Решения задач М2706—М2709; Ф2713—Ф2716

15

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

фотографу занимал одинаковое положение. Эта ли разница во времени или что-то другое послужило причиной столь разительного различия изображений (рис. 3)?

Ф2728. Оцените высоту дерева, сквозь листву которого пробиваются лучи света Солнца. Пятна света образовались на асфальте (рис. 4). Ширина (отмечена голу-

Рис. 2

фициент поверхностного натяжения воды V 0,07 Дж $м^{2}$.

Ф2726. Оцените среднюю скорость ветров в атмосфере Земли, если средняя температура поверхности земли воды вблизи экватора 27 q C. Считайте, что «цикл» работы атмосферы длится 1 сутки. Альбедо Земли 35%, солнечная постоянная E 1,37 кВт $м^{2}$.

Ф2727. Одно и то же масляное пятно на мокром асфальте было сфотографировано смартфоном дважды с разницей во времени приблизительно 16 секунд. Смартфон по отношению к стоящему на асфальте

Рис. 3

Рис. 4

бой стрелкой) ботинка, который частично виден на фотографии, равна 12,5 см (измерена независимо линейкой).

Решения задач М2706–М2709, Ф2713–Ф2716 M2706. Шестнадцать команд Национальной хоккейной лиги в первом раунде плейофф разбиваются на 8 пар и играют друг с другом серии до четырех побед (таким образом, счет в серии может быть 4–0, 4–1, 4–2 или 4–3). После каждого раунда команды, победившие в своих парах, снова разбиваются на пары, а проигравшие команды больше не принимают участие в турнире. После четвертого финального раунда оказалось, что ровно у k команд суммарное количество побед во все играх не меньше, чем количество поражений (например, под условие подходит коман-

44

КВА НT 2022/№10

2 (5–6). Назовем дату «палиндромом», если она слева направо и справа налево читается одинаково (точки не учитываются). Например, дата 22.02.2022 является палиндромом. Когда наступит ближайшая следующая дата-палиндром, записанная в таком же формате, как приведенная? 3 (5–6). Коля делал домашнюю работу: за 2 часа он успел сделать половину заданий по математике, 3 4 заданий по физике и все задания по химии. А когда он полностью закончил работу, то обнаружил, что на задания по химии ушло 25% от общего времени. Известно, что если бы он делал только физику, то сделал бы все задания по ней за час. За какое время Коля сделал все задания? Считаем, что каждое задание по предмету требует для своего выполнения одного и того же времени. 4 (5–6, 7–8, 9). Будем обозначать abc трехзначные числа, записанные цифрами a, b, c. Сколько существует трехзначных чисел таких, что разность abc acb делится на 72 без остатка? 5 (5–6, 7–8, 9). Петя строит замок из кубиков. В какой-то момент он изобразил недостроенный замок в трех проекциях: вид спереди, вид сбоку и вид сверху. Какое

причем каждый вскопал одинаковое количество (не обязательно целое число) грядок. На следующий день некоторые работники заболели COVID-19, и на работу вышло только 7 человек. Пришедшие работали половину рабочего дня с такой же производительностью, как и в первый день, и доделали оставшуюся работу. Сколько всего грядок было на подсобном участке? 8 (7–8). Найдите все пары натуральных чисел x; y, для которых выполнено равенство x y x y 1 2 y

9 (9). Найдите все пары натуральных чисел x; y, для которых выполнено равенство x y x y 1 y

10 (9). Учитель выписал на доске квадратное уравнение

$x^{2} ax^{2022}$

Андрей подставил вместо a по очереди все целые числа от 0 до 99 и решил все из получившихся 100 уравнений. Найдите сумму всех получившихся у Андрея действительных корней этих уравнений. При необходимости округлите ответ до сотых.

Вариант 2 наименьшее количество кубиков может быть изображено на виде сверху? 6 (5–6, 7–8, 9). К середине XXII века человечество освоило 100 обитаемых планет в других звездных системах. От каждой планеты расходится 40 гиперпространственных порталов, и к каждой планете ведет 40 порталов от других планет. Все порталы непересекающиеся и строго односторонние, т.е. если есть портал, ведущий из А в В, то нет портала, ведущего из В в А. Мистер Риггз хочет добраться с Галатеи-37 на Пандору за наименьшее число гиперпространственных прыжков. Сколько прыжков ему может потребоваться (укажите все варианты)? 7 (7–8, 9). Работники должны были вскопать несколько одинаковых грядок. В первый день работники вскопали 10 грядок,

(10 класс) 1. Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 12, 13, 14, 15, 16, 17, …, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (т.е. удалить числа $16 4^{2}, 25 5^{2}, 27 3^{3}$, …)? 2. Решите неравенство

$18 x^{3} 9 x^{2} 2 x 1$ arccos 2 x 1 t

§ $1 3 \cdot t$ arccos ¨ ¨ ¸. q 4 sin 50 4 sin 40 q ¸ ¹ ©

3. Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения xyz xy yz zx 2023, если сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 2022. 4. Среди всех вписанных четырехугольников найдите четырехугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором BC CD AD и все попарные расстояния между точка-