Kvant 1971 年第 1 期 · 页面

科普物理和数学
量子
1
1971
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

4

在房间里：

物体的旋转运动 1 A. K. Kikoin
组合学 13 N.Ya。维伦金
行星运动 20 雅。 A·斯莫罗金斯基
数学圈
辅助圈 28 E. G. Gotman
实验室«Kvant»
浅盘中的波浪 32 A. G. Kosourov
问题书«Kvant»
38
申请人工作坊
求解方程和方程组的代入法 41 M. I. Skanavi
莫斯科国立师范学院数学入学考试以该考试命名。 V.I.列宁娜 45 E.A.谢戈尔科夫
NSU 51 G. V. Meledin 物理笔试
信息
动物数学学校 56 J. M. Rabot
答案、指示、解决方案 58
收藏家角
与哥白尼 62 相关的邮票
评论、参考书目
任务、游戏、实验 64 V. P. Litsevsky
«Kvant» 适合低年级学生，第 3 封面页
展览第四封面简介

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众所周知，任何身体都可以进行两种类型的运动——平移运动和治疗运动。其中第一个在学校物理课程中得到了足够详细的研究。但医疗运动“不幸”。由于时间不够，很少有人关注。与此同时，在自然和技术中，治愈运动并不比进步运动少见。在许多情况下，物体的实际运动是两种运动的组合。在其他情况下，平移运动甚至静止的身体都有治疗细节。这主要包括所有带轮子的设备 - 从独轮手推车和手推车到飞机和直升机。试着找到一台里面没有任何东西的机器！有人可能会说，像手表这样一种广泛使用的设备，是由彼此互锁的轮子“塞满”的。

旋转运动在自然界中并不罕见。回想一下行星及其卫星的复杂治愈运动、太阳以及可能还有其他恒星的治愈就足够了。顺便说一下，当应用于行星时，“旋转”一词是指行星的两种不同类型的运动。例如，他们说地球围绕太阳被治愈，但他们也谈论地球围绕其轴被治愈。那么，这些是相同的动作吗？是否可以说两者是同一个原理造成的呢？众所周知，地球绕太阳运行的轨迹接近于圆形，因为它受到朝向太阳的引力的影响。但是否可以说相同或相似的力迫使地球绕其轴进行治愈运动？显然不是。事实上，地球的运动可以被认为是平移运动和线性运动的组合——绕太阳的平移运动和绕穿过地球两极的轴的线性运动。

本文讨论身体的医学运动、它与平移运动的区别以及两者的相似之处。

医学运动电影

首先，让我们向读者介绍他们从学校物理课程中已经了解的有关医学运动的知识。让我们从定义开始。

身体的旋转运动是一种身体所有点都作圆周运动的运动类型，其中心位于同一条直线上——治疗轴。

如果治愈轴是固定的，那么身体作为一个整体是不会移动的，唯一随时间变化的就是旋转角度，这里的旋转角度与身体向前运动过程中某个点的运动起到同样的作用。

当物体旋转角度 φ 时，每个点都会经过一定的圆弧。如果我们用S表示弧的长度，那么S和φ的值之间有一个简单的关系

$$S = \varphi r,$$

2

其中$r$是该点到旋转轴的距离。距旋转轴不同距离 $r$ 的点描述了不同长度的弧，但角度 $\varphi$ 对于整个物体来说是相同的。

旋转运动力学的任务是，如果初始旋转角度已知，则能够在任何时候实现物体的一定旋转角度。为此，您需要知道旋转角度的快速变化，即转角速度，通常用字母$\omega$表示。对于以恒定角速度旋转的物体，

$$\omega = \frac{\varphi - \varphi_0}{t},$$

其中$\varphi - \varphi_0$是$t$秒时间内旋转角度的变化。

如果角速度一定，则任意时刻的旋转角度值很容易求得：

$$\varphi = \varphi_0 + \omega t;$$

如果初始旋转角度$\varphi_0$为零，则

$$\varphi = \omega t.$$

该表达式类似于匀速平移运动的公式$S = vt$。因此，旋转运动中的角速度与平移运动中的线速度$v$起着相同的作用。

角速度与线速度一样，可能不是恒定的。然后，为了求出任意时刻的速度，您需要知道角加速度，它与线性加速度$a$一样，被定义为角速度的快速变化。匀速旋转

$$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t},$$

其中$\omega$和$\omega_0$是$t$秒的长时间段结束时和开始时的角速度值。

很容易找到角速度和加速度及其线性“双胞胎”$v$和$a$之间的联系。既然$\omega = \frac{\varphi}{t}$和$\varphi = \frac{S}{r}$，那么$\omega = \frac{S}{rt}$。

但$\frac{S}{t} = v$因此

$$\omega = \frac{v}{r} \text{ и } v = \omega r.$$

同理，从$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$、$\omega = \frac{v}{r}$、$\omega_0 = \frac{v_0}{r}$开始，然后$\alpha = \frac{v - v_0}{rt}$。但$\frac{v - v_0}{t}$等于$a$的线加速度，所以

$$\alpha = \frac{a}{r} \text{ и } a = \alpha r.$$

因此，旋转体每个点的线性量$S$、$v$和$a$的数值等于相应的角度量值（它们与单个点相关，而是与整个物体相关）乘以该点的旋转半径$r$。

如果您使用数量 $\varphi$、$\omega$ 和 $\alpha$，那么您可以使用众所周知的运动公式来解决与物体旋转相关的问题

平移运动的力学，但用角度量代替线性量。让我们提出一些平移运动的运动学公式并对这些旋转运动公式进行分析：

| 向前移动 | 旋转运动 |
| :— | :— |
| $S = vt$ | 制服$\varphi = \omega t$ |
| $v = v_0 + at$ | 匀加速$\omega = \omega_0 + \alpha t$ |
| $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ | $\varphi = \omega_0 t + \frac{\alpha t^2}{2}$ |

还记得旋转角度 $\varphi$ 以弧度变化。然后角速度以弧度每秒变化 ($\dot{p}_{\text{rad}} / \text{сек}$)。角加速度的单位是弧度除以秒的平方（$\dot{p}_{\text{rad}} / \text{сек}^2$）。

然而，如果我们只知道上述角量的数值，则对旋转运动的描述是不完整的。为了完整地描述旋转，您还需要知道身体围绕哪个轴以及朝哪个方向（顺时针或逆时针）旋转。如果我们将旋转角度和角速度都视为一种矢量，则两者都将被确定。人们普遍认为矢量 $\varphi$ 以及矢量 $\omega$ 都沿着旋转轴，因此如果给定这些量之一的矢量，则也给定旋转轴。例如，旋转是由所谓的钻头螺旋法则或螺旋法则决定的（这远非物理学中必须求助于此类设备的“服务”的唯一情况）。如下：如果你在心里以与身体旋转相同的方式旋转手钻的手，那么手钻平移运动的方向将显示角速度矢量$\omega$的方向。例如，如果 图 1 上的红色箭头代表旋转圆盘的向量 $\omega$，则这意味着圆盘正在旋转，如黄色箭头所示。像往常一样，所描绘比例上的矢量长度为我们提供了相应角度幅度的数值。

角加速度也是一个矢量。如果空间中旋转轴的方向不随时间变化，则矢量 $\alpha$ 与矢量 $\omega$ 一样，沿着旋转轴方向。在这种情况下，如果角速度随时间返回，则

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矢量$\vec{\alpha}$的方向与矢量$\omega$的方向一致，但如果角速度减小，则矢量$\vec{\alpha}$和$\omega$的方向相反。

旋转运动的动力学

众所周知，平移运动动力学研究物体中出现加速度的原因，并使得确定其大小和方向成为可能。旋转动力学对于角加速度也有同样的作用。如果物体的平移运动的加速度是由施加在其上的力引起的，那么物体的角加速度加速的原因是施加在其上的力的扭矩。读者在八年级或九年级的物理课程中就已经熟悉它了。让我们回想一下，绕任何轴的力矩的数值等于施加到物体上的力与从该轴到力的作用线所画的垂线的长度的乘积。例如，如果将力 $F$ 施加到平盘的边缘（如 图 2 所示），其矢量位于圆盘平面内，则该力相对于垂直于圆盘平面并穿过点 $O$ 的轴的力矩等于 $Fr$。如果轴不是通过点 $O$，而是通过点 $O_1$，则相同力相对于新轴的力矩将不同：它将等于 $Fr_1$。如果如 图 3 所示施加相同的力，则其相对于穿过点 $O$ 的轴的力矩等于 0，因为力的作用线穿过该点。这种力不能引起绕轴旋转，也不能改变角加速度。但同样的力可以导致圆盘绕通过点 $O_1$ 的轴旋转。

力矩也是一个矢量。并且使用相同的表达式确定力矩矢量的方向。也就是说，我们同意认为，如果手钻的旋转方式与物体在施加到其上的力的影响下旋转的方式相同，则手钻（螺钉）沿着轴线移动的力矩方向。例如，在 图 2 处，相对于通过点 $O$ 的轴的力矢量矩 $F$ 垂直于“从我们”的绘图平面。

正如已经指出的，牛顿力学定律也适用于旋转运动。例如，从刚才关于力矩的内容可以看出，牛顿定律在应用于旋转运动时，表明物体以恒定角速度旋转，或者如果作用在物体上的力的力矩为

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被忽视了，而且球与杆的长度相比是如此之小，以至于它可以被认为是一个质点。

现在我们所有的困难都会立即消失。式中

$$M = mr^2\alpha$$

$m$是球的质量，$r$是球到旋转轴的距离。由于对于给定的球和杆，$m$和$r$都不会改变，因此乘积$mr^2$是一个常数，可以用一个字母表示。让我们选择字母 $I$ 作为该值。那么牛顿第二定律的公式采用以下形式

$$M = I\alpha.$$

这个公式和公式的相似度是惊人的

$$F = ma.$$

只有力 $F$ 被力矩代替，并且与线性加速度 $a$ 一起，公式中应包含角加速度 $\alpha$，因为炉子不是平移运动，而是旋转运动。该公式中质量的作用是由一个全新的、不寻常的量发挥的，等于质量与其到旋转轴的距离的平方的乘积。

正如平移运动物体的加速度除了取决于力之外，还取决于被加速物体的质量一样，旋转物体的加速度不仅取决于力矩，还取决于值 $mr^2$，可以说是质量的旋转“两倍”。这个量称为物体相对于轴的转动惯量。对于旋转运动来说，重要的不仅仅是质量。该质量距离旋转轴有多远也很重要。很明显，距旋转轴较远的小质量可以在给定的力矩下接收与位于轴附近的大质量相同的角加速度。

所有这些都适用于在细杆上旋转的球。但实际上，即使圆盘、轮子、圆柱体以及一般任何也具有一定惯性矩的“真实”固体旋转，该公式仍然成立。要获得物体相对于每个轴的转动惯量，您需要在心里将其分成许多小部分（在无限小的限度内），对于每个小部分，确定其质量与距该轴的距离的平方的乘积，并将所有乘积相加。这将是整个身体的惯性矩。显然，物体远离轴的部分的质量越大，其转动惯量就越大。换句话说，物体的转动惯量取决于物体的质量在其体积上的分布情况。对于不同的轴，同一物体的转动惯量会不同。例如，长度为 $l$、质量为 $m$ 的杆，相对于垂直于杆并穿过其中部 (图 6) 的轴，惯性矩等于 $$\frac{ml^2}{12}$$。同一杆的转动惯量为

，相对于穿过末端的轴 (图 7)，是 4 倍大且等于 $\frac{ml^2}{3}$：绕末端旋转杆比绕中间旋转更困难。 “更难”是指要获得相同的速度加速度，需要更大的力矩。

计算转动惯量通常是一项艰巨的任务。但是对于均质且具有规则几何形状的物体，关于某些旋转轴的这种计算是可能的，尽管并不总是以简单的方式。对于一种特殊的简单情况，我们还将介绍计算方法。

让我们通过重新分布车轮平面并穿过其中心来计算车轮的转动惯量，其中几乎所有质量都集中在相对于旋转轴的轮辋上。一个例子是带有细辐条的重量分配轮。

让我们将轮辋分成质量为 $m_1, m_2, m_3$ 等的独立小部分。每个小部分都可以被视为位于距旋转轴 $R$ 距离的质点，其中 $R$ 是车轮的半径。各点的转动惯量等于$m_1R^2, m_2R^2, m_3R^2$，依此类推。整个轮子的总转动惯量等于其各部分转动惯量之和：

$$I = (m_1 + m_2 + m_3 + \dots)R^2.$$

但总和$m_1 + m_2 + m_3 + \dots$显然等于整个轮子的质量$m$。因此，轮子绕穿过其中心并重新分布其平面的轴的转动惯量等于

$$I = mR^2.$$

对于任意形状或成分异质，或者对于不像所考虑的情况那样“方便”的相对旋转轴，惯性矩通过实验确定，例如通过改变已知力矩下的角加速度*)。正如我们所看到的，op-

*) 该表显示了某些物体的转动惯量的公式。

| 身体 | 轴如何走 | 惯性矩 |
| :— | :— | :— |
| 均质球 | 通过球的中心 | $\frac{2}{5}mr^2$ |
| 球壳 | 通过球体的中心 | $\frac{2}{3}mr^2$ |
| 核心 | 通过重心 | $\frac{1}{12}ml^2$ |
| 核心 | 到最后 | $\frac{1}{3}ml^2$ |

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确定物体的质量比确定其旋转“双倍”（惯性矩）要简单得多。如果通过简单的称重来确定质量，那么旋转运动的“称重”就是一个相当复杂的操作，而且对于同一物体，不同的旋转轴，必须分别进行，而这种“称重”的“秤”是不存在的。

动量、角动量

因此，对于旋转运动，牛顿第二定律写为$M = I\alpha$，其中$M$是力矩，$I$是惯性矩，$\alpha$是物体的角加速度。

无角加速度用公式表示

$$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}.$$

因此，牛顿第二定律的公式可以写为

$$M = \frac{I\omega - I\omega_0}{t}.$$

在这种形式中，该公式意味着力矩等于单位时间值的变化$I\omega$。但是，众所周知，牛顿第二定律可以写成以下形式

$$F = \frac{mv - mv_0}{t},$$

其中 $mv$ 是称为物体动量或推动力的量。很明显，意味着$mv$在旋转运动膜片中也有一个类似物，这个类似物就是值$I\omega$。这是因为转动惯量$I$在旋转运动中的作用与质量在平移运动中的作用相同，并且角速度$\omega$取代了线速度$v$。因此，$L = I\omega$ 被称为物体的角动量或角动量。这也是一个矢量（与$\omega$、$F$、$\alpha$、$mv$、$M$相同），其方向与角速度矢量相同。与我们给出的与旋转运动相关的其他值类似，推进器的动量相对于不同的旋转轴是不同的。

如果物体具有这样的形状、大小或旋转半径，我们可以谈论点的旋转（例如，细杆上的球，绕太阳旋转的行星），那么冲动矩很容易与冲动联系起来。事实上，转动惯量$I$等于$mr^2$，角速度$\omega$等于$\frac{v}{r}$。这就是为什么

$$L = I\omega = \frac{mr^2v}{r} = rmv.$$

因此，点的冲量力矩的大小等于该点移动的圆的半径 $r$ 与冲量 $mv$ 的乘积。显然，对于任意形状的物体，这种简单的对应关系是不可能的。

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身体相对于垂直旋转轴的惯性矩（手臂的质量接近该轴）。由于转动惯量$I$的减小不是通过外力而是通过内力实现的，因此动量$I\omega$无法改变。因此，角速度 $\omega$ 增加的次数与花样滑冰运动员设法减少惯性矩的次数相同。相反，在完成旋转之前，需要降低速度时，滑冰者张开双臂，增加身体的转动惯量。舞者在表演 pruet 时也会做同样的事情，杂技演员在表演翻筋斗等时也会做同样的事情。这种有趣的实验可以使用所谓的 Zhukovsky skama 进行。它是一个可以轻松绕垂直轴旋转的平台（图9）。站在这样的旋转平台上，你可以通过操纵双手来显着改变旋转的角速度。

角动量守恒不仅意味着$I\omega$的数值守恒。我们不能忘记角动量是一个矢量。因此，角动量守恒也就意味着其方向守恒。但正如我们所知，冲量的方向是沿着旋转轴的。因此，任何不受外力矩作用的旋转体都不能改变旋转轴的位置。这就是滚动轮、陀螺等稳定的“秘密”。这就是铁饼运动员投掷抛射物时会导致其旋转的原因。这使得圆盘能够飞行而不会翻滚。旋转体保持其旋转轴位置（在没有外力力矩的情况下）的能力在技术中得到广泛应用。所谓陀螺罗盘、各种稳定器等的使用就是基于这个性质。陀螺罗盘本质上是一个旋转体。如果在发射时安装入口以使焊缝朝向北方，那么它将保持最佳磁罗盘的方向，该方向受到船的铁壳和地球磁场变化的影响。陀螺稳定器有时安装在船体上，船体是由强大发动机驱动的重达数吨的巨大轮子。为了保持旋转轴的位置，这种稳定器改变了船舶的质量。陀螺仪稳定器在太空飞行技术和各种用途的自动设备中有着重要的应用。

旋转体的动能

旋转体是运动体，因为除了位于旋转轴上的点之外，其所有部件都在运动。因此它具有动能。为了表达动能，我们先从细杆上的小球的旋转开始，也就是一点的旋转。在这种情况下，动能可以写成一般形式

$$K = \frac{mv^2}{2},$$

其中$m$是球的质量，$v$是球的线速度。但从 $v = \omega r$ 开始，$K$ 的表达式可以写成以下形式

$$K = \frac{m\omega^2r^2}{2}.$$

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总之，我们再次提出一些平移运动的力学以及与旋转运动相关的类似公式以供比较。

| 向前移动 | 旋转运动 |
| :— | :— |
| $\vec{F} = ma$ | $\vec{M} = I\alpha$ |
| $\frac{\Delta(mv)}{\Delta t} = \vec{F}$ | $\frac{\Delta(I\omega)}{\Delta t} = \vec{M}$ |
| $\Delta(mv) = 0$ $\vec{F} = 0$ | $\Delta(I\omega) = 0$ $\vec{M} = 0$ |
| $A = FS$ | $A = M\varphi$ |
| $K = \frac{mv^2}{2}$ | $K = \frac{I\omega^2}{2}$ |

作业和问题

1. 转动惯量用什么单位测量？
2. 两个直径和质量相同的圆柱体沿斜面滚动而不刺穿。其中一种是铅质软木塞，另一种是带有铅壳的软木塞。哪个气缸会在更短的时间内从飞机上滚下来？
3. 转动惯量为 0.01 SI 单位的车轮用 4 rps 的角速度表示。车轮旋转 5 圈后停止旋转所需的摩擦扭矩必须是多少？
4. 海洋中的潮汐像刹车片一样作用在旋转的地球上，产生制动摩擦力。由于潮汐的作用，100年后地球上一天的长度将比第二天长1秒。计算潮汐摩擦力。
5. 半径为 $R = 2$ m、质量为 $M = 120$ m 的船舶陀螺稳定器由电机驱动。需要多大的功率才能在 10 小时内使安定面转速达到 13 rpm？假设稳定器的质量集中在其边缘（在这种情况下，转动惯量等于 $MR^2$）。
6. 半径为$R$、质量为$M$的均质球最初沿平面发射，使其沿平面滑动而不以速度$v_0$滚动。球与平面之间存在摩擦力，其系数为$k$。球相对于平面停止刺穿之前会移动多远？此时球的速度是多少？
7. 球形卫星的两个窗口位于外壳的直径相对的点上。宇航员从飞船中心沿着径向梯子走到其中一个窗口，然后沿着飞船侧面走到第二个窗口，最后沿着径向梯子返回到飞船中心的位置。飞船相对于恒星旋转的角度是多少，如果飞船的质量为$M$，半径为$R$，宇航员的质量为$m$，我们可以假设飞船的全部质量都集中在它的外壳中。
8. 为了代替卫星的旋转，建议使用以下装置。两个质量为 $m$ 的重物分别通过长度为 $l$ 的螺纹连接到卫星的侧面。负载同时释放。它们飞离卫星，当线被拉伸时，它们会从它们所附着的钩子上飞走。螺纹长度为多少时，经过此操作后卫星的旋转速度会降低$n$倍？
   假设卫星是质量$M$、半径$R$的圆柱体；船的所有质量都集中在舷侧。

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可能每个读者«Kvant»都熟悉重大体育比赛之前的激动人心——无论是足球世界杯还是国际象棋的“世纪之战”。此外，从那些不太准确记住易位规则的人那里，你可以听到一些深思熟虑的替换，比如“我会把波特什而不是拉森放在世界队的第一板上。”国际象棋专家和球迷争论斯梅斯洛夫和凯雷斯之间的胜利机会，而球迷在讨论巴西和英格兰国家队之间的比赛可能结果时几乎大打出手。

通常，在此类比赛之前，报纸会宣布一场知识竞赛，要求猜测整个比赛的结果（预测谁将获得“黄金女神”，或者苏联国际象棋队将击败世界队的分数）和个人作品的结果。乍一看，赢得这样的比赛有一个非常简单的方法：向编辑发送尽可能多的信件给编辑，数量与理论上可能的比赛结果相同，并在每封信中给出一个选项。至少有一个字母会击中目标！

但事情并没有那么简单——有太多的选择。当然，如果你只需要预测本世纪比赛结束的比分，那么发送 81 个字母就足够了：进行了 40 场比赛，苏联国家队可以得到从 0（brrr…）到 40 之间的任意分数（那太好了！）。但是，如果您还需要在每个棋盘上指示比赛的结果（至少预测谁会获胜），那么可能的选项数量就会急剧增加。

在人类活动的各个领域中都会出现需要找到特定操作、特定事件的可能选项数量的问题。这些问题现在在学校被称为组合学，并且不被教授，而是作为选修课进行研究）。

1. 总和和乘积规则。解决组合问题的基础是两个简单的规则 - 正确的和和正确的乘积。

总和规则。如果我们有$m$种方法来选择元素$a$和（独立地）$n$种方法来选择元素$b$，那么可以用$m+n$种方法来选择“$a$或$b$”。

例如，如果盘子里有 5 个苹果和 9 个梨，那么可以通过 14 种方式选择“苹果或梨”——选择 5 个苹果中的一个或 9 个梨中的一个。

正确的工作有些困难。它涉及一对元素$(a, b)^*$的选择。

产品规则。如果我们有$m$方法来选择元素$a$和$n$方法来选择元素$b$，那么可以通过$mn$方法选择对$(a,b)$。

因此，如果盘子里有 5 个苹果和 9 个梨，那么可以以 $5\cdot 9=45$ 的方式选择这对（苹果，梨）。

*) 通过重新排列元素得到的两个对被认为是不同的，例如，对(1, 4)被认为与对(4,1)不重合。

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为了验证乘积规则的有效性，我们用$a_1, \dots, a_m$表示所有选择元素$a$的方式，用$b_1, \dots, b_n$表示所有选择元素$b$的方式。然后，可以将这些元素组成的所有对排列在下表中的$m$行和$n$列中：

$$(a_1, b_1), \dots, (a_1, b_n),$$
$$(a_m, b_1), \dots, (a_m, b_n).$$

在此表中只有 $mn$ 个标准杆。

请注意，有时选择更复杂 - 您必须首先选择元素 $a$，然​​后根据此选择选择元素 $b$。但是，如果元素$a$可以通过$m$方式选择，并且每个元素都可以通过$n$方式选择，那么不同对的数量$(a, b)$又是$mn$。你自己证明一下。

当然，我们可能需要做出的不是两个选择，而是多个选择。在这种情况下，您需要检查每个选项的选项数量。换句话说，它正确地遵循了规则。

如果元素$a_1$可以通过$n_1$方式选择，元素$a_2$可以通过$n_2$方式选择，元素$a_k$可以通过$n_k$方式选择，则集合$(a_1, \dots, a_k)$可以通过$n_1 \dots n_k$方式选择（在这种情况下，仅通过元素的顺序彼此不同的集合被认为是不同的）。

现在我们已经可以解决世纪比赛可能结果的数量问题了。每个棋盘可能有 3 个结果：获胜、平局和失败。由于棋盘的数量是 10 个，因此可能有 $3^{10} = 59049$ 个不同的结果。如果你不仅需要想象每个获胜者的结果，还需要想象他的分数，那么答案将是$9^{10}$。

使用乘积规则，您还可以解决相当复杂的问题，其中对选项的选择施加了附加条件。

例子。俄语字母表中有 33 个不同的字母。如果不允许两个相同字母连续出现的单词，您可以组成多少个包含 5 个字母的单词？

当然，这里的“词”与语言学术语有不同的含义——像abbed或ababa这样的“词”是允许的。但像 quarrel、press、aachen 这样的词是不允许的 - 它们在一行中包含两个相同的字母。

为了解决这个例子，我们将逐个选择字母 - 首先是第一个，然后是第二个，第四个，第五个，然后以 33 种方式进行选择 - 毕竟，我们可以使用俄语字母表中的所有 33 个字母。但第二个字母只能有 32 种选择方式——毕竟它一定与第一个不同。您可以通过 32 种方式选择第三个字母 - 它必须与第二个字母不同；第四个和第五个字母也可以通过 32 种方式选择。总共我们得到$33 \cdot 32 \cdot 32 \cdot 32 = 34603008$个满足给定条件的不同单词。

2. k-子集。使用求和和乘积规则，您可以解决各种组合问题。但这并不总是方便，就像用公理解决任何几何问题并不总是方便一样。除了公理之外，我们还使用几何定理，这使我们能够缩短问题的解决方案。同样，在组合数学中，存在几个简单的“标准”问题，通常可以减少其他问题的解决方案。

这些问题是用集合论的语言表述的。如果读者不熟悉什么是“集合”、“集合的元素”、“集合的交集”、“集合的并集”，我们请他参考文献，文章末尾给出了文献列表。然而，我们将仅使用最简单的集合论概念，这些概念现在将在高中四年级和五年级学习，作为示例，我们将采用四个元素的集合，并选择由该集合的元素组成的子集和单词（图 1-5）。

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图 1. 令集合$N$由四个元素组成：马、象、后、车。

我们来解决下面的问题。 5名学生参加游泳考试。如果学生游过 100 米（任何时间），则测试通过。如果学生来抓他，那么考试就没有通过。一次游泳可以有多少种方式结束？

各种情况都是可能的。可以假设所有学生都是游泳健将，或者可能所有五个学生都必须获救。结果总数可以这样计算。让我们按字母顺序排列所有学生：Andreev、Borisov、Voldin、Grigoriev、Dmitriev。对于他们每个人来说，都有两种可能性——要么通过测试，要么没有通过。在第一种情况下，我们将数字 1 分配给该学生，在第二种情况下，我们将数字 0 分配给该学生。然后游戏的结果将表示为由 0 和 1 组成的长度为 5 的序列。例如，序列 0, 1, 1, 0, 1 表示只有鲍里索夫、沃尔丁和德米特里耶夫游得足够好。如果只有格里戈里耶夫参加测试，那么比赛结果的报告将如下所示：0,0,0,1,0。序列0,0,0,0意味着没有一个学生到达终点线。

这样，游戏结果数的问题就简化为：从数字0和1中可以算出多少个长度为5的序列？这个问题的答案是由正确的乘积给出的：因为在序列中的每个位置我们都有两种可能性的选择，那么结果的总数是$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$。因此，游泳有 32 种可能的结果。

在分析的问题中，我们需要找出集合$N$中可以算出多少个子集：{Andreev，Borisov，Voldin，Grigoriev，Dmitriev}。

在这种情况下，允许有一个空子集，以及与整个集合$N$一致的子集。结果答案是$32 = 2^5$。同理证明，如果一个集合$N$包含$n$个元素，则它有$2^n$个子集。使用数学归纳法可以证明相同的结果。

在奥运会上他们是这样做的：前两名晋级决赛。我们来看看在这种情况下比赛能有多少种结果。从数学上讲，该问题表述如下：您可以通过多少种方式从包含 5 个元素的集合中选择 2 个元素？很容易检查是否可以通过 10 种方法来完成（自己写下所有这些方法）。但这种“直接搜索”的方式只适合少数参与者。我想要一个可以让我立即回答问题的公式。所以，我们需要解决以下问题。

$n$元素的集合$N$中有多少个$k$子集？

为了简洁起见，这里我们将“$k$子集”与“包含$k$元素的子集”一起说。

从给定集合$N$中选择子集可以通过以下方式找到。我们把集合$N$的元素放进一个袋子里，然后把手伸进这个袋子里，拿出一个子集。当然，子集的所有$k$元素都会被一次性取出，无法为它们建立合理的顺序。

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图 5. 集合$N$的元素有$P_4=4!=24$排列。

有必要从其中一一提取出该集合的元素。但这次我们不会将这些元素放回包中，而是将它们排成一排。在 $k$ 选择之后，我们将再次获得 $k$-单词 $(a_1, \dots, a_n)$，但这次元素之间没有重复项 $a_1, \dots, a_n$ *)。换句话说，我们可以说$k$-没有重复的单词被排序为$k$-集合$N$的子集。

没有重复 $n$ 元素的$k$-单词的数量由 $A_n^k$ 表示。从产品规则可以立即得出：

$$A_n^k=n(n-1)\dots(n-k+1).$$

事实上，第一个元素可以以 $n$ 的方式选择，第二个元素只能以 $n-1$ 的方式选择，因为你不能获取已经选择的元素。第三个元素可以通过 $n-2$ 方式、…、$k-1-(n-k+1)$ 方式选择。

*) 这样的$k$-单词被称为没有重复的位置。

这意味着实数路的总数由公式(3)表示。

例如，如果在委员会的 10 名成员中需要任命一名代表、一名替代者和一名秘书，则可以通过$10\cdot 9\cdot 8\cdot 720$ 方式完成。

5. 重新安排。如果将集合$N$的元素从袋子中取出并排成一排（并且没有返回一个元素），那么最终集合$N$的所有元素都会按某种顺序定位。在这种情况下，我们讨论不重复 $n$ 元素的排列。因此，$n$元素的排列是一个$k$字，没有重复的$n$元素。式（3）$k=n$中的Polyag，我们发现$n$元素的排列数为$n!$。用符号$P_n$表示。所以，

$$P_n=n!$$

6. 具有重复的排列。我们已经知道从$n$“字母”我们可以

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本文讨论了椭圆的一些属性和行星运动的不同定律，其中最重要的是开普勒定律。

重力
惯性定律现在看来是最基本、最自然的定律——力学的研究将从它开始。然而，为了理解它，有必要分散我们对眼前发生的事情的注意力。正常情况下，身体在水平面内的运动受到摩擦力和空气阻力的阻碍；当在垂直平面上移动时，空气阻力和重力作用在身体上。有必要适应他们的影响，至少在精神上。这花了很多年的时间。

只有理解了惯性定律——理想条件下的物体运动定律——才有可能考虑物体在力的作用下的运动。

地球上落体定律由伽利略（1564-1642）建立。他是第一个给自己设定任务，了解下落物体的速度在连续时间段内如何变化的人。因此，他将加速度引入力学，并确定所有落到地面的物体的加速度是相同且恒定的。但牛顿后来才明白加速度的原因是重力。

伽利略著作出版后的近几年，牛顿发现了万有引力定律（1687），根据该定律，重力不是恒定的，而是随着物体之间距离的增加而减小，即该距离的平方。

如果物理学在历史上是按照教科书上的顺序发展的，那么只有在牛顿的发现之后，才有可能继续研究行星运动定律。但科学的发展并不遵循教科书的逻辑。这些定律比牛顿早得多，是由与伽利略同时代的约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571-1630）制定的。

与现代小学生的知识相比，开普勒的力学意义极其贫乏。他不仅不知道牛顿定律（还没有被发现），而且对于什么是力也有非常模糊的概念。开普勒手中掌握的一切都是对天体运动的非常精确的古代观察，他的老师第谷·布拉赫（Tycho Brahe）已经进行了很多年*），而他自己也继续进行着。只有非凡的努力和对控制行星运动的简单定律的存在的信心，才使他发现了后来以他的名字命名的定律。

即使现在，开普勒定律也没有那么强大。这主要是因为普通读者对椭圆（行星运动的曲线）知之甚少。事实上，获得开普勒定律并不那​​么困难。为此，您需要使用两个力学定律：能量守恒定律（开普勒或牛顿都不知道）和角动量守恒定律。正如我们将看到的，后者相当于开普勒第二定律：在相同的时间内，行星半径矢量减慢的面积是相同的。

*) 第谷·布拉赫是最后用肉眼观察天体运动的天文学家之一。

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能量守恒定律

在地球表面，重力为$mg$。如果我们将物体的势能引入引力场$U = mgh$（h是物体到地球的距离），那么我们可以说，当物体运动时，它的动能和势能之和$E = \frac{mv^2}{2} + mgh$不会改变。

然而，我们编写的 $U$ 表达式仅在物体到地球的距离很短时有效，此时 $h$ 与地球半径相比很小，并且重力可以被认为是恒定的。如果高度变大，则重力会随着距离的增加而减小。根据牛顿定律

$$|F| = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

其中$\gamma$是万有引力常数，$M$是地球的质量，$R$是物体到地球中心的距离。

如果我们使用重力的精确表达式，那么势能必须用$U = -\gamma \frac{mM}{R}$代替。我们来看看吧。让我们记住，身体在运动过程中所做的功等于减少的量。

图 2.

图 3.

减少其势能。我们计算身体从地心 (图 2) $R_2$ 高度到$R_1$ 高度进给所做的功。为此，您需要计算身体势能的差异：

$$\text{работа} = U_2 - U_1 =$$

$$= \gamma m M \left( -\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1} \right) =$$

$$= \gamma m M \left( \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \right).$$

如果 $R_2 - R_1 \ll R_1$ ($R_2 \approx R_1$)，则乘积 $R_1 R_2$ 可以替换为 $R^2$ - $R_1$ 和 $R_2$ 的几何平均值的平方（对于 $R_2 \approx R_1$：$R \approx R_2 \approx R_1$），$R_2 - R_1$ 可以替换为 $l$ - 路径经过的路径身体。那么最后一个公式的形式为

$$\text{работа} = \text{сила} \times \text{путь} = \gamma \frac{mM}{R^2} l.$$

重力的力路径

这意味着我们上面写的$U$的表达式是身体的真实势能。

现在我们需要以不同的方式写出身体总能量的公式：

$$E = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{mM}{R} = m \left( \frac{v^2}{2} - \gamma \frac{M}{R} \right).$$

椭圆

让我们从椭圆 (图 3) 的一般定义开始。椭圆是波瓣的几何轨迹，由其到两个波瓣（椭圆的焦点）的距离之和构成。

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图 4.

从这个定义中，我们可以推断出椭圆的一个有趣的“光学”属性：如果将光源放置在镜面椭圆*)的一个焦点处，那么从光源发出的所有光线将被收集在椭圆的另一个焦点处**)。这意味着从椭圆焦点到椭圆点的直线与椭圆切线之间的角度彼此相等 (图 4)。

让我们证明椭圆还有一个性质，甚至可以方便地将其作为椭圆的定义。为此，我们在点 $A$ 处绘制椭圆的切线 $t$ ，并将从椭圆的两个焦点到该切线的重新分布降低 (图 5)。我们将其中一个重新分布延伸到直线 $t$ 之外，到达等于 $N_2 F_2$ 的距离 $F'_2 N_2$。现在让我们将点 $F'_2$ 和 $F_1$ 与点 $A$ 连接起来。让我们证明$F'_2 AF_1$是一条直线。

从$\alpha_1 = \alpha_2$（根据构造）和$\alpha_1 = \alpha_3$（根据椭圆的光学性质）这一事实可以立即清楚地看出这一点。因此，$\alpha_2 = \alpha_3$和$F'_2 AF_1$是一条直线。

*) 椭圆形是一个点的几何轨迹，是构造到两个固定点的距离之和。这样的表面是通过围绕其轴生长椭圆来获得的。

**) 证明椭圆的这一性质的最简单方法是使用费马原理（参见 «Kvant» No. 11, 1970）。

图 5.

进一步，由于$AF'_2 = AF_2$，则$F_1 F'_2 = F_1 A + AF'_2 = F_1 A + AF_2$，即线段$F_1 F'_2$等于椭圆点到焦点的距离之和。我们将这个总和表示为$2a$。现在让我们将重新分布 $F_1 B$ 降低到线 $F'_2 F'_2$ 上，从两个直角三角形（棕色和黄色）计算边 $F_1 B$ 的长度，并将 $F_1 B$ 的两个表达式彼此相等：

$(2a)^2 - (\rho_1 + \rho_2)^2 = (2c)^2 - (\rho_2 - \rho_1)^2$.

打开括号，我们得到

$\rho_1 \rho_2 = a^2 - c^2$.

因此，乘积 $\rho_1 \rho_2$ 不依赖于绘制切线的点。让我们将其绘制在短半轴 (图 6) 的末端。在这种情况下$a^2 - b^2 = c^2$。因此$\rho_1 \rho_2 = b^2$。

于是，我们得到了主要定理：

从两个焦点到椭圆任意切线的距离的乘积是等于短半轴的平方的常数值。

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开普勒第一定律

现在我们可以考虑行星的运动。为简单起见，我们不会证明行星的轨道是椭圆，但是，假设这一点并使用运动力矩和能量守恒定律，我们将找到它并确保在引力场中沿着椭圆的运动不会违反守恒定律。

让我们注意行星的两个位置$A$和$A'$，相对于椭圆中心（图7）对称。我们也可以换一种说法：点$A$是行星在某个时间点的真实位置，而$A'$是通过将太阳转移到另一个焦点而从第一个点获得的，而行星保持在同一位置。

让我们写下能量守恒定律。用索引 1 标记点 $A$ 的数量，用索引 2 标记点 $A'$ 的数量，我们得到 $(E_1 = E_2 = E)^*$。

$$-E = \frac{mv_1^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_1} = \frac{mv_2^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_2}.$$

行星的角动量等于运动量$mv_1$（或$mv_2$）与“间隙”——撞击参数$\rho_1$（或$\rho_2$）的乘积，而总能量为$T + U = -E < 0$。

行星两个位置的角动量如何相同：
$$L = mv_1\rho_1 = mv_2\rho_2.$$
让我们计算行星在点 $A$ 和 $A'$ 处的动能的乘积：
$$T_1T_2 = \frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{mv_2^2}{2} = \left(-E + \frac{\alpha}{r_1}\right) \times \left(-E + \frac{\alpha}{r_2}\right).$$
（这里$\alpha = \gamma Mm$。）
将方程中的速度代入运动量矩的表达式，经过简单变换可得：
$$\frac{1}{4} \frac{L^4}{m^2\rho_1^2\rho_2^2} - E^2 = \frac{-\alpha(r_1 + r_2)E + \alpha^2}{r_1r_2}.$$

很容易看出，如果行星的轨道是椭圆形，则这个等式成立。事实上，为此你需要把
$$r_1 + r_2 = \frac{\alpha}{E} = 2a$$
和
$$\rho_1\rho_2 = \frac{L^2}{2mE} = b^2.$$

这两个等式只不过是上面给出的椭圆的两个定义。

因此，我们的轨迹是一个有半轴的椭圆：大
$$a = \gamma \frac{mM}{2E} \text{ и малой } b = \frac{L}{\sqrt{2mE}}.$$

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图 8.

那么行星的速度将是无量纲的。速度是一个数字，显示行星速度包含多少次$v_0$：

$$\beta_1 = \frac{v_1}{v_0} \quad \text{и} \quad \beta_2 = \frac{v_2}{v_0}.$$

根据前面的速度$\beta_1$和$\beta_2$有关系

$$\beta_1 = \frac{1}{\beta_2}.$$

这是什么意思？如果一个粒子以$\beta$的速度在轨道上的某一点运动，那么在相对于轨道中心对称的点上，其速度将等于$\frac{1}{\beta}$

我们描述了行星的轨迹，指定了它在每个时刻的位置（坐标）。你可以用不同的方式来做——设置行星的速度。在这种情况下我们得到的曲线称为速度图（我们可以说这是速度空间中的轨迹）。由于线段$\beta_1$和$\beta_2$的乘积已经构建，行星的速度图是一个圆（图8）（记住定理：“在圆内给定一个点。那么对于通过该点的所有弦，该点划分弦的线段的长度的乘积是相同的”）。

如果我们将神图每个点的速度$\beta$替换为$\frac{1}{\beta}$，那么神图不会改变，而只是$180^\circ$处的表面速度。这种性质称为相对表面运动不变性。

如果行星的轨道是圆形的，则$\beta = 1$（证明它！）。在这种情况下，神图是一个圆心位于原点的圆。

流通期限

为了计算轨道周期——行星绕科隆公转一周或人造卫星绕地球一周的时间，有必要计算轨迹各部分的通过时间（单独计算，因为速度一直在变化），然后对所有部分求和。当然，这不能简单地做到，但一切困难都是可以规避的。

从开普勒第二定律我们知道，在 $\Delta t$ 时间内，行星的半径矢量“扫过”等于 $\frac{L}{2m} \Delta t$ 的面积（回想一下 $L = \text{const}$）。这意味着旋转周期可以通过椭圆面积除以“扫掠”的恒定速度来计算

$$T = \frac{S_{\text{эллипса}}}{L/2m}.$$

由于椭圆是由向一个方向倾斜的圆$\frac{b}{a}$乘$^*$）得到的，那么椭圆的面积等于

$$S_{\text{эллипса}} = S_{\text{крута}} \cdot \frac{b}{a} = \pi a^2 \frac{b}{a} = \pi ab.$$

从这些公式我们得到

$$T = \frac{2\pi ab}{L}.$$

但$b = \frac{L}{\sqrt{2Em}}$，因此

$$T = \pi a \sqrt{\frac{2m}{E}}$$

$^*$）参见 I. N. Bronstein 的文章《椭圆》（«Kvant» No. 9，1970）。

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或者，在这里替换 $a \left( a = \gamma \frac{Mm}{2E} \right)$ 的表达式，并将 $\left( \frac{2E}{m} \right)^{3/2}$ 替换为 $v_0^3$，我们得到
$$T = 2\gamma M \frac{m}{2E} \sqrt{\frac{m}{2E}} = 2 \frac{\pi \gamma M}{v_0^3}.$$
从这个公式可以清楚地看出，轨道周期仅取决于值$v_0$。如果几颗相同的卫星从地球表面上方的同一点向不同方向释放，但速度相同$v_0$，那么所有卫星将同时（经过时间$T$）会聚在同一点。

开普勒第三定律
如果现在在行星公转周期的公式 (*) 中加上能量 $E$ 用更大的表情替换她的表情 $\left( E = \gamma \frac{mM}{2a} \right)$，然后我们得到
$$T = 2\pi a^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\gamma M}}.$$
因此，$T^2$与$a^3$成正比，即行星轨道周期的平方与大半椭圆的立方成正比。这就是开普勒第三定律。

图 9.
椭圆是通过焦点并接触给定圆（引导圆）的圆心的几何轨迹。

在这篇文章中，我们讨论了一些几何、光学和力学。现在解决问题。

光学问题
在椭圆体的一个焦点（其内表面是镜面的）中，有一个精确的光源。为位于椭圆体第二个焦点的观察者构建该源的图像。

几何问题
证明椭圆是通过焦点并与给定圆（引导圆）相切的圆心的轨迹（图9）。

在 图 处，很明显垂线 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 的底边位于“主圆”上。你在听这个吗？

太空挑战
地球卫星的轨道有以下参数：最大距离$R$，最短距离$r$。计算卫星的总能量和角动量。求卫星在长轴和短轴末端的速度。

美丽的队形
杂志封面上的图画是这样构造的：在一个圆内选择一个点，并从它的中心画一个比它小的圆。光线从第二个圆的中心发出，直到它们与较大的圆相遇。通过位于两个圆之间的每条射线上的一点，垂直于该射线绘制一条弦。内部的光点呈椭圆形。

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辅助圈

许多几何问题的解决方案都从绘制辅助线开始，这些辅助线有助于在数据和图形的未知元素之间建立联系。回忆起一个成功的辅助阵型往往是很困难的。因此，你应该处理每个已解决的问题，并尝试找出为什么某些辅助线会导致目标。是否可以使用找到的示例来解决其他一些问题？

在数学界的下一次会议上，我们将考虑解决几何问题的一个有趣的例子，其中包括在绘图中引入辅助圆。

示例 1. 将高度 AP、BQ 和 CR 绘制为锐角三角形。证明$\angle ABQ = \angle APR$）。

解决了并且e。设 H 为三角形 ABC (图 1) 的高的交点。由于$\angle APB$和$\angle CRB$是直线，因此可以以BH为直径绕四边形BPHR描绘一个圆。构建完成后，我们将其替换为 $\angle ABQ = \angle APR$ （作为基于同一弧的内切角）。

*) 参见 «Kvant» No. 1, 1970, p. 1970 59.

图 1.

因此，构造辅助圆允许您使用内切角定理，从而在任务中指定的角度之间建立联系。

找出如果三角形 ABC 的 $\angle B$ 是钝角，结果会如何变化。

自己解决几个类似的问题。

1. 从直角三角形 ABC 的任意点 M ka-tega BC 开始，将垂直的 MN 放到斜边 AB 上。证明$\angle MAN = \angle MCN$。

2. 证明连接直角三角形的直角顶点与在斜边上外接的正方形中心的直线平分三角形的直角。

3. 从给定角度内的任意点 M，垂线 MP 和 MQ 落到该角度的两侧。从角 A 的顶点将垂直的 AK’ 落在线段 PQ 上。证明$\angle KAP = \angle MAQ$。

示例 2. 证明连接锐角三角形两个高的底边的线段会从该锐角三角形中切出与给定三角形相似的三角形。

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图 2.

解决了并且e。设 $AA_1$ 和 $BB_1$ 为锐角三角形 $ABC$ (图 2) 的高。 $\angle AA_1B$和$\angle AB_1B$是直的，因此以三角形的$AB$边为直径构造的圆将经过点$A_1$和$B_1$。此外，$\angle ABC = 180^\circ$ - $\angle AB_1A_1$、$\angle A_1B_1C = 180^\circ$ - $\angle AB_1A_1$，因此$\angle ABC = \angle A_1B_1C$，并且三角形$ABC$和$A_1B_1C$相似。

如果我们注意到三角形 $AA_1C$ 和 $BB_1C$ 相似并记下比例，则此问题无需辅助构造即可解决

$$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}.$$

用变通方法解决以下两个问题。

4. 从平行四边形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 绘制高度 $AM$ 和 $AN$。证明三角形$AMN$和$ABC$相似。

5. 从底边$H$开始，三角形$ABC$的高度$CH$降低到垂直于$HM$和$HN$的边$AC$和$BC$。证明三角形$CMN$与三角形$ABC$相似。

有时描述圆形和三角形是有利的。

示例 3. 证明三角形的平方二等分线等于其外接边的乘积与乘积之间的差

被二分线分成的第三条边的线段。

解决了并且e。我们围绕三角形$ABC$画一个圆，并延伸三角形的二切线$CD$，直到它与圆在点$E$（图3）处相交。让$BC = a$，$AC = b$，$AD = m$，$BD = n$，$CD = l$，$DE = x$。

根据条件，$\angle ACE = \angle BCE$，另外，$\angle AEC = \angle ABC$，就像基于同一圆弧的内切角。因此，三角形 $ACE$ 和 $BCD$ 相似，且等式 $$\frac{l + x}{b} = \frac{a}{l},$$ 成立，因此有 $l^2 = ab - lx$。和弦 $AB$ 和 $CE$ 相交于点 $D$。因此等式$lx = mn$成立。因此，$l^2 = ab - mn$。

示例 4. 从内部一个顶点绘制的三角形的高和中线不同，并且与从同一顶点引出的边形成相等的角度。证明三角形是直角。

解决了并且e。令三角形 $ABC$ 的高度 $CH$ 和中线 $CM$ 迫使边 $AC$ 和 $BC$ 形成相等的角 (图 4)。让我们围绕三角形 $ABC$ 画一个圆，并延伸中线 $CM$ 直到它在点 $D$ 处与圆相交。考虑三角形 $ACH$ 和 $BCD$。由于 $\angle ACH = \angle BCM$ 是有条件的，$\angle A = \angle D$，

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图 4.

作为基于同一弧的内切角，则 $\angle AHC = \angle CBD = 90^\circ$。因此，$CD$是圆的直径。

圆的中心位于直径 $CD$ 上，并且在中点 $M$ 与边 $AB$ 垂直的 $m$ 上。由于中线$CM$不是高度，因此线$CD$和$m$只有一个公共点$M$，即外接圆的圆心。因此，$AB$是圆的直径，$\angle ACB = 90^\circ$。

使用结果解决接下来的两个问题。

6. 确定三角形的内角
   a) 从一个顶点引出的中线和高度将角分成三等份；
   b) 从一个顶点引出的中线、平分线和高将该顶点处的角分成四等份。
7. 构造一个三角形，已知由一个顶点的中线、平分线和高形成的角度。
   例 5. 构造一个等距三角形，使其顶点分别位于给定的三条平行线上。

图 5.

对于这个有趣的问题，有几种已知的解决方案，使用围绕点的表达式、相似性和代数方法。通过构建辅助圆可以获得非常短的解决方案。

解决方案。设$ABC$为原始等距三角形，其顶点分别位于平行线$a, b$和$c$（图5）上。它的外接圆与线 $c$ 相交，此外还与点 $C$ 相交，并在某个点 $D$ 处相交。那么，根据内切角的性质，我们有$\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ$。

以下构造由此而来。从线 $c$ 的任意点 $D$ 出发，我们绘制与线 $c$ 形成角度 $60^\circ$ 和 $120^\circ$ 的射线。让其中一条射线与直线$a$相交于点$A$，与直线$b$相交于点$B_1$，另一条射线与直线$b$相交于点$B$。那么线段 $AB$ 将是三角形 $ABC$ 的边。

让我们在线段$c$上绘制与线段$AB_1$相等的线段$DC$，使得点$C$和$A$位于线$BD$的同一侧。那么点$C$是三角形$ABC$的三角形，因为三角形$ABB_1$和$BCD$相等，这意味着$AB = BC$和$\angle ABC = 60^\circ$。

因此，施工工艺

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图 6.

在解决一些施工问题时，建议使用辅助圆的施工。

让我们考虑另一个难题，其中最难解决的问题是猜测如何描述围绕正方形的圆。

例6 在三角形ABC的边AC和BC上，在其外侧构造正方形ACA 1 A 2 和BCB 1 B 2 。证明直线 AB1、A1B 和 A2B2 相交于一点，并确定这些直线之间的角度。

解决方案。如果∠ACB = 90°，则该定理的有效性是显而易见的。重新定义线 AB1 和 A1B，它们均与线 A2B2 以 45° 角 (图 6) 相交于点 C。

如果 ∠ACB ≠ 90°，则正方形的外切圆除了 C 点外，还有另一个公共点 C₁，即直线 AB₁、A₁B 和 A2B2 的交点（图 7）。事实上，∠A2C₁C = 90°，就像悬挂在半圆上的一个。类似地，∠CC₁B2 = 90°。因此，∠A2C₁C + ∠CC₁B2 = 180°，即射线C₁A2和C₁B2形成一条直线。

同理，证明点C1位于直线AB1和A1B上。

考虑到所获得的内接角，我们发现直线AB 1 和A 1 B 相互重新定义，并且这些直线中的每一条都与直线A 2 B 2 成45°角。

图 7.

下一个任务与上一个任务有很多共同点。

8. 在任意三角形ABC的边AB、BC和CA上，在其外侧构造等边三角形ABC₁、BCA₁和CAB₁。证明直线 AA₁、BB₁、CC₁ 相交于一点，并且每条线都与另一条线形成 60° 角。

9. 证明如果四边形的两个对角都是钝角，则连接这些角的顶点的对角线比第二条对角线短。

让我们再提出两个涉及最大值和最小值的问题，为了解决这两个问题，建议以某种方式构造一个辅助圆。

10. 在以点 S 为顶点的角度的一侧是给定的点 A 和 B。在另一侧找到点 C，从该点可以以最大角度看到线段 AB。

11. 从位于三角形 ABC 的边 AB（或其延长线上）上的任意点 M，向边 AC 和 BC 绘制垂线 MP 和 MQ。什么情况下PQ段最长？

因此，使用相同的技术可以解决各种几何问题。辅助圆的构造允许您增加解决问题时可以使用的定理数量，并且由于这一点，您可以找到图形元素之间的依赖关系。

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自然界中没有比波的传播更普遍的现象了。水表面的波浪、声音、光、无线电、从固体的一个部分到另一个部分的变形转移——所有这些都是波过程。量子力学表明，微粒的运动受波动定律控制。所有这些波都具有不同的物理性质、不同的传播速度、不同的频率和波长。但无论如何，任何波浪的运动都有很多共同点。研究了一种性质的波的传播定律后，实际上可以将它们改变为另一种类型的波而不改变它们。在波的表面研究波是最方便的。

什么是波？将一块石头扔进矿石中。在平静的水平劳动表面上会出现一个运行的圆圈。波浪应该到达的水面上的点开始相对于其平衡位置振荡。该位置对应于水平表面。一个点距离石头落下的地方越远，它“了解”石头落下的信息就越晚。干扰以一定的速度传播。扰动必须同时定位的点处于振荡运动的同一阶段（同一相位）。这一阶段的运动速度就是波速。它沿垂直于波前的方向变化。

对于任何性质的波，总是有可能表明物理对象在波的影响下将经历扰动，即偏离其平衡值。对于声音来说，这些是压力的周期性增加和减少。对于无线电波和光 - 电场和磁场方向的快速变化。

所有介质的特性无一例外是，在某一区域产生的扰动会以有限的速度从一点传播到另一点，这取决于扰动的性质和介质的特性。

波的产生需要一个扰动源，即在介质的某一区域引起传播扰动的外因。一个小源，例如扔进水中的石头，在均匀介质（即波速不依赖于其传播方向的介质）中发射球面波（波表面呈圆形），沿半径传播。这种波源称为点源。

初等波动理论的基本原理之一是波独立原理或叠加原理。他认为，波在观测点引起的扰动并不取决于其他波同时通过该点的事实。叠加原理给出了一个简单的规则，用于计算多个源波的总作用：总功等于每个源分别引起的振荡之和。

波过程的一个特征是波干涉。干扰被称为在来自两个或多个一致（同步）振荡的源的波传播过程中在介质中出现的一组现象。事实证明，在某些点上，两个源同时作用引起的振荡将比每个源单独引起的振荡更加汇合或更弱。协调波可能会相互抵消。

乍一看，干涉现象与叠加原理相矛盾。在讨论这个问题之前，我们决定亲眼看看干扰。当扔进矿石中的两块石头发出的波相交时，经验丰富的眼睛可以很容易地看到干扰。然而，为了研究干扰

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这种方法不适合。我们将在 LAB 工作台上获得稳定的水波干涉图样。

首先，你需要一个装有水的容器。为了使从其壁反射的波不会掩盖来自源的波，需要具有平坦壁的容器。在这方面，它的待遇几乎是最高的。波浪跑到墙壁上后迅速衰减，几乎不被反射。带有旋开盖子的电铃可以用作波发生器。将一根金属丝连接到钟锤上，并在其末端放置一个软木球，这将是波浪的确切来源。测试电线时，确保电线绝缘良好。

钟必须固定在板上方，以便通过转动钟，软木球可以浸入板边缘的水中。最好通过作者前辈来推动这一呼吁。这允许您调整振动幅度。笔者以前离儿童铁路很方便。燃烧装置的变压器也可以工作。打开设备，我们将看到水面上出现圆形波浪，相邻驼峰之间的距离（波长）约为 1 厘米（第 36 页上的图1）。

观察波浪的最佳方法是在阳光直射或明亮的灯光下观察板底部的阴影。每个波的作用就像一个柱面透镜，在板的底部产生一条光条纹，重复波前的形状。然而，以大约 10 厘米/秒的速度行进的波会因固定在固定板上的凝视而合并。它们仅在震源附近可见，那里的振幅很大。要在整个水面上增加它们，您需要快速转动头部。同样，当头部快速移动时，你可以看到滚动的轮子的辐条。在相机磨砂玻璃上观察波浪非常有效，尤其是大画幅相机。将相机握在手里并慢慢展示，很容易确保整个表面都可见波浪。与此同时，他们的速度似乎也非常缓慢。您可以在镜子中观察波面的反射。镜子的轻微移动也会使整个表面上的波浪可见。但在频闪照明下观察波是最方便的。如果用频率等于波源频率的短闪光照射装置，那么从一次闪光到另一次闪光，波将移动一个波长，并且波的波形看起来是静止的。这种照明非常容易实现。打开与铃磁铁绕组平行的小灯泡就足够了。从 0.5-1 m 的距离开始，它就能很好、均匀地照亮装置，并且波浪静止的阴影图案清晰可见。拍摄照片的最佳方法是使用直射阳光。

现在根据接线将末端带有软木片的叉子连接到钟锤上。叉子两端之间的距离为2-3厘米。如果两端同时放入水中，您将得到两个波源，它们不仅同步（即时间）振荡，而且同相振荡，即两个源的波将在同一时刻产生。图像与 图 2 中的图像大致相同。从波源开始，振幅较大的区域向上发散，并被“沉默”区域分隔开。大振幅的中心区域垂直于连接源的线。寂静区域和大幅度区域都经过源之间。

用尺子研究干涉图案将表明，连接源的线上两个最大值之间的距离等于两个波之间距离的一半，即波长度的一半。

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图 2. 两个源波的干涉（2d/λ=4）。

我们。如果改变源之间的距离，那么大振幅带的数量 (图 3) 也会改变。源之间的距离越远，扇子中的“羽毛”就越多。但连接光源的线上最大值之间的距离始终等于波长的一半。因此，具有最大幅度的波段总数将是源之间距离所指示的波长数的两倍。由此可见，如果光源之间的距离小于波长的一半，则根本不会产生干扰。这些源作为一个整体，产生一个圆波系统。这可以通过逐渐减小源之间的距离来看出。还请注意，如果我们继续波前在某些振幅较大的区域穿过驼峰，我们将在邻近区域遇到弗拉迪纳。换句话说：当穿过零区域时，波的相位变为半个完整振荡。

现在意识到我们没有两个锤子，而是两个发射光波的光源，并且我们放置一个垂直于波表面的屏幕。我们将看到与变换相对应的被照亮的地方

图 3. 两个源波的干涉（2d/λ=2）

屏幕的横截面和振幅较大的区域以及黑暗、未照亮的区域。我们会看到暗干涉条纹和光干涉条纹。我们将在其他时间讨论如何进行光学干涉实验，但现在让我们尝试解释一下我们所看到的。

让我们在一张纸上画一个波浪系统，就好像它们在某个点冻结一样 (图 4)。我们用红色标记波浪的驼峰，用蓝色标记波浪的山峰。我将对波浪重新编号，用相同的数字标记那些同时从源绣出的波浪。从图中可以看出，相同数量的波同时到达距震源等距的直线上。这是可以理解的，因为同样的路径也被带到了辛辣浪潮的地步。根据叠加原理，我们可以得出结论，在这条线上，驼峰的高度和山谷的深度都会加倍。这条线的右侧和左侧是一个波浪系统的驼峰与另一个波浪系统的驼峰重合的点。虽然来自一个源的波会在这些点处引起向上偏转，但同时来自另一个源的波会在这些点处引起向下偏转。这些点的总偏差将接近于零。让我们连接一切

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图 4. 在来自两个精确源$2d/\lambda=3,6$ 的波干涉期间添加振荡。红线是隆起，蓝线是凹陷。粗线显示了由此产生的波浪。

连续线上的一些点。如果按照驼峰和波谷的编号，您可以轻松得出结论，对于右侧线上的所有点，左侧波传播的路径比右侧波长一半波长。对于左线，右波滞后一半波长。

零线的左右两侧是第一个驼峰与第二个驼峰、第二个驼峰与第三个驼峰等的交点。很容易理解，这些也是最大值区域。通过连接这些点，我们得到一条线，在该线的点上，一个波系统落后于另一个波系统一个波长。

继续分析图，可以找到所有的零线和所有的线

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最大值。我们获得的林尼曲线被数学家称为双曲线 *)。

现在完全清楚为什么连接光源的线上的最大值之间的距离等于波长的一半。事实上，在该波长的中点，波以相同的相位到达并相互增强。如果从该点移动半个波长，则一个波的路径将增加一半波长，而另一个波的路径将减少相同的量。此时波之间的路径差（波从源到该点传播的路径差）将等于一个波长，并且波将通过每个波长再次相互放大等。

零路径差对应的最大值称为零最大值或零阶干扰。路径差为一个波长的最大值是一阶干涉的最大值等。干涉的最大阶数由接近2d/λ的整数确定，其中d是光源之间的距离，λ是波长。现在尝试使用绘图自己进行分析，并且可以通过实验检查如果其中一个源发出延迟了一半周期或其他部分的波，图片将如何变化。如果振荡之间的偏移随机变化怎么办？为了通过实验实现具有相移的波，只需使叉子的末端具有不同的长度就足够了。

*) 双曲线是点的轨迹，即构造两个点（焦点）的距离差。

来自考官笔记本

X 射线管由充满真空的玻璃气球组成。

光源分为两个阵营：自然光源和人造光源。

频率单位赫兹是以发现该单位的科学家的名字命名的。

电感是用母鸡测量的。

物体距镜头越远，图像越真实；越近，越小。

透镜可以是双凸透镜或单凸透镜。

原子很复杂，它欺骗了科学家很长一段时间。

我们周围的所有物体：桌子、椅子等都以等于其重量的力压在我们身上。

正常人的视力良好，无论是近距离还是远距离。

伽马射线具有很强的穿透力。

饱和蒸气与不饱和蒸气的不同之处在于它们已经饱和。

红色光束最长，紫色光束最短。

角速度以欧米伽表示。

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杂志的这一部分每期都会保留。它出版物理和数学方面的问题，其中一些是相当困难的。而且，对于物理学家和数学家来说，解决这些问题并不容易。因此，如果您无法处理这个或那个任务，请不要签入。随着时间的推移，尝试将这些话带回给她。

解决问题意味着了解需要使用哪些数学装置、哪些方程（或定理）、要考虑哪些因素以及要考虑哪些因素；这意味着还要尝试确定问题中指出的现象在实践中的应用地点和方式。但已经找到了解决方案。你很满意。然而，人们不应该就此罢休。想想如何概括这个问题。

在本节的第二部分（问题本身开始发布后大约六个月），我们将考虑读者发送的信件，发布他们的解决方案。我们需要这个时间，因为准备印刷下一期需要四个多月的时间。

定期提交特别原创和成功解决方案的学童将有权与加权对应优化的获奖者平等地参与学童三权重优化领域。此外，该杂志的编辑还为最有趣的解决方案的作者设立了几个特别奖。

最后一件事。提出问题通常比解决问题更困难。这更困难，但也更有趣。尝试提出问题并将其发送给我们。我们将在量子问题书中发布其中最好的内容。

将您的解决方案和新问题发送至以下地址：Moscow，V-71，Leninsky Prospekt，15，期刊«Kvant»，“问题书«Kvant»”，数学（物理）编辑部。每个问题的解决方案（如果您在一张单独的纸上一次发送多次尝试，该页面是可读的。最后，注明您的姓氏、名字、父名以及班级和学校。只有在相应期刊出版后一个半月内收到解决方案才予以考虑。

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图 1.

M61。两个智者玩一个新游戏，其中包括以下内容。数字 0、1、2、…、1024 被写出。第一个圣人划掉了他选择的 512 个数字，第二个圣人划掉了剩余数字中的 256 个，然后第一个圣人又划掉了另外 128 个数字，然后第二个圣人又划掉了 64 个数字，等等。在他的最后第五步中，第二个圣人划掉了一个数字。剩下两个数字，第二个数字向第一个数字支付这些数字之间的差额。您应该如何玩第一个游戏才能获得尽可能多的收益？第二个怎样才能损失尽可能少呢？如果第二个打得更好，她会付给第一个多少钱？

第三十二届莫斯科数学奥林匹克竞赛

M62。证明对于任何奇数$a$，都存在一个自然的$b$，使得$2^b - 1$可被$a$整除。

M63。是否可以用 18 块尺寸为 $1 \times 2$ 的瓷砖来布置一个正方形？

图 2.

这样就不会有一条直的“接缝”连接正方形的相对两侧并沿着瓷砖的边缘延伸吗？ （例如，像 图 1 这样的平铺排列将不起作用，因为存在“接缝”$AB$）。

A·A·基里洛夫

M64。在数据平面上有一条直线$l$和位于其一侧的两个点$P$和$Q$。在线 $l$ 上也找到点 $M$，对于这些点，可以调用三角形 $PQM$ 的高底之间的距离，直到边 $PM$ 和 $QM$。

G·A·帕拉尼克

M65。 a) 令$E, F, G$为三角形$ABC$的边$AB, BC$和$CA$上的点，其中$\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$，其中$0 < k < 1$。求直线$AF, BG$和$CE$形成的三角形面积与三角形$ABC$面积之比（图2）。

6. 将三角形切成六段直线，可以用来形成七个相等的三角形。

A·L·索弗

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F72。为什么三月白天的长度变化比十二月快？

G·L·科姆金

F73。将玻璃管内的糖溶液擦掉。管的下端覆盖着一层薄膜，该薄膜可渗透水但不可渗透糖分子。将管浸入清水中直至糖溶解并固定在该位置。同时，管内的液位开始上升，经过足够的时间后，达到高于水面的一定高度（图3）。

如何解释汽缸内的水积聚？提升液体的能量从何而来？

F74。两个电容器串联。第一个容量为$C_1$，设计最大电压为$U_1$，第二个容量为$C_2$，设计电压为$U_2$。最大零的作用是什么

你能连接这组电容器吗？

A·R·齐伯曼

F75。面积为 $S$ 的活塞与垫圈 $C$ 铰接，沿着杠杆 $AB$ 无摩擦地滑动。杠杆长度$L$。为了使流体压力增加 $\Delta p$ (图4)，必须向杠杆 $AB$ 施加的最小力是多少？

B. B. Bukhovtsev，莫斯科国立大学物理奥林匹克竞赛，1970 年

F76。带有失重织针的重环位于垂直平面上，并且可以绕穿过中心的水平轴旋转。质点固定在其边缘的厚度中，其质量与箍本身相同。环绕其轴线摆动的周期是多少？如果：a）将主板移至月球，b）放置在可以无摩擦移动的液体中，它会发生什么变化？

求解方程组和方程组的代入法

M.I.斯卡纳维

替换方法涉及从原始值移动到其他值。它允许您将方程的解简化为构造更简单的方程或研究类型的方程。必须使用这一方法的情况有很多种。不可能用任何一般性建议来涵盖它们。因此，能否成功选择合适的替代方案很大程度上取决于决策的优势，例如他的经验、独创性、直觉……所考虑的例子展示了替代方法的实际应用。

示例 1：求解方程
$$\frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}.$$

解决方案。位于该等式左侧的分数的差是一个分数，其分母是关于 $x$ 的四次多项式。在这种情况下，方程的模板处理将导致四次方程，这是求解器无法做到的。想了想之后，我们就会开始明白，选择替代品是有用的
$$x^2 + 2x = z,$$
(*)

因为它将给定的方程转换为一个更简单的方程：
$$\frac{1}{z} - \frac{1}{z+1} = \frac{1}{12}$$

对于$z$，我们得到一个根为$z_1=3$和$z_2=-4$的二次方程。代入 (*) 可得出 $x$ 的两个二次方程：
$$x^2 + 2x = 3$$
和
$$x^2 + 2x = -4.$$

从它们中我们找到这个方程的所有四个根：
$$x_1 = 1, x_2 = -3, x_3 = -1 + \sqrt{3}i,$$
$$x_4 = -1 - \sqrt{3}i$$

通过直接测试，我们确信它们各自的适用性。

示例 2：求解方程
$$4x^4 + 12x^3 - 47x^2 + 12x + 4 = 0.$$

解决方案。已经提出了一个所谓的倒数方程来求解——距其左侧两端等距的项的系数相等。对于倒数方程，已经开发了一种标准方法来将它们简化为较低阶的方程。通过观察如何将该方法应用于正在求解的方程，可以了解该方法的想法。注意到$x \neq 0$，我们将方程除以$x^2$；我们得到
$$4x^2 + 12x - 47 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 0.$$

现在您应该应用 grappirum 成员：
$$4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 12\left(x + \frac{1}{x}\right) - 47 = 0.$$

通过本文，方程已经

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不包含二次部首！）：我们来补一下左边部首的十进位表达式之间的差，得到$(t+3) - t=3$。

现在让我们对这个差值进行因式分解（使用平方差公式）并找到 $(\sqrt{t+3} + \sqrt{t})(\sqrt{t+3} - \sqrt{t}) = 3$。

从这里开始，除以原始方程（相对于 $t$），我们得到

$$\sqrt{t+3} - \sqrt{t} = \frac{3}{\sqrt{2t+7}}.$$

从原来的方程中减去我们现在得到的，我们发现

$$2\sqrt{t} = \sqrt{2t+7} - \frac{3}{\sqrt{2t+7}},$$

$$2\sqrt{t} = \frac{2t+4}{\sqrt{2t+7}}, \sqrt{t} = \frac{t+2}{\sqrt{2t+7}}.$$

我们刚刚执行的过程允许我们通过简单地对方程各部分进行平方来消除根式。让我们这样做：

$$t = \frac{t^2+4t+4}{2t+7}, t^2+3t-4=0.$$

因此$t_1=1, t_2=-4$。接下来，请注意，我们只对 $t$ 的正值感兴趣，因为 $t = x^2+x+1 > 0$

对于$x$的所有值。因此，我们丢弃不合适的根$t_2$并得到一个用于求$x$的二次方程

$$x^2+x+1=1, \quad x^2+x=0$$

有根 $x_1=-1$ 和 $x_2=0$。很容易验证它们都是这个无理方程的根。

示例 5. 求解方程组

$$\begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 40, \\ \frac{y^3}{x} + xy = 10. \end{cases}$$

（限制自己寻找真正的解决方案）。

求解方程组学生练习一个重要的解决方案。同时，在这些情况下，它往往非常有效。在解决所提出的系统之前，我将允许自己表达一些有关在求解两个方程组（有两个例外）时的替换方法的一般信息。如果后者由字母 $x$ 和 $y$ 指定，那么根据以下等式转向新数量 $\rho$ 和 $\varphi$ 通常很有用：

$$x = \rho \cos \varphi,$$

$$y = \rho \sin \varphi.$$

对平面坐标法足够熟悉的读者，几乎可以认为，如果$x$和$y$作为某个点的笛卡尔坐标，那么$\rho$和$\varphi$就是同一点的所谓极坐标。极坐标的几何意义及其与笛卡尔坐标的联系从图就会变得清晰起来，建议大家仔细考虑：

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我们注意到原点$O$有$\rho=0$，而角度$\varphi$没有定义值。如果我们要求有的话，平面上的所有其他点都将服从一对极坐标（$\rho, \varphi$）

$$0 \leqslant \rho < +\infty,$$
$$0 \leqslant \varphi < 2\pi.$$

我们使用等式（！）来求解这个方程组，而不是 $x$ 和 $y$ 在系统方程的域中，我们将它们的表达式替换为 $\rho$ 和 $\varphi$;我们明白了

$$\begin{cases} \frac{\rho^3 \cos^3 \varphi}{\rho \sin \varphi} + \rho \cos \varphi \rho \sin \varphi = 40, \\ \frac{\rho^3 \sin^3 \varphi}{\rho \cos \varphi} + \rho \cos \varphi \rho \sin \varphi = 10. \end{cases}$$

或处理后

$$\begin{cases} \rho^2 \text{ctg} \varphi = 40, \\ \rho^2 \text{tg} \varphi = 10. \end{cases}$$

将第一个方程除以第二个方程我们发现

$$\text{ctg}^2 \varphi = 4.$$

因此$\text{ctg} \varphi = 2$或$\text{ctg} \varphi = -2$。第二个（负）值 $\text{ctg} \varphi$ 立即被丢弃，因为我们有 $\text{ctg} \varphi$ 和 $\rho^2$ 具有相同的符号，并且 $\rho^2$ 不能为负数。现在，使用已知的余切，我们需要找到角度 $\varphi$ 的正弦和余弦。我不言而喻地遵循这一点：

$$\cos^2 \varphi = 1 + \text{ctg}^2 \varphi = 5,$$
$$\cos \varphi = \sqrt{5},$$
$$\cos \varphi = -\sqrt{5},$$

$$\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{5}},$$
$$\cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \varphi = -\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

接下来我们找到$\rho$，因为

$$\rho^2 \text{ctg} \varphi = \rho^2 \cdot 2 = 40, \quad \rho^2 = 20.$$

我们得到$\rho = 2\sqrt{5}$。使用等式（！）使用已知的$\rho$和$\varphi$，我们找到以下两对数字作为该方程组的解：

$$x_1 = 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4,$$
$$y_1 = 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 2;$$
$$x_2 = 2\sqrt{5} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -4,$$
$$y_2 = 2\sqrt{5} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -2.$$

假设这个方程组只能通过传递到极坐标来求解是不正确的（例如，也可以这样求解：将$xy$从方程左侧转移到右侧，然后重新组合结果，得到$xy$的二次方程；其余的很明显）。同时，应采用该技术。从某种意义上说，它允许我们调节我们的变换，并使使用整个三角学装置成为可能。在什么情况下使用该技术是有益的，在什么情况下则没有？您的经验有助于回答这个问题，您可以通过自己的工作来丰富这个问题！

趁着距离高考还有一段时间，行动起来吧！

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入学考试
数学中 数学中
MSPI 学院
他们。列宁，1970 年
E·A·舍戈尔科夫

1969年我们系的数学笔试（报告见1970年«Kvant»第3号）有些不寻常。该州的不同寻常之处在于对莫斯科国立大学竞争性考试的一些模仿。结果，475名申请者中，有224人，即大约一半，论文写得不好，退出了进一步的“斗争”。这种交换申请人的方式似乎不适合师范学院；太多的考生最终与考官并不熟悉。

1970年，数学学院选拔委员会决定了几乎不同的道路。书面作业包括四项任务，以充分了解学生。

1. 应用三角学的立体问题。
2. 用物理或其他内容编写二次方程的任务。
3. 代数方程或不等式。
4. 三角方程。

所有任务不需要任何特殊知识或培训。但与此同时，他们假设对学校数学有透彻的了解，并且了解申请人的能力。分配了4个小时来完成书面作业。

在考核书面作业时，只有完成所有任务才给“五”； “四”——所有任务均已完成，但有轻微缺陷。例如，如果由于一组错误而未能解决第一个任务，则给出“两个”。同时，“三”的评级获得了更大的份额，并不排除申请人参与竞争。

1970年，数学系入学人数为508人，名额175个；比赛大约每个名额三人。

笔试报名的508人中，写“四”、“五”的有120人，写“三”的有233人，写“二”的有155人。
下面我们以书面作业选项为例进行分析，并指出申请人在解决该选项时常犯的典型错误。

选项

1. 圆锥体的母线长度为l，母线与底面的夹角为α。求以锐角 β 为菱形的底面外接圆锥体的原体的体积。
2. 在 n 小时内，拖拉机比马多犁地 p 公顷。如果拖拉机在 t 小时内比马快犁一公顷，那么一匹马在 n 小时内可以耕地多少赫勒，一台拖拉机在 n 小时内可以耕地多少赫勒。
3. 解决不平等问题
   $$\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}<1.$$
4. 解方程
   $$\frac{3(\cos 2x+\mathrm{ctg} 2x)}{\mathrm{ctg} 2x-\cos 2x}-2(\sin 2x+1)=0.$$

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正如您已经注意到的，在解决这个问题时，我必须解决直角三角形三次。申请人在这里也犯了错误。扎实的解直角三角形能力是成功解决大多数立体问题的先决条件。

2. 让拖拉机在 $n$ 小时内转动 $x$ ($2a$)，因此在 $\frac{n}{x}$ 小时内转动 $1$ ($2a$)。

一匹马需要$n$小时$(x-p)$（$2a$），$1$（$2a$）需要$\frac{n}{x-p}$小时。

根据问题的条件，$\frac{n}{x}$比$\frac{n}{x-p}$小$t$小时，即$\frac{n}{x} + t = \frac{n}{x-p}$（$x \neq 0, x \neq p$）。变换后我们得到方程$tx^2 - ptx - np = 0$。解决它，我们找到$x_{1,2} = \frac{pt \pm \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$。

这两个根中哪一个满足问题的条件？根据条件，$n > 0, t > 0, p > 0$，所以$\sqrt{(pt)^2 + 4ptn}$有实值。 $(pt)^2 + 4ptn > (pt)^2$，因此$\sqrt{(pt)^2 + 4ptn} > pt$。

所以根

$$x_1 = \frac{pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$

给出了问题的答案，拖拉机在 $n$ 小时内转动了多少公顷，一匹马在 $n$ 小时内转动了多少公顷

$$x - p = \frac{-pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$.

方程的第二个根是负数并且根据问题的含义消失。

在根据$\frac{n}{x}, \frac{n}{x-p}, t$编制初始方程时，一些申请人出于某种原因进行了少减多的计算，得出了方程$\frac{n}{x-p} + t = \frac{n}{x}$。

这就是不注意的结果。

当解决具有特定物理或其他内容的问题时，你应该特别小心并经常检查你的计算。正式声明必须符合实际情况。另外，应该记住，此类问题的整体解决方案不是求解已编译的方程，而是获得任务中提出的问题的答案。

3. 让我们找出 $x$ (OD3) 可接受的值范围：

$$\begin{cases} 1 + 2x \geq 0 \\ x + 4 \geq 0 \end{cases}$$ 或 $$\begin{cases} x \geq -\frac{1}{2} \\ x \geq -4. \end{cases}$$

因此，OD3 由条件确定

$$x \geq -\frac{1}{2}.$$ (1)

我们将原来的不等式变换如下：

$$\sqrt{1 + 2x} < 1 + \sqrt{x + 4}.$$

在标记的OD3中，最后一个不等式两边都是非负的；将它们平方我们得到

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$ (2)

不等式(2)左边为正，右边为负，左边为正。

1. $\frac{x}{2} - 2 < 0$因此

$$-\frac{1}{2} \leq x < 4.$$

对于这样的$x$值，不等式（2）负相关，左边为正。

2. $\frac{x}{2} - 2 \geq 0$ 并按条件

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$

解决第一个不等式，我们得到 $x \geq 4$。为了解决第二个不等式，我们将两边都平方（可以这样做，