[Решения задач М6—М7; Ф8—Ф11]

50

М6. Перед вам часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая — минутная?
(Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следует за тем, как стрелки двигаются, нельзя.)

Ответ. Таких положений существует 132. Другими словами, существует 66 пар расположений стрелок таких, что в каждой из этих пар одно расположение получается из другого заменой часовой стрелки на минутную и минутной на часовой (как на рис. 1); разумеется, при этом не рассматриваются такие положения, когда направления часовой и минутной стрелок совпадают: в этих случаях время определяется однозначно.

Решение и е. Мы получили много разных решений этой задачи. Приведем некоторые из них. Вот наиболее распространенное.

Будем считать, что циферблат разбит на 12 частей. Расмотрим какое-то одно из положений стрелок, о которых идет речь в условия. Пусть одна стрелка занимает положение $x$, другая — $y$; здесь $0 \leq x < 12$, $0 \leq y < 12$. Если первую стрелку считать часовой, а вторую — минутной, то должно выполнять равенство

$$x = a + \frac{5y}{60},$$

(1)

Рис. 1.

51

Рис. 2.

где $a$ — целое число часов, $0 \leqslant a \leqslant 11$.
Аналогично, если первая стрелка минутная, а вторая — часовая, то
$$y = b + \frac{5x}{60},$$

где $b$ — целое, $0 \leqslant b \leqslant 11$.
Систему из двух равенств (1) и (2) можно заменить на эквивалентные:

$$\begin{cases} 12x = 12a + y, \\ 12y = 12b + x, \\ 143x = 12(b + 12a), \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 12 \cdot \frac{b + 12a}{143}, \\ y = 12 \cdot \frac{a + 12b}{143}. \end{cases}$$

Здесь $0 \leqslant a \leqslant 11, 0 \leqslant b \leqslant 11$ — целые числа. Каждая пара $(x, y)$, удовлетворяющая этой системе, является ее решением. Их всего $12^2 = 144$. Ясно, что случай, когда $x = y$, то есть когда $a = b$, нужно исключить. Остается 132.

Два из них — соответствующие $a = 2, b = 5$ и $a = 5, b = 2$ — изображены на рисунке 1 (ясно, что замена $a$ на $b$ и $b$ на $a$ соответствует замене стрелок).

Очень наглядное решение прислал ученик 10 класса С. Поздняков (e. Вильнюс). Вот его рассуждая.

Зададим положение минутной стрелки $y$ как функцию от положения часовой стрелки $x$. График этой функции $x \rightarrow y$ изображен на рисунке 2 синним цветом. Этот график — множество всех положений стрелок $(x, y)$, которые могут встретиться на цифербlate часов. На интересующей такие пары $(x, y)$, для которых пара $(y, x)$ тоже принадлежит этому множеству. Но точка $(y, x)$ — это точка, симметричная $(x, y)$ относительно биссектрисы угла $xOy$. На рисунке 2 множество точки, симметричных систем точкам, отмещено красным цветом *).

Остается найти число пересечения синних и красных отрезков (не считая точек, лежащих на биссектрисе $x = y$). Легко видеть, что их 132, т. е. 66 пар точек, симметричных относительно биссектрисы.

И, наконец, еще одно, требуется не требушее никакого математического аппарата.

Положим рядом с нашими часами (справа) другие, воображаемые, которые идутровно в 12 раз быстрее. Пусть и те и другие часы одновременно, когда они показывают 12 часов; тогда часовая стрелка правых часов все время совпадает с минутной левых. Ясно, что интересующие нас «неразличимые» положения стрелок — в точности те, когда часовая стрелка левых совпадает с минутной правых, быстрохасов (подумайте, почему!). Сколько же раз это произойдет? Из 144 оборотов, которые сделает минутная стрелка правых часов за то время, пока часовая стрелка «нормальных» сделает один оборот, на

*) Автор пишет, что «красное» множество — «график функции, обратной к нашей функции $x \rightarrow y$». Это не совсем верно: ясно, что наша функция не имеет обратной на всем отрезке $0 \leqslant x \leqslant 12$, так как здесь каждое $y$ соответствует многоим (а именно двенадцати) разным $x$. Можно было бы сказать так: мы рассматрием функцию $x \rightarrow y$ на каждом отрезков $0 \leqslant x < 1, 1 \leqslant x < 2, \dots, 11 \leqslant x < 12$, берем обратную к каждой из этих функций и для каждой из них строим график. Вот тогда мы действительно получим «красное» множество, состоящее из devenaudami графиков! (Определение обратной функции см. в «Кванте» № 1, стр. 32—33.)

52

каждом обороте произойдет одно совпадение (включая начальную точку первого оборота); из них нужно исключать 12 случайов, когда совпадют все четыре стрелки, — остается 132.

M7. a, b, c — стороны треугольника.

Докажите, что $\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3$.

Решение. Эта задача имеет довольно много решений. Мы приведем одно из самых коротких. Нам понадобится лишь хорошего известное из школьного курса неравенство
$$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} \geq 2,$$
(1)

где $m > 0, n > 0$.

Введем такие обозначения:
$$b + c - a = x,$$
$$c + a - b = y,$$
$$a + b - c = z.$$

Заметим, что
$$x > 0, y > 0, z > 0;$$
(3)
это следует из того, что $a, b, c$ — стороны треугольника, а каждая сторона его меньше суммы двух других (к сожалению, из письм, приспланных в редакцию, видно, что большинство решших задачу даже не задумывались над тем, где они используют то, что $a, b, c$ — стороны треугольника).

Из (2) следует, что
$$a = \frac{y+z}{2}, \quad b = \frac{x+z}{2}, \quad c = \frac{x+y}{2};$$

позному исходное неравенство можно переписать так:
$$\frac{y+z}{2x} + \frac{x+z}{2y} + \frac{x+y}{2z} \geq 3.$$

Преобразуя левую часть (4) и использовать (1) и (3), получим
$$\frac{y+z}{2x} + \frac{x+z}{2y} + \frac{x+y}{2z} = = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \right) + \left( \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \right) + \left( \frac{z}{y} + \frac{y}{z} \right) \right] \geq \frac{1}{2} (2 + 2 + 2) = 3,$$
что и требовалось.

Заметим, что аналогично можно доказать и более общее неравенство:
$$\frac{x_1}{x_2 + x_3 + \dots + x_n - x_1} + \frac{x_2}{x_3 + x_4 + \dots + x_n + x_1 - x_2} + \dots + \frac{x_{n-1}}{x_n + x_1 + x_2 + \dots + x_{n-2} - x_{n-1}} + \frac{x_n}{x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} - x_n} \geq \frac{n}{n-2},$$

где все знаменатель положительных.

В заключение отмечим, что из доказанного неравенства непосредственно следует один геометрический факт. Пусть $R$ — радиус описанной около треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности. Хорошо изввести, что
$$R = \frac{abc}{4S}, \quad r = \frac{S}{p},$$
(5)

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полуперimetр. Из (2) следует, что
$$p - a = \frac{x}{2},$$
$$p - b = \frac{y}{2},$$
$$p - c = \frac{z}{2}.$$

Теперь, использую (5) и (6), получим
$$\frac{R}{2r} = \frac{abcp}{8S^2} = \frac{abcp}{8p(p-a)(p-b)(p-c)} = = \frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} = = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8xyz} = = \frac{1}{4} \left[ 1 + \left( \frac{y+z}{2x} + \frac{x+z}{2y} + \frac{x+y}{2z} \right) \right].$$

Заметим, что в круглых скобках правой части последнего равенства стоит левая часть неравенства (4). Воспользовавшись им, получим
$$\frac{R}{2r} \geq 1,$$
то есть $R \geq 2r$.

Итак, радиус описанного около треугольника круга не меньше диаметра вписанного в него кругла. Попробуйте доказать это число геометрических (что значительное труднее).

53

Рис. 3

Ф7. Горизонтальный стержень $O_1A$ длиной $l$ врашается вокруг вертикальной оси $O_1$ (рис. 3). На ось, прикрепленную к концу стержня $A$, наажено колесо радиуса $r$. Ось колеса горизонтальная и составляет угол $\alpha$ со стержнем $O_1A$. Колесо врашается на оси без трения и катися по земле. Тренне между колесом и почвой больше. Сколько оборотов сделает колесо, когда стержень $O_1A$ сделает один оборот вокруг вертикальной оси?

Решение. Задача решения проще всего, если рассуждать так, как рассуждал бы наблюдаемый, сидящий на конце $A$ стержня $O_1A$. Если угловая скорость врашения стержня $O_1A$ относительно земли равна $\Omega$, то наблюдаемый скажет, что в его системе координат стержень неподвижен, а земля врашается вокруг оси $O_1$ с угловой скоростью, равной $\Omega$, в направлении, противоположном направлению врашения стержня относительно земли. Скорость точки земли, в которой ее касается колесо, равна по величины $v = \Omega l$ и направлена perpendicularно стержню $O_1A$. Разложим эту скорость на две составляющие: $v_1 = v \cos \alpha$ и $v_2 = v \sin \alpha$, соответствующего параллельную и perpendicularную плоскости колеса. Ясно, что так как трение колеса о почву велико, то точка колеса, в которой она касается земли, движения относительно точки $A$, а значит и оси колеса, со скоростью $v_1$. Это означает, что колесо врашается вокруг оси с угловой скоростью $\omega = \frac{v_1}{r} = \Omega \frac{l}{r} \cos \alpha$.

Рис. 4.

Отношение углов поворота стержня и колеса вокруг своих осей равно относительной угловых скоростей врашения стержня и колеса. Поэтому, когда стержень $O_1A$ сделает один оборот вокруг оси $O_1$, колесо сделает $n = \frac{\omega}{\Omega} = \frac{l}{r} \cos \alpha$ оборотов вокруг своей оси.

Ф8. Длинный стержень $AB$ с резьбой отверстием на конце накручен на вертикальной винт (рис. 4). Стержень отпускают. Тренне между винтом и стержнем пренебрежимо мало. Как будет движаться стержень после того, как он слетит с винт?

Решение. В тот момент, когда стержень слетит с винт, скорость его центра масс (центра тяжести) будет иметь как вертикальную, так и горизонтальную составляющие. Так как единственной силой, действующей на стержень, с этого момента будет слияя тяжестями, то центр масс стержня будет движаться по параболе — траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью, равной скорости движения центра масс стержня в тот момент, когда он слетел с винт. Но в тот момент, когда стержень слетел с винт, различные точки стержня имели различные горизонтальные скорости. Поэтому стержень будет еще и врашаться в горизонтальной плоскости вокруг центра масс.

55

Найдем закон изменения амплитуды колебаний груза. Изменение энергии системы при движении груза равно работе силы треня, поэтому, используя формулу для энергии деформационной пружины $W = \frac{k(\Delta x)^2}{2}$, можно записать, что

$$\frac{k y_n^2}{2} - \frac{k x_n^2}{2} = F_{\text{тр}}(y_n + x_n)$$

и

$$\frac{k x_n^2}{2} - \frac{k y_n^2}{2} = F_{\text{тр}}(x_n + y_n+1).$$

Разделив обе части первого уравнения на $y_n + x_n$, найдем, что $y_n - x_n = 2 \frac{F_{\text{тр}}}{k}$. Аналогично из второго уравнения получим, что $x_n - y_n+1 = 2 \frac{F_{\text{тр}}}{k}$. Сложив получившиеся уравнения, найдем, что

$$y_n - y_n+1 = 4 \frac{F_{\text{тр}}}{k}$$

(9)

Но $\frac{F_{\text{тр}}}{k} = a$, поэтому $y_0 - y_1 = y_1 - y_2 = \dots = y_n - y_{n+1} = 4 a$. (10)

Амплитуда колебаний груза за период уменшается на одну и туже величины, равную 4a. Подставив в формулу (7) вместо разности $y_0 - y_1$ равную ей разность $y_n - y_{n+1}$, получим, что $\frac{y_n - y_{n+1}}{y_0} = 0,07$, или что за период амплитуда колебаний груза уменшается на $0,07 y_0 = 1,4$ cm. Через $n$ колебаний она становится равной $y_n = y_0 - n \cdot 0,07 y_0$. При этом амплитуда колебаний груза, как мы уже говорили, не может быть меньше, чем $a$. Так как, согласно формулам (7) и (10), $4a = y_0 - y_1 = 0,07 y_0 = 1,4$ cm, то $a = 0,35$ cm.

Из условия $y_n \geq a$ или $20(1 - 0,07n) \geq 0,35$ получим, что $n \leq 14,04$. $n$ — целое число. Поэтому груз совершит 14 полных колебаний.

Так как, $y_{14} = 20(1 - 0,07 \cdot 14) = 0,4$ cm, то есть $y_{14} > a$, и груз находится вне области между точками $A$ и $B$. Поэтому действующая на груз сила натяжения больше силы треня, и груз совершит еще часть колебания, остановившись на расстоянии $y$ от точки $O$. Причем груз не может до точки $O$. При движении влево положение его равновесия — точка $B$, и груз не может отклониться до точки $B$ на расстояние больше, чем $y_{14} - a \approx 0,5$ cm.

Пусть, пройденный грузом до остановки, равен $y_{14} - y$. Энергия системы в точке, в котором остановится груз, равна $\frac{k y_n^2}{2}$. Приравняв разность энергий системы работы силы треня, получим уравнение $\frac{k y_{14}^2}{2} - \frac{k y_n^2}{2} = F_{\text{тр}}(y_{14} - y)$. Разделив это уравнение на не равную нулю разность $y_{14} - y$, получим, что $ky_{14} + ky = 2F_{\text{тр}}$. Отсюда $y = 2 \frac{F_{\text{тр}}}{k} - y_{14} = 2a - y_{14} = 0,3$ cm.

Ф10. Как из четырех тонких проволочных спиралей с сопротивлениями $10 \text{ om}$, $20 \text{ om}$, $30 \text{ om}$ и $40 \text{ om}$, расчитанных на выделение мощности не более $2 \text{ om}$ на каждой, составить нагреватель набольшей возможной мощности, если имеется источник тока с э. д. с. $20 \text{ b}$ и внутренним сопротивлением $20 \text{ om}$?

Решен.e. Докажем вначале, что во внешней цепи выделяется тем большая мощность, чем ближе сопротивление нагрузки к внутреннему сопротивлению источника.

Ток в цепи, состоящей из включенных последовательно источника с э. д. с. $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ и нагрузки с сопротивлением $R$, равен $\frac{\varepsilon}{R + r}$. Поэтому мощность, выделяя на нагрузке, $W = \frac{\varepsilon^2}{(R + r)^2} R$.

Нарисуем график зависимости $W$ от сопротивления нагрузки $R$. При $R = 0$, $W = 0$; при $R \rightarrow \infty$ можно пребрать $r$ по сравнению с $R$ в значенном деле добри. Тогда $W \approx \frac{\varepsilon^2 R}{R^2} = \frac{\varepsilon^2}{R}$.

To есть при больших $R$ ($R \gg r$) график зависимости $W$ от $R$ — это гипербола, а симптотических приближаяся к оси $R$. Так как функция $W(R)$ непрерывна, равна нулю при $R = 0$ и убывает при $R \rightarrow \infty$, то она должна иметь максимум. Найдем его.

56

Выражение $\frac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}$ максимально, когда обратное выражение $\frac{(R + r)^2}{\varepsilon^2 R}$ минимально. Но $\frac{(R + r)^2}{\varepsilon^2 R} = \frac{1}{\varepsilon^2} \times \frac{R^2 + 2Rr + r^2}{R} = \frac{2}{\varepsilon^2} r + \frac{1}{\varepsilon^2} \left( R + \frac{r^2}{R} \right)$.

Это выражение минимально, когда минимально выражение $R + \frac{r^2}{R}$.

Так как $R + \frac{r^2}{R} \geq 2\sqrt{R \cdot \frac{r^2}{R}}$ (соответствие между средним аргументческим и средним геометрическим двух чисел $R$ и $\frac{r^2}{R}$), то $R + \frac{r^2}{R} \geq 2r$. Следовательно, минимум суммы $R + \frac{r^2}{R}$ равен 2r и достигается при $r = R$.

Итак, мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальная при $R = r$. График зависимости $W(R)$ показан на рисунке 6. Из графика видно, что $W(R)$ тем больше, чем больше $R$ к $r$. Это означает, что из спиралей нужно составить нагреватель с сопротивлением, как можно более близким к 20 ом. Использовать лишь спираль с сопротивлением 20 ом нельзя, так как при этом на ней будет выделяться мощность $W = \left( \frac{\varepsilon}{R + r} \right)^2 R = 5 \text{ ом}$, а каждая из спиралей расчитана на выделение мощности не более 2 ом.

Из всех возможных схем соединения спиралей на лучшая приведение на рисунке 7. Сопротивление такого нагревателя равно 20 ом, выделяющая в нагревателе мощность $W = \left( \frac{20}{20 + 20} \right)^2 20 = 5 \text{ ом}$. Нетрудно подсчитать, что наиболее мощность выделяется на спирали с сопротивлением 20 ом и равна 1,8 ом.

Очень хорошо решение этой задачи прислал Л. Воронов из г. Ярославля. В приложении к решению задачи он разобрал вопрос о том, как зависит к.п.д. электронустановки от сопротивления нагрузки.

Так как мощность, отдаваемая источником, равна $\varepsilon I = \frac{\varepsilon^2}{R + r}$, а полезная мощность, как мы получили, равна $\frac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}$, то, обозначив отношение $\frac{R}{r}$ через $\alpha$, получим для к.п.д. $\eta$ следующее выражение:

$$\eta = \frac{R}{R + r} = \frac{\alpha}{1 + \alpha}.$$

К.п.д. велики при больших сопротивлениях нагрузки, когда в цепи идет маленький ток. При $\alpha = 0, \eta = 0$; при $\alpha \rightarrow \infty, \eta \rightarrow 1$. При $\alpha = 1$, когда в нагреvue выделяется максимальная мощность, $\eta = 0,5$ (50%). При этом, конечно, в самом источнике выделяется такая же мощность, как и в нагреvue. Источник становится печкой.

57

Рис. 8.

Увеличия к. п. д. установки, мы одновременно уменьшаем полезную мощность, выделяющийся в нагрузке.

Ф11. При открытии бочки наполнения водой и установлены на разной высоте (рис. 8). Из каждой бочки проведены вверх трубки, соединяющиеся вместе. Трубки тоже заполнены водой. Куда будет перетекать вода по трубкам, если одновременно открыть краны $K_1$, $K_2$ и $K_3$?

Решен и е. Система из трубок будет работать как сифон. Из верхней бочки вода будет перетекать в среднюю и нижнюю. Кроме того, из средней бочки вода будет перетекать в нижнюю. Так как скорость перетекания воды по сифону пропорционально разности уровней воды в сосудах, то в том случае, когда уровень воды в средней бочке близке к уровню воды в нижней бочке, чем к уровню воды в верхней, в среднюю бочку из верхней бочет перетекать большие воды, чем из средней бочки в нижнюю. В этом случае уровнется как нижняя, так и средняя бочки. Если уровнены воды в средней бочке близке к уровню воды в верхней, чем к нижней, то будет наполняться лишь нижняя бочка за счет вытекания воды из верхней и средней бочек.

Продолжается подпись на начно-популярный физico-mатематический журнал «Квант». Расчитанный в первую очередь на учеников 7—10 классов, он будет интересен и учителем, особенно тем, кто ведет крупки или факультативные занятия по физике или математике, а также всем любителем математики и физики.

Основное содержание журнала — это «физico-mатематическая школа», т. е. матерials, помогающие лучше понять физику и математку, научиться применять эти науки для обучения различных явлений и процессов, с которых мы стalkиваемся на практике, научиться решать задачи.

В журнале читатель найдет много задач. Среди них задачи, предлагавшиеся наступить экзаменах в различных.byзы, задачи, предлагавшиеся на оптимизации и просто интерсные задачи.

Заметки с описанием физических прибора и опытов помогут читателю поставить и проверсти физический эксперимент.

Журнал будет публиковать на своих страницах статью обзорного характера, рассказывающее о достижениях науки и проблемах, которые еще ждут своего решения, рассказы об ученых и рассказы самих ученых о том, как «делается наука», как появляются научные открытия.

Журнал будет постояно сообщать научные новости, помещать рецепции на книги—уже выведшие и еще только готовящиеся к изданию.

Важные разделы в журнале — Задачик «Кванта», Лаборатория «Кванта», «Практикум абитриента», «Matематический журок».

Основные авторы журнала — известные советские и иностранные учены, молодые научные работники и педагоги. Журнал предоставит свои страници и школьникам для описания прибора и опытов, объяснения интерсных вопросов и задачи.

Многие материалы рассказаны на серверную работу читателя с карандашом в руках.

Подпись наинается с 1 сентября. Цена номера 30 копеек. Стоимость годовой подписки 3 рублей 60 копеек. При подписке ссылаться на наш индекс 70465.