27
«КВАНТ»
ДЛЯ
МЛАДШИХ
ШК О ЛЬНИК О В
Геометрия клетчатой бумаги
А.ОНОПРИЕНКО
МЫ РАССКАЖЕМ ОБ ОДНОМ ИНТЕ- ресном сюжете, подготовленном по материалам математических кружков при Московском педагогическом государственном университете Обычный листочек в клетку таит в себе много неожиданностей. Мы обсудим несколько задач, построения в которых производятся на клетчатой плоскости. Как и в стандартных задачах на построение, можно пользоваться линейкой без делений, чтобы проводить прямые, но циркуль нам совершенно не понадобится. Как правило, именно циркуль, а не линейка, позволяет в задачах на построение «измерять» отрезки (не находить их длину, а строить отрезок, равный данному, например). Здесь же измерительным инструментом является сама плоскость! Заглавными буквами A, B, C, … во всех задачах обозначены узлы клетчатой бумаги. Сторону одной клетки принимаем за 1. Начнем наше путешествие с одной простой задачи-исследования. Задача 1. а) На клетчатой бумаге проведен отрезок AB, не проходящий по сторонам клеток, и отмечена точка C. Отметьте узел D такой, что AB = CD. б) Постройте все такие отрезки. Сколько их получилось? На рисунке 1 представлены разные варианты отрезков AB. Постарайтесь решить задачу для каждого из этих вариантов. Точку C можете выбирать в каком угодно узле (из нашего решения будет следовать, что ее расположение не важно).
Рис. 1
Решение. a) Построим прямоугольный треугольник по сторонам сетки, одна из сторон которого – отрезок AB (вообще говоря, это можно сделать двумя способами, но зафиксируем один из них). Затем перенесем этот треугольник в точку C. Та сторона этого треугольника, которая не идет по сторонам сетки, будет равна отрезку AB, так как треугольники равны по двум катетам. Это и будет искомый отрезок CD (рис.2,а). Это же решение годится для любого другого отрезка AB. б) Вообще говоря, в пункте а) можно было бы не строить треугольник, а внимательно рассмотреть отрезок AB. Для того чтобы попасть в точку B, мы должны от точки A пройти на 5 клеток вправо и на 2 клетки вверх (эти числа приведены для первого отрезка, для других отрезков количество клеток будет другим). Если пройти от точки C на 5 клеток в одном направлении и на 2 клетки в перпендикулярном
1 Кружки открыты с 2016 года, а в этом году они получили поддержку Департамента образования города Москвы в рамках мероприятия «Детский университет МПГУ (организация работы кружков для московских школьников на базе МПГУ)». Более подробная информация о кружках есть на сайте mathcircles.mpgu.org
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20181103
Рис. 2