Задачи М2722—М2729; Ф2729—Ф2736

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2722 – М2724 предлагалась на XLIV Турнире городов. Задача М2726 предлагалась на Южно-Российской математической олимпиаде «Ассара». Автор задач Ф2729–Ф2736 – С.Варламов.

Задачи М2722–М2729, Ф2729–Ф2736 M2722. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными? Е.Бакаев

M2723. Известно, что среди нескольких купюр, номиналы которых – попарно различные натуральные числа, есть ровно N фальшивых. Детектор за одну проверку определяет сумму номиналов всех настоящих купюр, входящих в выбранный нами набор. Докажите, что за N проверок можно найти все фальшивые купюры, если: а) N 2; б) N 3. С.Токарев

M2724. В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдется еще одно число с такой же суммой цифр? А.Шаповалов

M2725. Даны два одинаково ориентированных правильных (2n)-угольника $A_{1} A_{2}$ … $A_{2n}$ и $B_{1} B_{2}$ … $B_{2n}$. Проведены серединные перпендикуляры $l_{i}$ к отрезкам $A_{i} B_{i}$. Пуcть прямые $l_{i}$ и $l_{i} 1$ пересекаются в точке $K_{i}$ (здесь и далее индексы i и i 2n считаем

одинаковыми). Обозначим через $m_{i}$ прямую $K_{i} K_{i} n$. Докажите, что n прямых вида $m_{i}$ пересекаются в одной точке и при этом углы между прямыми $m_{i}$ и $m_{i} 1$ равны. Чан Куанг Хунг (Вьетнам), А. Заславский

M2726. Выясните, какое из двух чисел больше:

2

2 или

2

2

2

O

2

2

2 2

3

3

?

3

3

3

O

3

3

3 3

(В каждом выражении по 2022 знака дроби.) П.Кожевников

M2727. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть $O_{a}, O_{b}, O_{c}, O_{d}$ – центры окружностей (DAB), (ABC), (BCD), (CDA) соответственно. Точки $O_{a}, O_{b}, O_{c}, O_{d}$ являются вершинами выпуклого четырехугольника (рис.1). Докажите, что его площадь равна половине модуля разности площадей че-

Рис. 1

23

ЗАДАЧНИК

тырехугольников $AO_{b} CO_{d}$ и $BO_{c} DO_{a}$. В.Дубровский

M2728. Дано натуральное n t 3. Найдите наименьшее k, для которого верно утверждение: для любого n-угольника и любых двух точек внутри него найдется k-звенная ломаная, соединяющая эти точки, лежащая целиком внутри n-угольника. Л.Емельянов

M2729. Найдите все натуральные m и n такие, что выполнено равенство $m^{n} n^{3} m$. И.Дорофеев

Ф2729. Рыхлые снежинки (комочки снега) имеют характерный размер 0,5 см и падают в спокойном воздухе со скоростью 1 м с. Оцените количество атомов, составляющих одну такую снежинку.

Ф2730. Пустотелый упругий $шарик^{А}$ имеет массу стенок m (стенки всюду одинаковой толщины). Тонкая прокладка из пенополиуретана (материал очень малой плотности) отделяет внутренние стенки полости $шарика^{А}$ от расположенного внутри этой полости второго $шарика^{В}$ массой m 2. Этот «комбинированный» шарик падает с высоты h (без начальной скорости) на жесткую горизонтальную поверхность. Удар одного $шарика^{А}$ с этой поверхностью абсолютно упругий. На какую высоту после удара взлетит «комбинированный» шарик?

Ф2731. Механическая система состоит из четырех грузов с одинаковыми массами и двух идеальных блоков с неподвижными горизонтальными осями (рис. 2). Нити, соединяющие грузы, идеальные (т.е. гиб-

Рис. 2

«КВАНТА»

кие, невесомые и нерастяжимые). Участки нити, к которым прикреплены грузы слева и справа, вертикальные и очень длинные. В начальный момент все грузы неподвижны. Радиусы шкивов блоков R, расстояние между осями блоков L! 2R. С какими скоростями будут двигаться грузы через большое время после их отпускания, если левый и правый грузы до блоков еще не добрались? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ф2732. Три непроводящих легких стержня одинаковой длины 2R жестко скреплены своими средними точками так, что их концы располагаются в вершинах правильного шестиугольника. На концах каждого стержня находятся одинаковые маленькие шарики с одинаковыми массами m. Два шарика, расположенные в соседних углах шестиугольника, обладают одинаковыми электрическими зарядами Q, а остальные шарики не заряжены. Конструкция из стержней может вращаться вокруг своей вертикальной оси симметрии, т.е. все шарики могут двигаться по одной и той же круговой траектории радиусом R. У экспериментатора Васи имеется еще один длинный непроводящий стержень с таким же маленьким шариком на конце. А заряд этого шарика равен –Q. Конструкция очень медленно вращалась. Вася дождался момента и быстро разместил шарик на своем стержне в точности посередине между двумя соседними шариками конструкции. В тот момент, когда расстояния между его (неподвижным) шариком и шариками этой пары стали отличаться в два раза, Вася быстрым движением удалил свой шарик на большое расстояние от конструкции. Такую операцию Вася проделал N раз. С какой угловой скоростью вращается после этого конструкция? Трение отсутствует.

Ф2733. К батарейке подключили амперметр и вольтметр, соединенные последовательно. Приборы показали ток $I_{1}$ и напряжение $U_{1}$. Потом к этой же батарейке подключили эти же приборы, соединенные параллельно. Показания приборов