Задачи

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

2. На подоконнике сидели три мухи.

Вспугнутые хозяйкой, они взлетели. Какова вероятность, что ровно через минуту они окажутся в одной плоскости?

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши –

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 1 и 2 взяты из книги «Математический винегрет» И.Ф.Шарыгина, задачи 3 и 4 – из книги «Задачи для детей от 5 до 15 лет» В.И.Арнольда.

одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег все равно не хватило. Сколько стоил букварь?

4. Найдите многогранник, имеющий такой вид сверху и такой вид спереди, как показано на картинке. Нарисуйте вид сбоку (невидимые ребра многогранника изобразите пунктиром).

Иллюстрации Д.Гришуковой

Бумеранг можно бросить так, что он вернется обратно, не коснувшись никакой твердой поверхности. А можно ли так бросить теннисный мяч?

22

КВАНТ 2017/№7

времена в таких кулечках, свернутых из газеты, старушки продавали семечки. Да и в крупных гастрономах до изобретения полиэтиленовых пакетов в кулечках развешивали пряники, конфеты, макароны и другие продукты. Теперь давайте два одинаковых конуса склеим основаниями и полученное тело будем использовать как колесную пару, располагая ось конуса перпендикулярно рельсам (рис. 3). При этом фактически

Рис. 5

леи предполагалась постоянной. Пусть теперь рельсы расходятся, колея становится шире и шире и вначале колесо находится на ее узкой части (рис.6). Если

Рис. 3

получается не одна пара колес, а бесконечно много пар разного радиуса. Действительно, пусть на плоскости есть две пары рельсов – с узкой и с широкой колеей. Поставим наше колесо на одни рельсы, а потом на другие (рис.4). Разумеется, между рельсами должна быть впадина, ложбина, канал (сродни тем, которые

Рис. 4

есть в метро). В эту ложбину сможет погружаться часть нашего колеса. Если колея узкая, то по ней катятся колеса большего радиуса R, а если широкая – то меньшего радиуса r. Посмотрим теперь на наше колесо сбоку (рис.5). Центр колес находится на высоте H над узкой колеей и на высоте h над широкой, и при этом H > h. До сих пор ширина горизонтальной ко-

Рис. 6

такое колесо отпустить, то оно покатится в сторону широкой части. При этом центр тяжести колеса будет опускаться. Это обстоятельство используют при демонстрации популярного механического парадокса. В случае, показанном на рисунке 6, рельсы справа (в широкой части колеи) можно чуть приподнять, но так, чтобы колесо по-прежнему скатывалось слева направо. При этом стороннему наблюдателю будет казаться, что колесо катится вверх вопреки всем законам механики! Ясно, что никакого противоречия здесь нет – центр тяжести колеса попрежнему опускается и колесо катится вниз по двум рельсам, каждый из которых идет вверх. В заключение – вопрос. Пусть рельсы окрашивают наше колесо, которое по ним катится. Если ширина колеи постоянна, то на поверхности двух конусов мы получим две окружности. А каким будет след, если ширина колеи меняется?

27

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

т.е. существует плоскость, принадлежащая каждой из гиперплоскостей. 3. Если прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней общую точку, то существует единственная гиперплоскость, содержащая эту прямую и эту плоскость. Из этих аксиом непосредственно следует. что четыре точки, не принадлежащие одной плоскости, определяют гиперплоскость; точно так же три прямые, не принадлежащие одной плоскости, но имеющие общую точку, или две различные плоскости, имеющие общую прямую, определяют гиперплоскость. Мы не будем доказывать эти утверждения; попытайтесь сделать это самостоятельно. Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующий факт, справедливый в четырехмерном пространстве: три различные гиперплоскости, имеющие общую точку, имеют общую прямую. В самом деле, по аксиоме 2 любые две из трех гиперплоскостей имеют общую плоскость. Возьмем две плоскости, по которым пересекается какая-то из трех гиперплоскостей с двумя другими. Эти две плоскости, принадлежащие одной гиперплоскости – трехмерному многообразию, имеют общую точку и, значит, пересекаются по прямой или совпадают.

В заключение мне бы хотелось предостеречь читателя: не следует чрезмерно доверять своей «трехмерной интуиции», когда речь идет о четырехмерном пространстве. Как вы думаете, сколько вершин может иметь выпуклый многогранник, для которого каждый отрезок, соединяющий любые две его вершины, является ребром? На плоскости таким свойством обладает только треугольник, в пространстве – тетраэдр. В четырехмерном же пространстве су-

Перейдем теперь к доказательству нашего утверждения. Если бы три плоскости, о которых говорится в условии, были расположены в четырехмерном пространстве, то утверждение было бы очевидным. Действительно, каждый трехгранный угол определяет гиперплоскость. Две гиперплоскости пересекаются по плоскости. Эта плоскость не принадлежит третьей гиперплоскости (по условию, эти гиперплоскости пересекают одну из данных плоскостей по трем прямым, не проходящим через одну точку) и, следовательно, пересекается с ними по прямой линии. Любые три соответствующие грани трехгранных углов лежат в одной гиперплоскости, определяемой двумя плоскостями, на которых расположены соответствующие ребра, и поэтому каждая тройка соответствующих граней имеет общую точку. Три эти точки принадлежат трем гиперплоскостям, определяемым трехгранными углами и, как было доказано, лежат на одной прямой. Теперь для завершения доказательства достаточно «увидеть» в данном условии задачи проекцию соответствующей четырехмерной конфигурации плоскостей и трехгранных углов.

1. По четырем прямым плоскости с постоянными скоростями идут четыре пешехода А, В, С, D. Известно, что пешеходы А, В и С встречаются друг с другом, пешеход D встречается с А и В. Докажите, что пешеходы С и D встречаются. 2. На плоскости даны три непересекающиеся окружности. Рассмотрим шесть точек, каждая из которых является точкой пересечения общих внутренних или общих внешних касательных к какимто двум из данных окружностей. Докажите, что эти шесть точек лежат на четырех прямых, по три на каждой. 3. Даны три параллельные прямые и три точки на плоскости. Постройте треугольник, вершины которого лежат на данных прямых, а стороны проходят через данные точки. 4. Три точки А, В и С лежат на одной прямой. Возьмем произвольную окружность, проходящую через А и В, и проведем к ней из С две касательные – СМ и СМ. Докажите, что точка пересечения прямых MN и АВ постоянна. 5. Пусть А – данная точка внутри данной окружности, ВС – произвольная хорда, проходящая через А. Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке М. Найдите геометрическое место точек М. 6. Покажите, что в четырехмерном пространстве две плоскости могут пересекаться в одной точке.

Рис. 9

ществуют такие многогранники со сколь угодно большим числом вершин (см., например, рис.9).

Упражнения