Лунная лыжня?

Квант 2023, №6 с. 37, 46, 48 Тег WGB3

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Лунная лыжня?

Е.ГЕРМАНЮК

ВОЗМОЖНО, МНОГИЕ ИЗ НАС ЗИмой хотя бы раз катались на лыжах, санях или сноуборде. Но, как выяснилось, кататься можно не только по снегу, но и по песку в жаркой пустыне. Тому подтверждением большое количество слайдов и видеороликов с лыжниками где-нибудь в пустыне Саудовской Аравии или каком-нибудь другом месте. Правда, это не спуск со снежных склонов. Но у многих получается это вполне удачно (рис. 1, 2). Глядя на все это, можно задаться вопросом: «А возможно ли такое, скажем, на Луне?» Ну, конечно, не съехать с высокой горы, а просто прокатиться на санях с лун-

Рис. 1

Рис. 2

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230604

ной горки – такое возможно? Давайте порассуждаем, какие «за» и «против» есть в нашем распоряжении. Можно сказать, что лунные пейзажи чемто напоминают песчаные барханы в пустыне. Судя по фотоснимкам, сделанным астронавтами «Аполлонов», а также нашими «Луноходами» и луноходами других стран, есть много мест на поверхности Луны, где почти не встречаются крупные камни (рис. 3, 4). И если убрать с предполагаемого места спуска относительно крупные и мелкие камни, то сани, возможно, смогут ехать. Еще одно обстоятельство «за» – на Луне сила тяжести в 6 раз меньше, чем на Земле, а значит, сила трения в 6 раз меньше. Правда, при этом и скатывающая сила тоже меньше. Есть и неприятные моменты. Во-первых, лунный грунт, или реголит, абразивен. Это связано с формой мелких частиц реголита

Рис. 3

Рис. 4

ШКОЛА

Рис. 5

Рис. 6

(рис. 5, 6) и твердостью минералов, из которых он состоит. Советские ученые под руководством академика А.Виноградова выяснили, что лунный грунт состоит в основном из двуокиси кремния окиси титана, алюминия, железа, магния и кальция. Твердость же лунного грунта близка к его земному аналогу – андезито-базальтовому песку. Тем не менее, надо сказать, что износ (стирание) материала конструкций (полозьев саней) при скольжении по лунному реголиту на Луне будет происходить медленнее, чем если бы мы скользили по тому же лунному реголиту, но на Земле. Это связано с тем, что давление на грунт будет меньше земного опять же из-за меньшей силы тяжести. (Это

«КВАНТЕ»

Рис. 7

легко можно доказать на практическом примере. Если точить топорище на точильном станке и при этом слабо прижимать его к абразивному диску, то точить топор мы будем дольше, чем если бы мы прижимали топорище поплотней.) Во-вторых, еще одним неудобным моментом является то, что люди на Луне находятся в массивных неповоротливых скафандрах. (рис. 7). Так, общая масса скафандра для астронавтов «Аполлона» составляла более 90 кг. Вес человека в скафандре на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле, но тем не менее массу и инерцию никто не отменял. Упадешь – встать будет не очень просто. Кроме того, центр тяжести человека в скафандре смещен относительно центра тяжести человека без скафандра. В результате этого космонавту приходится стоять с небольшим наклоном к поверхности Луны. Все это делает перемещение космонавта на лыжах практически невозможным и даже опасным. Хотя попробовать было бы интересно. А вот съехать с какого-то специально оборудованного склона на санях специальной конструкции, думается, вполне возможно, хотя и тоже небезопасно. Конструкция саней могла бы быть, например, такой, как на рисунке 8. Для того чтобы съехать с лунной горки (склона) на санях, космонавту, стоящему сзади, необходимо, как и на Земле, столкнуть сани с места (придать саням первоначальную скорость). При этом разгоняться сани будут значительно медленнее, чем на Земле, опять же из-за меньшей

КВАНТ 2023/№6

Из точки С проведены касательные СА и СВ к окружности с центром О. Точки $D,^{D} c$ симметричны относительно О. Из точки С опущен перпендикуляр СН на прямую DO. Окружности DAH $и^{D} c BH$ вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что точки С, Н, Q лежат на одной прямой. Саша: Получилось нарисовать чертеж? Дима: Да, но точка Q не влезает на картинку (рис. 1).

Рис. 1

Саша: Может, она и не нужна. Докажем, что СН… Дима: Перпендикулярно линии центров синих окружностей. Или что центры синих окружностей равноудалены от зеленой прямой и лежат по одну сторону от нее. Саша: Эх, центры отмечать… Давай сначала сотрем с картинки что-нибудь лишнее. Дима: Что, кроме точки Q, тут лишнее? Саша: Зачем, например, на картинке красная окружность? Дима: Чтобы показать, что АО ВО, а углы САО, СВО прямые. Саша: Это можно и без окружности отметить. Кстати, не слишком ли много тут прямых углов: САО, СВО, СНО. Это наводит на мысль… Дима: Что стоит построить окружность с диаметром СО? Саша: А заодно стереть точку С и все выходящие из нее прямые (рис. 2).

Рис. 2

Дима: Давай вспомним, что нам нужно было в задаче. Надо отметить центры синих окружностей $T и^{T} c$ . Чтобы построить T, нужны серединные перпендикуляры. Саша: Достаточно двух из трех серединных перпендикуляров. Какой из трех лишний?

Дима: Серединный перпендикуляр к DH полезен, чтобы посчитать расстояние от Т до DH. Серединный перпендикуляр к АН проходит через центр I красной окружности. А вот у серединного перпендикуляра к AD никаких интересных свойств я не вижу, его мы строить не будем. С $точкой^{T} c$ все аналогично. Саша: Если центры $T и^{T} c$ уже построены (рис. 3), синие окружности не нужны. Еще сотрем А и В.

Рис. 3

Дима: Если стереть А и В, куда мы будем опускать перпендикуляры из I? Саша: А и В – произвольные точки на красной окружности, такие, что АО ОВ. Дима: Значит, оранжевые прямые симметричны относительно $OD.^{1}$ Получается, что перпендикуляры к ним образуют равные углы с OD. Саша: Теперь спокойно стираем А и В вместе с оранжевыми прямыми. Заодно сотрем красную окружность, от нее нужно лишь равенство IO IH (рис. 4).

Рис. 4

Дима: Теперь видна осевая симметрия. Фиолетовые прямые симметричны относительно серединного перпендикуляра к ОН. Достаточно доказать, что середины $P,^{P} c$ отрезков $HD,^{HD} c$ симметричны относительно середины М отрезка ОН. Саша: Значит, фиолетовые и синие прямые, а также точки I, T, T c стираем (рис. 5).

КВАНТ 2023/№6

Дима: Ясно. Четырехугольник $DJI_{C} I_{A}$ вписанный, поскольку углы $JI_{C} D$ и $JI_{A} D$ равны. Задача решена! Саша: А не возникнет проблема с тем, что $I_{C}$ окажется не на отрезке ED? Дима: Нет, с самого начала ясно, что обе точки $I_{A}$ и $I_{C}$ лежат внутри красной окружности. $^{11}$ Саша: Ура, задача решена!

Примечания

Рис. 8

Дима: Чтобы построить J быстрее, можно вместо $медианы^{8}$ треугольника ENF взять $симедиану^{9}$ треугольника EBF. Тогда точки I, N и оранжевая прямая не нужны (рис. 8)! Саша: Как быстро построить симедиану? Дима: Симедиана хорошо пересекается с описанной $окружностью^{10}$ :

JE BE

JF. BF

(1)

Саша: А что нам дают синие окружности и точка В? Если заменить BE на $I_{C} E$ и BF на $I_{A} F$ , останется лишь равенство

$JE I_{C} E$

$JF. I_{A} F$

(2)

Или есть еще какое-то условие? Дима: Синие окружности пересекаются на красной. Стерев их, мы потеряем это условие. Саша: Может, это условие лишнее? Смотри, из (2) и равенства углов $JEI_{C}$ и $JFI_{A}$ следует подобие треугольников $JEI_{C}$ и $JFI_{A}$ (рис. 9)!

Рис. 9

Доказательство этого несложного факта оставим в качестве упражнения. 2. Завершение решения оставим читателям в качестве упражнения. 3. Лемма о трезубце. Пусть I – центр вписанной окружности треугольника АВС (рис. 10).

Рис. 10 Луч CI пересекает описанную окружность в точке Е. Тогда Е – центр описанной окружности треугольника ABI. 4. Полувписанная, зеленая, окружность (рис. 11) касается отрезков АВ и ВС и описан-

Рис. 11

ной окружности. Полувписанная окружность лежит внутри описанной. 5. Середина N дуги АВС, центр вписанной окружности I и точка касания J полувписанной и описанной окружностей лежат на одной прямой (см. рис. 11). Доказательство этого известного Диме, но неизвестного Саше факта будет сложным упражнением для читателей. Решение, а также большое количество родственных фактов, можно найти в сборнике «Математика в задачах» (М., МЦНМО, 2009, под ред. А.А.Заславского и др.).