Задачи М2454—М2457; Ф2461—Ф2464

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2454–М2457 предлагались на региональном этапе XLIII Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2461–Ф2464 предлагались на Олимпиаде имени Я.Б.Зельдовича в городе Сарове.

Задачи М2454–М2457, Ф2461–Ф2464

M2454. Изначально на доске записаны несколько (больше одного) натуральных чисел. Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число $1^{2} + 2^{2} + 2^{2} ).$ Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей. И.Богданов, П.Кожевников

M2455. Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг

Рис. 1

окружности $\omega$. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается $\omega$ (рис.1). Окружность $Ω_{b}$ с центром P проходит через B, а окружность $Ω_{c}$ с центром Q проходит через C. Докажите, что окружности Ω $, Ω_{b}$ и $Ω_{c}$ имеют общую точку. А.Акопян, П.Кожевников

M2456. Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны. А.Грибалко

M2457. Существует ли треугольник со сторонами x, y и z такой, что $x^{3} + y^{3} + z^{3} = = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )$? В.Сендеров

Ф2461. В цилиндрический стакан с площадью основания $S = 400 см^{2}$ налита вода, в которую погружен кубик льда со стороной а = 2 см (рис.2). В стакан наливают такое количество керосина, что верхняя грань кубика совпадает с поверхностью керосина. Кубик вынимают из стака- Рис. 2