Заключительный этап XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике

ОЛИМ П ИА ДЫ

Заключительный этап XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап Всероссийской математической олимпиады школьников прошел в Тюмени с 16 по 23 апреля 2021 года. Напомним, что предыдущий заключительный этап состоялся ровно два года назад, а в 2020 году заключительный этап не проводился из-за пандемии. Эти обстоятельства повлияли на структуру отбора на заключительный этап этого года; в частности, все школьники невыпускных классов, набравшие на региональном этапе 2020 года количество баллов, необходимое для прохода на заключительный этап, были автоматически приглашены в Тюмень в 2021 году. Все это отразилось на количестве участников олимпиады – оно составило 516 человек, что почти в полтора раза превосходит обычные для последних лет цифры. Пандемия внесла и другие коррективы. Программа этого года для участников олимпиады была намного короче, чем обычно: показ работ и закрытие прошли уже в дистанционном формате, а некоторые делегации покидали Тюмень почти сразу после окончания второго тура. Олимпиада проводилось на базе Тюменского индустриального университета. Организаторы старались и работали слаженно. В программу олимпиады были традиционно включены научно-популярные лекции представителей ведущих университетов страны. Олимпиада порадовала прежде всего тем, что она состоялась, причем в полноценном очном формате. И школьники, и руководители делегаций соскучились по мероприятиям такого уровня и по задачам такой сложности. К слову, варианты заданий этого года оказались далеко не самыми простыми даже в сравнении с заключительными этапами прошлых лет. Оценить количественно трудность задач олимпиады может помочь следующая таблица (решившим задачу здесь считаем участника, получившего за эту задачу 5, 6 или 7 баллов из 7 возможных).

9 класс

10 класс

11 класс

Ниже приведены условия задач и список победителей заключительного этапа XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Условия задач 9 класс 1. На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из k цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем k это возможно? С.Берлов

2. Пусть n – натуральное число. Целое число $a_{>} 2$ назовем n-разложимым, если $a_{-}^{n} 2^{n}$ делится на каждое число вида $a_{+}^{d} 2^{d}$, где d – натуральный делитель n, отличный от n.