[Задачи М41—М45; Ф48—Ф54]

В этом и следующих номерах раздел «Задачик Кванта» составлен из задач, предлагавшихся на всесоюзных оптимизации по физике и математике 1970 года. После каждой задачи в скобках указан класс, в котором она предлагалась.

Ф48. На вал якоря динамо-машины намотана вервка, к которой прикреплен груз. Опускаясь, груз вращает якорь. Когда якорь достаточно раскрутился, к klemmам машины присоединили сопротивление нагрузки. Изображите на графике зависимости скорости вращения якоря от времени с момента начала движения груза. (X)

Г. И. Косоуров

Ф49. U-образная трубка заполнена водой. Из одного колена воздуха удален; давление воздуха в другом колене при температуре $t = 20^\circ\text{C}$ равно атмосферному. Оба конца трубки запаяны. Разность между уровнями воды в коленах равна 15 м. Какой будет разность уровней воды в коленах, если трубку нагреть до $100^\circ\text{C}$? (IX—X)

Б. Б. Буховцев

Ф50. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика с массами $m$, соединенные пружинкой жесткости $k$ и длины $l_0$ в нерастянутом состоянии. На левый кубик (рис. 1) внесапно начнет действовать постоянная по величины и направление силы $F$. Найditе минимальное и максимальное расстояние

Рис. 1.

Рис. 2.

49

между кубиками при дальнейшем движении системы. (X)

Б. Б. Буховцев

Ф51. Фотографировать тигра с расстояния менее 20 метров опасно. Какой размер имеет камера-обскура с отверстием диаметром в 1 мм, чтобы тигр на фотографины был полосатым? Расстояние между полосами на шкуре тигра равно 20 см. (X)

А. Л. Стасенко

Ф52. Мяч брошен вертикально вверх. Что больше: время подъема или время падения? (VIII)

Ф53. В сосуде нахождения две немешивающейся жидкости с удельными весами $d_1$ и $d_2$ и толщинами слоев $h_1$ и $h_2$ соответственно. С поверхности жидкости в сосуд опускают маленькое объектаемое тело, которое достигает дна как раз в тот момент, когда его скорость становится равной нулю. Какова плотность материалов, из которого сделано тело? (VIII)

М. М. Балацов

Ф54. Что показет амператор в схеме, изображенной на рисунке 2? Сопротивление амператора очень мало. (VIII—IX)

А. Р. Зильберман

M41. Дана окружность, ее диаметр $AB$ и точка $C$ на этом диаметре. Построить на окружности две точки $X$ и $Y$, симметричные относительно диаметра $AB$, для которых прямая $YC$ перpendикулярна к прямой $XA$. (VIII)

M42. Цифры некоторого семнадцатизначного числа записьюются в обратном порядке. Полученное число складывается с первоначальным. Доказать, что хотя бы одна из цифр их суммы будет четной. (VIII)

Рис. 3.

M43. Каждая сторона правильно треугольника разбиита на $n$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбиился на $n^2$ маленьких треугольников (рис. 3). Изовем «цепочкой» последовательность треугольников, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наиболее возможное число треугольников в цепочке? (VIII—X)

M44. Доказать, что для каждой натурального числа $K$ существует бесконечного много натуральных чисел $T$, не содержащих нулей в десятичной записи и таких, что $T$ и $KT$ имеют одинаковые суммы цифр. (X)

M45. Доказать, что из любых двух сqrt чисел чисел можно выбрать $n$, сумма которых делится на $n$, где $n \geq 2$.