Задачи М2538—М2541; Ф2545—Ф2548

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2538, М2539 предлагались на XL Турнире городов. Задача M2541 предлагалась на заочном туре XIV олимпиады по геометрии имени И.Ф.Шарыгина.

Задачи М2538–М2541, Ф2545–Ф2548

M2538. Петя расставляет 500 королей на клетках доски 100 u 50 так, чтобы они не били друг друга. А Вася расставляет 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски 100 u 100 так, чтобы они не били друг друга. У кого больше способов это сделать? Е.Бакаев

M2539. а) Докажите, что любое число вида 3k – 2, где k – целое, может быть представлено в виде суммы одного квадрата и двух кубов целых чисел. б) Докажите, что любое целое число может быть представлено в виде суммы одного квадрата и трех кубов целых чисел. Н.Седракян

M2540. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $AH_{a}, BH_{b}, CH_{c}$.

Рис. 1

Пусть $H_{ab}$ – проекция точки $H_{a}$ на прямую АC (рис.1). Аналогично определим точки $H_{ac}, H_{ba}, H_{bc}, H_{ca}, H_{cb}$. Докажите, что шесть точек $H_{ab}, H_{ac}, H_{ba}, H_{bc}, H_{ca}, H_{cb}$ лежат на одной окружности, центр которой совпадает с центром масс треугольного контура $H_{a} H_{b} H_{c}$, сделанного из однородной проволоки. И.Вайнштейн

$M2541^{*}$. Плоскость разбита на выпуклые семиугольники единичного диаметра. Докажите, что любой круг радиуса 200 пересекает не менее миллиарда из этих семиугольников. (Диаметр многоугольника – это максимум среди расстояний между парами его вершин.) А.Канель-Белов

Ф2545. Два сплошных шарика разных размеров из одного химически чистого вещества находятся в космосе вдали от других массивных тел и взаимодействуют друг с другом только гравитационным способом. Они вращаются вокруг общего центра масс, делая один оборот за время одного урока Т = 45 мин. Какой может быть минимальная плотность материала, из которого сделаны шарики? Какому металлу такая плотность соответствует? А.Буров, Е.Шалимова

Ф2546. Имеется «четверть бесконечная» решетка с квадратными ячейками, состоя-