Задачи М2730—М2733; Ф2737—Ф2740

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2730–М2733, Ф2737–Ф2740 M2730. На каждой клетке доски 3 u 6 лежит по одной монетке. Известно, что какие-то две монетки, лежащие на соседних по стороне клетках, фальшивые, т.е. весят поровну, но легче настоящих, а остальные – настоящие. Как найти обе фальшивые монеты за три взвешивания на двухчашечных рычажных весах без гирь? К.Кноп

M2731. В ряд написаны 2023 натуральных числа. Первое число равно 12, а каждое число, начиная с третьего, либо равно произведению двух предыдущих чисел, либо равно предыдущему числу, увеличенному на 4. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди данных 2023 чисел? По мотивам Британской математической олимпиады

M2732. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Отложим на лучах AC и BC, соответственно, отрезки $AC_{a}$ и $BC_{b}$, равные по длине AB (рис. 1). Пусть $O_{c}$ – центр окружности $( CC_{a} C_{b} ).$ Аналогично определим точки $O_{a}$ и $O_{b}$. Докажите, что точка O является ортоцентром треугольника $O_{a} O_{b} O_{c}$. А.Заславский

M2733. Дан выпуклый 51-угольник. Для каждой его вершины и каждой диагонали, не содержащей эту вершину, отметим крас-

Рис. 1

ным точку, симметричную вершине относительно середины диагонали. Докажите, что строго внутри многоугольника лежит не более 20400 красных точек. П.Кожевников

Ф2737. Имеется поджатая пружина – такая пружина начинает изменять свою длину только при некотором пороговом значении растягивающей силы. Пружину подвешивают вертикально. Ее длина при двух различных массах подвешиваемых грузов M 1 и M 2 равна L 1 и L 2 соответственно. При этом все витки пружины уже разжаты. Длина ненагруженной пружины L 0 меньше L 1 и L 2, масса пружины равна m. Определите коэффициент упругости пружины, величину силы поджатия и зависимость длины пружины от величины растя-

24

k 3

КВАН T 2023/№1

2mhж ’ $x^{2}$

2 ˜ 0,02 ˜ 4 ˜ 3,4 Нм | 0,00138

| 400 Н м.

Теперь для каждой резинки рассчитаем, на какую высоту она взлетит, если ее растянуть на ’ x 7 см:

h 1

$k_{1}$ ’ $x^{2} 2$ mж

100 ˜ $0,07^{2}$ м | 3,6 м, 2 ˜ 0,02 ˜ 3,4 h 2

$k_{2}$ ’ $x^{2} 2$ mж

250 ˜ $0,07^{2}$ м | 9 м, 2 ˜ 0,02 ˜ 3,4 h 3

$k_{3}$ ’ $x^{2} 2$ mж

400 ˜ $0,07^{2}$ м | 14,4 м. 2 ˜ 0,02 ˜ 3,4

А.Иванов

Ф2722. В сосуде при температуре 0 q С находятся жидкая вода и ее пар. Оцените количество ударов, которые за одну секунду испытывает одна молекула, находящаяся на поверхности воды, со стороны молекул, входящих в состав пара. Давление насыщенного пара при этой температуре равно 611 Па.

Зная объем, занимаемый одним молем воды: V 18 ˜ $10^{6} м^{3}$, и количество молекул в одном моле вещества: $N N_{A} 6$ ˜ $10^{23}$, можно найти характерный объем молекулы воды: $D^{3} V N$ и ее размер: D | 3 ˜ $10^{10}$ м. Площадь на поверхности воды, которая приходится на одну молекулу, равна примерно $10^{19} м^{2}$. Среднюю скорость поступательного движения молекул воды v в состоянии пара найдем из соотношения $0 v^{2} 2 3 RT 2$. Отсюда v 615 м с. Ударившись о поверхность воды, молекула пара в большинстве случаев отскакивает от этой поверхности примерно c такой же скоростью. Следовательно, удар молекул одного моля воды о поверхность приводит к передаче этой поверхности максимального по величине импульса 2 0 v | 22 Н ˜ с моль. Поскольку давление насыщенного пара равно 611 Па, то это означает, что на площадь в $1 м^{2}$ в 1 секунду приходится удар 611 22 | 27,6

молей молекул. Умножив эту величину на число Авогадро и на площадь, занимаемую одной молекулой на поверхности жидкой воды, получим, что за одну секунду эта молекула испытывает 1,65 млн ударов. Это значение получено в предположении, что каждый удар при величине скорости молекулы 615 м с сопровождается передачей поверхности максимального импульса. Если учесть, что угол, который составляет скорость падающей молекулы с поверхностью, может принимать значения от 0 до 90 градусов, то количество ударов должно быть больше. Значит, в качестве оценки можно выбрать примерно вдвое большую величину. Это означает, что число ударов об одну молекулу, находящуюся на поверхности раздела «конденсированное вещество – пар», составляет величину порядка 3 ˜ $10^{6}$ в секунду. С.Ударов

Ф2723. С одним килограммом воды $( H_{2} O )$ провели процесс, который состоит из двух участков. На первом участке при постоянном давлении $p 10^{5}$ Па температура поднялась от 0 q C до 200 q C. На втором участке при постоянной температуре давление уменьшилось до $10^{3}$ Па. Каково изменение внутренней энергии воды в этом процессе? Какую работу совершила вода, действуя на внешние тела на каждом из этих участков?

Если считать, что теплоемкость воды в жидком состоянии примерно постоянна и равна 4200 Дж к㠘 К, то для нагрева воды от 0 q C до 100 q C потребовалось 0,42 МДж энергии. Поскольку изменение объема воды составило всего 4%, так как плотность воды при 100 q C равна 960 кг $м^{3}$, то на этом участке была совершена работа $10^{5}$ ˜ 0,04 ˜ $10^{3}$ Дж | 4 Дж. А вся остальная энергия пошла на изменение внутренней энергии воды, что составило | 0,42 МДж. Затем произошло испарение воды, для чего потребовались еще 2,3 МДж энергии. При этом была совершена работа против сил внешнего давления, равная 1000 18 RT Дж 0,172 МДж, а на изменение внутренней энергии пошло 2,3 0,172 МДж 2,128 МДж. Потом вода