Задачи 5—8

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: [email protected]. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

5. Пятнадцать бочек поставили в виде треугольника (рис. 1) и обтянули кольцевым обручем. Шестнадцать бочек постави-

Рис. 4

Рис. 2

Рис. 1

ли в виде квадрата 4 u 4 (рис. 2) и тоже обтянули кольцевым обручем. Сравните длины этих обручей. П.Кожевников

6. Имеются стакан кофе, наполненный $на^{2} 3,$ и такой же стакан молока, наполненный $на^{2} 3$. Разрешается переливать любое количество жидкости туда и обратно, тщательно ее перемешивая, но нельзя ничего выливать. Можно ли получить в одном из стаканов напиток, составленный из молока и кофе в пропорции 1:1? Е.Смирнов

7. Вася нарисовал фигуру в виде квадрата 15 u 15, в котором вырезаны четыре отверстия в виде квадратов $3 u 3 (рис.^{3).}$

Рис. 3

Эту фигуру Вася разрезал на фигурки, каждая из которых одного из трех типов $(рис.^{4).}$ Известно, что фигурок типов $2 и^{3}$ в разрезании поровну. Сколько в разрезании фигурок каждого типа? С.Костин

8. a) Петя и Вася играют в такую игру. Петя пишет на доске любое целое число. Вася не видит доску, и его цель – угадать, какое число сейчас на доске. За один ход Вася называет свою догадку, и если она неправильная (т.е. не совпадает с числом на доске в момент произнесения догадки), то Петя увеличивает число на доске на 1, после чего Вася пытается угадать снова. Всегда ли Вася может действовать так, чтобы гарантированно угадать число за конечное количество ходов? б) Такая же игра и тот же вопрос, но теперь Петя после каждого хода может изменить число на 1 по своему усмотрению (увеличить или убавить на 1; не менять число нельзя). в) Такая же игра и тот же вопрос, но теперь Петя увеличивает число на 1, когда Васина догадка меньше числа, которое сейчас на доске, и уменьшает число на 1, если Васина догадка больше. А.Гаек (ученик 11 класса)