Диофантовы уравнения и рациональные точки

Квант 2022, №4 с. 13 Тег 1XGQ

ДИАФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ

М.БАШМАКОВ

ОБЛАСТЬ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ, В КОторой исследуются целочисленные решения уравнений вида Р х, у,… 0, где Р х, у,… – многочлен от нескольких переменных с целыми коэффициентами, называется диофантовым анализом, а сами эти уравнения – диофантовыми. Названы они так по имени знаменитого греческого математика Диофанта, жившего в III веке и написавшего первый трактат о таких уравнениях. Несмотря на то, что диофантовы уравнения составляют одну из самых старинных областей математики, общие методы их решения начали создаваться совсем недавно. В классических работах в основном рассматривались линейные и квадратные диофантовы уравнения. Решение более сложных уравнений сильно продвинулось в последние 20—25 лет благодаря широкому привлечению к теории чисел идей из других областей математики, прежде всего – из геометрии и топологии. Говоря словами Н.Бурбаки, «…классическая геометрия… превратилась в универсальный язык всей математики, обладающий исключительной гибкостью и удобством». Геометрия предлагает не только язык, но и свои построения, свою интуицию. Посмотрите, как нагляден геометрический язык. Возьмем, например, уравнение Ферма $х^{n} у^{n} z^{n}$ , поделим обе его части на $z^{п}$ и обозначим х z через и, y z через v. Получим уравнение $u^{п} v^{п} 1$ . Каждому решению х; у; z уравнения Ферма в целых числах соответствует (при z z 0 ) решение уравнения $u^{п} v^{п} 1$ в рациональных числах.

Опубликовано в журнале «Квант» №8 в 1978 году.

Если мы рассмотрим теперь график этого уравнения на плоскости u; v ,то получим кривую, причем целочисленным решениям уравнения Ферма отвечают точки этой кривом с рациональными координатами. Очевидно и обратное: каждая точка указанной кривой с рациональными координатами даст (после освобождения от знаменателя) целочисленное решение уравнения Ферма. Таким образом, вопрос о решении уравнения Ферма в переводе на геометрический язык превращается в вопрос о нахождении точек с рациональными координатами (мы их будем называть рациональными) на кривой $u^{п} v^{п} 1$ . (Заметим, что при делении уравнения Ферма на $z^{п}$ мы «потеряли» его корни при z 0, но их несложно исследовать отдельно.) В этой статье мы познакомим вас с двумя геометрическими приемами отыскания рациональных точек на кривых. Начнем для простоты с уравнения $х^{2} у^{2} z^{2}$ , решения которого в натуральных числах называются пифагоровыми тройками. Кривая, соответствующая уравнению $х^{2} у^{2} z^{2}$ , – это окружность $u^{2} v^{2} 1$ . Пифагоровы тройки (3; 4; 5), (5; 12; 13) соответствуют рациональным точкам 3 5;4 5, 5 13;12 13 этой окружности (рис. 1). Некоторые плоские кривые удобно задавать в так называемой параметрической форме; указать две функции f и g такие, что при всевозможных значениях параметра t точка Рис. 1