Теорема о трёх плоскостях

Квант 2023, №10 с. 29-30 Тег 7NG8

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Теорема о трех плоскостях

Ю.БЛИНКОВ

ВСТАТЬЕ БУДЕТ РАССМОТРЕНО одно важное утверждение, которое можно формулировать и использовать сразу после изучения аксиом стереометрии. Отметим, что в виде теоремы оно встречается только в книге [1] и привязано к теме «Параллельность прямой и плоскости». Иногда это утверждение встречается (в упрощенной или другой формулировке) в виде задач (см, например, [2], [3], [4]), но внимание на нем не акцентируется. Мы постараемся частично восполнить этот пробел. Итак, формулировка. Теорема о трех плоскостях. Если три плоскости пересекаются по трем различным прямым, то эти три прямые либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной точке. Доказательство. Пусть плоскости D и E пересекаются по прямой c, E и J – по прямой a, D и J – по прямой b. Поскольку каждая пара прямых (например, a и b) лежит в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Если никакие две из указанных прямых не пересекаются (рис. 1), то они попарно параллельны и условие теоремы выполняется. Пусть какие-то две из прямых пересекаются, например, a и b пересекаются в точке C (рис. 2). Тогда точка C принадлежит плоскостям E и J, поскольку принадлежит их

Рис. 2

пересечению (прямой a). С другой стороны, эта точка принадлежит плоскостям D и J, так как она лежит на прямой b. Следовательно, точка C принадлежит все трем плоскостям, в частности, принадлежит пересечению D и E, т.е. прямой с. Итак, прямые a, b и c либо параллельны, либо пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать. Обратим внимание, что в доказательстве использовалось лишь то, что две плоскости пересекаются по прямой. Рассмотрим применение доказанной теоремы. Начнем с построения сечений. Решим следующую задачу. Задача 1. а) Верно ли выполнено построение сечения тетраэдра на рисунке 3? б) Постройте сечение тетраэдра PABC, проходящее через середины ребер PA, PC и AB. Решение. а) Рассмотрим три плоскости: PAС, ABC и плоскость сечения. По теореме о трех плоскостях прямые их попарного пересечения либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. Остается заметить, что на данном чертеже не выполняется ни то, ни другое. Таким образом, построение выполнено неверно. б) Пусть M, K и N – указанные середины ребер (рис. 4). Рассмотрим три плоскости:

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20231003

Рис. 3

Рис. 4

ШКОЛА

Упражнение 5. Докажите этот факт.

Сформулированное утверждение также можно считать одним из случаев теоремы о трех плоскостях, если принять, что две параллельные плоскости пересекаются по бесконечно удаленной прямой. Теперь вспомним второй признак параллельности плоскостей. Задача 5. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Решение. Обозначим плоскости D и E, а прямые, в них лежащие, a, b и a c, b c соответственно, тогда a P a c, b P b c. Пусть а пересекается с b в точке O. Докажем, что D P E. Рассмотрим плоскость, содержащую а и a c, а также плоскости D и E. Если плоскости D и E пересекаются, то по прямой с, параллельной а и a c (см. задачу 2). Рассмотрев плоскость, проходящую через прямые b и b c, получим, что прямая с также параллельна прямым b и b c, т.е. через точку O проходят две прямые, параллельные прямой с. Противоречие. Теперь рассмотрим утверждение, связанное с параллельностью прямой и плоскости. Отметим, что теорема о трех плоскостях позволяет изучать параллельность плоскостей и параллельность прямой и плоскости независимо друг от друга, т.е. порядок изучения тем можно менять в зависимости от целей и вкусов учителя. Задача 6. Если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна их линии пересечения. Решение. Обозначим плоскости через D и E (рис. 7), прямую их пересечения – через с, а данную прямую – через x. Рассмотрим произвольную плоскость J, проходящую че-

Рис. 7

«КВАНТЕ»

рез прямую x и пересекающую D и E. Пусть она пересекает эти плоскости по прямым a и b соответственно. Поскольку прямая x параллельна D и E, то она параллельна прямым a и b (докажите!). Применив теорему о трех плоскостях к плоскостям D, E и J, получим, что прямые a, b и c параллельны, откуда, учитывая транзитивность параллельности, и следует параллельность прямых c и x. Теперь перейдем к менее стандартным утверждениям. В некоторых случаях увидеть эти три плоскости не так просто. Следующая задача взята из задачника [5]. Задача 7. Треугольники ABC и $A_{1} B_{1} C_{1}$ не лежат в одной плоскости (рис. 8). Извест-

Рис. 8

но, что прямые AB и $A_{1} B_{1}$ , BС и $B_{1} C_{1}$ , AС и $A_{1} C_{1}$ попарно пересекаются. Докажите, что прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке или параллельны. Решение. Воспользуемся тем, что две пересекающиеся прямые задают плоскость. Рассмотрим три плоскости, заданные парами прямых: AB и $A_{1} B_{1}$ , BС и $B_{1} C_{1}$ , AС и $A_{1} C_{1}$ . Тогда по теореме о трех плоскостях прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ их попарного пересечения пересекаются в одной точке или параллельны, что и требовалось. Отметим, что пересечение прямых при решении задачи 7 мы используем только для того, чтобы они образовывали плоскость, т.е. условие задачи остается верным, если какие-то из этих пар прямых параллельны. Кроме того, эти прямые пересекаются в трех

КВАН T 2023/№10

точках, лежащих на одной прямой, так как они принадлежат прямой пересечения плоскостей указанных треугольников. И, наконец, нельзя не отметить связь этого утверждения с теоремой Дезарга (см., например, [2]). Теперь рассмотрим задачу В.В.Произволова с Турнира городов 2009 года. Задача 8. В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных

ношения.

Отметим, что, как и в задаче 7, взаимное расположение прямых мы использовали для задания плоскости. В следующей олимпиадной задаче (предложил В.А.Лецко), мы используем этот прием еще раз. Задача 9. Все грани выпуклого шестигранника – четырехугольники. Докажите, что если у такого многогранника найдется пара пересекающихся диагоналей, то у него найдется еще одна такая пара. Решение. Пусть диагонали $AC_{1}$ и $BD_{1}$ шестигранника $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ пересекают-

Рис. 9

точек: A, B, C, D, E и F (рис. 9). Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны. Решение. Рассмотрим три плоскости, заданные парами параллельных прямых: (ABDE), (BCEF), (CDFA). Они пересекаются по прямым (BE), (CF) и (AD). Тогда эти три прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. В первом случае (если он возможен) из параллельности (BE) и (AD) и параллельности (AB) и (DE) следует, что ABED – параллелограмм, т.е. AB = DE, и аналогично для других пар отрезков. Во втором случае имеем пространственный шестиугольник с попарно параллельными противоположными сторонами и пересекающимися в одной точке главными диагоналями. Тогда из подобия нескольких пар треугольников следует, что противоположные стороны еще и равны, т.е. коэффициент подобия не может быть отличным от единицы (докажите!).

ся (рис. 10). Тогда точки $A, B, C_{1}$ и $D_{1}$ лежат в одной плоскости D, т.е. прямые AB и $C_{1} D_{1}$ параллельны или пересекаются. Рассмотрим еще две плоскости: $AA_{1} B_{1} B$ и $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Тогда по теореме о трех плоскостях прямая $A_{1} B_{1}$ параллельна прямым AB и $C_{1} D_{1}$ в первом случае и проходит через точку их пересечения во втором. Проведя аналогичные рассуждения для плоскостей D, ABCD и $DCC_{1} D_{1}$ , получим, что CD также параллельна AB и $C_{1} D_{1}$ в первом случае и проходит через точку их пересечения во втором. Следовательно, $A_{1} B_{1}$ и CD либо параллельны, либо пересекаются, т.е. точки $A_{1}, B_{1}, C$ и D лежат в одной плоскости, а диагонали $A_{1} C$ и $B_{1} D$ пересекаются как диагонали выпуклого четырехугольника, что и требовалось. Продолжение этого сюжета – задача 5 (также предложенная В.А.Лецко) из задач для самостоятельного решения.

Упражнения

Задачи для самостоятельного решения

а) Докажите, что первый случай в решении задачи 8 невозможен. б) Используя подобие и метод от противного, доведите решение задачи 8 до конца во втором случае.
Решите задачу 8, используя второй признак параллельности плоскостей или векторные соот-

Рис. 10

Сечением пирамиды PABCD, проходящим через точки A и D, является трапеция с основанием AD. Определите вид четырехугольника ABCD, лежащего в основании пирамиды. 2. В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной плоскости, но при этом никакие две не являются скрещивающимися. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку