Задачи

«КВАНТ» ДЛЯ М ЛАДШИХ ШК О ЛЬНИК О В

Задачи

1. В записи –2 –3 –4 –4 расставьте между соседними числами знаки сложения, умножения и скобки двумя способами так, чтобы значения полученных выражений были одинаковыми. (Ставятся только те скобки, которые меняют значение выражения.) А.Сгибнев, Д.Шноль

У Йоси есть три прибора, которые определяют, есть ли в пончике повидло. Один из приборов всегда дает правильный ответ, второй – всегда неправильный, а третий выдает случайные ответы. Как-то Йося купил три пончика. Ему известно, что ровно один из них – с повидлом. Как ему гарантированно определить, какой именно, не ломая пончики? Олимпиада «Зута» (Израиль)

2. На клетчатом листе бумаги лежит

Иллюстрации Д.Гришуковой проволочная рамка в форме креста, как показано на рисунке. На какое наименьшее количество частей нужно разрезать рамку, чтобы из них (используя все) можно было сложить контур квадрата? Е.Бакаев, С.Токарев

Эти задачи предлагались на XXV Турнире математических боев имени А.П.Савина.

4. Соня спит тогда и только тогда, когда часовая и минутная стрелки часов образуют угол, не превосходящий 60 градусов. Сколько времени в течение суток спит Соня? Фольклор

27

«КВАНТ»

ДЛЯ

М ЛАДШИХ

Этот пример подсказывает, что аналогичным образом можно построить любую ломаную, удовлетворяющую условию, у которой нечетное количество звеньев, большее трех. Действительно, достаточно поставить на окружности требуемое количество вершин и последовательно соединить их через одну. Например, на рисунке 4,б изображена ломаная, у которой девять звеньев. Таким образом, осталось разобраться с ломаными с четным количеством звеньев, начиная с шести. Искомой шестизвенной ломаной не существует, но доказать это можно только перебором всех случаев, который не очень интересен. Для восьми звеньев существует красивый пример (рис.5,а). Аналогично можно построить ломаную, удовлетворяющую

ШК О ЛЬНИК О В

еще две вершины, расположенные внутри окружности. Однако есть и более простой способ. Воспользуемся тем, что любое четное число, большее восьми, можно представить в виде суммы двух нечетных слагаемых, каждое из которых не меньше пяти. Покажем, например, как построить двенадцатизвенную ломаную, удовлетворяющую условию. Изобразим две окружности, которые касаются внешним образом в некоторой точке. В одной из окружностей построим уже указанным способом пятизвенную ломаную, а в другой – семизвенную, причем точка касания должна быть их общей вершиной. А теперь эту точку «раздвоим» (рис.6; результат раздвоения – вершины с номерами 1 и 6).

Рис. 6

Рис. 5

условию, с любым четным количеством звеньев, большим восьми. Как это делается, понятно из примеров для десяти и двенадцати звеньев, показанных на рисунках 5,б и 5,в. Сначала мы отмечаем на окружности точки, которых на две меньше, чем нужно, и соединяем их через одну. Так как точек четное количество, то получатся две замкнутые ломаные, все звенья которых пересекаются с другой ломаной в двух точках. После этого удаляем по одному звену в каждой ломаной и соединяем ломаные в одну, используя

Аналогично строятся все искомые ломаные, у которых количество звеньев четное и больше восьми. Возникает вопрос: почему мы начали с двух точек пересечения звеньев, а не с одной, что, казалось бы, более естественно? Дело в том, что такой порядок более логичен, так как решение следующей задачи будет во многом опираться на решение рассмотренной. Задача 2. Сколько вершин может быть у замкнутой ломаной, которая каждое свое звено пересекает ровно один раз? Решение. Сразу заметим, что в этом случае звенья ломаной должны разбиваться на непересекающиеся пары, поэтому у искомых ломаных четное количество звеньев. Легко проверить, что замкнутая ломаная из четырех звеньев условию не удовлетворяет. Пример искомой ломаной из шести звеньев можно построить, исходя из следую-