Решения задач М2798—М2801; Ф2805—Ф2808

21

ЗАДАЧНИК

в инерциальной системе отсчета, в которой центр Земли имел в момент взрыва нулевую скорость, сразу после взрыва тоже покоился. Толщина слоя атмосферы значительно меньше радиуса Земли R 6370 км. Будем считать, что ее (атмосферы) просто нет. Будем также считать (для упрощения вычислений), что расстояние от центра Земли до спутника равно L = 6,6R, а период обращения Земли вокруг собственной оси (в инерциальной системе отсчета) равен в точности T = 24 ч. 1) Какова была относительная скорость u этих осколков сразу после взрыва? 2) Оцените время падения «остановившегося» осколка после взрыва. 3) Какой была величина относительной скорости этих двух осколков за мгновение до падения второго осколка на землю? С.Взрывной

Ф2818. Вода набирается в бассейн из большого озера, на берегу которого установлен центробежный водяной насос. Асинхронный двигатель переменного тока имеет частоту f = 1450 об мин и максимальную мощность W = 1 кВт. Этот двигатель используется в конструкции насоса, предназначенного для заполнения струей воды бассейна глубиной h = 1,5 м, шириной b = 4 м и длиной дорожки l = 20 м. Крыльчатка насоса имеет радиус R = 10 см и ширину d = 3 см. Отверстие на выходе из насоса имеет сечение $S_{0} 20 см^{2}$ и расположено вблизи краев крыльев крыльчатки. Вылетающая из этого отверстия вертикально вверх вода достигает высоты, равной половине высоты H, на которой над водой в озере находятся верхние края бассейна. Трубу с какой высотой и каким одинаковым по длине трубы поперечным сечением нужно установить на выходе из насоса, чтобы первоначально пустой бассейн можно было за минимальное время заполнить водой? Каково это минимальное время? Потерями мощности при протекании воды по трубам можно пренебречь. В.Водяной

Ф2819. Имеется «поджатая» пружина. Такая пружина начинает изменять свою длину только при некотором пороговом

«КВАНТА»

значении растягивающей силы. Пружину подвешивают вертикально. Ее длина при двух различных подвешиваемых грузах массами $M_{1}$ и $M_{2}$ равна $L_{1}$ и $L_{2}$ соответственно. При этом все витки пружины уже разжались. Длина ненагруженной пружины $L_{0}$ меньше $L_{1}$ и $L_{2}$, масса пружины m. Определите коэффициент упругости k пружины и величину силы поджатия f. А.Власов

Ф2820. Немагнитный каркас длинного соленоида длиной L имеет поперечное к его оси симметрии сечение в форме квадрата с длиной ребра А. На поверхности соленоида в один слой виток к витку намотана проволока тоже квадратного поперечного сечения с ребром квадрата а. Поверхность проволоки изолирована тонким слоем лака. Выполняется цепочка неравенств a = A = L. По проволоке течет ток I. Каркас соленоида в одном месте (вблизи середины) аккуратно разрезали, освободили 1 4 витка проволоки (длиной А) и расположили части этого соленоида так, что оси симметрии половинок совпали и освобожденный от касания с каркасом участок проволоки занял положение параллельно этим осям симметрии (рис. 2).

Рис. 2

Ток, текущий по проволоке, остался прежним. Какова величина вектора индукции магнитного поля в точке на оси симметрии, расположенной на одинаковом расстоянии от получившихся после разреза частей соленоида? Какой угол образует этот вектор магнитной индукции с осью симметрии половинок соленоида? Д.Магнитный

Решения задач М2798–М2801, Ф2805–Ф2808

M2798. Дана прямолинейная дорога, выложенная из зеленых и красных дощечек (дорога – отрезок, разбитый на отрезкидощечки). Цвета дощечек чередуются;

24

КВАН T 2024/№9

Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа с каждой строки. Могло ли так случиться, что теперь Юрий хотя бы про 10000 строк может узнать, что в каждой из них изображено в каждом из столбцов?

Ответ: могло. Заметим, что существует всего $2^{200}$ различных строк длины 200, в которых каждый символ – солнце или луна; значит, каждая такая строка встречается в таблице ровно один раз. Разобьем все позиции на две половины по 100 столбцов – «левую» и «правую». Предположим, что в каждой строке, в которой есть два солнца в одной половине (назовем их солнечными), ветер сдул листья с одной из таких пар солнц, а в каждой несолнечной строке – таких строк ровно $101^{2}$ – ветер обнаружил положения всех солнц (в несолнечной строке не более двух солнц, так что ветер мог так поступить). Тогда Юрий сообразит, что те строки, где открыты два солнца в одной половине, – точно солнечные, а значит, несолнечные строки – это в точности те $101^{2}$ строк, в которых ветер не открывал два солнца в одной половине. У каждой из них открыты все солнца, так что закрытые листьями изображения в этих строках – луна. Задача решена. Замечание. Существуют и принципиально другие конструкции, также позволяющие определить $101^{2}$ строк. Приведем одну из них. Скажем, что строка монолитная, если все солнца в ней стоят подряд (строка из одних лун также монолитна). Монолитную строку назовем сбалансированной, если хотя бы один из двух средних символов – солнце, либо если солнц нет вообще. Сбалансированных строк ровно $101^{2}$. Любая несбалансированная строка содержит либо солнце, стоящее слева от луны в левой половине, либо луну, стоящую слева от солнца в правой; сбалансированная же строка таких пар не содержит. Пусть

ветер откроет именно такую пару символов в каждой несбалансированной строке; тогда Юрий узнает множество всех сбалансированных строк. Далее, в каждой сбалансированной строке, содержащей хотя бы два солнца, ветер откроет самое левое и самое правое из них; можно показать, что тогда все эти строки также однозначно определятся. Наконец, в оставшихся трех сбалансированных строках ветер откроет два средних символа, позволяя определить и эти строки. И.Богданов, К.Кноп

Ф2805. Вода вытекает в вертикальном направлении из крана с круглым поперечным горизонтальным сечением отверстия диаметром $D_{0} = 1$ см. Бутыль большой емкости – 100 л – с диаметром отверстия в горлышке $D 0,8 D_{0}$ стоит под краном (см. рисунок). Расстояние между горлышком бутыли и выходным отверстием крана $H 50 D_{0}$. За какой минимальный промежуток времени бутыль может быть наполнена водой при условии, что вся вода, выходящая из крана, попадает в бутыль? На сколько давление воздуха внутри бутыли во время заполнения ее водой будет больше внешнего (нормального) атмосферного давления? Вязкостью воды и ее поверхностным натяжением можно пренебречь.

Чтобы вся вода попадала в бутыль, нужно, чтобы при максимально возможном сечении струи в отверстии горлышка бутыли через оставшееся не занятым водой сечение из бутыли выходил воздух. Объемный расход воздуха должен по величине совпадать с расходом воды из крана. Воздух будет выходить из бутыли с большой скоростью, которая определяется разницей давлений воздуха внутри бутыли и снаружи. Поскольку давление воздуха внутри $p_{0}$ ’ p будет больше внешнего атмосфер-