Конечные геометрии

3

КОНЕ Ч Н Ы Е ГЕОМЕТРИИ

Мы же, студенты-математики и аспиранты, участвующие в работе математической школы, подробно обсуждали лекции Андрея Николаевича и сопутствующие им конкретные математические задачи, давали решать их школьникам, а также придумывали свои, совсем новые задачи, пополнявшие исходный (не очень большой) список задач по этой теме, предложенный Андреем Николаевичем перед началом своих лекций. Ближе к концу школы Андрей Николаевич стал рассказывать об идее дискретного времени: что, если время течет не непрерывно, а дискретно, от точки к точке, и представляет собой такую же прямую из конечного числа точек, как и все прямые плоскости, и что получится, если эту прямую добавить к уже имеющимся? Однако эта расширенная программа исследований конечных геометрий фактически не была начата: месяц занятий в летней школе истек очень быстро. В результате обработки записей лекций А.Н.Колмогорова автором этих строк и дальнейшей работы над задачами о конечных геометриях и появилась статья, которая предлагается читателям «Кванта» и которая в концентрированном виде передает дух Пущинской летней математической школы 1972 года. Г.Гальперин

Конечные геометрии

А.КОЛМОГОРОВ

А.Н.Колмогоров читает лекцию

ВНАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ ГЕОМЕТРИЯ имеет несколько ветвей. Первый шаг к новой геометрии сделали художники эпохи Возрождения, которые бились над за-

дачей точного изображения того, что видит глаз. Поскольку реальные картины являются трехмерными, а картины, выполняемые художниками, – двумерными, то может показаться, что рисовать реалистически нельзя. Художники положили в основу решений этой проблемы зрительное восприятие. Представим себе человека, смотрящего одним глазом в окно на некую реальную сцену. Он видит ее потому, что световые лучи, испускаемые различными точками этой «картины», достигают его глаза. Скопление таких световых лучей называют проектирующим пучком. А поскольку лучи проходят сквозь стекло, мы имеем возможность отметить на нем точку, через которую проходит каждый луч. Совокупность всех таких точек называется проекцией. Художникам принадлежит открытие, что глаз воспринимает эту проекцию так же, как и саму реальную сцену. Использование метода проецирования поставило на повестку дня основной геометрический вопрос, который впервые был рассмотрен художниками, а затем подхвачен математиками. Каковы же те общие

5

КОНЕ Ч Н Ы Е ГЕОМЕТРИИ

П3. Существуют четыре неколлинеарные точки (т.е. любые три из них – неколлинеарны). Упражнение 1. Проверьте, что задаваемое выше пополнение аффинной плоскости действительно определяет проективную плоскость. Примеры: 1. Пополняя аффинную плоскость евклидовой геометрии, мы получим действительную проективную плоскость ¡ $P^{2}. 2.$ Пополняя аффинную плоскость из четырех точек до проективной, получим проективную плоскость из семи точек и семи прямых (рис. 2).

Рис. 2

3. Построим еще одну модель бесконечной проективной плоскости. Пусть $¡^{3}$ – обычное трехмерное евклидово пространство и О – некоторая точка в нем. Обозначим через 3 множество всех прямых, проходящих через O. Точкой в 3 назовем любую из проведенных прямых, а прямой – множество прямых, проходящих через О и лежащих в некоторой плоскости. Множество 3 будет удовлетворять аксиомам П1 – П3 (проверьте это!), стало быть, является проективной плоскостью. Из примера 2 видно, что в одном частном случае конечной проективной геометрии число точек равно числу прямых. Конечных аффинных геометрий существует бесконечно много (что будет выяснено ниже в задачах), и все их можно пополнить так же, как это было сделано в случае четырех точек. Будет ли при этом иметь место совпадение числа точек и прямых? Ответ на этот вопрос дает следующее предложение. Предложение 1. Пусть 3 – проективная плоскость. Тогда множество &, эле-

менты которого – прямые в 3, именуемые в & точками, является проективной плоскостью, если только называть прямыми в & пучки прямых в 3. Плоскость & называется двойственной к 3 (так как фактически точки и прямые в 3 поменялись местами и получилось & ). Доказательство. Проверим выполнение аксиом проективной плоскости. Х1. Пусть А и В – две различные точки в &; тогда существует единственная прямая из &, содержащая А и В. Но в терминах 3 это означает, что для двух различных прямых из 3 найдется пучок, содержащий обе эти прямые, а это следует из П2. Х2. Любые две прямые из & имеют общую точку, что следует из П1. Х3. Надо показать, что существуют 4 точки, никакие три из которых не коллинеарны в &. Это то же самое, что показать, что в 3 существуют 4 прямые, никакие три из которых не лежат в одном пучке. Возьмем 4 неколлинеарные точки из 3 (такие есть по П3) и из всех прямых, через них проходящих, выберем нужные нам четыре. Таким образом, предложение доказано. Следствие. Если K – некоторое утверждение в 3, выведенное из аксиом П1–П3, то утверждение K, получаемое из K двойственной заменой (типа: прямые отвечают точкам и т.п.), может быть выведено из тех же аксиом. Доказательство. Ясно, что K – то же утверждение K, только в геометрии &. Но аксиомы геометрии & вытекают из аксиом геометрии 3, что и требовалось. Теперь ясно, почему количество точек и прямых в проективной геометрии одинаково – из-за принципа двойственности. Если из плоскости & аналогичным образом построить двойственную плоскость *, то окажется, что плоскости 3 и * «изоморфны». Однако плоскости 3 и & не всегда изоморфны. Примеры можно строить с помощью конечных плоскостей, на которых не выполняется аксиома Дезарта (см. ниже). (Одним из таких примеров является плоскость Холла порядка 9, состоящая из 91 точки. – Прим. ред.)

11

КОНЕ Ч Н Ы Е ГЕОМЕТРИИ

Рис. 42

Рис. 43

показать невыполнение П2, можно взять произвольную аффинную геометрию. Случай, когда не выполняется П3, показан на рисунке 43. 9. Докажите, что если из проективной плоскости удалить прямую, то получится аффинная плоскость. Решение. Пусть мы удалили из проективной плоскости 3 прямую а. Докажем, что в полученной плоскости выполняются аксиомы А1–А3. Действительно, возьмем точки А и В в новой плоскости и пусть A c и B c – те же точки в проективной плоскости 3. Ясно, что A c и B c не принадлежат а. Согласно П1 существует единственная прямая l c такая, что A c, B c  l c. По предыдущему l c z a, значит, l c перейдет в какое-то непустое множество l . Поскольку A c, B c  l c, то A, B  l. Раз l c – единственная, значит, и l – единственная, так как а мы удалили. Итак, А1 выполнена. Проверим A2. Возьмем произвольную прямую l и точку X  l в. Пусть при удалении прямой а прямая lc перешла в l, а точка X c – в Х. Ясно, что l c z a и X c  a. Отсюда по П2 существует единственная M c l c ˆ a. По П1 существует единственная прямая m c такая, что X c, M c  m c. Если X c  l c, то m c l c и, значит, m c ˆ l c M c. Так как с удалением а удаляется M c, то m ˆ l ‡, где m и l – образы m c и l c в плоскости. Значит, m параллельна l, а так как X c  m c, то X  m. Кроме того, m c единственна, значит, и m единственна, а следовательно, выполнена А2. Если X  l, то X c  l c, значит, m c l c. Из m c и из l c удаляется ровно одна точка M c, поэтому m l и можно записать m P l. Поскольку m c единственна, следовательно, и m единственна, и через точку на прямой проходит единственным образом прямая, параллельная данной. Таким образом, А2 полностью доказана. Проверим А3. По П3 выбираем 4 неколлинеарные точки. Нас интересует случай, когда две из них лежат на удаленной прямой, так как в остальных случаях А3 выполняется (поскольку на удаленной прямой не может быть более двух из

четырех точек). Пусть А, В, С, D – это 4 точки и A, B  a. Проведем прямые АС и BD. По П2 существует единственная точка M  AC ˆ BD и M z A, B, C, D. При этом M  a, так как в противном случае АС а и BD a. Кроме того, С, D и М не лежат на одной прямой, так как в противном случае через М и С проходили бы две прямые. При удалении а точки С, D и М остаются, так как ни одна из них а не принадлежала. Значит, аксиома А3 выполнена. 10. Постройте аффинную плоскость из 16 точек. Решение изображено на рисунке 44.

Рис. 44

11. Прямая в проективной плоскости 3 содержит n 1 точек. Сколько точек в 3? Сколько прямых? Решение. Возьмем в плоскости 3 прямую а с точками $A_{1}, A_{2}$, … $, A_{n} 1$. По аксиоме П3 существует точка В такая, что B  a. Проведем $BA_{1}, BA_{2}$, … $, BA_{n} 1$. При этом все точки окажутся задействованными. Действительно, если, например, С не принадлежит а, то ВС пересекается с а в одной из точек $A_{k}$ и, стало быть, точка С уже учтена. Итак, всего получим n 1 1 n 1 1 n 2 n 1 точек в 3. Поскольку через каждую точку (как и через В) проходит n 1 прямых, причем каждая прямая при таком подсчете учитывается n 1 раз (на ней n 1 точек), то прямых будет n 2 n 1 n 1

, n 1 т.е. столько же, сколько и точек. Этого следовало ожидать, так как имеет место

13

КОНЕ Ч Н Ы Е ГЕОМЕТРИИ

Рис. 48

рами (рис. 48 слева). Прямыми назовем прямые, имеющие одно из изображенных на рисунке направлений и проходящие через узлы сетки. (Можно представлять себе в качестве модели сетчатый цилиндр, показанный на рисунке 48 справа.) Докажем, что через точку 1 и любую другую точку проходит не более одной прямой. Пусть, напротив, через точки 1 и Х, где Х – точка в k-й строке, проходят две прямые. Расстояние между точками пересечения этих прямых с первой строкой равно n p. Тогда расстояние между узлами сетки, обозначающими точку Х, через которые проходят эти прямые, равно kn. Так как р – простое, k p, n p, то kn не делится на р, поэтому эти два узла не являются одной точкой. Прямые, проходящие через точку 1, проходят и через все остальные точки. Действительно, через точку 1 проходит р 1 прямых, на каждой из них, кроме точки 1, еще p 1 точек, никакие две из всех точек не совпадают, всего точек $p 1 p 1 p^{2} 1$. Что и требовалось доказать. Если через любую точку плоскости провести все прямые, то получится та же картина, что и для точки 1. Тем самым А1 проверена. На прямой имеется р точек. Рассмотрим точку В вне этой прямой, через нее проходит р 1 прямых. Из них р прямых пересекают данную прямую в р точках, а одна ее пересечь не может, так как через эту точку и любую другую можно провести только одну прямую. Следовательно, через каждую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной, а значит, выполнена аксиома А2. Выполнена и аксиома А3, так как есть 3 неколлинеарные точки. Следовательно, построенная плоскость – аффинная.

16. Докажите, что плоскость в аффинном пространстве аффинна. Доказательство. Аксиома А1 автоматически следует из АС1 и АС2. Проверим выполнение А2. Возьмем прямую а в плоскости D. По АС6 существует точка A  D такая, что A  a. По АС5 существует b P a, A  b. Докажем, что b  D. Рассмотрим плоскость E, содержащую а и b (такая плоскость существует по определению параллельных). В плоскости E и в плоскости D существуют три неколлинеарные точки А, В, С; В и С принадлежат прямой а. Но тогда по АС3 плоскости D и E совпадают. Аксиома А3 вытекает из АС6. 17. На прямой аффинного пространства n точек. Сколько точек в пространстве? Сколько прямых? Сколько плоскостей? Решение. Как уже доказано в задаче 16, всякая плоскость аффинна, а в каждой аффинной плоскости $n^{2}$ точек. Возьмем одну из плоскостей D. В пространстве есть еще одна точка А (почему?). Через точку А и точку С на плоскости D проведем прямую с n точками на ней. Через каждую точку из этих n проходит плоскость, параллельная данной, на каждой из которых $n^{2}$ точек. Следовательно, всего точек в пространстве $n^{3}$. Доказать, что больше точек нет, можно аналогично тому, как это делалось в задаче 6. Посчитаем количество прямых. Пусть через каждую точку проходит k прямых. На каждой из них по n 1 точек; все они проходят через $n^{3} 1$ точек. Значит, $k n 1 n^{3} 1$, следовательно, $k n^{2} n 1$. Всего точек $n^{3}$, каждая прямая проходит через n точек, значит, всего прямых

k ˜ $n^{3} n$

$n^{2} n^{2} n 1$

$n^{4} n^{3} n^{2}$.

18

К ВА Н $T_{2023/№5}$

торы не получится – хотя диэлектрики и проводят ток, но их удельное сопротивление слишком велико (в школе считается, что бесконечно велико). У полупроводников удельное сопротивление меньше, и оно, это было бы удобно для производства, управляемо, т.е. при небольших изменениях состава оно существенно изменятся. Однако оно сильно зависит от температуры, и это, очевидно, плохо – любая аппаратура должна быть работоспособна при изменении условий работы, прежде всего, окружающей температуры. А стабильность работы аппаратуры тем проще обеспечить, чем стабильнее параметры элементов, в том числе резисторов. Зато полупроводники можно использовать как термометры, позже мы к этому вопросу вернемся. Остаются проводники, но у них удельное сопротивление, наоборот, мало. Резисторы с небольшими сопротивлениями из обычных проводников делать можно, а что делать, если нужно большое сопротивление? Формула R U L S говорит, что есть два пути решения проблемы – длинный и тонкий, но не путь, а проводник. Проводник километровой длины – это неудобно, микронную проволоку сделать можно, но работать с ней тоже сложно, да и сопротивление получается недостаточно большим. Но сделать малое сечение можно не только у проволоки, есть еще два способа – тонкие пленки и керметы. Начнем с пленок. Правда, пленки толщиной в микрои нанометры делать трудно и работать с ними неудобно. Но когда в физике и инженерии говорят «тонкая пленка», почти всегда имеется в виду – на подложке. Например, тонкая пленка проводника, нанесенная на диэлектрическую подложку – отличный резистор. Напылить в вакууме или в газовом разряде можно пленку любой толщины. Однако, при совсем малых толщинах электроны начинают рассеиваться не только на ионах решетки, но и на поверхностях пленки, а при еще меньших толщинах пленка может потерять, как говорят, сплошность, превратиться в отдельные кучки атомов (островковая пленка) и электроны будут прыгать из островка в островок. Но получать большие

Рис. 6. Постоянные резисторы

сопротивления резисторов все эти чудеса не мешает. Кстати, для тонких пленок без подложек используется выражение «свободные пленки». Нам пора посмотреть на объект нашего повествования. На фотографии на рисунке 6 несколько разных пленочных резисторов. В первом ряду – резисторы, сопротивление которых определено с очень высокой точностью, она на них написана. Во втором ряду слева – экзотическое сопротивление, и вот вопрос: зачем там гармошка? Причем очевидный ответ неверен. Этот очевидный ответ верен для того сопротивления, что справа, на нем проводящее покрытие прорезано спиралью. В третьем ряду – несколько резисторов, сопротивление которых изменялось (говорят – «подгонялось») уже после покраски. На следующем снимке (рис. 7) – сверхвысокоомные сопротивления (верхнее $–^{10}$ ГОм), резистивная пленка – углерод, изготовитель запаял их в стекло, так как сопротивление краски (включенной по сути параллельно всему резистору) было бы недостаточно велико. Обратите внимание на белую панель выводов слева – она из тефлона или фторопласта-4, диэлектрика с рекордно высоким удельным сопротивлением. Кстати, что касается этих сопротивлений и краски, есть тут еще одна проблема. Пусть для простоты толщины резистивной пленки и краски одинаковы. Во сколько раз удельное сопротивление

21

П РО Б ЛЕ МЫ

Однако единственный массово применяемый метод – это тензометрия. Для измерения деформаций к объекту, который мы исследуем, приклеивается проволочка и измеряется ее сопротивление. При изменении размера объекта изменяется длина проволочки, ее сечение и удельное сопротивление ее материала. Стало быть, изменяется сопротивление, которое мы измеряем. Для измерения давлений в газе, жидкости и твердом теле в исследуемую среду или внутрь объекта помещается проволочка… дальше вы уже знаете. И не забывайте электрически изолировать проволочку от объекта. Что касается нашей главной причины нестабильности резисторов, т.е. зависимости удельного сопротивления от температуры, то в школе обычно говорят, что эта зависимость линейна, ну и еще упоминают сверхпроводимость. Реальная ситуация существенно сложнее, а значит – и интереснее. Зависимость сопротивления от температуры не линейна, и вдобавок на ней могут быть скачки при температурах, когда перестраивается решетка. На рисунке 8 представлен график теплового расширения железа. Стрелками показаны точка Кюри (потеря ферромагнитных

Рис. 8. Как расширяется железо

РЕ З ИСТОР А

свойств), две перестройки решетки и точка плавления. В таблице приведен список фаз железа и температур перестройки (ОЦК – объемноцентрированный куб, ГЦК – гранецентрированный куб). Диапазон температур указан потому, что в разных источниках немного разные данные. То ли примеси были разные, то ли скорость изменения температуры, то ли гистерезис… полиморфизм – дело тонкое! Персонаж фильма «Белое солнце пустыни» тоже так считал. И еще что-то интересное изображено на рисунке в правом нижнем углу, там что-то экзотическое, гексагональное, плотноупакованное. Но что нам с зависимостью сопротивления от температуры делать? Разработчикам резисторов не слишком интересно, линейна или не линейна зависимость удельного сопротивления от температуры, им важно эту зависимость ослабить. Способ известен, он даже упоминается в некоторых школьных учебниках – нужно использовать не металлы, а сплавы. В металлах электроны рассеиваются на колебаниях ионов решетки, и сопротивление зависит от температуры потому, что с ее ростом увеличивается амплитуда этих колебаний. В сплавах возникает дополнительное рассеивание электронов на неоднородностях решетки, поэтому сопротивление увеличивается и становится менее зависимым от температуры. А что делать, если захотелось, чтобы сопротивление менялось с температурой не так слабо, как достигнуто на сегодня, а

24

К ВА Н $T_{2023/№5}$

R – сопротивление, k – естественно, постоянная Больцмана, T – температура, ’ f – диапазон частот. Теперь вы знаете, почему охлаждают приемники радиотелескопов. Эта формула универсальна, и вроде бы все резисторы в одинаковых условиях должны шуметь одинаково. Между тем, шумы резисторов нормируются, они указываются в технических условиях, и существуют малошумящие резисторы. Дело в том, что имеется и другой источник шумов. Шум – процесс хаотический, его источник – случайные события. Какие случайные события есть в резисторе? Вопервых, координаты электронов – это как раз источник тепловых шумов. Во-вторых, это координаты атомов, а это источник сопротивления, которое может изменяться, флуктуировать. Обратите внимание, что этот источник тоже зависит от температуры, но проявляется он только при наличии тока (для напряжения кроме сопротивления нужен ток). Далее, и в электронной подсистеме, и в атомной могут быть групповые движения, волны. Волны в электронной подсистеме называют волнами зарядовой плотности, волны в атомной подсистеме – это звуковые колебания (фононы), перемещения дислокаций и перемещение границ между кристаллами (если объект не монокристаллический). Если эти факторы случайны, то они могут быть источником шумов. Удельное сопротивление однородного проводника зависит от концентрации и подвижности электронов (вы это знаете из школьного курса), и флуктуации этих величин вызывают флуктуации удельного сопротивления и, следовательно, шумы – но возникающие только при пропускании тока. И последнее – если материал резистора не однороден, если это отдельные проводящие частички, радостно контактирующие друг с другом, то эти контакты могут возникать и пропадать, а это обязательно вызовет колебания сопротивления, которое проявляется, естественно, только при наличии тока. Все такие шумы называют токовым шумом, хотя от температуры они все равно зависят.

А теперь вы узнаете страшное и относящееся ко всей физике. Исследуя какое-то явление, мы стараемся разделить влияния, факторы, пути взаимодействия – как мы сейчас это сделали. Разделили шумы по источникам и механизмам. Мы поступили правильно, но… но где-то в глубине сознания должна гореть «желтая лампочка» (вернее, светодиодик) – сигнал настороженности. Разделить-то мы их красиво разделили, а не взаимодействуют ли они? Не влияют ли они друг на друга? В нашем случае можно привести очевидный пример влияния. Не влияют ли кое-какие волны друг на друга, не замешан ли здесь Огюст Кулон? Следующая проблема – электроперенос, или электромиграция. Электроны в проводнике разгоняются полем, а тормозятся на ионах решетки, значит – они передают ионам импульс. Кроме того, в проводнике при протекании тока есть электрическое поле, и оно действует на ионы и электроны. Однако ни импульс, переданный электронами ионам, ни поле, действующее на ионы непосредственно, не вызывают движения проводника как целого – потому, что проводник в целом нейтрален. Но действие на разные ионы может оказаться различным, и это существенно, по крайней мере, в двух случаях – если мы имеем дело со сплавом или с контактом двух разных металлов. В электронике и то, и другое встречается не на каждом шагу, а чаще – на каждом выводе каждой детали и каждой микросхемы. Потому что вывод сделан из одного металла, покрыт другим, паяем мы его третьим к дорожке, которая тоже из чего-то сделана. Следствие – на контакте двух металлов ионы могут переползать из одного металла в другой, сечение проводников меняется, и там, где оно меньше, возникает перегрев. И наступает конец – т.е. конец срока службы. Ситуация усугубляется тем, что даже в чистом металле ионы не совсем одинаковы. Вопервых, есть изотопы. Во-вторых, одни ионы находятся внутри кристаллов, другие – на границах между ними. В-третьих, одни на поверхности, другие внутри. И любая из этих разниц может повлечь элек-

27

П РО Б ЛЕ МЫ

РЕ З ИСТОР А

Рис. 16. Подвижен резистивный элемент, но контакт на переползает с витка на виток, а скользит вдоль проволоки

Рис. 14. Необычный переменный резистор

У резистора на $рисунке^{14}$ для увеличения диапазона регулирования, т.е. для расширения диапазона регулирования в области малых величин, резистивный элемент сделан из трех частей, с разной зависимостью сопротивления от угла поворота. Первый участок сделан из медной ленты, второй – из резистивной ленты меньшего сечения, третий – из резистивной проволоки меньшего сечения. Следующие два $рисунка,^{15} и^{16,}$ иллюстрируют относительность движения. Обычно резистивный элемент неподвижен, в двух этих случаях наоборот – он подвижен, причем во втором случае движение организовано так, что дискретность витков не имеет значения, так как контакт скользит вдоль проволоки. Этот последний вариант можно считать предтечей многооборотных потенциометров, в которых, правда, резистивный элемент был неподвижен.

Рис. 17

И в заключение – немного о красоте $(рис.^{17).}$

Рис. 15. Подвижен резистивный элемент