[О книге «Задачи лингвистических олимпиад»]
22
КВАНТ 2021/№1
Таким образом, равногранный тетраэдр является совершенно уникальной фигурой! Среди всех выпуклых фигур только у него есть бесконечное разнообразие замкнутых геодезических линий.
Упражнения
- Докажите, что равногранный тетраэдр можно сложить только из остроугольного треугольника. 14. Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны тому, что он – равногранный: 1) Противоположные ребра равны в каждой паре. 2) Два плоских угла, противоположные одному ребру, равны (для каждого ребра). 3) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180q. 4) Тетраэдр имеет ось симметрии. 5) Вписанный и описанный шары имеют общий центр. 6) Все грани имеют равные площади. 15. Сколько существует типов геодезических с 40 узлами? 16. Сколько узлов имеет геодезическая типа (314; 15) и какова ее длина? 17. Нарисуйте картину следов на каждой грани для геодезической типа (22; 17). 18. Какую минимальную длину может иметь геодезическая с 1000 узлами?
Литература
- A.Akopyan, A.Petrunin. Long geodesics on convex surfaces. – Mathematical Intelligencer, 40 (2018), № 3, р.26–31. 2. Л.А.Люстерник, Л.Г.Шнирельман. Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей. – Успехи математических наук, 2 (1947), № 1, с.166–217. 3. J.Francs. Geodesics and periodic points of annulus homeomorphisms. – Inventiones Mathematicae, 108 (1992), № 2, р.403–418. 4. V.Bangert. On the existence of closed geodesics on two-spheres. – International Journal of Mathematics, 4 (1993), № 1, р.1–10. 5. W.Klingenberg. Lectures on Closed Geodesics. – Springer, New York, 1978. 6. W.Klingenberg. Riemannian geometry. – de Gruyter Studies in Mathematics, Berlin: Walter de Gruyter & Co. 1982. 7. Г.А.Гальперин. О теореме Люстерника– Шнирельмана для многогранников. – Успехи математических наук, 46 (1991), № 6, с.207–208. 8. В.Ю.Протасов. Замкнутые геодезические на поверхности симплекса. – Математический сборник, 198 (2007), № 2, с.103–120. 9. В.Ю.Протасов. О числе замкнутых геодезических на многограннике. – Успехи математических наук, 63:5(2008), с.197–198. 10. D.B.Fuchs, E.Fuchs. Closed geodesics on regular polyhedral. – Moscow Mathematical Journal, 7 (2007), № 2, р.265–279.
Вниманию наших читателей
Вы заметили, наверное, что в этом номере журнала на второй странице обложки появилась новая рубрика – «Лингвистические задачи». Эти задачи мы берем из замечательной книги (Задачи лингвистических олимпиад. 1965 – 1975. Изд. 2-е, испр./Ред.-сост. В.И.Беликов, Е.В.Муравенко, М.Е.Алексеев. – М.: МЦНМО, 2020), в которой собраны задачи Олимпиад по лингвистике и математике. Такие олимпиады проводятся в Москве с 1965 года. Один из тех, благодаря кому возник сам жанр лингвистической задачи, – академик А.А. Зализняк, великий российский лингвист. А олимпиады возникли по инициативе другого выдающегося лингвиста, А.Н. Журинского, и с тех пор продолжаются многие годы.
Лингвистические задачи в некотором смысле близки к математическим: их можно решать, опираясь на данные условия; весь материал, необходимый для решения, содержится в условии задачи или может быть восполнен решающим на основе его интуитивных представлений об устройстве родного языка. Решать задачи – интересное занятие, но читатель не только получает удовольствие, но и узнает много нового, самостоятельно «открывая» структурные элементы языка и закономерности его устройства. Кроме того, в задачах в качестве материала используется множество разных языков мира, о которых, возможно, читатель раньше и не слышал, а между тем на этих языках говорят миллионы людей.
27
ЗАДАЧНИК
Рис. 2
BFO OFE y и DEO OEF z. В треугольнике BFO имеем BOF 180 q x y z. Отсюда следует подобие BFO DOE, поэтому FB BO OD DE или BF DE BO OD. Аналогично доказывается, что BG DH BO OD, тем самым, требуемое равенство (*) доказано и задача решена. Другое решение можно получить, заметив, что параллельность FG P HE эквивалентна гомотетичности треугольников BGF и DEH, или пересечению прямых BD, EG, FH в одной точке. Последнее следует из теоремы Брианшона для описанного шестиугольника BFEDHG. В.Айзенштадт
M2623. В однокруговом футбольном турнире все команды набрали разное число очков. Если бы за победу давали не три, а два очка, то у всех команд тоже оказалось бы разное число очков, но занятое место у каждой команды было бы другим. При каком наименьшем числе команд это возможно?
Ответ: при 12. Предположим сначала, что число команд четно: n 2k. Заметим, что при двух очках за победу более высокое место занимает команда, у которой больше разность между числом побед и числом поражений. Поскольку эти разности у всех команд различны, то у команды, занимающей первое место, разность (а значит, и число побед) не может быть меньше k. Команда, обгоняющая ее при переходе на трехочковую систему, должна иметь больше хотя бы на две победы (каждая команда получает дополнительно столько очков, сколько у нее побед) и, следовательно, должна
«КВАНТА»
иметь больше хотя бы на три поражения. Поэтому k 5 d 2 k 1, т.е. n t 12. Аналогично получаем, что при нечетном числе команд n t 11. Предположим, что случай n 11 возможен. Рассуждая так же, как раньше, получаем, что при двухочковой системе команды набирают от 15 до 5 очков, причем у первой должно быть 5 побед и 5 ничьих, а у второй – 7 побед и 3 поражения, так что при переходе к трехочковой они меняются местами. Далее, у последней команды должно быть не менее двух побед и, поскольку при пяти очках побед не больше двух, то у нее две победы и одна ничья. Тогда она может только поменяться местами с предпоследней, имеющей 6 ничьих и 5 поражений. Аналогично получаем, что третья команда, имеющая либо 3 победы и 7 ничьих, либо 4 победы, 5 ничьих и 1 поражение, может только поменяться местами с четвертой, у которой либо 5 побед, 2 ничьих и 1 поражение, либо 6 побед и 4 поражения. Из остальных пяти команд какие-то три должны меняться по циклу. Это могут быть пятая-шестая-седьмая или седьмая-восьмая-девятая команды. Оба случая рассматриваются аналогично, поэтому ограничимся разбором первого. Так как седьмая команда при переходе на трехочковую систему должна обогнать пятую, от которой отстает на два очка, у нее должно быть больше хотя бы на три победы и на пять поражений. Таким образом, у пятой команды 1 победа и 9 ничьих, а у седьмой 4 победы, 5 поражений и 1 ничья. Тогда для шестой команды возможны два варианта: 1 победа, 8 ничьих и 1 поражение или 4 победы, 2 ничьих и 4 поражения (в остальных случаях она при трех очках за победу наберет столько же очков, сколько какая-то из соседних команд). Наконец, для восьмой и девятой команд также получаем две возможности: 0-8-2 и 2-3-5 или 1-6-3 и 3-1-6 победничьих-поражений соответственно. Посмотрим теперь на распределение ничьих. Поскольку у второй команды ничьих нет, а у пятой их 9, все команды, кроме второй, играют с пятой вничью, откуда, в частности, следует, что у третьей и четвер-