Kvant 1971 年第 3 期 · 页面

科普物理和数学
量子
3
1971
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

在房间里：

经济学和线性不等式 1
A.B.溜冰场

转换电路 10
A·R·齐伯曼

你喜欢摆弄目标数字吗？ 15
M·I·巴齐马科夫

令人惊叹的溜冰场 21
B、于。讲谈

数学俱乐部
半正多边形 25
L·M·洛波沃克

问题«Kvant»
问题 30

问题解决方案M26—M28； F35—F40 32
N.B.瓦西里耶夫，
A.N.维伦金，
I.Sh.斯洛博杰茨基

申请人工作坊
指数方程 40
V.V.戈德伯德

1970年莫斯科国立大学mexmate数学笔试 45
N·N·科列斯尼科夫

莫斯科汽车与道路学院物理笔试 51
A.N.阿格耶夫，
于。 G·鲁多伊

物理新闻 57

评论、参考书目
如果你需要计算一些东西……
57
R·S·古特

普鲁塔洛瓦街 58 号的魔法师
G·I·米什切维奇

答案、指示、解决方案 62

收藏家角
纪念 N. E. Zhukovsky 64 的邮票
A.V.阿尔蒂基斯

«Kvant» 适合年龄较小的学生
第三封面页
填字游戏
第四封页

2

加上两辆公路自行车，工厂可以生产一辆赛车，赛车带来的利润增加了1.5倍。工厂每天可以生产700辆公路自行车，但仓库每天只能接受500辆自行车。您每天需要生产多少辆赛车和多少辆公路自行车才能使工厂获得最大近似值？

2. 关于采石场的问题。 A 点和 B 点有砖厂，C 点和 D 点有采石场，为它们提供沙子。工厂对沙子的需求不亚于采石场的生产力。每个植物需要多少沙子以及每个采石场添加了多少沙子都是已知的。此外，还知道从每个采石场运输一吨沙子到工厂的成本是多少。有必要组织向工厂供应沙子，以将成本降至最低。 （此类任务称为转运蛋白。）

3. 关于鸡饲料的问题。家禽养殖户从事露天饲养鸡。为简单起见，我们假设两种产品可以作为食物：小麦和豌豆。为了让鸡正常生长，它的日常饮食中必须至少含有一定量的热量，以及蛋白质、脂肪和碳水化合物。这些数量是由食管专家确定的，我们应该将它们视为给定的。让我们知道一克小麦和一克豌豆中含有多少脂肪、蛋白质、脂肪和碳水化合物，并且还知道每种食物的价格。如何打造最便宜但最全面的饮食？

在上述每一个问题中，都必须做出最优选择，尽管在每个问题中都有不同的理解。

为了看看解决此类问题时会出现哪些数学问题，让我们详细分析一下鸡饲料问题。

为了分析这个问题，您将收到学校课程中包含的所有信息，并且可以使用铅笔和纸轻松检查所有计算。

假设一克小麦含有$a_1$卡路里，一克豌豆含有$b_1$卡路里，那么日常饮食中最少需要的热量是$c_1$。我们将在平面上的$(x, y)$点处描绘包含$x$克小麦和$y$克豌豆的菜单。让我们尝试突出显示飞机上与至少含有 $c_1$ 卡路里的饮食相对应的点。由于包含$x$克小麦和$y$克豌豆的菜单含有$a_1x+b_1y$卡路里，因此不等式$a_1x+b_1y \geq c_1$适用于这些点。

从你学校的代数课程中你知道 $a_1x+b_1y=c_1$，躺在一条直线上 $l_1$，通过点 $(0, \frac{c_1}{b_1})$ 和 $(\frac{c_1}{a_1}, 0)$。这条直线将平面分成两部分。为了一点 $(x, y)$，位于线路的一侧 $l_1$，不等式成立 $a_1x+b_1y > c_1$，对于位于另一侧的点，不等式 $a_1x+b_1y < c_1$。这些部分中的每一个，连同最直的部分 $l_1$ 称为半平面。因此，一个半平面由所有点组成 $(x, y)$，对于其中 $a_1x+b_1y \geq c_1$,

另一个从 $a_1x+b_1y \leq c_1$ 的点开始。

由于在我们的例子中$a_1$和$b_1$是正数，所以第一个半平面是半平面$L_1$，

图 1 处突出显示。此外，从我们问题的条件来看，很明显 $x$ 和 $y$ 是非负数（你不能给鸡提供负量的食物）。右半平面（受纵坐标轴限制）的点满足条件$x \geq 0$，上半平面（受横坐标轴限制）的点满足条件$y \geq 0$，点$(x, y)$满足至少包含$c_1$卡路里的部分，同时满足三个不等式：

$$\begin{cases} x \geq 0, y \geq 0, \\ a_1 x + b_1 y \geq c_1, \end{cases}$$

即位于右半平面与上半平面$L_1$交点的点。在 图 2 上，突出显示了与不等式组 (1) 的解相对应的一组点。让我们继续讨论其他有限的。如果一克溶液含有$a_2$克蛋白质，一克豌豆含有$b_2$克蛋白质，而鸡的日常饮食应至少含有$c_2$克蛋白质，那么，显然，那些含有$x$克溶液和$y$克豌豆的日粮中含有足够的蛋白质。

$$a_2 x + b_2 y \geq c_2.$$

与这些比率相对应，这些点位于半平面 $L_2$ 中，以直线 $l_2$ 为界，该直线由方程 $a_2 x + b_2 y = c_2$ 给出。同样，饮食必须满足不平等

$$\begin{cases} a_3 x + b_3 y \geq c_3, \\ a_4 x + b_4 y \geq c_4, \end{cases}$$

其中$a_3$和$a_4$是一克小麦中脂肪和碳水化合物的含量，$b_3$和$b_4$是一克豌豆中脂肪和碳水化合物的含量，$c_3$和$c_4$是鸡日常饮食中脂肪和碳水化合物的最低含量。 （所有数量均以克为单位。）满足这两个不等式中第一个的点 $(x, y)$ 位于半平面 $L_3$ 中，满足第二个不等式的点位于半平面 $L_4$ 中。我们将含有足够量的所有成分（热量、蛋白质、脂肪和碳水化合物）的饮食称为可接受的。因此，由$x$克小麦和$y$克豌豆组成的可接受的饮食将满足六个线性不等式系统

$$\begin{cases} x \geq 0, y \geq 0, \\ a_1 x + b_1 y \geq c_1, \\ a_2 x + b_2 y \geq c_2, \\ a_3 x + b_3 y \geq c_3, \\ a_4 x + b_4 y \geq c_4. \end{cases}$$

半平面点的容许比对应于右半平面、上半平面$L_1$、$L_2$、$L_3$、$L_4$的交点，即在图形内部或边界上（无限集-

4

图 3.

主权）$A$，分配给图3。

这个图描述了系统（2）中的每个不等式都存在的情况，即对于六个不等式中的每一个，其余五个不等式的系统都有一个不满足这个不等式的解。另一种可能的情况如图 4 所示。

在几何上，这意味着其中一条线（图 4 上的线 $l_4$）位于集合 $A$ 之外，并且在代数上，该系统 (2) 相当于排除了其中一个不等式的系统（在我们的例子中是最后一个不等式）。在下文中，为了不做特殊保留，我们假设发生图3中描述的情况。

如果平面上的一组点与点的任意两个属性一起完全包含连接这些点的线段，则称为凸点。在 图 5 上，$a$ 所选的非凸集是凸的，在 图 5 上，$b$ 所选的非凸集。

半平面是凸集，由于任意数量的凸集的交集也是凸集，所以集合$A$是凸集。

图 4.

现在我们将尝试从所有可接受的价格中选择最便宜的一个。假设 1 克小麦的成本为 $p$ 戈比，1 克豌豆的成本为 $q$ 戈比。那么，$x$克小麦和$y$克豌豆的饮食成本为$px+qy$戈比。因此，价格是$x$和$y$的线性函数，找到最便宜比率的任务是在满足不等式系统（2）的所有数字对$(x, y)$中找到该线性函数的值达到最小值的数字对。换句话说，您需要从集合$A$的点开始找到函数$px+qy$达到该函数在集合$A$的点处接受的所有值的最小值的那些点。

平面上的点集 $(x, y)$，其中表达式 $px+qy$ 等于某个数字 $k$ 是一个公理-

图 5, $a$.

图 5, $b$.

我的。对于不同的$k$，这些线是平行的。对于 $k$ 的负值和足够小的正值，这条线不会与集合 $A$ 相交，因此，不存在价值 $k$ 戈比的可接受配给。如果我们增加 $k$ 的值，例如从 $k=0$ 开始，则方程给出的直线

$$px + qy = k,$$

将向右混合（参见 图 6）。最后，对于$k=k_0$的某个值，线$px + qy=k_0$将第一次与集合$A$相交，“绊倒”它的一个顶点（图6上的点$M$）或立即在整条边上（如果线$px + qy=k$平行于线$l_1, l_2, l_3, l_4$之一，则可能会发生这种情况，是相同的，如果关系 $\frac{p}{q}$ 等于比率之一

$$\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \frac{a_4}{b_4};$$

进一步看，图8）。

如果平面上的凸集完全位于该线将平面划分成的半平面之一中，并且同时该集的至少一个点位于该线上，则 prinya 被称为平面上凸集的操纵子。因此，方程 $px + qy=k_0$ 定义了集合 $A$ 的操作线。

现在我们就分别来看一下上面提到的两种情况。首先假设关系 $\frac{p}{q}$ 不等于任何关系

$$\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \frac{a_4}{b_4}.$$

那么$M=(x_0, y_0)$点就是解决最便宜口粮问题的唯一方法。事实上，集合$A$的任何其他点都位于由不等式$px + qy \geq k_0$给出的半平面$K$内，因此对应于更昂贵的饮食。无限多边形$A$的线是坐标轴的射线和线段$l_1, l_2, l_3, l_4$。因此，在这些边的每一侧上，系统（2）的六个不等式之一变为等式，并且在多边形$A$的每个顶点处，系统（2）的两个不等式变为等式。在选择图 6 的情况下，点$M$ 位于线$l_1$ 和$l_3$ 的交点（参见图 3）；因此，

$$\begin{cases} a_1x_0 + b_1y_0 = c_1, \\ a_3x_0 + b_3y_0 = c_3, \end{cases}$$

在哪里

$$x_0 = \frac{b_1c_3 - b_3c_1}{a_3b_1 - a_1b_3}; \quad y_0 = \frac{c_1a_3 - a_1c_3}{a_3b_1 - a_1b_3}.$$

但此时剩下的四个不等式在严格意义上是满足的，即满足符号“大于”而不是“等于”。这意味着由$x_0$克溶液和$y_0$克豌豆组成的饮食含有最低所需量的蛋白质和脂肪，但蛋白质和碳水化合物过量（如果点$M$位于其他线的交点，则结论将相应改变）。

如果食品科学家确定鸡每天需要略多于$c_2$克的蛋白质或略多于$c_4$克的碳水化合物，那么我们发现的最便宜的饮食将满足这一新要求（事实上，这意味着直的$l_2$或$l_4$将稍微向右移动，但如果这种移动足够小，那么点$M$仍然是减少的顶点多边形$A$）。但是，如果您需要给鸡多于$c_3$

6

图 7.

每天克脂肪，那么最便宜饮食的问题必须重新解决，因为点$M$对应的饮食将不再被接受，并且最便宜的饮食变得昂贵（见图7，其中，在条件要求$a_3x+b_3y \geq c_3+\delta$下，最便宜的饮食对应于点$M'$，位于半平面$K$内）。

现在让我们考虑比率 $\frac{p}{q}$ 等于四个比率之一的情况，例如 $\frac{a_1}{b_1}$（参见 图 8）。

在本例中，线 $px+qy=k_0$ 与线 $l_1$ 重合。集合$A$的所有点，除了线段$M_1M_2$的点之外，都位于半平面$K$内部，因此线段$M_1M_2$的任意点对应的口粮是最便宜的可接受口粮。因此，在与最便宜口粮问题的解相对应的点中，总是存在多边形$A$的顶点。

一点理论

要找到解决方案，比较函数$px+qy$在所有顶点的值就足够了。如果这些值中有一个小于所有其他值，则对应的顶点是该问题的唯一解；如果两个顶点的值相等且小于其他顶点的值，则这些顶点必然相邻，连接这些顶点的边上的所有点都作为问题的解。

为了简洁起见，我们将调用

图 8.

直线与横坐标轴所成的锐角，即该直线的倾斜角。如果 dwir 沿着一组允许点的边界，从横坐标射线开始朝向纵坐标轴射线，则后续的每条边都位于一条直线上，且该直线的倾角比前一条倾角更大。这些角度的正切也会增加。直线$ax+by=c$($a>0, b>0$)的倾斜角$\alpha$的正切为$\frac{a}{b}$。 （如果$b=0$、$\alpha=\frac{\pi}{2}$，并且通常认为$\tg\alpha$等于无穷大。）

令参考线穿过容许点集合的顶点$M$，该线的倾斜角等于$\beta$，与顶点$M$相邻的边所在的直线的倾斜角等于$\alpha_1$和$\alpha_2$。那么角度 $\beta$ 大于其中一个角度且小于另一个（参见 图 9）。

7

因此，为了找到给定方向的参考线所经过的顶点，需要将给定方向上的线的倾斜角与允许点集的边所在的线的倾斜角进行比较，并选择倾斜角β位于其间的两个相邻边。这些边的交点将是所需的顶点。如果角度β与其中一侧的倾斜角一致，则所需的参考线与该侧所在的线重合。您可以不用比较斜角，而是比较它们的切线，这更方便，因为斜角的正切只是通过直线方程的系数来表示。

数值例子

1. 在线性不等式组 $2x+y \geq 10$、$x \geq 0, y \geq 0$、$x+y \geq 8$、$3x+7y \geq 42$、$x+5y \geq 20$ 的解中，找到线性函数 $4x+3y$ 达到最小值的解*)。

表1

| 直线方程 | 坐标轴上直线经过的点 | 直线倾斜角的正切 |
| :— | :— | :— |
| $y=0$ | $(0,4), (20,0)$ | $\frac{1}{5}$ |
| $x+5y=20$ | $(0,6), (14,0)$ | $\frac{3}{7}$ |
| $3x+7y=42$ | $(0,8), (8,0)$ | $\frac{1}{2}$ |
| $x+y=8$ | $(0,10), (5,0)$ | $\infty$ |
| $2x+y=10$ | $(0, \frac{3}{c}), (\frac{c}{4}, 0)$ | $\frac{4}{3}$ |

可行点集在 图 10 上描绘，其中

*) 本例的数值数据与鸡饲料问题中给出的值没有任何关系。

图 10.

显然，该集合的边是坐标轴的射线和所有四条直线的线段：$x+5y=20$，$3x+7y=42$，$x+y=8$，$2x+y=10$。

倾斜角$\frac{4}{3}$的支撑直线必须经过位于一对相邻边的交点处的顶点，其中一条边的倾斜角小于$\frac{4}{3}$，另一条边的倾斜角大于$\frac{4}{3}$。这样的一对由位于直线上的边形成

$x+y=8$ 和 $2x+y=10$,

倾斜角分别为 1 和 2。因此，所需顶点的坐标由系统确定

$$\begin{cases} x+y=8, \\ 2x+y=10, \end{cases}$$

从那里$x=2$，$y=6$。此时函数$4x+3y$的值为$4 \cdot 2 + 3 \cdot 6 = 26$，参考线由方程$4x+3y=26$确定。

为了进行比较，让我们计算函数 $4x+3y$ 在允许点集的所有其他顶点处的值（参见第 8 页的表 2）。

2. 在线性不等式组 $x \geq 0, y \geq 0, 3x+y \geq 15, 3x+4y \geq 36, x+2y \geq 12, 2x+8y \geq 32$ 的解中，找到函数 $3x+12y$ 达到最小值的解。

8

表2

直线方程，顶点位于坐标的交点
| 顶点坐标 | |
| :— | :— |
| $x$ | $y$ |
| $x = 0, 2x + y = 10$ | $0, 10$ |
| $2x + y = 10, x + y = 8$ | $2, 6$ |
| $x + y = 8, 3x + 7y = 42$ | $3, 5, 4, 5$ |
| $3x + 7y = 42, x + 5y = 20$ | $8, 75, 2, 25$ |
| $x + 5y = 20, y = 0$ | $20, 0$ |

顶点处的函数值$4x + 3y$
| $x$ | $y$ |
| :— | :— |
| $0$ | $10$ |
| $2$ | $6$ |
| $3,5$ | $4,5$ |
| $8,75$ | $2,25$ |
| $20$ | $0$ |

表3

直线方程
$y = 0$
$2x + 8y = 32$
$x + 2y = 12$
$3x + 4y = 36$
$3x + y = 15$
$x = 0$
$3x + 12y = c$

直线经过的坐标轴上的点
$(0, 4), (16, 0)$
$(0, 6), (12, 0)$
$(0, 9), (12, 0)$
$(0, 15), (5, 0)$
$(0, \frac{c}{12}), (\frac{c}{3}, 0)$

直线倾斜角的正切
$0 \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$3 \frac{\infty}{1/4}$

允许点的集合如图11所示，从中可以清楚地看出直线$x + 2y = 12$完全位于该集合之外。因此，该集合的边是坐标轴和线段的射线。

问题的解就是这条直线边上的所有点。该边的端点是位于线 $2x + 8y = 32$ 与相邻线 $y = 0$ 和 $3x + 4y = 36$ 的交点处的顶点（回想一下，我们排除了线 $x + 2y = 12$）。

因此，第一个顶点$M_1$的坐标$(x_1, y_1)$由方程组确定
$$\begin{cases} 2x_1 + 8y_1 = 32, \\ y_1 = 0, \end{cases}$$

9

图 12.

其中 $x_1=16, y_1=0$ 和第二个顶点 $M_2$ 的坐标 $(x_2, y_2)$ 由方程组确定

$$\begin{cases} 2x_2 + 8y_2 = 32, \\ 3x_2 + 4y_2 = 36, \end{cases}$$

从哪里$x_2=10, y_2=1,5$。

该问题的解是线段 $M_1M_2$ 上的所有点，换句话说，是 $(16\lambda + 10(1-\lambda), 1,5\cdot(1-\lambda)) = (10+6\lambda, 1,5-1,5\lambda)$ 形式的点，其中 $\lambda$ 是 0 到 1 之间的任意数字。线段 $M_1M_2$ 上所有点处的函数 $3x+12y$ 的值为 48。

练习 *)

1. 解决自行车问题。
2. 用图 12 中给出的数据解决“卡伯问题”。
3. 如果我们另外要求所有有理数不超过 s 克，那么最便宜配给问题中的可接受点集将如何变化？这样的限制会影响决策吗？
4. 证明平面上的任意凸多边形都可以表示为线性不等式组的多边形。
5. 让$\frac{p}{q} = \frac{a_1}{b_1}$（参见图3和8）。如果我们替换为系统（2），在这种情况下最便宜饮食问题的解决方案会如何变化

$$\begin{cases} a) c_1 на c_1 + \delta, \\ b) c_n на c_n + \delta; \end{cases}$$

δ 是一个很小的正数吗？

*) 这些练习的答案将在下一期中发布。

2、量子3号

石英毛

自然界中有一种石头，在俄罗斯被称为“毛石英”。这是一种用闪亮的金线制成的丰富石英晶体（参见封面上的图）。

普林尼将这些线称为“维纳斯的头发”，在东方，它们被称为“穆罕默德的头发”，而这块石头被认为是一种装订。目前，这些“毛发”，或现在所说的胡须，是在实验室条件下生长的。使用电子显微镜的研究表明，“维纳斯的头发”只不过是非常细长的氧化钛$(\text{TiO}_2 - \text{рубин})$晶体，它们是矩形横截面的管子，壁厚为1-2微米（见图）。

晶须具有许多非常有趣的特性，其中之一是高强度，使得基于它们创造新的所谓复合材料成为可能。

M·A·戈洛索娃

10

本文介绍了一种可以简化电路计算中的复杂问题的方法。

“链式转换”是什么意思？假设我们有一个复杂的电阻电路，有许多引脚和与源的连接。让我们用另一个具有相同端子数量的电路替换该电路，以使新电路的任意两个端子之间的电阻与旧电路的电阻相同。很明显，消息来源“不会知道任何有关此替换的信息”，并且电路消耗的点数将保持不变。但找到这些点可能会更容易。

因此，如果我们要对复杂电路中的电流进行计数，可以用更简单的等效电路来代替。在这种情况下，被更换部件内的电流会发生变化。因此，我们只能对我们不直接感兴趣的方案部分进行此操作。

您已经遇到过类似的替换。

例如，在电路中，两个电阻$r_1$和$r_2$串联，我们可以用一个电阻代替它们，其值等于$r_1 + r_2$之和。如果两个电阻并联，也可以换成一个，其值为$R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$

这些是电路转换的最简单的例子。我们将专注于更复杂的方案。

让我们看看具有三个端子的电路如何相互转换 - “星形”(图 1, a) 和“三角形”(图 1, b)。

稍微不寻常的名称（图1，b）非常方便，索引显示电阻在哪些点之间连接。例如，电阻$R_{13}$连接在点1和点3之间等。

如果我们想用另一个电路替换其中一个电路，我们需要获得 $r$ 和 $R$ 之间的对应关系，使得两个电路中任意点之间的电阻都相同。

在“星形”电路中 (图 1, a) 电阻

12

图 4.

“三角”ACD“星”如图 4。

现在很明显，A 点和 B 点之间的电阻将等于
$$\frac{1}{3} + \frac{28}{33} = \frac{13}{11} \text{ ома}.$$

我们用“星形”替换了“三角形”ACD，但可以用不同的方式解决问题——用“三角形”替换“星形”ADB。

现在让电池具有可忽略不计的小内阻和电磁场。连接到A点和B点。 E=1英寸。我们需要找到通过CB截面的电流。

必须对电路进行改造，使我们感兴趣的电阻CB不受影响。我们之前所做的转换 (图 4) 就可以了。

使用$R_{AB} = \frac{13}{11} \text{ ома}$我们得到$I = \frac{E}{R_{AB}} = \frac{11}{13} a$。分支后，点按与分支电阻成反比的比例相加：

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{7}{4}.$$

同时$I_1 + I_2 = I$。 （I为分支前电流，$I_1$为上分支电流，$I_2$为下分支电流）。

从这里

$$I_1 = \frac{7}{13} a$$

找到流过CD部分的电流会有点困难。为此，我们仍然需要找到电流，

13

图 6.

电位器。此外，电阻$5r+R_1$和$7r+R_2$之和保持不变。让我们看看它们应该是多少才能使总电阻最大。我们用$r_1$表示$5r+R_1$，用$r_2$表示$7r+R_2$。那么电路并联部分的总电阻为$r_0 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$。如果我们考虑到$r_1+r_2 = const = c$，那么阻力$r_0$将表示为：$\frac{r_1 (c-r_1)}{c}$。当滑块数量最大时，该表达式最大。但 $y = (cr_1-r_1^2)$ 是抛物线方程 (图 7)，其分支与 x 轴相交于点 $O$ 和 $c$。因此，数值分数在 $r_1 = \frac{c}{2}$ 处最大。从$r_1+r_2 = c$开始，这意味着点$A$和$B$之间的阻力在$r_1=r_2$时最大，即$5r+R_1=7r+R_2$或$R_1-R_2=2r$。

显然，只有整个电位器$R=R_1+R_2$的电阻不小于$2r$才有可能。否则，当电位器滑块处于极限位置时，$A$ 和 $B$ 之间的电阻达到最大。

所以答案是：$R \leq 2r$。

我们所描述的方法对于将复杂的图顺序转换为简单的形式非常方便。它允许您计算几乎任何由阻力组成的复杂目标。

该方法不仅适用于包含电阻的电路。

请注意，我们没有讨论电路中的物理过程，而仅使用了欧姆定律的形式表达式：$U=r \cdot I$。由此可见，串联时，它们的值相加，并联时，电阻$\left(\frac{1}{r_{06\pi}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)$的倒数值相加。显然，如果任何其他物理量都通过类似于欧姆定律的定律相关，那么我们所有的结论都对它们有效。

例如，考虑一个带有电容器 (图 8) 的电路。我们知道$Q=C \cdot U$，或$U = \frac{1}{C} Q$。

14

图 9.

让我们将其与欧姆定律 $U=r \cdot I$ 的表达式进行比较。

可见正性定律，只有在一起才有电荷，和电阻一起才有数量，反电容。这意味着，为了找到电容器上的电荷，您可以这样做。不要使用包含电容器的电路，而是绘制包含电阻的目标，并用电阻 $r = \frac{1}{x} \text{ om}$ 替换电容为 $x$ 法拉的电容器。计算出电阻电路中的电流后，我们可以立即写出电容器上的电荷：如果 $I=y$ 阿默斯的电流流过电阻，则相应的电容器将具有 $Q=y$ 库仑的电荷。

电动势在此转变过程中，电池保持不变。但是，当然，在具有电容器的电路中，电池的内阻不会影响结果。因此，目标发生变化，我们将不得不消除电池的内阻。

例如，您需要计算容量为 $10 \text{ мкф}$ (图 9) 的电容器上的电荷。至电容器

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你喜欢他妈的吗？
有整数吗？

M·I·巴什马科夫

几名小学生被要求回答以下问题：
判断等式 $3^{100} + 7^{100} = 8^{100}$ 是真还是假。
几分钟后，他们都回答说这个方程是错误的。
以下是最典型的义务。

1. 让我们看看左右数字的最后一位。 3的平方是9，3的立方是7，4次方是1，5次方是3，6次方是9，等等。四次方之后，最后一位数字重复，所以数字$3^{100}$的最后一位数字与$3^4$相同，即1。同理，很容易假设$7^{100}$的最后一位数字也是1， $8^{100}$是6。所以，这个数字的最后一位是2，右边的最后一位是6。所以，左边和右边的数字是不同的。

2. $3 + 7$大于8。但$3^2 + 7^2 = 58$小于$8^2 = 64$。接下来，$3^{100} + 7^{100} = (3^2)^{50} + (7^2)^{50} < (3^2 + 7^2)^{50} = 58^{50} < 64^{50} = 8^{100}$。我们发现左边的数字比右边的少。

3. 左边的数字可以被 2 整除，但不能被 4 整除。事实上，任何奇数的平方除以 4 时得到的余数为 1：$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$。两个这样的数$(3^{50})^2 + (7^{50})^2$相加余数为2。右边是一个能被4整除的数。

所提供的证据是否相似？很容易注意到第一个和第三个证明的相似之处：在这两个证明中，都比较除以某个整数的余数，其中一个是除以 10（最后一位数字），另一个是除以 4。但是在这个证明和第二个证明之间找到类比并不是那么容易。我们将在本文末尾尝试计算它。现在，让我们学习如何将第一种推理方法应用于其他一些问题。

“模”计算

问题a 1.证明方程$x^3 = 2 + 3 y^2$无整数解。

让我们考虑这个方程“模 9”，即，直到项是除法的倍数 *)。由于每个整数$x$的形式为$3n$、$3n - 1$或$3n + 1$，其中$n$是整数，$a(3n \pm 1)^3 = 27n^3 \pm 27n^2 + 9n \pm 1 = 9k \pm 1$，其中$k$是整数，因此任何数字的立方要么能被9整除，要么被9除后余数为1或8。

*) 一般而言，如果差值 $a - b$ 能被 $k$ 整除，则两个整数 $a$ 和 $b$ 被认为可对模 $k$ 进行比较。对于不熟悉这个概念的人，我们建议您看一下 A. A. Egorov 的文章“余数的算术”，«Kvant» No. 5，1970。

同样，从$3(3n \pm 1)^2 = 27n^2 \pm 18n + 3$开始，

$3y^2$ 除以 9 时余数为 0 或 3。因此，我们的等式模 9 的右侧只能等于 2 或 5，左侧只能等于 0、1 或 8，因此无论出于何种目的，它们都不能重合。模计算本身很容易完成。让我们制定这些计算的基本规则：如果在加（或乘）时，我们将与它们相当的数字替换为

16

模 $k$，然​​后我们得到一个与模 $k$ 的和（或乘积）相当的数。换句话说，在加法和乘法运算起作用的等式中，只要在答案中我们只对除以$k$的余数感兴趣，我们就可以用与它们相当的模$k$来替换数字。

$a$ 和 $b$ 与$k$ 的模相当，可写为：$a \equiv b \pmod{k}$。比较运算的规则可以写成如下：

$$\text{если } \begin{cases} a \equiv b \pmod{k}, \\ c \equiv d \pmod{k}, \end{cases}$$

$$\text{то } \begin{cases} a + c \equiv b + d \pmod{k}, \\ ac \equiv bd \pmod{k}. \end{cases}$$

回想一下，根据定义，$a \equiv b \pmod{k}$ 意味着 $a - b = k \cdot q^*$。

会从事这样一个相当人为的任务。

任务 2. 证明对于任何整数 $x$ 都不可能存在相等 $1153^{60} + 211^{60} = 27027 \cdot 100^x + 2$。

显然，如果对于某些模数我们没有获得相等，那么它就不能在一般意义上存在。模 2 不存在矛盾 - 右边有偶数（零模 2）。将在模块 3 上工作。$1153 \equiv 1 \pmod{3} = 1153^{60} \equiv 1 \pmod{3}$; $211 \equiv 1 \pmod{3} = 211^{60} \equiv 1 \pmod{3}$。右边是$27027 \equiv 0 \pmod{3}$。因此，整个右边的余数为 2。同样，我们没有得到矛盾。如果您有足够的耐心，请确保对 16 以内的所有数字取模，所写的等式都是正确的。 （您会注意到 $27027 \cdot 100^x, x \geq 2$ 除以这些数字中的每一个，余数为 2。）

*) 小心除法比较。如果$ac \equiv bc \pmod{k}$，则$a \equiv b \pmod{k}$不一定成立。例如，$27 \equiv 3 \pmod{6}$ 但$9 \neq 1 \pmod{6}$。然而，如果$c$与模$k$互质，则可以通过$c$取消。这是这样一个温和且不简单可证明的事实的结果：如果$c$与$k$互质，则存在一个数$x$使得$cx \equiv 1 \pmod{k}$。

如果你是一致的，那么模 17 你会得到以下等式：$(-3)(-2)^x + 2 \equiv 0 \pmod{17}$。通过连续遍历 $x$ 的值（这里的循环长度为 8），你永远不会得到所需的相等性。就会发现矛盾。

完成的计算将立即引发许多问题：

(1) 如果等式为假，可以通过任何模来检测吗？

(2) 是否有可能以某种方式指出那些更有可能获得矛盾的模块？

(3) 不同模块之间的平等行为是否相关？

如果我们谈论一些特定的数值等式（就像我们第一个例子中的情况一样），那么，当然，总会有一个在模数上可比的数字与我们发现矛盾（例如，我们可以取一个大于等式公共部分的数字）。有变量的等式更有趣（最后两个例子就是这种情况）。对于整数方程，提出的三个问题都很有趣，但并不总是得到充分探讨。

有点未经证实

第一个给求解带来严重困难的整数方程是二次方程*。数学家长期以来对此类问题感兴趣：给定的数字能否表示为两个平方和？事实证明，由二阶多项式给出的 $x^2 + y^2 = a$ 形式的方程和其他更一般的方程的可解性，是检查比较可解性的证据（正

*) 线性整数方程的理论非常简单。同时，它包含许多接近基本的有趣任务，值得单独统计。

18

研究有关客观数字的问题：提出这些问题“模$p$”，然后从所有$p$的行为中得出一般结论。这种奇怪的方法被称为“闵可夫斯基-哈斯原理”。它已经并继续存在一些问题，它给出了结果：当且仅当一个问题可以用任何模数解时，它才有一个数字解。更令人失望的是发现这一原则不起作用的例子。这种类型的第一个例子（但不是按时间顺序排列的第一个）是挪​​威数学家塞尔默发现的一个例子。事实证明，方程 $3x^3+4y^3+5z^3=0$ 在任何模数（当然，在实数）中都是可解的，但在数字（零除外）中是不可解的。这个例子是过去 15 年来对丢番图方程（即数值方程）的大量研究的起点。只能说，在这段时间里，不清楚的问题和假设的数量大大增加，而实际发生的事情的真正根源还没有弄清楚。

有理数之间的距离

数论最重要的现代发展是对“模计算”的新理解。为了简单起见，让我们从整数转向有理数。 （这种转变通常是轻松完成的 - 例如，方程 $x^n+y^n=z^n$ 的数字解与方程 $x^n+y^n=1$ 的有理数解非常密切相关。）显然，如果我们想求解有理数方程，我们必须找出它是否可以用实数求解。这种可解性更容易检查：您可以提取各种根，取对数，写出不等式等。

但让我们记住我们是如何从有理数得到实数的？其中一种观点是：我们可以考虑有理数序列，其相邻项之间的距离无限减小。例如，1； 1.4； 1.41； 1.4142； …这样的序列（可以想象为具有与年龄相关的精度的变化序列）确定了一个实数。序列中相邻成员之间的偏差如何变化？如果序列写成这样：$a_1; a_2; a_3; ...$，那么项之间的距离写成$|a_m-a_n|$。因此，从有理数获得实数的基础是距离，定义为差的绝对值。我们将两个数字之间的距离表示如下：$d(a, b) = |b-a|$。尝试显示以下距离属性*：

1. $d(a, b) \geq 0$，与$d(a, b) = 0 \Rightarrow a=b$；
2. $d(a, b) = d(b, a)$;
3. $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$（三角不等式）；
4. $d(a+c, b+c) = d(a, b)$;
5. $d(ab, 0) = d(a, 0) \cdot d(b, 0)$.

事实证明，除了一般的绝对值之外，有理数还有许多其他具有 1-5 属性的距离。让我们固定一个任意素数$p$。任何有理数$a$（除了零）都可以表示为$a=p^v \cdot r$，其中$v=v(a)$是整数，有理数$r=r(a)$写成

*) 这些属性中的前三个是满足平面上和空间中的一般距离的主要属性；这些是任何“度量”都必须满足的公理（参见 N.B. Vasiliev 的文章“度量空间”，«Kvant» No. 10, 1970）。实距离的第四和第五个性质与数字的加法和乘法运算。满足它们的度量称为域度量（例如，$d(b, a) = |b-a|$是实数域的度量）。

19

以不可约分数的形式，$p$既不包含在分子也不包含在分母中。 （请注意，$v(a)$可以是零或负整数。例如，如果$p=3$、$a=\frac{73}{324}=3^{-4}\cdot\frac{73}{4}$，则$v(a)=-4$。）现在取任意正数$\lambda<1$。让我们将距离 $d_p$ 定义如下：$d_p(a,b)=\lambda v(a-b)$，如果$a\neq b$，则$d_p(a,a)=0$。很容易检查（自己尝试）是否满足所有距离属性。

既然有新的距离，我们可以尝试通过构造有理数序列$a_1, a_2, \ldots$来获得新的数，从而使相邻数之间的距离减小。这意味着随着$n$的增加，$\lambda v(a_{n+1}-a_n)$应该变得越来越小并趋于零，然后$v(a_{n+1}-a_n)$应该增加。

结果，我们得到了新的数字，称为 $p$-adic $^*$。它们与真实的非常相似。就像实数一样，当可以对 $p$ 进数求根、对数和执行其他运算时，就可以探索问题。根据给定素数的幂模型方程的可解性问题将被其在 $p$-adic 数中的可解性问题所取代。

问题是我们是否已经找到了有理数之间的所有距离。事实证明是的。有奥斯特洛夫斯基分母定理（你可以在上面引用的数论书籍中找到它），它表明所有距离都可以通过一个公共绝对值和我们为每个素数$p$引入的$p$进距离穷尽。

一方面，我们已经均衡了基于单个素数及其幂模型的方程的行为，以及它在普通实数中的行为

$^*)$ 很容易证明$\lambda$的选择不会影响$p$进数的容错性和性质。如果愿意的话，我们可以在任何地方假设 $\lambda=\frac{1}{2}$ 或 $\lambda=\frac{1}{p}$。

数字 - 另一方面。在这两种情况下，数字都是根据彼此之间的距离进行比较，但这些距离的选择不同。 （然后我们就会看到我们文章开头的问题的第二个和第三个解决方案是如何相似的。）

对这一事实的理解极大地丰富了数论，再次将强大的函数论和几何方法带入其中，这些方法以前是为一般实数开发的，但成功地用于$p$进数，使这个和成为现代数学最繁荣的古老分支之一。）

练习

1. 证明方程 a) $x^2+y^2=1971$, b) $19x^3-17y^3=50$, b) $3x^2-y^2=5^z$, r) $x^3+y^3+7z=3$ 均无整数解。

2. 证明从数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 不可能组成两个不同的七位数字，其中一个可以被另一个整除。 （每个数字中必须使用所有数字。）

3. 证明十进制数由三十个一、一些零和一些九组成的数字不是完全平方数。

4. 求数字之间的 5-adic 距离（即距离 $d_5$）：a) 0 和 $\frac{2}{5}$； b) $1\frac{31}{45}$ 和$6\frac{2}{15}$； b) 6 和 631。

5. 证明对于 3 进数，等式成立

$$1+3+9+27+\ldots=-\frac{1}{2}$$

（换句话说，一系列距离

$$\alpha_n=d_3\left(1+3+\ldots+3^n,-\frac{1}{2}\right)$$

趋于零）。

$1+3^2+3^4+3^6+\ldots$的和是多少？

21

板在圆形滚轮上移动。同时，它保持水平位置并保持相同的高度。为什么会发生这种情况？是的，因为无论怎样旋转，圆的宽度都是相同的。

如果使用非圆形滚轮，坞站也会以同样的方式移动吗？乍一看，这似乎是不可能的。不过，我们不要着急。事实证明，存在一些曲线，就像圆一样，在所有方向上都具有相同的宽度。它们被称为相同宽度的线。

这种最简单的曲线之一如图 1所示。它由两个半径为$r$的$A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$和两个半径为$R$的$B_1A_3, B_3A_2, B_2A_1$组成，其中心位于正三角形$O_1O_2O_3$的顶点。容易看出，这条曲线的宽度在各个方向上都是相同的，等于$R+r$。因此，轮廓沿着此类曲线连续的滚子的工作效果并不比圆形滚子差 (图 2)。

图1处所示的曲线可以如下获得。让我们将线段 $A_1B_3$ 绕点 $O_1$ 旋转 $60^\circ$ 并将其移动到位置 $B_1A_2$。然后，将线段$B_1A_2$绕点$O_2$旋转$60^\circ$，得到线段$A_3B_2$，最后将线段$A_3B_2$绕点$O_3$旋转$60^\circ$，又得到线段$A_1B_3$。在这些转弯的过程中，考虑线段的一端，弧 $A_1B_1A_3B_3$，另一端 - 弧 $B_3A_2B_2A_1$。因此，图1所示的曲线可以被认为是由某些端点描述的轨迹

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图 3.

所有这些曲线的宽度均已构造，并且等于旋转线段的长度。您可以围绕线段的一端旋转线段。这样我们就得到了最简单的等宽曲线，不同于圆（图 4）。在这种情况下，线段$AB$首先绕点$A$旋转，移动到位置$AB'$，然后绕点$B'$，进入线段$B'B$，最后绕点$B$，闭合曲线。

现在让我们考虑非演员部分$AB$。让它滚动而不沿着SS曲线滑动。然后在每个

图 4.

在单独的时刻，这种运动可以被认为是线段相对于接触点的旋转。当前旋转所围绕的切点称为瞬时旋转中心（例如，图 5 上的点$C$）。

瞬时旋转中心的思想可以很容易地计算线段$AB$上各个点的速度。例如，对于点 $A$ 和 $B$ 的速度，我们有

$$v_A = \omega \cdot CA,$$
$$v_B = \omega \cdot CB,$$

其中$\omega$是线段$AB$绕中心$C$“瞬时”旋转的角速度。在这种情况下，所考虑的点的速度将垂直于相应的旋转半径，即线段$CA$和$CB$。这样，您就可以计算出位于该线段上或与该线段刚性连接的任意点的速度。例如，如果一个非演员人物刚性连接到线段$AB$，则任意点$P$的速度等于乘积$\omega \cdot CP$。

现在让我们回到构造的宽度曲线。让线段$AB$沿着曲线SS滚动。由于速度 $v_A$ 和 $v_B$ 垂直于半径 $CA$ 和 $CB$，因此它们彼此平行。但速度$v_A$是有方向性的

23

图 6.

直线与点$A$的轨迹相切，速度$v_B$与点$B$的轨迹相切。因此，这些切线彼此平行，并且它们之间的距离始终等于 $AB$。但这意味着轨迹 $A_1A_2$ 和 $B_1B_2$ 可以被视为常数 cyrin 的某些曲线的一部分。

然而，我们需要构建的不是两个部分，而是这条曲线。如果我们想使用所描述的操作来做到这一点，我们必须选择线$SS$，以便通过绘制它，线段$AB$旋转到$180^\circ$，也就是说，使点$A$到达位置$B$，点$B$到达位置$A$。然而，此类行中的$PQRP$ - 显示在图 6 上。让我们更详细地追踪$AB$ 段如何描述它。

首先它沿着区域$PQ$滚动并到达位置$A'B'$。此外，它的末端描述了弧$AA'$和$BB'$。然后它沿着截面$QR$滚动，其末端描绘出弧线$A'A''$和$B'B''$。最后，它标记了部分$RP$，其末端沿着圆弧$A''B$和$B''A$移动。结果，点$A$到达位置$B$，点$B$到达位置$A$，构造的cirina曲线闭合。在这种情况下，弧$PQ$，$QR$

和 $RP$ 可以具有任何形状，并且不必相同。对它们唯一的要求是它们是凸的并且相互接触，如图所示。至于线段$AP$和$PB$，它们的长度不能是任意的，否则点$A$所描述的弧将不会“加入”点$B$所描述的弧。在这里您可以按如下方式构建。让我们通过点 $P$ 画一条与圆弧 $PQ$ 相切的直线，并将点 $A$ 放置在其上。现在让我们迫使这条直线到达线 $PQRP$。然后，将覆盖点 $A$ 的圆弧末端确定点 $B$ 的位置。

线$PQRP$（如图 6 所示）由三个圆弧组成。但弧的数量可能会更多。例如，在 图 7 上显示了构造的 tsirina 曲线，该曲线是通过绘制由弧尾组成的线 $PQRSTP$ 获得的。

构造出的 cirina 曲线还有一项特性使它们与圆形相似。它们由以下定理表示：

构造的 cirina 曲线的周长为 $l=\pi D$，其中 $D$ 是该曲线的宽度。

我们来证明一下这个定理。

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图 8.

使用恒定宽度 (图 8) 的滚轮移动水平直线$PQ$。远处是这些溜冰场之一，例如左边的那个。设其宽度为$D$，周长为$l$。当直线 $PQ$ 移动太多，使滚轮转一圈时，它相对于直线 $MN$ 向右移动距离 $l$。但由于它不仅沿着直线$MN$滚动，而且还沿着直线$PQ$滚动，那么转一圈后，它就会相对于直线$PQ$向左折叠距离$l$。因此，直线$PQ$相对于直线$MN$的位移将等于$2l$。

但由于同样的混合等于$vt$，其中$t$是滚筒转一圈的时间，那么

$$2l = vt. \tag{1}$$

（我们假设直线$PQ$匀速运动。）滚轮的瞬时旋转中心在$A$点，即运动速度

$$v = \omega \cdot AB = \omega D,$$

其中$\omega$是滚子的角速度。将这个表达式代入等式(1)，我们得到

$$2l = \omega Dt. \tag{2}$$

但$\omega t$是滚筒每转一圈的旋转角度。因此，

$$\omega t = 2\pi,$$

等式 (2) 的形式为

$$2l = 2\pi D,$$

在哪里

$$l = \pi D.$$

因此，等宽曲线的周长的计算方式与圆的周长相同。等宽曲线围成的面积是多少？可以和圆的面积一样计算吗？事实证明并非如此。然而，恒定宽度的肩胛骨面积可以计算为两个同心圆之间的肩胛骨面积。更准确地说，这意味着以下内容。

考虑一条恒定宽度的曲线 (图 9)。通过任意点$C$，我们在其上绘制一条法线（通常称为垂直于切线的直线），并沿其绘制给定长度$d$的线段$CC'$。通过从给定曲线的每个点留出这样的线段，我们获得一条新曲线，它是延迟线段末端的几何轨迹。显然，它也将具有恒定的宽度。如果我们现在用 $S$ 表示这些曲线之间封闭的面积，那么等式将为真

$$S = \frac{\pi D_2^2}{4} - \frac{\pi D_1^2}{4},$$

其中 $D_1$ 是内曲线的宽度，$D_2$ 是外曲线的宽度。

尝试自己证明一下。

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半正确

L.M. Lopovok 多边形

根据定义，如果凸多边形是等角且等边的，则该凸多边形称为正多边形。然而，有一类有趣的人物并不同时具备这两种属性。我们将调用半右多边形和以下多边形：

a) 等角的，其中边相等；
b) 等边，其中角度相等。

第一种半直多边形的示例是矩形，第二种半直多边形的示例是菱形。从半直多边形的描述可以清楚地看出，每个多边形都有偶数个顶点；让我们用$2n$来表示它。

半直角等角多边形的性质

1. 等角多边形的对边互相平行。

事实上，当遍历多边形时，我们将每条边相对于前一条边旋转一个外角，即$\frac{180^\circ}{n}$（图1）。因此，边$A_{n+1}A_{n+2}$相对于边$A_1A_2$旋转了$n$外角，即$180^\circ$。

2. 如果将半直角等角多边形的顶点通过一个（全部为奇数或全部偶数顶点）连接，您将得到一个正多边形（图1）。

证明并不困难：根据第一个标准，三角形$A_1A_2A_3$，$A_3A_4A_5$，$A_5A_6A_7$，…相等，这意味着$A_1A_3=A_3A_5=\dots$。另一方面，根据三角形相等，可以得出它们对应的角也相等。让我们用 $\alpha_{2n}$ 表示相等 $2n$ 边形的内角。我们找到最佳多边形的内角：它们相等

$$\alpha_{2n} - (\beta + \gamma) = \alpha_{2n} - (180^\circ - \alpha_{2n}) =$$

$$= 2\alpha_{2n} - 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) -$$

$$- 180^\circ = 180^\circ \left( 1 - \frac{2}{n} \right),$$

图 1.

4. 量子3号

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就像常规的 $n$ 边形一样。

3. 圆可以围绕半正等角多边形来描述。

让我们围绕规则 $n$ 边形 $A_1A_3A_5\dots$ (图 2) 描述一个圆。等角$2n$边形的内角是$180^\circ \left(1 - \frac{1}{n}\right)$。容易计算出$\Rightarrow A_1A_2A_3$是弧$A_3A_5A_1$度数的一半，这意味着$A_2$点位于所构造的圆上。这也适用于其他顶点：$A_4$、$A_6$、…

性质3基于两种构造半正等角多边形的方法。

a) 构造一个正则$n$边形$A_1A_3A_5\dots A_{2n-1}$并在其周围画一个圆。然后我们（使用指南针）在圆上找到点 $A_2$、$A_4$、$A_6$、…、$A_{2n}$，它们与 $n$ 边形的对应顶点的距离相同：$A_1A_2=A_3A_4=..$

b) 我们使用两条边（任意长度）和它们之间的已知角度构造一个三角形 $A_1A_2A_3$，并围绕该三角形描述一个圆。然后，在知道所有边的尺寸的情况下，我们使用圆规的凹口依次找到剩余的顶点。

4. 如果半正等角多边形的顶点数是4的倍数，则有多条对角线相交于一点并将其一分为二。

证明用途 2：这些对角线也是边长为 4 的正多边形的对角线，因此它们相交于一点（多边形外接圆的中心），并被该点一分为二。

如果半正等角多边形的顶点数不是4的倍数，那么构造一个例子（图3）并不困难，当更多的对角线在几个点相交时。

5. 半正等角$4n$边外接圆的中心是其对称中心。

从性质 4 可以得出，由于相对于圆中心对称，多边形的顶点变换为顶点；因此，各方也改变立场。

6. 通过半正等角多边形两条平行边中点的直线是其对称轴。

根据圆的平行弦性质，这条直线穿过外接圆的圆心。由直线两侧对应弦相等，对应顶点的对称性如下

27

相对于绘制线的多边形（进一步参见 图 6）。

7. 设一个半正等角多边形有2n个顶点，则其外接圆的圆心为其n阶对称中心。

这意味着，当围绕圆心旋转 $\frac{360^\circ}{n}$ 倍数的角度时，多边形会与自身对齐。这是从属性 2 和 3 得出的。

8. 构造半正等角多边形的内点到边（或其延长线）的距离之和。

众所周知，半正多边形具有这种性质。

如果将等边形的内点与顶点连接起来，则所得三角形的面积之和等于多边形的面积。用 $a$ 表示多边形的边，到边的距离为 $x_0, x_1, x_2, x_3, \dots$，我们得到

$$S = \frac{ax_0}{2} + \frac{ax_1}{2} + \frac{ax_2}{2} + \frac{ax_3}{2} + \dots;$$

$$x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + \dots = \frac{2S}{a} = \text{const.}$$

令给定多边形中的边 $A_1A_2$ 大于边 $A_2A_3$。让我们在 $A_1A_2$ 上构造一个正则 2n 边形 (图 4)。那么原多边形的所有边（除了三个）分别与正多边形的边平行，并且三个（$A_1A_2$，有趣的是）位于正多边形的边上。因此，从内部点$M$到正确多边形边的距离为：

$$x_0 = y_0, \ x_1 = y_1, \ x_2 = y_2, \ x_3 = y_3 + b_1,$$

$$x_4 = y_4 + b_2, \ x_5 = y_5 + b_3, \dots,$$

其中 $b_1, b_2, b_3$ 是常数，所需的总和

$$y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + \dots = (x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots) - (b_1 + b_2 + \dots) = \text{const.}$$

9. 如果将等角等边多边形的边串联起来，就会得到半正等边多边形。

事实上，根据性质 2，半正等角多边形的所有小对角线都彼此相等。等边形 (图 5) 的边长是这些对角线大小的一半，因为它是线性三角形 $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_5, \dots$ 的平均值。利用属性7，安装方便