О трёх равных отрезках

Квант 2021, №1 с. 37 Тег KMZS

О трех равных отрезках

В геометрии существует ряд задач, где необходимо доказать равенство трех отрезков или построить (найти) точки, создающие три равных отрезка. Такие задачи полезны, красивы, порой непросты и часто имеют творческий характер. Предлагаем вниманию читателей коллекцию таких задач – задач, в которых x y z. Задача 1. На диагонали AC квадрата ABCD взята точка F такая, что AF AB (рис.1). Перпендикуляр, восставленный в

Рис. 1

Рис. 4

делят хорду FN на три равные части: x y z. Задача 5. Точка O – центр окружности Z, описанной около остроугольного треугольника ABC (рис.5). Луч AO пересекает сторону BC и окружность Z в точках K и T соответственно. Перпендикуляры KD и KE

Рис. 2

точке F к прямой AC, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что x y z. Задача 2. Дан острый угол A и точка F внутри угла (рис.2). Постройте на сторонах угла точки B и C такие, что x y z. Задача 3. На стороне BC треугольника ABC взяты точки K и T такие, что отрезки AK и AT делят угол BAC на три равные

Рис. 5

к сторонам AC и AB пересекают радиусы OC и OB в точках F и N соответственно. Докажите, что x y z (TK CF BN). Задача 6. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I. Луч AI пересекает окружность Z, описанную около треуголь-

Рис. 3

части: 1 2 3 D (рис.3). При каких D возможно, что x y z? Задача 4. В окружность Z вписан равносторонний треугольник ABC (рис.4). Точки F и N – середины дуг AC и AB соответственно. Докажите, что отрезки AC и AB

Рис. 6

ника ABC, в точке W (рис.6). Докажите, что IW BW CW, или x y z. Задача 7. Три окружности с центрами $O_{1}, O_{2}$ и $O_{3}$ попарно касаются внешним образом (рис.7). Докажите, что три их внутренние общие касательные пересекаются в

Рис. 10

Рис. 7

одной точке и что отрезки этих касательных равны: x y z. Задача 8. Дана прямая l и параллельный ей отрезок AB (рис. 8). Пользуясь только

Рис. 8

линейкой, разделите АВ на три равные части ( x y z ). Задача 9. Точка O – общий центр окружностей Z и s (рис.9). Проведите секущую A B C D так, чтобы АВ ВС CD, или x y z.

Задача 10. Окружности Z и s с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках A и B (рис.10). Окружность $Z_{1}$ проходит через точки $A, O_{1}$ и $O_{2}$ , второй раз пересекает прямую AB в точке T, а окружности Z и s (вторично) – в точках K и N соответственно. Докажите, что KT BT NT ( x y z ). Задача 11. Пусть OA и OB – радиусы в окружности Z (рис.11). Проведите хорду TQ так, чтобы она делилась этими радиусами на три равные части: x y z.

Рис. 11

Задача 12. На сторонах AC и AB треугольника ABC постройте точки F и N

Рис. 12

такие, чтобы длины отрезков CF, FN и NB были равны: x y z (рис.12). Материал подготовил Г.Филипповский

Рис. 9

З АДАЧНИК

«КВАНТА»

Рис. 5

тогда фигурка $Z_{1}$ содержит ровно одну из черных клеток фигурки $O_{1}$ . Значит, из соответствующей клетки в черном разбиении отрезки идут в разные клетки. Они и порождают цикл длины больше 2. Далее мы докажем, что внутри любого цикла длины больше 2 обязательно будет дырка. Не умаляя общности, будем считать, что цикл длины больше 2 есть в черном разбиении. Назовем внутренней фигурку типа O из разбиения, целиком лежащую внутри нашего цикла. Назовем граничной фигурку типа O из разбиения, две черные клетки которой принадлежат выбранному нами циклу. Отрезки в цикле чередуются: после отрезка, соединяющего черные клетки фигурки типа O, идет отрезок, соединяющий черные клетки фигурки типа Z, значит, длина нашего цикла равна 2k, где k N. Обозначим количество черных и белых клеток, лежащих строго внутри нашего цикла, через b и w соответственно. Любая черная клетка внутри цикла принадлежит внутренней фигурке типа O, любая белая клетка внутри цикла принадлежит либо граничной фигурке типа O, либо внутренней. Всего есть k граничных фигурок, и каждой из них принадлежит ровно одна внутренняя белая клетка. С другой стороны, всем внутренним фигуркам типа O принадлежит ровно b черных клеток, а значит, и ровно b белых клеток. Таким образом, w b k. Теперь посчитаем соотношение между b и w иным способом. Рассмотрим новую сетку. Узлами новой сетки будут центры бывших черных клеток. Центрами новых клеток будут центры бывших белых кле-

ток. Тогда наш цикл – фигура, идущая по линиям новой сетки. Количество внутренних узлов сетки равно количеству старых внутренних черных клеток, т.е. b. Количество узлов на границе – это длина цикла, т.е. 2k. Теперь посчитаем по формуле Пика (см. [1] и [2]) площадь нашей фигуры: S b 2 k 2 1 b k 1. Но площадь новой фигуры – это количество внутренних центров новых клеток, т.е. количество старых белых клеток внутри цикла. Откуда заключаем, что w S b k 1. Противоречие. Из предположения об отсутствии дырок внутри данного цикла мы пришли к противоречию. Значит, в любом цикле будет хотя бы одна дырка. Замечание. Из доказательства следует даже более сильное утверждение: в фигуре, которую можно разрезать и на тетраминошки типа О, и на тетраминошки типа Z, существует дырка нечетной площади. В качестве такой дырки можно выбрать ту, которая не содержит внутри себя других связных компонент нашей фигуры. Попробуйте самостоятельно модифицировать доказательство для этого случая, выведя условие на количество черных и белых клеток внутри такой дырки.

Литература 1. Г.Мерзон. Формула Пика и тающий лед. – «Квант», 2018, №9. 2. Н.Васильев. Вокруг формулы Пика. – «Квант», 1974, №12.