Рассмотрим бесконечную десятичную дробь...

2

---

running_head:
folio:

Рассмотрим бесконечную
десятическую дробь…

С. Г. Гиндикин

4,92617231248,9
7,16214301695743,0
1,7

2

3

Никто не обнимет необъятного.
Иные настоящую утверждают, что жизнь каждого записана в книге Бытия.

Козьма Прутков

«Вещетвенные числа называются бесконечные десятичные дроби»*. Дав такое определение, мы начинаем время от времени произносить фразу, стояшую в заглавии статы. А что она означает? Не противоречим ли мы, намерваясь рассмотреть бесконечную десятиную дробь, житейской мудрости Козьмы Пруткова или аналогичному высказыванию великого французского математика А. Пуанкаре, фигурирующим в качестве эпиграфов к статуе? Конечную десятиную дробь можно «расмотреть», например, написав ее на доске и посмотрев на написанное. В случае же бесконечной дроби мы, разумется, лишены такой возможности. Этому в разной степени претаетсяют ограниченность размеров классной доски, человекажизни, нашей Галактики и т. д. Оdnako договоримся, что в этой статуе мы будем ориентироваться на мифическое великана, которое все эти ограничения нипочем и любые конечные рассмотреня под силу.

С другой стороны, нетрудно понять, что бесконечность десятичной дроби еще не обязательно ознакомлена «необъятность». Так, при изучении рациональных чисел иногда используется их представление в виде бесконечных периодических десятичных дробей, а для задания последних достаточно указать конечное число десятичных знаков, предшествующих периоду, и сам период (то же конечное число цифр). В результате можно рассматривать такие дроби, не вступая в противоречие с нашей «конечностью». Арфметическая и геометрическая прогрессия (beсконечные последовательности!) определяются по двум числам (первый член и разность или значенатель). Вы наверняка знаете и другие примеры_beсконечных последовательностей, задание которых требует лишь конечной информации (например, формулы общего члена). Все это наводит на мысль, что криминальное с точки зрения Козьмы Пруткова fraзы, приведенной в заглавии, не столбь безусловна, а поэтому требует более тщательного исследования, к которой мы и переходим.

Итак, мы знаем, что существуют_beсконечные десятичные дроби, допускающие конечное описание. Договоримся называть_beсконечную десятиную дробь «объятной», если существует ее «словесный портрет» — конечных размеров описание на русском языке, ее однозначно заданное (т. е. этом описанию удовлетворяет только одна дробь). Если «словесного портрета» дроби не существует, то дробь называется «необъятной». Наша цель — доказать существование «необъятных» дробей.

4

Ограничимся лишь добями, заключенными между 0 и 1, то есть выражениями вида

$$0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots,$$

(1) где $\alpha_k$, $1 \leq k < \infty$, — какие-то цифры 0, 1, …, 8, 9. В теории вещественных чисел достаточно много хлопот тот факт, что всякая добьь с «хвостом» из девяток (все знаки, начиная с некоторого места, равны 9) равна некоторой добьи с «хвостом» из нулей (например, 0,099… = 0,100…). Чтобы их избежать, не будем рассматривать добьи, в записи которых встречается девятка. Итак, мы будем рассматривать добьи вида (1), то есть последовательности цифры $0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots$, где $\alpha_k$ могут быть равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8*). Мы должны, что даже среди таких добей есть «необъятные».

Как можно это доказать?

Рассмотрим вначале аналогичную ситуацию, относительнося, правда, к конечным множеством (для лучшего понимания опшем ее в шутливой форме). Директор кинотеатра стало известно, что на сеансе присутствовало это зрителей, а касса продавца девяносто билетов. Вы, верятно, не удивитесь, что из сопоставления этих двух фактов он сделал вывод, что в зале находились безбилетники. Он просто заметил, что зрителей больше, чем билетов, и на всех зрителей билетов хватить не могло. Обратите внимание, что это рассужждение дает возможность лишь доказать существование безбилетного зрителя, а вывелиление конкретного «зайца» требует дополнительных исследований (например, проверки билетов при выходе).

Всемидействых годах прошло века Г. Кантор **) придумал замечательный способ проводить аналогичные рассужждения для безбилетного века Г. Кантор **) придумал замечательный способ проводить аналогичные рассужждения для безбилетного века Г. Кантор (1845—1918) — создатель теории безбилетных множества.

*) Проницаемый читатель безусловно обратит внимание при чтении дальнейшего текста, что все рассмотрения были бы только же содержательны, если бы мы ограничили только двумя цифрами, например 0 и 1.

**) Г. Кантор (1845—1918) — создатель теории безбилетных множества.

5

Пример.
№ Занумерованные дроби β = 0,

1. 0, $\frac{1}{2}$ 2 3 4 5 6 7 8 0 1…
2. 0, $\frac{1}{3}$ 6 1 4 5 3 2 1 4…
3. 0, 1 $\frac{2}{3}$ 4 5 3 1 7 8 2…
4. 0, 0 1 $\frac{4}{3}$ 7 2 7 8 0 1…
5. 0, 4 2 3 $\frac{1}{2}$ 1 4 5 6 0…
6. 0, 5 6 7 2 $\frac{4}{5}$ 8 0 1 2…
7. 0, 2 4 3 5 6 7 $\frac{8}{10}$ 0 2 4…
8. 0, 7 5 4 6 2 1 $\frac{2}{10}$ 0 1 2…
9. 0, 8 0 8 0 1 0 2 $\frac{2}{20}$ 2…

β = 0,253736013…

Задача 1. Доказать, что построенная дробь β не входит в исходную последовательность.

Итак, второй факт доказан, перейдем к первому.

Сначала обсуждим поччительную историю об универсальной библиотеке.

Сколько томов должны содержать библиотека, включаяшая всевозможные книги, которые когда-либо были написаны, пишутся сейчас или будут написаны в будущеем? Как правило, человек, впервые услышевшего этот вопрос, удивляет, что такая универсальная библиотека состоит из конечного числа книг (ср. второй афоризм К. Пруткова). Каждый все это противоречит нашим представлением о безграничном прогрессе человека… Но обратимся к выкладкам. Будем считать, что все книги состоит из 500 страниц (иначе будем разбивать их на тома) и что каждая страница состоит из 40 строк по 50 знаков в каждой. Тепер обсуждим вопрос о полиграфическом базе. Будем интересоваться книгами на русском языке. Для набора потребуется как знаки (литеры), отвечающие буквам, знакам препининия, так и некоторые знаки для набора специальных текстов (впрочем, если не экономить места, можно заменить формулы, таблицы и т. д. их словесными описаниями). Так или иначе, будем считать, что достаточно ст литера. Нам удобно ввести специальный знак пробела между словами. Набирая этот знак достаточно много раз подряд, можно установить сколь угодно длинные пробелы (в частиности, благодаря этому в числе пятисстраничных книг можно включить книги, состоящие из меньшего числа непустых страниц). В результате книгу можно представить себе как последовательность из 50×40×500=10⁶ знаков, каждой из которых быть одним из 100 знаков наборной азбуки (литер), т. е. как одно слово из миллиона букв в языке, алфавит которого состоит из 100 букв. Обратите внимание, что это сведение стало возможным благодаря вредению знака пробела, иначе последовательность знаков могла бы не определять книгу однозначно (ее можно по-разному разбить на слова).

Задача 2. Доказать, что число различных слов длины n в языке, алфавит которого состоит из k букв, равно kⁿ*).

Совет. Вначале рассмотреть пример нашей десятичной системы чисел: различных чисел из n цифр существует 10ⁿ (от 000…0 до 999…9).

Из задачи 2 следует, что число томов универсальной библиотеки записывается «всего лишь» единцией с двумя миллионами нуляй. В числе этих томов войдут все вершины мудрости, в том числе и не постигнутые человекаством, но большинство книг будет содержать бессмысленные тексты. Будет книга, состоящая из одиних букв «а» (впрочем, книга из одной точки, книга и «пустая» книга, сплошь состояния из знаков пробела).

Тепер договоримся о формиrable «словесный портрет» десятичной дроби в виде книги. Будут ли содержаться эти книги в универсальной библиотеке? Вообще говоря, нет. Дело в том, что, говоря об универсальной библиотеке, мы исходили все такие из предположения, что книги имеют размеры, реализные с точки зре…

*) Слово — это просто конечная последовательность буква. Мы не интересуемся вопросом его осмысленности.

6

ния нашей житейской практики.
Однако, если отказаться от реализацииности в этом ее последнем пристанище (а помните, мы ориентиемся на гиганта, которое она не присуща), нельзя исключить того, что некоторые «словесные портреты» могут занимать книги,prevышающие по размеру книги из универсальной библиотеки. В связи с этим введем понятие ультраупервсальной библиотеки. Так мы будем называть библиотеку, содержащую все книги сколько годно большех размеров. Наозем размером книги число знаков в ней. Договоримся расставлять книги по следующему принципу: на полке с номером $N$ будет находиться все книги размера $N$. В частности, все универсальная библиотека скромно займет одну полку с номером $N=10^6$. Итак, ультраупервсальная библиотека будет состоять уже из бесконечного числа томов: в ней бесконечное число полок. Однако на каждой полке будет стоять конечное число книг. Из задачи 2 видно, что на полке с номером $N$ находится $100^N$ книг. А отсюда следует, что все книги можно перенуровать!

Проведем инventarизацию следующим образом. Предварительно фиксируем порядок книг на полках ультраупервсальной библиотеки. Для этого вначале указываем порядок букв в нашем алфавите (их ведь конечное число — 100), а затем расставим книги в так называемом лексикографическом порядке, принятом в словарях (из двух слов-кигг раныше идет то, у которого номер первого буквы меньше; если первый буквы совпадают, то сравнивают вторые буквы слова и т. д.). Расставив книги на полках, начнем уменровать их с первой полки (на ней стоит книги, состоящее из одной буквы!). Закончив уменровать очередную полку, переходим к следующей. Поскольку книг на каждой полке конечно, каждая книга рано или поздно получит номер. Инventarизация проведена! Тепер заметим, что ультраупервсальной библиотеке содержатся словесные портреты всех «объятных» десятичных дробей, а поэтому, движясь по номерации книг в библиотеке, мы можем прочитовать все эти портреты, а значит, и «объятные» дроби (нужно помнить, что у одной дроби может быть несколько «словесных портретов», и следить, не присвоен ли этой дроби уже какой-то номер ранее; впрочем, не страшно, если одну дробь мы занимаем несколько раз).

Существование «необъятных» дробей доказано.

Для тех, кто читал книгу Н. Я. Виленкина «Рассказы о множеств», интерпретируем полученный результат несколько иначе. Помните, как телефон необыкновеннойости, обнаруженной Щоном Тихим, передавал телефонмы, состоящие из бесконечной последовательности точек и тпе? Представьте себе, что на другом телефонфе, принимаемем эти телефонмы, захотели придумать такой способ их расшифровки, чтобы каждой бесконечной телефонме отвечало конечное слово в каком-то алфавите. Мы доказали, что такое способа не существует (слова всегда можно запутевать, а телефонмы — нет). Можно сказать еще, что не существует способа даь всем точкам единного отрезка различные имена (кочечные).

Мы доказали, что «необъятные» дроби существуют, но, подобно вышелому путем директора книотеатра, не в состоянии предъявить конкретную «необъятную» дробь. А что, если попробовать? Воспользовемся однажды выручившим нас диагональным процессом. Ведь мы ввели порядок книг в библиотеке, а значит, стала фиксированнойnummerя «объятных» дробей. Использову факт 2, построим незаанумованную бесконечную десятиную дробь $\beta$.

Итак, мыPrevзошли директора книотеатра, предъявив конкретную «необъятную» дробь. Но что же получилось? Для «необъятной» дроби по определению не должно существовать конечного описания, а для «необъятной» дроби $\beta$ такое описание построено; им является предыдущий текст этой статьи (ведь вы не сомневаете, что он конечен?). Не предъявлен только заанумованный алфавит, но и в этом сомневается не приходится.

8

говоряших правду, иначе можно погрязнуть в трудностях, связанных с аккуратным определенем понятия «лжец». Приведенное высказывание не может быть правдой, так как тогда критиянн Эпименид не мог говорить правды. Итак, оно является ложью, а значит, доказывает существование хотя бы одного правдового критияна. Что же получилось? Из-за того, что один критиянн (то, что он был мудрецом, сейчас не важно) изрек мысль, которая к тому же не могла быть правдой, делается вывод о существовании правдового критияна. Может ли мы быть действительно уверены в его существование? Стотит ли после этого говорить, что речь не идет овозможности указать конкретного правдового критияна?

Было бы еще хуже, если бы Эпименид (как иные утверждения) прямо заявил: «Я лжец» или «Я говорю сейчас ложь». Эти высказывания не могут быть ни правдой, ни ложью. И источник непряятности здесь в том, что для решения вопроса об истинности высказывания нужно уже знать ответ на этот вопрос (порочный круг!).

Для того чтобы исключить возможность появления порочного круга в «словесных портретах», наложим дополнительное требование эффективности, то есть потребуем, чтобы «портрет» давал «возможность» явно построить дробь. Точнее, будем считать, что он должен содержать способ (или, как говорят, алгоритм), позволяющий нашему велику с неограниченной памяти, из которой он может пользоваться сколь годно большими, но конечными частями, за конечные промежутки времени находит последовательные знаки дроби. Велика можно себе мысль как математическое машину с неограниченной памяти, а описание дроби — конечной программи для вычисления ее последовательных знаков. Мы, разумеется, не должны строого определения этого велика-машины, и важно, чтобы читатель услесил себе это. А тогда я прошу его поверить, что такое определение можно дать (отложив это до другой статьи), и, используя интуитивные представления, принять участие в обсуждении некоторых общих принципов.

Тепер будем поннимать под «объятной» дробью такую дробь, для вычисления знаков которой существует программа. Посмотрим, что изменилось. Посокльку программы можно издавать в виде книг, они содержатся вультраниверсальной библиотеке, а потому

1. «необъятные» дроби существуют.

Далее, хотя и научные горьким опытом, мы неправе отказывать от попыток научить велика выписывать конкретную дробь. Что же мешает этому? Вычислить номер книги вylvтраниверсальной библиотеке (а также по номеру написать книгу) нам было бы под силу, имея мы достачитную память и время, а значит, этому научить велика. Тегер осмаим лишь книги, содержащие программы для вычисления дробей. Для нахождения к-го знака «необъятной» дроби β берем k-ю по счету программы, вводим ее в машину, ждем, пока она вычислит k-й знак, а затем подключаем программу замены знаков по таблице (это уже совсем легко). Что же, опять противоречие? Посмотрите внимание, действительность ли мы построили программу? Вы, конечно, обнаружили слабое место: нужно уменьш по книге определить, является ли она программы для вычисления знаков бесконечной десятичной дроби. А кто это должен делать? Этому надо научить машину. Давайте разберемся. Если бы существовал способ или программы (алгоритма) выяснить, является ли данный текст программы (алгоритм) для вычисления последовательных знаков бесконечной десятичной дроби.

Вдумайте в этот результат! В предположении, что существует корректное определение понятия алгоритма, без всякой дополнительной информации об этом определении, мы