Xét một số thập phân vô hạn...

2

---

running_head:
folio:

Hãy xem xét một vô hạn
số thập phân…

S. G. Gindikin

4,92617231248,9
7,16214301695743,0
1,7

2

3

Không ai sẽ ôm lấy sự bao la.
Những người khác thực sự cho rằng cuộc đời của mọi người đều được viết trong sách Sáng thế ký.

Kozma Prutkov

“Số thực được gọi là phân số thập phân vô hạn.”* Sau khi đưa ra định nghĩa này, thỉnh thoảng chúng ta bắt đầu phát âm cụm từ trong tiêu đề của chỉ số. Nó có nghĩa là gì? Chẳng phải chúng ta đang mâu thuẫn với sự khôn ngoan trần tục của Kozma Prutkov, hay một tuyên bố tương tự của nhà toán học vĩ đại người Pháp A. Poincaré, xuất hiện dưới dạng biểu tượng cho bức tượng, khi chúng ta có ý định xem xét phân số thập phân vô hạn? Ví dụ, phần thập phân cuối cùng có thể được “kiểm tra” bằng cách viết nó lên bảng và xem những gì được viết. Trong trường hợp phân số vô hạn, tất nhiên chúng ta không có cơ hội như vậy. Điều này là do, ở những mức độ khác nhau, do những hạn chế về kích thước của bảng phấn, con người của sự sống, Thiên hà của chúng ta, v.v. Tuy nhiên, chúng ta hãy đồng ý rằng trong bức tượng này, chúng ta sẽ tập trung vào người khổng lồ thần thoại, kẻ không quan tâm đến tất cả những hạn chế này và mọi cân nhắc hữu hạn đều nằm trong khả năng của chúng ta.

Mặt khác, không khó hiểu rằng độ vô tận của phân số thập phân chưa hẳn đã quen với “sự bao la”. Do đó, khi nghiên cứu các số hữu tỷ, đôi khi người ta sử dụng biểu diễn của chúng dưới dạng phân số thập phân tuần hoàn vô hạn và để xác định phân số sau, chỉ cần chỉ ra một số hữu hạn các vị trí thập phân trước dấu chấm và chính dấu chấm đó (cùng số chữ số hữu hạn) là đủ. Kết quả là chúng ta có thể xem xét những phân số như vậy mà không mâu thuẫn với “số hữu hạn” của chúng ta. Cấp số cộng và hình học (các chuỗi vô hạn!) được xác định bởi hai số (số hạng đầu tiên và hiệu hoặc mẫu số). Bạn có thể biết các ví dụ khác về chuỗi hữu hạn, định nghĩa của nó chỉ yêu cầu thông tin hữu hạn (ví dụ: công thức của một số hạng chung). Tất cả điều này cho thấy rằng tên tội phạm, theo quan điểm của Kozma Prutkov, theo cụm từ được đưa ra trong tiêu đề, không hoàn toàn vô điều kiện, và do đó cần phải có một nghiên cứu kỹ lưỡng hơn, chúng ta sẽ tiếp tục.

Vì vậy, chúng ta biết rằng có những phân số thập phân hữu hạn có thể được mô tả một cách hữu hạn. Hãy đồng ý gọi một phân số thập phân vô hạn là “bao gồm” nếu có “hình ảnh bằng lời nói” của nó - một mô tả hữu hạn bằng tiếng Nga được xác định duy nhất (tức là chỉ một phân số thỏa mãn mô tả này). Nếu không có “chân dung bằng lời nói” của một phân số thì phân số đó được gọi là “bao la”. Mục tiêu của chúng ta là chứng minh sự tồn tại của phân số “rất lớn”.

4

Chúng ta hãy giới hạn ở các phép cộng có kết quả từ 0 đến 1, nghĩa là các biểu thức có dạng

$$0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots,$$

(1) trong đó $\alpha_k$, $1 \leq k < \infty$, là một số số 0, 1, …, 8, 9. Trong lý thuyết số thực, có khá nhiều rắc rối với thực tế là bất kỳ số bổ sung nào có “đuôi” số 9 (tất cả các dấu, bắt đầu từ một vị trí nhất định, đều bằng 9) đều bằng một số bổ sung nào đó có “đuôi” là các số 0 (ví dụ: 0,099… = 0,100…). Để tránh chúng, chúng tôi sẽ không xem xét các dobies có chứa chín trong các mục của chúng. Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét các dobe có dạng (1), tức là các dãy số $0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots$, trong đó $\alpha_k$ có thể bằng 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8*). Chúng ta phải biết rằng ngay cả trong số những người vĩ đại như vậy cũng có những người “bao la”.

Làm thế nào bạn có thể chứng minh điều này?

Tuy nhiên, trước tiên chúng ta hãy xem xét một tình huống tương tự, có liên quan đến các tập hợp hữu hạn (để hiểu rõ hơn, chúng ta mô tả nó dưới dạng hài hước). Giám đốc rạp chiếu phim được biết rằng có khán giả đến xem buổi chiếu và người bán có chín mươi vé tại phòng vé. Có lẽ bạn sẽ không ngạc nhiên khi so sánh hai sự kiện này, ông kết luận rằng có những người đi tự do trong hội trường. Anh ấy chỉ đơn giản nhận thấy rằng có nhiều khán giả hơn số vé và không thể có đủ vé cho tất cả khán giả. Xin lưu ý rằng lý do này chỉ giúp chứng minh sự tồn tại của khán giả không có vé và việc loại bỏ một “thỏ rừng” cụ thể cần phải nghiên cứu bổ sung (ví dụ: kiểm tra vé ở lối ra).

Trong suốt nhiều năm đã trôi qua nhiều thế kỷ, G. Cantor **) đã nghĩ ra một cách tuyệt vời để thực hiện lý luận tương tự cho thời đại người đi xe tự do. G. Cantor **) đã nghĩ ra một cách tuyệt vời để thực hiện lý luận tương tự cho thời đại đi xe tự do. G. Cantor (1845-1918) - người sáng tạo ra lý thuyết về các tập hợp người đi xe tự do.

*) Người đọc nhạy bén chắc chắn sẽ nhận thấy khi đọc phần văn bản tiếp theo rằng tất cả những cân nhắc sẽ chỉ có ý nghĩa nếu chúng ta giới hạn chúng chỉ ở hai số, ví dụ: 0 và 1.

**) G. Cantor (1845-1918) - người sáng tạo ra lý thuyết tập hợp cưỡi ngựa tự do.

5

Ví dụ.
STT Phân số được đánh số β = 0,

1. 0, $\frac{1}{2}$ 2 3 4 5 6 7 8 0 1…
2. 0, $\frac{1}{3}$ 6 1 4 5 3 2 1 4…
3. 0, 1 $\frac{2}{3}$ 4 5 3 1 7 8 2…
4. 0, 0 1 $\frac{4}{3}$ 7 2 7 8 0 1…
5. 0, 4 2 3 $\frac{1}{2}$ 1 4 5 6 0…
6. 0, 5 6 7 2 $\frac{4}{5}$ 8 0 1 2…
7. 0, 2 4 3 5 6 7 $\frac{8}{10}$ 0 2 4…
8. 0, 7 5 4 6 2 1 $\frac{2}{10}$ 0 1 2…
9. 0, 8 0 8 0 1 0 2 $\frac{2}{20}$ 2…

β = 0,253736013…

Bài toán 1. Chứng minh rằng phân số đã dựng β không có trong dãy ban đầu.

Vì vậy, thực tế thứ hai đã được chứng minh, chúng ta hãy chuyển sang thực tế thứ nhất.

Trước tiên chúng ta hãy thảo luận về câu chuyện đáng kính của thư viện toàn cầu.

Một thư viện nên chứa bao nhiêu tập, bao gồm tất cả các loại sách đã từng được viết, đang được viết hoặc sẽ được viết trong tương lai? Theo quy định, người lần đầu tiên nghe câu hỏi này sẽ ngạc nhiên rằng một thư viện phổ quát như vậy bao gồm một số lượng sách hữu hạn (xem câu cách ngôn thứ hai của K. Prutkov). Mỗi điều này đều mâu thuẫn với ý tưởng của chúng ta về sự tiến bộ vô hạn của con người… Nhưng hãy chuyển sang tính toán. Chúng ta sẽ giả định rằng tất cả các cuốn sách đều có 500 trang (nếu không chúng ta sẽ chia chúng thành các tập) và mỗi trang có 40 dòng, mỗi dòng 50 ký tự. Bây giờ hãy thảo luận về vấn đề cơ sở in ấn. Chúng tôi sẽ quan tâm đến sách bằng tiếng Nga. Để gõ, bạn sẽ cần cả ký tự (chữ cái) tương ứng với các chữ cái, dấu chấm câu và một số ký tự để gõ các văn bản đặc biệt (tuy nhiên, nếu không tiết kiệm dung lượng, bạn có thể thay thế công thức, bảng biểu, v.v. bằng mô tả bằng lời của chúng). Bằng cách này hay cách khác, chúng ta sẽ cho rằng chữ in hoa là đủ. Sẽ rất thuận tiện cho chúng tôi khi giới thiệu một ký tự khoảng trắng đặc biệt giữa các từ. Bằng cách nhập ký tự này nhiều lần liên tiếp, bạn có thể tạo các khoảng dài tùy ý (một phần, nhờ điều này, trong số những cuốn sách năm trang, bạn có thể bao gồm những cuốn sách có số lượng trang không trống ít hơn). Kết quả là, một cuốn sách có thể được hình dung như một chuỗi gồm 50 × 40 × 500 = 10⁶ ký tự, mỗi ký tự là một trong 100 ký tự của bảng chữ cái sắp chữ (chữ cái), tức là giống như một từ trong một triệu chữ cái trong một ngôn ngữ có bảng chữ cái bao gồm 100 chữ cái. Lưu ý rằng việc giảm này có thể thực hiện được bằng cách loại bỏ ký tự khoảng trắng, nếu không, chuỗi ký tự có thể không nhận dạng duy nhất cuốn sách (nó có thể được chia thành các từ theo nhiều cách khác nhau).

Bài toán 2. Chứng minh rằng số từ khác nhau có độ dài n trong một ngôn ngữ có bảng chữ cái gồm k chữ cái thì bằng kⁿ*).

Khuyên bảo. Đầu tiên, hãy xem xét một ví dụ về hệ thống số thập phân của chúng ta: có 10 số khác nhau có n chữ số (từ 000…0 đến 999…9).

Từ bài toán 2, số tập của thư viện phổ quát được viết “chỉ” là một với hai triệu số không. Những tập sách này sẽ bao gồm tất cả những đỉnh cao của trí tuệ, kể cả những đỉnh cao mà nhân loại không thể hiểu được, nhưng hầu hết các cuốn sách sẽ chứa những văn bản vô nghĩa. Sẽ có một cuốn sách chỉ gồm các chữ cái “a” (tuy nhiên, một cuốn sách có một dấu chấm, một cuốn sách và một cuốn sách “trống rỗng”, hoàn toàn là các ký tự khoảng trắng).

Bây giờ chúng ta hãy thống nhất về việc hình thành một “bức chân dung bằng lời nói” của phần thập phân dưới dạng một cuốn sách. Liệu những cuốn sách này có được chứa trong thư viện toàn cầu không? Nói chung là không. Thực tế là, khi nói về thư viện toàn cầu, tất cả chúng ta đều xuất phát từ giả định rằng sách có những kích thước thực tế theo quan điểm…

*) Một từ đơn giản là một chuỗi hữu hạn các chữ cái. Chúng tôi không quan tâm đến câu hỏi về ý nghĩa của nó.

6

của việc thực hành hàng ngày của chúng ta.
Tuy nhiên, nếu chúng ta từ chối nhận ra nơi ẩn náu cuối cùng này (và hãy nhớ rằng, chúng ta đang tập trung vào một người khổng lồ không vốn có ở đó), chúng ta không thể loại trừ khả năng một số “chân dung bằng lời nói” có thể chiếm những cuốn sách có kích thước lớn hơn sách từ thư viện phổ thông. Về vấn đề này, chúng tôi giới thiệu khái niệm về một thư viện cực kỳ phổ biến. Đây là cái mà chúng ta gọi là thư viện chứa tất cả sách ở nhiều kích cỡ nhất có thể. Dựa vào kích thước của một cuốn sách, số lượng ký tự trong đó. Hãy thống nhất sắp xếp sách theo nguyên tắc sau: trên kệ có số $N$ sẽ có tất cả những cuốn sách có kích thước $N$. Đặc biệt, toàn bộ thư viện phổ thông sẽ chỉ chiếm một kệ có số $N=10^6$. Vì vậy, thư viện cực kỳ phổ biến sẽ bao gồm vô số tập: nó sẽ có vô số giá sách. Tuy nhiên, số lượng sách trên mỗi kệ sẽ có hạn. Từ bài toán 2 thấy rõ trên kệ đánh số $N$ có $100^N$ cuốn sách. Và từ đó tất cả các cuốn sách đều có thể được viết lại!

Hãy tiến hành kiểm kê như sau. Trước tiên, chúng tôi sắp xếp thứ tự sách trên kệ của thư viện cực kỳ phổ biến. Để làm điều này, trước tiên chúng tôi chỉ ra thứ tự của các chữ cái trong bảng chữ cái của chúng tôi (có số lượng hữu hạn trong số chúng - 100), sau đó chúng tôi sắp xếp các cuốn sách theo cái gọi là thứ tự từ điển được thông qua trong từ điển (trong hai từ kigg, từ có số chữ cái đầu tiên thấp hơn; nếu các chữ cái đầu tiên trùng nhau thì các chữ cái thứ hai của từ sẽ được so sánh, v.v.). Sau khi sắp xếp sách trên kệ, chúng ta hãy bắt đầu đếm chúng từ kệ đầu tiên (trên đó có những cuốn sách gồm một chữ cái!). Giảm xong kệ tiếp theo, chúng ta chuyển sang kệ tiếp theo. Vì trên kệ nào cũng có sách nên tất nhiên cuốn nào sớm muộn cũng sẽ nhận được một con số. Hàng tồn kho đã hoàn thành! Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng thư viện cực kỳ phổ biến chứa các chân dung bằng lời nói của tất cả các phân số thập phân “toàn diện”, và do đó, khi chuyển qua cách đánh số sách trong thư viện, chúng ta có thể đọc tất cả các chân dung này, và do đó là các phân số “toàn diện” (chúng ta phải nhớ rằng một phân số có thể có một số “chân dung bằng lời nói” và xem liệu phân số này đã được gán một số trước đó chưa; tuy nhiên, không đáng sợ nếu chúng ta sử dụng cùng một phân số nhiều lần).

Sự tồn tại của phân số “rất lớn” đã được chứng minh.

Dành cho những ai đã đọc N. Ya. Trong cuốn sách “Những câu chuyện về bộ” của Vilenkin, chúng tôi diễn giải kết quả thu được hơi khác một chút. Bạn có nhớ chiếc điện thoại đặc biệt do Shchon Tikhim phát hiện đã truyền các tin nhắn điện thoại bao gồm vô số dấu chấm và những thứ tương tự như thế nào không? Hãy tưởng tượng rằng trên một chiếc điện thoại khác, chúng ta nhận được những chiếc điện thoại này, họ muốn nghĩ ra cách giải mã chúng sao cho mỗi chiếc điện thoại vô tận tương ứng với một từ hữu hạn trong bảng chữ cái nào đó. Chúng tôi đã chứng minh rằng phương pháp như vậy không tồn tại (từ ngữ luôn có thể bị nhầm lẫn, nhưng điện thoại thì không). Chúng ta cũng có thể nói rằng không có cách nào để đặt cho tất cả các điểm của một phân đoạn những tên (điểm) khác nhau.

Chúng tôi đã chứng minh rằng các phân số “bao la” tồn tại, nhưng, giống như đạo diễn rạp chiếu phim, chúng tôi không thể trình bày một phân số “bao la” cụ thể. Nếu bạn cố gắng thì sao? Hãy sử dụng quy trình đường chéo đã từng giúp ích cho chúng ta. Rốt cuộc, chúng tôi đã giới thiệu thứ tự các cuốn sách trong thư viện, điều đó có nghĩa là số lượng phân số “mở rộng” đã trở nên cố định. Sử dụng thực tế 2, chúng ta sẽ xây dựng một phân số thập phân vô hạn $\beta$.

Vì vậy, chúng tôi đã đến gặp giám đốc rạp sách, trình bày một phân đoạn cụ thể “to lớn”. Nhưng chuyện gì đã xảy ra? Theo định nghĩa, đối với phân số “rất lớn”, không nên có một mô tả hữu hạn, nhưng đối với phân số “rất lớn” $\beta$ một mô tả như vậy đã được xây dựng; đó là văn bản trước của bài viết này (rốt cuộc, bạn có nghi ngờ rằng nó là hữu hạn không?). Chỉ có bảng chữ cái đánh vần là không được trình bày, nhưng không có nghi ngờ gì về điều đó.

8

nói sự thật, nếu không bạn có thể sa lầy vào những khó khăn liên quan đến việc xác định chính xác khái niệm “kẻ nói dối”. Câu nói trên không thể đúng, từ đó Critian Epimenides không thể nói ra sự thật. Vì vậy, đó là một lời nói dối, có nghĩa là nó chứng minh sự tồn tại của ít nhất một người Cretan trung thực. Chuyện gì đã xảy ra thế? Do một Kritian (việc anh ta là một nhà hiền triết bây giờ không còn quan trọng) đã thốt ra một suy nghĩ rằng, hơn nữa, không thể đúng, nên một kết luận được rút ra về sự tồn tại của một Kritian trung thực. Chúng ta có thể thực sự chắc chắn về sự tồn tại của nó? Có đáng nói sau chuyện này rằng chúng ta không nói về khả năng xác định một nhà phê bình trung thực cụ thể?

Sẽ còn tệ hơn nếu Epimenides (giống như những phát biểu khác) trực tiếp tuyên bố: “Tôi là kẻ nói dối” hoặc “Bây giờ tôi đang nói dối”. Những tuyên bố này có thể không đúng cũng không sai. Và nguồn gốc của sự nhầm lẫn ở đây là đối với lời giải câu hỏi về tính xác thực của một tuyên bố, bạn cần phải biết đáp số cho câu hỏi này (vòng luẩn quẩn!).

Để loại bỏ khả năng xảy ra một vòng luẩn quẩn trong “chân dung bằng lời nói”, chúng tôi sẽ đặt ra một yêu cầu bổ sung về tính hiệu quả, tức là chúng tôi sẽ yêu cầu “chân dung” phải cung cấp “cơ hội” để xây dựng một phần một cách rõ ràng. Chính xác hơn, chúng ta sẽ giả định rằng nó phải chứa một phương thức (hoặc, như người ta nói, một thuật toán) cho phép máy của chúng ta, với bộ nhớ không giới hạn, từ đó nó có thể sử dụng các phần hữu hạn nhưng lớn tùy ý, tìm các dấu phân số liên tiếp trong những khoảng thời gian hữu hạn. Ý tưởng về một cỗ máy toán học có bộ nhớ không giới hạn thật tuyệt vời và việc mô tả một phân số là một chương trình hữu hạn để tính các dấu liên tiếp của nó. Tất nhiên, chúng tôi không nhất thiết phải định nghĩa một cách chặt chẽ về cỗ máy tuyệt vời này và điều quan trọng là người đọc phải hiểu được điều này. Sau đó, tôi yêu cầu anh ta tin rằng có thể đưa ra một định nghĩa như vậy (gác nó sang một bài viết khác), và sử dụng trực giác của mình để tham gia vào cuộc thảo luận về một số nguyên tắc chung.

Bây giờ chúng ta sẽ hiểu một phân số “bao gồm” một phân số có chương trình tính dấu. Hãy xem những gì đã thay đổi. Vì các chương trình có thể được xuất bản dưới dạng sách nên chúng được chứa trong một thư viện siêu phổ quát và do đó

1. tồn tại những phân số “rất lớn”.

Hơn nữa, mặc dù chúng ta đã học được qua kinh nghiệm cay đắng, nhưng chúng ta đã sai khi từ chối nỗ lực dạy xe đạp viết ra một phân số cụ thể. Điều gì ngăn cản điều này? Chúng ta có thể tính số lượng cuốn sách trong thư viện xuyên vũ trụ (và cũng có thể viết một cuốn sách bằng cách sử dụng con số đó) nếu chúng ta có đủ trí nhớ và thời gian, điều đó có nghĩa là việc dạy môn này rất tuyệt. Teger sẽ chỉ ôn lại những cuốn sách có chương trình tính phân số. Để tìm dấu thứ k của phân số β “rất lớn”, chúng ta lấy chương trình thứ k, nhập vào máy, đợi cho đến khi máy tính ra dấu thứ k rồi kết nối chương trình đổi dấu theo bảng (việc này cũng khá dễ). Vậy có mâu thuẫn nữa không? Hãy nhìn xem, chúng ta đã thực sự xây dựng được chương trình chưa? Tất nhiên, bạn đã phát hiện ra một điểm yếu: bạn cần sử dụng cuốn sách để xác định xem đó có phải là chương trình tính dấu của phân số thập phân vô hạn hay không. Và ai nên làm việc này? Máy móc cần phải được dạy điều này. Hãy tìm ra nó. Nếu có một cách hoặc chương trình (thuật toán) để tìm hiểu xem một văn bản (thuật toán) chương trình nhất định có dùng để tính các chữ số liên tiếp của một phân số thập phân vô hạn hay không.

Hãy nghĩ về kết quả này! Giả sử rằng có một định nghĩa đúng về khái niệm thuật toán mà không có bất kỳ thông tin bổ sung nào về định nghĩa này, chúng ta