Решения задач М2590—М2593; Ф2597—Ф2600

29

ЗАДАЧНИК

каком значении угла D наклона горы к горизонту скорость тени корабля на земле будет минимальной? В.Гребень

Ф2610. Цилиндр с жесткими стенками с внутренним радиусом R доверху заполнен несжимаемой жидкостью с плотностью U. Ось симметрии цилиндра вертикальна. Горизонтальная плоская крышка цилиндра прикреплена к его донышку тонким вертикальным тросом, натянутым с силой F, трос расположен на оси симметрии цилиндра. Этот сосуд раскрутили вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии, до угловой скорости Z. Как изменилась сила натяжения троса? Х.Цилиндров

Ф2611. Два положительных заряда $q_{1}$ и $q_{2}$ закреплены на расстоянии d друг от друга (рис.3). К зарядам привязана нерастяжи-

Рис. 3

мая непроводящая нить длиной L. По нити может скользить без трения маленькое положительно заряженное колечко. Система находится в невесомости. Найдите расстояния от колечка до зарядов в положении равновесия. М.Николсон

Ф2612. Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой изображены идеальная тонкая линза, предмет и его изображение. Из текста следует, что предмет представляет собой стержень длиной l с двумя точечными источниками света на концах. Стержень и главная оптическая ось линзы находятся в плоскости рисунка и стержень не пересекает плоскость линзы. От времени чернила выцвели, и на рисунке остались видны лишь сами источники и их изображения, причем неизвестно, какая из четырех точек чему соответствует. Интересно, что эти точки

«КВАНТА»

расположены в вершинах и в центре равностороннего треугольника (рис.4). 1) Определите, самому предмету или его изображению принадлежит точка Рис. 4 в центре треугольника. 2) Восстановите оптическую схему (предмет, изображение, линзу, ее главную оптическую ось и фокусы) с точностью до поворота рисунка на 120q и отражения. 3) Найдите фокусное расстояние линзы.

Примечание. Линза называется идеальной, если любой пучок параллельных лучей фокусируется в ее фокальной плоскости.

А.Аполонский

Решения задач М2590–М2593, Ф2597–Ф2600

M2590. Решение этой задачи будет опубликовано позже.

M2591. На плоскости нарисованы 100 синих прямых, среди которых нет параллельных и никакие три из которых не проходят через одну точку. Точки пересечения синих прямых отмечены красным. Могло ли получиться так, что расстояние между любыми двумя красными точками, лежащими на одной синей прямой, равно целому числу?

Ответ: могло. Во-первых, заметим, что достаточно построить пример, в котором расстояние между любыми двумя красными точками, лежащими на одной синей прямой, равно рациональному числу. Действительно, если конструкция с рациональными расстояниями имеется, далее можно увеличить размеры в нужное количество раз n, т.е. рассмотреть конструкцию, гомотетичную данной с коэффициентом n, где n делится на знаменатели всех рациональных чисел, выражающих расстояние (здесь важно, что расстояний конечное количество). Идея построения нужного примера может состоять в следующем. Если брать на координатной плоскости прямые, задаваемые уравнениями с рациональными коэффициентами, красные точки будут иметь рациональные координаты (в этом легко