Kvant 2025, số 1 · Trang

5

VẤN ĐỀ

MÁY HÚT ĐIỆN

có một cái gần bài toán – tại sao khi nấu chín, xúc xích lại bung theo chiều dọc chứ không phải ngang. Đúng là có áp lực không phải từ bên ngoài mà từ bên trong, nhưng bài toán vẫn tương tự. Khi một ống điện tử hoạt động, vật chứa thủy tinh của nó nóng lên và nếu gặp một số trục trặc, nhiệt lượng có thể mạnh đến mức áp suất khí quyển có thể làm biến dạng vật chứa (Hình 3).

Hình 3. Đây là điều xảy ra khi kính mềm đi

Nhưng đây là một vụ án hiếm hoi và có thể nói là một vụ án hình sự. Để đèn hoạt động, điện áp phải được cấp vào cực âm, cực dương và lưới điện (hoặc một số lưới điện). Nói cách khác, hình trụ phải là chất điện môi (thủy tinh, gốm sứ) hoặc kim loại, nhưng sau đó các đầu vào phải được cách điện. Có thể cách ly tất cả trừ một, nhưng trên thực tế, chúng cách ly mọi thứ - thật bất tiện khi đặt một trụ kim loại dưới điện thế của một trong các điện cực. Theo đó, cả vấn đề về công nghệ (cách làm) và vật lý đều phát sinh. Kín chân không, tức là không có khe hở, nối kim loại và thủy tinh (hoặc gốm) là một vấn đề công nghệ và thiết kế nổi tiếng. Trong những điều kiện nào thủy tinh nóng dính vào kim loại không còn là một câu hỏi đơn giản và chưa được nghiên cứu kỹ lưỡng. Nhưng điều gì xảy ra tiếp theo? Bản thân quá trình kết nối được thực hiện ở nhiệt độ cao thì vật phải được làm mát, nhưng các chất sẽ làm gì khi nhiệt độ thay đổi? Đặc biệt, chúng thay đổi kích thước và nếu chúng được kết nối và ứng suất cơ học sinh ra vượt quá độ bền của vật liệu được kết nối hoặc độ bền của chính kết nối (đây là ba độ bền khác nhau), thì kết nối sẽ không thành công. Căng thẳng cơ học có thể xảy ra trong một số trường hợp

yakh được tính toán nếu biết các thông số của vật liệu được nối. Ví dụ: bạn có thể thu được kết quả này nếu một hình trụ và một thanh có hệ số giãn nở nhiệt đã biết và mô đun Young được kết nối đồng trục. Nhân tiện, tại sao chúng ta phải lấy một hệ có đối xứng trục làm mô hình để tính ứng suất? Không chỉ bởi vì nó trông giống như một cấu trúc thực sự. Và cũng bởi vì nó có thể thuận lợi hơn về mặt năng lượng cho một cấu trúc gồm hai tấm bị uốn cong, và điều này sẽ khó tính toán hơn. Trong thực tế, họ cố gắng sử dụng các vật liệu có độ giãn nở tương tự như vật liệu hình trụ làm đầu vào. Nhưng đây là những hợp kim thường có điện trở cao hơn và chúng tôi sẽ cho dòng điện chạy qua các đầu vào. Do đó, vấn đề vật lý đầu tiên là các đầu vào phải có tiết diện vừa đủ để chúng không bị dòng điện chạy nóng làm nóng, và vấn đề thứ hai là khoảng cách giữa các đầu vào phải đủ lớn để tránh đánh thủng dọc theo bề mặt của hình trụ (sự đánh thủng dọc bề mặt xảy ra ở điện áp thấp hơn đánh thủng xuyên qua thể tích). Đối với sự phân hủy ở chất rắn, về thể tích hoặc trên bề mặt,

Hình 4. Thiết bị đầu cuối điện áp cao ở phía trên

9

VẤN ĐỀ

MÁY HÚT ĐIỆN

các thiết bị điện chân không không có nguồn điện - khe hở tia lửa (có nhiều loại khác nhau) và một diode có cực âm điện tử trường (bạn có thể tìm thấy thông tin chi tiết trên Internet). Nhưng ngoài họ ra, những người khác đều tiêu thụ năng lượng và quyền lực. Họ đưa ra những gì? Đèn hoạt động ở dải tần số cao tạo ra sóng điện từ, tức là năng lượng và công suất. Về đèn hoạt động ở vùng tần số tương đối thấp, không thể nói “họ sản xuất”, mà có thể nói “họ có thể sản xuất”. Bởi vì để làm được điều này, một tải phải được nối vào chúng, và khi không có tải, chúng có điện áp ở đầu ra (hoặc dòng điện trong mạch anode), nhưng không có nguồn điện. Đúng, có sự tinh tế ở đây. Ví dụ, có những loại đèn tần số cao có hại khi hoạt động không tải. Vì vậy, không nên bật lò vi sóng (lò vi sóng) khi không tải. Nhưng bây giờ chúng ta đang thảo luận về những tình huống đơn giản hơn. Vì vậy, bằng cách này hay cách khác, hiệu quả không bao giờ là 100%. Theo đó, có hai câu hỏi được đặt ra: làm thế nào để tăng hiệu quả và “phần còn lại” đi đâu? Và phần còn lại chủ yếu chuyển thành nhiệt - các electron mang năng lượng bay đến cực dương và gần như toàn bộ năng lượng này được chuyển thành nhiệt (khoảng 1% thành bức xạ tia X). Nhiệt lượng này gây ra rất nhiều rắc rối, ví dụ như vật liệu làm cực dương có thể bay hơi hoặc tan chảy. Quá trình làm mát xảy ra từ bên ngoài và cực dương được làm nóng từ bên trong. Khi bị nung nóng, vật liệu làm cực dương nở ra, nhưng các lớp bên ngoài không cho phép nó làm được điều này và ứng suất cơ học phát sinh trong vật liệu. Kết quả là vật liệu làm cực dương bị nứt. Những quy trình này rất khó tính toán nhưng vẫn có sẵn dữ liệu thực nghiệm và kinh nghiệm vận hành. Ở phần đầu của bài viết đã nói ngắn gọn về công suất trung bình và sự khác biệt của nó với công suất xung. Hãy tưởng tượng rằng đèn hoạt động ở chế độ liên tục; một phần năng lượng mà nó tiêu thụ bằng cách nào đó được chuyển thành nhiệt và truyền đến các điện cực. Kết quả là toàn bộ lượng nhiệt này được thải ra môi trường. Làm mát - tự nhiên hay nhân tạo, nước hay không khí - không quá quan trọng, cái chính là nhiệt được thải ra môi trường. Nhưng tất cả các bộ phận của đèn (cả điện cực và vỏ) đều được làm nóng

là có thể, nhưng nhiệt độ ở mức nào còn phụ thuộc vào cách hoạt động của hệ thống làm mát. Khi một nguyên tố nóng lên, điều đó có nghĩa là nó bay hơi mạnh hơn, thay đổi kích thước, mất sức mạnh, tăng lượng khí thải và thậm chí có thể tan chảy hoàn toàn. Chế độ nhiệt có thể tính toán được một phần, các phương trình ở đó không quá phức tạp nhưng vẫn chưa phải là phương trình trường học. Vì vậy, việc tính toán là cần thiết nhưng cần phải có sự kiểm chứng bằng thực nghiệm. Nhưng đây là những gì bạn cần hiểu về công suất trung bình và xung. Các thiết bị hút chân không thuộc bất kỳ loại nào thường hoạt động ở chế độ xung. Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất, khi đây là các xung hình chữ nhật có thời lượng t, theo sau là một khoảng thời gian T. (Đề phòng - trong sách và bài báo, bạn có thể gặp thuật ngữ “hệ số lấp đầy”, nó là $равен^{t} T$ và “hệ số nhiệm vụ”, nó bằng T t.) Giả sử công suất trong xung bằng N. Khi đó, rõ ràng, công suất trung bình là $равна^{tN} T$. Chú ý, câu hỏi: nhiệt độ của một bộ phận cụ thể của đèn là gì? Nó có bằng nhiệt độ khi hoạt động ở chế độ liên tục với công suất bằng mức trung bình, $т.е^{tN} T$ (có vẻ tự nhiên) hoặc nóng lên khi hoạt động ở chế độ liên tục với công suất bằng đỉnh, tức là N (có vẻ ngu ngốc)? Gợi ý: cả hai trường hợp đều có thể xảy ra, cũng như mọi trường hợp ở giữa. Trên thực tế, đây chỉ là phần nhỏ nhất và ban đầu của một phần vật lý và công nghệ khổng lồ, không chỉ liên quan đến ống chân không. Nhưng trong mọi trường hợp, tất cả các quá trình này đều có hại. Làm thế nào để tránh chúng? Có rất nhiều đáp số cho câu hỏi này và mỗi loại thiết bị đều có đáp số riêng, nhưng bạn có thể đưa ra hai cái chung - và cái đúng - đáp số ngay lập tức, dựa trên những gì bạn đã biết. Cần phải làm chậm các electron trước khi đến cực dương. Điều này thực sự đã được thực hiện và nó được gọi là phục hồi. Bạn có thể thoải mái suy nghĩ xem phương pháp này có những hạn chế hay không và chúng là gì (có ít nhất hai). Một cách khác là “làm xáo trộn” chùm electron chạm vào cực dương, làm giãn nở nó, giảm mật độ năng lượng (công suất-

Về bất biến Poncelet và bút chì đường tròn

P.KOZHEVNIKOV

Xung quanh định lý Poncelet

Định lý Poncelet là một trong những định lý hình học mà bạn có thể ngưỡng mộ không ngừng! Hãy để chúng tôi trình bày một trong những phiên bản “cổ điển” của công thức của nó (tất nhiên, các biến thể và khái quát đều được biết đến). Định lý Poncelet. Cho hai đường tròn trên một mặt phẳng và đường tròn thứ hai nằm bên trong đường tròn thứ nhất (Hình 1).

Hình 1

Giả sử có một đường đứt liên kết n khép kín, tất cả các đỉnh của nó nằm trên đường tròn đầu tiên và tất cả các liên kết của nó đều chạm vào đường tròn thứ hai. Khi đó có vô số đường đứt đoạn liên kết n khép kín như vậy và bất kỳ điểm nào trên đường tròn đầu tiên đều có thể là đỉnh của đường đứt đoạn đó. Do đó, việc xây dựng một đường đa tuyến có thể được bắt đầu từ bất kỳ điểm nào của đường tròn thứ nhất, vẽ một tiếp tuyến với đường tròn thứ hai và thu được một điểm giao nhau mới trên đường tròn thứ nhất. Việc xây dựng từng bước một đường đứt đoạn như vậy được gọi là quy trình Poncelet cho một cặp đường tròn cho trước và bản thân đường đứt nét (nội tiếp trong đường tròn đầu tiên và ngoại tiếp quanh đường tròn thứ hai) được gọi là đường đứt gãy Poncelet hoặc quỹ đạo Poncelet. Về cơ bản, định lý Poncelet

DOI: https: doi.org 10.4213 kvant20250102

phát biểu rằng nếu quỹ đạo Poncelet, bắt đầu tại một điểm nào đó trên vòng tròn đầu tiên, hóa ra là tuần hoàn, tức là đóng sau một số bước, thì quỹ đạo khép kín này có thể được “xoay” giữa các vòng tròn. Chúng ta hãy tự hỏi: quỹ đạo của Poncelet có những đặc tính thú vị nào? Một tính chất thú vị có thể là một bất biến, tức là một đại lượng hoặc đặc tính không phụ thuộc vào việc lựa chọn quỹ đạo. Một ví dụ về bất biến số liệu được đưa ra trong bài toán M2817 từ “Bài toán Kvant (cô ấy lời giải xem số tạp chí này). Trong này bài toán một cặp đường tròn được coi là có họ Poncelet nội tiếp (2n)-giác, và người ta phát biểu rằng tỉ số giữa diện tích và tổng chiều dài các đường chéo chính là bất biến, tức là bất kỳ tam giác (2n)-Poncelet nào cũng có cùng giá trị. TRONG lời giải bài toán M2817 một bất biến hình học đáng chú ý thuộc họ Poncelet của (2n)-giác được sử dụng: các đường chéo chính của chúng cắt nhau tại một điểm cố định (không phụ thuộc vào việc chọn (2n)-giác). Chúng tôi sẽ giải quyết thực tế này trong bài toán 10 ở cuối bài viết. Chúng ta hãy xem xét phát biểu về một bất biến hình học khác đối với các quỹ đạo Poncelet tuần hoàn. Tuyên bố. Giả sử một cặp đường tròn: Z là quỹ đạo Poncelet liên kết n khép kín. Xét n điểm tiếp xúc của các mắt xích với Z. Khi đó khối tâm của hệ gồm n điểm này là một điểm cố định. Vì vậy, khối tâm của các điểm tiếp tuyến, hay chính xác hơn là khối tâm của một hệ có n khối lượng bằng nhau,

35

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

Nhân tiện, những từ in nghiêng là tiêu đề của một bài báo được xuất bản hai lần trong «Kvant» (xem «Kvant» số 9 cho năm 1981 và số 12 cho năm 1987). Bản thân luận án này là của Ya. I. Cuốn sách “Đại số giải trí” của Perelman. Đây là một ví dụ bài toán, có thể quy cho nhận định này: Một tảng băng có nhiệt độ 0 q C và khối lượng m được đặt trong nước có nhiệt độ 35 q C. Khối lượng của nước là 2 m. Xác định nhiệt độ của hỗn hợp, giả sử sự trao đổi nhiệt chỉ xảy ra giữa nước đá và nước. Biết rằng nhiệt dung riêng của nước đá nóng chảy là 340 kJ kg, nhiệt dung riêng của nước là 4,2 kJ kg q C. Giả sử toàn bộ băng tan hết, ta thu được phương trình

340 m 4,2 ˜ 3 m ˜ t

TRẺ EM HỌC SINH

giờ sau khi uống một thùng kvass và hỏi có bao nhiêu người cắt cỏ sẽ uống cùng một thùng đó trong 3 giờ. Từ “máy cắt cỏ” còn xa lạ với học sinh cũng như từ “thang cuốn” đối với ông bà của chúng ở thế kỷ trước.

Những độc giả tinh ý có lẽ đã thấy rằng hai bài toán 1 và 2 có vẻ khác nhau trên thực tế lại giống nhau về mặt toán học bài toán. Sự giống nhau là tuyệt đối, có thể thấy rõ từ bảng:

4,2 ˜ m ˜ 35 t.

Theo đó t < 0. Bất đẳng thức này có nghĩa là toàn bộ băng sẽ không tan. Một phần của nó sẽ vẫn ở dạng băng ở nhiệt độ 0 và tất cả nước sẽ nguội đến 0 độ. Nhiệt độ của hỗn hợp sẽ bằng không. Bây giờ chúng ta hãy nhớ bài toán vật lý này. Bài toán 2. Một người đàn ông chạy dọc theo thang cuốn. Lần đầu tiên anh đếm được 50 bước, lần thứ hai, di chuyển cùng chiều với tốc độ gấp ba lần, anh đếm được 75 bước. Anh ta sẽ đếm được bao nhiêu bước trên một thang cuốn đứng yên?

Dựa vào điều kiện của bài toán này, chúng ta lưu ý những điều sau. Một người không chạy dọc theo thang cuốn mà chạy dọc theo vành đai thang cuốn. Thang cuốn là một loại máy nâng và vận chuyển lớn và phức tạp. Bằng sáng chế đầu tiên cho thang cuốn có từ năm 1859; thang cuốn đầu tiên xuất hiện vào năm 1894 ở New York như một điểm thu hút khách du lịch và trên tàu điện ngầm vào năm 1911 ở London. Ở nước ta, những chiếc thang cuốn đầu tiên bắt đầu hoạt động vào năm 1935 tại tàu điện ngầm Moscow. Vì lý do này, bài toán về một người đàn ông chạy dọc theo thang cuốn không thể xuất hiện trong các cuốn sách có vấn đề vào những năm 30, thậm chí là những năm 40 của thế kỷ trước. Nhưng học sinh hiện đại đặt ra câu hỏi về bài toán cũ, trong đó 6 máy cắt cỏ vào một ngày nắng nóng ở 8

Rõ ràng là sau khi giải được bài toán 1 về một chiếc tàu máy, một chiếc thuyền và hai chiếc bè trên sông, chúng ta cũng đã giải được bài toán 2. Vậy đáp số với nó: 100 bước. Hình 1, được hiển thị ở bài toán 1, có thể dễ dàng được quy cho bài toán 2 về thang cuốn. Đồng thời, chúng tôi tin rằng một người chạy theo hướng chuyển động của thang cuốn - đây chính xác là điều mà một hành khách vội vã đi tàu điện ngầm thường làm. Nhưng trong điều kiện bài toán điều này không được nêu trực tiếp, vì vậy hãy xem xét trường hợp một người chạy ngược lại chuyển động của thang cuốn. Giả sử thang cuốn di chuyển từ trên xuống dưới và một người cố gắng leo từ dưới lên trên (Hình 2). Đối với anh ta, thang cuốn đóng vai trò như một loại thiết bị thể thao, một máy chạy bộ. Gọi N là một bậc thang ban đầu không nhìn thấy được và nằm ở khoảng cách l tính từ điểm bắt đầu nhìn thấy được của thang cuốn. Bước này và người gặp nhau ở đầu thang cuốn.

41

MẬT E MẬT CHÉY KI Y

Hãy xem một ví dụ khác. Giả sử có một số nhiều tập hợp (một tập hợp trong đó các phần tử có thể được lặp lại) gồm các số nguyên M và một số số S. Cần kiểm tra xem có tập con các số trong M cộng với S hay không. Chưa có thuật toán nhanh nào để tìm tập con cần thiết. Do đó, người ta không biết liệu bài toán này có nằm trong P hay không. Tuy nhiên, chúng ta có thể nói chắc chắn rằng bài toán nằm trong NP. Nếu chúng ta được cấp một tập hợp số nhất định, thì chúng ta chỉ cần đảm bảo rằng chúng ta không bị lừa và thực sự được cho một tập con M, đồng thời tổng các số được cung cấp cho chúng ta bằng S. Vì lời giải có ​​thể được kiểm tra nhanh chóng, bài toán nằm trong NP. Ngoài ra, còn có lớp NP-đầy đủ bài toán, tức là lớp NP-bài toán “phức tạp” nhất. Nếu bạn tìm thấy ít nhất một số thuật toán “nhanh” lời giải thì điều này sẽ tự động có nghĩa là đối với mọi NP-bài toán đều có thuật toán “nhanh”. Và bài toán mà chúng tôi đã xem xét chính xác là NP-đầy đủ. Lưu ý rằng bài toán việc tìm tập con M có tổng S về cơ bản là một trường hợp đặc biệt của trò chơi mà trí tuệ nhân tạo nghĩ ra. Chỉ là trong trường hợp này, trò chơi được chơi trên một bảng, một trong các cạnh của nó bằng 1. Vì vậy, nếu tồn tại một thuật toán tốt thì rất có thể một người sẽ khó đoán được nó, và thậm chí còn hơn thế nữa đối với trí tuệ nhân tạo hiện đại. Tất cả những gì còn lại là bằng cách nào đó sắp xếp các lựa chọn. bài toán như vậy thường là NP-đầy đủ. Ví dụ như Sudoku cũng nằm trong số đó. Vì vậy, bạn có thể chắc chắn rằng khi một cấp độ mới được tạo ra, các con số trên bảng sẽ xuất hiện ngẫu nhiên và “lời giải” cũng được chọn ngẫu nhiên. Vì vậy, rất có thể một số cấp độ sẽ không có sự kết hợp chính xác duy nhất và điều này tất nhiên là không tốt cho lắm. Rốt cuộc, với lời giải, bạn sẽ phải hành động ngẫu nhiên vào một lúc nào đó. Chúng ta hãy tóm tắt lý luận của mình bằng nhận xét rằng trí tuệ nhân tạo phải được sử dụng cùng với trí thông minh (con người) chứ không hy vọng vào sự hoàn hảo của nó. Tuy nhiên, thật tuyệt khi anh ấy có thể mang đến cho một người biết suy nghĩ rất nhiều điều để suy nghĩ. trước-

ĐỂ ROUGE OK

Hãy đặt cược xem bạn có thể nghĩ ra bao nhiêu khái quát dựa trên trò chơi này! Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng trò chơi đang được thảo luận đã được phát minh trước đó (xem [3]). Vì vậy, vẫn còn phải xem liệu trí tuệ nhân tạo có tự tạo ra các quy tắc như vậy hay liệu nó có thực sự sử dụng vật liệu có sẵn hay không.

Bài tập

3. Trong chụp cắt lớp rời rạc bài toán, trở ngại duy nhất cho sự độc đáo của lời giải là sự tồn tại của “bộ tứ cờ vua”. Đưa ra ví dụ về những trở ngại đối với tính duy nhất của lời giải có ​​thể nảy sinh với lời giải bài toán do trí tuệ nhân tạo đề xuất. 4. Có phải lời giải bài toán là giải pháp duy nhất được đề xuất bởi trí tuệ nhân tạo (Hình 8) không?

Hình 8

Văn học

1. H. J. Ryser. Tính chất tổ hợp của ma trận số 0 và số 1. – Tạp chí Toán học Canada, 2010, n. 9, tr. 269–275. 2. D.V.Musatov. Độ phức tạp tính toán. – MIPT, 2016. 3. https: www.digitaltrends.com game sumlete-chatgpt-ai-game-design-ethics

43

F IZY CHES KY

vị trí cân bằng bằng 0, áp suất đạt cực đại và cực tiểu $p_{0} r$ ‘p. Những khoảnh khắc giống nhau về thời gian và địa điểm trong không gian tương ứng với những vận tốc có trật tự cực đại của chuyển động của hạt r Av O. Nói cách khác, ở những nơi này và tại những thời điểm này mật độ dòng năng lượng cực đại trong sóng đạt được, bằng ’ pAv O. Hơn nữa, dấu của dòng năng lượng theo hướng trục x ở những nơi này (nơi không có sự dịch chuyển của hạt nào) là như nhau. Ở những nơi mà các hạt chuyển động với tốc độ tối đa, lượng áp suất bổ sung so với giá trị trung bình bằng không. Tích của tốc độ chuyển động có trật tự (không nhiệt) của chúng với áp suất trung bình ở nơi này cũng cho mật độ dòng năng lượng, nhưng những dòng năng lượng này chảy ở một nơi và ở lân cận gần nhất dọc theo hướng truyền sóng có dấu ngược nhau, vì tốc độ chuyển động của sóng khác nhau về hướng ở những nơi này. Trong một sóng truyền theo hướng +x, giá trị trung bình theo thời gian của mật độ thông lượng năng lượng theo hướng này là dương và bằng một nửa giá trị cực đại, giá trị này đạt được chính xác ở những nơi đó và tại những thời điểm đó khi và khi độ dịch chuyển của các hạt khỏi vị trí cân bằng bằng không. Như vậy, theo thời gian, dòng năng lượng dao động với tần số 2v O, cao gấp đôi tần số dao động của các hạt trong chuyển động sóng, bằng v O.

Tính chất sóng

F A C U L TATIVE

Năng lượng sóng. Âm lượng

Năng lượng của sóng âm trong một thể tích có kích thước tuyến tính ngang vượt quá đáng kể bước sóng tỷ lệ với bình phương biên độ dao động áp suất trong sóng. Nếu giả sử không có tổn thất và nguồn âm tạo ra công suất không đổi theo thời gian, tạo ra sóng truyền theo mọi hướng có thể thì khi khoảng cách từ nguồn âm đến nơi ghi sóng theo hướng không đổi đã chọn tính từ nguồn, biên độ của sóng A giảm. Ví dụ: nếu nguồn và máy thu âm thanh ở trong một môi trường đồng nhất và kích thước của nguồn D và bước sóng O của âm thanh nhỏ so với khoảng cách R từ nguồn đến máy thu thì tích của khoảng cách và biên độ của sóng ở khoảng cách này được bảo toàn: AR const.

Sự nhận biết tín hiệu âm thanh có những đặc điểm nhất định. Được biết, dải tần của tín hiệu mà con người cảm nhận được dưới dạng âm thanh là từ 20 Hz đến 20 kHz đối với giới trẻ. Càng lớn tuổi, độ nhạy với tần số cao càng giảm. Trong trường hợp này, các tín hiệu có cùng biên độ dao động của các hạt trong sóng ở các tần số khác nhau được coi là khác nhau về âm lượng. Hình 1 cho thấy các mức âm thanh ở các tần số khác nhau được coi là có âm lượng bằng nhau. Độ nhạy lớn nhất đạt được với

Đối với sóng âm có biên độ dao động áp suất nhỏ, nguyên lý chồng chất là đúng. Trong trường hợp này, các sóng truyền qua cùng một vùng không gian theo các hướng khác nhau không ảnh hưởng lẫn nhau. Đối với sóng âm thanh (cũng như đối với ánh sáng, tức là sóng điện từ), hiện tượng sóng nổi tiếng diễn ra. Cụ thể là: giao thoa và nhiễu xạ sóng. Không giống như sóng ánh sáng, sóng âm trong chất khí không thể hiện tính chất lượng tử.$^{1}$

1 Nhân tiện, hiệu ứng lượng tử xảy ra đối với sóng âm trong chất rắn. Chính những hiệu ứng này quyết định sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung của chất rắn ở nhiệt độ thấp.

Hình 1. Sự phụ thuộc của mức âm lượng vào tần số

45

F IZY CHES KY

niya ’ $p = p_{0}$ tốc độ của âm thanh không phụ thuộc vào biên độ dao động áp suất. Nhưng khi biên độ áp suất trong sóng tăng đến giá trị tương đương (hoặc lớn hơn) với giá trị trung bình $p_{0}$ thì tốc độ truyền âm tăng lên (phát sinh sóng xung kích).

Chuyển động của nguồn âm thanh và máy thu

Nếu một nguồn âm thanh di chuyển so với chất khí, thì sự phân bố không gian của các khu vực có áp suất cao và thấp (áp suất cực đại và cực tiểu trong sóng) phụ thuộc vào hướng truyền sóng âm và vectơ tốc độ của nguồn âm thanh (cả hướng và độ lớn của tốc độ nguồn đều được tính đến). Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Doppler, được đặt theo tên của nhà vật lý đầu tiên giải thích hiệu ứng này. Ví dụ, một người đứng bất động (trong thời tiết lặng gió) và lắng nghe âm thanh của một chiếc ô tô (tàu hỏa hoặc máy bay trực thăng) đi ngang qua mình với tốc độ nhỏ hơn tốc độ âm thanh sẽ nghe thấy tần số rung động của âm thanh cao hơn khi nguồn âm thanh đến gần anh ta so với tần số của âm thanh đến người nghe từ cùng một nguồn âm thanh di chuyển ra xa anh ta. Chuyển động của bản thân người nghe so với không khí cũng dẫn đến sự phụ thuộc của độ cao của âm thanh nghe được vào hướng truyền sóng âm cũng như độ lớn và hướng tốc độ chuyển động của người nghe.

Máy bay siêu thanh

Nếu một nguồn âm thanh di chuyển so với môi trường khí với tốc độ vượt quá tốc độ âm thanh (một số máy bay hiện đại có thể bay trong không khí với tốc độ lớn hơn tốc độ âm thanh), thì trong trường hợp này, toàn bộ không gian được chia thành hai vùng: một vùng chưa bị sóng âm chiếm giữ và ở vùng kia đã tồn tại sóng âm. Nếu nguồn âm như vậy chuyển động thẳng và đều thì có một bề mặt hình nón ngăn cách hai vùng này. Họ gọi nó là hình nón Mach, được đặt theo tên của nhà vật lý đầu tiên mô tả nó. Ở đỉnh của hình nón này có một nguồn âm và đỉnh di chuyển theo

F A C U L TATIVE

độ cao của nguồn âm thanh. Trong trường hợp này, rất có thể máy bay đã bay qua vị trí cách người quan sát đứng bất động trên mặt đất một khoảng tối thiểu và sóng âm vẫn chưa đến được với người quan sát. Trong trường hợp này, tại thời điểm sóng âm đến người nghe, áp suất (pop) thay đổi mạnh, sau đó người ta nghe thấy tiếng gầm của máy bay. Hơn nữa, từ cảm giác âm thanh, có vẻ như từ một vị trí phía trên người nghe, hai nguồn âm thanh đang phân tán theo các hướng khác nhau: một theo hướng máy bay bay và một theo hướng ngược lại. Đạn bắn ra từ một số loại súng hiện đại rời nòng với tốc độ gấp đôi tốc độ âm thanh. Và trên một phần đáng kể của đường bay, tốc độ của viên đạn vượt quá tốc độ âm thanh. Vì vậy, câu nói rất đúng: “nếu bạn nghe thấy tiếng đạn bay thì nó không phải của bạn”, tức là nó đã bay qua và sẽ không trúng bạn.

Sóng âm trong môi trường không đồng nhất

Rõ ràng là môi trường truyền sóng âm có thể không đồng nhất. Ví dụ, người ta biết rằng trong không khí (ngay cả trong không khí tĩnh) cả nhiệt độ và mật độ đều có thể thay đổi theo độ cao trên mức ngang ban đầu đã chọn. Do đó, sóng trong môi trường không đồng nhất như vậy có thể thay đổi hướng truyền nếu chúng di chuyển từ một khu vực có một tập hợp các đặc điểm môi trường sang một khu vực có tập hợp các đặc điểm môi trường khác. Trong trường hợp này, các mối quan hệ nhất định được thỏa mãn giữa sóng tới trên mặt phân cách giữa các mặt cắt, phản xạ từ ranh giới này hoặc sóng truyền qua mặt phân cách này. Áp dụng các định luật phản xạ và khúc xạ tương ứng. Nếu chúng ta giả sử rằng không có tổn hao, bề mặt phân cách phẳng và kích thước hình học của nó lớn hơn đáng kể so với bước sóng, thì các định luật này trùng khớp với các định luật tương ứng trong quang học hình học và dựa trên các định luật bảo toàn trong cơ học. Cụ thể: về định luật bảo toàn động lượng và năng lượng. Tất nhiên, có những tình huống trong đó các bước sóng có thể so sánh được

46

KVANT 2025/№1

với kích thước của các giao diện và bản thân các ranh giới có thể không bằng phẳng mà cong. Trong những trường hợp như vậy, các hiệu ứng sóng tương tự như đối với sóng điện từ có thể xuất hiện, tức là nhiễu xạ và giao thoa.

Sóng bề mặt

Ví dụ, nếu môi trường khí không đồng nhất và có giao diện sắc nét, tách biệt khỏi các khu vực có mật độ khác nhau của cùng một chất khí (ở nhiệt độ khác nhau, nhưng cùng áp suất) hoặc các khu vực có thành phần hỗn hợp khí khác nhau, cũng có mật độ khác nhau, thì trong trường hấp dẫn, các chất được đặt sao cho thành phần ít đậm đặc hơn nằm phía trên thành phần đậm đặc hơn. Trong tình huống như vậy, có thể hình thành và lan truyền cái gọi là sóng bề mặt dọc theo bề mặt này. (Một chất tương tự là sóng hấp dẫn trên bề mặt nước.) Tốc độ truyền của chúng phụ thuộc vào mật độ trên $U_{в}$ và dưới $U_{н}$ của giao diện, cũng như độ lớn của gia tốc trọng trường g. Và điều thú vị nhất là tốc độ truyền của những sóng như vậy phụ thuộc vào cả bước sóng và biên độ. Tất nhiên, trong khí quyển ở các độ cao khác nhau, mật độ không khí khác nhau và các sóng bề mặt như vậy đôi khi được quan sát thấy dưới dạng một dạng mây cụ thể, nhưng tần số dao động ở các sóng đó nhỏ đến mức chúng không rơi vào dải tần số mà chúng ta có thể nghe thấy. Nói cách khác, những sóng như vậy không thể gọi là sóng âm.

Bài toán dành cho độc lập lời giải

1. Hệ số tỷ lệ trong công thức $v^{2} \sim RT 0$ đối với khí hydro $( H_{2} )$ ở các nhiệt độ khác nhau $T_{1} = 10$ K và $T_{2} = 300$ K là bao nhiêu? 2. Tốc độ âm thanh trong hỗn hợp khí heli và hydro có cùng nồng độ phân tử của các chất này trong điều kiện bình thường là bao nhiêu? 3. Tốc độ âm thanh trong bầu khí quyển của Sao Thổ có nhiệt độ trung bình xấp xỉ 140 K là bao nhiêu? Thành phần khí quyển của Sao Thổ: $H_{2}$ (khoảng 96%), He (khoảng 3%), $CH_{4}$ (khoảng 0,4%).

4. Một đứa trẻ cáu kỉnh hét lên sao cho cách miệng 1 m thì mức âm thanh là 120 dB. Năng lượng tiếng hét của anh ta được phân bổ đều trên các tần số trong phạm vi (1–7) kHz. Ở khoảng cách nào thì đứa trẻ sẽ không còn nghe thấy tiếng khóc của mình nữa? 5. Biên độ dao động của áp suất không khí (trong điều kiện bình thường) trong một sóng hình sin phẳng là bao nhiêu, trong đó biên độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng là 1 mm và bước sóng là 1 m? Mật độ dòng năng lượng trong sóng này là gì? 6. Âm lượng (tính bằng dB) trong sóng so với bài toán trước đó là bao nhiêu nếu tần số dao động là 3000 Hz? 7. Bên trong một quả bóng có thành cao su mỏng có một chất gọi là NOVEK ở trạng thái khí (chất này có khối lượng mol rất lớn). Bên ngoài, không khí ở điều kiện bình thường. Bán kính quả bóng là 0,5 m. Một sóng âm phẳng có tần số 10 kHz truyền vào quả bóng. Ở xa quả bóng này, thiết bị ghi âm lượng âm thanh là 50 dB. Nên đặt micro ở đâu để thu được âm lượng tối đa? Khối lượng tối đa này là bao nhiêu? 8. Một chiếc máy bay bay ở độ cao 1000 m với vận tốc không đổi 200 m/s. Cánh quạt của chiếc máy bay này có ba cánh và quay với tần số 1000 vòng/phút. Ngay bên dưới quỹ đạo (trên quỹ đạo) có một người quan sát. Tần số âm thanh mà người quan sát này nghe được vào những thời điểm đó khi máy bay ở cách anh ta 3 km? 9. Trong một miệng núi lửa khổng lồ (đường kính hơn 10 km) của một ngọn núi lửa đã tắt từ lâu với thành cao (0,5 km), không khí lạnh $( - 10 \infty$ C). Không khí ấm di chuyển chậm trên miệng núi lửa $( + 20 \infty$ C). Tốc độ truyền của sóng bề mặt (tại bề mặt giữa không khí ấm và lạnh) có bước sóng 10 m là bao nhiêu? Áp suất khí quyển là $10^{5}$ Pa. 10. Tại sao trong thế kỷ trước, những bức tường được làm theo hình một phần tư hình cầu với bán kính 5–6 m trên các khu vực sân khấu mở phía trên bục cao khoảng 1 m, tức là gần bằng toàn bộ chiều rộng của các hàng ghế dài dành cho khán giả đứng trước khu vực này?

Chơi bóng

NHÀ NGUYỆN LA B “QUANTA”

I. SYCHEV

Vào một ngày hè đầy nắng, trẻ em (và cả người lớn) thích chơi đùa trong bóng tối. Những người tinh ý nhất có lẽ đã chú ý đến thực tế này. Ví dụ: nếu bạn đứng dưới mái nhà và đưa bóng của bạn đến gần bóng của ngôi nhà, thì bóng của bạn bắt đầu trải dài về phía bóng của ngôi nhà (Hình 1). Lý do cho sự biến dạng bóng này là gì? Chúng tôi không xem xét nhiễu xạ - không phải quy mô của nó, mọi thứ ở đây đều mang tính vĩ mô. Hãy sử dụng các định luật quang học hình học và vẽ sơ đồ về hiện tượng này (Hình 2). Rõ ràng, vấn đề chủ yếu là nguồn sáng có kích thước góc khác 0. Để đơn giản, chúng ta chỉ xét các tia bên ngoài phát ra từ đĩa mặt trời (Hình 3, a). Ở khoảng cách xa giữa màn hình 1 và 2, bóng từ màn hình đầu tiên không bị biến dạng (ảnh trái trong Hình 1). Khi bóng từ đầu và mái nhà đủ gần với cơ thể gần mặt đất hơn (màn hình 1), ánh sáng bắt đầu rơi không phải từ toàn bộ bề mặt của nguồn sáng mà chỉ từ phần chưa bị chặn bởi vật thể ở xa hơn (màn hình 2). Khi màn 1 đạt đến vị trí này, góc D giữa tia tới và phương thẳng đứng bắt đầu tăng lên (điểm bắt đầu của tia mặt trời dường như dịch chuyển dọc theo chu vi của đĩa mặt trời dọc theo

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250106

Hình 1. Làm biến dạng bóng của vật thể

Hình 2. Sơ đồ hình học của hiện tượng

Hình 3. Thay đổi góc D khi di chuyển màn hình 1

theo chiều kim đồng hồ) và do đó, bóng từ màn hình 1 được mở rộng về phía bóng từ màn hình 2 (Hình 3, b). Do đó, tốc độ dịch chuyển của bóng tăng khi tăng góc D. Do đó, khi bóng từ đầu (màn hình 1) đến gần bóng của ngôi nhà (màn hình 2), các khu vực gần nhà (góc D lớn hơn) cho bóng dài hơn: đầu “kéo dài” về phía mái nhà (ảnh phải trong Hình 1). Hãy thử ước tính kích thước góc của Mặt trời từ độ giãn dài của bóng (Hình 4). Để đơn giản hóa phép tính, chúng ta giả sử Mặt trời gần đạt thiên đỉnh và góc M nhỏ. Theo kinh nghiệm của chúng tôi về sự phát triển của con người

51

Thế Vận Hội

bao gồm $dT_{A} dH$ và $dT_{E} dH$. Sử dụng các phương trình này, hãy tìm giá trị bằng số của sự thay đổi nhiệt độ Trái đất do giá trị của H tăng lên một phần trăm.

Hình 2. Dòng nhiệt giữa Trái đất và khí quyển

và bỏ qua phần còn lại. Hành vi này, được gọi là hiệu ứng nhà kính, làm thay đổi nhiệt độ trung bình của Trái đất. Bề mặt Trái Đất phản chiếu một phần $r_{E}$ bức xạ nhìn thấy và tia cực tím và hấp thụ phần còn lại của bức xạ này và tất cả các bức xạ hồng ngoại. B1. Giả sử H 1 và $r_{E} 0$. Tìm nhiệt độ của Trái đất $T_{E}$ và nhiệt độ khí quyển $T_{A}$. Bây giờ giả sử rằng $r_{E} z 0$. Trong trường hợp này, hệ Trái đất + Khí quyển phản xạ một số phần khác của bức xạ mặt trời, được gọi là “albedo” và ký hiệu là D. B2. Tìm suất phản chiếu D thông qua $r_{E}$ Và $r_{A}$. Tính trị số của nó tại $r_{E} 0,102$ (Và $r_{A} 0,255 ).$ B3. Hãy biểu thị nhiệt độ của Trái Đất theo $V, D, S_{0}$ và H. Sử dụng dữ liệu đã cho và suất phản chiếu tính toán được, hãy tìm giá trị bằng số của H tạo ra nhiệt độ trung bình hiện tại của Trái đất $T_{E} 288$ K.B4. Tìm thấy $dT_{E} dH$ và tính nhiệt độ Trái đất sẽ tăng bao nhiêu nếu H tăng 1%. Hãy giả sử rằng $T_{A} 245$ K và $T_{E} 288$ K. Những giá trị này được lấy từ dữ liệu thực và có thể khác với kết quả bạn thu được trong các đoạn trước. Bây giờ giả sử có một dòng nhiệt không bức xạ (ví dụ, đối lưu) $J_{NB} k T_{E} T_{A}$ từ Trái đất đến khí quyển, trong đó k là hằng số. Kích cỡ $J_{NR}$ là công suất truyền tải trên một đơn vị diện tích. B5. Biểu diễn H và k theo $T_{E}, T_{A}, V, D$ Và $S_{0}$. B6. Đạo hàm theo H các biểu thức thu được ở bước B5, bạn thu được hai phương trình,

Bài toán 2. Bẫy ion và làm mát nguyên tử (10 điểm) Trong những thập kỷ gần đây, việc giam giữ và làm mát các nguyên tử và ion đã trở thành một chủ đề hấp dẫn đối với các nhà vật lý và một số giải Nobel đã được trao cho công trình nghiên cứu trong lĩnh vực này. Trong phần đầu tiên của bài toán này, chúng ta sẽ xem xét kỹ thuật bẫy ion được gọi là “bẫy Paul”. Với công trình này, Wolfgang Paul và Hans Demelt đã nhận được một nửa giải Nobel Vật lý năm 1989. Tiếp theo, chúng ta khám phá kỹ thuật làm mát Doppler, một trong những công trình được đề cập trong thông cáo báo chí về giải Nobel Vật lý năm 1997, được trao cho Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji, và William Phillips “vì họ đã phát triển các phương pháp làm mát và giam giữ nguyên tử bằng bức xạ laser”.

Phần A. Bẫy Paul (5,6 điểm) Được biết, sử dụng điện trường không thể tạo ra trạng thái cân bằng ổn định cho một hạt tích điện. Vì vậy, cần có những phương pháp phức tạp hơn để tạo điểm cân bằng ổn định cho các ion. Một kỹ thuật như vậy là bẫy Paul. Chúng ta hãy xem xét một vòng tích điện đều có mật độ điện tích dương tuyến tính O và bán kính R. Một điện tích điểm Q có khối lượng m được đặt ở tâm của vòng (Hình 3).

Hình 3. Vòng tích điện đều có mật độ điện tích dương tuyến tính O và bán kính R; gốc của hệ tọa độ nằm ở tâm của vòng

A1. Sử dụng tọa độ Descartes x, y, z, thu được điện trường của vòng ở vùng lân cận tâm của nó lên đến bậc nhất theo x R, y R và z R.

54

KVANT 2025/№1

hấp thụ ngôi sao đồng hành của nó, đó là lý do tại sao nó được so sánh với nhện góa phụ đen - một loài nhện cái ăn thịt con đực sau khi giao phối. Sự đốt nóng của khí rơi vào Black Widow tạo ra bức xạ quan sát được. Những ngôi sao neutron nặng nhất thường là “Góa phụ đen” và đóng vai trò là phòng thí nghiệm tự nhiên để các nhà khoa học kiểm tra các định luật vật lý cơ bản. Hình 6b cho thấy hình ảnh của sao neutron đồng hành PSR J2215+5135, thu được từ kính thiên văn quang học 3,4 mét của Đài quan sát Quốc gia Iran. Trong hình ảnh này, ngôi sao neutron không được nhìn thấy nhưng ánh sáng khả kiến ​​được phát ra từ ngôi sao đồng hành của nó.

Phần A: Hệ nhị phân (5 điểm) Hãy xem xét một mô hình đơn giản trong đó Góa Phụ Đen và ngôi sao đồng hành của nó được biểu diễn bằng hai khối lượng điểm $M_{1}$ và $M_{2}$ chuyển động theo quỹ đạo tròn quanh một khối tâm chung. Để nghiên cứu động lực học của hệ này, chúng ta hãy chuyển sang hệ quy chiếu quay trong đó cả hai vật đều bất động. Chúng ta hãy lấy khối tâm làm gốc tọa độ. Giả sử rằng các vật nằm trên trục x ở hai phía đối diện của gốc tọa độ cách nhau một khoảng a và khối lượng $M_{1}$ nằm trên bán trục âm. Tại một điểm x, y tùy ý trong mặt phẳng quỹ đạo, thế năng hiệu dụng M x, y của một khối lượng thử đơn vị bằng tổng thế năng hấp dẫn của hai chất điểm và thế năng ly tâm. A1. Biểu diễn M x, y theo $M_{1}, M_{2}, G$ và a. A2. Giả sử $M_{1}$! $M_{2}$, xây dựng đồ thị định tính của hàm M x ,0. Để $M_{2} M_{1} 3$ (chỉ ở điểm A3) và ngôi sao $M_{2}$ được bao quanh bởi khí hiếm. Khối lượng của khí này nhỏ so với khối lượng của các ngôi sao nên có thể bỏ qua ảnh hưởng hấp dẫn của nó. Nếu đám mây khí vượt quá một kích thước tới hạn nhất định, khí sẽ bắt đầu chảy tới $M_{1}$. Giả sử rằng luồng bắt đầu tại điểm $x x_{0}$ trên trục x. A3. Sử dụng máy tính để tính giá trị của $x_{0} a$ đến hai chữ số có nghĩa. Đặt chu kỳ quay của các ngôi sao xung quanh khối tâm là P và để khí chảy từ $M_{2}$ đến $M_{1}$ với tốc độ rất thấp $dM_{1} dt E$. Sco-

Tốc độ dòng chảy nhỏ đến mức trong một chu kỳ quay, khoảng cách giữa các ngôi sao có thể được coi là không đổi. Trong trường hợp này, trên thang thời gian lớn, khoảng cách giữa các thành phần thay đổi nhưng chuyển động của các thành phần vẫn là chuyển động tròn. A4. Biểu thị tốc độ thay đổi của a và P theo $E, M_{1}, M_{2}, G$ và a. Khí tách ra từ $M_{2}$ tạo thành một đĩa quay quanh $M_{1}$, trong đó khí được làm nóng bởi ma sát. Mất năng lượng, khí từ từ chuyển động theo hình xoắn ốc về phía tâm đĩa và cuối cùng rơi xuống $M_{1}$. Ở trạng thái cân bằng, khối lượng chuyển động với tốc độ không đổi E từ $M_{2}$ đến đĩa và từ đĩa đến $M_{1}$. Trong trường hợp này, đĩa được làm nóng phát ra bức xạ nhiệt dưới dạng vật thể hoàn toàn đen. Vì đĩa hình thành rất gần sao neutron nên ảnh hưởng hấp dẫn của $M_{2}$ có thể bị bỏ qua khi xem xét đĩa. Bỏ qua nhiệt dung của khí. A5. Xác định nhiệt độ của đĩa ở khoảng cách r tính từ tâm ngôi sao $M_{1}$. Biểu thị đáp số theo $r, E, M_{1}, G$ và V (hằng số Stefan–Boltzmann). Trong hệ nhị phân PSR J2215+5135, khối lượng của sao neutron là $M_{NS} 2,27 M e$ và khối lượng của sao đồng hành là $M_{S} 0,33 M_{e}$, trong đó $M_{e} 1,98$ $10^{30}$ kg là khối lượng của Mặt trời. Chu kỳ quay là P = 4,14 h, hằng số Stefan–Boltzmann V là 5,67 $10^{8}$ W $м^{2}$ $К^{4}$, hằng số hấp dẫn G là 6,67 $10^{11} м^{3}$ kg $с^{2}$. Giả sử tốc độ dòng khối tới sao neutron là E 9 $10^{10} M_{e}$ năm. A6. Tính nhiệt độ của đĩa ở khoảng cách r a 10. Đáp số cho biết độ kelvin. Giả sử rằng sau một vụ nổ bất ngờ, ngôi sao $M_{1}$ phóng một phần khối lượng của nó ra khỏi hệ nhị phân với tốc độ rất cao và khối lượng của nó trở thành $M_{1}^{*}$. Đặt tốc độ chuyển động tương đối của $M_{1}^{*}$ và $M_{2}$ bằng $v^{*}$ sau vụ nổ. A7. Tại giá trị cực đại nào $v^{*}$ thì hệ nhị phân sẽ còn bị ràng buộc bởi lực hấp dẫn sau vụ nổ? Giá trị tối thiểu $M_{1}^{*}$ này tương ứng với giá trị nào nếu sự giãn nở của chất sau vụ nổ xảy ra đẳng hướng? Thể hiện đáp số với $M_{1}^{*}, M_{2}, G$ và a.

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

(xem «Kvant» số 10 cho năm 2024)

5. Không, cứ để vậy đi. Khi đó, bất kỳ cư dân nào cũng có một người hàng xóm là người nói thật và người kia là kẻ nói dối. Điều này có nghĩa là cư dân đứng cạnh một người thay thế. Nếu chúng ta đánh số cư dân theo một vòng tròn, bắt đầu từ người nói thật, thì người thứ nhất là người nói thật, người thứ 3 là kẻ nói dối, người thứ 5 là người nói thật, người thứ 7 là kẻ nói dối, v.v. Như vậy, người thứ 29 cũng là người nói thật, nhưng người thứ 30 lại có hàng xóm giống nhau, mâu thuẫn. 6. a) Có; b) không. a) Chia bảng thành 4 ô vuông 4 u 4 và trong mỗi ô, dùng hai ô vuông 3 u 3, sơn lại tất cả các ô màu đen thành màu trắng. b) Viết số 0 màu trắng vào ô trắng của bảng gốc và số 0 màu đen vào ô đen. Mỗi lần đổi màu các ô ở các đỉnh của hình vuông 2 u 2 hoặc 4 u 4 sẽ thay đổi màu của hai số 0 và hai số một, và tại các đỉnh của hình vuông 3 u 3 sẽ thay đổi màu của bốn số không hoặc bốn số một. Điều này có nghĩa là bất kỳ việc đổi màu nào cũng sẽ thay đổi màu của số 0 chẵn. Mặt khác, mỗi số 0 có màu trắng đổi màu một số lần chẵn, và số 0 có màu đen đổi màu một số lần lẻ. Ban đầu có 32 số 0 màu trắng và cuối cùng một trong số chúng sẽ chuyển sang màu đen, tức là số lần thay đổi màu sắc giữa các số 0 là số lẻ—một sự mâu thuẫn. 7. Xét hai điểm A, B của tập hợp này cách nhau một khoảng lớn nhất. Khi đó với điểm C bất kỳ trong tam giác ABC, cạnh AB là lớn nhất, nghĩa là ACB t 60 q. Vì vậy, D t 60 q. Bây giờ hãy xem xét các điểm A, B của tập hợp này ở khoảng cách ngắn nhất. Lập luận theo cách tương tự, chúng ta thu được D d 60 q. Giá trị D 60 q thực sự có thể xảy ra: lấy một tập hợp ba điểm là các đỉnh của một tam giác đều. 8. Chúng ta sẽ gọi một ô là ô b nếu nó nằm trong dải dọc và ô g nếu nó nằm trong dải ngang. Giả sử có một đường dẫn từ cạnh trên của hình chữ nhật xuống đáy dọc theo các ô r và có một đường dẫn từ cạnh trái sang phải dọc theo các ô b. Nhưng chúng phải giao nhau - ta có mâu thuẫn. Vì vậy, không có con đường như vậy. Không mất tính tổng quát, chúng ta sẽ giả sử rằng không có đường đi từ cạnh trên xuống cạnh dưới dọc theo ô r. Hãy chứng minh rằng có một đường đi dọc theo ô màu đỏ giữa hai góc trên.