Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

35

ЭКЗ АМ Е НАЦИОНН ЫЕ

Второй год приходит на праздник со своей младшей дочерью Боряна Калинова (ОИЯИ): Хочу сказать слова благодарности организаторам, потому что устроить все это – огромный труд! У детей надолго останется в памяти встреча с «живой» наукой, когда все можно потрогать руками, а что-то и применить в жизни. Нам понравилось, мы очень довольны. Моя дочь Рада учится во втором классе, но она смотрит образовательные передачи на телеканале «Да Винчи» и здесь некоторые эксперименты – с жидкостями, с ракетой на сжатом воздухе – смотрела с понимаем. Говорит: «это я уже знаю». Год от года все больше зрителей привлекают зрелищные химические и физические

МА ТЕ РИА ЛЫ

опыты, проводимые Д.К.Дрябловым (Лаборатория физики высоких энергий ОИЯИ) и А.Е.Злотниковой (Музей истории науки и техники ОИЯИ). В этот раз программа их шоу стала еще обширнее: от простых, но эффектных обесцвечивания йода с помощью аскорбиновой кислоты и создания киношной «крови» до вызывающих восторг заполненного большого зала Дома культуры гигантской «зубной пасты» для слона, «горящей» руки и азотного «взрыва». Праздник прошел. Вы не были на нем? Обязательно приходите в следующем году!

Материал подготовила О.Тарантина, фото представила Е.Пузынина

ЭКЗ АМ Е НАЦИОНН ЫЕ МА ТЕ РИА ЛЫ

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Национальный исследовательский университет «МИЭТ» на протяжении многих лет проводит для старшеклассников олимпиады по математике, физике и информатике, которые пользуются большой популярностью среди школьников страны. С 2015 года в заочной (дистанционной) форме проводится олимпиада школьников «РИТМ МИЭТ». Ежегодно в 9 секциях этой олимпиады принимают участие более 2000 человек. В 2018 году университет организовал очную Физико-математическую олимпиаду МИЭТ, которая проходит в нескольких десятках городов России и стран СНГ. С 2019 года также проводится олимпиада школьников «Электронный наномир». Ниже приведены задачи по физике, предлагавшиеся на заключительном туре заочной олимпиады «РИТМ МИЭТ», а также варианты по физике для учащихся 10 и 11 классов очной Физико-математической олимпиады МИЭТ.

Интернет-олимпиада «РИТМ МИЭТ»

ФИЗИКА

1. Мальчик, бросая камень со скоростью $v_{0} 20$ м с с крыши дома, определил максимальную горизонтальную дальность полета. Спустившись на землю и повторив броски камня с той же начальной скоростью $v_{0}$, он заметил, что максимальная горизонтальная дальность полета камня уменьшилась в n 3 2 раза. На какой высоте находится крыша дома? 2. Два одинаковых ящика высотой h = = 0,5 м каждый стоят на поверхности пола. Между ящиками вертикально вставлена жесткая легкая доска длиной l = 1,5 м, как показано на рисунке 1. К верхнему концу доски приложили горизонтальную силу F и стали постепенно ее увеличивать. При F = = 100 Н один из ящиков пришел в поступательное движение. Чему равен вес каждого

38

КВ АН T 2019/№6

легкая тележка? б) Какое количество теплоты выделилось при ударе? 3. При изобарном расширении идеального газа его объем увеличился на $'^{V} = 3$ л, а температура изменилась на G 30%. Чему равен первоначальный объем газа? 4. Небольшой заряженный шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, после начального толчка движется по окружности в вертикальной плоскости. В момент времени, когда нить составляла угол D с вертикалью, включили однородное электрическое поле, направленное вертикально (рис.9). После включения поля ки-

те: а) скорость второго тела после соударения; б) количество теплоты, выделившееся при ударе. 3. При изотермическом расширении идеального газа его объем увеличился на $'^{V} = = 3$ л, а давление изменилось на G 30%. Чему равен первоначальный объем газа? 4. Небольшой заряженный шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, после начального толчка движется по окружности в вертикальной плоскости. В момент времени, когда нить составляла угол D с вертикалью, включили однородное электрическое поле, направленное вертикально (рис.10). После включения поля ки-

Рис. 9

нетическая энергия шарика в нижней точке траектории увеличилась на ’ $W_{1} = 0,1$ мДж, а в верхней точке траектории уменьшилась на ’ $W_{2} = 0,3$ мДж по сравнению со значениями кинетической энергии в этих точках до включения поля. Определите угол D. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. 5. Энергия конденсатора емкостью С = = 2 нФ, включенного в идеальный колебательный контур, достигает при колебаниях максимального значения W m = 0,1 мкДж через промежутки времени W = 1 мкс. Определите амплитуду колебаний тока в контуре.

Вариант 2 1. Брусок массой m = 200 г прижимают к вертикальной стене с силой F = 8 Н, направленной под углом D 60 q к вертикали, как показано на рисунке 8. При этом брусок движется вверх с постоянной скоростью. Определите коэффициент трения P между бруском и стеной. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}. 2.$ Тело $массой_{1}^{m} = 1$ кг налетело со скоростью $v_{1} 10$ м с на покоящееся тело $массой_{2}^{m} = 2$ кг и остановилось. Определи-

Рис. 10

нетическая энергия шарика в нижней точке траектории уменьшилась на ’ $W_{1} = = 0,6$ мДж, а в верхней точке траектории увеличилась на ’ $W_{2} = 0,1$ мДж по сравнению со значениями кинетической энергии в этих точках до включения поля. Определите угол D. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. 5. В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С = = 0,01 мкФ и катушки, происходят гармонические колебания. Энергия конденсатора изменяется от максимального значения до нуля за время W = 1 мкс. Определите индуктивность катушки. Публикацию подготовили Г.Гайдуков, И.Горбатый

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №5)

1. Не надо перекладывать ни одной спички! Можно просто повернуть лист бумаги на $180\infty$. Получится $число^{8281}$ (рис.1), которое является полным квадратом $( 8281 = 91^{2} ).$

Рис. 1

2. 77. Пусть у девочек по x тетрадей. Маша использовала 7 + 7 ( x - 7 ) наклеек, а Света – 11 + 11 ( x - 11 ). Так как все наклейки использованы, то 7 + 7 ( x - 7 ) = 11 + 11 ( x - 11 ). Решив это уравнение, получим $x =^{17}$. Значит, в каждом наборе было по 7 + 7 ( 17 - 7 ) = 77 наклеек. 3. См. пример на рисунке 2.

Рис. 2

4. Антон. Какую-то камеру X они проехали в порядке Б, А, В, а камеру Y – в порядке В, А, Б. Предположим, что камеру X они проехали раньше. Предположим, что Антон не падал. Так как он самый быстрый и уже впереди Вовы, то он далее всегда будет впереди Вовы и ситуация «В, А, Б» не возникнет. Противоречие. Случай, когда Y они проехали раньше, чем X, рассматривается аналогично.

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

1. Большому колесу легче, чем маленькому, преодолевать бугры и камни на дороге. (Кроме того, с увеличением радиуса колеса уменьшается коэффициент трения качения.) 2. За верхнюю часть колес легче: больше вращающий момент (плечо силы равно диаметру колеса, в первом же случае – его радиусу). 3. Сила, с которой велосипедист может давить на педали, непостоянна: она максимальна на старте и становится равной нулю при такой скорости, когда период вращения педалей сравнивается со

временем реакции велосипедиста (периодом нажатия на педаль и отпускания педали). После этого скорость уже не может возрастать. 4. Протектор служит для увеличения сцепления колеса с полотном дороги. Поперечные полосы нужны для ускорения автомобиля в прямом направлении, продольные (и расположенные под углом) препятствуют боковому смещению. Помимо этого, бороздки помогают в борьбе с аквапланированием, поскольку дают возможность воде вытекать вбок. 5. Если шины слегка спущены, то площадь соприкосновения с грунтом возрастает. Давление на грунт при этом уменьшается, как и глубина следа, – меньше вероятность застрять. 6. Чтобы сильнее прижать автомобиль к дороге на больших скоростях. При этом повышается устойчивость машины. 7. После подачи состава назад гораздо легче сдвигать его вперед, последовательно приводя в движение вагоны. Если же резко трогать состав с натянутыми сцепками вперед, может произойти разрыв ближайших к локомотиву сцепок, где их натяжение наибольшее. 8. Чтобы предупредить опрокидывание яхты при больших наклонах. Еще одно назначение киля – противодействовать боковому смещению (дрейфу) судна. 9. Заметим, что вращение в этих двух случаях происходит во взаимно перпендикулярных плоскостях. В первом случае колесо могло отбрасывать воду назад только нижней своей частью, во втором – поверхностью всех лопастей винта. 10. При переходе в море уменьшается глубина погружения судна, соответственно уменьшается сопротивление воды движению. При прежней мощности двигателя скорость судна относительно воды вырастает (молчаливо мы полагаем одинаковой вязкость речной и морской воды). 11. Нельзя, так как скорость движения воздушного шара равна скорости ветра. 12. В обоих случаях сила давления одинакова. Вертолет действует на воздух с силой, равной своей силе тяжести, а воздух передает действие этой силы на землю. 13. Баки с горючим располагаются в самолете так, что центры его тяжести с топливом и без топлива совпадают. 14. При дополнительной нагрузке необходимо увеличить угол атаки крыльев, чтобы повысить подъемную силу. Однако при этом возрастает и лобовое сопротивление, из-за чего скорость самолета становится меньше. 15. С ростом температуры уменьшается плотность, а значит, и массовый расход воздуха, поступающего в двигатель.

45

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

ющие те же два ряда (рис.12,а). Но число стрелок нечетно, поэтому найдется стрелка без пары. Пусть, например, такая стрелка горизонтальна и ведет из i-го столбца в i 1 -й (рис.12,б). В

РЕШЕНИЯ

Заметим, что после раскрытия скобок получается алгебраическая сумма S ста чисел 400, ста чисел 399,…, ста двоек и ста единиц, причем ровно перед половиной этих чисел стоит знак минус. Назовем числа от 1 до 200 маленькими, а остальные – большими. Если бы разрешалось брать из кучек произвольные камни, то максимальное значение S, очевидно, достигается, когда все большие числа входят в S со знаком плюс, а все маленькие – со знаком минус. Такая сумма равна $100 400 399^{…} 201 200 199^{…} 1$

$= 100 400 200 399 199^{…} 201 1$

Рис. 12

i 1 -м столбце тоже есть единица. Поскольку у первой стрелки нет пары, вторая стрелка может вести только в i 2 -й столбец (двойка в i 1 -м столбце уже занята). В i 2 -м столбце тоже есть единица, и стрелка из нее может вести только в i 3 -й столбец (двойки в i 1 -м и i 2 -м столбцах уже заняты). Продолжая, дойдем до единицы в n-м столбце, откуда стрелке идти уже некуда. Противоречие. 6. 150q. Пусть высота BM треугольника ABC пересекается с прямой AK в точке O (рис.13). Тогда ‘ COM ‘ AOM 60 q. Значит, ‘ AOC 120 q и ‘ COB 120 q. Следовательно, треугольники BOC и KOC равны по двум сторонам и углу,

Рис. 13 лежащему против большей из них (так называемый четвертый признак равенства треугольников). Поэтому OB = OK, т.е. треугольник BOK равнобедренный с углом 120q при вершине O. Поэтому ‘ OKB 30 q, а ‘ AKB 150 q. 7. 3920000. Оценка. Будем считать, что камни в кучках лежат один на другом, причем из выбранных кучек Петя берет верхние (на данный момент) камни. Пронумеруем камни в каждой кучке снизу вверх числами от 1 до 400. Тогда число очков, которое Петя получает на каждом ходу, равно разности номеров удаляемых камней. В результате он получит сумму вида $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}^{…}$ … $a_{39999} a_{40000}$, где $a_{i}$ – номера соответствующих камней.

100 ˜ $200^{2}$. Заметим, однако, что каждое большое число хотя бы один раз войдет в сумму со знаком минус: это произойдет, например, в тот момент, когда Петя в первый раз удалит камень с этим номером. Аналогично, каждое из 200 маленьких чисел хотя бы один раз войдет в сумму со знаком плюс (в тот момент, когда Петя удалит последний камень с этим номером). Поэтому максимальный результат Пети не превышает 99 ˜ $400 399^{…} 201 99$ ˜ $200 199^{…} 1$

$400 399^{…} 201 200 199^{…} 1$

98 ˜ $200^{2}$. Пример. Добиться указанного результата можно, например, так. За первые 200 ходов Петя забирает по 200 камней из первых двух кучек (при этом 200 больших чисел – каждое по разу – получают знак минус). За следующие 200 ходов он снимает 200 верхних камней из третьей кучки и 200 нижних из первой кучки, далее по 200 камней из второй и четвертой, третьей и шестой,…, 98-й и 100-й кучек (при этом все числа входят с «правильными» знаками). Наконец, остается по 200 нижних камней в последних двух кучках, которые и снимаются за последние 200 ходов (и возникает 200 знаков плюс перед числами с 200 по 1).

10–11 классы

1. Пусть исходное число имеет вид AB, причем A при делении на 7 дает остаток r. Возьмем такую цифру a, что 2r + a делится на 7 (она, очевидно, найдется). Будем делить число вида Aa … aB на 7 в столбик. Когда мы закончим делить A, останется остаток r. На следующем шаге мы будем делить на 7 число 10 r a 7 r 2 r a r, снова получается остаток r. На следующих шагах это повторяется, пока мы не дойдем до деления на 7 числа rB, которое делится на 7 по условию. 5. а) Не может; б) может. а) Пусть единичный квадрат ABCD – проекция