В погоне за красотой геометрии

49

РЕЦЕНЗИИ,

6. Докажите, что синие окружности пересекаются в центре I вписанной окружности. 7. Докажите, что EBNF – равнобокая трапеция. 8. Докажите, что оранжевая прямая содержит медиану треугольника ENF. 9. Симедиана треугольника – прямая, которая симметрична медиане относительно биссектрисы угла, проведенной из той же вершины. Докажите, что BJ – симедиана треугольника EBF (рис. 12). 10. Если симедиана треугольника EBF, проведенная из вершины В, пересекает описанную окружность в точке J (см. рис. 12), то выпол- няется равенство

JE BE

JF. Этот нетривиаль- BF

БИБЛИОГРАФИЯ

Рис. 12

ный факт известен Диме, но неизвестен Саше. Доказательство будет непростым упражнением для читателей. 11. Докажите, что обе точки $I_{A}$ и $I_{C}$ лежат внутри красной окружности.

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

В погоне за красотой геометрии

В школьных учебниках геометрия представляется иногда длинной вереницей теорем, размеренно вытекающих одна из другой. Но из книги Вольдемара Петровича Смилги, известного советского физика-теоретика и популяризатора науки, мы узнаем совсем-совсем другую историю – $настоящую.^{1}$ В «Началах» Евклида оформился аксиоматический метод: в основании геометрии лежит набор аксиом и постулатов; все остальные факты из них следуют. Один из постулатов Евклида, пятый, выглядел неуклюже, и многим казалось, что с ним что-то не так. Казалось, что в эту компанию он затесался по ошибке, что его можно доказать, вывести из остальных. Постулат дразнил: было впечатление, что еще немного, ничтожная мелочь — и доказательство дастся в руки.

1 Вольдемар Смилга. В погоне за красотой.

Приключения пятого постулата Евклида. – М.: Наука, 2019.

Но со временем возникло понимание, что в этой малости и заключается суть вопроса. Двигаясь зигзагами, история пятого постулата сделала крутой разворот. Николай Лобачев-

50

КВАН T 2023/№6

ский заменил его на противоположный и на этом пути пришел к созданию совсем другой геометрии. Поначалу она представлялась противоестественной. Но в XX веке стало ясно, что именно она описывает наш мир. Автор рассказывает нам и о роли неевклидовой геометрии в общей теории относительности – доступно и увлекательно На страницах книги мы встречаем творцов этой истории – с их чаяниями, сомнениями, метаниями, разочарованиями и упорством. Их вело стремление к красоте и желание выяс-

Евклидова геометрия царствовала в математике больше двух тысяч лет, но сейчас мы знаем: геометрий много. И дело даже не в том, что их много, – они составляют сообщество со сложными взаимоотношениями. Книга Алексея Брониславовача Сосинского, признанного популяризатора математики, как раз о том, как устроено это сообщество $геометрий.^{2}$ В этой книге геометрия – это особый математический объект, представляющий собой множество элементов с действующими на них группами преобразований. Такой подход сформулировал Феликс Клейн в «Эрлангенской программе». В этом смысле наша школьная, евклидова геометрия – это плоскость (или пространство), а преобразования – симметрии, повороты, параллельные переносы. Автор знакомит читателей с различными геометриями, обсуждает их устройство, но не только. Он показывает, как разные геометрии соотносятся друг с другом, в чем их родство и насколько оно близкое. Начинающий математик увидит и влияние алгебры на геометрию: как язык морфизмов позволяет нам посмотреть на все геометрии с высоты птичьего полета. И вместе с тем получит вкус к геометрическому подходу в работе с алгебраическими объектами. Как и положено учебной книге, все начинается с очень простых, игрушечных примеров, в которых можно познакомиться с основными понятиями на пальцах, поиграть с ними и привыкнуть к ним. После этого вводятся более формальные определения, и они сразу наполняются содержанием благодаря изученным примерам. Каждая глава завершается набором задач, чтобы читатель мог поработать самостоятельно. Это не набор упражнений на отработ-

2 А.Б.Сосинский. Геометрии. – М.: МЦНМО,

нить, как устроен этот мир на самом деле. Если бы не такие люди, мы бы до сих пор вслед за халдейскими магами познавали мир по внутренностям жертвенных животных. Впервые книга была издана в 1965 году; Андрей Смилга (сын автора, тоже физик) помог подготовить новое издание и добавил примечания, отражающие современные научные представления. Неважно, считаете вы себя математиком или гуманитарием, – вы с удовольствием ее прочтете.

А. Б. Сосинский ку типовых навыков, а творческие задачи – работа над ними научит читателя мыслить и работать как геометр. К некоторым задачам даны ответы и указания, но не ко всем. В первой половине книги читатель найдет больше помощи, чем во второй, когда предпочтительнее уже самостоятельная работа. Не только текст, но и рисунки в книге А.Б.Сосинского созданы мастерски и с любовью. Книга сначала появилась как записки лекций на английском языке для иностранных студентов НМУ, а на русский язык ее перевел Б.Р.Френкин. Большая часть книги доступна заинтересованному старшекласснику.

Н.Шихова

54

КВАН T 2023/№6

Победители олимпиады

9 класс Воинов Григорий – Санкт-Петербург, Кравченко Роман – Новороссийск, 8 кл., Прозоров Роман – Москва, Большаков Максим – Казань, 8 кл., Власов Алексей – Челябинск, Дмитриев Лев – Санкт- Петербург, Замоторин Илья – Санкт-Петербург, Белоцерковцев Александр – Санкт-Петербург;

10 класс Пистунов Григорий – Москва, Булгаков Дмитрий – Санкт-Петербург, Никитин Федор – Санкт-Петербург, Уткин Евгений – Саратов, Ким Петр – Москва, 7 кл., Сырцов Степан – Санкт-Петербург, Ленская Наталия – Москва, Бакаев Артемий – Москва,

Смирнов Илья – Ярославль, Черепанов Георгий – Вологда;

11 класс Гнусов Александр – Киров, Аккая Тимур – Санкт-Петербург, Згонник Илья – Санкт-Петербург, 10 кл., Коптилин Ратибор – Новосибирск, 9 кл., Кузнецов Роман – Санкт-Петербург, Постнов Иван – Москва, Хисамутдинов Эльдар – Санкт-Петербург, Мякутин Иван – Москва, Югов Михаил – Санкт-Петербург, 10 кл., Климчук Александр – Москва, Харко Николай – Челябинск, Червоненкис Борис – Москва, Бойко Артем – Санкт-Петербург, Кузнецов Никифор – Москва, Ананьев Дмитрий – Санкт-Петербург, Харитонов Михаил – Москва.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, А.Кузнецов, О.Подлипский, К.Сухов

ОТВЕТ Ы, У КА З АН ИЯ, Р ЕШЕН ИЯ

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» №5)

1. Рыбку 4 u 5 клеток. Раз за полминуты кот съел полрыбки, то за минуту он съест эту рыбку целиком. В маленькой рыбке 3 клетки, значит, за каждую минуту кот съедает по 3 клетки. За целое число минут будет съедено кратное трем число клеток. Суммарно во всех рыбках 3 4 16 12 13 20 68 клеток. Это число при делении на 3 дает остаток 2. Значит, после целого числа минут останется рыбка, количество клеток в которой при делении на 3 дает остаток 2. Такая рыбка всего одна — это рыбка с туловищем 4 u 5 клеток. Она и не будет съедена. 2. Возможны разные варианты, например: 2 4 79 158 1, 6 8 35 140 1, 4 5 72 360 1. 3. 90q. Рассмотрим треугольники AKS и LKS. Они равны по трем сторонам. Значит, равны углы KAS и KLS. В равнобедренном треугольнике ABC равны углы BAC и ACB. Прямые KL и AC параллельны, значит, равны углы ACB и KLB как соответ- ственные. Тогда

‘ SLB

‘ SLK ‘ KLB

‘ KAS ‘ ACB

‘ KAS ‘ BAC

‘ KAM

90 q.

4. Да, может. Заметим, что если взять из каждого мешка по монете, то их суммарная масса будет равна 7 8… 13 70 граммов. Назовем такой набор монет комплектом. Пусть в указанном царем мешке массы монет по x граммов каждая. Если взять 70 таких монет, то их масса равна 70x – такая же, как у x комплектов. Тем самым, если мудрец узнает, сколько комплектов нужно, чтобы уравновесить эти 70 монет, он ответит на вопрос царя. Пускай первым взвешиванием мудрец сравнит эти 70 монет и 10 комплектов. Если весы в равновесии, то x 10 и задача решена, если монеты перевесили, то x! 10, если перевесили комплекты, то x 10. Если мудрец знает, что x! 10, то за одно взвешивание он легко выяснит, равна ли масса монеты 11, 12 или 13 г. Действительно, теперь можно сравнить 70 монет и 12 комплектов. Если монеты перевесили, то x 13, если весы в равновесии, то x 12, если комплекты перевесили, то x 11.

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Аналогичным образом мудрец может поступить в случае x 10: массы монет тогда могут быть по 7, 8 или 9 г, так что осталось сравнить 70 монет и 8 комплектов. Отметим, что при каждом взвешивании мудрец использует не более чем 70 12 монет из мешка, на который указал царь, и не более чем по 12 монет из остальных мешков. Так что монет в мешках ему хватит. Комментарии. 1. Если снять с обеих чашек весов одинаковый набор монет, то результат взвешивания не изменится. Пользуясь этим соображением, мудрец сможет решить задачу и когда в каждом мешке хотя бы по 70 8 62 монеты. 2. В решении используется лишь суммарная масса 7 монет. Поэтому аналогичным образом можно решить задачу не только для монет массой 7, 8,…, 13 граммов, но и для любого другого набора из семи различных масс (при достаточном количестве монет в мешках).

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №4)

29. 1:2. Обозначим точки, как показано на рисунке 1. Продлим луч AM и сторону DC до пересечения в точке E. Тогда треугольники ABM и ECM рав-

РЕШЕНИЯ

ные пары чисел дают разные суммы. Но для чисел Фибоначчи это так: среди четырех чисел этих двух пар есть наибольшее, оно уже не меньше суммы двух чисел другой пары, а вместе со вторым числом в своей паре – больше. Равенства a b c d и a c d b равносильны, поэтому уникальность всех попарных сумм будет следовать из уникальности всех попарных разностей (отметим, что так как в пару берутся две разные карточки, то на суммы есть еще дополнительное ограничение a z b, c z d ). Множество целых чисел, в котором все попарные разности уникальны, называют линейкой Голомба – см., например, Википедию. 31. Да во всех пунктах. Примеры приведены на рисунках 2–4.

Рис. 2. k = 4, n = 11

Рис. 3. k = 6, n = 13

Рис. 4. k = 8, n = 16

Рис. 1

ны, поэтому EC AB CD, а также ‘ CEM ‘ MAB ‘ MAF. Значит, треугольник AEF равнобедренный, AF EF. С другой стороны, в прямоугольном треугольнике AFD катет FD лежит против угла в 90 q: 3 30 q, значит, гипотенуза AF в два раза больше катета FD. Тогда 2 F D A F E F EC C F CD C F FD 2CF, откуда FD 2CF. 30. Можно взять числа 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Это 10 чисел последовательности Фибоначчи: очередное число получается как сумма двух предыдущих. Фокусник сможет отгадать числа с карточек зрителя, если любые две раз-

Конструкцию на рисунке 4 предложил В.Корсуков. Если в ней убрать одну из прямых, образующих с горизонталью $угол^{45q}$, то получим конструкцию с 7 звездами и 15 прямыми. Если, наоборот, добавить одну вертикальную или горизонтальную прямую (красную), то появится новая 9-я звезда (зеленая). Добавлять прямую можно четырежды, каждый раз появляется новая зеленая звезда (рис. 5). На $рисунке^{6}$ показано, как с помощью 16 прямых получить 11 звезд. В «Кванте» №4 за 2005 год в «Конкурсе имени А.П.Савина» была опубликована родственная задача: существует ли такая конфигурация прямых, в которой звезд получится больше, чем проведено прямых? В Энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) опубликована последовательность