28
КВАНТ 2014/№2
Новые приключения Буратино
Геометрическая сказка
С.ДВОРЯНИНОВ
КОГДА БУРАТИНО БЫЛ СОВСЕМ МАЛЕНЬКИМ, НА прогулки его водил папа Карло. Но вот Буратино подрос и стал ходить в начальную школу. А у старого Карло как раз появилось много заказов на изготовление деревянной мебели, работы прибавилось, а свободное время, соответственно, убавилось. Вот тогда стал Буратино просить отпустить его погулять одного. – Папа Карло, наш городок со всех четырех сторон окружают такие прекрасные леса, рощи и парки, похожие на леса! Там так чудесно! Позволь мне туда отправиться! А чтобы не заблудиться, я возьму с собой компас! – Что ж, – отвечал его отец, – ты у меня не маленький, но я тебе дам не компас, а GPS-навигатор. Вот завтра, для начала, побывай в Квадратном лесу, а навигатор я настрою так, чтобы он тебе показывал направление, перпендикулярное сторонам этого леса. И вот Буратино после школы отправился в Квадратный лес. – Ну, как прогулка? – спросил его папа Карло. Понравилась? – Да, конечно, только я один и тот же путь от края до края прошел дважды, туда и обратно (рис.1,а). Вышел из стартовой точки S и в нее же возвратился. Можно выбрать более интересный маршрут? – Можно. Отправляйся завтра в Четырехугольный лес. А навигатор будет показывать тебе направления вдоль диагоналей этого четырехугольника. Вышел Буратино из городских ворот, тут же оказался на опушке леса и включил навигатор. Дошел до одной стороны четырехугольника, потом до другой и так далее, все время двигаясь параллельно
Рис. 1
диагоналям четырехугольника (рис.1,б). И что удивительно, он оказался вновь в начале своего пути – в стартовой точке S! – Папа Карло, – рассказывал Буратино вечером, – мне сегодня повезло: я начал свое путешествие в замечательной точке, которая совпала с конечной точкой моего пути! – Что ж тут необыкновенного? Если начать путь в любой точке на стороне и двигаться параллельно диагоналям четырехугольника, то ты всегда вернешься в начальную точку. – Ладно, я завтра проверю это утверждение, буду стартовать из другой точки. Посмотрим, вернусь ли я в начало. – Даже если вернешься, то ты лишь подтвердишь мои слова, но утверждение не докажешь. И вообще, сколько бы ни было примеров, подтверждающих утверждение, они ничего не доказывают. Потом еще несколько дней Буратино гулял по Четырехугольному лесу, начинал свой путь в разных точках, но всегда при этом возвращался в точку старта.
Задача 1. Проверьте утверждение папы Карло для своего четырехугольника и попробуйте доказать его.
Через неделю Буратино отправился в Треугольный лес. Название понятное: лес имел форму треугольника. – Папа Карло, настрой навигатор так, чтобы я снова возвращался в начальную точку своего пути. – попросил Буратино. – Я привык к таким путешествиям, да и в песне поется: но так приятно возвращаться под крышу дома своего! – Хорошо, завтра навигатор поведет тебя параллельно сторонам Треугольного леса. Снова Буратино пришел на опушку леса и отправился в путь. После двух поворотов он опять оказался у городской стены, но не там, где он начинал свой путь (рис.1,в). – Наверное, навигатор сбился, – предположил Буратино. – Бывает, что и техника подводит. Что ж, проверю, пройду-ка я по лесу еще разок. Его новый маршрут состоял из трех новых отрезков, параллельных сторонам треугольника. Но тут уже в конце пути его финишная точка совпала со стартовой! – Нет, навигатор исправен. Как и обещал папа Карло, двигаясь параллельно сторонам треугольника, я всегда вернусь в начало пути. Только путь мой
29
«КВАНТ»
ДЛЯ
МЛАДШИХ
ШКОЛЬНИКОВ
состоит теперь из шести отрезков! – сделал вывод Буратино. – Ты прав, – подтвердил вечером за ужином папа Карло. – Твое путешествие можно назвать математическим экспериментом. Эксперимент привел тебя к некоторой гипотезе. А теперь докажи, что эта гипотеза верна.
Задача 2. Докажите, что, двигаясь из произвольной точки на стороне треугольника параллельно его сторонам, мы после прохождения шести отрезков обязательно вернемся в исходную точку.
– Однако, – продолжал папа Карло, – на опушке Треугольного леса есть такая точка, что, начав путь в этой точке, ты вернешься в нее, пройдя только три прямолинейных отрезка. – Что ж, завтра я попробую такую точку подобрать-угадать! – Не спеши, – возразил папа Карло. – На отрезке бесконечно много точек. Все их испытать-проверить невозможно. Ты ведь уже изучил азы геометрии? Возьми бумагу, карандаш и найди эту точку! Буратино так и сделал.
Задача 3. Найдите на стороне треугольника точку, из которой выходит замкнутая трехзвенная ломаная с вершинами на сторонах и звеньями, параллельными сторонам треугольника.
Прошло еще несколько дней, и отправился Буратино в Правильнотреугольный лес. Лес этот имел форму правильного, другими словами, равностороннего треугольника. Теперь навигатор указывал направление, перпендикулярное стороне треугольника. – И я снова вернусь в исходную точку? – спросил утром Буратино. – Да, но только для специальной начальной точки, – отвечал папа Карло. – На опушке леса таких точек ровно две. Они делят опушку на три равные части. Из одной ты должен двигаться по часовой стрелке, а из другой – против. Пройдя три прямолинейных отрезка, ты непременно вернешься в начало пути. Буратино так и сделал (рис. 1,г). Он прошелся и по одной трехзвенной ломаной (красного цвета), и по другой (синего цвета). А однажды он решил выяснить, каким окажется путь вдоль перпендикуляров для произвольной начальной точки. И вот, положив в свой школьный ранец кусок пирога и фляжку с водой, – вдруг путь окажется длинным? – он отправился в дорогу. Вначале ничего интересного не было. Пройдя три отрезка (на рисунке 2 они показаны синим цветом), он снова оказался на опушке леса у городской стены. Тут он, не останавливаясь, продолжил движение, следуя указаниям навигатора. Теперь он прошел еще три синих отрезка. Следующие три отрезка его пути – красного цвета. Каждый раз, попадая на опушку, он на песке отмечал точку, в которой он оказывался. И вот, неутомимо двигаясь вдоль ломаной линии по перпендикулярам к сторонам треугольника, Буратино заметил, что путь его пролегал по уже виденным
Рис. 2
им местам! А отметки, которые он делал на опушке, оказывались все ближе и ближе к стартовой точке его треугольного пути, показанного на рисунке 1,г. В конце концов он утомился и вернулся домой. – Папа Карло, а что получилось бы, если б я продолжал и продолжал свой путь по перпендикулярам к сторонам правильного треугольника? – спросил Буратино после того, как рассказал о своих наблюдениях. – Я попал бы на замкнутую треугольную траекторию? Сколько бы я сделал кругов по лесу? – Ответ такой, мой юный путешественник и любитель геометрии, – начал папа Карло. – Если говорить теоретически, то на треугольную траекторию попасть невозможно. Твой путь состоял бы из бесконечного количества звеньев. Но чем дольше бы ты шел, тем ближе три последовательных звена твоего пути располагались бы около сторон треугольника, который ты проходил, двигаясь из специальной точки на опушке. Соответственно, на опушке леса ты оказывался бы все ближе и ближе к специальной стартовой точке, делящей длину опушки в отношении 1:2. – Очень интересно! – воскликнул Буратино. – А я могу доказать это строго математически? – Попробуй! Для этого требуется знание геометрической прогрессии. Так что пока доказательство того, что я тебе сказал, можно отложить. А провести математический эксперимент на бумаге – совсем несложно.
Задача 4. Начертите на бумаге несколько прямолинейных звеньев возможного пути Буратино вдоль перпендикуляров к сторонам правильного треугольника и убедитесь, что они действительно приближаются к одному из треугольных маршрутов на рисунке 1,г.
На этом мы закончим нашу историю о прогулках Буратино по окрестным лесам. Потом в своей жизни он совершит еще много разных увлекательных путешествий, в которых ему всегда будет помогать геометрия. Но о них мы расскажем в другой раз.