Задачи

36

КМШ

КВАНТ 2010/№3

Задачи

Вдоль реки расположены пристани А, Б, В, Г (именно в таком порядке). От В до А теплоход плывет 1 час, от В до Г – тоже 1 час, а от Б до Г – 2 часа. В какую сторону течет река – от А к Г или от Г к А? О.Иванова

называют ступенчатыми квадратами. Докажите, что число квадратиков в каждом ступенчатом квадрате равно сумме двух квадратов натуральных чисел. Н.Авилов

Барон Мюнхгаузен утверждает, что произведения

$1 1 1 1 1 1 1 1 \cdot 1 \cdot^{...} \cdot 1 \cdot 1 \cdot^{...} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$ и 1 – це- 10 11 100 101 98 99 998 999 лые числа, причем их отношение тоже целое. Не ошибается ли барон? Г.Гальперин

1

Отметьте на листе бумаги две красные, две желтые и две зеленые точки и соедините их отрезками так, чтобы получилось пять равносторонних треугольников с разноцветными вершинами. Э.Лементаренко

Все фигуры, изображенные на рисунке, составлены из нескольких квадратиков. Иногда такие фигуры

Иллюстрации Д.Гришуковой

Штаб математиков состоит из нескольких комнат, соединенных коридорами по кругу. В каждой комнате стоит доска. Шпион проник в одну из комнат, имея при себе запас мела. Как ему определить количество комнат в штабе, если он может ходить по комнатам здания, писать мелом на доске и стирать с доски? (Изначально на досках могло быть что-нибудь написано; шпион не может выносить доску из комнаты.) М.Прасолов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.