cường độ trường (do điện tích âm của electron). Lấy tốc độ ban đầu của chuyển động này bằng 0 ngay sau va chạm của electron tự do với ion, tốc độ trôi cực đại trước va chạm tiếp theo có thể được biểu thị như sau: $v_{макс} a W$, trong đó W là thời gian trung bình giữa hai va chạm và gia tốc bằng eE m (e và m là điện tích và khối lượng của electron, E là cường độ điện trường tác dụng lên electron). Khi đó tốc độ trôi trung bình là $v_{др} eE W 2 m$. Giả sử tốc độ trôi trung bình bằng I enS, chúng ta thu được

I S

Chuyển động trôi dạt của electron

$ne^{2} W 2 m E$.

Nhưng đây là định luật Ohm đối với một điểm của vật dẫn thẳng đồng nhất - định luật Ohm ở dạng gọi là địa phương. Đại lượng I S thường được gọi là mật độ dòng điện j.

7

VỀ BẢN CHẤT CỦA DÒNG ĐIỆN…

hiểu bằng từ “để giải thích một hiện tượng”. Nếu chúng ta giả định rằng lý thuyết này cung cấp một lời giải thích định tính về các quy luật thực nghiệm cơ bản thì lý thuyết này là đủ. Và một số bất đồng về kinh nghiệm được coi đơn giản là những khó khăn về mặt lý thuyết. Trong tài liệu giáo dục, cuốn sách này có tựa đề: “Những khó khăn của lý thuyết điện tử cổ điển về tính dẫn điện”. Nhưng có vẻ như đây không chỉ là những khó khăn mà còn là những mâu thuẫn nội tại cơ bản của lý thuyết này, khác xa với bản chất đơn giản của dòng điện. Chúng ta hãy nhìn vào những khác biệt này. 1) Trong lý thuyết điện tử cổ điển, biểu thức điện trở suất của dây dẫn được rút ra bằng định luật Newton và các định luật vật lý phân tử đối với khí lý tưởng. Hãy so sánh lý thuyết với kinh nghiệm. Tính toán theo công thức U 2mu $ne^{2} O$ cho giá trị $10^{6}$ Ohm m, trong khi giá trị thực của giá trị này đối với nhiều kim loại nhỏ hơn 100 lần. 2) Điện trở suất cao của nhiều hợp kim so với điện trở của các thành phần trong hợp kim này trở nên hoàn toàn không thể hiểu được. Một trong những hợp kim phổ biến nhất trong các thiết bị sưởi ấm, nichrome, chứa 70% niken và 25% crom (và 5% tạp chất khác để làm cho dây có độ dẻo cao hơn). Điện trở suất của hợp kim này là 1,1 $10^{6}$ Ohm m lớn hơn niken 14 lần và lớn hơn crom 7 lần. Và, theo lý thuyết cổ điển, nó phải có giá trị trung gian giữa điện trở suất của niken và crom, tức là 1,2 $10^{7}$ Ohm m. Con số này thấp hơn gần 10 lần so với giá trị thực. 3) Lý thuyết cổ điển giải thích sự phụ thuộc của điện trở của kim loại vào nhiệt độ như thế nào? Trong biểu thức tính điện trở suất U, khoảng cách trung bình giữa các ion O và nồng độ liên kết của các nguyên tử n phụ thuộc rất ít vào nhiệt độ, khi nhiệt độ tăng thì sản phẩm $n^{2} O$ giảm đến một mức rất nhỏ (hệ số giãn nở tuyến tính của kim loại có bậc $10^{5} К^{1} ).$ Sự phụ thuộc này

Hiệu ứng nhiệt độ có thể được bỏ qua. Đại lượng chính phụ thuộc vào nhiệt độ trong lý thuyết cổ điển là tốc độ trung bình chuyển động hỗn loạn (nhiệt) của các electron tự do, tỷ lệ thuận với căn bậc hai của nhiệt độ tuyệt đối: $u \sim T$ và có xu hướng bằng 0 ở nhiệt độ thấp. Do đó, điện trở suất trong lý thuyết cổ điển cũng phụ thuộc vào nhiệt độ, tức là $U \sim T$. Nghiện có kinh nghiệm là gì? Trong sách giáo khoa ở trường, sự phụ thuộc của điện trở suất vào nhiệt độ t, tính bằng độ C, thường được cho: $U U_{0} 1 D t$, trong đó D là hệ số nhiệt độ của điện trở, xấp xỉ 1.273. Nếu nhiệt độ được đo bằng kelvin, thì sự phụ thuộc thực nghiệm vào nhiệt độ tuyệt đối có dạng $U U_{0} T 273$, tức là $U \sim T$ chứ không phải là căn bậc hai của nhiệt độ tuyệt đối. Sự khác biệt đặc biệt rõ ràng giữa lý thuyết và thực nghiệm xảy ra ở nhiệt độ thấp. Điện trở không có xu hướng bằng 0 mà đến một giá trị nhất định, có thể gọi là điện trở dư. Lý thuyết cổ điển không giải thích được điều này. Nó cũng không giải thích được hiện tượng siêu dẫn - sự biến mất hoàn toàn của điện trở tại một điểm nào đó.

Sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở kim loại

10

KVANT 2024/№9

Làm mát là tần số (bước sóng) của bức xạ điện từ từ các electron nguyên tử. Đối với hiện tượng dòng điện, đây là cường độ dòng điện và điện trở suất của vật chất. Cách thuận tiện nhất cho việc này hóa ra là sử dụng cơ học lượng tử sóng. Trong phiên bản cơ học lượng tử này, đặc tính sóng của vi hạt được gọi là hàm psi của tọa độ và thời gian, về mặt toán học có dạng phương trình sóng và là nghiệm của một số phương trình vi phân sóng (với đạo hàm riêng thứ hai theo tọa độ và đạo hàm bậc nhất theo thời gian). Phương trình này được Erwin Schrödinger xây dựng vào năm 1926. Tại sao hàm psi lại có đặc tính sóng? Sự thật là vào năm 1923, Louis de Broglie đã đề xuất rằng không chỉ photon có biểu diễn sóng hạt kép, mà còn có mọi vật thể vi mô, đặc biệt là electron. Với tư cách là một hạt (tiểu thể), nó $при_{r}$ chuyển động được đặc trưng bởi động lượng p và năng lượng liên kết E. Nhưng electron có thể biểu hiện các tính chất sóng (giao thoa, nhiễu xạ), được đặc trưng bởi bước sóng $O_{Бр} h p$, trong đó h là hằng số Planck. Bước sóng này được gọi là bước sóng de Broglie của vi hạt hay bước sóng de Broglie. Bạn có nhận thấy rằng công thức này (định đề de Broglie) là nghịch đảo của định đề Einstein về động lượng photon p h O không? Trong công thức của de Broglie về động lượng của một vi hạt, nên sử dụng biểu thức tương đối tính cho sự phụ thuộc vào tốc độ: $p mv 1 v^{2} c^{2}$. Đối với tốc độ thấp hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng, p mv và $O_{Бр} h mv$. Rõ ràng là tính chất sóng của các vi hạt sẽ thể hiện rõ ràng nhất ở các hạt nhẹ nhất - electron. Thật vậy, vào năm 1927, nhiễu xạ electron đã được phát hiện bằng thực nghiệm (sự ra đời của kính hiển vi điện tử gắn liền với điều này). Điều gì dao động trong sóng de Broglie? Nỗ lực đáp số trả lời câu hỏi này thông qua dao động lan truyền của một điện tích nhất định

lĩnh vực ical không dẫn đến thành công. Người ta đã đưa ra giả thuyết (bởi Schrödinger, Heisenberg, Bohr) rằng hàm psi được biểu thị bằng toán học bằng phương trình sóng, trong đó bước sóng và tần số được xác định bởi động lượng và năng lượng theo định đề de Broglie. Và về nguyên tắc, không có “sự hiểu biết” trực quan về sóng de Broglie đối với một vi hạt, cũng như không có quỹ đạo thị giác của một electron trong nguyên tử. Những người tạo ra cơ học lượng tử ma trận (Max Born, Werner Heisenberg, Niels Bohr) đã chỉ ra rằng dạng cơ học lượng tử này cho kết quả thực nghiệm giống hệt như phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử sóng. Và chính những nhà khoa học này đã định nghĩa hàm psi là một đặc tính xác suất của hành vi của một vi hạt và là một đại lượng dao động trong sóng de Broglie. Một lần nữa, cần nhấn mạnh rằng tuyên bố này không có sự rõ ràng; đây chỉ là một trong những công thức toán học về bản chất xác suất của hành vi của một vi hạt. Việc sử dụng khái niệm sóng de Broglie đã trở nên thuận tiện cho nhiều cơ học lượng tử bài toán, đặc biệt là để giải thích dòng điện trong tinh thể kim loại. Có một số lý thuyết lượng tử về hiện tượng này, khác nhau về độ phức tạp toán học khác nhau và mức độ phù hợp khác nhau với dữ liệu thực nghiệm. Trong một trong những lý thuyết ít phức tạp nhất, hành vi của một electron trong kim loại được mô tả bằng phương trình Schrödinger, trong đó tác dụng lên electron được xác định bằng tổng điện trường của các ion trong mạng tinh thể, lặp lại theo chu kỳ trong không gian và điện trường ngoài tác dụng lên dây dẫn từ một nguồn dòng điện. Điều này tính đến chuyển động dao động của các ion này, tuân theo phân bố thống kê Maxwell–Boltzmann. Kết quả của chuyển động dao động này có thể được coi là sự thay đổi hỗn loạn của sự phân bố không đồng nhất của các ion trong tinh thể, chỉ đại diện ở mức trung bình cho một hệ tinh thể nhất định. Để ngắn gọn, phân phối này được gọi là

14

KVANT 2024/№9

tùy theo hướng mà chúng ta cũng sẽ ký hiệu các chữ l, r, h và gọi chúng là trái, phải, ngang (ví dụ hình thoi bên trái có hướng giống như bức tường bên trái). Nhìn vào cấu trúc này từ trên cao, chúng ta thấy các cạnh trên của các hình khối và phần sàn không được bao phủ bởi các hình khối. Toàn bộ diện tích bề mặt $n^{2}$ này tương ứng với $n^{2}$ hình thoi, hướng của nó trùng với hướng của sàn. Ví dụ, nhìn vào bên phải, chúng ta sẽ thấy các cạnh phải của các hình khối và phần tường L bên trái mà chúng không che được. Các bề mặt này sẽ tương ứng với các hình thoi loại l, hướng của nó trùng với hướng của bức tường bên trái. Tình huống với bức tường bên phải R và hình thoi bên phải có dạng r sẽ tương tự. Có vẻ như lời giải này có thể kết thúc. Tuy nhiên, nói đúng ra, ở đây chúng ta vẫn cần kiểm tra xem việc xếp hình thoi tùy ý có thực sự tương ứng với cấu trúc thực của các hình khối chứ không phải một số hình không thể thực hiện được. Ví dụ: nếu bạn cố gắng xây dựng một khối không phải bằng một hình lục giác thông thường mà bằng một số hình lục giác ngẫu nhiên có toàn bộ các cạnh và góc bằng 60q và 120q, thì theo quy luật, bạn sẽ nhận được hình ảnh của các vật thể không thể có (Hình 10).

Hình 10

Hãy để chúng tôi chứng minh tính đúng đắn của việc đi vào không gian ba chiều. Mệnh đề 3. Việc ốp lát tùy ý một hình lục giác đều với các hình thoi có thể được biểu diễn dưới dạng hình chiếu của một bề mặt trực giao nào đó. Bằng chứng. Để xây dựng cấu trúc cần thiết từ các hình khối, chúng ta gán tọa độ không gian x, y, z cho tất cả các đỉnh của hình thoi, trong đó x, y, z là các số nguyên nằm trong khoảng từ 0 đến n. Hãy gán tọa độ 0,0,n cho đỉnh trên của hình lục giác. Sau đó chúng ta sẽ lần lượt di chuyển đến các đỉnh lân cận.

Hình 11

đối với chúng ta như thể chúng ta đang di chuyển dọc theo một bề mặt trực giao (Hình 11): một bước dọc theo đoạn thẳng đứng đi xuống sẽ làm giảm tọa độ z đi 1, một bước xuống bên trái sẽ làm tăng tọa độ x thêm 1 và một bước xuống bên phải sẽ làm tăng tọa độ y thêm 1. Đương nhiên, chúng tôi tin rằng việc di chuyển theo hướng ngược lại sẽ dẫn đến kết quả ngược lại. Nếu quy trình này không dẫn đến mâu thuẫn thì bằng cách sử dụng tọa độ không gian của các đỉnh, chúng ta sẽ xây dựng một bề mặt ba chiều và cách sắp xếp các hình khối tương ứng. Mâu thuẫn có thể nảy sinh nếu khi đạt đến cùng một điểm dọc theo các đường khác nhau, chúng ta phải gán các tọa độ khác nhau cho điểm đó. Điều này tương đương với việc có một chu trình nhất định, theo đó chúng ta sẽ thu được các tọa độ khác tại điểm xuất phát. Chu trình có thể được giảm liên tiếp đến một điểm, giảm phần bên trong của nó đi một viên kim cương ở mỗi bước. Các quy tắc sắp xếp tọa độ đảm bảo rằng ở mỗi bước của quy trình như vậy, các giá trị tọa độ ở các đỉnh còn lại của chu trình sẽ không thay đổi. Khi chu trình co lại đến một điểm, chúng ta gặp mâu thuẫn với giả định rằng tọa độ được đặt không đúng. Hình 12 cho thấy ba bước của quy trình siết chặt cho một chu trình cụ thể. Ở bước thứ ba, vòng lặp trở thành sự kết hợp của hai vòng lặp. Vì mọi người

Hình 12

16

KVANT 2024/№9

hình bình hành ABCD, các cạnh của nó là phần tiếp theo của các cạnh của hình bình hành chung của hai chuỗi (Hình 15). Khi đó, chuỗi hình bình hành màu xanh lục nối các cạnh AB và CD, và chuỗi màu đỏ nối các cạnh BC và AD. Điều này có nghĩa là chúng phải có hình bình hành chung bên trong ABCD. Hóa ra giữa hai hình bình hành chung phải có một hình bình hành chung khác cùng hướng. Điều này có nghĩa là có vô số hình bình hành như vậy, điều này là không thể. 3q. Tuyên bố này xuất phát từ thực tế là tất cả các hình bình hành đều có đáy bằng nhau và tổng chiều cao của chúng bằng khoảng cách giữa các cạnh được kết nối của một zonogon nhất định. Thứ hai lời giải bài toán 1: chuỗi de Bruijn. Gọi ABCDEF là hình lục giác đã cho và n là độ dài các cạnh của nó. Vì hình lục giác được chia thành $6n^{2}$ các tam giác đều cạnh 1 nên tổng số hình thoi trong phân vùng phải là $3n^{2}$ và chỉ cần kiểm tra xem phân vùng đó có bao gồm $n^{2}$ hình thoi cho mỗi hướng hay không là đủ. Chúng ta sẽ xem xét các hình thoi có hướng cố định, ví dụ: những hình có các cạnh song song với các đoạn AB và CD. Đối với mỗi hình thoi như vậy, người ta có thể xây dựng một chuỗi de Bruijn, tức là một chuỗi các viên kim cương bắt đầu ở cạnh AB, kết thúc ở cạnh ED và trong đó cứ hai viên kim cương liền kề có một cạnh chung song song với AB (Hình 16). Tổng cộng sẽ có n chuỗi như vậy (theo số đoạn đơn vị ở bên cạnh).

Hình 15

Hình 16

x AB và CD). Theo cách xây dựng, không có hai chuỗi nào trong số này có hình thoi chung. Theo cách tương tự, chúng ta có thể dựng n chuỗi bắt đầu ở cạnh AF và kết thúc ở cạnh CD, trong đó mỗi chuỗi trong đó các hình thoi lân cận có một cạnh chung song song với AF. Từ Định lý 1, suy ra rằng hai chuỗi bất kỳ có hướng khác nhau cắt nhau dọc theo đúng một hình bình hành (Hình 17). Do đó, số lượng kim cương theo hướng đã chọn bằng số cặp chuỗi trong đó chuỗi thứ nhất nối các cạnh AB và ED, và chuỗi thứ hai nối các cạnh AF và CD. Điều này có nghĩa là có $n^{2}$ hình thoi như vậy. Nhận xét 3. Với lời giải này, bài toán không thể sử dụng đầy đủ Định lý 1. Chuỗi De Bruijn có các hướng khác nhau rõ ràng giao nhau. Có $n^{2}$ cặp chuỗi trong đó chuỗi thứ nhất nối các cạnh AB và ED, còn chuỗi thứ hai nối các cạnh AF và CD. Điều này có nghĩa là có $n^{2}$ hình thoi như vậy. Do đó, lát gạch sẽ chứa ít nhất $n^{2}$ hình thoi theo hướng đã chọn. Bằng cách xem xét tương tự, sẽ có ít nhất $n^{2}$ hình thoi thuộc mỗi loại. Vì tổng số kim cương là $3n^{2}$ nên số lượng kim cương ở mỗi hướng phải chính xác là $n^{2}$. Lập luận trên không chỉ giải được bài toán mà còn cung cấp một bằng chứng khác về sự thật rằng các chuỗi de Bruijn có hướng khác nhau cắt nhau dọc theo đúng một hình thoi. Nhận xét 4. Bằng hai cách khác nhau, chúng ta đã chứng minh rằng hai chuỗi có hướng khác nhau cắt nhau đúng một lần. Có thể không có nút giao thứ hai

Hình 17

19

ZONOGONS

gồm các hình thoi ngang và phải h c và r c. Tiếp tục lập luận tương tự, chúng ta sẽ được dãy vô hạn các cặp h, r, h c, r c, h cc, r cc, …, điều này là không thể. Điều này có nghĩa là nếu không thể lật thì dưới mỗi viên kim cương ngang chỉ có thể có viên nằm ngang, ở bên phải viên kim cương bên phải chỉ có viên kim cương bên phải và ở bên trái viên kim cương bên trái chỉ có viên kim cương bên trái. Vì vậy, việc ốp lát là hợp quy. Từ thực tế là chúng ta có thể biến một ô xếp tùy ý thành một ô chuẩn bằng cách sử dụng một chuỗi các lần lật hữu hạn, từ đó chúng ta có thể biến bất kỳ ô xếp nào thành bất kỳ ô nào khác. Thứ ba lời giải bài toán 1: lật. Trong lời giải bài toán 2, chúng tôi đã chứng minh rằng với sự trợ giúp của việc lật bất kỳ hình lục giác nào đều có thể biến thành hình chính tắc chứa $n^{2}$ hình thoi của mỗi loại. Vì các lần lật sắp xếp lại các hình thoi mà không thay đổi hướng của chúng, nên bất kỳ phân vùng nào khác cũng sẽ có $n^{2}$ hình thoi của mỗi loại.

Văn học

1. E.S. Fedorov. Bắt đầu dạy về số liệu. – M.: Nhà xuất bản Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1953. Xem thêm ấn bản đầu tiên của cuốn sách: E.S. Fedorov. Bắt đầu dạy về số liệu. – Nhà in của Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia, 1885. 2. W. Ball, G. Coxeter. Tiểu luận toán học và giải trí. – M.: Mir, 1986. 3. I. Sharygin. Thoát vào không gian. – «Kvant», 1975, số 5. ​​4. V. Protasov. Thoát ra không gian-2. – «Kvant», 2017, số 12. 5. V. Dubrovsky, I. Sharygin. Kính soi nổi hình học. – «Kvant», 1993, số 1. 6. N.G.de Bruijn. Lý thuyết đại số về các mặt phẳng không tuần hoàn Penrose của mặt phẳng I, II. – Học viện Nederlandse van Wetenschappen. Indagations Toán học, tập. 43,1981, số 1, tr. 39—52, tr. 53-66. 7. N. G. de Bruijn. Dualization của multigrids. – Tạp chí Physique Colloques, tập. 47, 1986, số 3, tr. 9-18. 8. V. Korepin. Các mẫu Penrose và giả tinh thể. – «Kvant», 1987, số 6. 9. F. D’Andrea. Hướng dẫn ốp lát Penrose. – Springer, 2023.

(Còn tiếp)

(Để bắt đầu, xem trang 2)

Giải thích trực quan? Có lẽ chỉ ở hình thức. Trên thực tế, việc làm quen sâu hơn với khía cạnh toán học của lời giải vẫn sẽ dẫn đến các đặc tính lượng tử xác suất cơ bản về hành trạng của các electron, trong đó mọi sự rõ ràng sẽ biến mất. Tại sao các nhà vật lý lý thuyết không hài lòng với một lý thuyết lượng tử về độ dẫn điện mà đã tạo ra các phiên bản khác nhau của nó? Thực tế là lý thuyết lượng tử không thể giải thích được hiện tượng siêu dẫn. Hiện tượng này được phát hiện vào năm 1911. Nhưng ứng dụng thực tế của nó vẫn còn hạn chế do khả năng ứng dụng chỉ ở nhiệt độ cực thấp, đòi hỏi phải có helium lỏng để duy trì chúng. Và điều này rất tốn kém! Họ không ngại chi phí khi thực hiện các dự án khoa học lớn (LHC, ITER, v.v.). Nhưng trong lĩnh vực “con người”, tính siêu dẫn cho đến nay chỉ được sử dụng trong chẩn đoán chụp cắt lớp y tế (MRI, v.v.). Hiện tượng siêu dẫn rất thú vị và hứa hẹn cho nhân loại những ứng dụng thực tế tuyệt vời trong tương lai đến mức nó đã được nghiên cứu ở nhiều phòng thí nghiệm khoa học trong hơn 50 năm. Mười nhà vật lý đã đoạt giải Nobel về nghiên cứu trong lĩnh vực siêu dẫn - ba nhà thực nghiệm và bảy nhà lý thuyết. Tuy nhiên, bất chấp một số thành tựu, lý thuyết lượng tử về hiện tượng này vẫn chưa được tạo ra để có thể tạo ra bước nhảy vọt trong ứng dụng thực tế của nó.

21

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

trong hệ quy chiếu quán tính, trong đó tâm Trái đất có tốc độ bằng 0 tại thời điểm xảy ra vụ nổ, cũng đứng yên ngay sau vụ nổ. Độ dày của lớp khí quyển nhỏ hơn đáng kể so với bán kính Trái đất R 6370 km. Chúng ta sẽ cho rằng nó (khí quyển) đơn giản là không tồn tại. Chúng ta cũng sẽ giả sử (để đơn giản hóa phép tính) khoảng cách từ tâm Trái đất đến vệ tinh là L = 6,6R và chu kỳ Trái đất tự quay quanh trục của nó (trong hệ quy chiếu quán tính) đúng là T = 24 giờ. 1) Vận tốc tương đối u của những mảnh này ngay sau vụ nổ là bao nhiêu? 2) Ước tính thời gian để mảnh vỡ “dừng lại” rơi sau vụ nổ. 3) Tốc độ tương đối của hai mảnh này ở thời điểm trước khi mảnh thứ hai rơi xuống đất là bao nhiêu? S.Vzryvny

F2818. Nước được hút vào hồ từ một hồ lớn, trên bờ có lắp đặt máy bơm nước ly tâm. Động cơ cảm ứng xoay chiều có tần số f = 1450 vòng/phút và công suất cực đại W = 1 kW. Động cơ này được sử dụng trong thiết kế một máy bơm được thiết kế để lấp đầy hồ bơi bằng một tia nước có độ sâu h = 1,5 m, chiều rộng b = 4 m và chiều dài đường ray l = 20 m. Cánh bơm có bán kính R = 10 cm và chiều rộng d = 3 cm. Lỗ ở đầu ra của máy bơm có tiết diện $S_{0} 20 см^{2}$ và nằm gần mép cánh cánh quạt. Nước bay ra khỏi lỗ này theo phương thẳng đứng hướng lên trên đạt đến độ cao bằng một nửa độ cao H, tại đó các cạnh trên của bể cao hơn mặt nước trong hồ. Cần lắp đặt chiều cao và mặt cắt ngang của cùng một đường ống ở đầu ra của máy bơm để bể trống ban đầu có thể được đổ đầy nước trong một khoảng thời gian tối thiểu? Thời gian tối thiểu này là bao nhiêu? Tổn thất điện năng khi nước chảy qua đường ống có thể bỏ qua. V.Vodyanoy

F2819. Có một lò xo “tải trước”. Một lò xo như vậy chỉ bắt đầu thay đổi độ dài ở một ngưỡng nhất định

“QUANTA”

giá trị của lực kéo. Lò xo được treo thẳng đứng. Chiều dài của nó với hai tải trọng lơ lửng khác nhau có khối lượng $M_{1}$ và $M_{2}$ lần lượt bằng $L_{1}$ và $L_{2}$. Đồng thời, tất cả các cuộn dây của lò xo đã giãn ra. Chiều dài lò xo không tải $L_{0}$ nhỏ hơn $L_{1}$ và $L_{2}$ thì khối lượng của lò xo là m. Xác định hệ số đàn hồi k của lò xo và độ lớn của lực đặt trước f. A. Vlasov

F2820. Khung không từ tính của một cuộn dây điện dài có chiều dài L có tiết diện ngang với trục đối xứng của nó là hình vuông có chiều dài cạnh A. Trên bề mặt của cuộn dây điện từ có một sợi dây có tiết diện cũng là hình vuông có cạnh vuông a được quấn thành một lớp, lần lượt quay. Bề mặt của dây được cách điện bằng một lớp vecni mỏng. Chuỗi bất đẳng thức a = A = L được thỏa mãn. Dòng điện I chạy qua dây. Khung điện từ được cắt cẩn thận ở một nơi (gần giữa), 1 4 vòng dây (dài A) được thả ra và các bộ phận của điện từ này được định vị sao cho trục đối xứng của hai nửa trùng nhau và phần dây không chạm vào khung chiếm vị trí song song với các trục đối xứng này (Hình 2).

Hình 2

Cường độ dòng điện chạy qua dây không đổi. Độ lớn của vectơ cảm ứng từ trường tại một điểm trên trục đối xứng nằm cách các phần tạo thành của cuộn dây điện từ sau khi cắt là bao nhiêu? Vectơ cảm ứng từ này tạo thành một góc bao nhiêu với trục đối xứng của hai nửa điện từ? D. Từ tính

Lời giải bài toán M2798–M2801, F2805–F2808

M2798. Cho một con đường thẳng được làm bằng ván xanh và ván đỏ (đường là đoạn được chia thành các đoạn ván). Màu sắc của các bảng xen kẽ nhau;

24

KVAN T 2024/Số 9

Yuuri biết rằng mỗi ô của bảng đều thể hiện mặt trời hoặc mặt trăng và hai hàng bất kỳ đều khác nhau (ít nhất là ở một cột). Mỗi ô của bảng được phủ một tấm. Gió nổi lên và thổi bay một số tờ giấy: mỗi hàng hai tờ. Liệu bây giờ Yury có thể tìm ra ít nhất khoảng 10.000 hàng những gì được mô tả trong mỗi cột không?

Đáp số: có thể. Lưu ý rằng chỉ có $2^{200}$ các chuỗi có độ dài 200 khác nhau trong đó mỗi ký tự là mặt trời hoặc mặt trăng; Điều này có nghĩa là mỗi hàng như vậy xuất hiện trong bảng đúng một lần. Hãy chia tất cả các vị trí thành hai nửa gồm 100 cột - “trái” và “phải”. Giả sử rằng trong mỗi hàng có hai mặt trời nằm trong một nửa (hãy gọi chúng là mặt trời), gió thổi bay những chiếc lá của một trong những cặp mặt trời này và ở mỗi hàng không phải mặt trời - có chính xác $101^{2}$ những hàng như vậy - gió đã phát hiện ra vị trí của tất cả các mặt trời (không có nhiều hơn hai mặt trời trong một hàng không phải mặt trời, vì vậy gió có thể làm điều này). Sau đó, Yuuri sẽ nhận ra rằng những đường mà hai mặt trời lộ ra một nửa chính xác là đường mặt trời, có nghĩa là những đường không phải mặt trời chính xác là những đường $101^{2}$ trong đó gió không làm lộ ra hai mặt trời trong một nửa. Mỗi người trong số họ đều có tất cả các mặt trời mở nên hình ảnh trong những đường kẻ phủ đầy lá này chính là mặt trăng. Bài toán đã giải quyết. Bình luận. Về cơ bản, có những cách xây dựng khác cũng cho phép người ta xác định các đường $101^{2}$. Hãy cho một trong số họ. Giả sử một hàng là nguyên khối nếu tất cả các mặt trời trong đó xếp thành một hàng (một hàng chỉ có mặt trăng cũng là nguyên khối). Chúng ta gọi một dây nguyên khối là cân bằng nếu ít nhất một trong hai biểu tượng ở giữa là mặt trời hoặc nếu không có mặt trời nào cả. Có chính xác $101^{2}$ đường cân bằng. Bất kỳ hàng không cân bằng nào chứa mặt trời đứng ở bên trái mặt trăng ở nửa bên trái hoặc mặt trăng đứng ở bên trái mặt trời ở nửa bên phải; một chuỗi cân bằng không chứa các cặp như vậy. Cho phép

gió sẽ mở chính xác một cặp ký hiệu như vậy ở mỗi dòng không cân đối; thì Yuuri nhận ra tập hợp tất cả các đường cân bằng. Hơn nữa, ở mỗi hàng cân bằng có ít nhất hai mặt trời, gió sẽ làm lộ ra phần ngoài cùng bên trái và phần ngoài cùng bên phải của chúng; có thể chứng minh rằng khi đó tất cả các hàng này cũng sẽ được xác định duy nhất. Cuối cùng, ở ba đường cân bằng còn lại, gió sẽ mở ra hai biểu tượng ở giữa, cho phép xác định các đường đó. I. Bogdanov, K. Knop

F2805. Nước chảy theo hướng thẳng đứng từ vòi có lỗ tròn tiết diện ngang có đường kính $D_{0} = 1$ cm. Một chai dung tích lớn - 100 l - có lỗ ở cổ có đường kính $D 0,8 D_{0}$ đặt dưới vòi (xem hình). Khoảng cách giữa cổ chai và ổ cắm vòi $H 50 D_{0}$. Trong khoảng thời gian tối thiểu nào một chai có thể được đổ đầy nước với điều kiện là tất cả nước chảy ra từ vòi đều chảy vào chai? Áp suất không khí bên trong chai khi đổ đầy nước sẽ lớn hơn áp suất khí quyển bên ngoài (bình thường) là bao nhiêu? Độ nhớt của nước và sức căng bề mặt của nó có thể bị bỏ qua.

Để toàn bộ nước đi vào chai, điều cần thiết là ở mặt cắt ngang tối đa có thể của tia ở lỗ cổ chai, không khí phải thoát ra khỏi chai qua phần không có nước. Tốc độ dòng khí thể tích phải phù hợp với tốc độ dòng nước từ vòi. Không khí sẽ rời khỏi chai với tốc độ cao, điều này được quyết định bởi sự chênh lệch áp suất không khí bên trong chai và bên ngoài. Vì áp suất không khí bên trong $p_{0}$ ‘p sẽ lớn hơn áp suất không khí bên ngoài -

PHÒNG THÍ NGHIỆM LƯỢNG TƯ

Tôi sẽ đưa bạn đến bảo tàng

MS.DVORYANINOV

TRẺ EM SCARLET THỰC SỰ YÊU sách tranh. Hãy nhớ câu tục ngữ – thà nhìn một lần còn hơn nghe trăm lần? Nó chỉ là về minh họa sách. Các sơ đồ, sơ đồ, hình vẽ, tức là cách biểu diễn thông tin bằng đồ họa cũng có trong sách giáo khoa. Ví dụ, sách giáo khoa vật lý lớp 7 có sự kết hợp giữa khối di động và khối cố định (Hình 1). Khối cố định có tác dụng thay đổi hướng của lực (nói một cách đơn giản là để thuận tiện), khối di chuyển cho phép bạn nâng tải với lực bằng một nửa trọng lượng của tải. Sự kết hợp các khối này được gọi là pa lăng xích. Để xem mô hình của một loại máy hoặc thiết kế cụ thể, bạn có thể đến Bảo tàng Bách khoa. Ở Moscow, một bảo tàng như vậy lưu trữ hơn 200 nghìn đồ vật. Nhiều thành phố có bảo tàng khoa học giải trí. Có một bảo tàng như vậy ở thành phố Nalchik - đây là Bảo tàng Khoa học Giải trí Einstein. Tất cả các vật trưng bày của nó đều được thực hiện một cách khéo léo và đẹp mắt. Chúng ta hãy làm quen với một số trong số họ. Trong Hình 2 bên trái, hai vật nặng giống hệt nhau được nối bằng một sợi dây ở trạng thái cân bằng. Ở giữa hình khối lượng của vật nặng bên trái tăng gấp đôi

Hình 1

Hình 2

lớn hơn khối lượng của vật nặng thích hợp. Ở phía bên phải của bức tranh, chúng ta thấy ba khối. Khối lượng vật nhỏ là 1kg. Câu hỏi: Khối lượng của vật nặng hơn là bao nhiêu? Tất cả các vật nặng trong hình này đều bất động, tĩnh tại. Mô hình này thể hiện hiện tượng cân bằng và thuộc nhánh cơ học gọi là tĩnh học. Phần trình bày trong Hình 3 liên quan đến động lực học và minh họa định luật bảo toàn năng lượng. Hai cuộn dây giống hệt nhau được gắn trên một trục hình trụ nằm ngang ở bên trái và bên phải. Nếu chúng ta bắt đầu quay trục theo chiều kim đồng hồ, cả hai băng sẽ bắt đầu quấn vào các cuộn và trục sẽ nâng lên. Ở vị trí trên, tiềm năng dự trữ năng lượng của hệ cơ học này sẽ lớn nhất. Sau đó, nếu bạn thả trục ra khỏi tay, các cuộn băng sẽ bắt đầu bung ra khỏi guồng. Đĩa trung tâm sẽ bắt đầu quay ngược chiều kim đồng hồ khi di chuyển xuống dưới. Thế năng sẽ chuyển hóa thành động năng của đĩa quay. Cuối cùng toàn bộ thế năng sẽ chuyển thành động năng. Tiếp theo, đĩa ở điểm thấp nhất sẽ tiếp tục quay quanh trục của nó và cuộn băng quanh trục, sẽ bắt đầu nâng lên. Quá trình di chuyển đĩa lên xuống sẽ tiếp tục theo chu kỳ. Cuối cùng, do sự tiêu tán năng lượng, chuyển động tất nhiên sẽ dừng lại và chúng ta lại nhìn thấy bức tranh tĩnh như trong hình. Trong Hình 4, chúng ta thấy một phích cắm đa năng có thể được sử dụng để đóng một lỗ hình tam giác, tròn hoặc vuông.

Hình 3

30

KVAN T 2024/Số 9

Hình 4

Đường kính của hình tròn bằng cạnh của hình vuông. Tam giác là tam giác cân, đáy và chiều cao bằng cạnh hình vuông. Trên trang web “Toán học Etudes” (https: etudes.ru models Universal-plug), bạn có thể thấy sự chuyển động của tình trạng ùn tắc giao thông này trong không gian. Và tại Bảo tàng Nalchik, bạn có thể nhặt được chiếc nút đa năng tuyệt vời này và ngạc nhiên khi thấy chỉ riêng nó thôi cũng có thể đóng được ba lỗ khác nhau. Tổng cộng, Bảo tàng Khoa học Giải trí Einstein có khoảng 100 triển lãm hấp dẫn và 15 ảo ảnh quang học thể hiện các định luật vật lý, toán học cũng như các hiện tượng tự nhiên khác nhau. Du khách có thể chạm vào tia sét, lắp ráp một cây cầu mà không cần một chiếc đinh nào, ngồi trên một chiếc ghế khổng lồ, tự tay tạo ra một đám mây, nhìn vào kính vạn hoa khổng lồ, nhìn thế giới qua con mắt của người khác, v.v. Bạn được phép thử nghiệm và chạm vào mọi thứ trong bảo tàng! Một số triển lãm rất đơn giản, dễ hiểu đối với học sinh lớp một. Do đó, Hình 5 cho thấy một chuỗi các bánh răng được ghép nối tuần tự. Nếu bạn bắt đầu quay bánh răng đỏ cuối cùng theo chiều kim đồng hồ thì nó sẽ quay theo hướng nào?

Hình 5

Hình 6

cuối màu xanh? Điều gì sẽ xảy ra nếu không có 9 bánh răng như hình vẽ mà là n? Hình 6 cho thấy một mô hình nghiêm túc hơn. Cầm một bánh xe đạp khá lớn trên tay và quay nó, chúng ta sẽ cảm nhận được bánh xe giữ hướng của trục như thế nào. Khi quay lại, nó dường như còn sống, đang cố thoát khỏi tay bạn. Những bức ảnh sau đây cho thấy các cuộc triển lãm khác của Bảo tàng Nalchik. Hãy nhớ hoặc đoán xem mỗi người trong số họ thể hiện điều gì. Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải thích ngắn gọn cho một số trong số họ. Một con lắc lớn (Hình 7) có thể dao động trong các mặt phẳng khác nhau.

Hình 7

31

PHÒNG THÍ NGHIỆM

“QUANTA”

Hình 8

Khi di chuyển theo chuyển động tròn, đầu của nó vẽ ra nhiều đường cong khác nhau trên bề mặt cát. Và đây là mô hình một cây cầu vòm được xây dựng mà không cần một chiếc đinh nào (Hình 8). Theo nguyên tắc này, ngày xưa, khi chưa có sàn bê tông cốt thép, người ta làm cửa sổ hình bán nguyệt trong nhà và mái vòm chùa. Chúng ta hãy xem các đường ray nằm ngang, (không giống như các đường ray thông thường!) Không song song (Hình 9). Mỗi bánh xe được gắn trên một trục hình trụ. Nếu quan sát kỹ các trục, bạn sẽ nhận thấy bán kính của các trục không đổi: trục của bánh xe lớn trở nên mỏng hơn về phía hai đầu, còn trục của bánh xe nhỏ thì ngược lại, dày lên. Dưới tác dụng của lực lăn, bánh xe lớn bên trái lăn từ trái sang phải, bánh xe nhỏ bên phải lăn từ phải sang trái. Vấn đề là khi mỗi bánh xe di chuyển dọc theo đường ray, trọng tâm của nó thực sự di chuyển xuống dưới. Sự thay đổi này gần như không thể nhận thấy bằng mắt vì sự thay đổi đường kính

Hình 9

Hình 10

mét của trục rất khó nhận biết nên góc nghiêng của mặt phẳng nghiêng đối với mỗi bánh xe là rất nhỏ. Lực lăn đủ để chuyển động có được nhờ khối lượng lớn của bánh xe. Nghịch lý: một bánh lăn từ mép trái của đường ray sang phải, còn bánh kia thì ngược lại. Triển lãm này gây ấn tượng rất mạnh mẽ. Theo Nghiên cứu Toán học, Hình 10 cho thấy cuộc triển lãm hấp dẫn nhất. Đoạn nghiêng được gắn vào một trục thẳng đứng bằng hai khớp và có thể quay quanh trục này. Trong mặt phẳng thẳng đứng có một đoạn cong có dạng hyperbol. Khi quay, đoạn này đi qua vết cắt. Vấn đề là đoạn này là một phần của đường sinh trực tuyến của hyperboloid cách mạng. Chúng tôi hy vọng rằng bây giờ mọi độc giả sẽ muốn đến thăm một bảo tàng thú vị như vậy!

M A T H E A T I C H E K K R UZH OK

Phép chia góc và cổ điển khác bài toán

A. ZASLAVSKY, S. MARKELOV

Chúng tôi biết rằng bài toán không có lời giải. Chúng tôi muốn biết làm thế nào để giải quyết nó. A.Strugatsky, B.Strugatsky. “Thứ Hai bắt đầu vào Thứ Bảy”

Trong hình học trường học bài toán việc xây dựng thường yêu cầu giải bằng compa và thước kẻ. Lý do cho điều này là truyền thống lịch sử: đây là những dụng cụ được các nhà hình học Hy Lạp cổ đại sử dụng. Họ cũng đã xây dựng ba công thức đã trở thành cổ điển, bài toán, một trong số đó là phép chia ba hoặc chia một góc đã cho thành ba phần bằng nhau và hai phần còn lại - nhân đôi khối lập phương, tức là dựng một khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích đã cho và bình phương hình tròn, tức là dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn đã cho. Thực tế là không thể giải tất cả những bài toán này chỉ bằng la bàn và thước kẻ mà không có phép chia đã được chứng minh vào thế kỷ 19, khi bài toán được định dạng lại bằng ngôn ngữ đại số. Ví dụ: bài toán về phép chia ba góc M S 3 rút gọn thành lời giải của phương trình bậc ba $x^{3} 3 x 1 0$. Phương trình này không có nghiệm hữu tỉ, và có thể chứng minh rằng nghiệm của nó không phải là nghiệm hữu tỉ bậc hai và không thể dựng được bằng compa và thước thẳng (để biết thêm thông tin về chứng minh tính bất khả thi của cách dựng, xem [1]). Tuy nhiên, bạn có thể cố gắng giải quyết bài toán nếu cho phép có kho công cụ rộng hơn và cả nếu trước đó một số đường cong đã được vẽ trên mặt phẳng. Dự án do các tác giả của bài báo đề xuất tại Hội nghị Mùa hè XXXVI của Giải đấu các Thành phố vào tháng 8 năm 2024 đã được dành cho các phương pháp này.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240903

Hãy bắt đầu với hai bài toán, được biết đến từ thời cổ đại.

Bài toán 1. Chia góc đã cho thành ba phần bằng nhau bằng cách sử dụng compa và thước kẻ trên đó đánh dấu một đoạn đơn vị. Thước có thể được áp dụng cho mặt phẳng sao cho nó đi qua một điểm đã được xây dựng trước đó và các đầu của đoạn được đánh dấu trên đó nằm trên các đường đã vẽ trước đó. Lời giải. Chúng ta biểu thị góc này bằng M và trên đường tròn đơn vị tâm O lấy các điểm A và B sao cho AOB M. Dùng thước kẻ có đoạn thẳng đơn vị đã đánh dấu, kẻ một đường thẳng qua B cắt đường tròn và tiếp tục đoạn AO vượt ra ngoài điểm O tại các điểm X, Y sao cho XY = 1 (Hình 1). Sau đó OBX OXB 2 XYA và AOB OBY OYB 3 XYA, do đó, XYA M 3.

Hình 1

Sự định nghĩa. Cho điểm chuyển động đều dọc theo tia quay với vận tốc góc không đổi xung quanh gốc tọa độ của nó. Khi đó đường cong mà nó mô tả được gọi là đường xoắn ốc Archimedes.

Bài toán 2. Vẽ đường xoắn ốc Archimedes trên mặt phẳng. Chia góc này bằng compa và thước: a) thành ba phần bằng nhau; b) thành n phần bằng nhau. Lời giải. a) Vẽ hai tia từ tâm O của đường xoắn ốc, tạo thành một góc M và tìm các điểm X, Y giao nhau của chúng với đường xoắn ốc (Hình 2). Chúng ta vẽ đoạn OX c OX trên OY, chia đoạn X c Y thành ba phần bằng nhau và vẽ qua các điểm phân chia một đường tròn tâm O cắt đường xoắn ốc tại các điểm P và Q. Sau đó XOP POQ QOY. b) Lời giải tương tự như điểm trước. Tập hợp các đường cong mà trong đó việc chia ba một góc trở nên khả thi,